Inéquations d'evolution paraboliques avec convexes dépendant du temps. Applications aux inéquations quasi-variationnelles d'evolution

Indquations d'Evolution Paraboliques avec Convexes d pendant du Temps. Applications

aux Indquations Quasi-Variationnelles d'Evolution

F. MIGNOT & J. P. PUEL

M~rnoire prOsentd par J.L. LIONS

Table des Mati6res

I. l n~qua t ions Var ia t ionne l les Pa rabo l iques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 1.1. Exis tence d 'une Solut ion M a x i m u m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 1.2. Quelques Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 1.3. Quelques Propri6t6s des Solu t ions M a x i m u m . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 1.4. Quelques Extens ions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

II. In6qua t ions Quas i -Var ia t ionne l l e s d ' t~volut ion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 2.1. Exis tence d 'une Solut ion M a x i m u m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 2.2. Cas des In6qua t ions Quas i -Var ia t ionne l l es avec Con t ra in t e s sur le Bord . . . . . . . 84 2.3. Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 2.4. Que lques C o m p l e m e n t s : Unici t6 et sch6mas it6ratifs m o n o t o n e s . . . . . . . . . . 87

Nous allons 6tablir ici un r6sultat d'existence d'une plus grande solution faible (que nous appellerons solution maximum pour simplifier) pour certaines in6quations d'6volution paraboliques d'ordre 2.

Les contraintes que nous consid6rerons seront unilat6rales, d6pendant du temps (c'est-/t-dire que les ensembles convexes associ6s aux in6quations seront du type {v, v__< @}, off ~b sera une fonction du temps t donn6e). Pour de tels probl6mes, l'existence d'une solution faible a 6t6 prouv6e de mani6re tr6s g6n6rale, dans BREZIS [1] et LIONS [-1] par exemple. Dans le cas o6 les contraintes d6pendent du temps de mani~re assez r6guli6re, l'existence (et la r6gularit6) d'une solution forte, ainsi que l'unicit6 des solutions faibles, sont 6tudi6es dans BREZIS [-2]. D'autres r6sultats peuvent ~tre trouv6s dans BIROLI [1]. Dans le cas de contraintes qui d6pendent du temps de mani6re non r6guli6re (ou peu r6guli6re), cas qui nous int6resse, il n'y a en g6n6ral ni unicit6 des solutions faibles, ni existence d'une solution forte, comme le montrent des exemples simples; Fun d'entre eux sera expos6 plus loin.

Dans le cas d'ensembles convexes du type {v,v=<@}, nous allons montrer l'existence d'une solution maximum qui sera de plus la limite (d6croissante) des << approximations)> obtenues par p6nalisation, elles-mSmes fonctions r6guli6res du temps. Ceci permettra de donner quelques propri6t6s des solutions maximum, en particulier des propridt6s de r6gularit6 faible (r6gularit6 L ~ ou C~ ainsi que des propri6t6s de localisation.

Nous proposerons ensuite quelques extensions et nous traiterons de mani6re pr6cise quelques exemples.

60 F. MIGNOT & J. P. PUEL

La mot iva t ion essentielle de ce travail a 6t6 fournie par l 'appl icat ion que nous donnons de ce r6sultat aux in6quations quasi-variat ionnelles d '6volut ion paraboliques. Pour celles-ci, introduites par BENSOUSSAN&LIONS [1], nous mont rons , sous r6serve d'existence d 'une << sous-solution>> et d 'une << sur-solut ion >>, l 'existence d 'une solution faible max imum, dans un cadre g6n6ral, en nous inspirant du travail de TAgTAR [ 1] sur les in6quations quasi-variat ionnel les elliptiques. Nous pr6cisons ensuite le cas plus part iculier d ' in6quat ions quasi-variat ionnelles 6tudi6es dans BENSOUSSAN & LIONS, avant de traiter quelques exemples.

Ce travail d6veloppe et compl6te les r6sultats annonc6s dans MIGNOT & PUEL I-1].

I. In&luations Variationnelles Paraboliques Soit H un espace de Hilber t r6el de produi t scalaire ( . , . ) et de norme ].1.

On suppose que H est ordonn6 par un c6ne convexe C (servant de c6ne positif) qui v6rifie

C = { u ; u~H,(u,v)>O, Vv~C}.

Si u~H, on d6signe par u + la project ion de u sur C et on d6finit u - = ( - u ) +. Nous avons alors u=u + - u - , avec (u +, u - ) =0 .

Soit V un espace de Hilber t muni de la no rme [I. I[. On suppose que P--~H avec injection continue, et que V e s t dense dans H. Nous avons alors V~--*H- H'~--* V'. La no rme dans V' sera not6e II. IP,, et ( . , .) ddsignera 6galement la dualit6 (v', v).

Si u6 V, on suppose que u+~ V e t que l 'appl icat ion u ~ u + est cont inue de V dans V.

Exemples 1.1. (1) Nous pouvons prendre H = I R " . (2) Si f2 est un ouvert de IR", si H = L 2 ( O ) et C = {u; ud_?(O), u(x)>O p.p. dans

f2}, les hypoth6ses sur H sont encore v6rifi6es. Nous pour rons alors choisir c o m m e espace V, par exemple,

(i) 1/1 = H i (O); (ii) V 2 = H 1 (f2);

(iii) V 3 = {v; v~Hl(O), v/F o =0} ,

off Fo est une part ie assez r6guli6re de la f ron t i6re /" (suppos6e r6guli6re) de f2. (3) Nous pouvons 6galement prendre c o m m e espace H l 'espace (L2(f2)) u.

Si u = (ul)i_ 1 ..... u, u > 06qu ivau t ~ ul > 0 pour i = 1 . . . . . N. Nous prendrons c o m m e espace V l 'un des espaces (1/1) N, (V2) N, (V3) u, off V 1, V 2, V 3 sont d6finis c o m m e dans l 'exemple pr6c6dent.

Si T > 0 , soit main tenant pour presque tout t~(0, T), une forme bilin6aire a(t, , , . ) d6finie sur V x V telle que, pour tout (u, v) e V x V, la fonction t ~ a(t, u, v) soit mesurable , et qui v6rifie

(1.1) 3 M > O , V ( u , v ) ~ V x V o n a la(t,u,v)l<mllullllvll p.p. s u r ( 0 , T),

(1.2) 3 ~ > 0 , 3 2 > 0 , Vv~V o n a a(t,v,v)>~llvl[2-Xlvl 2 p.p. s u r ( 0 , T),

(1.3) VvEV o n a a(t,v+,v-)<O p.p. sur (0, T).

Nous pouvons associer ~ la forme a (t . . . . ) un op6rateur A (t) lin6aire cont inu de V dans V'.

In6quations d'Evolution Paraboliques 61

Dans la suite, pour simplifier l '6criture nous noterons

a(t . . . . ) = a ( . , . ) , A(t)=A.

Pour presque tout t~(0, T), soit K(t) un ensemble convexe ferm6 non vide de V. Nous supposerons

(1.4) 3vo~L2(O,T;V),O~-~~ et Vo(t)~K(t ) p.p. sur (0, T),

et nous noterons alors

K={v; v~L2(0, T; V), v(t)~K(t)p.p, sur (0, T)},

et ~/" = {V ; ~V 2 Vt)}. v ~ K , ~ I z (0, T;

Nous pouvons maintenant formuler l ' in6quation variationnelle <( faible >) suivante*: Si feL2(O, T; V') et uoeH, nous cherchons ueK telle que pour tout v ~ f f ,

(1.5) ~ ( ~ t , v - u ) dt+ ~ a(u, v - u ) d r - f ( f , v - u ) d t + ~ [v(0)-Uo,2 > 0 . 0 0 0

Nous allons montrer , au moyen d 'un exemple simple, qu'il n'y a pas, en g6n6ral, unicit6 pour les probl~mes du type (1.5).

Exemple 1.2. Prenons H = V = I R et a(u ,v)=u.v , f=O, Uo=0, T = 2 . Soit

0 si 0 _ < t < l , ~(t)=

- 1 si l < t < _ 2 ,

et K(t)={v; vEIR, v__<$(t)}. Le prob16me s'6crit alors: Chercher u~L2(0,2), u __< $, telle que

2 (v'+u)(v-u)dt+�89 2>0, Vv~HI(O, 2),v<-~.

0

Mont rons que u 1 = $ est une solution. Sur ]0, 1[, nous avons $ ' + $ = 0 , et sur ]1 ,2[ , nous avons $ '+$_-<0, avec $ - ( 1 ) = 0 et $ + ( 1 ) = - 1 . Par suite 2 1 2 (v' + ~)(v -- ~b) dt + �89 [v(0)] 2 = ~ (~b' + ~b)(v - ~b) dt + ~ (~b' + ~b)(v - ~b)d t

0 0 1 1 2

+ ~ (v'-- ~')(v - ~b)dt + ~ (v ' - ~b')(v - ~)dt + �89 0 1

> �89 [(v - ~ - )(1)] 2 _ �89 [(v - ~)(0)] 2 + �89 [(v - ~b)(2)] 2

- 1 [ ( v - $ +)(I)] 2 +�89 I v ( 0 ) ] 2

=>�89 Iv(l)3 2 --�89 I v ( l ) + 1] 2 _-> O,

car si v~Hl(O, 2) et v__<~b, on a v(1)=< - 1.

* Ceci correspond ~t une formulation affaiblie du probl6me: chercher u s K telle que

i _ V v E K ; et u(0)=u o. o

Si V=Hol(O) par exemble, et si K = {v; veL2(O,r; V), v<=O}, off 0eL2(0,r; L2(O)), ce probl6me s'inter- or6te formellement par

- - + A u - f < O ; u-~b<0; (u-~b)=O ~t

u(O)=uo, Ulz=O, off Z=]O, T[xO0.


Soit maintenant 0 si 0 < t < l ,

uz(t)=-2e (1-~ si l _< t_< l + log 2,

- 1 si 1 +log 2_<t_<2.

Montrons que u ze s t 6galement une solution. Sur ]0, 1[ et sur ]1, l + L o g 2 [ , , , < nous avons Uz+U2=0, et sur ]1+10g2,2[ nous avons u2+u2_0 . Posons to=

1 + Log 2. Nous avons alors

u- (1) =0; u + (1)= - 2 ; u- (to)= u + (to)= - 1; 2 1 to

(v' + uz) (V- Uz) gt + �89 [v(0)] z = ~. (u'2 + Uz) (V - Uz) dt + [. (u'= + Uz) (V- Uz) gt o o 1

2

+ j" (u~ + u2)(v - u2) dt + �89 Iv (0)] 2 t o

+�89 [(v - u ; ) 2 (1 ) - (v -uz ) z (0)3 + 3 [(v - u~)2 (to)_ (v - uf) = (1)]

+3 [ (v- u2) 2 (2)- (v - u~-) = (to)]

>3 Iv (0)] 2 +3 [(v - u ~ ) 2 (1)

- ( v - u z ) z (0 ) ] - 3 ( v - u~-) z (1)

>3 [ v2 (1)- (v (1) + 2) z]

> - 2 v ( 1 ) - 2 > 0 ,

car v (1) < - 1, puisque v e H 1 (0, 2) et v < ~O. Done u, et u z sont solutions de l'in6qua- tion faible. On peut de m~me exhiber d'autres solutions de ce m~me probl6me, sugg6r6es par la figure ei-apr4s.

