Guillaume VILLEMAUD - Cours de Propagation et Lignes 63- Régime sinusoïdal II. LIGNES EN REGIME SINUSOIDAL

Guillaume VILLEMAUD - Cours de Propagation et Lignes

1- Régime sinusoïdal

II. LIGNES EN REGIME SINUSOIDAL


2- Intro

II.1. Résolution de l’équationII.1.a. Introduction

On va travailler en régime harmonique, c’est à dire avec une seule fréquence fixe f.On génère donc une onde sinusoïdale en régime permanent.On peut revenir à ce modèle de base pour toute autre forme d’onde que l’on peut décomposer en série de Fourier.

v(x,t)=V(x).cos(t+v(x))

i(x,t) = I(x).cos(t+i(x))


3- Complexe

II.1. Résolution de l’équation

v(x,t)=V(x).cos(t+(x))i(x,t) = I(x).cos(t+(x))

amplitude en x fréquence et déphasage

notations complexes

propriété : v(x,t)=Real(v(x,t))

v x t V x e

i x t I x e

j t

j t

,

,

avec

V x V x e

I x I x e

j x

j x

v

i

( )

( )

jωt

séparation des termes en x et en t


II.1.b. Télégraphistes sous forme complexe

4- télégraphistes


Vx

R jL I

Ix

G jC V

1 1

1 1

2

2 1 1 1 1

2

2 1 1 1 1

V

xR jL G jC V

I

xR jL G jC I

on note : 1111 jCGjLRj

2

22V

xV

2

22I

xI

Equations variationnelles complexes :

(constante de propagation)


5- Impédance


V x V e V e

I x I e I e

ix

rx

ix

rx

Comme précédemment on obtient la somme de 2 ondes, l’onde incidente et l’onde réfléchie

VI

VI

R jLG jC

i

i

r

r

1 1

1 1

Impédance caractéristiquede la ligne

Zc

Constante de propagation 1111 jCGjLRj

Vx

R jL I

Ix

G jC V

1 1

1 1

On avait


6- onde progressive

II.1. Résolution de l’équationII.1.c. Onde progressive

est de la forme : + j

v x t V e e V e eix j t x

rx j t x, ( ) ( )

V V ei ij i V V er r

j r

v x t V e e

v x t V e e

i ix j t x

r rx j t x

i

r

,

,

( )

( )

Expression des ondes de propagation

module phase


7- module phase


)()(, xtjxr

xtjxi eeIeeItxi

ijii eII rj

rr eII

)(

)(

,

,xtjx

rr

xtjxii

r

i

eeItxi

eeItxi

Expression des ondes de propagation

module phase

De même


8- caractéristiques

II.2. Paramètres fondamentaux

)(, xtjxii eeVtxv

II.2.a. Caractéristiques de ces ondes

Soit l’onde de tension incidente

ji eV On pose de forme complexe

)cos(, xteVtxv xii

On a alors

En x donné, la tension est une fonction sinusoïdale du temps de périodicité :

2T

2

En t donné, la tension est une fonction sinusoïdale de x de périodicité :


9- vitesse de phase


Vitesse de phase : dt

dxvp

cstext Solution de :

De même, la tension réfléchie possède la même décroissance exponentielle de l’amplitude suivant x (mais ici du récepteur vers le générateur), les même périodicité en temps et en abscisse, et la même vitesse de phase mais dans le sens inverse.

Ondes progressives amorties


10- ondes progressives


Ondes progressives amorties

t0 t2ns

t4ns

amp

litu

de

arb

itra

ire

0 5 10 15 20 25 30

profondeur (m)

2


11- constante propagation

II.2. Paramètres fondamentauxII.2.b. La constante de propagation

1111 jCGjLRj

Paramètre d’affaiblissement ou atténuation en Nepers par mètre

(1dB=0.1151 Np)

Paramètre de phase exprimé en radians par mètre (1rad=57.3°)

