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Équations, inéquationset systèmesdu premier degré
71
Échauffez-vous !
Dans les exercices 1. à 3., reliez par un trait les points correspondants.
1 5 4 9+ = • <3 21 • • Égalité
1 3 5 1+ = - • • Inégalité stricte
>6 5 •
2 x2 6 0H- • <x 0 • • Égalité
x6 0= • • Inégalité stricte
x3 4 42+ = • • Inégalité large
x x4 2 5G- + •
3 x34 6 28= + • y4 12H • • Égalité
x y y2 31+ =- + • • Inégalité stricte
>x y y3 1- + - • • Inégalité large
<x y x7 1- + •
4 Rayez les encadrés inutiles.a) Dans l’égalité x y y2 1 2- =- + , les deux membres sont etx y2 /
etx y y2 1 2- - + .
b) Dans l’inégalité >x x2 1+ - , le premier membre est x / x 2+ et le deuxième membre est x / x 1- .
Vocabulaire
Entre deux nombres ou expressions algébriques :– une égalité s’écrit avec le symbole « = » ;– une inégalité stricte s’écrit avec l’un des symboles « < » ou « > » ;– une inégalité large s’écrit avec l’un des symboles « G » ou « H ».
Les deux membres d’une égalité sont les nombres ou expressions qui fi gurent à gauche et à droite du symbole « = ».
Les deux membres d’une inégalité sont les nombres ou expressions qui fi gurent à gauche et à droite du symbole « > », « < », « H » ou « G ».
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Équations du premier degré à une inconnue
72
1. Traduire une situation avec une équation
■ Énoncé« J’achète 3 exemplaires du produit, j’ajoute les frais de port de 5,35 euros ; cela fait en tout 51,10 euros ! ».
Activité 1
On note x le prix d’un exemplaire du produit acheté par Fred.
1. Cochez l’expression algébrique associée à chaque affi rmation de Fred.
a) « J’achète 3 exemplaires du produit » :
x 3+ x3 , x5 35 3
b) « J’achète 3 exemplaires du produit, j’ajoute les frais de port de 5,35 euros » :
,x 3 5 35+ = ( , )x3 5 35+ ,x3 5 35+ ,x 5 35+
2. Cochez l’équation qui traduit la situation de l’énoncé. , ,x3 5 35 51 10+ = ( , ) ,x3 5 35 51 10+ =
( ) , ,x 3 5 35 51 10#+ = , ,x3 5 35 51 10# + =
2. Vérifi er si un nombre est ou n’est pas solution d’une équation
Résoudre une équation à une inconnue x consiste à trouver toutes les valeurs de x telles que l’égalité soit vraie. Ces valeurs sont appelées solutions de l’équation.
Activité 2 (voir Énoncé en 1.)1. Cochez la case correspondant à la bonne réponse et justifi ez par un calcul. Les trois exemplaires du produit acheté par Fred sont :a) 3 billets de spectacle à 14,50 euros l’unité.
Vrai Faux, car 3 × 14,50 + 5,35 = 48,85 ≠ 51,10.
b) 3 tee-shirts à 11,40 euros l’unité. Vrai Faux, car 3 × 11,40 + 5,35 = 39,55 ≠ 51,10.
2. Cochez la solution de l’équation 3 5,35 51,10x + = parmi les valeurs suivantes. 14,50 11,40 15,25
Activité 3 ■ Rayez l’encadré inutile et justifi ez par un calcul.
a) 11 est / n est pasl solution de l’équation ( )x x2 5 1- = + , car
2 × (11 – 5) = 12 et 11 + 1 = 12 ; l'égalité est vraie.
b) 9 est / n est pasl solution de l’équation ( )x x2 5 1- = + , car
2 × (9 – 5) = 8 et 9 + 1 = 10 ; l'égalité n'est pas vraie.
J’achète 3 exemplaires du produit,j’ajoute les frais de port de 5,35 € ;
cela fait en tout 51,10 € !
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63CHAPITRE 5 • ÉQUATIONS, INÉQUATIONS ET SYSTÈMES 73
3. Comment résoudre une équation du premier degré à une inconnue ?
Résolvez l’équation 6 4 2 6x x+ = - .
Solution
Étape 1 On regroupe tous les termes en x dans le membre de gauche.Pour cela, soustrayez 2x à chaque membre de l’équation, puis simplifi ez :
6x + 4 – 2x = 2x – 6 – 2x ;
4x + 4 = – 6.
On regroupe tous les termes connus dans l’autre membre.Pour cela, soustrayez 4 à chaque membre de l’équation obtenue, puis simplifi ez :
4x + 4 – 4 = – 6 – 4 ;
4x = – 10.
