Institut de Mathématiques de Luminy RAPPORT ...iml.univ-mrs.fr/.../RA2003-2004/UMR6206-RA_2003-2004.pdfInstitut de Mathématiques de Luminy ORGANISATION DES ACTIVITÉS SCIENTIQUES

Institut de Mathématiques de Luminy

RAPPORT SCIENTIFIQUE 2003-2004Sommaire

I - Introduction Présentation de l'IML 2

II - Ressources humaines Liste des personnels permanents (annexe : organigramme ITA) 3-4

Les moyennes d'âge 5

Mobilité des permanents 6

III - Activité scientifique Organisation : séminaires, groupes de travail, colloques, écoles, rencontres 7-9

LDP - Logique De la Programmation 10-16

ATI - Arithmétique et Théorie de l'Information 17-24

SGT - Singularités en Géométrie et Topologie 25-27

RGR - Représentation des Groupes Réductifs 28-30

DAC - Dynamique, Arithmétique et Combinatoire 31-42

AOG - Algèbres d'Opérateurs et Géométrie 43-46

MMG - Méthodes Mathématiques pour la Génomique 47-52

III - Formation par la recherche Master MDFI 53-54

Master Mathématiques 55-56

Ecole Doctorale Mathématiques et Informatique de Marseille (ED n° 184) 57

Liste des doctorants et des post-doctorants 58

Liste des thèses et des habilitations soutenues 59

IV - Coopération externe Actions Incitatives Concertées (ACI) 60

Contrats industriels, autres contrats 61

Actions pédagogiques 62-63

V - Coopération internationale Accords et projets de coopération 64-66

Liste des doctorants et des post-doctorants étrangers 67-68

Liste des invités étrangers 69-70

VI - Publications Liste par thématiques : LDP, ATI, SGT, RGR, DAC, AOG, MMG 71-84


PRÉSENTATION

En 2006, l'Institut de Mathématiques de Luminy (IML) fêtera ses 10 ans.

Si on veut comprendre la nature de l'Institut, il n'est pas inutile de revenir aux circonstances de sa création.

Une première structure de recherches a été créée à Luminy en 1992. C'était à l'époque une opération de délocalisation parmi d'autres effectuée à Luminy, voulue par la Direction du CNRS. Il y a eu d'autres opérations analogues menées à cette époque, notamment à l'INSERM. Celle concernant les mathématiques a été menée sous la tutelle du CNRS, et l'IML est un avatar de ce premier Laboratoire.

Le site de Luminy était propice à la création d'une nouvelle unité, notamment en raison de la présence du CIRM. Le projet consistait à créer un laboratoire nouveau, orienté en partie vers l'interface entre les mathématiques et l'informatique, et développant les échanges internationaux.

Douze ans plus tard, on peut dire que les racines de l'Institut sont bien enracinées dans le sol :

L'unité propre est devenue une unité mixte le premier janvier 2004, ce qui lui permet des liens plus étroits avec l'Université de la Méditerranée, la Mission Scientifique, Technique et Pédagogique (MSTP) et la Direction de la Recherche (DR) du Ministère délégué à la recherche et aux nouvelles technologies.

L'Institut est membre de la Fédération de Recherches des Unités de Mathématiques de Marseille (FRUMAM). Cette fédération dynamise nos relations avec les autres unités du site : le LATP, situé à Château-Gombert, et le Centre de Physique Théorique. Grâce à cette structure, les actions communes entre les unités se développent, le développement de projets transversaux émergents est facilité, et on peut harmoniser les thématiques développées dans chaque unité.

Les relations internationales sont très fortes, et la synergie des échanges avec les chercheurs étrangers est maintenue, en dépit de la diminution des postes rouges qui lui étaient affectés. L'unité maintient des liens structurels étroits avec les UMI de Santiago et de Moscou.

Les périodes spéciales annuelles, créées par François Blanchard, qui se déroulent au CIRM, attirent de nombreux visiteurs étrangers : Algèbres d'Opérateurs et Géométrie non Commutative en 2003 ; Arithmétique, Géométrie Algébrique et Théorie de l'Information en 2004 ; Singularités en 2005. Un cycle de conférences d'un mois est prévu pour 2006, organisé par Dennis Gaitsgory.

Enfin, l'arrivée d'éléments nouveaux a élargi le spectre des thématiques développées.

Gilles Lachaud


(au 01/01/2005)PERSONNELS PERMANENTS

par thématiques

ARITHMÉTIQUE ET THÉORIEDE L'INFORMATION (ATI)

DYNAMIQUE ARITHMÉTIQUE ET COMBINATOIRE (DAC)

OPÉRATEURS D'ALGÈBRESET GÉOMÉTRIE (OAG)

7 membres permanents 11 membres permanents 3,5 membres permanentsLACHAUD Gilles (DR) ARNOUX Pierre (P) KASPAROV Gennadi (DR)

LAURENT Michel-Julien (DR) BLANCHARD François (DR) PUSCHNIGG Michael (P)

LOUBOUTIN Stéphane (P) BRESSAUD Xavier (MC) WASSERMANN Antony (DR)

RODIER François (DR) CASSAIGNE Julien (CR) ZEKRI Richard (P), 50%

ROLLAND Robert (MC) FAIVRE Christian (MC)

TSFASMAN Michaël (DR) FERENCZI Sébastien (CR)

VLADUTS Serge (P) HUBERT Pascal (MC)

MAUDUIT Christian (P)

NOGUEIRA Arnaldo (P)

RIVAT Joël (P)

TROUBETZKOY Serge (P)

2 professeurs éméritesFAURE Henri

RAUZY Gérard

REPRÉSENTATION DES GROUPES RÉDUCTIFS (RGR)

LOGIQUE DE LA PROGRAMMATION (LDP)

MÉTHODES MATHÉMATIQUES

POUR LA GÉNOMIQUE (MMG)

5,5 membres permanents 10 membres permanents 5 membres permanentsBLANC Philippe (CR) EHRHARD Thomas (DR) DIDIER Gilles (CR)

DELORME Patrick (P) FLEURY-DONNADIEU (MC) GHATTAS Badih (MC)

KLIMCIK Ctirad (P) GIRARD Jean-Yves (DR) GUÉNOCHE Alain (CR)

LABESSE Jean-Pierre (P) ILLE Pierre (MC) MOSSÉ Brigitte (MC)

SÉCHERRE Vincent (MC) LAFONT Yves (P) RÉMY Élisabeth (CR)

ZEKRI Richard (P), 50% QUATRINI Myriam (MC)

RAMBAUD Christiane (MC)

1 professeur émérite RAUZY Antoine (CR)

CARMONA Jacques REGNIER Laurent (P)

RUET Paul (CR)

1 DR Associé (20%)ANDREOLI Jean-Marc (Xerox)

1 professeur émériteLOPEZ Gérard

SINGULARITÉS EN GÉOMÉTRIE

ET TOPOLOGIE (SGT)

MOYENS COMMUNS (ITA)

2 membres permanents 5 membres permanentsBRASSELET Jean-Paul (DR) BARTHELÈMY Pierre (IR)

PICHON Anne (MC) ERISMANN Jean-Bruno (T)

LOZINGOT Aurélia (T)

LOZINGOT Eric (AI)

ROUX Corinne (T)

Effectif total des permanents : 47

NB : Les responsables des thématiques sont indiqués en gras et en bleu


LES ÂGES DE L'IML

ARITHMÉTIQUE ET THÉORIE DE L'INFORMATION

LACHAUD Gilles DR 58 ansLAURENT Michel DR 52 ansLOUBOUTIN Stéphane Pr 45 ansRODIER Francois DR 55 ansROLLAND Robert MC 59 ansTSFASMAN Michaël DR 50 ansVLADUTS Serge Pr 50 ans

Moyenne ATI : 52,7 ans

DYNAMIQUE ARITHMÉTIQUE ET COMBINATOIRE

ARNOUX Pierre Pr 47 ansBLANCHARD Francois DR 58 ansBRESSAUD Xavier MC 35 ansCASSAIGNE Julien CR 34 ansFAIVRE Christian MC 43 ansFERENCZI Sebastien CR 46 ansHUBERT Pascal MC 35 ansMAUDUIT Christian Pr 45 ansNOGUEIRA Arnaldo Pr 54 ansRIVAT Joël Pr 38 ansTROUBETZKOY Serge Pr 44 ans

Moyenne DAC : 43,5 ans

OPÉRATEURS D'ALGÈBRES ET GÉOMÉTRIE / REPRÉSENTATION DES GROUPES RÉDUCTIFS

BLANC Philippe CR 53 ansDELORME Patrick Pr 53 ansKASPAROV Guennadi DR 56 ansKLIMCIK Citrad Pr 43 ansLABESSE Jean-Pierre Pr 61 ansPUSCHNIGG Michael Pr 45 ansSECHERRE Vincent MC 28 ansWASSERMANN Antony DR 47 ansZEKRI Richard Pr 43 ans

Moyenne OAG/RGR : 47,7 ans

LOGIQUE DE LA PROGRAMMATION

DONNADIEU Marie R. MC 58 ansEHRHARD Thomas CR 43 ansGIRARD Jean-Yves DR 57 ansILLE Pierre CR 42 ansLAFONT Yves Pr 43 ansQUATRINI Myriam MC 37 ansRAMBAUD Christiane MC 59 ansRAUZY Antoine CR 42 ansREGNIER Laurent Pr 40 ansRUET Paul CR 35 ans

Moyenne LDP : 45,6 ans

MÉTHODES MATHÉMATIQUES POUR LA GÉNOMIQUE

DIDIER Gilles CR 37 ansGHATTAS Badih MC 33 ansGUÉNOCHE Alain CR 57 ansMOSSÉ Brigitte MC 47 ansRÉMY Élisabeth CR 32 ans

Moyenne MMG : 39,6 ans

SINGULARITÉS EN GÉOMÉTRIE ET TOPOLOGIE

BRASSELET Jean-Paul DR 59 ansPICHON Anne MC 36 ans

Moyenne SGT : 47,5 ans

MOYENNE GÉNÉRALE D'ÂGE : 46 ans


MOBILITÉ DES PERMANENTS

Départs

Noms-prénoms G r ade M o t i f Organisme accue i l

Date

BODIN France T Mutation FR 2291 (FRUMAM) 01/07/2004

BROHAN Jeanine T Retraite - 01/09/2004

Arrivées

Noms-prénoms G r ade M o t i f Organisme o r i g i n e

Date Thème

DIDIER Gilles CR Mutation ESA 8087 (Versailles) 17/11/2004 MMG

RIVAT Joël P Mutation UMR 7502 (Nancy) 01/02/2004 DACROUX Corinne T Mutation UMR 6207 (CPT) 01/01/2005 -

SÉCHERRE Vincent MC Recrutement - 01/09/2004 RGR

Mobilités temporaires

Noms-prénoms G r ade M o t i f Organisme d 'accue i l

P é r i o de Thème

BRESSAUD Xavier MC Détaché au CNRS

Centre Modélisation Mathématique, Santiago, Chili

2002-2003 DAC

KASPAROV Guennadi DR Détachement Université Vanderbilt,

Nashville, USA

du 01/01/2003 au 31/12/2005

AOG

PUSCHNIGG P Disponibilité - à partir du01/08/2004

AOG

Changement de statut

Noms-prénoms Ancien G r ade

M o t i f Nouveau Grade Date Thème

REGNIER Laurent CR Recrutement Prof (U2) 01/09/2003 LDP

Délégation au CNRS

Noms-prénoms Statut Organisme origine Pé r i o de Thème

AUBRY Yves MC Université de Caen 01/09/200031/08/2004

ATI

Pour info : 1 recrutement de Maître de Conf. (Tichit) pour MMG en 2005


ORGANISATION DES ACTIVITÉS SCIENTIQUES

SÉMINAIRES

1 - Arithmétique et Théorie de l'Information Organisé par F. Rodier (ATI). Hebdomadaire.2 - Dynamique, Arithmétique et Combinatoire (Ernest)Organisé par P. Hubert (DAC). Hebdomadaire.3 - Géométrie Non Commutative et Physique ThéoriqueOrganisé par la FRUMAM* en communavec l'IML (A. Wassermann, GNC), le Centre de Physique Théorique (CPT) et le

. Hebdomadaire. Laboratoire

d'Analyse Topologie Probabilités (LATP)4 - Logique de la ProgrammationOrganisé par M.-R. Donnadieu (LDP). Fréquence variable.5 - Mathématiques Appliquées à la Génomique : Modèles et Algorithmes (MAGMA)Organisé par B. Mossé (MMG) et E. Remy (MMG). Hebdomadaire.6 - Singularités en Géométrie et TopologieOrganisé par la FRUMAM* en commun avec l'IML (J.-P. Brasselet, SGT) et le Laboratoire d'Analyse Topologie Probabilités (LATP). Hebdomadaire.

GROUPES DE TRAVAIL

Marches aléatoires et bords de groupes (BGMA)Organisé par X. Bressaud (DAC), P. Mathieu et C. Pittet (LATP). Hebdomadaire.TeichmüllerOrganisé par P. Hubert (DAC) et M. Lustig (LATP). Hebdomadaire.Groupes réductifsOrganisé par . Fréquence variable.Patrick Delorme (RGR) et Jean-Pierre Labesse (RGR), à l'IMLLogique de la programmationOrganisé par M.-R. Donnadieu (LDP), à l'IML. Fréquence variable.Statistique génome et régulationOrganisé par B. Ghattas (MMG), à l'IML. Fréquence variable.Homotopie du calculOrganisé par Y. Guiraud (LDP), à l'IML. Fréquence variable.Réalisabilité classiqueOrganisé par P. Ruet (LDP), à l'IML. Fréquence variable.ÉtudiantOrganisé par P. Hyvernat (LDP), à l'IML. Fréquence variable.Philosophie et logique contemporainesOrganisé par S. Tronçon (LDP), à l'IML. Fréquence variable.Variétés sur les corps finisOrganisé par A. Tsfasman (ATI), au CIRM du 22 au 26 septembre 2003.Substitutions généralisées, pavages et numérationOrganisé par P. Arnoux (DAC), V. Berthé, A. Siegel, au CIRM, 5 jours en 2003 et 2004.Porq'rollOrganisé par P. Hubert (DAC), X. Bressaud (DAC), à Porquerolles en 2003 et 2004.Alphy : Alignement et phylogénieOrganisé par A. Guénoche (MMG), à Lyon 1 en janvier 2004.Codes géométrie-algébriques et leur "list decoding"Organisé par S. Vladuts (ATI), au CIRM du 22 au 26 juin 2004.Descente du corps de base d'un tour de corps de fonctions sur un corps finiOrganisé par R. Rolland (ATI), au CIRM du 5 au 9 juillet 2004.ACI GEOCAL : Logiques spatialesOrganisé par T. Ehrhard (LDP), à l'IML, le 16 novembre 2004.

COLLOQUES

Thèmes lieu DatesSingularités franco-japonaisesOrganisateurs : J.-P. Brasselet (SGT) & T. Suwa (Hokkaido University, Sapporo)

CIRM, Luminy(France) du 9 au 13 septembre 2002

Analyse spectrale et hypothèse de RiemannOrganisateur : G. Lachaud (ATI)

Univ. Cergy-Pontoise Décembre 2002

Codes et cryptographieOrganisateurs : R. Rolland (ATI), C. Carlet (INRIA), P. Liardet (LATP)

CIRM, Luminy(France) du 12 au 15 novembre 2002

Arithmétique, géométrie et théorie des codes (AGCT-9)Organisateurs: F. Rodier (ATI), S. Vladut (IML)

CIRM, Luminy(France) du 19 au 23 mai 2003

Rencontre sur les outils algorithmiques de la sûreté de fonctionnementOrganisé par A. Rauzy (LDP)

CIRM, Luminy(France) du 20 au 24 octobre 2003

1 rencontre de l'ACI GEOCAL : Géométrie du calcul

ère

Organisateur : T. Ehrhard (LDP)

IML(Amphithéâthe Herbrand) du 26 au 27 janvier 2004

Géométrie non commutative en mathématiques et physiqueOrganisateurs : A. Wassermann (AOG), T. Schücker (CPT)

CIRM, Luminy(France)

du 26 janvier au 20 février 2004

Systèmes dynamiques multidimensionnelsnon-uniformément hyperboliquesOrganisateurs: S. Vaienti (CPT), X. Bressaud (DAC)

CIRM, Luminy(France) du 24 au 28 mai 2004

VIIIème Rencontre Internationale de Sao Carlos sur les singularités réelles et complexesOrganisateurs: M.-A. Ruas (Prof., Univ. Sao Paulo),J.-P.Brasselet (SGT)

CIRM, Luminy(France) du 19 au 23 juillet 2004

Singularités en Géométrie et Topologie, 3ème congrès franco-japonaisOrganisateurs : J.-P. Brasselet (SGT), T. Suwa (Hokkaido University, Sapporo)

Univ. d'Hokkaido(Sapporo, Japon) du 13 au 17 septembre 2004

Rencontre de l'ACI GEOCAL :Constructivisme et extraction de programmes à partir de preuves (en l'honneur de Per Martin-Löf) Organisateur : T. Ehrhard (LDP)

Faculté des sciences de Luminy du 23 au 24 novembre 2004

ÉCOLES

Intitulés lieu DatesÉcole Européenne Géométrie Algébrique et Théorie de l'Information (GATI)Organisateurs : G. Lachaud (ATI), Y. Aubry (ATI)

CIRM(Luminy, France) du 12 au 16 mai 2003

Dynamique dans l'espace de Teichmüller et applications aux billards rationnelsOrganisateur : Pascal Hubert (DAC)

IML(Amphithéâthe

Herbrand)du 26 au 28 juin 2003

École du CIMPA-UNESCO-Univ.Mexico : Arithmétique, algèbre commutative, géométrie algébrique et applications, en liaison avec le calcul formelOrganisateurs : CIMPA, H. Tapia-Recillas (Univ. Mexique), R. Rolland (ATI).

Guanajuato(Mexique)

du 18 août au 6 septembre 2003

École thématique : Théorie ErgodiqueOrganisateur : X. Bressaud (DAC)

CIRM(Luminy, France) du 17 au 21 mai 2004

RENCONTRES

Thèmes lieu Dates

AZUR'CRYPTIML

(Amphithéâthe Herbrand)

3 février 2004

Rencontre INMED-IML : problèmes de modélisation posés par la neurophysiologieOrganisateur : F. BlanchardIntervenant : Yehezkel Ben Ari (directeur de l'INMED)

IML(Amphithéâthe

Herbrand)18 février 2004

Rencontre INMED-IML : Projet HippocampeIntervenante : Constance Hammond (DR INMED)

IML(Amphithéâthe

Herbrand)30 septembre 2004

* Fédération de Recherche des Unités de Mathématiques de Marseille.


RAPPORT D'ACTIVITÉ

LOGIQUE DE LA PROGRAMMATION

1. 2.

INTRODUCTIONTHEMES DE RECHERCHE PRINCIPAUX

2.1. Focalisation, logique polarisée ludique et logique locative2.2. Sémantique dénotationnelle2.3. Lambda-calcul et réseaux différentiels2.4. Réseaux de preuves et d'interaction2.5. Systèmes à complexité bornée2.6. Logique et quantique2.7. Logique et philosophie2.8. Réécriture en dimension supérieure2.9. Combinatoire des graphes et des relations2.10. Algorithmique pour la sûreté du fonctionnement

3. ACTIVITES EXTERNES

1. INTRODUCTION

Initialement centré sur le paradigme de Curry-Howard (programmes vus comme preuves logiques), ce thème a tendu ces dernières années à s'élargir, couvrant désormais plus largement les liens que les mathématiques entretiennent avec la théorie du calcul et de la programmation.