-1

-2

~d, U I / 1 t o 2

t

~ U 1

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i x / i / / / ~ Qutre / /

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Fig. 1

solution possible

In+quations d'Evolution Paraboliques 63

Nous allons maintenant faire des hypoth6ses plus pr6cises sur la famille K(t), hypotheses sous lesquelles nous allons montrer l'existenee d'une solution maximum du probl6me (1.5). Nous supposerons

V v ~ f f et VO6L2(O,T;V) telque ~-6L2(O,T;V'), ot

(1.6) 0 > 0 on a v-O~;g';

(1.7) il existe un op6rateur de p6nalisation /3 (dont la d6finition est rappel6e ci-dessous) associ6 ~ K, tel que

Vu6L2(0, T; V) on a /3(u)(t)=/3t(u(t)) p.p. sur (0, T),

off/3t est un op&ateur de p6nalisation associ6 ~ K(t) dans V;

(1.8) Vu~V on a flt(u)>>_O p.p. sur (0, T) (au sens de V');

(1.9) Vu, vEV o n a (/3,(u)-fl,(v),(u-v)+)>O p.p. sur (0, T).

Remarque 1. (1) Un op6rateur de p6nalisation associ6 ~ K est un op6rateur fl de L2(0, T; V) dans L2(0, T; V'), monotone, born6, h6micontinu, tel que

K= {v; wL2(O, T; V), /3(v)=0}.

On sait (c.f. LIONS [1]) qu'un tel op6rateur existe, de mSme qu'il existe des op6ra- teurs de p6nalisation/3t associ6s/t K(t) (ceci ne supprimant pas la n6cessit6 de l'hypoth6se (1.7)).

(2) S i r est une fonction mesurable sur (0, T) ~ valeurs dans H telle que

vo6L2(O, T; V), ~ t 6L2(O, T; V'), Vo(t ) < qJ(t) p.p. sur (0, T), 3

et si K(t) = {v; v ~ V, v < r les hypoth6ses (1.4), (1.6), (1.7), (1.8), (1.9) sont v6rifi6es, en prenant par exemple/3t (u)=(u-r

I1 est ~ remarquer que (sans autre hypoth6se sur q/) t ~/3,(u) est un 616ment de L2(0, T; H) si u~L2(0, T; H).

1.1. Existence d'une Solution Maximum

Proposition 1.1. Pour tout e>O, il existe un unique u~6L2(O, T; V) avec

~U~ 2 ~-[ d_: (0, T; V'),

solution de l'dquation (appelde ~<dquation de pdnalisatiomO suivante:

(1.10) ~u~ + St ~- Au~ + /3(u3=f, u~(O)=uo.

D6monstration. (1) On peut se ramener au cas off 2 = 0 dans (1.2). En effet, si 2 ~= 0, posons u~ = e at U~. On a alors

OU~+AU,+2U~+e-atfl(eatU,)=fe-at, u~(0)=u o. 0t

En posant/~(U) = e-at/3(eXt U), ~ poss6de les m6mes propri6t6s que/3.

64 F. MIGNOT 8~; J. P. PUEL

(2) Si 2 = 0 dans (1.2), l'op6rateur u ~ A u + l f l ( u ) est monotone, born6, 8

h6micontinu, et coercif, de/,2(0, T; V) dans L2(0, T; V'). Alors, d'apr6s un th6or6me d'existence pour des 6quations d'4volution abstraites de LIONS [1] (par exemple le Th6or6me 7.1, p. 232 et Applications I), il existe U~ solution unique de (1.10).

P r o p o s i t i o n 1.2. La solution u~ de (i.10) v&ifie les propridtds suivantes : (i) Sie a < 8 2 alors u~, < u~; (ii) u, reste dans un ensemble bornO (ind~pendant de e) de I~(0, T; V)c~L~ T; H);

T

(iii) ~ (fl(G), u~)dt ~ 0 si 8 --*0; 0 T

(iv) VveL2(O,T; V) on a y(fl(u~),v)dt ~O si e--*O. o

D 6 m o n s t r a t i o n . (1) Pour les deux premi6res propri6t6s (i) et (ii), on peut se ramener au cas off 2 = 0 dans (1.2) car

u~,_-<u~2o G,_-< G2,

et u~ reste born4 dans L2(0, T;V)c~L~ T; H) si et seulement si U~ reste born6 dans L2(0, T; V)~L~(0, T; H).

(2) Si 2 = 0 dans (1.2) et si 81 <82, on a

~ (u~,- u j + A(u~,-u~2) + l f l (u~ , ) - l fl(u~2)=O

et (u, , - u ~ ) (0) = 0.

Multiplions cette 4quation par ( u ~ , - u J + ; on obtient, d'aprhs (1.2) et (1.3),

T 1 r uO+ dt +T, !

T

+% -~) ~ (~(u O, (.~,- u~)+) dt__<O. 81 82 0

D'apr6s (1.8) et (1.9) on a (U~l--G2) + =0, d'ofi Gl<=u~2. Multiplions maintenant l'6quation (1.10) par (u~-Vo), off v o est donn6 par (1.4). I1 vient, puisque/g(Vo)= 0,

o 8t (u~-v~176 tit+ o['a(u~-v~176176176

0

Comme ]/ est monotone, nous voyons que (u,-Vo), et donc u,, restent born4s dans U(0, T; V)c~L~ T; H).

(3) Montrons maintenant (iii) et (iv). Multiplions (1.10) par u,. I1 vient

1 r r r 1 7 ~ (fl(u,),u,)dt= y (f, u~) d t - y a(u,, u,) d t - 2 [ue(T)12 q-2 [u~

0 0

InSquat ions d ' Evo lu t i o n Parabol iques 65

En multipliant cette 6galit6 par e, et en utilisant le fait que u~ reste born6 dans L2(0, T; V)nL~ T; H), on voit que

T

(fl(u~), u~) dt -~ 0 si e ~ 0. 0

Ol) 2 Si v~L2(0, T; V) avec ~-~/~ (0, T; V'), en multipliant (1.10) par ev et en int6grant

par parties, on voit que T

( f l (u~) ,v)d t~O si e ~ 0 . 0

Si maintenant v~L2(0, T; V), on approche v par une suite v.~L2(0, T; V) avec

~Vn 2 ~I~ (0, T; V'); comme fl(u~) est born6 dans L2(0, T; V') (car fl est un op6rateur

born6, et u~ est born6 dans L2(0, T; V)), on mont re que

T

(fl(u~), v) dt -~ 0 si e ~ 0. o

Th6or~me 1.1. S ie ~ O, nous avons

et

u~ ~ ~ dans L2(0, T; V) faible,

u ~ - ~ dans L2(0, T;H) for t ,

off ~ est solution du probl~me (1.5).

D6monstration. D'apr6s la Proposi t ion 1.2, on sait qu'il existe ~eL2(0, T; V), et une ttsous suite)~ extraite de la ~suite~ u~, qui converge vers fi dans L2(0, T; V) faible s ie ~ 0.

Comme e 1 < ~2 implique u~, < u~2, d'apr6s les propri6t6s du c6ne positif de H, on a u~ ~ fi dans L2(0, T; H) fort s ie ~ 0; de plus toute la t~suite~ u~ converge vers dans L2(0, T; V) faible s ie ~ 0.

Mont rons que t icK. D'apr6s la mono ton ie de fl, on a

T

(fl(u~)- fl(v), u~- v) dt >= O o

pour tout vsLa(O, T; V), et, d'apr6s (iii) et (iv) de la Proposi t ion 1.2,

T

(fl(u~), u~- v) dt ~ 0 si e ~ 0. o

Donc, en passant ~ la limite en e, on obtient

T

(fl(v), f i -v)dt<=O pour tout wL2(O, T; V). o

Si w ~ L 2 (0, T; V), prenons v = 0 + # w dans l'in6galit6 pr6c6dente (avec u > 0). Alors

T

+ at o. 0

66 F. MIGNOT & J. P. PU~L

En divisant par # et en faisant tendre # vers 0, d'apr& l'h6micontinuit6 de fl, on obtient

T

S (fl(u), w) d t > 0 pour tout w ~ L 2 (0, T; V). o

Donc/~(fi)=0 et fi~K. Si maintenant v ~,~, multiplions (1.10) par ( v - u,). Puisque/~(v) = 0, il vient

T 1 T i ~ o \~3t ' o

Donc

T

= S (f, v - u , ) ,it. 0

i ~V T o ( ~ , v - - u ~ ) d t + ![a(u, , v -u~)+ 2(u~,v-ue) ] dt

+ Iv(O)-uol2-2f(u,,v-u,)dt>=[.(f,v-u,)dt. 0 0

Nous pouvons maintenant passer /l la limite quand ~ ~ O; on utilise la semi- continuit~ inf~rieure pour la topologie faible de L2(O, T; V) de

T

v ~ ~ [a(v, 0 + 2 Ivl z] dt, 0

et le fait que u~ ~ f i dans Lz(0, T; H) fort quand e-o0.I1 en r&ulte que fi~K et, pour tout v~X,

o - ~ , v - f i d t + f a ( ~ , v - ~ ) d t + ~ l v ( O ) - u o l 2 > S ( f , v - f i ) d t . 0 0

Par suite fi est bien solution de (1.5).

Th~or~me 1.2. Pour tout u solution de (1.5), on a u<u, , pour tout e>0.

Admettons pour l'instant le Th6or6me 1.2. Nous avons alors le r6sultat essentiel de ce chapitre exprim6 par le

Th~or~me 1.3. II existe une solution maximum ft du probldme (1.5). De plus, < u~ pour tout e > O, et u~ converge vers ~ dans L2(0, T; V)faible et dans L2(0, T; H)

fort (en dkcroissant), si e ~ O (en d~croissant).

D6monstration du Th6or6me 1.3. Elle est imm6diate d'apr6s les Th6or6mes 1.1. et 1.2.

D6monstration du Th6or6me 1.2. (1) R6duisons tout d'abord le probl6me ~t une forme plus simple. Siu est solution de (1.5)et si u~ est solution de (1.10), nous avons, pour tout v~J~,

) l o ~ , v - u d t + ~ a ( u , v - u ) d t + ~ - t v ( O ) - u o ] 2 > ~ ( f , v - u ) d t , ueK ,

0 0

i /~?u~ ~ r 1 r r

o


Posons z=u-u~; K 1 =K-u~ (alors zeKx);

off 1 = 3 ( - u ~ (alors veoff 6quivaut/l v-u~eoff,).

Si v~off, posons w = v - u ~ ; alors wEoff~, et nous avons zeK~ et

, w - z dt + S a(z, w - I (fl(u~), w - z) dt 0 0 g 0 (1.11)

+ 2 ]w(0)[2 > 0 pour tout wea~ffl.