Étape 2 Divisez par 4 chaque membre de l’équation obtenue, puis simplifi ez :
4x
4 = –
10
4 ;
x = – 10
4 = –
5
2 .
Concluez : la solution de l’équation est – 5
2 .
Résolvez l’équation 3 8 3x x- - =- + .
Solution
Étape 1 On ajoute x à chaque membre de l’équation, puis on simplifi e :
– 3x – 8 + x = – x + 3 + x ;
– 2x – 8 = 3.
On ajoute 8 à chaque membre de l’équation, puis on simplifi e :
– 2x – 8 + 8 = 3 + 8 ;
– 2x = 11.
Étape 2 On divise les deux membres de l’équation par – 2 , puis on simplifi e :
– 2x
– 2 =
11
– 2 ;
x = – 11
2 .
La solution de l’équation est – 11
2 .
Méthode 1
Étape 1 Regrouper dans un membre tous les termes où fi gure l’inconnue x et dans l’autre membre tous les termes connus, pour obtenir la forme ax b= , avec a ≠ 0.
Étape 2 Déterminer la solution ab de l’équation en divisant chaque membre de l’égalité
par a.
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Inéquations du premier degré à une inconnue
1. Traduire une situation avec une inéquation
■ ÉnoncéLily a obtenu 12, puis 9 et 15 sur 20 à ses trois premiers contrôles de mathématiques. Elle veut dépasser 12,5 de moyenne au trimestre, et il ne reste qu’un contrôle !
Activité 1
1. Cochez la case correspondant à la bonne réponse et justifi ez par un calcul.La moyenne de Lily après les trois premiers contrôles est 12 sur 20.
Vrai Faux, car 12 + 9 + 15
3 =
36
3 = 12.
2. Cochez la case correspondant à la bonne réponse.On désigne par x la note qu’obtiendra Lily au quatrième contrôle. La moyenne de Lily après le quatrième contrôle sera :
x3
12 9 15+ + + x4
12 9 15+ + + x3
12 9 15+ + +
3. Cochez la case correspondant à la bonne réponse.L’inéquation traduisant la situation de l’énoncé est :
> ,x12 12 5+ > ,x
436
12 5+ > ,x
336
12 5+
2. Vérifi er si un nombre est ou n’est pas solution d’une inéquation
Résoudre une inéquation à une inconnue consiste à trouver toutes les valeurs de x telles que l’inégalité soit vraie.Ces valeurs sont appelées solutions de cette inéquation.
Activité 2 (voir Énoncé en 1.)1. Cochez la case correspondant à la bonne réponse et justifi ez par un calcul. La note indiquée permettrait-elle à Lily de dépasser 12,5 de moyenne au trimestre ?
a) 15 Oui Non, car 36 + 15
4 =
51
4 = 12,75.
b) 13 Oui Non, car 36 + 13
4 =
49
4 = 12,25.
2. Cochez les solutions de l’inéquation 4
36> 12,5
x+ parmi les valeurs suivantes.
12 13 14 15 17
Activité 3 ■ Rayez l'encadré inutile et justifi ez par un calcul.
a) 11 est / n est pasl solution de l’inéquation ( ) <x x2 5 1- + , car 2 × (11 – 5) = 2 × 6 = 12 et 11 + 1 = 12 ; l'inégalité n'est pas vraie.
b) 9 est / n est pasl solution de l’inéquation ( ) <x x2 5 1- + , car 2 × (9 – 5) = 2 × 4 = 8 et 9 + 1 = 10 ; l'inégalité est vraie.
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65CHAPITRE 5 • ÉQUATIONS, INÉQUATIONS ET SYSTÈMES 75
3. Comment résoudre une inéquation du premier degré à une inconnue ?
Résolvez l’inéquation 4 5 < 2 3x x- + .
Solution
Étape 1 On regroupe tous les termes en x dans le membre de gauche. Pour cela, soustrayez 2x à chaque membre de l’inéquation, puis simplifi ez :
4x – 5 – 2x � 2x + 3 – 2x ;
2x – 5 � 3.
On regroupe tous les termes connus dans l’autre membre.Pour cela, ajoutez 5 à chaque membre de l’inéquation obtenue, puis simplifi ez :
2x – 5 + 5 � 3 + 5 ;
2x � 8.
Étape 2 Divisez par 2 chaque membre de l’inéquation obtenue, puis simplifi ez :l’inégalité ne change pas de sens, car 2 � 0 . On a donc :
2x
2 �
8
2 ;
x � 4 .