Le paradigme de Curry-Howard reste central. Il s'agit à l'origine de la constatation d'un isomorphisme entre les preuves intuitionnistes et le lambda-calcul typé (formules/types, preuves/termes, élimination descoupures/bêta-réduction). Il a été largement étendu : à la logique classique en particulier (les principes classiques, comme la loi de Pierce, correspondant à des primitives de programmation "non locales" comme les exceptions et le continuations, bien connus des informaticiens) et bien sûr à la logique linéaire, qui est dès le départ un raffinement de la logique intuitionniste Curry-Howard. La logique linéaire a permis notamment la mise au point de nouvelles représentations plus géométriques des preuves/programmes : lesréseaux de preuves et les réseaux d'interaction. Elle a également permis une nouvelle analyse du calcul, associant aux preuves des opérateurs sur des espaces de Hilbert : la . Par ce biais, des liens longtemps pressentis entre logique et mécanique quantique semblent devoir prendre corps. Enfin, le contrôle des règles structurelles que fournit la logique linéaire permet de construire des systèmes logiques dans lesquels la complexité de l'élimination des coupures est bornée (élémentairement ou polynomialement) ce qui à terme pourrait mener à des langages de programmation à complexité bornée. La correspondance de Curry-Howard comporte par ailleurs un volet où les formules/types sont interprétés par des espaces abstraits et les preuves/programmes par des morphismes entre ces espaces.

géométrie de l'interaction

sémantique dénotationnelle

Dans le même esprit, une nouvelle direction de recherche a pris de l'importance ces dernières années dans notre thème : celle d'une approche basée plus directement sur une modélisation géométrique du calcul, et plus spécifiquement, de la réécriture. Dans ce cadre, les termes sont vus (par exemple) comme des objets de dimension 2 (typiquement, des 2-morphismes dans une -catégorie, ou des 2-cellules dans un complexe), les réécritures comme des objets de dimension 3, les "standardisations" (transformations de chemins de réécritures) comme des objets de dimension 4, etc. Ce point de vue donne lieu à des développements de nature homotopique, dans l'esprit de l'étude du problème du mot en dimension supérieure entreprise par Albert Burroni, ou homologique, dans la suite des travaux de Craig Squier.

N

Enfin, notre thème comporte également une direction qui s'occupe de théorie des graphes et de théorie des relations, tout particulièrement du point de vue des questions de et de

, ainsi qu'une composante qui s'occupe d' .

combinatoiredécomposition

reconstruction algorithmique pour la sûreté de fonctionnement

2. THÈMES DE RECHERCHE PRINCIPAUX

2.1. Focalisation, logique polarisée ludique et logique locative

La propriété de (Andreoli) est à l'origine de la polarisation de la logique linéaire, qui se comprend mieux du point de vue "recherche de preuve". Si on a un séquent à prouver, le travail consiste à choisir une formule dans ce séquent, qui aura donc un connecteur logique principal, et à choisir une règle d'introduction (nous sommes en calcul des séquents, donc toutes les règles logiques sont des règles d'introduction) pour ce connecteur. On applique ensuite cette règle, vue comme une façon de décomposer le séquent, puis on recommence sur les prémisses ainsi construites, le but étant de fabriquer de cette façon un arbre de preuve dont le séquent à prouver sera à la racine. La remarque fondamentale est que, de ce point de vue, les connecteurs se divisent en deux catégories :

focalisation

- Les connecteurs négatifs, qui sont réversibles: cela signifie que les règles correspondantes peuvent être effectuées n'importe quand (en particulier, immédiatement) ; l'ensemble des prémisses est en quelque sorte équivalent à la conclusion.

- Ce n'est pas le cas des connecteurs positifs : en sélectionnant un connecteur positif et une règle pour ce connecteur, on fait un choix qui engage toute la poursuite du processus. Mais les connecteurs positifs ont la propriété de , en quelque sorte duale de la réversibilité (d'ailleurs, les connecteurs positifs et négatifs sont duaux de De Morgan vis-à-vis de la négation linéaire) : une fois choisie la formule positive, on peut (sans risque de manquer davantage de preuves que celles qu'on a pu manquer par le choix initial) continuer à la décomposer, tant qu'on continue à ne rencontrer que des connecteurs positifs ; on dit qu'on peut sur cette formule.

focalisation

focaliser

Paul Ruet et Roberto Maieli (université Rome 3) ont montré que cette structure fondamentale de la logique (qui est par exemple à l'origine de la ludique) se retrouve également dans le cadre de la logique non commutative étudiée par Paul Ruet dans ses précédents travaux. Plus précisément, ils ont introduit un calcul des séquents explicitement polarisé pour la logique non commutative et montré qu'il est équivalent au calcul des séquents ordinaires, à base de variétés d'ordre.

Sous la direction de Paul Ruet, Anne Crumière travaille sur la complexité de la prouvabilité de certaines logiques, notamment en ce moment sur la logique linéaire multiplicative non-associative. Elle commence à regarder la logique Q-permutative. L'objectif est d'établir des critères pour classer les variétés d'ordre selon leur complexité de prouvabilité.

Jean-Yves Girard a développé ces dernières années la , une nouvelle approche de la logique basée sur les effets de polarisation et de focalisation. Dans ce cadre, l'objet fondamental de la logique n'est plus la preuve, mais le , sorte de preuve non typée, normale et polarisée, dans laquelle les formules sont remplacées par des qui sont des pointeurs correspondant à la notion d'occurrence de sous-formule en logique (on dit que le système est , au sens où cette notion d'occurrence est prise au sérieux). Les desseins sont sujet à un mécanisme d'élimination des coupures très général, permettant de définir le concept fondamental de qui correspond à la notion habituelle de formule. Ces travaux ont été prolongés par Marie-Renée Fleury et Myriam Quatrini : elles ont proposé une interprétation des quantificateurs du premier ordre en ludique qui permet d'étendre aux formules d'un calcul des prédicats linéaire le résultat de complétude établi par Jean-Yves Girard pour un calcul des séquents linéaire du second ordre avec des connecteurs multiplicatifs et additifs. En collaboration avec Claudia Faggian (université de Padoue), elles ont par ailleurs développé une analyse du concept d'uniformité en ludique.

ludique

desseinloci

locatif

comportement

Thomas Ehrhard a obtenu un théorème de complétude pour la , système locatif lui aussi, qu'il avait développé précédemment avec Antonio Bucciarelli (PPS). Il s'agit d'une complétude

logique linéaire indexée

vis-à-vis d'une notion d'espaces de phase indexés symétriques mise au point en même temps que cette logique, et permettant de définir de nouveaux modèles dénotationnels de la logique linéaire "au dessus" du modèle relationnel standard.

Jean-Marc Andreoli s'est intéressé à la construction de preuves de calcul des séquents par propagation de contraintes, la construction se faisant par expansions successives des noeuds ouverts d'un arbre de preuve dont les noeuds sont étiquetés non pas par des séquents explicites (comme c'est le cas classiquement) mais par des variables (séquents implicites) liés entres elles par des contraintes. La construction se transforme donc en un problème de propagation de contraintes.

2.2. Sémantique dénotationnelle

Pierre Boudes a poursuivi le travail commencé dans sa thèse (soutenue fin 2002) sur le lien entre les modèles de jeux et la sémantique relationnelle de la logique linéaire, et en particulier le modèle des hypercohérences introduit par Thomas Ehrhard en1993. Ce faisant, il a naturellement été amené à se limiter à des fragments polarisés (au sens du paragraphe ci-dessus) de la logique linéaire, car c'est seulement pour de tels fragments que l'on dispose de modèles de jeux qui se comportent bien, comme la thèse d'Olivier Laurent (actuellement membre de PPS et ex-thésard de LDP) l'a montré. Dans ce cadre polarisé, il a développé une théorie de l'"écrasement" (oubli de la temporalité) des stratégies sur les cliques, et conjecturé l'injectivité de cet écrasement. Il ne s'agit pas simplement ici de répondre à une question technique, mais de comprendre si la temporalité explicite présente dans les jeux est vraiment nécessaire.

Thomas Ehrhard a continué d'explorer le modèle dénotationnel des , montrant notamment comment associer un espace vectoriel topologique à un espace de finitude. Les topologies correspondantes sont au sens où 0 admet une base de voisinages composée uniquement de sous-espaces ; le corps est muni de la topologie discrète. De telles structures, peu usuelles, avaient déjà été considérées par Lefschetz en1942 et s'avèrent parfaitement adaptées ici. Thomas Ehrhard a obtenu des résultats de clôture monoïdale (les morphismes étant les fonctions linéaires continues) et cartésienne (les morphismes étant des sortes de séries entières).

espaces de finitude

linéaires

Actuellement en troisième année de thèse sous la direction de Thomas Ehrhard et de Thierry Coquand (université Chalmers à Göteborg), Pierre Hyvernat a poursuivi son étude des "systèmes d'interaction". Cette structure mathématique permet de modéliser les spécifications de programmes informatiques et entretient des rapport avec diverses branches de la logique mathématique. Les deux thèmes principalement étudiés sont :

- la modélisation des "topologies formelles", une version prédicative des locales ou "frames" qui forment l'objet d'étude de la "topologie sans points" ;

- la pertinence de cette structure en tant que modèle dénotationnel de la logique linéaire, et au fait que le modèle obtenu modélise également la lambda-calcul différentiel.

2.3. Lambda-calcul et réseaux différentiels

Thomas Ehrhard et Laurent Regnier ont introduit en logique des constructions inspirées du calcul différentiel, comme le suggère le modèle dénotationnel des espaces de Köthe et des espaces de finitude étudiés par Ehrhard. En particulier, ils ont défini un dont ils ont établi les propriétés de base : confluence, normalisation forte dans le cas typé. Ils ont analysé dans ce cadre le développement de Taylor et l'ont relié à la réduction linéaire de tête (la procédure d'évaluation des lambda-termes implémentée par la machine de Krivine). Ce travail établit un lien étroit entre dérivation, au sens de l'analyse, et substitution linéaire, au sens du lambda-calcul et de la logique linéaire.

lambda-calcul différentiel

Ils ont ensuite généralisé le résultat qu'ils avaient obtenus à propos du développement de Taylor en 0 des lambda-termes purs, en considérant la situation où toutes les applications d'un lambda-terme sont développées de Taylor. On obtient alors alors une combinaison linéaire infinie (à coefficients rationnels) de

termes ne comportant que des "applications différentielles" itérées, et des applications à 0, ce qui s'exprime dans un calcul plus simple que le lambda-calcul différentiel, très proche duintroduit par Gérard Boudol (INRIA-Sophia), avec des motivations complètement différentes.

lambda-calcul avec ressources

Ils ont également étudié l'extension de la logique linéaire qui correspond au lambda-calcul différentiel, constatant que cette extension consiste à ajouter à la logique linéaire des règles qui sont les duales exactes des règles, standard, d'affaiblissement, de contraction et de déréliction. Ces nouvelles règles (co-affaiblissement, qui correspond à l'application d'une série entière à 0, co-contraction, qui correspond à l'application à une somme, et co-déréliction, qui correspond à la dérivation en 0) interagissent de façon complètement symétrique avec leurs analogues standard, ce qu'illustre parfaitement la présentation de ce nouveau système dans le cadre des réseaux d'interaction ( ).réseaux d'interaction différentiels

Sous leur direction conjointe, Lionel Vaux a commencé un travail de thèse visant à généraliser à la logique classique (et plus précisément, au -calcul de Parigot) l'extension différentielle du lambda-calcul. L'intérêt de ce travail réside notamment dans le fait que les constructions différentielles interagissent avec les constructions structurelles, comme on l'a vu, et que ces dernières se voient généralisées dans la logique classique.

2.4. Réseaux de preuves et d'interaction

Dans son travail sur la construction incrémentale de preuves, Jean-Marc Andreoli s'est également intéressé au cas des réseaux de démonstration de la logique linéaire. Dans ce cadre, il s'agit de produire un critère de correction incrémental, puisqu'il faut être capable, à chaque étape de la construction incrémentale (ajout d'un nœud positif ou négatif), de déterminer si l'on construit bien un "réseau partiel". Cette construction fournit une modélisation logique de l'accès concurrent à une base de donnée.

Au cours de son stage de DEA et de sa première année de doctorat, sous la direction de Laurent Regnier, Damiano Mazza s'est occupé d'étudier le lien entre calculs de processus pour la mobilité et logique (en particulier logique linéaire et ludique), avec le but de comprendre si et jusqu'où il est possible d'étendre la correspondance de Curry-Howard au domaine de la concurrence. Après avoir étudié le rapport entre fonctions (au sens de la programmation fonctionnelle) et processus, il a examiné la possibilité de ramener le pi-calcul à un calcul de réécriture de graphes. Pour cela, il a défini une extension non-déterministe des réseaux d'interaction de Yves Lafont (déjà considérée par Vladimir Alexiev dans sa thèse de doctorat) et démontré qu'il existe une traduction simple et fidèle du pi-calcul sans sommes dans ces systèmes.

2.5. Systèmes à complexité bornée

Peu après la découverte de la logique linéaire, Jean-Yves Girard, Philip Scott et André Scedrov ont proposé un premier système dont l'élimination des coupures (réduction) est en temps polynomial, mais ce système BLL comportait des polynômes explicites. Jean-Yves Girard a ensuite introduit les systèmes ELL (complexité élémentaire) et LLL (complexité polynomiale), en affaiblissant les règles logiques associées aux exponentielles. Vincent Danos et Jean-Baptiste Joinet (PPS) ont étudié les réseaux de preuves associés à LLL et ELL. Yves Lafont a ensuite découvert un troisième système à complexité polynomial, SLL.

Dans le cadre de son travail de thèse actuellement en cours, sous la direction conjointe de Thomas Ehrhard et de Patrick Baillot (LIPN), Daniel de Carvalho s'est intéressé au problème de typer les termes d'un lambda-calcul mis au point par Kazushige Terui, et dont la réduction est en temps polynomial. Cette propriété de complexité est en effet indépendante du système de type naturel associé à ce lambda-calcul (la logique affine légère), et le calcul normalise en temps polynomial y compris pour les termes non typés. Toutefois, dans le cas non typé, la réduction peut mener à des termes erronés (des sortes de "deadlocks"). Daniel de Carvalho a réussi à caractériser précisément tous les termes pour lesquels ce n'est pas le cas, au moyen d'un système de types avec intersections, beaucoup plus faible bien sûr que la logique linéaire légère (et donc admettant beaucoup plus de termes, c'est-à-dire, beaucoup plus d'algorithmes polynomiaux).

Il étudie à présent les modèles dénotationnels de la logique linéaire légère, en essayant de s'affranchir de la

structure stratifiée que Patrick Baillot avait utilisée dans les siens, structure qui reflète le caractère stratifié des preuves (en termes de boîtes). Daniel de Carvalho cherche dans une autre direction, visant à interpréter directement, en termes de complexité algorithmique, les multi-ensembles qui interviennent dans l'interprétation relationnelle des exponentielles de la logique linéaire.

Signalons que cette thèse est financée par une allocation obtenue dans le cadre de l'ACI GEOCAL.

Sous la direction de Regnier, Damiano Mazza a également étudié ces "logiques allégées", ELL et LLL. Il a étendu le travail de Danos-Joinet sur les réseaux pour ELL, et obtenu ainsi une notion élégante de réseau pour LLL. Rappelons que les réseaux de preuves fournissent un outil précieux d'analyse des programmes en lambda-calcul, aussi cette définition de réseaux polynomiaux devrait s'avérer importante dans l'étude du temps polynomial en logique.

2.6. Logique et quantique

Jean-Yves Girard a travaillé sur l'interprétation de la logique dans les algèbres d'opérateurs. Il a développé la notion d' , dans lesquels les cliques des espaces cohérents ordinaires sont remplacés par certains opérateurs hermitiens sur un espace de Hilbert. Il a poussé plus loin son analyse de l'élimination des coupures en terme de , dans laquelle l'élimination des coupures s'exprime comme la résolution d'une qu'il a montré comment résoudre de façon très générale, dans un cadre d'algèbres d'opérateurs. Jean-Yves Girard a par ailleurs donné un cours de théorie de la démonstration de octobre à décembre 2004, à Rome, dans le cadre de l'université franco-italienne. Ce cours a donné lieu à un livre actuellement à l'état de manuscrit (460 pp.).

espaces cohérents quantiques

géométrie de l'interactionéquation du feedback

2.7. Logique et philosophie

Sous la direction conjointe de Jean-Yves Girard et de Pierre Livet (université Aix-Marseille 1 et CEPERC), Samuel Tronçon a poursuivi son travail de thèse (Dynamique des démonstrations) qui porte sur la philosophie de la logique et vise à présenter une analyse contemporaine de la théorie de la démonstration et de ses rapports avec la cognition, l'informatique et la signification. Pendant ces deux années, deuxième phase de sa thèse, ses recherches ont porté avec de plus en plus d'insistance sur la synchronisation des recherches logiques et des ambitions contemporaines visant à développer de nouvelles théories de la signification et de la cognition. Il a longuement étudié la façon dont on pourrait étendre la correspondance de Curry-Howard à ces domaines, et notamment les intuitions philosophiques (holisme, jeux de langage, signification par l'usage...) qui pourraient être confirmées par certains progrès techniques réalisés en théorie de la démonstration (Lambda-Calcul, Logique Linéaire, Ludique). Il a largement contribué à l'animation du groupe "Logique et Interaction : vers une Géométrie de la Cognition" (LIGC) ; voir :

http://www-philo.univ-paris1.fr/Joinet/ligc.html

Dans le cadre de ce groupe LIGC, Jean-Yves Girard a rédigé un tract qui doit être publié dans un volume collectif aux Presses de la Sorbonne.

En 2003, Myriam Quatrini a participé à un groupe de travail interne à LDP et animé par Samuel Tronçon. Myriam Quatrini envisage de réorienter son activité de recherche autour de ces sujets. En particulier, elle s'intéresse aux applications possibles des idées récentes de la théorie de la démonstration pour le développement de nouveaux outils d'analyse textuelle adaptés aux préoccupations des SHS et à la transposition de ces idées pour la formalisation des méthodes en SHS. Une première étape dans cette direction est son engagement depuis le début de l'année 2004, dans un projet pluridisciplinaire articulant sciences humaines et sociales (histoire et philosophie du langage), mathématiques (statistiques et logique) et informatique (traitement automatique du langage). L'équipe constituée autour de ce projet se propose d'étudier les processus à l'œuvre dans l'émergence et l'évolution de concepts (de nature, d'aménagement du territoire et d'environnement) et la constitution de discours d'une communauté (les ingénieurs des ponts et chaussées du 19ème siècle).

2.8. Réécriture en dimension supérieure

Yves Lafont a commencé à travailler avec François Métayer (PPS) sur la "théorie homotopique du calcul". La notion clef de cette théorie est celle de "résolution" (non commutative) de Métayer, qui s'exprime elle-même en termes de "polygraphes" de Burroni ou de "computades" de Street. Cette notion devrait permettre d'unifier et de généraliser des approches qui sont visiblement apparentées comme les théorèmes de cohérence en théorie des catégories (Mac Lane et autres), les invariants homologiques et homotopiques de la réécriture (Squier et autres), ou l'homologie des groupes Gaussiens (Patrick Dehornoy et Yves Lafont). Dans cet esprit, ils ont dressé une liste d'une quinzaine de conjectures ou de directions de recherche (Programme de Minneapolis).

