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Y a-t-il plus ou moins de gouttes d'eau dans le lac Léman que de molécules
d'eau dans une goutte d'eau de 2,5 mm de diamètre ?
Y a-t-il plus ou moins de gouttes d'eau dans la mer Méditerranée que de
molécules d'eau dans une goutte d'eau de 2,5 mm de diamètre ?
Voilà deux questions dont on ne voit pas trop quoi répondre, une réponse affirmative ou
négative pour l’une ou l’autre ne semble pas affecter le moins du monde notre intuition
qui nous permettrait de dire « j’en suis presque certain ». Ces deux questions ont la
même caractéristique de faire intervenir des ordres de grandeur bien insaisissables et ce
d’autant plus qu’il s’agit d’objets familiers mais eux même d’ordre de grandeurs
complètement différents : une goutte d’eau de 2.5 mm de diamètre, le lac Léman et la
mer Méditerranée.
La notion de mole est sans aucun doute la notion la plus abstraite.
La mole (symbole : mol) est une unité de base du système international, apparue en 1971, qui
est principalement utilisée en physique et en chimie. La mole est la quantité de matière d'un
système contenant autant d'entités élémentaires qu'il y a d'atomes dans 0,012 kilogramme de
carbone 12 ; son symbole est mol[1]
.
Une mole d’atomes contient environ 6,022×1023
atomes (une approximation plus correcte
serait 6,02214179(30)×1023
). Ce nombre est appelé constante d'Avogadro, son symbole est
NA.
Formulé de manière plus compréhensible, la mole est une unité de comptage au même titre
que la "vingtaine" ou la "douzaine". De la même manière, qu'il y a autant d'éléments dans
une douzaine de pommes que dans une douzaine d'œufs, il y a le même nombre d'atomes
dans une mole de carbone que dans une mole de plomb.
Il y a donc 6,022×1023
molécules d’eau dans une mole d’eau et la masse molaire (
masse d’une mole ) de l’eau est de 18 g.
Le lac Léman occupe un volume de 89 millions de m3 et la mer Méditerranée s’étend
sur une surface de 2.5 millions de km2 et sa profondeur moyenne est de 1500 m.
J’ai trouvé ce petit problème dans un document de Michel Artigues où il n’est question que de
mer Méditerranée et j’ai trouvé intéressant de comparer les résultats entre une mer et un lac.
J’ai donc eu l’idée de mettre ces deux questions en rapport l’une de l’autre.
Comment allons-nous procéder ?
Les gouttes d'eau
Les calculs
Volume et masse d'unegoutte d'eau
Nombre de moles d'eaudans une goutte
Nombres de gouttesd'eau dans le Lac Léman
Nombre de gouttes d'eaudans la mer Méditerranée
Conclure
Diviser le nombre de gouttes du lacLéman par le nombre de moles de lagoutte d'eau
Diviser le nombre de gouttes de laMéditerranée par le nombre de moles dela goutte d'eauLes connaissances
La définition de la masse molaire
La définition de la masse volumique
Les puissances
Les conversions d'unité
Les formulesLa formule du volume de la sphère
La formule du volume du pavé droit
Les données
La masse molaire de l'eau
Les dimensions de la Méditerranée
La masse volumique de l'eau
Le volume du lac Léman
Le diamètre d'une goutte d'eau
Les gouttes d'eau.mmap 01/07/2008
Volume Vg d’une goutte d’eau de 2.5 mm de diamètre
Le volume d’une sphère de rayon 𝑟 est 4
3𝜋𝑟3 . Calculons Vg en m3 .
Vg = 4
3𝜋
2.5×10−3
2
3
≈ 8.177 × 10−9 m3
Nombre de moles dans une goutte d’eau
Volume d’une goutte d’eau en dm3 : 8. 177 × 10−9 × 103 dm3
8.177 × 10−6 dm3
Or la masse de 1 dm3 d’eau est de 1 kg ( 1000 kg = 1 T par m3 )
Masse d’une goutte d’eau en g : 8.177 × 10−6 kg
8.177 × 10−6 × 103 g
8.177 × 10−3 g
Proportionnalité
Nombre de molécules d’eau Masse en grammes 6 × 1023 18
x 8.177 × 10−3
Ainsi x = 6×1023 ×8.177×10−3
18 = 2.7 × 1020 molécules d’eau par goutte d’eau
On supposera par la suite que l’empilement des gouttes d’eau occupe complètement l’espace, ce
qui est vrai car elles se déforment, cela ne le serait pas si ce n’était pas le cas !
Nombre de gouttes d’eau dans le lac Léman
Volume du lac Léman en dm3 : 89 × 106 × 103 = 89 × 109 dm3
Nombre de gouttes d’eau
dans le lac Léman : 89×109
8.177×10−6 ≈ 1.088 × 1016 gouttes d’eau dans le lac Léman
Il y a donc environ 2.7×1020
1.088×1016 ≈ 24 816 fois plus de molécules d’eau dans une goutte d’eau que de
gouttes d’eau dans le lac Léman et donc 24 816 fois moins de gouttes d’eau dans le lac Léman
que de molécules d’eau dans une goutte d’eau.
Nombre de gouttes d’eau dans la Méditerranée
Volume de la Méditerranée en dm3 : 2.5 × 106 × (103)2 × 1.5 × 103 = 6.75 × 106+6+3 =
6.75 × 1015 m3 soit 6.75 × 1015 × 103 = 6.75 × 1018 dm3
Nombre de gouttes d’eau
dans la Méditerranée : 6.75×1018
8.177×10−6 ≈ 8.25 × 1023 gouttes d’eau dans la
Méditerranée
Il y a donc environ 8.25×1023
2.7×1020 ≈ 3055 fois plus de gouttes d’eau dans la Méditerranée que de
molécules d’eau dans une goutte d’eau.