Concluez : l’intervalle des solutions est ]– ∞ ; 4[ .
Résolvez l’inéquation 6 10 5x xH- - - - .
Solution
Étape 1 On ajoute x à chaque membre de l’inéquation, puis on simplifi e :
– 6x – 10 + x � – x – 5 + x ;
– 5x – 10 � – 5.
On ajoute 10 à chaque membre de l’inéquation obtenue, puis on simplifi e :
– 5x – 10 + 10 � – 5 + 10 ;
– 5x � 5.
Étape 2 On divise par – 5 chaque membre de l’inéquation obtenue, puis on
simplifi e. L’inégalité change de sens, car – 5 � 0 . On a donc : – 5x
– 5 �
5
– 5 ;
x � – 1 .Concluez : l’intervalle des solutions est ]– ∞ ; – 1] .
Méthode 2
Étape 1 Regrouper dans un membre tous les termes où fi gure l’inconnue x et dans l’autre membre tous les termes connus, pour obtenir la forme <ax b (ou >ax b, ou ax bG , ou ax bH ), avec 0a ! .
Étape 2 Déterminer l’intervalle des solutions en divisant chaque membre de l’égalité par a. Attention : lorsque a > 0, l’inégalité ne change pas de sens, mais lorsque a < 0, l’inégalité change de sens.
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Résolution d’un système de deux équations du premier degré à deux inconnues
1. Traduire une situation avec un système de deux équations
■ ÉnoncéDans sa tirelire, Corentin dénombre 35 pièces, les unes de 20 centimes et les autres de 50 centimes, pour une somme totale de 13,90 euros.
Activité 1
On note x le nombre de pièces de 20 centimes et y le nombre de pièces de 50 centimes.
1. Reliez chaque donnée à l’expression algébrique ou à l’équation qui lui correspond.
Nombre total de pièces • • x y+
Montant (en €) en pièces de 20 cts • • 0,5y
Montant (en €) en pièces de 50 cts • • x y 35+ =
Corentin a 35 pièces • • , , ,x y0 2 0 5 13 90+ =
La somme totale est 13,90 euros • • 0,2x
2. Cochez le système qui traduit la situation de l’énoncé.
� x + y = 250,2x + 0,5y = 13,90
� 0,2x + 0,5y = 35x + y = 13,90
� x + y = 2520x + 50y = 13,90
2. Vérifi er si un couple de nombres est ou n’est pas solution d’un système
Résoudre un système de deux équations à deux inconnues x et y consiste à trouver toutes les valeurs du couple ( ; )x y pour lesquelles les égalités sont vraies. Ces valeurs sont appelées solutions du système.
Activité 2 (voir Énoncé en 1.)1. Cochez la bonne réponse et justifi ez par un calcul. Corentin possède :
a) 12 pièces de 20 cts et 23 pièces de 50 cts. Vrai Faux, car 0,2 × 12 + 0,5 × 23 = 13,90 .
b) 23 pièces de 20 cts et 12 pièces de 50 cts. Vrai Faux, car 0,2 × 23 + 0,5 × 12 = 10,60 .
2. Cochez le couple solution du système � x + y = 250,2x + 0,5y = 13,90
parmi les couples suivants.
( ; )23 12 ( ; )20 15 ( ; , )10 3 9 ( ; )12 23
Activité 3 On considère le système :
x yx y x2 3
3 1
= -
- = +* .
■ Rayez l’encadré inutile et justifi ez par un calcul.
a) Le couple ( ; )1 1 est / n est pasl solution du système, car 2 × 1 ≠ 1 – 3 .
b) Le couple( ; )1 1- est / n est pasl solution du système, car 2 × (–1) = 1 – 3 et –1 – 1 = 3 × (–1) + 1 .
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67CHAPITRE 5 • ÉQUATIONS, INÉQUATIONS ET SYSTÈMES 77
3. Comment résoudre, par substitution, un système de deux équations du premier degré à deux inconnues ?
Résolvez, par substitution, le système 2 5
3 10
x yx y= -
- - =-* .
Solution
Étape 1 La première équation permet d’écrire :
2x + y = 5 , c’est-à-dire y = 5 – 2x .
Étape 2 En remplaçant y par cette dernière expression dans la deuxième équation,
on obtient : – x – 3 (5 – 2x) = – 10,
soit : – x – 15 + 6x = – 10 ; 5x – 15 = – 10 ; 5x = 5 ;
x = 5
5 ; x = 1 . Ainsi : x = 1 .