Yves Guiraud a étudié le système de réécriture de diagrammes proposé par Yves Lafont dans son article sur la théorie algébrique des circuits booléens, en vue de voir si les techniques de preuve de confluence qu'il avait développées dans sa thèse pouvaient s'appliquer. Il a montré que ce système était convergent, ce qui montre bien l'intérêt de sa méthode : c'est sans doute le premier exemple convainquant d'un tel système qui n'est pas issu de la réécriture de terme.

Par ailleurs, il a résumé une partie de son travail de thèse dans un document intitulé "Termination orders for 3-dimensional rewriting", actuellement soumis pour publication. De plus, il a commencé à compléter un secteur laissé inachevé dans sa thèse : l'étude de la confluence des 3-polygraphes ou systèmes de réécriture de dimension 3. Enfin, il a initié un travail visant à interpréter les démonstrations et leurs transformations comme des objets respectivement tridimensionnels et quadridimensionnels, spécifiés par un 4-polygraphe.

Yves Guiraud a été recruté sur un demi-poste d'ATER à l'IML pour travailler dans cette nouvelle direction de recherche. Il anime un groupe de travail sur la réécriture en dimension supérieure au sein de LDP.

2.9. Combinatoire des graphes et des relations

Pierre Ille a principalement poursuivi sa recherche sur la décomposabilité, pour la somme lexicographique, des structures combinatoires. En généralisant l'arbre de décomposition au cas infini, il a résolu la conjecture de Sabidussi (1960) sur les graphes idempotents pour le produit lexicographique. Concernant les structures infinies et indécomposables, il a caractérisé les graphes critiques et, pour les fortement critiques, a précisé son résultat à l'aide de l'arbre de création sous-jacent. Dans le cas fini, il a abordé le problème de recouvrement par des sous-structures indécomposables et celui de la reconnaissance de l'indécomposabilité à partir de différentes hypothèses locales. D'autres travaux ont été menés en théorie des ordres : dénombrement des réalisateurs, reconstruction et monomorphie. Enfin, avec Paul Ruet, il a résolu un problème de complexité algorithmique sur les variétés d'ordre, structures combinatoires qui jouent un rôle fondamental en logique non commutative.

2.10. Algorithmique pour la sûreté du fonctionnement

Antoine Rauzy travaille sur la sûreté de fonctionnement de système, c'est-à-dire l'ensemble des méthodes qui permettent d'évaluer le risque et les conséquences du risque dans des installations industrielles sensibles : centrales nucléaires, industries chimiques et pétrolières, avionique, transports... Pour évaluer le risque, les ingénieurs font des modèles et emploient donc des formalismes de description. Ces derniers sont principalement des formalismes Booléens ou des formalismes états/transitions (automates d'états finis, réseaux de Petri ...) Une fois l'installation décrite par un modèle, il faut se servir de ce modèle pour évaluer les quantités (en général probabilistes) qui donnent une mesure du risque (probabilité ou fréquence des accidents/incidents) et de ses conséquences (gravité, impact sur l'environnement, impact économique ...) Ce processus soulève deux problèmes, liés entre eux:

- Comment modéliser de façon à avoir une bonne image du système étudié. Cela implique d'avoir des formalismes de modélisation adéquats (ce n'est pas du tout trivial car il faut que les modèles "vivent" avec les systèmes).

- Comment traiter les modèles sachant que la plupart des problèmes à résoudre sont NP-difficiles ou #P-difficiles.

Son travail depuis 10 ans (et pour les 10 ans à venir) consiste à avancer dans les deux directions : d'une part par la mise au point de formalismes de description et de méthodologies de modélisation, d'autre part par la mise au point d'un corpus d'algorithmes et d'heuristiques permettant de repousser aussi loin que possible les limites de l'explosion combinatoire.

3. ACTIVITÉS EXTERNES

Depuis septembre 2003, notre thématique participe à un projet d'ACI Nouvelles Interfaces de Mathématiques intitulé "Géométrie du Calcul" (GEOCAL), et dont Thomas Ehrhard est le responsable. Ce projet, qui doit durer 3 ans, regroupe 10 équipes travaillant sur des sujets liés aux directions de recherche ci-dessus, et a donc été l'occasion d'accroître l'interaction de notre équipe avec nos collègues, au travers notamment de l'organisation de rencontres scientifiques (6 jusqu'à présent) et de nombreuses missions entre les sites. On en trouvera une description plus précise en :

http://iml.univ-mrs.fr/ehrhard/geocal/

D'autre part, Thomas Ehrhard et Yves Lafont ont participé à l'Action Spécifique "Topologie Algébrique pour l'étude des structures de calcul et notamment de la concurrence" (responsable : Eric Goubault, PPS) qui s'est terminée en 2004 et a trouvé un prolongement naturel dans GEOCAL.

En coopération avec Michele Abrusci de l'université de Rome 3, l'équipe a mis en place un réseau de formation doctorale, intitulé "Logique mathématique et informatique théorique", entre l'Université de la Méditerranée et l'Université de Rome 3, qui a reçu le financement de l'Université Franco-Italienne pour l'année 2002-2003 et l'année 2003-2004. Ce réseau, coordonné par Paul Ruet, a permis de favoriser la mobilité des doctorants et des chercheurs entre Marseille et Rome, et a notamment participé à l'organisation du cours de théorie de la démonstration de Jean-Yves Girard à l'automne 2004 à l'université Rome 3, en octobre, novembre et décembre 2004.


RAPPORT D'ACTIVITÉ

ARITHMÉTIQUE ET THÉORIE DE L'INFORMATION

1. INTRODUCTION

2. THEORIE DES NOMBRES

2.1. La constante d'Euler-Kronecker-Ihara 2.2. Nombres de classes de corps CM2.3. Nombres de classes de corps quartiques imaginaires 2.4. Zéros des fonctions et formes toriques 2.5. Séries d'Eisenstein et intégration motivique2.6. Approximation diophantienne

L

2.7. Voiles et polyèdres de Klein

3. GÉOMÉTRIE ALGÉBRIQUE

3.1. Variétés de Schubert3.2. Codes et surfaces3.3. Courbes singulières sur les corps finis3.4. Jacobiennes des quartiques de Ciani3.5. Modules de Drinfeld3.6. Graphes

4. CODAGE ET CRYPTOGRAPHIE

4.1. Rédactions d'ouvrages4.2. Multiplication rapide sur les corps finis4.3. Courbes maximalement non-linéaires4.4. Fonctions booléennes en codage et en cryptographie4.5. Poids des codes de Reed-Muller généralisés4.6. Variétés abéliennes et cryptographie

1. INTRODUCTION

L'équipe est née de la rencontre entre des chercheurs travaillant à l'interface entre la , la et leurs applications à la

, notamment aux codes correcteurs d'erreurs, ainsi qu'à la cryptographie, ce qui identifie les trois thèmes sur lesquels travaille l'équipe.

Ces trois thèmes interagissent bien sûr entre eux.

La fonction zêta des corps de nombres exprime la répartition des nombres premiers et de manière tout a fait parallèle, la fonction zêta des variétés fournit des indications sur le nombre de leurs points. Les questions qui se posent alors, comme l'hypothèse de Riemann (démontrée dans le cas de la fonction zêta des variétés), jouent un rôle majeur dans les thèmes de travail de l'équipe, aussi bien en théorie des nombres, qu'en géométrie algébrique.

Arithmétique et théorie de l'InformationThéorie des nombres Géométrie algébrique Théorie de

l'Information

Les codes correcteurs sont d'usage constant non seulement dans le traitement des erreurs, mais plus généralement dans tout traitement linéaire de l'information. Les variétés, les courbes et les bornes explicitessatisfaites par le nombre de leurs points jouent un rôle crucial dans la détermination des bornes limites de la théorie de l'information. La cryptographie, qui traite les messages dans un but de confidentialité, a bien souvent des méthodes analogues à celles des codes, car ces deux aspects de la théorie de l'information consistent à traiter des messages numériques.

Un des buts de l'équipe est de dégager les principes géométriques utilisés en approximation diophantienne. Ce sujet classique a un aspect qualitatif, qui consiste à définir les meilleures approximations, et un aspect quantitatif, matérialisé par la méthode des formes linéaires en logarithmes, où la géométrie algébrique intervient.

2. THEORIE DES NOMBRES

2.1. La constante d'Euler-Kronecker-Ihara

Soit un corps global, c'est-à-dire une extension algébrique finie du corps des nombres rationnels, ou bien d'un corps de fonctions rationnelles à une variable sur un corps fini. Soit sa fonction zêta. Considérons son développement de Laurent pour = 1 :

K Q

s

Généralisant la constante classique d'Euler, Y. Ihara a introduit et étudié la constante .

Michel Tsfasman a étudié le comportement de cette constante quand le discriminant (respectivement le genre) tends vers l'infini, dans le contexte de ses travaux avec Serge Vladut sur les corps globaux infinis et lethéorème de Brauer-Siegel généralisé, et sur les propriétés asymptotiques des fonctions zêta.

Les résultats du premier article lui donnent facilement des bonnes bornes inférieures sur le quotient. En particulier, pour les corps de nombres, et en supposant l'hypothèse de Riemann

généralisée, il démontre :

Puis il produit des exemples de tours de corps de classes, montrant que

2.2. Nombres de classes de corps CM

S. Louboutin obtient les limites inférieures pour les nombres de classes relatifs de certainscorps CM normaux qui dépendent du comportement dans des nombres premiers rationnels où est ensemble donné de nombres premiers.

K K p S S

Ces nouvelles limites inférieures pour les nombres de classes relatifs sont d'importance essentielle pour résoudre, par exemple, le problème du groupe de classes d'exposant deux pour le corps CM quartique non-normal. Il endéduit des résultatsà la Brauer-Siegel sur le comportement asymptotique des nombres de classes relatifs de corps CM.

Il améliore les bornes supérieures des valeurs au point 1 des fonctions , pour de caractères de Dirichlet primitifs. Les bornes qu'il obtient dépendent du comportement de sur les nombres premiers dans un ensemble donné.

Il développe une méthode rigoureuse et raisonnablement rapide pour calculer les valeurs exactes de la fonction zêta de Dedekind de aux entiers négatifs. K

Il démontre, en supposant l'hypothèse de Riemann généralisée, que les exposants des groupes des classes d'idéaux des corps CM d'un degré donné tendent vers l'infini avec le valeur absolue de leurs discriminants.

2.3. Nombres de classes de corps quartiques imaginaires

Y. Aubry s'est penché sur des problèmes de nombre de classes dans les corps de fonctions totalement imaginaires qui sont extensions de corps réels. Il a établi l'équivalence entre le problème du nombre de classes relatif égal à 1 dans une extension quartique non galoisienne imaginaire et celui dans une extension octique galoisienne imaginaire diédrale. Il a également établi une caractérisation des corps quartiques imaginaires non

galoisiens de nombre de classes relatif impair ainsi qu'un moyen de calcul des caractères apparaissant dans ces extensions quadratiques.

2.4. Zéros des fonctions et formes toriquesL

Dans un travail précédent, à partir d'un corps de nombres de degré , Gilles Lachaud a définiun tore maximal de = GL . Si est un caractère du groupe des classes d'idèles de , satisfaisant desconditions adéquates, les formes toriques pour sont les fonctions sur ( ) ( ), dont le coefficient de Fourier correspondant à par rapport au sous-groupe induit par est nul. L'hypothèse de Riemann pour

est équivalente à des conditions portant sur certains espaces de formes toriques, construits à partir desséries d'Eisenstein. Enfin, il construit un espace de Hilbert et un opérateur auto-adjoint sur cet espace, dont le spectre est égal à l'ensemble des zéros de sur la droite critique.

K nT G n K

G Q \ G AT

Ces derniers temps, il a fait le lien entre les outils utilisés et les diviseurs de Picard-Arakelov sur les corps de nombres, exploitant des idées de Don Zagier.

2.5. Séries d'Eisenstein et intégration motivique

Le travail précédent a conduit G. Lachaud à étudier la situation analogue dans le cas des corps de fonctions sur une courbe algébrique définie sur un corps fini. Bien que dans ce cas, l'hypothèse de Riemann soit connue, ce sujet ne manque pas d'intérêt (c'est en tous cas l'opinion d'Alain Connes). Ceci passe par l'étude des séries d'Eisenstein de rang 1 sur les corps de fonctions. Il s'est rapidement rendu compte que les propriétés de ces séries dans ce cas se généralisent immédiatement au cadre beaucoup plus général des séries d'Eisenstein géométriques définies sur le champ algébrique des classes d'équivalence de fibrés vectoriels de rang sur une courbe algébrique de genre définie sur un corps . Pour cela, on utilise l'intégration motivique (Kapranov),autrement dit la théorie des invariants additifs (Denef-Loeser).

ng k

2.6. Approximation diophantienne

Inégalités diophantiennes, points algébriques sur les courbes.

Michel Laurent a établi des "inégalités de Liouville'' sur une courbe algébrique plane. Plus précisément, il a donné une estimation de la distance globale entre deux points algébriques quelconques d'une courbe algébrique en terme de leurs hauteurs.

On en déduit des énoncés effectifs très précis du théorème d'irréductibilité de Hilbert. Ces inégalités de Liouville sont aussi la clé de la méthode de Runge qui permet de traiter certains types d'équations diophantiennes. Il a obtenu ainsi des majorations polynomiales très fines pour les solutions entières de certaines équations superelliptiques, ou plus généralement des équations à variables séparées de la forme .

Il fournit une majoration uniforme de la hauteur d'un point d'une courbe algébrique qui est rationnel sur un corps totalement réel arbitraire. Des hypothèses restrictives sont bien sûr nécessaires. Ce résultat peut être considéré comme une extension de la méthode de Runge, qui concerne habituellement des points rationnels sur au cas de points rationnels sur un corps totalement réel arbitraire.

Q

Approximation rationnelle simultanée et approximation algébrique.

Soit un nombre réel transcendant et un entier 2. On note la borne supérieure des exposants tels que pour tout suffisamment grand, il existe un entier vérifiant

nQ q

.

Michel Laurent a établi la majoration

,

améliorant ainsi une estimation précédente due à Davenport et à Schmidt. Comme corollaire, on obtient le meilleur exposant d'approximation actuellement connu d'un nombre réel arbitraire par des entiers algébriques de degré donné . n

Exposants d'approximation et combinatoire des mots.

D. Roy a démontré que les nombres réels dont le développement en fractions continues est décrit par le mot de Fibonacci possèdent une propriété d'approximation rationnelle uniforme de (1, , ) extrémale, à savoir que

. Michel Laurent généralise sa méthode aux nombres réels qui sont des fractions continues sturmiennes. A cet effet, il donne une description explicite des palindromes initiaux des mots sturmiens, ce qui semble être un résultat nouveau de combinatoire des mots. La formule obtenue pour les sixexposants d'approximation considérés, fait intervenir une fonction de "l'angle'' du mot sturmien, dont le spectre des valeurs est fort compliqué. Cette fonction , qui intervient aussi dans des calculs de complexité de mots, a été étudiée par J. Cassaigne. Michel Laurent donne également de nouvelles informations sur son spectre.

2

Michel Laurent étend la définition des exposants uniformes introduits précédemment, dans le cadre général d'un système de formes linéaires à coefficients réels. Il obtient ainsi une intéressante version quantitative du classique théorème de densité de Kronecker.

Minorations de formes linéaires en deux logarithmes.

Dans sa thèse, Nicolas Gouillon développe des minorations fines de formes linéaires archimédiennes en deux logarithmes de nombres algébriques, qui constituent l'outil le plus communément utilisé dans la résolution effective de certaines classes d'équations diophantiennes classiques.

2.7. Voiles et polyèdres de Klein

L'ensemble de Klein Kl d'un ensemble convexe est l'enveloppe convexe des points entiers contenus dans . Les questions principales qui se posent sont les suivantes :

AA

- Kl est-il fermé ?- L'adhérence de Kl est-elle un polyèdre généralisé ?

AA

La recherche de critères clairs permettant de répondre à ces questions a amené Gilles Lachaud à une refonte de la théorie des ensembles convexes non bornés et non fermés, en introduisant un certain nombre d'outilsnouveaux : ensembles convexes additifs, bord éclairé, dualité et jauge de Klein, etc.

En fait, c'est le théorème de Kronecker qui permet de trancher dans les questions ci-dessus. à ce sujet, il a pu reformuler les théorèmes de transfert standard de la théorie de l'approximation diophantienne dans le cadre des polyèdres de Klein.

Le traitement de ces questions a été facilitée par le résultat suivant, où est un ensemble convexe fermé non vide : pour qu'un point soit isolé dans l'ensemble des points extrémaux de , il faut et il suffit que le cône de sommet engendré par soit fermé et saillant.

AA

Gilles Lachaud rédige un livre de 200 pages environ.Voiles et Polyèdres de Klein

3. GÉOMÉTRIE ALGÉBRIQUE

3.1. Variétés de Schubert

Michel Tsfasman, en collaboration avec Sudhir Ghorpade, considère les codes correcteurs d'erreur linéaire associés à des variétés projectives définies sur un corps fini. Le problème de déterminer les paramètres de tels codes mène souvent à des questions intéressantes et difficiles en combinatoire et en géométrie algébrique. Ceci est illustré par des codes associés aux variétés de Schubert dans les Grassmanniennes, appelé les codes de Schubert, qui ont été récemment étudiés. Les paramètres tels que la longueur, la dimension et la distance

minimale de ces codes sont connus seulement dans des cas spéciaux. Une limite supérieure pour la distance minimale est connue et on conjecture que cette limite est réalisée. Ils donnent des formules explicites pour la longueur et la dimension des codes de Schubert quelconque et ils prouvent cette conjecture pour les codes associés aux diviseurs de Schubert.

3.2. Codes et surfaces

Les codes construits à l'aide des surfaces de Deligne - Lusztig

Pour obtenir les paramètres de tels codes, François Rodier a d'abord voulu étudier divers exemples afin de déterminer les problèmes rencontrés, et les caractéristiques des codes ainsi construits. L'étude des variétés de Deligne-Lusztig l'a amené à produire un schéma général de construction de codes à partir d'un groupe réductif fini (du type de Steinberg) et d'un sous-groupe parabolique . Il a étudié plus précisément les codes liés à une surface de type ou les codes associés à des variétés / . François Rodier a calculé les paramètres de ces code ainsi que tous les poids et le nombre des mots de code de poids minimal.

G P2A4 G P

Cas d'une surface hermitienne

Ce travail est réalisé par un étudiant en thèse, Frédéric Edoukou, sous la direction de François Rodier. On veut préciser les paramètres des codes construits à l'aide des surfaces hermitiennes. Pour cela, il faut étudier le nombre de points d'intersection d'une surface hermitienne avec les surfaces de degré donné. On dispose d'une majoration, donné par G. Lachaud, mais elle n'est pas optimale, comme le montre des calculs faits dans un cas particulier sur ordinateur. Une conjecture de A. Sørensen donnerait un résultat meilleur et on cherche àl'établir. Ils utilisent la borne de Weil et les améliorations qu'en ont faites Yves Aubry et Marc Perret pour le cas des courbes non absolument irréductibles et non lisses pour étudier le nombre de points de l'intersection.

