MATHEMATIQUES

LA FONCTION LOGARITHME

LA FONCTION EXPONENTIELLE

DERIVE DUNE FONCTION DUNE ou de PLUSIEURSVARIABLES

INTGRATION DES FONCTIONS DUNE VARIABLE

EQUATION DIFFRENTIELLE DU PREMIER ORDRE

PROGRAMME DU COURS:

La mesure de laudition fait appel au dcibel,

qui est reli la fonction logarithme.

La fonction exponentielle

Soit f(x)=ax (a > 0 ; x,a ! R)

Proprits :

(ap)

q=a

p.q

ap

. aq=a

p+q

ap/ a

q= a

p-q

1/ ap= a

-p

y=2x

Exemples :(e5)2= e10e5.e2=e5+2=e7

!

e5

e2

= e(5"2)

= e3

En particulier, si a= e=2,71 828

f(x)=ex fonction exponentielle

e0=1

ex > 0 x ! R

ex

est strictement croissant sur R.

y=ex

La fonction logarithme : f(x) = logax ! x = a

f(x)

Proprits : loga a = 1 loga (x1.x2) = loga x1 + loga x2 loga x

n= n loga x

En particulier : logarithme nperien f(x) = loge x = ln x ! x = e

f(x)

y=log10x

eln x

= x

ln(ex) = x

ln e = 1 et ln 1=0

ln (x.z) = ln x + ln z

ln (1 /x) = - ln x

ln (x/z) = ln x ln z

ln xn = n ln x

Deux fonctions logarithmiques ne diffrent que

dune constante prs.

logb x =k loga x avec k=1/loga b

Ainsi :

ln x = (1/log10 e). log10 x = 2,3026 log10 x

log10 x = 0,4343 ln x

!

ln(e5 sin30) = lne5 + ln sin30

= 5+ ln0.5 = 5+ ("0,69) = 4,307

lnx

n

e2x

= ln xn " ln e2x = n ln x " 2x

Souvent on caractrise le rapport a/b en donnant la valeur de son logarithme dcimal.p= log10(a/b) On dit : a et b diffrent de p bels.

Dire que a et b (a>b) diffrent de n dcibels est synonyme de n=10 log10(a/b)

Par exemple, si les intensits de deux sons diffrent de 3 dcibels,lun deux est deux fois plus intense que lautre car n=10 log10(a/b) = 3 a/b=2 car 10 log10(2) =10 x 0,30103 3

Drive dune fonction dune ou plusieursvariables

Exemples de lutilisation de la drive : vitesse, taux de variation, capacitcalorifique

Les phnomnes physiques, chimiques ou biologiques font intervenir des grandeurs qui dpendent, en gnrale, de plusieurs variables.

U(p,V)v(x,y), v(x,y,z)

On peut, pour commencer, se limiter aux cas des fonctions dune seule variable - cas simple-On sy ramne en fixant toutes les variables sauf une (ex. v(x,y,z) y=y0 et z=z0)

Fonctions dune variable :

Soit f une fonction dfinie et continue en un point

x0 ! D, domaine dexistence de la fonction, on

appelle drive de la fonction en ce point la limite

si elle existe et est unique, note f(x), telle que

!

f '(x0) = limf (x0 + "x) # f (x0)

"x

"x$ 0

La drive au point x0 est gale la pente de ladroite tangente de la courbe ( C ) en x0.

f (x0) = tan

x0

y0

(C )

x

y

!

f '(x0) = limf (x0 + "x) # f (x0)

"x

"x$ 0

Oprations sur les fonctions drivables.

Soient u et v deux fonctions drivables :

(u + v) = u + v

(ku) = k u (k, une constante ! R)

(u.v) = u.v+v.u

(u/v) = (u.v-v.u)/v2

Tableau des drives usuelles :

Fonction : Drive :

un n ! Z n u

n-1 u

sin u cos u. u

cos u - sin u. u

tan u 1/cos2u . u

ln|u| 1/|u| . u

eau

a .eau

.u (a une constante ! R)

au

au ln a . u

loga u u / (u ln a)

Application : Soit un corps dcrivant une

trajectoire donne par lquation horaire

x(t)= 6 t2

+ 8 t + 4 (m)

la vitesse v =x= 12 t + 8 (ms-1

)

lacclration a = v= 12 (ms-2

)

Exercice :

!

f ( x) =3x2 + 4

5x3 + 2

Calculer f(x)

Drives dordre suprieur

Si f est drivable, on dfinit, quand elle existe, ladrive seconde de f, note

!

f "=df '

dx=d2f

dx2

De mme, la drive troisime: f, f(4) et,la drive nime dnote f(n)

Exemple :Lacclration a est la drive seconde du dplacement

!

a =dv

dt=d

dt

dx

dt

"

# $

%

& ' =

d2x

dt2

Les intgrales

Permet le calcul daire, de volume, calcul de la

masse, du moment dinertie, calcul de

probabilits, desprance, etc.