Étape 3 En remplaçant x par cette valeur dans l’expression trouvée à l’étape 1, on
obtient : y = 5 – 2 × 1 = 5 – 2 = 3.
Ainsi : y = 3 .
Étape 4 Le système a pour solution le couple (1 ; 3 ).
Résolvez, par substitution, le système 0,5 1 11 3
2 5 4
x yx y
- = -
+ =- +* .
Solution
Étape 1 La deuxième équation permet d’écrire :
x = – 5y + 4 – 2 , c’est-à-dire x = – 5y + 2 .
Étape 2 En remplaçant x par cette dernière expression dans la première équation,
on obtient : 0,5 (– 5y + 2 ) – 1 = 11 – 3y ;
soit : – 2,5y + 1 – 1 = 11 – 3y ; – 2,5y = 11 – 3y ;
– 2,5y + 3y = 11 ;
0,5y = 11 ; y = 11
0,5 . Ainsi : y = 22 .
Étape 3 En remplaçant y par cette valeur dans l’expression trouvée à l’étape 1, on obtient : x = – 5 × 22 + 2 = –110 + 2 = – 108.
Ainsi : x = – 108 .
Étape 4 Le système a pour solution le couple (– 108 ; 22 ).
Méthode 3
Étape 1 Exprimer y en fonction de x (ou x en fonction de y) à partir de l’une des deux équations.
Étape 2 Remplacer dans l’autre équation y (ou x) par l’expression déterminée à l’étape 1, puis résoudre l’équation du premier degré obtenue, d’inconnue x (ou y).
Étape 3 Déterminer la valeur de y (ou de x) en remplaçant, dans l’expression obtenue à l’étape 1, x (ou y) par sa valeur trouvée à l’étape 2.
Étape 4 Conclure.
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Résolution graphique d’un système de deux équations du premier degré à deux inconnues
1. Déterminer si un point appartient à une droite d’équation donnée
Le plan est rapporté à un repère.a et b sont des nombres donnés.L’ensemble des points de coordonnées ( ; )x y , où x et y sont tels que y ax b= + , est une droite.Cette droite est « la droite d’équation y ax b= + ».a est le coeffi cient directeur de cette droite et b est son ordonnée à l’origine.
Activité 1
On veut déterminer si les points ( ; )A 3 1 et ( ; )B 2 5- appartiennent à la droite � d’équation y x 4=- + .
Rayez les encadrés inutiles.
1. Dans l’expression x 4- + , en remplaçant x par l’abscisse 3 de A, on obtient / n obtient pasl son ordonnée 1. Ainsi, l’égalité y x 4=- + est vérifi ée /
n’est pas vérifi ée , donc le point A appartient / n appartient pasl à la droite �.
2. Dans l’expression x 4- + , en remplaçant x par l’abscisse − 2 de B, on obtient / n obtient pasl son ordonnée 5. Ainsi, l’égalité y x 4=- + est vérifi ée /
n’est pas vérifi ée , donc le point B appartient / n appartient pasl à la droite �.
2. Comment tracer une droite à partir de son équation
Tracez la droite � d’équation 1,5 2y x=- + .
Solution
Étape 1 Sur la droite �, le point A d’abscisse 0 a pour
ordonnée – 1,5 × 0 + 2 = 2 et le point B d’abscisse 1
a pour ordonnée – 1,5 × 1 + 2 = 0,5 .
Étape 2 On place les points A (0 ; 2 ) et
A (1 ; 0,5 ) sur le graphique.Étape 3 On trace la droite �, qui passe par ces points.
b a1
y = ax + b
1
1
O x
y
Méthode 4
Étape 1 Déterminer deux points qui appartiennent à la droite d’équation y ax b= + .
Étape 2 Placer les deux points sur le graphique.
Étape 3 Tracer la droite qui passe par ces deux points.
1
1
O x
y
�
A
B
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69CHAPITRE 5 • ÉQUATIONS, INÉQUATIONS ET SYSTÈMES 79
3. Comment résoudre, graphiquement, un système de deux équations du premier degré à deux inconnues ?
Résolvez graphiquement le système 2 1
2
x yx y- + =
+ =-* .
Solution
Étape 1 Le système x y
x y2 1
2
- + =
+ =-*
est équivalent au système y = 2x + 1� y = – x – 2
.
Étape 2 On trace les droites d’équations
y = 2x + 1 et y = – x – 2 sur le graphique.
Étape 3 On lit que les coordonnées du point d’intersection
des deux droites sont ( –1 ; –1 ). Le système a donc une
seule solution, le couple ( –1 ; –1 ).
Résolvez graphiquement le système 2 1
4 2 2
x yx y
- + =
- =* .
