Guide Du Calcul Avec Les Logiciels Libres ( Math.faculté )

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    12-Oct-2015

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<ul><li><p>5/22/2018 Guide Du Calcul Avec Les Logiciels Libres ( Math.facult )</p></li><li><p>5/22/2018 Guide Du Calcul Avec Les Logiciels Libres ( Math.facult )</p><p>GUIDE DU CALCUL AVEC</p><p>LES LOGICIELS LIBRESXCAS, Scilab, Bc,</p><p>Gp, GnuPlot, Maxima, MuPAD</p></li><li><p>5/22/2018 Guide Du Calcul Avec Les Logiciels Libres ( Math.facult )</p></li><li><p>5/22/2018 Guide Du Calcul Avec Les Logiciels Libres ( Math.facult )</p><p>GUIDE DU CALCUL AVECLES LOGICIELS LIBRES</p><p>XCAS, Scilab, Bc,Gp, GnuPlot, Maxima, MuPAD</p><p>Guillaume Connan</p><p>Professeur agrg de mathmatiquesau lyce Jean Perrin (Rez)</p><p>Stphane GrognetMatre de confrences lUniversit de Nantes</p><p>et directeur de lIREM des Pays de la Loire</p></li><li><p>5/22/2018 Guide Du Calcul Avec Les Logiciels Libres ( Math.facult )</p><p>Illustration de couverture : Digital vision</p><p> Dunod, Paris, 2008</p><p>ISBN 978-2-10-053934-5</p></li><li><p>5/22/2018 Guide Du Calcul Avec Les Logiciels Libres ( Math.facult )</p><p>Table des matires</p><p>INTRODUCTION 1</p><p>1 Gnralits 1a. Public vis 1b. Organisation 1</p><p>2 Pourquoi des logiciels libres ? 23 Liste des logiciels abords 24 Vive le calcul ! 3</p><p>Partie I INTERFACE 5</p><p>CHAPITRE1 : AIDE 71.1 Installer les logiciels 71.2 Obtenir de laide 7</p><p>a. Aide en ligne de commande 7b. Aide en ligne locale 8c. Aide en ligne par internet 8d. Documentation internet 8</p><p>1.3 Promenade avec bc 81.4 Promenade avec XCAS 9</p><p>CHAPITRE2 : COMMUNICATION 132.1 Communiquer avec un logiciel de calcul 13</p><p>a. criture des nombres 13b. Saisie des instructions au clavier 13c. Mise en forme des rsultats au format instruction 14</p><p>2.2 Obtenir des sorties compatibles avec le logiciel de typographie LATEX 15a. LATEX et les calculs avec XCAS 15b. LATEX et les sorties graphiques de XCAS 18c. LATEX et GnuPlot 20d. Combiner Bc, GnuPlot et LATEX 23</p><p>2.3 Utiliser des logiciels de calcul avec TeXmacs 262.4 Utiliser les logiciels de calcul en mode texte sous Emacs 272.5 Faire communiquer deux logiciels de calcul 29</p></li><li><p>5/22/2018 Guide Du Calcul Avec Les Logiciels Libres ( Math.facult )</p><p>a. Le copier-coller la souris 29b. Communication via des fichiers 29c. Appel linterprteur de commandes du systme (shell) 29d. Un bon outil : la gestion des chanes de caractres 30</p><p>2.6 Programmation interactive 30</p><p>CHAPITRE3 : LA PROGRAMM ATIO N 313.1 Avec XCAS 31</p><p>a. Les procdures 31b. for 32c. while 33d. if 33e. Listes,ensembles et chanes 33f. Programmation en franais 36</p><p>Pour 36tantque 36si 36</p><p>3.2 Avec MuPAD 37a. Les procdures 37b. for 38c. while 39d. if 39e. Listes, ensembles et chanes 39</p><p>3.3 Avec Scilab 41</p><p>Partie II CALCUL 43CHAPITRE4 : ARITHMTIQUE 45</p><p>4.1 Calcul en prcision arbitraire 45a. Avec Bc 45b. Avec XCAS 46c. Avec Maxima 46d. Avec gp 46e. Avec Yacas 46</p><p>4.2 Erreurs darrondi avec GnuPlot 474.3 Changement