H h

3.3. Courbes singulières sur les corps finis

Yves Aubry, en collaboration avec Marc Perret, a étudié le comportement des fonctions zêta des courbes dans un revêtement (plat) de courbes algébriques projectives absolument irréductibles. Ils ont montré la divisibilité de ces fonctions zêta dans un revêtement de courbes algébriques projectives absolument irréductibles singulières ainsi que dans le cas plus général de courbes supposées seulement connexes, que l'on peut interpréter comme un analogue de la conjecture d'holomorphie d'Artin sur les fonctions zêta de Dedekind des corps de nombres. Ils ont ensuite déterminé explicitement les polynômes caractéristiques de l'endomorphisme de Frobenius sur lesgroupes de cohomologie étale adiques de courbes connexes, qui, combinée à la divisibilité précédente, permet de donner une estimation de la différence du nombre de points rationnels dans un revêtement de courbes connexes.

3.4. Jacobiennes des quartiques de Ciani

Les quartiques de Ciani sont les quartiques ternaires dont le groupe d'automorphismes contient lede Klein V = ( / 2 ) . Ces quartiques ont une Jacobienne complètement décomposable, c'est-à-dire isomorphe au produit de trois courbes elliptiques.

Vierergruppe

4 Z Z 2

Plus précisément, la situation est la suivante. On note Sym( ) l'espace des matrices symétriques inversibles k

telles que . A une telle matrice on associe la quartique lisse Q d'équation homogène

M

.

et on note ( ) l'ensemble des quartiques de cette forme. D'autre part, on associe à les trois courbes elliptiquessuivantes :

Q k M

,

et on note ( ) = x x la variété abélienne produit. Chaque courbe admet un point rationnel distinctde l'origine, et ( ) ( ) ( ) est un carré. On note ( ) l'ensemble des variétés abéliennes de cette forme. On a un diagramme commutatif

A M E1 E2 E3 EiE1 E2 E3 A k

où Cof est l'application qui envoie une matrice sur la matrice de ses cofacteurs, et où est l'application qui envoie une courbe sur sa jacobienne.

J

Gilles Lachaud et Alain Barichard ont démontré que l'ensemble des classes d'isogénies sur des Jacobiennes des courbes de ( ) est égal à l'ensemble des classes d'isogénies sur des variétés de ( ), où ( ) est l'ensemble des variétés abéliennes de ( ) où det est un carré.

kQ k k A2 k A2 k

A k M

Ceci permet d'étudier les quartiques dont la Jacobienne est le cube d'une courbe de Legendre, et d'appliquer ces résultats à la quartique de Klein, dont ils ont d'ailleurs calculé la fonction zêta pour tout corps fini de caractéristique 7.

3.5. Modules de Drinfeld

Les modules de Drinfeld sont des objets algébriques analogues aux courbes elliptiques sur les corps des nombres et sur les corps finis, obtenus par la réduction modulo une place non-archimédienne. Dans cette direction, pour un module de Drinfeld de rang 2, Mohamed Saadbouh, élève de S. Vladut, donne un analogue du théorème de Weil, du théorème de Deuring-Waterhouse, et un analogue du travail de S. Vladut sur la cyclicité de telles structures algébriques.

Redha Samet, lui aussi élève de S. Vladut, a exploité une analogie profonde entre corps de fonctions d'une variable sur un corps fini et corps de nombres. Il a obtenu des résultats concernant des critères de maximalité des anneaux d'endomorphisme des modules de Drinfeld de rang avec des exemples d'anneaux d'endomorphisme non maximaux. Il s'est intéressé ensuite aux modules de Drinfeld de rang 2 où il a calculé le nombre des classes d'isogénies. Il a donné la condition pour la maximalité des anneaux d'endomorphisme et la structure des modules des points rationnels. Enfin il a étudié les classes d'isomorphismes des modules de Drinfeld de rang 2 et a calculé le nombre des sous-modules non cycliques de points rationnels.

r

3.6. Graphes

Serge Vladut étudie une nouvelle méthode de produire des "expanding graphs'' (pas forcément de Ramanujan) en utilisant les codes géométriques sur les courbes modulaires. Ce travail est en cours.

4. CODAGE ET CRYPTOGRAPHIE

4.1. Rédactions d'ouvrages

Cours de cryptographie

Pierre Barthelemy, Robert Rolland et Pascal Véron sont en train de rédiger un cours de cryptographie (niveau

3ième cycle) qui doit paraître fin 2005.

Codes géométriques algébriques

M. Tsfasman et S. Vladut, en collaboration avec D. Nogin, ont fini de rédiger un ouvrage en russe, dont le titre est : "Algebraic Geometry Codes: Basic Notions'' (503 pp.). L'édition anglaise est en préparation.

4.2. Multiplication rapide sur les corps finis

Savoir multiplier rapidement dans les corps finis est un problème important pour les implémentations des algorithmes utilisés en cryptographie par exemple. Les algorithmes utilisant les bases normales ne sont pas tout à fait satisfaisants. Le problème peut se diviser en deux parties : minimiser le nombre d'opérations bilinéaires, puis minimiser ensuite le nombre d'opérations linéaires. Robert Rolland et Stéphane Ballet se sont depuis quelques années attachés à résoudre le premier problème. L'algorithme qu'ils ont mis en place s'appuie sur des méthodesd'interpolation sur des places de degré un et de degré deux d'un corps de fonctions algébriques. Ils commencent maintenant à s'intéresser au second.

Nicolas Arnaud, sous la direction de M. Tsfasman, améliore l'algorithme de multiplication rapide en utilisant sur les tours de corps de Garcia et Stitchenoth une nouvelle méthode due à C. Xing.

4.3. Courbes maximalement non-linéaires

Les courbes maximalement non-linéaires interviennent dans l'étude des codes correcteurs et en cryptographie. De nombreux problèmes ne sont pas encore résolus. Robert Rolland s'intéresse au problème du rayon de recouvrement des codes de Reed-Muller sur un corps fini de caractéristique quelconque.

4.4. Fonctions booléennes en codage et en cryptographie

Aussi bien dans la théorie des codes correcteurs d'erreurs (codes de Reed-Muller) qu'en cryptographie (systèmes de chiffrement à clef secrète), il est nécessaire de pouvoir disposer de fonctions booléennes sur l'espace ayant une grande non-linéarité.

François Rodier a ainsi trouvé une évaluation de la moyenne des degrés de non-linéarité des fonctions booléennes . Le résultat qu'il a démontré implique en outre que presque toutes les fonctions booléennes ont un non-linéarité voisine d'une même valeur, résultat qui avait déjà été trouvé dans des études statistiques, mais sansexplications. Plus précisément, il a obtenu le résultat suivant : quand le nombre de variables de tend vers l'infini, on a

m

pour presque toute fonction booléenne (à valeurs dans = 1).

Ce problème consistait à étudier la norme dans des transformées de Fourier de fonctions booléennes. Il s'est aussi attaché à étudier un problème plus simple, sur la norme dans des transformée de Fourier de fonctions booléennes, qui est aussi la "somme des carrés'', reliée au critère de propagation. Il a ainsi montré le même résultat dans ce cas : presque toutes les fonctions ont une normes dans voisine d'une même valeur.

L4

L4

Il a étudié dans quelle conditions on peut appliquer les théorèmes de grandes déviations en probabilités pour étudier les fonctions booléennes ayant la plus grande non-linéarité. Il a montré que sous certaine conditions, cela permettrait de montrer une forme affaiblie de la conjecture de Patterson et Wiedemann :

pour booléenne (à valeurs dans 1).

Enfin, il a essayé d'étudier des fonctions booléennes explicites, construites à l'aide de la trace de polynômes sur . Cela l'a mené à la considération de sommes exponentielles à plusieurs variables. Ce problème rejoint la

détermination de l'amplitude spectrale des fonctions puissance , qui est un vieux problème ouvert de différents points de vue : codes cycliques à deux poids, corrélation des séquences et fonctions booléennes.

4.5. Poids des codes de Reed-Muller généralisés

C'est le travail d'un étudiant en thèse, Adnen Sboui, sous la direction de François Rodier.

Un des problèmes non résolus sur les codes de Reed et Muller généralisés est l'étude des poids, qui mesurent en particulier l'efficacité du code et dont la connaissance sert dans les procédures de décodage. On est loin de pouvoir caractériser tous les poids de ces codes. On connaît cependant le poids minimum des mots de code (la distance minimale).

Un premier pas serait de déterminer le deuxième poids des mots de code, c'est-à-dire le poids qui est juste au dessus de la distance minimale. C'est ce qui est fait dans un article récent par Jean Pierre Cherdieu et RobertRolland, mais sous certaines restrictions, par exemple quand le nombre d'éléments de l'alphabet définissant le code est assez grand.

q

Par des méthodes de combinatoire et de géométrie des incidences ils ont obtenu des résultats pour , ce qui lève une grande partie des restrictions de Cherdieu et Rolland.

4.6. Variétés abéliennes et cryptographie

Serge Vladut a étudié des exemples du problème du logarithme discret sur des variétés abéliennes construites à l'aide du foncteur de restriction de Weil.

Il a réalisé une étude du comportement statistique de l'ordre d'un point aléatoire sur corps fini (important pour la cryptographie elliptique). Des résultats quasi-définitifs ont été obtenus. Un article en cours de rédaction.

Gilles Lachaud et Alain Barichard ont étudiés des exemples du problème du logarithme discret sur des formes de la quartique de Klein.


RAPPORT D'ACTIVITÉ

SINGULARITÉS EN GÉOMÉTRIE ET TOPOLOGIE

1. INTRODUCTION

2. DU COMPLEXE ...

2.1. Classes caractéristiques des variétés singulières2.2. Théorème de lefschetz difficile2.3. Topologie des singularités non isolées2.4. Conjecture de Lê D. T

3. ... AU RÉEL

3.1. Homologie d'intersection et homologie de Hochschild3.2. Algèbres de fonctions sur les espaces singuliers3.3. Germes analytiques réels et fibration de Milnor : un exemple3.4. Entrelacs de plombage fibrés et germes analytiques réels

1. INTRODUCTION

Les Singularités apparaissent dans tous les domaines des Mathématiques, et aussi des autres Sciences. Elles apparaissent sous deux aspects : singularités d'espaces, points où se "concentre l'énergie", et singularités d'applications, où se produisent les "changements de comportement".

Les recherches dans le premier aspect, singularités d'espaces, consistent à trouver le bon point de vue pour généraliser aux espaces singuliers les résultats "bien connus" pour les espaces lisses : classescaractéristiques, théorèmes de Poincaré, de Lefschetz, formule de l'indice etc... Dans le second aspect, singularités d'applications, on cherche davantage à étudier la topologie des singularités qu'elles soient complexes ou réelles.

2. DU COMPLEXE...

2.1. Classes caractéristiques des variétés singulières

L'un des ingrédients essentiels de la construction des classes caractéristiques des variétés (analytiques complexes) singulières est l' . Avec Lê D.T. et J. Seade, J.-P. Brasselet avait montré que cet invariant satisfait une formule de type Lefschetz (relativement à l'intersection par une section hyperplane générique). Avec D. Massey, A.J. Parameswaran et J. Seade, il a étendu ce résultat aux sections obtenues à l'aide d'une fonction holomorphe à singularité isolée.

obstruction d'Euler locale

Les classes de Milnor, différences entre classes de Schwartz-MacPherson et classes de Fulton ont fait l'objet de nombreuses publications ces dernières années. J.-P. Brasselet a montré dans un cas particulier etconjecturé une expression des classes de Milnor en termes de variétés polaires. Avec P. Aluffi, il a démontré la conjecture dans le cas des variétés singulières appelées "nice". Avec J. Seade et T. Suwa, il a donné une expression géométrique des classes de Fulton-Johnson, dans un cas déterminé.

La théorie de Hirzebruch unifie, dans le cas de variétés lisses, les théories de classes de Chern, de Todd et du -genre, en les associant à des séries multiplicatives. Avec Jörg Schürmann et Shoji Yokura, J.-P. Brasselet a construit une théorie de classes caractéristiques motiviques, laquelle unifie les classes de Schwartz-MacPherson, de Todd et le -genre, dans le cas de variétés singulières. On peut en attendre un Théorème de Riemann-Roch singulier et de nombreuses applications, en particulier pour la théorie des classes de Chern bivariantes.

L

L

2.2. Théorème de lefschetz difficile

Avec G.Barthel, K.H. Fieseler et L. Kaup, J.-P. Brasselet poursuit l'étude des faisceaux pervers sur des éventails non nécessairement rationnels et des polynômes de Poincaré, dans le même contexte, ceci dans le but de montrer un .théorème de Lefschetz difficile

2.3. Topologie des singularités non isolées

En collaboration avec F. Michel (Toulouse), A. Pichon a étudié la topologie du bord de la fibre de Milnor des germes analytiques

Lt

à singularités non isolées. Le résultat essentiel est que est une variété de Waldhausen. Il est donc caractérisé à homéomorphisme près par son graphe de plombage pondéré. Ce résultat conduit à deux intéressants corollaires : d'une part une caractérisation topologique des singularités isolées - plus précisément, un germe analytique est à singularité isolée si et seulement si le bord de sa fibre de Milnor est homéomorphe au link de la normalisée de . D'autre part, une généralisation au cas non isolé du théorème de Mumford qui caractérise les singularités isolées dont le bord est la 3-sphère. Ses deux corollaires y sont annoncés. Un article plus détaillé assortis de nombreux exemples explicites est en préparation. Par ailleurs, un autre article en collaboration avec F. Michel et Claude Weber, également en cours d'écriture, donne la classification complète des singularités

Lt

non isolées dont le bord de la fibre de Milnor est un espace lenticulaire.

2.4. Conjecture de Lê D. T

En collaboration avec I. Luengo (Université Complutense de Madrid), A. Pichon a décrit l'action topologique de la normalisation sur le link des singularités de surfaces complexes, puis appliqué ce résultat en démontrant la conjecture de Lê D. T. (l'entrelacs est une sphère si et seulement si la singularité est équisingulière unibranche) pour les singularités obtenues par revêtement cyclique ramifé sur un germe decourbe. Par ailleurs, A. Pichon et I. Luengo ont aussi démontré cette conjecture pour les singularités d'hypersurfaces en l'origine de d'équations

,

où et sont deux polynômes homogènes de degrés quelconques. Par ailleurs, ils ont donné une description explicite de la topologie du link de ces singularités d'hypersurfaces. Un article est en préparation.

3. ... AU RÉEL

3.1. Homologie d'intersection et homologie de Hochschild

Avec A. Legrand, J.-P. Brasselet a eu l'idée de considérer, sur les variétés singulières stratifiées, une algèbre de fonctions "bornées", admettant des pôles d'ordres déterminés lorsqu'on s'approche des strates. D'une part, ces fonctions génèrent un complexe de formes différentielles relié à l'homologie de Hochschild de l'algèbre en question. D'autre part, la cohomologie du complexe est isomorphe à l'homologie d'intersection de la variété pour une perversité donnée et est lié à l'homologie cyclique de la même algèbre.

Ces résultats, généralisant ceux de Connes (pour les variétés lisses) apparaissent comme une pièce du puzzle qu'est la démonstration d'un . théorème de l'indice pour les variétés singulières

3.2. Algèbres de fonctions sur les espaces singuliers

Avec A. Legrand et N. Teleman d'une part, et avec M. Pflaum d'autre part, J.-P. Brasselet a essayé de comprendre quelles sont les "bonnes fonctions" définies sur une variété singulière. Il s'agit des fonctionsdéfinissant une algèbre dont l'homologie de Hochschild et l'homologie cyclique jouissent de propriétés convenables, en particulier permettent de retrouver l'homologie d'intersection de la variété. Il en est ainsi des fonctions "contrôlées" et des fonctions de Whitney.

3.3. Germes analytiques réels et fibration de Milnor : un exemple

Avec J. Seade, A. Pichon a étudié la topologie de la fibration de Milnor d'une famille de germes analytiques réels (un cas encore très peu étudié pour lequel Milnor a laissé de nombreuses questions ouvertes). Le résultat principal est que cette famille d'exemples est loin d'être triviale dans le sens que les fibrations obtenues ne sont pas topologiquement équivalentes à des fibrations de Milnor provenant de germes holomorphes.

3.4. Entrelacs de plombage fibrés et germes analytiques réels

A. Pichon a poursuivi cette étude en étudiant une famille encore plus large de germes analytiques réels : les germes

,

où sont deux germes holomorphes. Elle a montré que ces germes permettent de réaliser toutes les fibrations des entrelacs de plombages fibrés de . Un article en collaboration avec J. Seade généralisant ceci à des germes

S3

où ( ,0) est une singularité normale de surface complexe est en cours d'écriture.X


RAPPORT D'ACTIVITÉ

REPRÉSENTATIONS DES GROUPES RÉDUCTIFS

1. FORMES AUTOMORPHES

2. REPRÉSENTATIONS DES GROUPES -ADIQUESp

3. ANALYSE HARMONIQUE

4. ANALYSE HARMONIQUE SUR LES ESPACES SYMÉTRIQUES

5. GROUPES DE POISSON-LIE

6. GROUPES QUANTIQUES

7. SUPERGROUPES

8. MESURES QUASI-INVARIANTES

1. FORMES AUTOMORPHES

L'essentiel de la recherche de J.-P. Labesse a été consacrée à la poursuite du travail commencé avec son livre Asterisque 257, sur la stabilisation de la formule des traces.

Il convenait en particulier de pouvoir généraliser le théorème de Langlands et Kottwitz qui permet de caracteriserles normes globales parmi les normes locales (localement partout) au cas de la formule des traces tordue pour un automorphisme semi-simple quelconque. La principale difficulté technique a été de trouver une définition convenable de la norme dans le cas le plus général, elle doit prendre en compte de la non connexite des centralisateurs tordus des éléments semi-simples. Le cas général s'est avéré très délicat et a nécessité une étude cas par cas des centralisateurs tordus au moyen de la classification des groupes semi-simples et de leurs automorphismes. Ce travail, commencé lors d'un séjour à Princeton à l'IAS en hiver 2001, soumis fin 2002 a étérévisé en 2003 et finalement publié au JIMJ fin 2004.

En application des techniques évoquées ci-dessus, J.-P. Labesse a, en collaboration avec Michael Harris (Paris 7), obtenu des résultats sur le changement de base pour certaines représentations de groupes unitaires. Ceci a des applications arithmétiques (existence de fonctions L etc...). Ce travail vient d'être publié dans l'Asian Journal of Math. dans le volume spécial en l'honneur d'Armand Borel.

Par ailleurs, en collaboration avec Werner Mueller (Bonn), il a obtenu une preuve simple, d'une forme légèrement affaiblie, d'une conjecture de Sarnak sur la loi de Weyl qui décrit l'asymptotique des valeurs propres du Laplacien sur les espaces localement symétriques. Ce travail vient également d'être publié dans l'Asian Journal of Math. dans le volume spécial en l'honneur d'Armand Borel.

Enfin, J.-P. Labesse encadre la thèse d'Axel Ferrari depuis septembre 2004. Le sujet est "Théorème de l'indice pour certaines variétés non compactes et formule des traces".