On appelle F(x) primitive de f(x) si F(x) = f(x)

a b

f(x)

x

y

0

!

S = f ( x)dxa

b

" = F(x)[ ]a

b

= F(b) # F(a)

Tableau des primitives des fonctions usuelles

Fonction Primitive

xm

1/ (m+1) xm+1

m ! R m " -1

1/#x 2# x

sin x - cos x

cos x sin x

1/cos2x tan x

!

1

cos2 x" dx = tan x +C

car ( tan x)' =1

cos2 x

Proprits de lintgrale dfinie

!

f (x) + g( x)[ ]a

b

" dx = f ( x)dx + g( x)dxa

b

"a

b

"

#f (x)dx = #a

b

" f ( x)dx # = constantea

b

"

f ( x)dx = $ f (x)dxb

a

"a

b

"

f ( x)dx = f ( x)dx + f ( x)dxc

b

"a

c

"a

b

"

Si f admet une primitive F, alors, toutes les

primitives de f sont de la forme F+C,

C est une constante

Si F est une primitive de f, alors

Mthodes usuelles dintgration

1) Changement de variable

2) Intgration par parties

!

f ( x)dx = F(b) " F(a)a

b

#

!

I = f ( x)dx"x =#(u)$ dx =# '(u)du

f ( x)dx % f (u)#'(u)du

I = f (u)" # '(u)du = g(u)du = G u(x)[ ]" + C

1 - Intgration par changement de variable

!

I =dx

1" 3x#

Exemple : Calculer

2 - Intgration par parties

!

udv = u.v" vdu##

udv = u.va

b

"a

b

# v.dua

b

#

Exemple : Calculer

!

I = xexdx"

Equations diffrentielles du premier ordre

F(x, y, y )=0 est une quation diffrentielle de

premier ordre.

Cest une relation entre une fonction, sa drive et

la variable. Nous cherchons y=f(x) satisfaisant

lquation.

En gnral, lquation F(x, y, y, y, ., y(n)

) = 0

est une quation diffrentielle dordre n car lordre

de lquation diffrentielle correspond lordre

maximum de drivation.

Rsolution des quations diffrentielles

de premier ordre

1) Equation diffrentielle variables

spares

!

dy

dx=

f (x)

g( y)

g( y)dy = f (x)dx

g( y)dy = f (x)dx""

!

y'+y sin x = 0

y'= "y sin x

dy

dx= "y sin x #

dy

y= " sin xdx

dy

y$ = " sin xdx # ln y$ = cosx+ K

lnC = K

ln y = cosx+ lnC # ln y " lnC = cosx

lny

C= cosx

y

C= e

cos x y = Ce

cos x

Exemple

Vrification

Si y=Cecosx Calculons y+ysinx

y=Cecosx(-sinx)

y+y sinx= Cecosx(-sinx)+Cecosx sinx=Cecosx (-sinx+sinx)=0

Donc,la solution de lquation diffrentiel de premier ordrey+ysinx =0 est bien:y=Cecosx

en intgrant les deux membres de lquation

!

dn

n= Kdt

ln n = Kt + ln C

ln n " lnC = Kt

!

lnn

C= Kt # n(t ) = CeKt

Soit n0 le nombre de microbes au temps t=0

!

n(t ) = n0eKt

Quel tait le nombre de microbes au dpart n0

(t=0) sachant quil y en a 6400 microbes au

bout de 5 heures ?

!

t = 5 n = 6400

n = n0(e5K

) = n0(eK

)5

= n025

= 6400

n0 =6400

25= 200

!

n(t ) = 200eKt avec eK = 2

2) Mthode de la variation de la constante.

Soit y+A(x)y=B(x) (1 )

La solution de lquation sans second membre

y+A(x)y = 0 ( 2 )

est : y=C e-Ax

(cf. rsolution de lquation diffrentiel de premier ordre variables spares)

y=C e-Ax vrifie lquation (2)

Variation de la constante

Si C est une fonction de x alors ; en posant f(x)=e-Ax

,

cherchons une solution sous la forme

y=C(x)f(x) , en drivant il vient

y=C(x).f(x) + C(x).f(x)

en remplaant y et y dans lquation (1)

(y+A(x)y=B(x))

nous obtenons :

C(x).f(x) + C(x).f(x) + A(x).C(x).f(x) = B(x)

Mais C(x).f(x) + A(x).C(x).f(x) =

C(x)(f(x)+A(x).f(x))=0

car f est une solution de lquation (2) ( y+A(x)y = 0)

C(x).f(x) =B(x)

!

dC(x)

dx=

B(x)

f (x)

C( x) =B(x)

f (x)dx + K = D( x) + K"

en reemplaant dans y = C(x)f(x)

y = f ( x) D(x) + K[ ]

y est solution de lquation (1)

y+A(x)y=B(x)

Exemples : y - y = x y=-(x+1)+Kex

xy+y=1/(1+x) y=K/x+(ln|1+x|)/x

Formules de trigonomtrie