Solution
Étape 1 Le système 2 1
4 2 2
x yx y
- + =
- =*
est équivalent au système y = 2x + 1� y = 2x – 1
.
Étape 2 On trace les droites d’équations y = 2x + 1 et y = 2x – 1 sur le graphique.
Étape 3 Les droites sont parallèles (car elles ont le même coeffi cient directeur : 2) et distinctes. Le système n’a donc aucun couple solution.
Méthode 5
Étape 1 Transformer chacune des équations du système pour obtenir la forme y ax by a x b
= +
= +l l) .
Étape 2 Tracer sur un graphique les deux droites d’équations y ax b= + et y a x b= +l l. Étape 3 Déterminer graphiquement les couples de coordonnées des points communs à ces
deux droites, qui sont les solutions du système :
Cas où a a! l
1
1
O x
yy = ax + b
y = a'x + b'
x0
y0
Cas où a a= l et b b! l
1
1
O x
y
y = ax + by = a'x + b'
Cas où a a= l et b b= l
1
1
O x
y
y = ax + b
y = a'x + b'
Les droites ont un seul point d’intersection, il y a donc un seul couple solution ;x y0 0_ i.
Les droites sont parallèles et distinctes, il n’y a donc aucun couple solution.
Les droites sont confondues, il y a donc une infi nité de couples solutions.
1
1
O x
y y = 2x + 1
y = –x – 2
y = 2x + 1
y = 2x – 1
1
1
O x
y
69
1 a) La solution de l’équation est 3
2.
b) La solution de l’équation est 1.
c) La solution de l’équation est – 8 .
d) La solution de l’équation est 1
3.
2 a) La solution de l’équation est 5
2.
b) La solution de l’équation est – 18
7.
c) La solution de l’équation est – 6.
d) La solution de l’équation est – 9.
3 a) La solution de l’équation est 40.
b) La solution de l’équation est 12.
c) La solution de l’équation est 0.
d) La solution de l’équation est –10.
4 a) La solution de l’équation est 2.
b) La solution de l’équation est – 5
2.
c) La solution de l’équation est 2
3.
d) La solution de l’équation est 2
7.
5 a) La solution de l’équation est – 19
3.
b) La solution de l’équation est –2.
c) La solution de l’équation est – 19
3.
d) La solution de l’équation est – 1
4.
6 a) L’intervalle des solutions est ] – 4
3 ; + ∞[.
b) L’intervalle des solutions est ] –∞ ; 1
5[.
c) L’intervalle des solutions est [– 5
4 ; +∞[.
d) L’intervalle des solutions est ] –∞ ; 1
5] .
7 a) L’intervalle des solutions est [– 5
2 ; +∞[.
b) L’intervalle des solutions est ] –∞ ; 3
10] .
c) L’intervalle des solutions est ] –1 ; +∞[.
d) L’intervalle des solutions est ] –∞ ; − 4
3[.
8 a) L’intervalle des solutions est ] –∞ ; −1[.
b) L’intervalle des solutions est ] –1 ; +∞[.
c) L’intervalle des solutions est [1 ; +∞[.
d) L’intervalle des solutions est ] –∞ ; 13
2] .
9 a) L’intervalle des solutions est ] –∞ ; −1[.
b) L’intervalle des solutions est ] –∞ ; 2].
c) L’intervalle des solutions est ] –∞ ; 0].
d) L’intervalle des solutions est ] –∞ ; 13
4[.
10 a) L’intervalle des solutions est ] –∞ ; − 9
8[.
b) L’intervalle des solutions est ] –9 ; +∞[.
c) L’intervalle des solutions est [ 35
4 ; +∞[.
d) L’intervalle des solutions est ] –∞ ; 4
3] .
11 1. La solution de l’équation est – 2
3.
2. L’intervalle des solutions est ] – 2
3 ; +∞[.
3. x −∞ − 2
3+∞
3x + 2 − 0 +
12 1. La solution de l’équation est 1
4.
2. L’intervalle des solutions est ] −∞ ; 1
4[.
3. x −∞1
4+∞
–4x + 1 + 0 –
13 a) Le système a pour solution le couple (1 ; − 3).
b) Le système a pour solution le couple (0 ; 1).
14 a) Le système a pour solution le couple (− 1 ; −1).
b) Le système a pour solution le couple (2 ; 3).
15 a) Le système a pour solution le couple (− 2 ; 2).
b) Le système a pour solution le couple (5 ; − 2).
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70CHAPITRE 5 • ÉQUATIONS, INÉQUATIONS ET SYSTÈMES 81
16 1. Tracé de � et �́ .