Nous voyons donc que z=u-u~ est solution d'une in6quation variationnelle faible relative au convexe J~, (qui est non vide car Wo = Vo- u~ e Jr0, avec second

membre 1 fl(u~), et donn6e initiale nulle. g

(2) I1 suffit de d6montrer que toute solution z de (1.11) est n6gative. Nous devons, pour cela, 6tablir le r&ultat pr61iminaire (essentiel) suivant.

Lemme 1.1. Si zest solution de (1.11), alors pour tout 0 v&ifiant 60 z

0~L2(0, T; V), ~-Te/~ (0, T; V'), 0(T)=0, 0>0 , (1.12)

on a

(1.13) - i ?o o \ ~ ' ] dt + i a(z, O) d t - 1 S (fl(u~), O) dt <= O. 0 g 0

D6monstration. Soit w o --Vo -u~, off Vo est donn6 par (1.4). On sait que Woe ~(11. Soit 0 v6rifiant (1.12). Alors d'apr6s (1.6), on a Wo-pOe~ pour tout # >0 .

Prenons W=Wo-#O dans (1.11),

r~ /(~w o (~0 z) ia(z, #O-z)dt o ~ ~ - - # ~ ' w ~ dt+o w ~

gl ! (fl(u~), Wo-#O-z) dt+ [Wo(0)-#0(0)12 >0.

Alors

1 T T iwo(T)_#O(T){2 ~ lOwo ~ ((~0 z] -o l ~ 7 - ' z ] d t + # ! ~Ot' ]dt+Sa(z'w~

r 1 r # r - # ~ a (z, 0) d t - - ~ (fl (u~), w o - z) dt + 7 - ~ (fl (u~), 0) dt => 0 .

0 gO 'gO

Comme O(T)=O, on a

1 r [ ~ w ~ ~ r T - 50 d t - - ~ (fl(U~), w o -- z ) d t 2 [w~ 1 1 7 7 ' zj dt+ I a(z, Wo-Zl

0 g 0

en divisant par # et en faisant tendre # vers l'infini, on obtient bien (1.13).


Remarque 2. Nous pouvons, dans la suite, supposer que dans (1.13), la forme a( . , . ) est coercive (c'est-/l-dire que 2 = 0 dans (1.2)). En effet, en posant 0 = e -~t go, si 0 v6rifie (1.12), go v6rifie 6galement (1.12) et l'on a, si ~=e-~tz,

O T T T

- o \r o o la(z 'go)d t - l !

pour tout go vgrifiant (1.12). Or, montrer que z__<0 revient A montrer que ~<0, et le changement de fl(u,) e n e -zt fl(u~) ne modifie pas le raisonnement qui va suivre. Nous supposerons donc, dans la suite, que 2 = 0 dans (1.2).

tout t 1 > O, il existe un unique 0nsL2(0, T; V), avec ~0~0,~ ~L2(0, T; V), Lemme 1.2. Pour solution du probl~me r~trograde U~

(1.14) - q ~ [ + 0 n = z + sur ]0, T[ , 0n(T)=0.

De plus, On>=O et 0 n converge vers z +dans L2(0, T; V) fort si q ~ O.

D6monstration. Comme zsL2(0, T; V) on a z + ~L2(0, T; V). On a explicitement T

1 ! e~t_s~/nz+ (s) ds, 0.(t)=~ et le lemme se d6montre de mani6re classique.

Nous voyons done que, pour tout r/> 0, 0 7 v6rifie (1.12). Nous pouvons prendre 0 = 0 7 dans (1.13), ee qui donne

~ [O0 n ~ 7" 1 r -o t~-' z) ~t+ ! a(z. On)et-~! (~(u~).On)et<=O.

et done

-o ~ . z 1 ~t+ ol tot' z-)dt+ o~a(z'On)~t- (~(u~).On)dt<-O.

Dans la premi+re int6grale, remplagons z + par -r/0~0" + 0 n. Dans la deuxi+me

int6grale, remplar ~ par 0n- z------~+. I1 vient r/

oon ~ lOOn ~ (On-z+ ,oS .

T T

+ f a(z. On)dt-l! (~(u~).O,)et<_O On a, bien stir, o

~ [ c~On 2 (O0 n 1 rl~ ~ ~ dt>O_ et -~o \or 'On) dt:2lOn(O)12>O'-

car 0 , (T)=0. Cornme 0n>0

, z - dt>O et ~(z+,z-)dt=O. 0 0


Donc

et par suite,

{a(z, 0.) 0

{(~ ),,oo 0

d t - (fl(u~), 0~) dt<__O pour tout t l> O.

En passant maintenant

et d'apr6s (1.3),

Mais T T T

j" (fl (u,), z +) d t = I (fl (u,), (u - u,) +) d t = I (fl (u,) - fl (u), (u - u,) +) d t, 0 0 0

T

(fl (u,), z +) dt < O. 0

Donc T

S a(z+,z+)dt<O, 0

ce qui implique z + =0, et z <0. Ceci termine la d6monstrat ion du Th6or6me 1.2. (On notera que d'apr6s la formulation de l 'hypoth6se (1.9), la derni6re partie du raisonnement n'est effectivement pas alt6r6e par le changement de fl en e-xt fl, comme il est dit dans la remarque 2).

Th6orem~ 1.3'. Si ron remplace les hypotheses (1.6) et (1.8) par

0 0 2 Vv~3ff et VO~L2(O,T;V) t e lque ~ - ~ L ( 0 , T ; V ' ) , 0 > 0 (1.6)'

o n a v+O~3t ~,

(1.8)' V u~ V on a flt(u)<O p.p. sur (0, T) (au sons de V');

alors il existe une solution minimum u du problOme (1.5). De plus, u~<u pour tout e>0 , et u, converge vers u dans L2(0, T; V) faible et dans L2(0, T ; H ) fort (on croissant) si e ~ 0 (on d~croissant).

Ce th6or6me se d6montre comme le Th6or6me 1.2. ((1.6)' et (1.8)' seront v6rifi6es si, par exemple, K(t )= {v; v~ V, V> ~O (t)}, o6 ~ est une fonction mesurable sur (0, T) h valeurs dans H).

Remarque 3. (1) I1 est clair, d'apr6s le Th6or6me 1.2, que si fi est solution maximum de (1.5), fi est aussi solution de l ' in6quation variationnelle faible consid6r6e sur ]0, TI[, avec T 1 < T (et aussi solution maximum sur ]0, TI[ ). Nous ne savons pas si cette << localisation >> est encore vraie pour les autres solutions 6ventuelles de (1.5).

~t la limite lorsque r / ~ 0, on obtient

I a(z,z+) d t - (fl(u,),z+) dr<O, 0

T T

a(z +, z +) dt -1- ~ (fl(u~), z +) dt<O. 0 t30

et d'apr6s (1.9),


(2) On consid6re souvent une autre formulation faible des in6quations d'6volution, en restreignant le convexe off au convexe Jt~={v; veo,T', v(0)=u0}, ce qui supprime le terme �89 2 dans (1.5). Plus exactement on consid6re le probl~me

(1.15) r dt+ a(u ,v -u)d t -~( f , v -u)d t>O, V ve3(?; u G g .

o o

On peut montrer que, pour cette formulation (1.15), le Th6or6me 1.2 est faux. De plus, la limite de u~ (qui existe bien stir et qui est solution de (1.15)) n'est pas n6cessairement une solution maximum. Enfin, il existe des solutions de (1.15) sur ]0, T[, qui ne sont pas solutions de l'in6quation sur ]0, T~[ avec T~ < T. Nous pouvons ais6ment construire un contre exemple en prenant V=H=~,, a(u, v)= u. v, f =uo, et

K={v;veL2(0,2), v(t)<= - 1 p.p. sur ]1,2[}.

Si T 1 < 1, la seule solution de l'in6quation (1.15) sur ]0, Tl[ est 0. Mais pour T= 2, si

u(t)=frle-' si 0 < t < l , si l_<t_<2,

(<e) nous voyons que pour t />0 suffisamment petit t / = e ~ ~- , u, est solution de

l'in6quation (1.15) sur ]0, T[, et u , ( t )>0 si te]0, 1[.

1.2. Quelques Exemples (1) Soit f2 un ouvert de R" et Q = f 2 x ] 0 , T[. Soit H=L2(O) et Vl=Hol(f2).

Consid6rons la forme

~u ~v __" . ~u (1.16) a(t,u,v): ,,~=1 ~ alaij(x't)~xi~-~xjdX + i=,Z nJ bi(x,t)~-VdXcxi + ~ ao(x,t)uvdx,

off les coefficients air, bi, ao sont dans L ~ (Q) et v6rifient

(1.17) 3 a > 0 , V~e]R n, aij~i~j>=o ~ ~2 p.p. sur Q. i , j = l i

La forme a(t,., . ) = a ( . , .) v6rifie bien (1.1), (1.2), (1.3). Soit ~ une fonction mesurable de ]0, T[ x 12 dans ~.., telle que

3 Vo eL2(0, T; H~(f2)), ~ e L 2 ( 0 , T; n - 1(~~)), D O ~_~/.

(~ peut 6tre <<6gale/~ + oo>> sur un ensemble non n6gtigeable). Soit

Kl(t)= {v; ve Va , v<~k(t) p.p. dans f2}.

Alors, en prenant fldu)=(u-t~(t))+, on v6rifie ais6ment les hypoth6ses (1.4), (1.6)... (1.9).


I1 existe donc une solution max imum u du probl~me

o - ~ , v - u o a(u'v-u)dt+z[v(O)-u~

~V 2' (l"18) VwL~(O,T;H~(a)),~iet:(O,T;H-~(a)), v(t)<O(t) p.p. sur (0, T);

ueL2(0, T; H1(~2)), u(t)<__ O(t) p.p. sur (0, T).

(1.18) correspond /l un probl6me de Dirichlet avec contraintes unilat6rales tt l 'int6rieur.

(2) Soit toujours H = L2(Q), V 2 = H ~ (O), e t a ( . , . ) d6finie comme fi l 'exemple (1). Soit K2(t)={v;v~V2,v<-_O(t) }, off ~ est toujours une fonction mesurable de ]0, T [ x O dans N, telle que ~ ~ .

On aura cette fois une solution max imum pour un probl6me de type N e u m a n n avec contraintes unilat6rales/t l 'int6rieur.

(3) Soit O un ouvert suffisamment r6gulier de N", de fronti6re F, et soit

H=LE(f2), V=V2=HI(f2) et a ( . , . )

toujours d6fini comme h l 'exemple (1). Soit ff une fonction mesurable de ]0, T [ x F dans ~ , telle qu'il existe

rolL2(0, T; V2), ~ ~" EL2(0, T; V~), ~t

avec Vo(t)lr<=~(t) p.p. sur (0, T). Alors, si Ka(t)={v;v~V2,v<~k(t ) sur F} et si flt(u)=(Ulr-~(t)) § (fit(u) est un op6rateur sur le bord), les hypoth6ses (1.4), (1.6) ... (1.9) sont v6rifi6es. Nous obtenons ici une solution maximum pour un probl6me d'6volution de type Signorini (ou avec contrainte sur la fronti6re).