Lignes sans pertes : 0 LC

LCvp

1


12- constantes secondaires

II.2. Paramètres fondamentauxII.2.c. Constantes secondaires

C

Gtan Tangente de pertes, pertes dans le diélectrique

L

RtanPar analogie, on définit

2tan

On trouve alors

tangente de pertes dans les conducteurs


13- sans pertes

II.3. Cas particuliersII.3.a. Ligne sans pertes

Sans pertes R=0G=0

=0=0

0

LC

LCvp

1

pas d’atténuation

x

C

LZc Impédance caractéristique


14- faibles pertes

II.3. Cas particuliersII.3.b. Ligne faibles pertes

R et G faibles et sont faibles également

LCvp

1 pas de dispersion car indépendant de

tan

tan

LC

revient à : LR CG et

on trouve alors :


15- dispersion

II.3. Cas particuliers

RcG

Rc

R

C

G

L

RLC

2

1

2

1

jXcRcL

R

C

Gj

C

LZc

21

Si G#0 (souvent le cas)LR

CLjRcZc

2

Constante de propagation

Si BF et G faible: indépendant de , donc pas de dispersion (amplitude)


16- ligne téléphonique

II.3. Cas particuliersII.3.c. Ligne téléphonique

G négligeableC importantL faible

2

LG << RC

L/R << C/G

<<

L << R

2

tan

LRLCLCLC

vp21

tan2

tan2

tantan2

tan22


17- ligne téléphonique


RCvp

22 dépendant de donc dispersion en phase

2

RC

4

j

eC

G

G

RZc

4sin

j

eG

RZc


18- ligne bifilaire

II.3. Cas particuliersII.3.d. Ligne bifilaire

D

dtan

117

r

m1065.5

2/d3D

mm2dmm5.0

2

0r

11

1131

km.µF05.0C

0km.10G

tan1C

G

1

1

Pertes actives dans le diélectrique négligeables


19- ligne bifilaire


BF :R1>>L1 HF :R1<<L1

1kHz 10kHz 100kHz 1MHz 10MHz1

10

100

1k

10k

100k

/km R1

L1

f

Paramètres primaires


20- ligne bifilaire BF

II.3. Cas particuliersLigne bifilaire en BF (fréquences vocales)

D

dtan

Paramètres primaires : m/HLLL iHF1

m/

dD2

ln

tgf2G 12

1

m/F

dD2

lnC1

m/)0f(RR MHz11 1

1 km100R

km/mH6.0L1

111 m.0G

km/µF051.0C1

R1>>L1 faibles pertes diélectriques : <<

tanφ2

tan2.

LC

1v2

p

L

R

RC

2

2tan

RC

2v2

p


21- ligne bifilaire BF


km/dBf034.0

s/kmf1570vp

Impédance :

21

4j

1

1

1

1C f17600e

C

R

jC

RZ

à 1kHz

49000km/s

1dB/km

556 (-45°)

Propagation


22- distorsion

II.3. Cas particuliersVitesse, impédance et atténuation varient avec la fréquence distorsion d’amplitude et de phase.

0.1 1 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

f(kHz)

Vitessede phase


23- étalement


f (KHz)0.1 1 10

-30

-20

-10

0Perte de gain (dB)

10km

5km

1km

0.1km

0.1 1 100

0. 1

0.2

0. 3

0. 4

0. 5

0. 6

Etalement temporel (ms)

f (KHz)0.1km

1km

5km

10km (0.03ms)


24- Heaviside

II.3. Cas particuliersCondition de Heaviside

0α2dL

dPour que soit minimum, il faut :

022

222

222

CLLR

CGCela donne la relation :

D’où l’on déduit la condition de Heaviside :

L G =R C


25- pupinisation


C

G

L

R

L

CR

LC

1v,LC p

C

LRZ CC

Problème :

C

G

L

R

Solution :augmenter artificiellement L (la self linéique)= charger la ligne tout les km

‘ pupinisation ’, Procédé Pupin (1899)


26- ligne bifilaire HF

II.3. Cas particuliersLigne bifilaire en HF (Ethernet, xDSL)

D

dtan

mHd

DL /

2ln0

1

mCG /)tan(2 1211

mF

dD

C /2

ln1

m

Dd

d

fR /

1

12

01

Paramètres primaires :

d

DZc

2ln

1 0

Zc = 100

2 à 10 /km

2 mH/km

5 nF/km

10 -5 S/km

= 1 à 5 mN/km

vp= 2.8 à 2.9. 108 m/s

Faibles pertes


27- ligne bifilaire HF


2tan1

1 2 LC

vp dépend de la fréquence, donc la

vitesse également!!!!