de base avec Bc 484.4 Congruences 494.5 Nombres premiers 50</p><p>a. Thorme des nombres premiers 50</p><p>b. La fonction Li :xx</p><p>2</p><p>1</p><p>ln tdtet les nombres premiers 52</p><p>4.6 Nombresp-adiques 53</p><p>CHAPITRE5 : QUATIONS 555.1 Avec XCAS 55</p><p>vi</p></li><li><p>5/22/2018 Guide Du Calcul Avec Les Logiciels Libres ( Math.facult )</p><p>5.2 Avec MuPAD 58</p><p>CHAPITRE6 : POLYNMES 616.1 Avec Scilab 616.2 Avec Maxima 626.3 Avec XCAS 636.4 Avec Gp 646.5 Avec Yacas 65</p><p>CHAPITRE7 : FONCTIONS 677.1 Avec Gp 677.2 Avec Maxima 677.3 Avec XCAS 68</p><p>a. Cas gnral 68b. Dfinir des fonction non numriques : un exemple en gomtrie en classe de</p><p>Seconde 697.4 Avec Bc 727.5 Avec Scilab 72</p><p>a. Cas gnral 72b. valuation en rafale 73</p><p>7.6 Avec Yacas 737.7 Avec Octave 74</p><p>CHAPITRE8 : ALGBRE LINAIRE 758.1 Avec Scilab 75</p><p>a. Oprations lmentaires 75b. Rsolution dun systme dquations linaires 76c. Rduction dendomorphismes 76</p><p>8.2 Avec Octave 778.3 Avec Maxima 778.4 Avec XCAS, au gr dactivits diverses 78</p><p>a. Dterminer un projecteur 78b. Puissances de matrices 79c. Inverse de matrices 79d. Trouver linverse dune matrice avec la mthode de Gauss-Jordan 80e. Chanes de Markov 83f. Chiffrement de Hill 86</p><p>Codage 87Dcodage 88</p><p>CHAPITRE9 : GOMTRIE AFFINE 919.1 Avec Scilab 91</p><p>a. quation de droite dans le plan 91b. quation de plan dans lespace tridimensionnel 91</p><p>9.2 Avec XCAS 91a. Proprits gomtriques 92</p><p>vii</p></li><li><p>5/22/2018 Guide Du Calcul Avec Les Logiciels Libres ( Math.facult )</p><p>Dans le plan 92Dans lespace 93</p><p>b. Une activit de 2nde 959.3 Avec GnuPlot 96</p><p>CHAPITRE10 : STATISTIQUES 9910.1 Des statistiques sans tableur... 99</p><p>a. Le problme du Duc de Toscane 99Un peu de (petite) histoire 99Simulation de lexprience 99Simulation grande chelle 100</p><p>b. Lancers de ds 101c. Un problme divrogne 103</p><p>10.2 Gnrateurs alatoires 10510.3 Rgression linaire 10510.4 Statistiques 10510.5 Application 106</p><p>a. Loi uniforme 106b. Loi normale 108c. Pile ou face 109d. Jeu de ds 110</p><p>CHAPITRE11 : CALCU L DIFFRENT IE L 11311.1 Premiers contacts 113</p><p>a. Avec Scilab 113b. Avec Maxima 114c. Avec XCAS 114d. Avec Gp 116e. Avec Yacas 116</p><p>11.2 Calcul diffrentiel multidimensionnel 11611.3 Courbes 11711.4 Surfaces 11911.5 tude mtrique des surfaces 12511.6 Extrema dune fonction de R2 dans R avec XCAS 132</p><p>a. Extremum sous contrainte et multiplicateur de Lagrange 132b. Condition ncessaire et suffisante dexistence dun extremum 135</p><p>CHAPITRE12 : INTGRATION 13912.1 Primitives 139</p><p>a. Avec Yacas 139b. Avec Maxima 139c. Dcomposition en lments simples 140d. Avec Scilab 142e. Avec XCAS 143f. Avec MuPAD 143</p><p>12.2 Changement de variable et intgration par parties 144</p><p>viii</p></li><li><p>5/22/2018 Guide Du Calcul Avec Les Logiciels Libres ( Math.facult )</p><p>a. Avec XCAS 144</p><p>Changement de variables 144</p><p>Intgration par parties 144Intgrale de Wallis 145b. Avec MuPAD 147</p><p>12.3 Calcul approch dintgrales 148</p><p>a. Mthode des rectangles avec XCAS 