(4) On peut de m6me consid6rer des probl6mes associ6s ~ V 3 d6fini gt l 'exemple 1.1, c'est-~-dire des probl6mes mixtes avec contraintes tt l ' int6rieur du type v__< ~k(t) dans O, ou des probl6mes avec contraintes sur une partie de la fronti6re du type v__< ~(t) sur F1, off F 1 est une partie assez r6gulibre de F.

(5) Cas des syst~rnesfaiblernent couplds. Si nous prenons H = (L2(~2)) Net V= (1/1) N (on pourrai t 6galement consid6rer(V2)N ou V 4 = {v =@1, . . . , VN)~(HI(a)) N, Vilr, =0}), nous pouvons consid6rer des syst6mes paraboliques faiblement couples. Plus pr6cis6ment, si u = (ui)i = 1 ..... N ~ Vet v = (vi)~ = 1 ..... N ~ V,, soit

~uk ~vk k ~uk k "

a(u,v)= E dx+E CktUk vl dx, i , j ,k ~X i ~X j ~X i ~2 i , k~ k,l

od les coefficients k k alj, bi et Ckz sont dans L~(Q) et v6rifient

3 ~ > 0 , V~elR", V k = i . . . . . N, aij~t ~ j> ~ ~2 p.p. sur Q, (1.19) i,~=1 i

Ckt<O si k:#l p.p. sur Q.


Alors la forme a ( . , . ) v6rifie (1.1), (1.2) et (1.3). Si, pour i = 1, . . . , N, ~q est une fonction mesurable de ]0, T[- x ~2 dans R, on peut consid6rer

K(t) = {v; v~ V, vi< $i(t) p.p. sur (0, T)},

et appliquer le Th6or6me 1.2.

1.3. Quelques Propri~t~s des Solutions Maximum

Nous reprenons les hypoth&es du cas g6n6ral sur les espaces Ve t H et la forme a ( . , . ).

Soit ~, une fonction mesurable sur ]0, T[ ~t valeurs dans H, et

K(t)={v; vEV,, v < ~9(t)}.

Si f~L2(0, T; V') et uor nous consid6rons u = u ( ~ , f Uo), solution maximum de l ' in6quation variationnelle

r r 1 i ff[,vOV _ u j d t + ~ a ( u , v _ u ) d t _ i ( f v _ u )dt+-~[v(O)-uo[2>=O,

0 / 0 0

Ov 2 (1.20) VvEL2(0, T; V), ~-islz (0, T; V'), v(t)<O(t) p.p. sur (0, T);

ueL2(O, T; V), u(t)< O(t) p.p. sur (0, T).

On sait que cette solution existe si

0/)0 2 3rolL2(0, T; V), ~ - ~ / z (0, T; V'), Vo(t)<_~(t ) p.p. sur (0, r) .

Nous noterons ~ l'ensemble des ~ v6rifiant cette hypoth6se.

Th6or6me 1.4. L'application ( ~ , f Uo) --. u(~, f Uo) est croissante, c'est-d-dire que si ~9 et ~ ~ , et si ~ <= t~, f <=~, u o <= rio, alors u = u(~, f Uo)__< u(~, ~, rio)= ft.

D6monstration. Soit u t et hit les solutions de

0u t 1 0-7 + A + g,) + = f , u,(0) = Uo,

0fi~ ^ + by+Au +

Nous savons que si e ~ 0 , alors hit ~ u et u~- ,u (dans LZ(O, T;H)). I1 nous suffit de montrer que u t < fie pour tout e > 0. Pour cela, remarquons tout d 'abord que nous pouvons supposer la forme a ( . , . ) coercive, le cas g6n6ral s'y ramenant de mani6re classique. Nous avons

0 1 �9 (u,-fi,)+A(u,-f~,)+ T [(u~- 0) + - (fi~- 0) + + (fi~- ~k) + - ( f t , - ~)+] = f - J ~

( u t - ~ ) (0) = Uo -t~o <0.


0 si

~.( t)= - 1 si

0 si

Multiplions cette 6quation par (u.-ft,)+. I1 vient

1-- I (u . -~. )+(r)12. I(u,-fi3+(0)12+0t~ II(u~-~3+ll2dt 2 o

[(u.-~O) + -(fi~-O) +, (u.-u.) ] dt

1 r + - - ~ [(~e- ~)+ - ( ~ - ~ ) + , (ue- ~) + ] dt

8 0 T

<= ~ ( f -~,,(u~-~,) + dt<O. 0

T

[( ~ - r - ( ~- ~O) , (u~- fi~) + ]d t >= O. Consid6rons alors Ona(u~-fi~) +(0)=0,e t~ u + fi + le terme o

l(x, t) = [(~,- r - ( ~ - ~)+] (u~- ~)+ (x, t).

_ - - ~ ^ ^ I1 est nul si u~_< fi~; si u~ _> fi~ et si ~ = u,, alors I(x, t) >= 0; si u~ => ~, on a u~ => fi,_>_ ~ >= ~O et I(x, t ) = ( ~ - ~) ( u , - ~ ) (x, t)__>0. Donc I(x, t) est toujours positif ou nul, et par suite (u~-~,) + =0, d'ofi u~__<~i~; le Th6orSme 1.4. en resulte.

Consid6rons maintenant f et Uo fix6s, t~tudions l'application qui, / l @ ~ , associe u(~) solution maximum de (1.20). Commengons par un r6sultat n6gatif.

Contre exemple 1.3. Si 1 < p < + o% l'application ~, -~u(qJ) n'est pas continue de Lv(0, T; H ) c ~ (muni de la topologie de Lv(0, T; H)) darts Lz(0, T; H). Exhibons un contre exemple. Prenons V= H=F , , a(u, v)=u.v, f = 0 , Uo=0 et T~ < T. Soit

1 O<t<T~--- ,

n

1 T ~ - - - < t__< T1,

n

T1 < t < T.

Alors, @, ~ 0 dans LP(0, T) sin ~ oo (pour 1 < p < + oo). Soit u.=u(r Un calcul

-1

I TI ~ T I T

. . . . . . . . . . . . . . . . eetto I

o. t . S~

. . . . . . . . :U n

Fig. 2

p,

t


simple montre que 0 si 0 < t < T 1 - 1 ,

n

u . ( 0 = / - i si Tl- l<t---<rl 'n

[ - e r ' - ` si T~<t<T.

Bien stir, u, ne tend pas vers 0 dans L2(0, T), et pour tant u(0)=0(c.f . Fig. 2).

Th6or6me 1.5. Soit f2 un ouvert bornd de IR", H=L2(I2) et V=H~(f2) (on pourrait aussi prendre V=HI(f2) etc .... ). Soit a(., .) la forme bilindaire dkfinie par (1.16). On suppose que a(., . ) est coercive (c'est-d-dire 2 = 0 dans (1.2)), et que ao>=O.

Si 6 et ~ , avec 6 - ~ L ~ ( Q ) (off Q = ] 0 , T[ x f2), alors u(6)-u(~)~L~176 et

(1.21) l u ( 6 ) - u(~)lL~o) < 16 - ~[r.+(e).

D6monstration. Posons 16-~ lL=r u ( 6 ) = u , u (~ )=h . On a

u = lim u,; h = lim h~, g~O e ~ 0

avec

Ou~ot t-Au~+~ (ut-6(t))+=f'

8t I- A~t +-1 ( ~ - ~(t))+ = f ' 8

u~(O) = ~t (0) = Uo. Donc

0 h~)+A(u_fi~)+l_E(u_6)+_@_@)+]=O, (1.22) ~ - ( u ~ -

u~(O)- ~(0) = 0.

Soit w = (u~ - fi~) - ko. On a w + ~L z (0, T; V). Multiplions (1.22) par w+; nous obtenons (puisque k o est une constante),

T ~ ( ~ t , w + ) d t + ! a ( w , w +) 11" o dt + 7 ! ( [ (ut- 6) + - ( ,L-,~)+], [ (u , - a t ) - ko] +) a~

T

= - ~ (ao ko, w +)dt<O. Donc o

~[w+(T)[2 + ~ ~ l r o Ilw+ rl2 dt+~o ( J u t - 6 ) + - ( u ~ - t})+]' [ (u~-u~)-k~

Consid6rons le terme

J(x, t) = [(u, - 6) + - (fit - ~)+] (x, t). [(u, - fi,) - ko] + (x, t).

Si ~>fi~, J(x,t)>O. Si f i ,>~ , J(x,t) n'est non nul que si u ~ - h , - k o > 0 ; alors u, > 6 car u+ > fi, + ko > ~ + ko > 6. Nous avons alors

J(x, t) = [u+ - 6) - (~+ - ~)] (x, t). [(u~ - ~,)- ko] (x, t)

= E(u~- ~) + ( ~ - 6)] (x, t). [(u~- ~t)- ko] (x, t).


Les deux termes du produit sont positifs car, sur l'ensemble consid6r6, (u~-fi ,)> k o > ( f f - ~ ) . Par suite J(x, t) est toujours positif ou nul, et w § =0. Donc

(u~-fi,)-ko<O et (u~-fi,)<ko.

De m~me on montrerait que (fi~-u~)< k o. Par suite, pour tout e> 0,

Comme u~-fi~ converge, lorsque e ~ 0, vers u ( f f ) -u (~) (dans L 2 (Q) par exemple), on a, ~ la limite,

Remarque 4. Nous avons suppos6 dans le th6or6me 1.5., que 2 = 0 dans (1.2) et que ao>0. Si nous ne faisons plus ces hypoth6ses, et si 2 0 v6rifie (1.2) avec )~o+ao>0 (un tel 2 0 existe toujours), alors on peut montrer que

Th6or~me 1.6. Sous les hypothOses du Th~ordme 1,5, si 0 et les coefficients aij de la forme a ( . , . ) sont suffisamment rkguliers, si f6 C(Q), Uo~ C(~), avec u o = 0 sur Of 2, et si ~ C ( O ) ~ , alors u=u(~)~C(O).

D6monstration. Soit ft telle que

~ft ~t + A f t = f , ft(0)=u o.

Alors fteC((~); en posant u - f i = f i , v - f t = ~ , ~ , - f t = ~ , nous voyons que fi est solution de

~ (O~vt ,'6-Ft) dt + ~ a(fi, ~-fi) dt +~l~(O),2 >=O, o o

~ 2 VV6L2(0, T; V) ,~6 /5 (0, T; V'), ~-<~;

fi6L2(0, T; V), fi__<~.