– 7 – 6 – 5 – 4 – 3 – 2 – 1 10 2 3 4 5 6 7 8
7
8
6
5
4
3
2
1
– 1
– 2
– 3
– 4
– 5
– 6
– 7
x
y
�
�'
2. Les droites sont parallèles.
Elles ont le même coeffi cient directeur.
17 1. Tracé de �.
– 7 – 6 – 5 – 4 – 3 – 2 – 1 10 2 3 4 5 6 7 8
7
8
6
5
4
3
2
1
– 1
– 2
– 3
– 4
– 5
– 6
– 7
x
y
�
2. � coupe l’axe des abscisses au point de coordonnées
(1 ; 0).
3. � coupe l’axe des ordonnées au point de coordonnées
(0 ; − 1).
18 1. Tracé de � et �́ .
– 7 – 6 – 5 – 4 – 3 – 2 – 1 10 2 3 4 5 6 7 8
7
8
6
5
4
3
2
1
– 1
– 2
– 3
– 4
– 5
– 6
– 7
x
y
��'
2. Les droites se coupent au point de coordonnées
(− 1 ; − 2).
3. A et E sont des points de la droite �́ ; B, C et E sont des
points de la droite � et F n’appartient à aucune des deux
droites.
19 La droite verte a pour équation y = − 2x + 2 ; la droite
violett e a pour équation y = −x−3 ; la droite bleue a pour équa-
tion y = x + 2 et la droite rouge a pour équation y = x − 3.
20 1. Tracé des droites.
– 7 – 6 – 5 – 4 – 3 – 2 – 1 10 2 3 4 5 6 7 8
7
8
6
5
4
3
2
1
– 1
– 2
– 3
– 4
– 5
– 6
– 7
x
y
y = x + 1
y = –2x + 4
2. Les droites se coupent au point de coordonnées (1 ; 2).
3. Le système est équivalent à y = –2x + 4�y = x + 1
.
Le système a pour solution le couple (1 ; 2). © N
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82 71
21 a) Le système est équivalent à y = –x – 1�y = 2x – 4
.
– 7 – 6 – 5 – 4 – 3 – 2 – 1 10 2 3 4 5 6 7 8
7
8
6
5
4
3
2
1
– 1
– 2
– 3
– 4
– 5
– 6
– 7
x
y
y = 2x – 4
y = –x – 1
Le système a pour solution le couple (1 ; –2).
b) Le système est équivalent à y = –x + 5�y = 2x – 1
.
– 7 – 6 – 5 – 4 – 3 – 2 – 1 10 2 3 4 5 6 7 8
7
8
6
5
4
3
2
1
– 1
– 2
– 3
– 4
– 5
– 6
– 7
x
y
y = 2x – 1
y = –x + 5
Le système a pour solution le couple (2 ; 3).
22 1. AB = 2x.
2. P = 2(AB + AD)=2(2x + x) = 6x ; on résout alors l’équation
6x = 21, soit x = 21
6 = 3,5.
Ainsi, ABCD est un rectangle de largeur 3,5 cm et de
longueur 7 cm.
23 1. a) Avec la formule 1, pour x DVD il faut payer, en
euros, 4x.
b) Avec la formule 2, pour x DVD il faut payer, en euros,
18 +2,5x.
c) Avec la formule 3, pour x DVD il faut payer, en euros,
40 + 1,5x.
2. L’inéquation 2,5x + 18 > 4x est équivalente à x < 12. Cela
signifi e que la formule 1 est plus avantageuse que la formule
2 lorsqu’on loue moins de 12 DVD par an.
3. L’inéquation 40 + 1,5x < 18 + 2,5x est équivalente à
x > 22. Cela signifi e que la formule 3 est plus avantageuse
que la formule 2 lorsqu’on loue plus de 22 DVD par an.
24 1. La première équation permet d’écrire
y = 1
2( 23,5 – 5x).
Avec la deuxième équation, on a alors :
3x + 4( 1
2 ( 23,5 – 5x)) = 29,5, soit successivement
3x + 47 – 10x = 29,5 ; −7x = −17,5 ; x = 2,5.
Ainsi, y = 1
2 ( 23,5 – 5×2,5) = 5,5.
Le système a pour solution le couple (2,5 ; 5,5).
2. a) Mise en équations : 5 enfants et 2 adultes ont payé
23,50 €, donc 5x + 2y = 23,5 ;
3 enfants et 4 adultes ont payé 29,50 €, donc 3x + 4y = 29,5.