148</p><p>b. Application au calcul dune approximation de avec XCAS 149</p><p>CHAPITRE13 : DVELOPPEMENTS LIMITS 153</p><p>13.1 Avec Yacas 15313.2 Avec Gp 15313.3 Avec Maxima 154</p><p>13.4 Avec XCAS 154a. Gnralits 154</p><p>b. Visualisation de lapproximation dune fonction par le polynme de Taylor 155</p><p>CHAPITRE14 : QUATIONS DIFFRENTIELLES ORDINAIRES 157</p><p>14.1 Avec Scilab 157a. Rsolution dune quation du premier ordre unidimensionnelle 157b. Rsolution dune quation du premier ordre multidimensionnelle 157</p><p>c. Rsolution dune quation du deuxime ordre unidimensionnelle 160d. Rsolution dune quation dordre et de dimension quelconques 161</p><p>14.2 Avec Octave 161</p><p>14.3 Avec XCAS 161</p><p>a. Rsolution exacte 161</p><p>b. Rsolution approche 162c. Mthode dEuler : cas gnral 162d. Mthode dEuler et exponentielle : TP en Terminale S 163</p><p>Approximation affine 163</p><p>Subdivision 163Trac dune ligne brise 163Trac en boucle 164</p><p>Procdure 164</p><p> vous de jouer 165Estimation de lerreur 165</p><p>14.4 Rsolution exacte avec Maxima 166</p><p>14.5 Avec MuPAD 167</p><p>CHAPITRE15 : TRANSFORME DELAPLACE 16915.1 Avec Maxima 169</p><p>15.2 Avec XCAS 170</p><p>ix</p></li><li><p>5/22/2018 Guide Du Calcul Avec Les Logiciels Libres ( Math.facult )</p><p>Partie III THMES 171</p><p>THME1 : XCASAU LYCE ? 1731.1 XCAS et la gomtrie dynamique au lyce 1731.2 XCAS et les suites 1731.3 Ce que ni le tableur, ni un logiciel de gomtrie ne peuvent faire 179</p><p>a. Preuve dun thorme 179b. Illustration graphique 182c. Bilan de cette activit 183</p><p>1.4 Moralit... 183</p><p>THME2 : LOGIQUE LMENTAIRE 185</p><p>2.1 Premiers contacts 1852.2 Algbre de Boole 1852.3 Le raisonnement par labsurde 186</p><p>THME3 : THORMES DEMNLAS ETPAPPUS 1893.1 Coordonnes barycentriques 189</p><p>a. Une condition dalignement 189b. Une dmonstration rapide du thorme de Mnlas 190</p><p>3.2 Problme du Monde 1923.3 Cercles de Pappus 193</p><p>a. Approche historique 193b. Rsolution astucieuse de reprsentations paramtriques et dune inversion 196</p><p>THME4 : SUITES ET CHAOS 1994.1 Modlisation 2004.2 Observation chiffre 2004.3 Observation graphique 2014.4 Diagramme de bifurcation 203</p><p>THME5 : CONIQUES 205</p><p>5.1 tude algbrique des coniques 205a. tude mathmatique au niveau Bac+1 205Premier cas :ab= 0 205second cas :ab= 0 206</p><p>b. tude mathmatique au niveau Bac+2 208criture matricielle de lquation 208Exemple 209</p><p>c. tude informatique 2105.2 tude analytique des coniques 211</p><p>a. Ellipse dquation x2</p><p>a2+y</p><p>2</p><p>b2= 1 211</p><p>b. Hyperbole dquation x2a2y2b2= 1 2135.3 Ensemble des points M du plan tels queMF = eMH 2145.4 Foyer et directrice dune conique 214</p><p>x</p></li><li><p>5/22/2018 Guide Du Calcul Avec Les Logiciels Libres ( Math.facult )</p><p>a. Cas de lellipse 214b. Cas de lhyperbole 215</p><p>5.5 Construction de la tangente une conique 215a. Le thorme 215b. Lobservation par XCAS 215c. La preuve par XCAS 217</p><p>5.6 Activits gomtriques sur les paraboles 218a. Trac dune parabole la rgle et au compas 218b. Pourquoi les antennes paraboliques sont-elles paraboliques ? 