On s'est donc ramen6 au cas off f = u o = 0. Si maintenant ~9~C(Q), ~ 0 ~ , il existe une suite ~ ,6C~(Q) telle que ~0,~0

dans L~(Q) si n-~ ~ , et telle que ~ , ~ . Soit u. la solution forte de l'in6quation variationnelle associ6e h ~0,. Alors d'apr6s le Th6or6me 1.4,

II suffit donc de d6montrer que u,e C(Q). Pour ce faire, par une translation de ( - ~ , ) , on peut se ramener au cas off ~,,=0, mais avec un second membre non nul mais tr6s r6gulier. Alors on sait que u. E C ((~), d'ofi le Th6or6me 1.6.

Etablissons maintenant un r6sultat de << stabilit6>> pour les solutions maximum. Nous allons 6tablir ce r6sultat sur un exemple, mais il est clair que la d6monstration que nous donnons s'6tend fi bien d'autres cas.

Soit toujours ~ un ouvert de ~,", Q = f 2 x ] 0 , T[, H=L2(O) et V=H~(O). Pour r6lR + ou r = ~ , nous d6finissons les formes bilin6aires ar(t . . . . ) sur Vx V

76 F. MIGNOT & J. P. PU~t

p a r

ar(t, u, v) = ~ a~j(x, t) ~ (x) ~ x i (x) dx + ~ a~(x, t) ~u ,, J= ~ ,~ ,=~ ~ ~ (x) v (x) , ix

+ ~ a~o (x, t) u (x) v (x) dx , t2

off a[j, a~., a~ sont dans L ~176 (Q) et v6rifient

3e>0 , VreN+u{oo} et V~eN",

s (1.23) a~.i(x, t) ~i ~i>= c~ ~ p.p. sur Q. i , j = l i

Nous noterons Ar=A, ( t ) l'op~rateur lin6aire de V dans V' associ6 /l la forme a,(t . . . . ).

Pour r ~ R + u {oo}, soit F~L2(0, T; H), U~o~H, et ~0" une fonction mesurable de Q dans IR. On suppose que

(1.24)

et que

(1.25)

Alors si

et si

u + o n a ~k'>~k ~176 p.p. dans Q,

Or0 2 3rolL2(0, T; V),--~--~/~ (0, T; V'), Vo<~k ~~ p.p. dans Q.

Kr {v; v~L2(O, T; V), v< $ '} ,

3v 2 T; ~ f ' ~ r = { v ; v ~ K ~ , ~ t E I ~ (0, V')},

o n a ~ , . # ~b pour tout r~IR+u {~}.

Nous noterons u" la solution maximum de l'in6quation

(1.26)"

i( ) " ~ , v - u d t + ! a , ( t , u , v - u ) d t - [ . ( f ' , v - u ) d t 0 0

1 r2 +~-Iv(0)-uol >0, V v e ~ , , ; u e K , , .

Nous avons alors le r6sultat suivant.

Th60r6me 1.7. Nous faisons les hypothdses suivantes:

(i) ai~ ~ a~ dans L~

a~ ~ a~ ~ dans L~176

do --* a~ dans L~176 f , __. fo~ dans L2(0, T; H),

U'o ~ u~ dans H, si r ~ 00.

(ii) ~b r converge vers ~ quand r--*oo au sens suivant: Si v'-<~k ~ pour tout r e R + et s iv r converge vers v dans L2(0, T; H) faible quand r ~o0 , alors v<~k ~

Alors u" converge vers u ~ dans L2(0, T; V) faible s i r ~ o0.


D~monstra t ion . Comme les a,' et a~ sont born+s dans L~ ind6pendamment de r, nous voyons que

S 2 >0 , u r s lR + ~v{ oo} et V v~ V on a a,(t, v, v)+ Alvl 2 _>_~ Ilvll z, (1.27) p.p. sur (0, T).

Si nous posons f i '= e-~t u', nous voyons qu'il y a 6quivalence entre mont rer que u' --. u | L2(0, T; V) faible et mont rer que fi' -o fio~ dans L2(0, T; V) faible.

L e m m e 1.3. Si fi,(t, u, v) = a,(t, u, v) + 2(u, v), f " = e- at f , et ~" = e- at r alors fi" est la solution maximum de l'in~quation variationnelle

i ~v r r . o ( ~ ' v - u ) d t + !a , ( t ,u , v - u ) d t - ! ( f ' , v - u ) d t

(1.28) + 2 lv(O)-uolZ>O, V w ~ . ; u~K~,.

D~mnnstration. Pour e > O, soit u~ la solution de

Ou~ q-A ,u '~+l (u~-~') + = f u'~(O)--Uo," u~=O su rS , (1.29) Ot

off 2; = 0[2 x ]0, T[ , et s o i t " -x ' " " u~ = e u~. Alors u, est solution de

0fi: , 1 , ~ , + ~, Ot 4-A,f i~+2fi~+--~(f i , -q / ) = f , fi:(0)=u~), fi~'=0 su rS .

Nous savons d'apr+s le Th6or6me 1.3 que u~ ~ u ' et fi~--*V dans LZ(0, T; H) fort s ie ~ 0, off ~" est la solution max imum de l ' in6quation variationnelle (1.28). On a bien sOr V = e - ~' u', done ~ ' = fi', d'ofi le lemme.

D ' ap r& le Lemme 1.3, nous voyons que nous pouvons toujours nous ramener au eas off la forme a,(t , . , .) est coercive, c'est-~-dire au cas o6 2 = 0 dans (1.27). Nous supposerons dans la suite que (1.27) a lieu avee 2 = 0 .

Lemme 1.4. II existe fi~LZ(O,T; V) et il existe une <<sous-suite>> extraite de (u'),~+ (encore notre u') tels que u" ~ fi dans L 2 (0, T; V) faible s i r ~ oo, et fi est solution ( faible) de (1.26)%

D~monstration. Nous savons, d 'apr& (1.24), que Vo donn6 par (1.25) est 616ment de J{'~, pour tout r~P~ +. Nous pouvons prendre V=Vo dans (1.26)' pour tout r ~ R +. Nous voyons qu'alors, d'apr6s (1.27), u" est born~ darts L2(0, T; V) ind+pendamment de r. Done il existe fi~LZ(0, T; V) et une <<sous suite>> extraite de (u'),~R+ (encore no t& u'), telle que u ' ~ dans L2(0, T; V) faible si r ~ . Mont rons que fi est solution de (1.26)% Comme u" < qg pour tout r~lR + et comme u" --. fi dans L 2 (0, T; H) faible s i r -~ ~ , on a fi < ~b ~. Donc fie K~,=. Siv ~ ~ o o , on a ve3ff,~ pour tout r~IR + . D o n c pour tout r~IR -~,

o -~' v - u " dr+ I a~o(t, u', v - u ' ) d t - I ( f ' , v - u ' ) d t + - ~ [v(0)-u;] 2 0 0

T

+ ~ [a,(t, u', v -u ' ) -a~o( t , u', v -u ' ) ] dt>O. 0


I1 est alors ais6 de passer h la limite et on obtient

o ~ , v - f i dt+oaoo(t,h,v-u)dt-~(f~,v-gt)dto

1 + 5 - 1 v ( 0 ) - u ; ~ 1 2 = 0 , V v e c % ~ ; f i e K , ~ ,

d'ofi le Lemme 1.4.

o0 r + Lemme 1.5. Si u~ est donnke par (1.29), nous avons (u~ - u,) ~ 0 dans L2(O, T; V) fort si r ~ o% uniformkment en e > 0.

D~monstration. Nous avons, s i r s N +,

(u 2 - u'~) + A~(u 2 - u'~) + [Ao~ u~ - A r u',] + [(u 7 - O~176 + - (u~- ~k') + ] =f~o _ f r ,

u y - u[i ~ = 0, ( u ~ - u 3 (0) = u ; ~ - u[, .

Multiplions cette 6quation par ( u [ - u ; ) +. Remarquons que si

I(x, t )= E(u7 -O~176 + - ( u ~ - O0 § ] (x, t). (u2 -u~) + (x, t),

on a I(x, t ) = 0 aux points off u [ <u~', et aux points o6 u [ >u ; on a

(i) si (u~-OO+(x, t )=O, alors I(x , t )>O. (ii) si (u~- 0') + (x, t) 4= 0, alors u~ > 0 r, u~ > u~' > 0 ' > O~~ et

I(x, t) = [(u 7 - u~) (x, t) + (0 r - O ~) (x, t)] (u 2 - u~) (x, t).

Donc I(x, t)> 0 p.p. dans Q. Par suite nous obtenons donc

r 1 ~o , +1 ~- r ~. II(uT-u'~)+ll2dt<~-l(Uo_ -Uo) +~. rc~-~'', . . . . . ru ~

0 0 T ur

+,,j=~ ol aI ( % - ,J'~-~x~ ~fjxj tu~ -u : ) + d x d t

+ I (a~-a2)~-~xi~U~ -u'~) + d x d t i = 1 0 ~

T

+ ~ ~ (a'o - a ~ ) u'~(u[ -u~) + dx dt. O ~

I1 est ais~ de voir (par exemple, en multipliant (1.29) par (u~-Vo) ) que u~ est born6 dans LZ(0, T ; V), ind~pendemment de e et de r. Comme

nous obtenons

u[~ ~ u~ ~ dans H,

f r __. f o~ dans L 2 (0, T; H),

a~'j ~ ai~ dans L ~ (Q),

a7 -* a ? dans L ~176 (Q),

a[~ ~ a~ dans L ~ (Q), s i r --* + 0%

I](u2 - u 3 + ll~2co, T; v~--- col (r) + 092 (r) l l (uy - u[) + IIL2co, ~'; v~,

o6 coi(r ) ~ 0 sir--+ oe pour i = 1, 2, d'ofi le Lemme 1.5.


Mon t rons main tenan t le Th60r6me 1.8. Consid6rons la famille (u') telle que

u r ---, fi dans L 2 (0, T ; V) faible s i r ~ ~ .

Nous avons en part iculier lim ~ r + r ~ o~ (u~ - u~) = 0 dans L 2 (0, T ; H) fort, un i form6ment en e. D o n c

l im lim (u~ ~ -u~) + = 0 dans L2(0, T ; H), g ~ O r ~ o o

et lim l i m ( u [ - u 2 ) + = 0 dans L2(0, T;H). r ~ o t 3 ~ 0

C o m m e (u~-u~)-~(u~176 r) dans L2(0, T ; H) fort si e--* 0, on a lim (u~ -u~ )+ = t : ~ O

(u ~ --ur) + d a n s L2(0, T; H), donc lim (u ~ --ur) + = 0 dans L2(0, T;:H). r ~ o o

T

D'apr6s la convexit6 de v--, ~ I(u~ et c o m m e ur--* fi dans L2(0, T; H) faible, on a 0

T T

[(u ~ - f i ) + 12 dt<= lim inf~ [(u ~ - u r ) + 12 dt=O. 0 r ~ 0

Par suite T

~l(u~-h)+12dt=O et u~__<h. o

C o m m e u ~~ est solut ion m a x i m u m de (1.26) ~ et c o m m e fi est solution faible de (1.26) ~ on a u~176 D'apr6s le L e m m e 1.4, on a ur--*U ~ dans L2(0, T ; V) faible s i r -* ~ . Grace / t l 'unicit6 de la valeur d 'adh6rence de (ur) ,~ +, on sait ma in tenan t que c'est toute la <<suite>> u r qui converge vers u ~176 s i r ~ or. Ceci termine la d6mon- s t ra t ion du Th6or~me 1.8.