2. REPRÉSENTATIONS DES GROUPES -ADIQUESp

Les travaux de V. Sécherre concernent la classification des représentations lisses complexes des groupes réductifs -adiques de la forme GL ( ), où est une algèbre à division sur un corps local non archimédien , au moyen de la théorie des types élaborée par Bushnell et Kutzko. Ses travaux généralisent donc ceux de Bushnell et Kutzko portant sur les représentations de GL ( ).

p m D D F

n F

La première étape a été la construction des caractères simples attachés à une strate simple de l'algèbre de Lie de GL ( ). Il a effectué cette construction en s'appuyant sur un changement de base non ramifié conjointement à D

un procédé de descente galoisienne. La trivialité de certains groupes de cohomologie rend possible la démonstration des principales propriétés des caractères simples, à savoir la formule d'entrelacement et la propriété de transfert à d'autres groupes -adiques.

m

p

La seconde étape a été la construction des -extensions attachées à un caractère simple du groupe GL ( ). Cette construction, très technique, repose sur l'emploi de propriétés fines de l'immeuble de Bruhat-Tits. Une fois qu'il fut apparu que la stratégie employée par Bushnell et Kutzko dans le cas de GL ( ) ne pouvait être reprise telle quelle pour des raisons de combinatoire dans l'immeuble, le point décisif a été de comprendre qu'il s'agissait de se ramener, non pas au cas où la facette de l'immeuble sous-jacente à la strate simple est un sommet, mais au cas où c'est une chambre.

m D

n F

Après cela, l'étape suivante est la construction de types simples pour GL ( ) et le calcul de leurs algèbres de Hecke. V. Sécherre a mis au point une notion de décomposition dans une -algèbre centrale simple généralisantcelle de ( , )-décomposition dont Bushnell et Kutzko usent à profusion. Cette généralisation n'avait pas été nécessaire lors de la construction des caractères simples car le procédé de montée et descente permettait de s'en passer. Ceci dit, elle a permis à V. Sécherre de généraliser le théorème d'approximation des strates pures de Broussous et Grabitz au cas des suites de réseaux, ce qui devrait être utile dans un travail ultérieur concernant la construction de types semi-simples pour GL ( ). D'autre part, V. Sécherre a étudié en détail les relations de cohérence existant entre les diverses -extensions du groupe GL ( ), relations qui se sont révélées plus intriquées que dans le cas de GL ( ). Cette étude des relations de cohérence, conjointement à la notion de ( , )-décomposition généralisée, devrait permettre de mettre un terme au calcul des algèbres de Hecke des types simples de GL ( ).

m DF

W E

m D

m D

n FW E

m D

3. ANALYSE HARMONIQUE

P. Delorme et S. Souaifi (Strasbourg) ont établi, grace à des résultats de la thèse de Souaifi, un Théorème du sous-quotient pour les modules de Harish-Chandra, non nécessairement irréductibles.

Ce théorème a permis à P. Delorme d'achever une nouvelle preuve du Théorème de Paley-Wiener d'Arthur, pour les groupes réductifs réels. Cette preuve repose notamment sur la théorie des -types minimaux de D. Vogan. Un résultat pour les fonctions non nécessairement -finies est établi.

KK

J. Carmona et P. Delorme ont commencé à travailler en direction d'un Théorème de Paley-Wiener invariant tordu par une involution pour les groupes réductifs réels. Les résultats obtenus permettent notamment de traiter les involutions complexes de groupes complexes.

P. Blanc et P. Delorme ont étudié les vecteurs -invariants du dual de séries principales généralisées de groupes réductifs -adiques, où est le groupe des points fixes d'une involution rationnelle. L'outil principal est l'homologie des représentations lisses, dont les principales propriétés sont établies.

Hp H

P. Delorme et E. Opdam (Amsterdam) ont introduit et étudié l'algèbre de Schwartz d'une algèbre de Hecke affine. La transformée de Fourier de cette algèbre a été caractérisée. Cela repose sur la formule de Plancherel d'Opdam et sur des résultats de Lusztig, qui permettent de développer une théorie du terme constant et de former les paquets d'ondes. Cette caractérisation de la transformée de Fourier a d'importantes conséquences, notamment un Théorème du commutant à la Harish-Chandra. Dans un travail en cours, P. Delorme et E. Opdam introduisent et étudient les -groupes.R

4. ANALYSE HARMONIQUE SUR LES ESPACES SYMÉTRIQUES

J. Carmona étudie les coefficients extrémaux des développements asymptotiques des fonctions propres des opérateurs différentiels invariants sur un espace symétrique réductif. Plus précisément, on montre que certainespropriétés de leur support caractérisent leur croissance .

5. GROUPES DE POISSON-LIE

C. Klimcik et G. Valent ont effectué une étude systématique de la renormalisabilité à une boucle de tous les -modèles du type Poisson-Lie dont la cible est deux-dimensionelle. Ils ont trouvé que tous ces modèles sont renormalisables et, un plus, le flot des constantes de couplage est compatible avec la dualité de Poisson-Lie.

C. Klimcik et S. Parkhomenko ont résolu le probllème de modes zéro pour la dualité de Poisson-Lie pour un cas spécial quand le double de Drinfeld est du type de Lu-Weinstrein. Ils ont montré que la dualité de Poisson-Lie peut être étendue à inclure les configurations de cordes dont le moment non-Abélien est distinct d'unité. La configuration duale vit dans le sousgroupe compact maximal du double a sa monodromie prend valeurs dansl'alcôve de Weyl.

Le travail le plus volumineux de C. Klimcik concerne la généralisation du modèle de WZW. Il y est démontré que le modèle WZW peut être déformé de façon que son algèbre de symétrie devient -déformée. Le modèle nouveau ainsi construit est structurelment basé sur les -matrices dynamiques elliptiques et peut donc être appelé le modèle de WZW quasitriangulaire. Sa structure explique entre autres aussi l'equation -déformée de Knizhnik-Zamolodchikov.

qr

q

6. GROUPES QUANTIQUES

C. Klimcik a construit une action de double quantique de ( (2)) sur la sphère quantique de Podles et il l'a interpreté comme un version quantique de la formule projective qui exprime l'action des transformationsconformes globales sur la sphére de Riemann ordinaire.

Uq su

7. SUPERGROUPES

F. Pellegrini a generalisé la decomposition d'Iwasawa pour les supergroupes du type . La première composante est la forme réelle compacte ( , ) construite sur la base d'article et la deuxième composante est la version "super" du groupe .

SU m nAn

8. MESURES QUASI-INVARIANTES

Il s'agit plus précisément de recherches sur les relations entre mesures quasi-invariantes et représentations de certains groupes de dimension infinie.

A. Kossiak et R. Zekri se sont intéressés, dans un travail précédent, au groupe de dimension infinie , limite inductive stricte des groupes , de matrices réelles, triangulaires supérieures inversibles. Ils ont étudié les représentations analogues de la représentation régulière, sur des limites inductive des espaces ( ) Ces limitesinductives peuvent être décrites comme produit tensoriel infini d'espaces hilbertiens, le long d'un vecteur . Le choix du vecteur détermine certaines propriétés de l'algèbre de Von Neumann , du groupe , agissant sur cet espace. Ils ont établi, que si correspond à un certain type de mesures gaussienne, est un facteur.Poursuivant ce programme, R. Zekri a montré que ce facteur est alors de type III. Dans une situation plus générale, il a établi un critère sur le vecteur , pour que soit semi finie. Il a aussi construit, avec une méthode différente, d'autres représentations factorielles semi finies de . (Cette méthode s'inspire des travaux de D. Voiculescu.)

Bn

L2 Bn

MM

M

A. Kossiak et R. Zekri ont aussi étudié un analogue des opérateurs pseudo différentiels sur l'espace euclidien de dimension infinie . Ils ont défini une notion d'indice adaptée pour cela, et établi une extension des opérateurs pseudo différentiels en dimension infinie. Ils ont montré que cette extension est homotope à un produit infini (vu de manière adéquate) d'éléments de -homologie.K


RAPPORT D'ACTIVITÉ

DYNAMIQUE, ARITHMÉTIQUE ET COMBINATOIRE

1. INTRODUCTION

2. COMBINATOIRE

2.1. Combinatoire des mots2.2. Mots bidimensionnels2.3. Suites pseudo-aléatoires

3. ARITHMÉTIQUE

3.1. Propriétés arithmétiques des suites automatiques3.2. Discrépance3.3. Fractions continues classiques3.4. Bêta-numération3.5. Bases additives3.6. Fractions continues généralisées

4. DYNAMIQUE

4.1. Dynamique topologique4.2. Propriétés statistiques des systèmes dynamiques4.3. Échanges d'intervalles4.4. Substitutions sur un alphabet infini4.5. Billards4.6. Systèmes substitutifs, automorphismes de groupes libres, et partitions markoviennes des automorphismes du tore4.7. Automates Cellulaires

5. PERSPECTIVES

5.1. Généralisations des développements en fractions continues5.2. Autour de la complexité des suites5.3. Autour des billards5.4. Quelques autres thèmes

APPENDIX A. DYNAMIQUE ET GROUPES

A.1. SynthèseA.2. Thèmes de recherche et d'auto-formation

1. INTRODUCTION

Le choix de la subdivision en thèmes et sous-thèmes adoptée est très arbitraire. Une des spécificités de l'équipe est justement la variété des interactions entre différents domaines.

Il faut signaler que plusieurs membres de l'équipe sont éditeurs d'un ouvrage collectif de 400 pages, intitulé "Substitutions in dynamics, arithmetics and combinatorics", et paru en octobre 2002 aux Lecture Notes in Mathematics de Springer-Verlag sous le numéro 1794. Cet ouvrage donne un survol des substitutions et des questions reliées, abordant une grande partie des thèmes de l'équipe.

Un développement récent et important, qui touche plusieurs axes de l'équipe, est la coopération avec les autres mathématiciens marseillais (LATP en particulier) qui à démarré à la suite du mois thématique de l'Odyssée Dynamique, en 2001, et qui s'est développée ces dernières années au groupes de travail "Bords de groupes et marches aléatoires" et "Teichmüller". On pourra consulter le programme de travail mis en annexe.

2. COMBINATOIRE

2.1. Combinatoire des mots

Pour un mot fini ou infini sur un alphabet fini, la fonction de complexité ( ) compte le nombre de facteurs de longueur .

p nn

J. Cassaigne a developpé des techniques pour calculer la fonction de complexité de certaines familles de mots infinis, notamment ceux définis par des substitutions, ainsi que pour construire des mots infinis ayant (au moins asymptotiquement) une fonction de complexité spécifiée. Il a obtenu ainsi des mots dont la complexité n'est ni polynomiale, ni exponentielle.

Les mots sturmiens peuvent être caractérisés par leur fonction de complexité et on connait assez peu d'autres exemples pour lesquels cela est possible. A. Aberkane et S. Brlek (Montréal) ont caractérisé les mots infinis qui ont la même complexité que le mot de Thue-Morse.

J. Cassaigne travaille avec M. Anisiu (Cluj-Napoca) sur la complexité des mots finis et la construction de mots finis de complexité maximale. Il s'intéresse aussi à d'autres fonctions associées à des mots infinis, comme la fonction de récurrence ou la fonction de complexité palindromique. Par exemple, avec J-P. Allouche (Orsay), M. Baake (Greifswald) et D. Damanik (Caltech), ils ont comparé la fonction de complexité palindromique à la fonction de complexité usuelle.

Si est un nombre réel de (0,1), > 1 un nombre entier fixe et le développement -adique de x, on appelle complexité topologique -adique de la complexité du mot infini . C. Mauduit et C. G. Moreira (IMPA, Rio de Janeiro, Bresil) ont entrepris une classification des nombres réels en fonction de leur complexité topologique.Le travail permet d'une part de donner des estimations asymptotiques, pour fixée, du nombre de mots de longueur qui sont facteurs d'un mot infini dont la complexité est majorée par et d'autre part de déterminer la mesure de gauge de l'ensemble des nombres réels dont la complexité topologique -adique est majorée par

. La classification des nombres réels qui en découle peut être appliquée pour résoudre certaines questions additives concernant les nombres réels.

g W gg W

n Wg

J. Cassaigne travaille avec J. Karhumäki et J. Manuch (Turku) sur les équations sur les langages, notamment la commutation et la conjugaison.

P. Arnoux, V. Berthé et J. Cassaigne ont étudié une généralisation de la notion de substitution, les substitutions par des motifs (ou "mots à trous"). Ils ont complètement caractérisé les substitutions par des motifs qui agissent sur toute les suites, et montré que tous les points fixes ainsi obtenus sont substitutifs; on n'élargit donc pas la classe des mots substitutifs en considérant des substitutions par des motifs, au lieu de substitutions usuelles.

2.2. Mots bidimensionnels

La fonction de complexité rectangulaire ( , ) compte le nombre de facteurs rectangulaires de taille ( , ). La conjecture de Nivat dit que s'il existe un couple d'entiers ( , ) tels que ( , ) , alors la suite est périodique. En revanche il existe des suites doubles non périodiques de complexité + 1 qui ontété caractérisées par J. Cassaigne.

P m n m nm n P m n mn

mn

P. Arnoux, V. Berthé et A. Siegel ont poursuivi leur étude des susbtitutions multidimensionnelles, et montré comment il est possible de cette façon d'engendrer des suites doubles correspondant aux codages de plans discrets à coordonnées algébriques.

P. Hubert et L. Vuillon ont commencé à étudier les mots infinis obtenus comme suites de coupure dans lespavages du plan définis par des polyominos.

2.3. Suites pseudo-aléatoires

Depuis une soixantaine d'années, de nombreux travaux ontété publiés concernant les suites pseudo-aléatoires. Ils présentent un large éventail d'approches, de techniques et d'applications possibles. La notion même de suite pseudo-aléatoire y est interprétée de bien des manières différentes qui dépendent souvent des applications visées.

La majorité de ces travaux proposent des constructions et/ou des tests de suites pseudo-aléatoires. D'autres travaux utilisent des méthodes issues de la logique mathématique et de la théorie des probabilités pour essayer de mieux analyser et comprendre le concept même de suite pseudo-aléatoire ; mais leur utilité pratique dans laconstruction effective de telles suites reste alors souvent limitée.

Dans une série de travaux, C. Mauduit et A. Sarkozy (Budapest) (certains articles étant en collaboration avec J. Cassaigne, S. Ferenczi, P. Hubert et J. Rivat), proposent de donner un cadre théorique précis à la construction de suites pseudo-aléatoires finies ou infinies (20 articles publiés depuis 1999). Les mesures qu'ils définissent sont liées à la fois à la normalité, à la répartition dans les progressions arithmétiques et au contrôle des corrélations multiples de ces suites. Elles permettent par exemple, grâce à des méthodes issues soit de la théorie des systèmes dynamiques, soit de la géométrie algébrique, d'analyser les propriétés statistiques de certaines suites arithmétiques binaires classiques (suites automatiques, symbole de Legendre, fonction de Liouville, codages de produits croisés au dessus de rotations irrationnelles du tore, ...). Ils ont introduit, en collaboration avec R. Ahlswede et L. Khachatrian (universite de Bielefeld, Allemagne) une notion de complexité pour les familles de suites pseudo-aléatoires qui pourrait permettre l'utilisation de certaines constructions pour des applications intéressantes en cryptographie (travail en collaboration avec L. Goubin (Schlumberger,Louveciennes)). Un travail recent de C. Mauduit en collaboration avec N. Alon (universite de Tel-Aviv, Israel), Y. Kohayakawa (universite de Sao Paulo, Bresil), C. G. Moreira (IMPA, Bresil) et V. Rodl (universite Emory, USA) permet de donner des estimations trés précises des valeurs minimales et des valeurs moyennes de ces mesures.

3. ARITHMÉTIQUE

3.1. Propriétés arithmétiques des suites automatiques

En collaboration avec E. Fouvry (Université Paris-Sud), C. Pomerance (Bell Labs - Lucent Technologies, Murray Hill, USA), J. Rivat (universite Henri-Poincare) et A. Sarkozy (universite Eotvos Lorand, Budapest, Hongrie), C. Mauduit a développé des méthodes permettant d'étudier les propriétés multiplicatives de suites d'entiers definies par certaines propriétés de leur développement -adique (3 articles publiés depuis 2003). q

L'arrivée de J. Rivat, depuis le 1/2/2004, en apportant de nouvelles compétences en arithmétique, va permettre de poursuivre les travaux entrepris sur les propriétés arithmétiques des suites, les suites pseudo-aléatoires et leurs applications, en particulier en cryptologie, et va renforcer les interactions au sein du laboratoire en arithmétique et en algorithmique, notamment avec S. Louboutin.

3.2. Discrépance

H. Faure a amorcé en 2002 l'étude d'une famille de suites numériques uni-dimensionneles, les (0,1)-suites digitales en base ( premier), à la suite des travaux de G. Larcher et F. Pillichshammer (Linz) sur les mêmes suites en base 2. Il a obtenu des résultats très généraux sur la discrépance et la diaphonie de ces suites en 2003-2004 (à paraître aux Acta Arithmetica). Il a commencé à en tirer les conséquences pour divers aspects de la répartition fine des suites finies ou infinies en dimensions 1 et 2 (un article accepté et un soumis). Cette étude s'inscrit dans le regain d'intérêt pour les irrégularités de distribution en petites dimensions avec les travaux de plusieurs équipes autrichiennes (Linz, Salzbourg, Vienne), en relation avec les méthodes de simulation deQuasi-Monte Carlo (QMC). Dans ce dernier domaine, H. Faure travaille à présent avec deux chercheurs canadiens, P. L'Ecuyer (chaire de Canada en simulation et optimisation stochastique de l'Université de Montréal) et C. Lemieux (département de mathématique et statistique de l'Université de Calgary), sur l'accélération de convergence des méthodes QMC (SSJ User's guide, librairie Java en construction et mathématiques financières) . Par ailleurs, H. Faure et H .Chaix continuent leur étude de bornes inférieures pour la discrépance des suites infinies en dimension 2.

b b

3.3. Fractions continues classiques

Un problème pratique important dans la théorie des fractions continues est celui de la détermination explicite du développement. Plus précisement, le problème posé est le suivant : étant donné un nombre défini"formellement'' (comme par exemple) et un entier 1, combien faut-il prendre de décimales de pour en extraire les premiers quotients partiels ? Les premiers résultats significatifs dans cette direction ont été obtenus par Lochs dans les années 60. C. Faivre travaille dans cette direction (il a en particulier une borne explicite pour

kk

le problème posé ci-dessus), et sur les propriétés ergodiques des quotients partiels du développement en fraction continue.

3.4. Bêta-numération

Mohamed Hbaieb, qui termine actuellement une thèse en cotutelle sous la direction de C. Mauduit et M. Mkaouar (universite de Sfax, Tunisie) a étudié les propriétés des -développements dans le cadre des séries formelles sur un corps fini.

Les numérations classiques en base entière sont naturellement generalisées dans le cadre de base non-entière par la -numeration. Dans ce cadre, les rôles d'entiers, de décimaux et de rationnels sont joués par de nouveaux ensembles, dont les propriétés arithmétiques ne sont pas encore entierement connues. Par exemple, on ne sait pas dans quelle mesure un developpement fini en fractions continues, dans lequel les quotients partiels ne sont plus des entiers mais des -entiers, caractérise les éléments de ( ). Ce resultat est vrai pour le cas particulier où la base de numération est celle définie par le nombre d'or.

Q

L'ensemble des -entiers n'est pas stable sous les opérations usuelles que sont l'addition et la multiplication, ce qui fait apparaître une partie fractionnaire en base non nulle pour la somme ou le produit de deux -entiers. Lorsque est un nombre de Perron, l'ensemble de toutes les parties fractionnaires pouvant être obtenues peut contenir des parties fractionnaires finies, ultimement périodiques, ou bien encore infinies sans régularité apparentes. Si l'on se limite a la détermination de celles qui sont finies ou ultimement périodiques, alors l'ensemble de ces possibilités ne contient qu'un nombre fini d'éléments, et cet ensemble est explicitement calculable. Pour le cas de la multiplication de deux -entiers, on obtient également un nombre fini de parties fractionnaires qui sont finies ou ultimement périodiques.