Le problème se ramène donc à la résolution du système (S).
b) Le prix du billet enfant est 2,50 €, celui du billet adulte
5,50 €.
25 Soit x le nombre de billets vendus de 1re catégorie et
y le nombre de billets vendus de 2e catégorie.
120 personnes ont assisté au spectacle : x + y =120 ;
la recett e totale est 2 112 euros : 20x + 12y = 2 112.
On a donc le système : x + y = 120�20x + 12y = 2 112
.
Le système a pour solution le couple (84 ; 36) :
84 billets de 1re catégorie et 36 billets de 2e catégorie ont
été vendus.
26 On résout l’équation 3A−152 =−11 ; la solution est 47.
27 Le bénéfi ce par crêpe vendue est 1,70 €.
Soit x le nombre de crêpes vendues.
On résout l’inéquation 1,7x > 50, soit x > 29,4 (arrondi au
dixième).
Armelle doit vendre au moins 30 crêpes pour obtenir un
bénéfi ce supérieur à 50 €.
28 Aire du carré ABCD en cm² : x².
Aire du rectangle : (x + 5 )(x – 3).
On résout l’équation x² = (x + 5 )(x – 3).
Cette équation est successivement équivalente à :
x² = x² +2x – 15 ; 2x – 15 = 0 ; x = 7,5.
Le carré et le rectangle ont la même aire pour x = 7,5 cm.
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72CHAPITRE 5 • ÉQUATIONS, INÉQUATIONS ET SYSTÈMES 83
29 Partie A1. Tracé des droites
– 2 20 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26
20
22
18
16
14
12
108
42
– 2
– 4
– 6
6
x
y
y = –x + 20y = x – 3
4
11
4
2. a) Les droites se coupent au point de coordonnées (13 ; 7 ).
b) x + y = 20�3x – 4y = 11 équivaut à
y = – x + 20�y = 3
4 x –
11
4
, dont
le couple solution est le couple des coordonnées du point
d’intersection des deux droites de la question 1., soit
le couple (13 ; 7).
Partie BSoit x le nombre de parties gagnées et y le nombre de parties
perdues.
Héloïse a joué 20 parties : x + y = 20 ;
à la fi n des 20 parties elle a gagné 11 euros : 3x – 4y = 11.
On a le système : x + y = 20�3x – 4y = 11
.
Ce système a pour solution le couple (13 ; 7).
Héloïse a donc perdu 7 parties.
30 Prix à payer pour x matches avec la formule A : 12x.
Prix à payer pour x matches avec la formule B : 110 euros.
On résout l’inéquation 12x > 110, équivalente à x > 9,2
(arrondi à 0,1).
La formule B est plus avantageuse à partir de 10 matches.
31 On sait que qA +
qB +
qC = 180°,
qA = 90° et
qB = 2
qC.
On résout l’équation 90° + 2qC +
qC =180°, soit 3
qC = 90°.
La solution de l’équation est qC = 30°.
On a donc qA = 90°,
qB = 60° et
qC = 30°.
32 1. Soit x et y les nombres cherchés.
Système : x + y = 108�x – y = 48
.
2. Le système a pour solution le couple (78 ; 30).
Les nombres cherchés sont 78 et 30.
33 Partie A1. Les droites associées au système ont pour équations
respectives :
y = −x + 26 et y = − 4
5x + 24.
2. Tracé des droites.
20 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28
20
22
24
26
18
16
14
12
108
42
– 2
– 4
– 6
6
x
y
3. Le système a pour solution le couple (10 ; 16).
Partie BLa classe compte 26 élèves : x + y = 26.
40 % des garçons et 50 % des fi lles font du sport, soit 12
élèves : 0,4x + 0,5y =12 ; ou encore, en multipliant les deux
membres de l’équation par 10 : 4x + 5y =120.
Système : x + y = 26�4x + 5y = 120
.
Ce système a pour solution le couple (10 ; 16).
La classe compte 10 garçons et 16 fi lles.
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Résolution graphique d’un système de deux équations du premier degré à deux inconnues
1. Quelles sont les équations des droites associées au système x yx y
22 1
- =-
+ =-* ?
y = x + 2 et y = – 2x – 1.
On a obtenu le tableau et le graphique suivants sur tableur.
2. Expliquer comment remplir la colonne A sans saisir les valeurs une à une.
On entre – 5 dans la cellule A2 et – 4,5 dans la cellule A3 ; on sélectionne
ces deux cellules que l'on recopie jusqu'à la cellule A22.