1.4. Quelques Extensions

(1) Cas des Ouverts non Cylindriques (Probl~me de Diriehlet). Soit Q c ]0, T [ • R n u n ensemble ouvert (non cylindrique) v6rifiant la condi t ion (R) de Lions [2], et soit 2; la fronti6re lat6rale de Q. On notera f2~=Q~{t=s}. Soit

~= v;veL2(Q),~fxe ( Q ) , i = I n,v=O s u r Z .

On notera I1.11~ la no rme dans ~ . Soit a ( . , . ) une forme bilin6aire cont inue sur x ~e', telle que

Vue o n a a(u,u)>=~llull~-21ul~=tQ), V u e f o n a a(u+,u-)<O.

On associe ~ la forme a ( . , .) l 'op6rateur d de ~U dans ~/~' d6fini par ( d u, v ) = a (u, v).

Soit 7' une fonct ion mesurable sur Q telle que

~ l ) O t 3VoS~g ' ,~ ) - s~ /" , Vo< o p.p. sur Q.

Soit K={v;w~e',v<O p.p. sur Q},

g2= v ; v s ~ , ~ e ~ f ' , v p.p. sur Q

80 F. MIGNOT &: J. P. PUEL

Nous consid6rons alors l'in6quation variationnelle faible suivante:

8v , ,(-~'v-u)+a(u' 1 2 (1.30) v-u)+~lv(O)-uolL2(Oo)>=<f,v-u), Vveg; u~K,

off f e ~ ' , et off u o est la trace sur f2 o d'une fonction ~b~e" telle q u e ~ - t er

On d6montre que le problr (1.30) admet une solution maximum ft. On montre, en utilisant intensivement le travail de Lions 1-2] et le Th6or6me 1.1 (p. 316) de Lions [1], les analogues des Propositions 1.1 et 1.2 ainsi que des Th6orr 1.1, 1.2, et 1.3. Nous ne donnerons pas ici les d6monstrations pr6cises car elles n'apportent pas de nouveaut&

(2) Cas de Certains Op6rateurs non Lineaires. Les op6rateurs A ont toujours, jusqu'~t pr6sent, 6t6 suppos6s lin6aires, de m~me qu'on a toujours suppos6 que l'espace V 6tait un Hilbert. Nous allons donner un exemple d'extension pour un op6rateur A monotone non-lin6aire et un espace V non Hilbertien.

Soit V=Wd'J'(O), off f2=~, nes t un ensemble ouvert born6 et p>2 . Pour ve V, soit

Alors A est un op6rateur monotone (fortement) de V dans V' ou V'= W-1'r 1 1 ~+~7 =1"

Soit g, une fonction mesurable de ]0, T1- • ~ dans ~,, telle que

~Vo ,p, = 3voeLP(O,T;V),~[-e~ (0, T;V') , Vo �9

On considCre alors l'in6quation variationnelle

~ ~ au p-2 ~u ~v ~u

0 0 1 = 1

T

- ~ ( f , v - u ) d t + Iv(0)-uol 2>0 , (1.31) o

t~v , VveLP(0, T; Y),~eL p (0, T; V'), v=<~k;

ueLP(O, T; V),u<~.

Ici encore on d6montre, en utilisant les r6sultats de Lions [1], les analogues des Propositions 1.1 et 1.2 et les Th6or6mes 1.1, 1.2, 1.3., donc l'existence d'une solution maximum pour le probl6me (1.31). On prendra alors comme op6rateur de p6nalisation

f l ( u ) = [ (u - g,)+ ] p - ~ (u - g , )+.

II. In~quations Quasi-Variationnelles d' Evolution

Nous utiliserons les notations du chapitre I. Soit q~ et ~ deux fonctions de L 2 (0, T; H), avec r < ~. Pour tout u e L 2 (0, T; H) avec ~p < u < ~ et pour presque


tout t~]0, T[, on consid6re K(t,u(t)), ensemble convexe ferm6 non vide de V. Nous noterons

K(u)= {v; v~L2 (0, T; V), v(t)6K(t, u(t)) p.p. sur (0, T)},

~Y('(u) = {v; ~VL2 V')}. v~K(u),~6 (0, T;

Nous supposerons que pour tout u~LZ(O, T; H) avec q~<u<~O, nous avons

(2.1) o,'ff(u) +~J;

(2.2) VO~L2(O, T; V),~t sLZ(O, T; V'),O>O et VwoU(u) o n a v-OsJ{(u);

(2.3) il existe ft,, op6rateur de p6nalisation associ6 ~t K(u), tel que si wsL2(0, T; V), alors ft.(w)(t)= fl,,t (w(t)) p.p. sur (0, T), off fl,,t est un op6rateur de p6nalisation associ6 ~ K(t, u(t)) dans V;

(2.4) Vw~V o n a fl.,t(w)>O p.p. sur(0, T);

(2.5) u wzsV on a (fl.,t(wl)-fl.,,(wz),(wl-w2)+)>O p.p. sur(0, T);

(2.6) si q~<_u<v<r alors VwsLZ(O, T; V) on a fl.(w)>flv(w).

Remarque 1. Les hypoth6ses (2.1)... (2.5) correspondent aux hypoth6ses (1.4), (1.6)... (1.9) du chapitre pr6c6dent.

L'hypoth+se (2.6) traduit une << croissance >> de K(u) en fonction de u. En effet, d'apr6s (2.4) et (2.6), si q~<u<_v<tk et si wsK(u), alors fly(w)=0; doric wsK(v), d'ofi K(u) = K(v).

Nous considSrerons toujours une forme bilin6aire a ( . , . ) sur V x V, v6rifiant (1.1), (1.2), (1.3). Si f~L:(0, T; V) et uo~H, nous pouvons 8noncer notre problSme: R6soudre l'in6quation quasi-variationnelle (I.Q.V.) d'6volution

o ~ , v - u d t+!a (u , v -u )d t - ! ( f v -u )d t+ Iv(0)-Uo12__>0,

V veOg'(u); u~K(u).

Nous allons maintenant d6finir la notion de sous-solution et de sur-solution du-problSme (2.7), puis montrer l'existence d'une solution maximum (sous r6serve de l'existence d'une sous solution inf6rieure ~ une sur-solution), avant de donner quelques compl6ments et exemples.

2.1. Existence d'une Solution Maximum

Soit S l'op6rateur qui, /t u~LZ(0, T;H), ~p<u<=~p, associe w=S(u) solution maximum de

o Oi 'v -w dt+ a(w,v-w)dt+~[.(w,v-w)dt-~.(f+,~u,v-w)dt o o

(2.a) + 2 Iv(0)- u~ >0 ' Y veoCC(u); weK(u),

(2 est donn6 par (1.2); l 'introduction des termes off apparait 2 n'est pas n6cessaire).


Nous savons, d'apr6s le chapitre I, que w (donc S) est bien d6fini. De plus, si w~ est solution de l '6quation de p6nalisation associ6e ~t (2.8), on sait que w < w~ pour tout e > 0, et que

w, --, w clans L2(0, T; V) faible s i e ~ 0,

w~ ~ w dans L2(0, T; H) fort si e ~ 0.

Definition. Une sous solution de (2.7) est un dlOment u~L2(0, T;H) tel que u<S(u). Une sur solution de (2.7) est un ~l~ment v~L2(O, T; H) tel que S(v)<v.

Nous pouvons maintenant 6noncer le r6sultat principal.

Th6or6me 2.1. S'il existe une sous solution r et une sur solution tp du probldme (2.7), avec ~o<~, et si les hypothdses (2.1)... (2.6) sont satisfaites avec ce choix de q~ et ~, alors l'inOquation quasi-variationnelle (2.7) possdde une solution maximum dans l'ensemble {v; vEL2 (0, T; H), cp < v < if}.

D6monstration. Cette d6monstra t ion reprend celle de Tar tar [-1] qui elle- m~me s'inspire de KRASNOSELSKIi [1].

Lemme 1. L'application S est croissante.

D6monstration. Si q~ < u < fi < ~k, mont rons que si w = S(u) et ff = S(fi), alors w=<ff.

Soit w, et ff~ les solutions des 6quations de p6nalisation associ6es. On a pour tout e > 0,

8w~ + c3t +Aw~+2w~+ flu(w~)=f +2u, w~(0)=Uo;

c3~v~ A Cv~ + 2 ~ + + [3a(Cv~)= f + 2ft ' ~+ ff~(O) = Uo.

Mont rons que w~ < ff~ pour tout e > O. Retranchons la deuxi6me 6quation de la premiere et multiplions par (w~- fit)+.

I1 vient

Donc

0 T

+ x I (w~-,~., (w,- ~,.)+) et 0

1 r + - - I (fl .(w,)- fla(~,), (w~- fv,) +) dt

0 T

=~ I (u-a,(w~-C~)+)dt. 0

T

2 oS dt + 1 i at o.

In6quations d 'Evolut ion Paraboliques 83

Mais

T T

(ft.(we)- fla(ff e), (w~ - eve) +) dt = ~ (fl.(w~)- ft.(fie), (we- ff ~)+ ) dt 0 0

T

+ ~ (fl,,(Cve)--fla(Cve), (w~- ~ ) +) dt>O 0

d'apr6s (2.5) et (2.6). Donc

T

I I (we -~0+ II 2 dt<O 0

Comme nous savons que

W e - ' ~ W et

on a w < ~, d'ofi le Lemme 1.

et w.<ff , pour tout e>O.

dans L2(0, T; H) si ~ ~ 0,

dans L 2 (0, T; H) si e ~ 0,

Maintenant, d'apr6s les propri6t6s du c6ne positif de H, nous savons que L2(0, T;H) poss6de la propri6t6 suivante: Toute famille non vide totalement ordonn6e minor6e poss+de une borne inf6rieure.

Soit q /= {u; ueL2(0, T; H), q~ < u < O, u< S(u)},

~//~= {v; veL2(O, T; H), q~ =< v=<~k, S(v)<=v}.

On a q/~=~1 car q~eq/, et ~//" 4~1 car ~Oe~U.

Soit ~r {w; w~U, Vueql, w>u}; ~ est non vide car Os~CF. I1 est ais6 de voir que West inductif (pour l 'ordre ~). Donc ~ poss+de un 616ment minimal Wo; on a Woe~U, d'ofi S(wo)<W o. Comme wo>q~, on a S(wo)>S(q~)>q~. Donc

~o < S(wo) <-_ Wo < ql,

ce qui implique S 2 (Wo)< S(wo), d'ofi S(wo)e ~ . D'autre part, pour tout u e q/, on a Wo>U. Donc S(wo)>S(u)>u et S(wo)>U pour tout ueq/. Par suite, S(wo)e~#r et S(wo) < w o, d'ofl S(wo) = w o . Par suite w o est un point fixe de S. D'apr6s la d6finition de l'op6rateur S, nous voyons que w o est solution de l'in6quation quasi-variationnelle (2.7). Montrons maintenant que c'est une solution maximum de (2.7).