219</p><p>5.7 Coniques et cnes 220a. Section dun cne par un plan dquationx= t 221b. Section dun cne par un plan dquationx= t+k z 222</p><p>THME6 : SRIES DEFOURIER 2256.1 Exploration 2256.2 Interprtation physique 2286.3 Phnomne de Gibbs 229</p><p>THME7 : MUSIQUE 2357.1 Construction dune gamme avec Scilab 235</p><p>a. Gnration de gammes candidates 235b. limination des permutations circulaires de colonnes 236c. Fonction principale : mode demploi 237</p><p>7.2 Fabrication de sons 238</p><p>THME8 : CARRS MAGIQUES 241</p><p>THME9 : CODES CORRECTEURS DERREURS 2479.1 Mthode nave 248</p><p>a. Liste des lments deFk2 248b. Distance de Hamming 248c. La procdure de test et de correction 249d. Codet-correcteur 251</p><p>9.2 Codes cycliques et polynme gnrateur 2539.3 Corps de Galois - Cration de polynmes gnrateurs 255</p><p>THME10 : SURFACES DONT LA PROJECTION EST IMPOSE 25910.1 Introduction 25910.2 Construction du polynme adapt 260</p><p>a. Dfinition mathmatique 260b. Construction informatique 260</p><p>10.3 Dfinition semi-algbrique dun polygone convexe rgulier 262a. Le polygone a un nombre pair de cts 262b. Le polygone a un nombre impair de cts 263c. Traduction informatique 264</p><p>10.4 Construction de lensemble algbrique partir de la dfinition semi-algbrique 265</p><p>xi</p></li><li><p>5/22/2018 Guide Du Calcul Avec Les Logiciels Libres ( Math.facult )</p><p>a. Carr 265b. Hexagone 266</p><p>10.5 Prolongements 267</p><p>THME11 : TACHES DES ANIMAUX 26911.1 Introduction 26911.2 Affichage des donnes 27011.3 Construction sur un rectangle 27311.4 Construction sur un tore 27611.5 Construction sur un cylindre 277</p><p>Partie IV ANNEXES 279TAB LEAUX COMPARATIF S 281BIBLIOGRAPHIE 289</p><p>INDEX GNRAL 291</p><p>INDEX DES COMMANDES 297</p><p>xii</p></li><li><p>5/22/2018 Guide Du Calcul Avec Les Logiciels Libres ( Math.facult )</p><p>Remerciements</p><p>Je remercie chaleureusement Bernard PARIS SE, dune part pour dvelopper demanire si active le logiciel XCAS, et dautre part pour avoir bien voulu relire et</p><p>amliorer bon nombre des algorithmes prsents dans cet ouvrage.Je tiens galement mexcuser auprs de Claire, Marie, Franois, Suzanne etRose qui jai tourn le dos tant de jours pour faire face mon cran et lesremercie pour leur patience.</p><p>Guillaume CONNAN</p></li><li><p>5/22/2018 Guide Du Calcul Avec Les Logiciels Libres ( Math.facult )</p><p>Introduction</p><p>Cet ouvrage aborde les niveaux :</p><p> collge</p><p> lyce</p><p> suprieur</p><p>tant pour les notions mathmatiques que pour les capacits informatiques ncessaires.Louvrage est destin :</p><p> llve ou ltudiant qui cherche une vision diffrente des notions abordes en cours,ou qui dsire se cultiver,</p><p> lenseignant qui cherche une aide soit pour prparer des illustrations pour son cours,soit pour prparer des activits sur machine entravaux pratiques,</p><p> au candidat professeur qui souhaite illustrer une leon mathmatique en utilisant desprogrammes de quelques lignes sans rentrer dans une programmation fastidieuse,</p><p> au technicien et au scientifique de nimporte quelle discipline qui souhaite manipulerles objets mathmatiques dont il a besoin.