Le cadre de la -numération fait également apparaître l'utilisation de fractals de Rauzy, qui permettent une interprétation géometrique de la numération dans la mesure où ils caractérisent un échange de morceaux, et sous une certaine hypothèse combinatoire un pavage de . On peut faire un lien entre une propriété du langage sous-jacent, défini par les trajectoires dans ce fractal, et une propriété géométrique du fractal ainsi construit : le langage est stable par image miroir si et seulement si le fractal est stable par une certaine symétrie centrale. Ce cas caractérise une classe bien particulière de nombres de Pisot, pour lesquels on retrouve des suitesd'Arnoux-Rauzy comme point fixe de la substitution définie par le choisi.

Rd

3.5. Bases additives

Une base additive asymptotique exacte d'ordre est un ensemble d'entiers tel que tout entier suffisamment grand s'écrit comme somme de éléments de la base. J. Cassaigne et A. Plagne (école polytechnique) étudient la façon dont varie l'ordre d'une base lorsqu'on la prive de l'un de ses éléments. Ils ont montré que la fonction de Grekos, qui caractérise ce comportement, a une croissance linéaire comprise entre + 1 et 2 .

hh

Sh h

3.6. Fractions continues généralisées

On peut décrire parfaitement la combinatoire des suites sturmiennes à l'aide du développement en fraction continue usuel. Par exemple, J. Cassaigne a utilisé ce point de vue pour étudier le spectre des valeurs obtenues comme quotients de récurence des suites sturmiennes.

La connexion est rendue explicite à travers la description des suites sturmiennes comme limite d'une compositiond'un nombre fini de substitutions, où le développement en fraction continue décrit l'itération des substitutions qui interviennent. Une telle représentation (représentation -adique) existe plus généralement pour les suites de complexité linéaire. Ce mode d'engendrement algorithmique permet d'associer naturellement à la suite, dans de nombreux cas, un développement en fraction continue généralisée. Un des intérêts de la représentation -adiqueest qu'elle permet une description arithmétique des suites étudiées.

S

S

Au-delà du cas sturmien, on connait explicitement un développement -adique pour les suites sturmiennes, pour les systèmes engendrés par les codages binaires de rotations (B. Adamczewski), pour les suites telle que

(A. Aberkane) ou pour les systèmes engendrés par certains échanges de trois intervalles (S. Ferenczi, C. Holton, L. Zamboni).

S

S. Troubetzkoy et H. Bruin (Groningen) ont obtenu un développement -adique pour un codage d'une famille de translations par morceaux, ce qui a permis à J. Cassaigne d'en calculer la fonction de complexité.

S

L'approche -adique peut s'étendre à un cadre multidimensionnel. On peut engendrer un plan discret par limite de composition de substitutions généralisées, itération gouvernée par l'algorithme de Jacobi-Perron. Dans cette étude menée par V. Berthé, P. Arnoux et S. Ito, il ne semble pas que l'algorithme de Jacobi-Perron joue un rôle privilégié. On peut obtenir un résulat similaire avec l'algorithme de Brun. L'algorithme de Brun possède une extension naturelle, dont ils donnent une interprétation géométrique dans ce contexte, afin d'engendrer des fractals de Rauzy pour des paramètres non algébriques. Ceci permet en particulier de donner des exemples de sous-ensembles de tores aux propriétés de répartition intéressantes pour les rotation torales (ensembles à restes bornés non triviaux, par exemple).

S

Td

Arnaldo Nogueira s'intéresse à la question de l'ergodicité des algorithmes homogènes de fractions continues multidimensionnelles et la caractérisation des extensions naturelles. Comme dans le cas de l'action linéaire de SL(n,Z), où il a réussi à caractériser les mesures invariantes, et qui a un lien avec les orbites des algorithmes, les mesures invariantes sur les algorithmes sont infinies, l'origine de la difficulté de la question.

Les travaux de S. Ferenczi, avec C. Holton et L. Zamboni, portent sur les propriétés combinatoires, arithmétiques et dynamiques des échanges d'intervalles. A l'aide d'un algorithme combinatoire dit "hat algorithm'' et d'un nouvel algorithme de fractions continues pour l'approximatiom simultanée de deux nombres, ils généralisent l'interaction rotations / suites sturmiennes, et donnent un critère nécessaire et suffisant pour qu'une suite symbolique soit un codage naturel d'un échange de trois intervalles. On peut alors construire explicitement les codages des orbites des discontinuités, et, en calculant les mots de retour, obtenir une présentation -adique du système dynamique associé.

S

4. DYNAMIQUE

4.1. Dynamique topologique

Avec L. Snoha et W. Huang, F. Blanchard a entrepris une étude générale de la taille des ensembles brouillés (scrambled sets) des systèmes dynamiques chaotiques. Ils ont obtenu de nombreux résultats et exemples. J. Cassaigne a construit, avec V. Blondel (Louvain) et C. Nichitiu (Saint-Etienne), un contre-exemple à une conjecture de P. Kurka sur la dynamique des machines de Turing : il existe une machine qui n'a aucune configuration périodique.

P. Arnoux poursuit une collaboration à long terme avec A. Fisher (Sao Paulo) sur une généralisation de la dynamique classique : au lieu de considérer l'action des puissances d'une transformation fixée, ils considèrent l'action d'une suite de transformations. Ils montrent ensuite que, dans un tel cadre, l'hyperbolicité et la propriété d'Anosov ont toujours un sens, et ils étudient le cas particulier des suites d'endomorphismes positifs du tore, qui est directement relié au développement en fraction continue usuel.

4.2. Propriétés statistiques des systèmes dynamiques

S. Troubetzkoy et S. Vaienti ont considéré la convergence à la loi exponentielle des temps de premier retour ainsi que la convergence à la loi de Poisson du nombre de visites. Ils démontrent l'invariance de la distribution du premier temps de retour pour des systèmes induits. Cela eux a permis d'établir la loi exponentielle du premier temps de retour pour une classe très large d'applications unimodales et pour des ensembles de Julia sur la sphère de Riemann.

Thermodynamique des temps de retour : S. Troubetzkoy et S. Vaienti ont étudié une quantité qui mesure lafréquence de retour (local) d'une boule dans elle-même. En comparant boules et cylindres et en utilisant un des leurs précédents résultats (qui affirmait que si l'entropie métrique du système est positive alors le temps de retourlocal des cylindres croît au moins comme la longueur du cylindre), ils ont obtenu une nouvelle caractérisation des exposants de Lyapunov pour de difféomorphismes de surface en dimension quelconque.

Isométries par morceaux : Une translation d'intervalle (ITM) est une application d'un intervalle dans lui-même, continue sauf en un nombre fini de points et de pente 1. Elles ont été introduites par Boshernitzan et Kornfeld

T

comme des généralisations des échange d'intervalles. La classe des ITM est intéressante, car chaque application de l'intervalle monotone par morceaux, sans point périodique ni intervalle errant minimale sur son ensemble non errant est topologiquement conjuguée à une ITM. Pour les translations de 3 intervalles qui sont des translations de 2 intervalles sur le cercle, S. Troubetzkoy a défini un procédé d'induction qui permet de comprendre la dynamique et la géométrie de l'attracteur d'une façon complète.

Dans le cas des applications dilatantes de l'intervalle, la présence d'un point fixe indifférent peut faire apparaître naturellement des mesures invariantes absolument continues qui ne sont pas finies. X. Bressaud a construit une famille d'exemples d'applications dilatantes de l'intervalle pour lesquelles peuvent apparaître plus de deux mesures naturelles, à des échelles de temps différentes.

En collaboration avec A. Maass, S. Martinez et J. San Martin, X. Bressaud a donné une construction explicite d'une suite de v.a. independantes identiquement distribuée permettant de reconstruire une filtration standard (au sens de Vershik), dans le cas ou la filtration est engendrée par un processus stationaire à valeurs dans {0,1}.

4.3. Échanges d'intervalles

L'étude ergodique des échanges de trois intervalles se poursuit par l'étude de leurs couplages ; un nouveau problème difficile laissé ouvert par Veech semble abordable, celui de la : cette notion (qui réduit les possibles mesures invariantes par x à une classe complètement décrite) a été justement définie par Veech parce qu'elle semblait devoir être partagée par "la plupart" des échanges d'intervalles, contrairement à la notion,antérieure mais trop forte, d' ; mais ces propriétés n'ont pu être montrées (par del Junco) que pour des exemples très particuliers, qui posèdent d'ailleurs la propriété la plus forte. Ferenczi, avec Holton et Zamboni, a identifié complètement la classe des échanges de trois intervalles qui possèdent la propriété des autocouplages minimaux, en montrant qu'il y a une dichotomie : les échanges de trois intervalles qui sont (propriété définie indépendamment par Durand et Boshernitzan) ont des autocouplages minimaux (cette classe correspond à des notions de quotients partiels bornés dans l'approximation), tandis que les autres sont ; certains de ces derniers semblent devoir être simples, offrant les premiers exemples "naturels" de systèmes simples rigides, et fournissant une première réponse partielle positive à la conjecture de Veech.

simplicitéT T

autocouplages minimaux

linéairement récurrents

rigides

La généralisation des résultats combinatoires aux construits avec la permutation symètrique ( , – 1, ...1) est désormais amorcée dans un article de Ferenczi avec L. Zamboni (en cours de rédaction). Il peut ainsi caractériser complètement les codages naturels des orbites, et construireexplicitement les – 1 suites de facteurs bispéciaux, par un algorithme combinatoire et arithmétique additifsuivant un graphe général dont les états sont eux-mêmes des graphes de mots (asynchrones, car les mots ne sont plus de même longueur). Il est intéressant de constater que ces graphes, trés similaires aux graphes de l'induction de Rauzy pour les premières valeurs de , en diffèrent de plus en plus quand le nombre d'intervalles augmente. Bien entendu, la non-unique ergodicité de ces transformations pour 4 implique que cet algorithme ne converge plus toujours, et il a ainsi des exemples de situations où plusieurs échanges de intervalles ont la même combinatoire.

échanges de d intervallesd d

d

dd

d

L'algorithme d'appproximation défini pour trois intervalles et généralisé récemment est en fait une variante de l' , qui est considérée comme une forme duale de l'induction de Rauzy, et préserve aussi une mesure (infinie).

induction de da Rocha

Xavier Bressaud, en collaboration avec G. Poggiaspalla (CPT puis post doc a Londres) essaye de mettre au point une classification des isométries par morceaux bijectives du plan. L'idée centrale est de transposer l'idéenaturelle et fructueuse dans le cas des échanges d'intervalle de distinguer un aspect combinatoire (permutation) et un aspect continu (longueur des intervalles).

4.4. Substitutions sur un alphabet infini

Les substitutions sur des alphabets finis, longuement étudiées dans Pytheas Fogg et désormais bien connues, définissent des systèmes dynamiques topologiques compacts, minimaux et uniquement ergodiques sous des conditions facilement réalisées, et des systèmes dynamiques mesurés préservant une mesure finie. La plupart de ces affirmations ne tiennent plus si l'on suppose que l'alphabet est dénombrable. Un des rares exemples déjà

étudiés, la substitution dite d' , définie par , donne un système minimal et uniquement ergodique (en un sens fort dans un contexte non-compact), préservant une mesure finie, et Ferenczi montre que le système obtenu est un codage explicite de l'odomètre dyadique. Il étudie ensuite un exemple bien plus mystérieux, la substitution dite par analogie avec la marche aléatoire du même nom,

. Dans un article en cours de rédaction, il étudie cet exemple en profondeur et jette les bases d'une théorie générale de ces substitutions : il montre que ce système a une infinité de composantes minimales ; le décalage ne préserve pas de mesure finie, mais de nombreuses mesures infinies dont une "naturelle" pour laquelle le système est l'union de deux systèmes récurrents ; puis nous montrons l'ergodicité et l'entropie nulle de ces deux composantes, en utilisant la substitution dérivée (par induction sur le cylindre 0), définie par , , qui, elle, donne un systéme préservant une mesure finie ergodique.

infini Bonacci

de l'ivrogne

4.5. Billards

P. Hubert et T. Schmidt ont commencé l'étude de la géométrie des groupes de Veech infiniment engendrés. Certains de ces groupes ont une infinité de cusps nonéquivalents et une infinité de points de Dirichlet non paraboliques. Des questions difficiles résistent comme la compréhension du genre des surfaces de Riemann correspondantes.

P. Hubert et S. Lelièvre ont décrit les disques de Teichmüller de volume fini les plus simples : ceux des surfaces de translation de genre 2 pavées par des petits carreaux et possédant un seul point conique. Cette étude fournit les premiers exemples de disques de Teichmüller de genre positif. Ces résultats ont été généralisé par C. McMullen. P. Hubert et S. Lelièvre ont ensuite essayé de comprendre les propriétés algébriques de ces groupes et ont montré que ce ne sont pas des groupes de congruence.

Les billards polygonaux ont une entropie topologique nulle. Pour décrire plus précisement leur comportement, les spécialistes des billards ont étudié deux objets : le nombre ( ) de diagonales généralisées de longueur inférieure à et la complexité ( ) du langage engendré par le billard. P. Hubert, J. Cassaigne et S. Troubetzkoy ont découvert un lien entre les deux :

N nn p n

et ils ont calculé l'ordre asymptotique de croissance de ( ) dans des cas particuliers.p n

La version moderne de l'hypothèse d'ergodicité de Boltzmann, formulée par Sinai réclame l'ergodicité du mouvement de disques élastiques sur le Tore. Cette hypothèse a été récemment résolue par Simányi. Mais il y a peu de travaux sur un problème encore plus dur, l'ergodicité de disques élastiques dans des domaines avec bords. Le seul résultat dans cette direction est aussi dû a Simányi qui a démontré l'ergodicité de deux disquesdans le carré. P. Bálint et S. Troubetzkoy ont développé une variante de l'approche de Simányi qui permet de démontrer l'ergodicité de deux disques dans d'autres polygones, ceux dits intégrables.

N

Dans les dix dernières années le physiciens ont commencé d'étudier un modèle des billards avec transfert d'énergie au bord via les collisions. Ils ont appelé cela le modèle du rotor. Malgré l'intérêt physique, il y a peu d'articles rigoureux sur le sujet. P. Bálint et S. Troubetzkoy ont étudié ce modèle pour les billards elliptiques, plus précisément pour les billard dans l'anneau ou ils ont donné une description complète de la dynamique.

Une méthode pour déduire des propriétés asymptotiques des systèmes dynamiques consiste à utiliser des approximations par des systèmes ayant de bonnes propriétés. Cette approche a commencé avec l'article de Katok et Stepin en 1967 et a été beaucoup développé dans le domaine des billards. S. Troubetzkoy a donné une nouvelle caractérisation du mélange-faible, qui permets d'étudier cette propriété avec des méthodes d'approximation. Il suit que dans la -topologie, le comportement générique des billards estfaiblement-mélangeant. En particulier, ce résultat est vrai pour les tables convexes, alors que la théorie KAM implique que les tables suffisamment lisse ( ) ne sont jamais ergodiques.

C1

C6

Un billard dans un polygone est dit de récurrence angulaire si, pour chaque direction, et presque chaque point

du polygone, la trajectoire passant par ce point dans cette direction, revient parallèlement avec elle-même. S. Troubetzkoy a trouver une nouvelle classe de polygones de récurrence angulaire. Il y un corollaire important qui décrit la plus grande classe explicite connue de polygones pour lesquels une orbite périodique existe. S. Troubetzkoy a montré qu'on peut améliorer ces résultats sur la récurrence angulaire : l'ensemble des points qui n'est pas récurrent est petit dans le sens de la dimension de capacité inférieure. Il y a un lien intéressant avec la théorie des nombres : pour arriver à ce résultat il a démontré un nouveau théorème sur la dimension de l'ensemble des nombres qui sont bien approximables. En 2004, S. Troubetzkoy a fait une analyse plus fine des orbites non récurrent qui permets de déduire un résultat important : les orbites périodiques sont denses dansl'espace de phase pour quelques polygones irrationnelles.

N. Bedaride s'intéresse au billard dans les polyèdres. Pour étudier l'orbite d'un point dans une direction donnée, on cherche la complexité de la suite symbolique associée. Il a obtenu cette complexité dans le cas des prismes droits à base de polygones pavants. Cette preuve permet de retrouver la complexité dans le cas du cube codé par trois lettres, résultat d'Arnoux, Mauduit, Shiokawa, Tamura.

De manière plus générale il a montré que le billard dans un polyèdre quelconque de était d'entropie nulle. Rn

On peut aussi étudier les orbites périodiques. Le cas le plus connu est celui des triangles aigus. Les trois pieds des hauteurs forment une trajectoire périodique de longueur trois (résultat de Fagnano). Pour trouver des trajectoires périodiques on peut étudier les trajectoires périodiques stables. C'est-à-dire celles qui restent périodiques si le polyèdre change. il a obtenu une condition nécessaire à la stabilité d'un mot périodique. Ceci permet de généraliser le théorème de Fagnano au cas du tétraèdre, en montrant qu'il existait un ouvert dansl'ensemble des tétraèdres ou une trajectoire de longueur combinatoire quatre était périodique. Il obtient aussi des tétraèdres où aucun mot de longueur quatre n'est périodique.

4.6. Systèmes substitutifs, automorphismes de groupes libres, et partitions markoviennes des automorphismes du tore

Xavier Bressaud, avec A. Maass et F. Durand, a montré un critère pour déterminer si un complexe de module 1 est ou non valeur propre (continue ou pas) d'un système adique linéairement récurrent. Des généralisations à des systèmes a-diques moins spécifiques sont en cours.

P. Arnoux a défini, avec S. Ito et Y. Sano (Tsuda), une notion générale d'extension des substitutions en toute dimension, ainsi que d'extension duale dans le cas de déterminant 1 ; Cette notion s'étend sans problème auxautomorphismes du groupe libre.

Dans des cas particuliers, Pierre Arnoux, en collaboration avec M. Furukado, E. Harriss, et S. Ito, est ainsi parvenu à généraliser à des cas non Pisot la construction classique du fractal de Rauzy. Ce travail, en cours derédaction, ouvre de nombreuses possibilités :

Construction explicite de partitions de Markov pour des automorphismes non Pisot. Approximations discrètes explicites de 2-plans dans un espace à 4 dimensions. Nouvelles constructions de pavages auto-similaires, qui généralisent le pavage de Penrose. Bêta-numération complexe.

La prochaine étape du travail sera de déterminer jusqu'à quel point il est possible de mener cette généralisation. Pour aborder le cadre général, il sera probablement nécessaire de définir une notion de pavage algébrique, et non géométrique.

4.7. Automates Cellulaires

X. Bressaud et P. Tisseur ont construit un exemple d'automate cellulaire sensible aux conditions initiales et d'entropie nulle, répondant ainsi partiellement à une question de Wolfram.

Le travail entamé par F. Blanchard, J. Cervelle et E. Formenti sur la topologie de Besicovitch a été complété de résultats nouveaux. Il est accepté dans TCS sous réserve de modifications. D'autres résultats ont été obtenus depuis par F. Blanchard et E. Formenti.