Si u est une solution de (2.7) avec q~ < u < ~O, alors u < S(u), car S(u) est la solution maximum de l'in6quation variationnelle associ6e au convexe K(u). Donc ueq/. Par suite Wo > u et Wo est bien solution maximum de (2.7) dans l'ensemble

{u; ueL2(0, T; n), r < u < ~O}.

Remarque 2. Nous venons en fait de montrer que S poss~de un point fixe maximum. Par un raisonnement analogue nous pourrions montrer que S poss~de un point fixe minimum; mais ceci ne nous donne pas l'existence d'une solution minimum pour l'in6quation quasi-variationnelle (2.7) dans l'ensemble

{u;ueL2(O, T; H), tp <u<~b},

car les solutions de (2.7) v6rifient u < S(u), mais peuvent ne pas v6rifier u = S(u). Nous pourrions restreindre la notion de solution de l'in6quation quasi-varia-

tionnelle aux points fixes de S e t obtenir ainsi (comme dans le cas elliptique, cf. TARTAR [1]) l'existence d'une solution maximum et d'une solution minimum.


2.2. Cas des In&luations Quasi-Variationnelles avec Contraintes sur le Bord

Ce cas pourrait se traiter en m~me temps que le 2.1 moyennant des hypoth6ses et notations suppl6mentaires qui nuiraient ~t la clart6 de l'expos6.

Soit f2 un ouvert suffisamment r6gulier de ~,", H = (L2(O)) N, et V= (Hi(f2)) N. Si F est la fronti+re de f2, nous noterons W=(LZ(F)) N.

Soit q~ et q/deux fonctions de L2(0, T; W) avec q~<O. Pour tout ueL2(0, T; W) avec cp <u < ~O on consid6re K(t, u(t)), ensemble convexe ferm6 de V d6fini pour presque tout te l0, T1-. Nous supposerons toujours (2.1), ..., (2.6). Si ueL2(0, T; W) avec cO < u < ~, soit wl = S(u) telle que

o ~ ' V - W x dt+ a(wl'v-wl)dt-~(f'V-wx)dto

+ 2 1 v ( 0 ) - u ~ Vvs~(u ) ; wleK(u),

et w I solution maximum de cette in6quation variationnelle. Nous d6finissons alors S(u)=w--7oWl, trace de w~ sur F x]0, T [ = Z . L'op~rateur S est donc d6fini sur {u; u eL2(0, T; W), ~o __< u < 0} et/l valeurs dans L2(0, T; W).

Definition. On dit que u est une sous-solution de l'in~quation quasi-variationnelle si u<S(u). On dit que ves t une sur-solution de l'inOquation quasi-variationnelle si ~(v)<v.

Th6oreme 2.2. S'il existe une sous-solution q) et une sur-solution ~ de rin~quation quasi-variationnelle avec cp <q i, et si les hypothOses (2.1) . . . . . (2.6) sont satisfaites avec ce choix de q) et O, alors l'inOquation quasi-variationnelle

(2.9) o ~ t ' v - u d t+ a(u,v-u)dt-~(f,v-u)dto

+ 1 iv(0)_uol2>0, Vve~(you) ; ueK(7oU), 2

poss~de une solution maximum dans l'ensemble {v; v6L2(0, T; V), cp < Yo v < 0}.

La dhmonstration de ce thhor4me est analogue ~t celle du Thhor6me 2.1; on montre que l'application S est croissante, puis qu'elle admet un point fixe maximum fi (et 8galement un point fixe minimum).

Soit u=S(fi). On a alors 70 u=fi. Donc K(fi)=K(yoU), et u est solution du problhme (2.9). Soit fi une autre solution de (2.9). Alors 7o h < fi = 7o u, et fi < S(7o fi). D'aprSs (2.6), S(7o fi) < S(~) = u, donc fi < u, d'ofl le Th6orhme 2.2.

2.3. Exemples

(1) Les in6quations quasi-variationnelles consid6r6es par BENSOUSSANS~ LIONS I-1] sont relatives ~t des convexes du type

K(u)= {v; v6L2(0, T; V), v<=M(u)},

off M est une application de LZ(0, T; H) dans les fonctions mesurables de ]0, T[- /~ valeurs dans H, telle que, si cp < u < q/, u --, M(u) soit croissante. Alors en posant


f l . , , (w)=(w-M(u) (t)) +, on v6rifiera ais6ment que les hypoth+ses (2.2), . . . , (2.6) sont satisfaites dans ce cas.

Seule parmi les hypoth6ses relatives aux convexes, l 'hypoth~se (2.1) devra &re impos6e. Elle sera bien stir v&ifi6e, si on sait par exemple (comme c'est le cas darts la pratique) que M(u)> 0 lorsque ~o < u < ~9.

(2) Soit f2 un ouvert de IR", Q = f2 x ]0, T[, et V tel que H~(f2) ~ Vc--~Ha(12). On suppose toujours que l 'application u ~ u + est cont inue de V dans V. Soit

a(u, v) = a ~ j - - - - d x + b~ vdx + ~ aouvdx, i,i=1 c3x i ~xj ~x i i=l

off les air, bi, ao sont dans L~(Q) avec

3/~>0, V ~ R " o n a ~, aij(x,t)~i~j>~[r 2 p.p. sur Q. i , j=l

Alors, 3 ~ > 0, ~ 2 > 0, V v ~ V, on a a(v, v) + 21vl z _-> ~ II v II z p.p. sur (0, T). Soit u ~ M(u) une applicat ion croissante d6finie pour u > 0 et telle que M(u)>O si u=>0. On pour ra prendre, comme B~NSOUSSAN & LIONS [1],

M(u)(x )=k+ inf u(t,x+r off k > 0 . ~ o

Soit f~L2(O, T; V') , f>O (au sens de L2(0, T; V')), et Uo=0 (par exemple). Alors: (i) q~ = 0 est une sous solution. En effet, si q~ v6rifie

on sait que ~o, ~ S(0) dans L2(0, T; H) si e ~ 0. En multipliant l '6quation ci-dessus par q~-, puisque M(0 )> 0, on voit que q~- = 0, d'ofi ~o~ > 0. Par suite S(0)> 0, donc 0 est sous-solution.

(ii) Si ~k est solution de

0(0)=0, 0t

(A est l 'op6rateur de V dans V' associ6/l la forme a ( . , . )), alors ~O est une sur solution, et r > 0. En effet, si qJ~ v6rifie

~t r ~k~ + 2 6 ' ,+ (6 , , - M(t#))+ = f + 2 $, $~(0) =0 ,

on a ~9~ < if, puisque ( ~ - M(~k)) + > 0 (principe du max imum classique). Comme ~k~ ~ S(~9) s i e ~ 0 , alors S(~k)<~k; donc ~, est une sur solution.

Puisque nous avons suppos6 f > 0 , nous avons ~k>0, toujours d'apr6s le principe du maximum.

(iii) Nous sommes donc dans les condit ions d 'applicat ion du Th60r6me 2.1; il existe une solution maximum dans l 'ensemble {v; v ~L2(0, T; L2(f2)), 0 < v < ~b} du


probl6me

(2.9)

ffi, v - u dt+ ~ a~j dxdt 0 i,j=l ~X i ~Xj ~Xj

+ b~ Ou (v_u)dxd t+ I iaoU(V_u)dxd t i=1 0 OXi 0

- ~ ( L v - u ) d t + v(O)12~O, 0

c3v 2 VveL2(0, T; V),-~eI~ (0, T; V'), v<M(u);

u~L2 (0, T; V), u<=M(u).

Remarque. En fait, la solution maximum que nous avons trouv6e ci-dessus est maximum dans l'ensemble {v; v ~ L z (0, T; L 2 (f2)), v > 0}. En effet, il est imm6diat de voir que toute solution de (2.9) est inf6rieure ~t ~k.

(3) En reprenant les espaces et la forme bilin6aire d6finis dans l'exemple (5) du paragraphe 1.2 (V= (HI(f2)) N ou (H x (f2))N), et les convexes K(u) d6finis ~ l'exem- pie (1) ci-dessus, on pourra consid6rer les syst6mes d'in6quations quasi-variationnelles (avec contraintes h l'int6rieur) correspondant ~t des probl6mes de type Dirichlet ou Neumann, et appliquer le Th6or6me 2.1. I1 faudra trouver une sous solution ~o et une sur solution qJ pour assurer l'existence d'une solution maximum de l'in6quation quasi variationnelle. Comme dans l'exemple (2), si f_>_0, Uo = 0 et M(0)>0, nous pourrons exhiber une sous solution (qui est 0) inf6rieure ~ une sur solution.

(4) Si f2 est un ouvert suffisamment r6gulier de 1R" de fronti6re F, soit V--- (H 1 (g2))/~ et W = (L 2 (F)) N, a (., .) d6finie comme pr6c6demment. Soit M une application croissante de L z (0, T; W) dans les fonctions mesurables de ]0, TI- ~t valeurs dans W, telle que M(u)>O si u>0. Si S = F x ]0, T[, soit K(u)= {v; veL2(0, T; V), v/Z<M(u)}, et f~L2(0, T;(L2(f2))N), f > 0. Les op6rateurs de p6nalisation sont alors des op6rateurs <~ sur le b o r d ,

ft,,, (w) = (Yo w - M (u) (t))+,

et il est clair que les hypoth6ses (2.1) . . . . . (2.6) sont v6rifi6es. Montrons qu'alors nous pouvons appliquer le Th6or6me 2.2. Pour eela, nous

allons exhiber une sous solution et une sur solution. Nous noterons encore A l'op6rateur diff6rentiel associ6 ~t la forme a(. , .).

Si u~/2 (0, T; W) et u~0 , soit u~ la solution de

(2.10) ~u~ u~(0)=0, aO~a+l (u~-M(u))+ =O.

Alors, on salt que u~-oS(u) si e ~ 0 (dans L2(0, T;H) fort et L2(0, T; V) faible), avec les notations du paragraphe 2.2. Done ~o u ~ S(u) dans L2(0, T; W) faible si ~ 0 .

Si u=0 , en multipliant par u~ on voit (comme M(0)>0) que u~-=0; done u~>0 et Yo u~>__0. Par suite, S(0)>0, et 0 est une sous-solution.


Soit maintenant ~, solution de

0q, 00 - - + a r ~b (0) =0, - - = 0 . Ot Ov a

Alors d'apr6s le principe du maximum, si dans (2.10) on prend U=yo ~, on a u~<~,. Donc S(~o ~0)<yo ~; par suite Yo ~ est une sur solution. Comme ~ 0 et ~b > 0, donc 7o ~' > 0, et les conditions d'application du Th6or6me 2.2 sont remplies. L'in6quation quasi-variationnelle avec <<contraintes sur le bord>> correspondante admet une solution maximum dans

{v; vsL2 (0, T; V), 0 < v / Z < y o ~0}.