</p><p>Cet ouvrage aborde trois domaines de travail : Comment utiliser le plus confortablement possible les logiciels de calcul ?</p><p> Quelles sont lesconnaissances de bases qui permettent un non-initidaborder chaquelogiciel?</p><p> Comment traiter avec les machines quelques thmes mathmatiques un peu plus la-bors?</p><p>Les textes de confort dcoulent de notre pratique ; ils sont destins ceux qui sintressentaux mathmatiques sans exprience de la programmation et correspondent la partie 4.Lestextesderecettesdebasedela partie 3.3 rpondent aux questions que nous nous sommesnous-mmes poses : pour illustrer tel ou tel domaine des mathmatiques, quels logicielschoisir, quels sont les outils minimums quon peut acqurir sans gros travail dapprentissagepour manipuler les objets mathmatiques?</p></li><li><p>5/22/2018 Guide Du Calcul Avec Les Logiciels Libres ( Math.facult )</p><p>Les thmes dtude de lapartie 15.2nous paraissent instructifs pour plusieurs raisons.</p><p>On peut utiliser les logiciels de calcul pour faciliter le travail dans un domaine mathmatique</p><p>que lon connat. Mais il apparat que les logiciels libres disponibles sont suffisamment richeset suffisamment documents pour quon puisse aussi dcouvrir un domaine mathmatique travers eux. La manire de penser lchange de connaissances sen trouve modifie.</p><p>Lutilisation dun logiciel pour rsoudre un problme ambitieux mne une utilisation pous-se : le logiciel libre sa puissance ; des routines sont cres, qui peuvent tre utilises dansbien dautres situations; la solution apporte fait natre dautres envies et apporte de fcondessuggestions.</p><p>Les logiciels libres publient les sources de leur programmes, ce qui leur offre diffrents avan-tages.</p><p>Le fait que tout un chacun puisse apporter des corrections est un gage de stabilit.</p><p>Le dveloppement de certains logiciels peut tre repris par de nouvelles quipes sans que lesavoir-faire ne soit perdu : cest un gage de prennit.</p><p>Leursconcepteursvisentlacompatibilitaveclesversionsantrieuresetlerespectdesnormesinformatiques. Les logiciels libres sont destins communiquer entre eux, et le fait de pouvoircumuler la puissance de plusieurs logiciels pour un projet de calcul est prcieux.</p><p>Le fait de pouvoir les dupliquer lgalement est bnfique pour le budget de ltat ou des en-treprises.</p><p>Plusieurs logiciels sont utiliss dans cet ouvrage. Nous pointons les diffrences de syntaxe ;elles ne doivent pas rebuter le nophyte car elles ont leur raison dtre, et le fait dapprendre</p><p>plusieurs logiciels de calcul en mme temps apporte un recul profitable lassimilation desrgles dutilisation. Des tableaux comparatifs sont prsents en annexe page 281.</p><p>Les logiciels libres prsents ici sont bien dans la philosophie des logiciels libres et des sys-tmes dexploitation libres de la ligne UNIX ; loppos de la stratgie commerciale des lo-giciels propritaires, les logiciels libres ne cherchent pas tout faire, mais agir dans un do-maine dtermin le plus proprement possible : ce quils font, ils...</p></li></ul>