Guide Du Calcul Avec Les Logiciels Libres ( Math.faculté )

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  • 5/22/2018 Guide Du Calcul Avec Les Logiciels Libres ( Math.facult )

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    GUIDE DU CALCUL AVEC

    LES LOGICIELS LIBRESXCAS, Scilab, Bc,

    Gp, GnuPlot, Maxima, MuPAD

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    GUIDE DU CALCUL AVECLES LOGICIELS LIBRES

    XCAS, Scilab, Bc,Gp, GnuPlot, Maxima, MuPAD

    Guillaume Connan

    Professeur agrg de mathmatiquesau lyce Jean Perrin (Rez)

    Stphane GrognetMatre de confrences lUniversit de Nantes

    et directeur de lIREM des Pays de la Loire

  • 5/22/2018 Guide Du Calcul Avec Les Logiciels Libres ( Math.facult )

    Illustration de couverture : Digital vision

    Dunod, Paris, 2008

    ISBN 978-2-10-053934-5

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    Table des matires

    INTRODUCTION 1

    1 Gnralits 1a. Public vis 1b. Organisation 1

    2 Pourquoi des logiciels libres ? 23 Liste des logiciels abords 24 Vive le calcul ! 3

    Partie I INTERFACE 5

    CHAPITRE1 : AIDE 71.1 Installer les logiciels 71.2 Obtenir de laide 7

    a. Aide en ligne de commande 7b. Aide en ligne locale 8c. Aide en ligne par internet 8d. Documentation internet 8

    1.3 Promenade avec bc 81.4 Promenade avec XCAS 9

    CHAPITRE2 : COMMUNICATION 132.1 Communiquer avec un logiciel de calcul 13

    a. criture des nombres 13b. Saisie des instructions au clavier 13c. Mise en forme des rsultats au format instruction 14

    2.2 Obtenir des sorties compatibles avec le logiciel de typographie LATEX 15a. LATEX et les calculs avec XCAS 15b. LATEX et les sorties graphiques de XCAS 18c. LATEX et GnuPlot 20d. Combiner Bc, GnuPlot et LATEX 23

    2.3 Utiliser des logiciels de calcul avec TeXmacs 262.4 Utiliser les logiciels de calcul en mode texte sous Emacs 272.5 Faire communiquer deux logiciels de calcul 29

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    a. Le copier-coller la souris 29b. Communication via des fichiers 29c. Appel linterprteur de commandes du systme (shell) 29d. Un bon outil : la gestion des chanes de caractres 30

    2.6 Programmation interactive 30

    CHAPITRE3 : LA PROGRAMM ATIO N 313.1 Avec XCAS 31

    a. Les procdures 31b. for 32c. while 33d. if 33e. Listes,ensembles et chanes 33f. Programmation en franais 36

    Pour 36tantque 36si 36

    3.2 Avec MuPAD 37a. Les procdures 37b. for 38c. while 39d. if 39e. Listes, ensembles et chanes 39

    3.3 Avec Scilab 41

    Partie II CALCUL 43CHAPITRE4 : ARITHMTIQUE 45

    4.1 Calcul en prcision arbitraire 45a. Avec Bc 45b. Avec XCAS 46c. Avec Maxima 46d. Avec gp 46e. Avec Yacas 46

    4.2 Erreurs darrondi avec GnuPlot 474.3 Changement de base avec Bc 484.4 Congruences 494.5 Nombres premiers 50

    a. Thorme des nombres premiers 50

    b. La fonction Li :xx

    2

    1

    ln tdtet les nombres premiers 52

    4.6 Nombresp-adiques 53

    CHAPITRE5 : QUATIONS 555.1 Avec XCAS 55

    vi

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    5.2 Avec MuPAD 58

    CHAPITRE6 : POLYNMES 616.1 Avec Scilab 616.2 Avec Maxima 626.3 Avec XCAS 636.4 Avec Gp 646.5 Avec Yacas 65

    CHAPITRE7 : FONCTIONS 677.1 Avec Gp 677.2 Avec Maxima 677.3 Avec XCAS 68

    a. Cas gnral 68b. Dfinir des fonction non numriques : un exemple en gomtrie en classe de

    Seconde 697.4 Avec Bc 727.5 Avec Scilab 72

    a. Cas gnral 72b. valuation en rafale 73

    7.6 Avec Yacas 737.7 Avec Octave 74

    CHAPITRE8 : ALGBRE LINAIRE 758.1 Avec Scilab 75

    a. Oprations lmentaires 75b. Rsolution dun systme dquations linaires 76c. Rduction dendomorphismes 76

    8.2 Avec Octave 778.3 Avec Maxima 778.4 Avec XCAS, au gr dactivits diverses 78

    a. Dterminer un projecteur 78b. Puissances de matrices 79c. Inverse de matrices 79d. Trouver linverse dune matrice avec la mthode de Gauss-Jordan 80e. Chanes de Markov 83f. Chiffrement de Hill 86

    Codage 87Dcodage 88

    CHAPITRE9 : GOMTRIE AFFINE 919.1 Avec Scilab 91

    a. quation de droite dans le plan 91b. quation de plan dans lespace tridimensionnel 91