2.4. Quelques Complements

(1) Unicit~

Nous ne pouvons pas espSrer des r~sultats d'unicit8 pour les solutions faibles des in~quations quasi-variationnelles d'Svolution, puisqu'il n'y a d6j/t pas unicit8 dans le cas des inSquations variationnelles d'6volution (cf. chapitre I). Nous allons pourtant donner un rSsultat d'unicit8 pour certaines solutions des in~quations quasi-variationnelles d'6volution (que nous pourrions appeler r solutions>>!), qui correspondent aux points fixes de l'application S (cf. le paragraphe 2.1), sous la condition 8nonc6e par LAErSCH [1] que nous allons rappeler ci-dessous.

Nous supposons, comme au paragraphe 2.3 exemple (1), que K(u)={v; v ~ L 2 (0, T; V), v __< M(u)}, off M est une application de L 2 (0, T; H) dans les fonctions mesurables de ]0, T[ /l valeurs dans H, telle que M(u)>=O si u_>0, et telle que u ~ M (u) soit croissante.

Nous supposons de plus que (condition de Laetsch)

(2.11) V u > 0 et V c ~ [ 0 , 1 [ , 3 f l ~ ] ~ , l ] , f lM(u )<M(~u) .

Nous avons alors

Th~or~me 2.3. Sous les hypothdses prOckdentes, si f > O et u o >0, il existe un point f ixe unique de l'application S dffinie au paragraphe 1. (c'est-d-dire qu'il existe une unique ~bonne solution>> positive de l'in~quation quasi-variationnelle (2.7)).

D/~monstration. L'existence d'un point fixe de S r6sulte du Th6or6me2.1, que nous pouvons appliquer car q~ =0 est sous solution et ~, solution de

- - + A ~ = f , ~, (0) = u o , 0t

est sur solution (avec ~, > ~p). I1 existe donc une solution maximum u 1 de l'in6quation quasi-variationnelle

(2.7) dans l'ensemble {v; v~L z (0, T; H), ~p < v< ~}. I1 est ais6 de voir que cette solution est maximum dans

{v; veL2 (0, T; H), v>=cp}.


Soit ua une autre solution de (2.7), avec u2>O et u2=S(u2). Alors

0m~U2 ~_~U 1 �9

Soit a l e plus grand r6el tel que aul<=u 2. On a ~e[0, 1]. Supposons que Ul~=U 2. Alors a t [ 0 , 1[, et d'apr6s (2.11) il existe fl~]~, 1[ tel que flM(uO<=M(au O. Nous savons que u 1 verifie

o N,v-u, dt+Ia(ul,v-uOdt- [.(f,v-uOdt+ Iv(O)-uol2__>O, o o

~v 2 V veL2(0, T; V ) , ~ e L (0, T; V'), v<M(ul);

Ul~L2(O, T; V), ul<m(u O.

Done u 3 =fl u 1 v6rifie (en multipliant l'in6quation ci-dessus par f12)

T T ~(~- -~-~ ,W--U3) dtq- ! a ( u 3 , w - u 3 ) d t - ~ (fl f , w-u3)dt+~lw(O)-f lUo,2~O, 0 0

~3w z Vw~L2(O, T; V ) , ~ - ~ L (0, T; V'), w<flM(ux): us<tiM(u1).

I1 suffit de montrer que l/3 - - ( / ' / 2 " Ceci terminera la d6monstration car alors I./3 =

fl ul < u2, ce qui contredit la d6finition de ~, donc ul = u2. Montrons done que U3 _~/-/2 .

Comme u 2 = S (u2) d'apr6s la d6finition de S, nous savons que u 2 est la solution maximum de l'in6quation variationnelle associ6e au eonvexe K(u2)={v;v6 L2(0, T; V) vKM(u2) }. Soit u4 la solution maximum de l'in6quation variationnelle assoei6e au convexe {v;ve L 2 (0, T; V), v < fl M(Ul)}, avee deuxi+me membre f l f et donn6e initiale fl Uo. On a u3 < u4. Montrons que u4 <u2.

On a f l f<f , car f > 0 et 0 < f l < l ;

flUo<Uo, car Uo>0 et 0 < f l < l ;

flM(ul)<=M(c~ul)<M(u2), d'apr6s (2.11) et la croissance de M. D'apr6s le Th6or6me 1.4 on a u 4 < u2, d'o6 le th6or6me 2.3.

Remarque. La condition de LAETSCH (2.11) est v6rifi6e, par exemple, si

M(u) = k + inf u(t, x + ~), off k > O. ~_->o

(2) Sch6mas it6ratifs monotones

Nous n'avons, jusqu'& pr6sent, impos6 aucune condition de continuit~ & l'application u ~ K(u). Nous allons voir que sous des hypoth6ses bien faibles, la solution maximum de l'in6quation quasi-variationnelle consid6r6e pourra &re obtenue comme limite d6croissante de sch6mas it6ratifs monotones.

Supposons que K(u)={v;vELZ(O, T; V), v<M(u)}, off M est d6finie comme pr6c6demment et est croissante. Nous supposerons de plus, comme dans BEN-


SOUSSAN & LIONS [2], que

M(v)>O si v > 0 et

siv, ~ v dans L 2 (0, T; V) faible, avec v, > 0 et v > 0, et siv, ~ v dans L2(0, T; H) (2.12) fort en d6croissant, alors M(v,)"~X dans L2(0, T; H) fort, et z<M(v).

Remarque. Cette hypoth~se est v6rifi6e si, par exemple,

M(u) ( t , x )=k+ inf u(t ,x+r k>O. ~>__o

Nous supposerons, ici encore, que feL2(0, T; V') et uoeH avec f > 0 et Uo>0. Nous allons alors consid6rer deux sch6mas it6ratifs

Premier seh6ma. Soit ff solution de

t + A ~k= f ~b(0)=Uo.

D6finissons. (2.13) u~ ~ et, s in > 1, soit u" solution maximum de l'in6quation variationnelle:

o ~-t 'v-u~ dt+~a(u"'v-u")dt-~(f'v-u")dt+o o Iv(O)-u~

Ov 2 (2.14) V v~L2(O, T; V), ~ / ~ (0, T; V'), v<=M(u"-l);

u"eLZ(O, T; V), u"<M(u"-l).

Th6or~me 2.4. Sin tend vers l'infini, alors

u" ~ u dans L z (0, T; V) faible et

u" ~ u dans L 2 (0, T; H) fort (en ddcroissant),

off u est la solution maximum de l'in~quation quasi-variationnelle (2.7) associ~e aux convexes K(u) considdrOs, dans l'ensemble {v; veL2(0, T; H), v>0}.

D6mnnstratinn t II est ais6 de montrer, d'apr6s la d6finition de ~k, la croissance de M, et le Th6or+me de Comparaison 1.4, que

=u~ 1 > ... > u"> ... > q~ =0.

De plus, u" est born6 dans L 2 (0, T; V). Donc

u " ~ u dans L2(O,T;V) faible si n ~ ,

u" ~ u dans L z(O, T; H) fort si n ~ ~ .

0/) 2 Soit veLZ(O, T; V), ~-EL(0, T; V'), v<m(u). Comme m(u)<m(u"), on a

v <M(u") pour tout n. On peut donc passer h la limite dans (2.14), pour montrer que

o ~ , v - u o a(u'v-u)dt-~(f'v-u)dt+zlv(O)-u~ V v< M(u).


M ont rons que u __< M (u). On a, pour tout n, u" =< M (u" - 1) et u __< u"; donc u =< M (u" - 1 ). Mais d 'apr6s (2.12), M(u ~) ~ X avec z<=M(u). D o n c on a Z>=u, d'ofi u<M(u). Par suite u est solution de l ' in6quation quasi-variat ionnel le (2.7).

Reste ~ mont re r que u est solution m a x i m u m d ins {v; v~L2(0, T; H), v=>0}. Si fi est solution de l ' in6quation quasi-variat ionnel le (2.7) avec f i~0 , on sait que fi__<ff, et de proche en proche, d 'apr6s le Th6or6me de C o m p a r a i s o n 1.4 on a fi < u" pour tout n, d'ofl fi < u. Ceci termine le Th6or6me 2.4.

Deuxieme seh6ma. Ce sch6ma est expos6 dans BENSOUSSAN & LIONS [1] et [2]. Soit n--, q~(n) une fonction positive, croissante en n, et telle que

q ~ ( n ) ~ si n - - * ~ . Soit v" d6finie par

~3v ~ ~ - + A v ~ = f, v ~ (0) = u o ,

(2.15) 0v" o ~ + A v"+q~(n)(v"-M(v"-l)) + = f v"(0) = u o.

Ceci ddfinit bien v".

Tb6or~me 2.5. S in tend vers rinfini, alors

v" ~ u dins Lz(0, T; V) faible et

v" ~ u dins L 2 (0, T; H) fort (en d~croissant),

off u est la solution maximum de l'in~quation quasi-variationnelle (2.7), dins

{v; veLZ(0, T; H), v>0} .

D6monstrat ion. On mon t r e d in s BENSOUSSAN & LIONS [1] que

v" --* u d i n s L z (0, T; V) faible si n ~ 0%

v" --. u d i n s L 2 (0, T; H) fort s i n --* oo,

avec v " + l < v", puis que u est solution de l ' in6quation quasi-var iat ionnel le (2.7). Soit fi la solution m a x i m u m de l ' in6quation quasi-variat ionnel le d i n s

{V; v~L2(0, T; H), v>0} .

On sait que fi existe. Soit T l ' op6 ra t eu r qui, ~ w6L2(0, T; H), w > 0 , associe T(w)=z, solut ion m a x i m u m de l ' in6quation variat ionnel le

o -~-{,v-z dr+ a(z,v-z)dt-~(f,v-z)dt+o Iv(O)-u~

VveL2(O, T; V), ~?v 2 ~ e I ~ (0, T; V'), v<=M(w);

zeL2(0, T; V), z<M(w) .

Puisque Tv ~ est limite dOcroissante des solutions des 6quat ions de p6nalisation (cf. pa rag raphe 1.1), on a v ~ > Tv ~


De m~me v 2 > Tv 1,

v"> T v "--t,

Mais, d 'apr6s la croissance de M e t le Th6or6me 1.4, T est une app l i ca t ion croissante. Donc v"> T" v ~ fi, car fi = Tfi et fi < v ~ u > ft. C o m m e u est so lu t ion de l ' in6quat ion quasi -var ia t ionnel le , u < ~, d 'ofl u = fi, ce qui termine la d6mons t ra - t ion du Th6or~me 2.5.

Bibliographie A. BENSOUSSAN, J. L. LIONS [1]

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Analyse Numerique Universit6 Pierre et Marie Curie

Paris

(Received June 10, 1975, revised June 1, 1976)

Documents

Inéquations d'evolution paraboliques avec convexes dépendant du temps. Applications aux inéquations quasi-variationnelles d'evolution