5. PERSPECTIVES

5.1. Généralisations des développements en fractions continues

Ce thème fondamental est un excellent exemple des interactions qui font l'originalité de notre équipe ; la situation "classique", à savoir la triple interaction entre les rotations, les suites sturmienens et les fractions continues usuelles, sert de base à de nombreuses généralisations. Celles-ci permettent de simplifier un certainnombre de faits déjà connus (en particulier, on s'aperçoit que beaucoup d'études arithmétiques ou dynamiques ont un pendant symbolique) et d'autre part d'attaquer divers problèmes ouverts (par exemple, la notion de fractal de Rauzy permet, en utilisant la dynamique symbolique, d'étudier des problèmes qui ne sont pas directement accessible d'un point de vue purement arithmétique ou géométrique). De manière générale, les algorithmes de fractions continues admettent des interprétations géometriques (en particulier, approximations de droites ou de plans dans des espaces bien choisis, ou clôture convexe des points positifs d'un réseau, appelée polyèdre de Klein), des interprétations dynamiques, comme induction et renormalisation sur une famille paramétrée de systèmes dynamiques, et des interprétations symboliques, comme suites de substitutions ou de substitutions généralisées. On peut aussi, par des travaux en cours, espérer par des arguments de comptage identifier tous les points où l'extension analytique de la série des inverses des puissances -ièmes des entiers, vue comme une fonction de , s'annule. Il semble probable que, sauf certains points triviaux, ils soient tous situés sur une même droite verticale.

ss

Nous mentionnerons en particulier les problèmes précis suivants :

Recherche des extensions naturelles explicites, ce qui permet de trouver la mesure invariante, et de les réaliser comme section d'un flot (on ne sait toujours pas le faire pour l'un des cas les plus étudiés, l'algorithme de Jacobi-Perron) (P. Arnoux).Étude de l'algorithme d'appproximation de deux irrationnels défini par Ferenczi, Holton et Zamboni : recherche de mesures invariantes, liens avec les autres algorithmes suscités par leséchanges d'intervalles, liens avec les interprétations possibles de la transformation d'induction (P. Arnoux, S. Ferenczi).Étude des points périodiques pour différents algorithmes : cas particuliers simples, correspondant par exemple aux systèmes substitutifs, aux automorphismes du tore, aux bêta-expansions pour des nombres de Pisot (P. Arnoux).Propriétés des fractions continues de Veech et de Rosen (P. Arnoux avec T. Schmidt).Extension des résultats de 4.3 à des échanges de quatre intervalles ou plus (S. Ferenczi avec C. Holton et L. Zamboni).Extension des résultats de 3.3 à des fractions continues multidimensionnelles ou complexes (C. Faivre).Autres versions de l'induction de Rauzy, guidées par la combinatoire ; les travaux récents de Ferenczi et Zamboni permettent de retrouver et de préciser des constructions déjà anciennes de da Rocha.

5.2. Autour de la complexité des suites

Ce thème interagit avec le précédent, les interprétations symboliques des algorithmes de fractions continues faisant intervenir la notion de complexité ; mais il donne aussi naissance à une problématique propre, en liaison avec des questions d'informatique théorique.

Différentes notions de complexité possibles pour une suite double (comptage de facteurs de surface ou de taille donnée avec des restrictions de nature topologique ou combinatoire comme le fait de dénombrer les motifs connexes ou qui sont des polyominos etc...), liens avec la caractérisation des suites ayant une direction de périodicité et la conjecture de Nivat (V. Berthé, J. Cassaigne).Étude des propriétés combinatoires des mots infinis engendrés par des automates infinis et des substitutions sur un alphabet infini (S. Ferenczi, M. Legonidec, C. Mauduit).Propriétés des substitutions doubles d'un point de vue algorithmique, combinatoire, dynamique et arithmétique, liens avec des algorithmes de fractions continues bidimensionnels et les problèmes de pavage (P. Arnoux, V. Berthé, avec S. Ito). Notion de complexité en motifs et liens avec le spectre discret des substitutions (V. Berthé, S. Ferenczi, P. Hubert avec T. Kamae).Énoncé définitif et résolution, au moins partielle, de la conjecture -adique (V. Berthé, J. Cassaigne, S. Ferenczi).

S

Utilisation du "hat algorithm" défini par Zamboni pour progresser de manière significative vers la

résolution de la vaste question de Rauzy : classifier tous les systèmes de complexité 2 + 1 (S. Ferenczi, avec L. Zamboni).

n

5.3. Autour des billards

Ce thème interagit avec les deux précé\-dents en raison des liens des billards avec les échanges d'intervalles et du rôle de la complexité comme invariant.

Nicolas Bédaride s'intéresse maintenant au calcul de la complexité globale du billard dans le cube. Il a déjà obtenu un encadrement de cette suite, et cherche à obtenir un ordre de grandeur de cette quantité.Familles d'Anosov (P. Arnoux avec A. Fisher).Construction de billards convexes faiblement mélangeants (S. Troubetzkoy avec A. Stepin).Rôle des symétries dans l'existence d'orbites périodiques pour les billards (P. Hubert, S. Troubetzkoy).Changement d'échelle général pour les mesures hyperboliques invariantes (S. Troubetzkoy avec F. Ledrappier et J. Schmeling).Ergodicité quantique (S. Troubetzkoy avec T. Krüger).

5.4. Quelques autres thèmes

Les questions qui suivent ne sont pas non plus isolées, dans la mesure où elles ouvrent la voie à des collaborations extérieures à l'équipe et même interdisciplinaires.

Szemerédi-Furstenberg en topologique : dans quels systèmes trouve-t-on des occurrences d'un ouvert en progressions arithmétiques de longueur arbitraire ? (F. Blanchard)Attracteurs et sensibilité des automates cellulaires pour une mesure (F. Blanchard).Utilisation de méthodes dynamiques, "à la Vershik'', pour l'étude de marches aléatoires sur les groupes, et plus particulièrement sur les groupes de tresses. Un objectif est d'obtenir une description combinatoire adaptée du "bord'' de ces groupes (X. Bressaud).Extension en base de nouveaux résultats en cours de publication de Kritzer, Larcher et Pillichshammer en base 2 et nettoyage d'un certain nombre de propriétés des suites finies en dimension 2 liées à celles dessuites infinies en dimension 1, en base 2 notamment (H. Faure et H. Chaix).

b

Approfondissement du brouillage aléatoire dans les méthodes d'analyse de variance (ANOVA) pour la simulation des processus stochastiques (H. Faure avec C. Lemieux).Les suites pseudo-aléatoires constituent un programme assez vaste sur lequel nous souhaitons mettre en place un groupe de travail transdisciplinaire, car les problèmes posés et les domaines de compétence invoqués sont nombreux (systèmes dynamiques, probabilités, théorie des nombres, combinatoire, logique mathématique, cryptographie, informatique et simulation numérique). Nous avons bénéficié de 2000 à 2003 d'une Action Concertée Incitative en Cryptologie du Ministère de la Recherche , regroupant J. Cassaigne, C. Mauduit, G. Tenenbaum (universite Henri-Poincaré) et J. Rivat (université Henri-Poincaré) , coordonnée par J. Rivat. L'arrivée de J. Rivat au sein de notre laboratoire devrait nous aider à développer ces projets en interaction avec l'ensemble des équipes.

APPENDIX A. DYNAMIQUE ET GROUPES

A1. Synthèse

Depuis début 2001, initiées par la rencontre "Odyssée dynamique'' au Cirm, plusieurs activités de recherche et d'auto-formation scientifiques se sont constituées à Marseille parmi les membres de l'IML et du LATP. Dans un processus autonome, ces activités, au début plutôt discrètes, se sont développées avec une dynamique inattendue et non-programmée. Actuellement, elles ont convergé vers trois pôles visibles (plus une varieté infectieuse d'activités invisibles dans les cafés et salons de thé du centre-ville de Marseille — préférables aux salles académiques plus traditionnelles des établissements universitaires, qui se trouvent majoritairement à la périphérie de la ville) :

1. Le séminaire , un groupe de travail sur la thématique très actuelle des marches aléatoires sur les groupes discrets, et de la construction de bords probabilistes.

BGMA

2. Le groupe de travail , qui s'est développé en une plateforme pour l'approche systématique Teichmüller

entre les cultures "dynamique symbolique'' (IML), "géométrie de groupes'' (LATP) et "espace deTeichmüller et dynamique complexe'' (IML/LATP). Ce groupe de travail a initié plusieurs projets de recherche actuellement actifs.

3. Le groupe de travail , qui est une groupe de recherche avec une thématique bien définie et des buts pointus et ambitieux.

Conjecture de Cannon

La vie scientifique autour de ces activités a largement profité de plusieurs écoles doctorales, ateliers de recherche, et conférences internationales qui ont eu lieu à Marseille. Un colloque important pour le deuxième pôle ci-dessus aura lieu en avril 2005. On discute actuellement des possibilités d'organiser une activitéconcentrée sur 5 semaines au Cirm, en 2006 ou 2007.

A2. Thèmes de recherche et d'auto-formation

Dynamique symbolique :

– systèmes substitutifs, fractals de ;

– échanges d'intervalles, translations d'intervalles ;

– systèmes adiques et -adiques, diagrammes de , méthodes spectrales, mélange faible ;

– complexité, ergodicité unique, dimension du simplexe des mesures invariantes ;

– induction de , renormalisation, pliage et dépliage de réseaux ferroviaires.

RAUZY

s BRATTELI

RAUZY

Espace de :

– surfaces de translations, disques de ;

– bord de , feuilletages mesurés, réseaux ferroviaires avec poids ;

– groupe modulaire, géodésiques de , structuresautomatiques, applications pseudo- .

TEICHMÜLLER

TEICHMÜLLER

THURSTON

TEICHMÜLLERANOSOV

Automorphismes de groupes libres :

– réseaux ferroviaires relatifs (selon ), laminations combinatoires ;

– courants mesurés, arbres réels, espace de (CV ) ;

– Out(F ), pliages de graphes, automaticité asynchrone, bord de (CV ).

BESTVINA-HANDEL

CULLER-VOGTMANN n

n n

Dynamique holomorphe :

– dictionnaire de ;

– conjecture de ;

– théorème de la double limite de , (selon ).

SULLIVAN

CANNON

THURSTON mating MILNOR

Marches aléatoires :

– bord de , -bords, entropie limite ;

– critères géométriques de ;

– bord de , fonctions harmoniques;

POISSON

KAIMANOVICH

MARTIN

– groupes moyennables, non-moyennables ou uniformément non-moyennables;

– groupes de et leurs généralisations, produits en couronne.BAUMSLAG-SOLITAR

Algorithmique et combinatoire :

– automates pour la dynamique du bordde (espaces de et de ) ;

– problème de conjugaison multiple (groupes bi-automatiques ou hyperboliques).

THURSTON TEICHMÜLLER CULLER-VOGTMANN


RAPPORT D'ACTIVITÉ

ALGÈBRES D'OPÉRATEURS ET GÉOMÉTRIE

1. -THÉORIE DES GROUPES ARITHMÉTIQUESK

2. K-THÉORIE ET COHOMOLOGIE LOCALE CYCLIQUE

2.1. Excision et la filtration de Hodge en homologie cyclique périodique2.2. Caractères des modules de Fredholm et un problème de Connes2.3. Cohomologie cyclique locale2.4. Invariants homologiques des -algèbresC*

3. ALGÈBRES DE VON NEUMANN, SOUS-GROUPES QUANTIQUES

4. -ALGÈBRES ET GROUPES QUANTIQUES AFFINESC*

5. ACTIONS DE GROUPES DE LIE SUR LES ALGÈBRES DE VON NEUMANN

6. PROJETS DE RECHERCHES

1. -THÉORIE DES GROUPES ARITHMÉTIQUES K

Ce thème est étudié par G. Kasparov.Pour les sous-groupes arithmétiques de groupes de Lie semi-simples de rang 2 (comme

par exemple), il n'existe pour l'instant aucune méthode pour calculer la -théorie de leursC*-algèbres et . La conjecture de Baum-Connes n'est pas encore démontrée même pour

. Notons que la conjecture de Baum-Connes affirme que chaque élément du groupe est l'indice d'un opérateur elliptique -invariant sur une variété -compacte. Néanmoins il

existe des opérateurs sur des variétés non -compactes très naturellement reliés aux groupes arithmétiques qui permettent d'obtenir des éléments des groupes et . G. Kasparov a construit certains éléments des groupes

GK

et pour .

L'idée de la construction est d'utiliser l'opérateur de Dirac sur un fibré sur / associé à un module de Clifford sur l'algèbre de Clifford muni d'action isométrique de , où est un sous-groupe maximal compact de , est l'espace cotangent de / au point ( ). Comme l'action de sur / est propre et isométrique, il existe un module de Hilbert sur associé à ce fibré sur / et l'opérateur de Dirac agit comme un multiplicateur non borné sur ce module de Hilbert. Mais comme la variété / n'est pas -compacte, il faut modifier l'opérateur de Dirac à l'infini pour que cet opérateur soit Fredholm. L'indice de cet opérateur donne un élément des groupes et .

G KK K

G G K KG K G K

G K

L'idée de modification de l'opérateur de Dirac est similaire au cas d'une variété à bord (pour des variétés à bord cette idée appartient principalement à E. Leichtnam, P. Piazza, voir "Spectral sections and higherAtiyah-Patodi-Singer index theory on Galois coverings'', GAFA, 8 (1998), 17-58.) Dans le cas d'une variété à bord, il faut modifier la restriction de l'opérateur de Dirac sur le bord pour le faire inversible au bord. Le cas du groupe est plus compliqué. On utilise la compactification de Borel-Serre de l'espace symétrique / (qui est une variété à coins) à la place d'une variété à bord. K

Il est très intéressant de comprendre si les éléments construits sont dans l'image de l'homomorpisme de Baum-Connes. En plus de l'intérêt que ces éléments présentent pour la conjecture de Baum-Connes, ils

sont bien reliés aux "multiplicités classiques des représentations intégrables'' de dans le spectre cuspidal de / . Ces "multiplicités classiques'' sont définies même pour des groupes sans représentations integrables, par l'homomorphisme de Gelfand - Pyatetski-Shapiro

GG

( ( )) -> ( ( ( / ))).K0 C* G K0 K 0L2 G Γ

Ceci peut permettre d'obtenir des informations sur ces multiplicités classiques par des méthodestopologiques.

2. -THÉORIE ET COHOMOLOGIE LOCALE CYCLIQUEK

2.1. Excision et la filtration de Hodge en homologie cyclique périodique

M. Puschnigg a déterminé les valeurs possibles du décalage des dimensions sous la flêche de bord en homologie cyclique périodique pour les extensions d'algèbres soit scindées soit inversibles. Ceci donne une obstruction quantitative à l'excision en (co)homologie cyclique pour ces extensions. On obtient ici des résultats plus forts que pour des extensions quelconques.

2.2. Caractères des modules de Fredholm et un problème de Connes

A. Connes a établi une formule de caractère explicite pour les modules de Fredholm -sommables. M. Puschnigg a calculé ce caractère dans le cas d'un module "de dimension infini" sur la -algèbre réduite d'un réseau uniforme dans un groupe de Lie semisimple de rang réel un. Ceci donne une solution partielle du Problème 11 (page 83) dans (InterEditions, 1990, 240pp). La démonstration est basée sur une comparaison de la formule de caractère de Connes et du caractère abstrait bivariant de (Invent.Math. 143, 2000), qui permet d'utiliser les calculs et résultats de (Invent. Math. 149, 153--194, 2002).

C*

Géométrie Noncommutative

Excision in cyclic homology theoriesThe Kadison-Kaplansky conjecture for word-hyperbolic groups

2.3. Cohomologie cyclique locale

Les théories cycliques connues sont souvent dégénerées ou triviale pour les -algèbres. M. Puschnigg a développé une nouvelle théorie de cohomologie cyclique pour les algèbres de Banach et les -algèbres, la cohomologie cyclique locale. Elle possède des bonnes propriétés fonctorielles (même pour les -algèbres) et elle est calculable par des moyens de l'algèbre homologique. La construction est motivée et s'explique par la théorie de difféotopie stable des ind-algèbres. La cohomologie cyclique locale était introduite avant 2002 (non publié), mais le cadre catégorique abstrait de la théorie de difféotopie stable était développé en 2002/03.

C*

C*

C*

2.4. invariants homologiques des -algèbresC*

M. Fuchs est en deuxième année de sa thèse sous la direction de M. Puschnigg. Dans son mémoire de DEA, il a comparé plusieurs démonstrations du théorème de périodicité de Bott : d'une part la démonstration d'Atiyah dans laquelle la méthode Dirac-dual Dirac est introduite et d'autre part la démonstration opératorielle de Cuntz basée sur l'extension de Toeplitz. Le sujet de thèse de M. Fuchs est l'étude des invariants homologiques des -algèbres produits croisés associées aux groupes de Lie. Il considère l'action des réseaux uniformes dans un groupe semisimple sur le bord de l'espace symétrique associé. Le problème, si l'unité du produit croisé correspondant est un élément de torsion en -théorie était résolu par A. Connes dans le cas . M. Fuchs a récemment généralisé l'approche de Connes aux groupes semisimples quelconques.

C*

KSL2

La fin de ce chapitre est un extrait du rapport scientifique 1999-2002

3. ALGÈBRES DE VON NEUMANN, SOUS-GROUPES QUANTIQUES

Ce thème développé par A. Wassermann porte sur les algèbres de von Neumann, les sous-groupes quantiques et la théorie conforme des champs au bord.

En utilisant l'opération de fusion de Connes en algèbres de von Neumann, A. Wassermann a montré il y a dix ans comment associer une catégorie unitaire tressée à la série discrète d'un groupe de lacets à un niveau fixé. D’autre part chaque sous-facteur fournit une catégorie unitaire.

Après son installation à Luminy en octobre 1999, A. Wassermann a introduit la notion de sous-groupe quantique pour les catégories unitaires. C’est une -algèbre unifère et ergodique dans la catégorie. Dans le cas des groupes de lacets, il a démontré que de telles algèbres abéliennes correspondent exactement aux extensions unitaires des algèbres à vertex associées, généralisations naturelles des "inclusions conformes". Il a aussi démontré comment construire les autres sous-groupes quantiques à partir des automorphismes de la catégorie originale. Ces deux constructions peuvent être utilisées pour expliciter tous les opérateurs qui figurent dans une théorie conforme des champs au bord.

*

Avec Hans Wenzl, il a démontré un théorème de reconstruction, tout à fait analogue à son résultat avec David Kazhdan, qui permet de reconnaître l’existence de tels automorphismes. Avec Vaughan Jones, A. Wassermann a montré comment définir un sous-groupe quantique en utilisant les données combinatoires de la mécanique statistique, en particulier les carrés commutants que Jones a introduit dans les années quatre-vingt pour chaque diagramme de Dynkin. Suivant une question posée par Michael Freedman, il a trouvé une démonstration d'un résultat de rigidité, annoncé sans démonstration par Ocneanu il y a longtemps.

Avec Étienne Blanchard, il a trouvé des applications de cette méthode aux algèbres de Hopf et leurs généralisations, dues à Drinfeld. En particulier ils ont trouvé une correspondance entre algèbres de Hopf généralisées et sous-groupes quantiques associés à l'algèbre de Hopf originale.

Dans le même esprit, A. Wassermann a trouvé une description très simple et efficace du double quantique en généralisant légèrement la notion de sous-groupe quantique.

4. -ALGÈBRES ET GROUPES QUANTIQUES AFFINESC*

Il s'agit des relations liant -algèbres, groupes quantiques affines et l'analyse des modèles exactement résolubles sur réseaux.

C*

Il y a vingt-cinq ans Rodney Baxter a proposé sa méthode de matrice de transfert au coin pour les modèles ABF, définis par Andrews, lui et Forrester. Il a conjecturé que, peut-être en utilisant des méthodes -algèbriques, on pourrait démontrer que le spectre de l'opérateur hamiltonien associé est discret, positif et indépendant du paramètre de déformation du modèle. Sans résoudre la conjecture de Baxter, l'école de Kyoto a montré comment utiliser un groupe quantique affine pour donner une solution heuristique du modèle.