2tan

v

f2

p

L’affaiblissement dépend de la fréquence !!!!

La qualité de la ligne bifilaire en HF dépend surtout de la qualité du diélectrique

Conséquences : faibles pertes ohmiques, mais limite vers les HF >10kHz :

- l ’atténuation- l ’impédance caractéristique varie (ADSL => filtrage adaptatif)


28- ADSL

II.3. Cas particuliersPrincipe de la technologie ADSL :

Utiliser les fréquences inutilisées par la voix.A=asymétrique


29- DMT

II.3. Cas particuliersModulation DMT sur la bande 26kHz-1.1MHz

1) Division de la bande de fréquences en bandes de 4kHz (256).2) Chaque sous-bande =4000 canaux de 1Hz.3) Chaque canal code jusqu’à 8 bits (256 niveaux)

1

2

3

4

5

-1

0

1


30- portée ADSL

II.3. Cas particuliersConclusion

Adapter le nombre de bit par canal en fonction

-de l’affaiblissement (donc de la distance parcourue)

exemples ADSL 1: - 6km 1,5 Mb/s- 4.8km 2,0 Mb/s- 4km 6,3 Mb/s- 3km 8,5 Mb/s

-du bruit tenir compte des parasites dus aux ondes


31- ligne coaxiale

II.3. Cas particuliersII.3.e. Ligne coaxiale

mHd

dL /ln

2 1

201

mdd

tgfG /

ln

4 1

1

2

21

mF

dd

C /

ln

2

1

2

1

mdd

fR /

11

21

01

10 à 70 /km

280 H/km

50 nF/km

10 -5 S/km

1

2ln2

1

d

dZc

GZcZc

R

2

1

Faibles pertes


32- ligne coaxiale


100 1 10 100 1 10 100

1

10

102

103

104

105

106

f

/k

m

MHzkHzHz

L1

R1

Variation des pertes électriques avec la fréquence


33- ligne coaxiale

II.3. Cas particuliersHypothèse des faibles pertes

1

11

1

11 C

LG

L

CR

2

1

11

pCL

1v

1

1

1

1

1

1C

1

1C

L

R

C

G

C

L

2

1X

C

LR

Zc

11CL

On note 0=c0/f

0

r2

r

0

r

0gp

cvv

Si l’hypothèse des faibles pertes est vérifiée, la ligne coaxialeest exempte de distorsion de phase.


34- ligne coaxiale


0

1

221

tgf

dd

ln

1

d

1

d

1f

cd

À minimiser en choisissant d1 et d2

Affaiblissement

1 2 3 4 5 61

1.4

1.8

2.2

2.6 Minimisation de c d2/d1=3,6

d2/d1


35- télévision

II.3. Cas particuliersExemple de la télévision

Zr Zc=50

d2=9.5d1=2.6

r=2.3

Zc=75

r=1


36- vitesse de groupe


cos(2fi t +)

modulation

fi0 f-fi f0 0 f0-f f0+f

V t V t eij t

0 00( ) cos ( )

II.3.f. Vitesse de groupe


37- vitesse de groupe

II.3. Cas particuliersPropagation de la porteuse modulée par une sinusoïde

notons : i et

L’équation de propagation de l’onde est donnée par :

v x t V e t x ex j t x, cos ( ) 0

0 0

vitesse de phase :

vitesse de groupe :

vp

0

0

v g


38- modulation

II.3. Cas particuliersSignification de la vitesse de groupe

paquet d’ondes se déplaçantà la vitesse / .

onde se déplaçant àla vitesse

1 noeud est tel que V=I=0 (pas de transfert d’énergie possible)

l’énergie se déplace avec la vitesse de l’enveloppevg= vitesse de propagation de l’énergie

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