    9.2 Avec XCAS 91a. Proprits gomtriques 92

    vii

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    Dans le plan 92Dans lespace 93

    b. Une activit de 2nde 959.3 Avec GnuPlot 96

    CHAPITRE10 : STATISTIQUES 9910.1 Des statistiques sans tableur... 99

    a. Le problme du Duc de Toscane 99Un peu de (petite) histoire 99Simulation de lexprience 99Simulation grande chelle 100

    b. Lancers de ds 101c. Un problme divrogne 103

    10.2 Gnrateurs alatoires 10510.3 Rgression linaire 10510.4 Statistiques 10510.5 Application 106

    a. Loi uniforme 106b. Loi normale 108c. Pile ou face 109d. Jeu de ds 110

    CHAPITRE11 : CALCU L DIFFRENT IE L 11311.1 Premiers contacts 113

    a. Avec Scilab 113b. Avec Maxima 114c. Avec XCAS 114d. Avec Gp 116e. Avec Yacas 116

    11.2 Calcul diffrentiel multidimensionnel 11611.3 Courbes 11711.4 Surfaces 11911.5 tude mtrique des surfaces 12511.6 Extrema dune fonction de R2 dans R avec XCAS 132

    a. Extremum sous contrainte et multiplicateur de Lagrange 132b. Condition ncessaire et suffisante dexistence dun extremum 135

    CHAPITRE12 : INTGRATION 13912.1 Primitives 139

    a. Avec Yacas 139b. Avec Maxima 139c. Dcomposition en lments simples 140d. Avec Scilab 142e. Avec XCAS 143f. Avec MuPAD 143

    12.2 Changement de variable et intgration par parties 144

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    a. Avec XCAS 144

    Changement de variables 144

    Intgration par parties 144Intgrale de Wallis 145b. Avec MuPAD 147

    12.3 Calcul approch dintgrales 148

    a. Mthode des rectangles avec XCAS 148

    b. Application au calcul dune approximation de avec XCAS 149

    CHAPITRE13 : DVELOPPEMENTS LIMITS 153

    13.1 Avec Yacas 15313.2 Avec Gp 15313.3 Avec Maxima 154

    13.4 Avec XCAS 154a. Gnralits 154

    b. Visualisation de lapproximation dune fonction par le polynme de Taylor 155

    CHAPITRE14 : QUATIONS DIFFRENTIELLES ORDINAIRES 157

    14.1 Avec Scilab 157a. Rsolution dune quation du premier ordre unidimensionnelle 157b. Rsolution dune quation du premier ordre multidimensionnelle 157

    c. Rsolution dune quation du deuxime ordre unidimensionnelle 160d. Rsolution dune quation dordre et de dimension quelconques 161

    14.2 Avec Octave 161

    14.3 Avec XCAS 161

    a. Rsolution exacte 161

    b. Rsolution approche 162c. Mthode dEuler : cas gnral 162d. Mthode dEuler et exponentielle : TP en Terminale S 163

    Approximation affine 163

    Subdivision 163Trac dune ligne brise 163Trac en boucle 164

    Procdure 164

    vous de jouer 165Estimation de lerreur 165

    14.4 Rsolution exacte avec Maxima 166

    14.5 Avec MuPAD 167

    CHAPITRE15 : TRANSFORME DELAPLACE 16915.1 Avec Maxima 169

    15.2 Avec XCAS 170

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    Partie III THMES 171

    THME1 : XCASAU LYCE ? 1731.1 XCAS et la gomtrie dynamique au lyce 1731.2 XCAS et les suites 1731.3 Ce que ni le tableur, ni un logiciel de gomtrie ne peuvent faire 179

    a. Preuve dun thorme 179b. Illustration graphique 182c. Bilan de cette activit 183

    1.4 Moralit... 183

    THME2 : LOGIQUE LMENTAIRE 185

    2.1 Premiers contacts 1852.2 Algbre de Boole 1852.3 Le raisonnement par labsurde 186

    THME3 : THORMES DEMNLAS ETPAPPUS 1893.1 Coordonnes barycentriques 189

    a. Une condition dalignement 189b. Une dmonstration rapide du thorme de Mnlas 190

    3.2 Problme du Monde 1923.3 Cercles de Pappus 193

    a. Approche historique 193b. Rsolution astucieuse de reprsentations paramtriques et dune inversion 196

    THME4 : SUITES ET CHAOS 1994.1 Modlisation 2004.2 Observation chiffre 2004.3 Observation graphique 2014.4 Diagramme de bifurcation 203

    THME5 : CONIQUES 205

    5.1 tude algbrique des coniques 205a. tude mathmatique au niveau Bac+1 205Premier cas :ab= 0 205second cas :ab= 0 206

    b. tude mathmatique au niveau Bac+2 208criture matricielle de lquation 208Exemple 209

    c. tude informatique 2105.2 tude analytique des coniques 211

    a. Ellipse dquation x2

    a2+y

    2

    b2= 1 211

    b. Hyperbole dquation x2a2y2b2= 1 2135.3 Ensemble des points M du plan tels queMF = eMH 2145.4 Foyer et directrice dune conique 214

    x

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    a. Cas de lellipse 214b. Cas de lhyperbole 215

    5.5 Construction de la tangente une conique 215a. Le thorme 215b. Lobservation par XCAS 215c. La preuve par XCAS 217

    5.6 Activits gomtriques sur les paraboles 218a. Trac dune parabole la rgle et au compas 218b. Pourquoi les antennes paraboliques sont-elles paraboliques ? 219

    5.7 Coniques et cnes 220a. Section dun cne par un