3. Parmi les formules suivantes, entourer celle qui a été entrée dans la cellule B2, puis copiée jusqu’à la cellule B22.
A2= A2 2= + B2 2= + B2=
4. Quelle formule a été entrée dans la cellule C2, puis copiée jusqu’à la cellule C22 ?
= –2*A2–1 .
5. Déterminer à l’aide du graphique le couple solution du système.
C'est le couple (– 1 ;1).
6. Sur quelle ligne et dans quelles cellules du tableur retrouve-t-on ce résultat ? Commentez la réponse.
Sur la ligne 10, pour la valeur x = – 1 de la cellule A10, les valeurs
des cellules B10 et C10 sont égales à 1.
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COMMEÀ L’ÉCRAN
84 74
75 75CHAPITRE 1 • INFORMATION CHIFFRÉE : PROPORTIONNALITÉ, ÉCHELLES CHAPITRE 5 • ÉQUATIONS, INÉQUATIONS ET SYSTÈMES 85
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ÉvaluationNom
Prénom
Classe
Date
Exercice 1 4 points
Résoudre chacune des équations suivantes.
1. x x5 2 10- + = - .
– 5x – x + 2 = x – 10 – x ; – 6x + 2 = –10 ; – 6x + 2 – 2 = –10 – 2 ;
– 6x = – 12 ; x = –12
– 6 = 2. La solution est 2.
2. ( ) ( )x x x x3 5 2 3 1- + =- - + - .
3x – 15 + x = – 2x + 6 + x – 1 ; 4x – 15 = – x + 5 ; 4x + x = 5 + 15 ;
5x = 20 ; x = 20
5 = 4.
La solution est 4.
Exercice 2 4 points
Résoudre chacune des inéquations suivantes.
1. <x7 4 10+ - .
7x � – 10 – 4 ; 7x � –14 ; x � – 14
7 ; x � – 2.
L'intervalle des solutions est ]– ∞ ; – 2[.
2. ( ) ( )x x2 3 6 3 5 1G- - - - - + .
– 2x + 6 � 18x + 30 + 1 ; –2x – 18x � 31 – 6 ; – 20x � 25 ;
x � 25
–20 ; x � –
5
4.
L'intervalle des solutions est [ – 5
4 ; + ∞ [.
Exercice 3 3 points
Résoudre le système d’équations x y
x y3 5
2 3
- + =-
+ =-* .
La première équation équivaut à y = – 5 + 3x.
Avec la deuxième équation : x + 2 (– 5 + 3x) = – 3 ; x – 10 + 6x = – 3 ;
7x = – 3 + 10 ; 7x = 7 ; x = 7
7 ; x = 1.
En reportant dans y = – 5 + 3x, on obtient y = – 5 + 3 × 1 = – 5 + 3 = – 2.
Le système a pour solution le couple (1 ; – 2).
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Problème 9 points
Le plan est rapporté à un repère.
On considère les droites � et �' d’équations y = – 1,5x + 8,5 et y = – 2x + 10,5.
On donne ci-dessous un tracé de �'.
1. Déterminer les coordonnées de deux points distincts de �, puis tracer � sur le graphique.
Pour x = 1, on obtient y = – 1,5 × 1 + 8,5 = – 1,5 + 8,5 = 7.
Pour x = 3, on obtient y = – 1,5 × 3 + 8,5 = – 4,5 + 8,5 = 4.
� passe par les points de coordonnées (1 ; 7) et (3 ; 4).
1 2 3 4 5 6 7
2
1
– 1
3
4
5
6
7
8
9
O x
y
�'
�
2. En utilisant la question 1., résoudre graphiquement le système � 6x + 4y = 344x + 2y = 21
.
Le système est équivalent à y =–
6
4 x +
34
4 � y =–
4
2 x +
21
2
,
soit y = –1,5x + 8,5� y = –2x + 10,5
. Le couple solution est (4 ; 2,5).
3. Un magasin propose deux types de rangement pour DVD : des boîtes et des classeurs. Léa achète 6 boîtes et 4 classeurs et paye 34 euros ; Hugo achète 4 boîtes et 2 classeurs et paye 21 euros. On veut déterminer le prix x d’une boîte et le prix y d’un classeur.
Expliquer pourquoi le problème se ramène à la résolution du système d’équations de la question 2., puis donner le prix d’une boîte et le prix d’un classeur.
6 boîtes et 4 classeurs coûtent 34 € : 6x + 4y = 34 ;
4 boîtes et 2 classeurs coûtent 21 € : 4x + 2y = 21.
On doit, pour trouver x et y, résoudre le système 6x + 4y = 34� 4x + 2y = 21
.
Une boîte coûte 4 € et un classeur coûte 2,50 €.
