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Physique
MECANIQUE DU SOLIDE EXERCICE DORAL
-EXERCICE 17.6-
ENONCE :
Incrustation dun projectile dans une barre oscillante
Oz
AP
2L
0v!
Une barre (longueur 2L, masse M) peut osciller sansfrottements
autour de l'axe Oz, tout en restant dansun mme plan
vertical.Initialement, la barre est verticale et immobile.Un
projectile P (assimil un point matriel de massem) est anim d'une
vitesse perpendiculaire OA; t=0, il vient "s'incruster" dans la
barre au niveau del'extrmit A: il devient alors solidaire de
celle-ci.
Dterminer langle maximal que fera la barre avec la verticale (on
distinguera 2 cas en fonction de la vitesse initiale 0 0 xv v
e=
! !).
On donne : 24
3MLJ = = moment dinertie de la barre par rapport laxe Oz.
Rq : on notera bien qu t=0, le choc entre les 2 objets nest pas
lastique.
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MECANIQUE DU SOLIDE EXERCICE DORAL
CORRIGE :
Incrustation dun projectile dans une barre oscillante
1) Analyse du problme :
A partir de 0t += , le mouvement est une rotation pure, un seul
degr de libert, avec une vitesse de rotation note 0 (0 )
+= nous choisirons un thorme nergtique (prfr au
TMC, car il ne fera intervenir quune drive premire de langle );
la liaison en O tant parfaite, il suffira de prendre en compte le
poids, qui est une force conservative nous utiliserons la
conservation de lnergie mcanique.
Deux cas peuvent se produire :
si la vitesse 0 est suffisante, le mouvement ultrieur sera
rvolutif et langle maximal
vaudra (en valeur absolue).
en-dessous dun certain seuil pour 0 , le mouvement sera
oscillant (et harmonique
pour les petites oscillations, mais ceci nest pas demand ici),
avec : M . Entre 0 et 0 + , il ny a pas conservation de lnergie
mcanique, le choc tant mou ; on ne peut envisager la conservation
de la quantit de mouvement, car la force exerce par laxe Oz, autour
duquel est articule la barre, pour retenir cette dernire nest pas
connue (elle dpend de la manire dont sincruste le projectile).
En revanche, la liaison tant sans frottements, cela signifie en
particulier que le moment des forces de contact au niveau de laxe,
projet sur cet axe, est NUL ; t=0, le poids passant par laxe Oz,
son moment sera galement nul : lapplication du TMC entre 0 et 0 +
conduit la conservation du moment cintique scalaire.
2) Rsolution du problme :
0t = , seul le projectile est en mouvement 0 0(0 ) ( ) 2z zOP mv
e mLv
= =###! ! !
0t += : 20 0 0(0 ) [ (2 ) ] 4 ( ) (0 )3z x z zMJ OA m L e e L m
+ = + = + =
###! ! ! 00
33 2
vmm M L
= +
Energie cintique : 2 2 2 21 1( ) (2 ) 2 ( ) ( )2 2 3C
ME J t m L L m t = + = + (avec : ( ) ( )t t =i
)
Energie potentielle : (1 cos ) 2 (1 cos ) ( 2 ) (1 cos )PE MgL
mgL M m gL = + = + (lorigine est prise en 0 = ; pour la barre, cest
la position du centre dinertie qui intervient)
2 2 2 202 ( ) 2 ( ) ( ) ( 2 ) (1 cos )3 3mca C PM ME E E cste L
m L m t M m gL = + = = + = + + + ; alors :
2 20
2( ) (1 cos )2( / 3)
m M gtm M L
+= +
Le mouvement est pendulaire si M (dfini par 0 = ) existe; il
vient donc : 202( / 3)cos 1
2MLm M
m M g +=
+ ou bien :
220cos 1
2(2 )( / 3)Mvm
m M m M gL =
+ +
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M est dfini si : 1 cos 1M 2201 1
2(2 )( / 3)vm
m M m M gL
+ + ; pour cela, il faut que 0v
soit infrieure une valeur seuil, note 0Sv , telle que :
0 2
(2 )( / 3)2Sm M m Mv gL
m+ +
=
Rq : pour 0 0Sv v% , le mouvement du systme pour 0t est donc
rvolutif.