C*

A. Wassermann a associé directement au modèle une -algèbre avec dérivation. A. Wassermann a démontré que la dérivation engendre un flot périodique (d'où un spectre discret). Il faut chercher des états fondamentaux de ce flot. Quand = 0, la théorie des bases cristallines permet de calculer explicitement ces états - il n'y en a qu'un nombre fini - et de diagonaliser l'opérateur hamiltonien. A. Wassermann a démontré que chacun de ces états admet un unique prolongement analytique à 0. Ce prolongement est fourni par une construction explicite du système dynamique non commutatif à travers des opérateurs à vertex quantiques.

C*

q

q

5. ACTIONS DE GROUPES DE LIE SUR LES ALG BRES DE VON NEUMANNÈ

Ce thème porte sur les actions extérieures de groupes de Lie compacts sur les algèbres de von Neumann. La classification des actions des groupes cycliques sur les algèbres de von Neumann a été effectuée par Alain Connes. Ses travaux ont été prolongés par Vaughan Jones aux groupes finis.

Sorin Popa et A. Wassermann, utilisant la classification des sous-facteurs moyennables, ont généralisé ces résultats aux actions ordinaires de groupes de Lie compactes. Peter Teichner et Stefan Stolz ont commencé un programme qui a comme but l'utilisation de la théorie de fusion de Connes pour décrire les structures "string" en théorie de cohomologie elliptique. Leurs travaux ont fait suggérer à A. Wassermann que la construction des sous-facteurs due à Jones et lui devait donner lieu à un homomorphisme naturel d'un groupe de Lie compact simplement connexe dans le groupe des automorphismes d'un facteur modulo desautomorphismes intérieurs. A. Wassermann a introduit des invariants de ces " -noyaux" : un 3-cocycle borélien et une action de sur le flot des poids du facteur. Si le facteur est stable par tensorisation par une action minimale, il a démontré que ces invariants sont complets et chaque invariant est réalisé. Les exemples construits à partir des groupes de lacets sont stables, grâce à une version quantifiée de la théorie de Brown-Douglas-Fillmore lisse.

GG

G

Avec Stolz et Teichner, A. Wassermann propose un analogue de la conjecture de Connes-Kasparov pour un groupe de lacets. On veut comprendre comment utiliser la fusion de Connes pour construire des objets sur une surface de Riemann. Tout cela est relié à cette structure "string".

6. PROJETS DE RECHERCHES

A. Wassermann se propose d'étudier, avec Sorin Popa, la classification des actions de groupes de Lie compacts sur les facteurs de type III, en utilisant des cocycles non abéliens en théorie ergodique.

Il étudie la construction des sous-groupes quantiques à partir des données combinatoires en mécanique statistique (avec Vaughan Jones) et des représentations du groupe de tresses (avec Hans Wenzl).

Il doit rédiger la théorie unitaire des représentations d'énergie positive des groupes de lacets exceptionnels et la construction des sous-facteurs irréductibles associés (avec Vaughan Jones).

A. Wassermann projette de montrer la non-existence d'actions ou de -noyaux sur les facteurs non hyperfinis et non stables, par exemple sur les facteurs du groupe libre. Il projette de travailler à la formulation d 'un analogue de la conjecture de Connes-Kasparov pour les groupes de lacets en -homologie, utilisant l'opérateur de Dirac sur / (avec Peter Teichner et Stefan Stolz).

G

K LG LT

Il espère préciser en termes des sous-facteurs et fusion de Connes de toutes les propriétés souhaitées par Teichner et Stolz dans leur étude des structures "string" sur l'espace des lacets d'une variété spinorielle, propriétés prédites par la théorie des cordes.

Il pense étudier les -algèbres des pseudogroupes ou des groupoïdes étales associées au groupe de difféomorphismes d'une variété spinorielle (avec Thomas Schucker et Bruno Iochum).

C*

Enfin A. Wassermann veut développer le formalisme opératoriel de la théorie conforme des champs au bord (avec Andreas Recknagel).


RAPPORT D'ACTIVITÉ

MÉTHODES MATHÉMATIQUES POUR LA GÉNOMIQUE

1. INTRODUCTION

2. CLASSIFICATION FONCTIONNELLE

2.1. Méthodes de partitionnement2.2. Comparaison des partitions2.3. Prédiction fonctionnelle des protéines

3. MODÉLISATION DE RÉSEAUX DE RÉGULATION GÉNÉTIQUES

4. GÉNOMIQUE COMPARATIVE

4.1. Recherche de synthénies4.2. Comparaison des génomes bactériens complets4.3. Conception des bio-puces4.4. Comparaison évolutive des tumeurs

1. INTRODUCTION

L'équipe MMG développe des recherches méthodologiques pour l'étude de questions biologiques. Elle sont essentiellement de trois types : Classification fonctionnelle des protéines, Modélisation des réseaux de régulation cellulaire, Génomique comparative. Les domaines mathématiques et informatiques concernés sont essentiellement les Mathématiques discrètes, la Statistique et l'Algorithmique combinatoire.

2. CLASSIFICATION FONCTIONNELLE

Les chercheurs concernés sont S. Bérard, T. Colombo et A. Guénoche.

2.1. Méthodes de partitionnement

Plusieurs problèmes en Biologie peuvent se décrire en terme de graphes dans lesquels les sommets sont des gènes - ou les protéines correspondantes - et la relation qui les lie porte sur des propriétés comme l'orthologie (héritage direct d'un gène ancestral commun), des profils d'expression similaires dans desconditions expérimentales particulières ou le contact direct au cours d'un processus biologique. Les propriétés communes de ces graphes est qu'ils ont plusieurs milliers de sommets et qu'ils sont de petit diamètre ; ce sont des (Milgram 1967).small worlds

Une façon d'aborder les problèmes biologiques sous-jacents est de rechercher des classes dans ces graphes, caractérisées par une densité d'arêtes plus forte que le moyenne. Cette question est également d'actualité pour des problèmes d'autre nature, comme l'analyse de réseaux sociaux (Batagelj, 2000, Newman, 2001) ou l'étude du "Web graph" (Barabasi et al. 1999) qui se posent plus ou moins de la même façon. Plusieurs méthodes récentes ont été définies dans ces domaines, essentiellement à partir de pondérations d'arêtes et de déconnection du graphe par élimination des arêtes de poids fort. Ce sont donc des méthodes de

.graph

partitioning

Notre approche est basée sur une pondération des sommets, par une fonction de densité et la construction des classes autour des sommets de densité localement maximum. Plusieurs fonctions, basées sur le nombre d'arêtes dans le voisinage de chaque sommet ont été étudiées et comparées ainsi que plusieurs stratégies progressives d'agglomération autour de "noyaux" que l'on étend. Des procédures de simulation on permit

de définir un algorithme performant quand la différence de densité d'arêtes à l'intérieur des classes ou entre classes est nette.

L'intérêt immédiat de cette classification par densité est son efficacité. Si l'on a sommets dans un graphe de degré maximum , l'évaluation de la fonction de densité est en ( ) alors qu'une pondération des arêtes est pour le moins en ( ). Compte tenu de la taille des graphes considérés, la linéarité en est ici essentielle.

nO n 2

O n2 n

2.2. Comparaison des partitions

L'évaluation des performances et la comparaison des algorithmes de partitionnement (d'un graphe ou d'un ensemble muni d'une métrique) nous a amené à comparer une partition initiale et celle, notée , qui était reconstruite par un algorithme particulier. Les indices classiques de comparaison des partitions portent sur lenombre de paires d'éléments simultanément réunis ou séparés dans et et des indices statistiques normalisés ont été définis.

P Q

P Q

Nous nous sommes intéressés à une autre mesure de proximité entre partitions définie comme le plus petit nombre d'éléments qu'il faut déplacer d'une classe dans une autre, éventuellement vide, pour transformer en . En collaboration avec un groupe de l'ENST (I. Charron, O. Hudry, C. Denoeud), nous avons étudié cette distance d'édition entre partitions d'un ensemble, que nous avons baptisée notée ( , ). Nous avons principalement :

PQ

distance des transfertsP Q

décrit un algorithme de complexité polynômiale, essentiellement emprunté à la RechercheOpérationnelle, pour calculer ( , ),P Qconstruit un algorithme d'évaluation de ,établi des formules analytiques de la valeur maximum de cette distance entre deux partitions quelconques à et à classes.p q

Cette distance permet d'énumérer les partitions très proches d'une partition et ainsi de comparer les indicesde distance classiques, basés sur les paires. Tous ont le défaut de donner des valeurs identiques à des partitions très proches ou très éloignées du point de vue des transferts.

P

2.3. Prédiction fonctionnelle des protéines

L'un des objectifs du projet EIDIPP, soutenu par l'ACI IMPBio est d'étudier les interactions protéine-protéine par des méthodes informatiques appliquées à des graphes d'interaction. Le but est de déterminer des classes fonctionnelles, qui regroupent des protéines collaborant à une même fonction biologique. L'hypothèse largement admise en Biologie, et qui est défendue par l'équipe de B. Jacq (Laboratoire de Génétique et Physiologie du Dévelop-pement) avec qui nous collaborons sur ce sujet, est que ces classes fonctionnelles sont repérables grâce à une forte densité d'arêtes.

De fait, nous disposons de graphes dont les sommets sont les protéines d'un organisme, actuellement la levure (ou la drosophile) et les arêtes correspondent à la relation d'interaction directe. Ce graphe est la synthèse de plusieurs types de données ; soit des relations extraites de la littérature scientifique, soit le résultat d'expérimentations biochimiques à grande échelle. Par ailleurs, une liste de fonctions connues pourles protéines de la levure (YPD) a été établie. Pour la plupart des protéines, une fonction au moins est connue ; on cherche à prédire celle des autres.

Nous avons développé une première approche (Prodistin) grâce à laquelle nous avons obtenu des résultats encourageants quant à la prédiction fonctionnelle, meilleurs que ceux produits par d'autres méthodes. La règle de prédiction que nous avons adoptée est relativement simple. On commence par mesurer une distance entre protéines sur la base du nombre d'interacteurs communs (distance de Sczekanovsky-Dice). Cette distance étant proche d'une ultramétrique, on construit un arbre de classification. Les classes sélectionnées (non disjointes) correspondent à des sous-arbres dont les protéines possèdent au moins une

fonction majoritaire. Les prédictions sont faites à l'intérieur des classes, sans tenir compte des interactions externes. Pour mesurer la qualité des prédictions, on applique la règle de prédiction aux protéines de fonctions connues et l'on mesure le pourcentage de fonctions retrouvées et le pourcentage de fonctions prédites qui sont vraies.

Un prolongement de ce travail est en cours dans lequel les classes (éventuellement chevauchantes) sont maintenant réalisées par la méthode de classification par densité et les prédictions fonctionnelles se font en référence au standard actuel des descriptions fonctionnelles, "Gene Ontology", dans lequel les fonctions sont décrites par un réseau de termes partiellement ordonné par spécificité.

3. MODÉLISATION DE RÉSEAUX DE RÉGULATION GÉNÉTIQUES

Les chercheurs concernés sont B. Mossé et E. Remy.

Les biologistes ont systématiquement recours à des schémas pour représenter les réseaux de régulation impliqués dans les processus et fonctions biologiques qu'ils étudient. Cette pratique se formalise assez naturellement en ayant recours à la théorie des graphes. Dans le cas de systèmes de régulation génétiques, les gènes ou leurs produits sont associés aux sommets du graphe et leurs interactions sont représentés par les arcs reliant ces sommets (arcs signés, positivement dans le cas d'une activation, et négativement dans le cas d'une inhibition). Dès lors que l'on veut préciser la dynamique d'expression de réseaux de régulation complexes, il s'avère nécessaire de préciser formellement la manière dont la combinaison des différentes interactions afférentes influence l'expression ou l'activité d'un composant moléculaire. Nous avons choisi de travailler sur la base de deux méthodes formelles qualitatives.

La première méthode est la . Elle associe à chaque élément du réseau une variable discrète multivaluée représentant de façon qualitative ses différents niveaux d'expression, et des fonctions qui représentent son niveau de synthèse. Un des objectifs est de caractériser des liens entre des propriétés structurelles ou topologiques du réseau de régulation et des propriétés dynamiques du système (points stationnaires, stables/instables, cycles limites, bassins d'attraction, etc...) Une analyse (dans ce cadre logique) de la dynamique de circuits de régulation isolés a déjà donné des résultats prometteurs, mettant en valeur la génération de ces propriétés dynamiques selon le signe du circuit, en cohérence avec les conjectures de R. Thomas. Nous souhaitons maintenant regarder la généralisation de tels résultats, toujours dans le cadre logique.

modélisation logique

Des problèmes combinatoires apparaissent (surtout en ce qui concerne la génération des graphes dynamiques), qui sont liés à l'accroissement des réseaux de gènes considérés au-delà de quelques dizaines d'éléments. Pour pallier cette difficulté, nous mettons parallèlement en oeuvre une approche à l'aide de . Une proposition de réécriture systématique de réseaux logiques en réseaux de Petri nous donne des perspectives encourageantes, car cela ouvre la voie vers une grande classe d'outils algébriques à exploiter. Cette approche a été appliquée tout d'abord dans un cadre booléen, pour modéliser et analyser les réseaux de régulation moléculaire impliqués dans le contrôle de la différentiation des lymphocytes Th du cycle cellulaire durant le début du développement de et de la morphogénèse de la plante , puis dans le cadre multivalué pour le réseau de contrôle de la décision lytique/lysogénique du bactériophage .

réseaux de Petri

Drosophila melanogasterArabidopsis Thaliana

Lambda

4. GÉNOMIQUE COMPARATIVE

Les chercheurs concernés sont G. Didier, B. Ghattas, A. Guénoche, L. Tichit.

4.1. Recherche de synthénies

Le fait qu'un groupe de gènes apparaissent successivement le long d'un génome leur permet, à cause de mécanismes de transcription relatifs à la structure de l'ADN cellulaire, d'être exprimés dans des temps rapprochés et, de ce fait, être potentiellement impliqués dans une même fonction biologique.

Retrouver un même ensemble de gènes apparaissant successivement le long d'un chromosome, éventuellement - et surtout - dans des ordres différents dans plusieurs génomes, peut résulter d'une pression sélective due a une coopération effective de ces gènes pour réaliser une même fonction biologique. Une méthode pour détecter des groupes de gènes fonctionnellement associés consiste donc à mettre en évidence des conservations locales de la composition génique dans des génomes différents.

Le problème a été, dans un premier temps, étudié sous une forme restrictive puisqu'on n'y autorise qu'un seul exemplaire d'un gène par organisme. Sous cette hypothèse, chaque séquence des gènes d'un organisme est représentée comme une permutation de l'ensemble total des gènes. La détermination des conservations locales de composition dans des permutations, appelées , a été résolue, initialement dans un cadre non-génomique, de manière très efficace (A. Bergeron, F. Corteel, M. Raffinot).

intervalles communs

Malheureusement l'approche précédente ne permet pas de prendre en compte l'existence de duplications d'un gène dans un même génome donnant des gènes dits . A partir de certaines de leurs propriétés, nous avons donc tout d'abord mis au point un algorithme permettant de déterminer les segments de même composition génique présents dans deux génomes, autrement dit les intervalles communs de séquences qui ne sont pas nécessairement des permutations (WABI'03). Ces résultats et algorithmes ont étéensuite étendus à des questions plus générales, incluant notamment la recherche de conservations locales de composition génique dans un nombre quelconque de génomes, et améliorés du point de vue de la complexité algorithmique (article soumis).

paralogues

4.2. Comparaison des génomes bactériens complets

Ce thème porte sur la comparaison des ordres des gènes, dans les génomes complets. Il est largement admis que la diversité du vivant est due aux recombinaisons, duplications et réarrangements des gènes le long du ou des chromosomes. Le principe est de mesurer des distances évolutives entre espèces sur la base de lacomparaison non plus des séquences, mais des ordres des gènes.

Cette approche a été proposée il y a une dizaine d'années par D. Sankoff qui a posé le principe du retournement d'intervalles de gènes consécutifs (reversal distance). Il s'agit de compter le nombre minimum de retournements d'intervalles qui permettent de passer d'un ordre à un autre. Le premier algorithme polynomial, dans le cas signé, c'est-à-dire lorsque l'on différencie les brins porteurs des gènes, a été proposé par Hannenali et Pevzner (1995). Récemment un algorithme de complexité linéaire a été donné par B.Moret [2001].

Cette approche très combinatoire de la comparaison des génomes ne tient pas compte d'un certain nombre de contraintes biologiques :

Pour décider quels sont les éléments comparables, il faut d'abord appareiller les gènes , c'est-à-dire hérités d'un gène ancestral commun sans phénomène de duplication.

orthologues

Beaucoup de génomes bactériens ont un chromosome circulaire et la notion d'intervalle doit être étendue.Le principe de parcimonie - l'évolution s'est faite avec le plus petit nombre de retournements - n'est crédible que s'il y a un petit nombre de remaniements. Sinon il conduit à une sous estimation de la distance évolutive et à des scénarios inconsistants.Les transformations ne tiennent pas compte de la réalité biologique, à savoir que tout intervalle ne peut être déplacé, quelle que soit sa position et sa longueur ; en particulier, il devrait contenir l'origine de réplication.

Pour contourner certaines de ces difficultés, en collaboration avec F. Guyon (Université Paris 7), nous avons pensé :

à utiliser non plus des gènes, mais des MUMs ; ce sont des mots maximaux communs à deux ou plusieurs génomes, qui ne sont présents qu'une seule fois dans chacun d'entre eux (ils sont obtenus par construction d'un arbre des suffixes) et qui ont une longueur suffisante pour être considérés

comme significatifs ;à considérer non plus des intervalles quelconques, mais des chaînes de MUMs. Il s'agit de trouver la plus longue suite de MUMs placés dans le même ordre dans deux génomes ou plus. Nous avons montré que ce problème est polynomial quel que soit le nombre de génomes comparés. De plusl'algorithme étudié est extensible au cas des ordres circulaires. On a donc une mesure de similitude facilement calculable, quelque soit le nombre de MUMs considérés (plusieurs milliers).

La reconstitution d'un petit nombre de grands fragments de génomes considérés comme conservés, indépendamment des petits remaniements, permet de construire des scénarios évolutifs plus simples que ceux établis par la reversal distance.

4.3. Conception des bio-puces

Il y a deux types de bio-puces ; les puces à oligonucléotides qui contiennent jusqu'à 1 000 000 de courts fragments d'une vingtaine de bases, et les puces à ADN qui présentent quelques milliers de fragments de quelques centaines de bases. Ils sont fixés sur un support - verre ou nylon - de quelques cm2 et permettent de détecter, par hybridation, la présence de fragments complémentaires dans une solution qui leur est soumise. Cette technique a révolutionné les analyses médicales et écologiques - recherche de virus, de bactéries, de tumeurs ou d'anomalies de comportements cellulaires - aussi bien que le contrôle de qualitéagro-alimentaire. C'est aussi une technique qui s'avère essentielle pour l'étude du fonctionnement de la cellule, puisque ces puces permettent de détecter les ARNs, donc les gènes activés, au fil des processus biologiques.

Les problèmes informatiques que nous avons abordés sont de trois types :

--- La conception des puces : les puces à oligos de haute densité sont réalisées par une synthèse en parallèle des oligos sur leur support. La technique employée est celle des masques qui permet de positionner un des quatre nucléotides à l'extrémité des oligos qui doivent être ainsi prolongés. Cette technique est réalisée actuellement selon un protocole qui nécessite un nombre de masques égal à quatre fois la longueur des oligos à synthétiser. Considérant que la séquence des masques est une surséquence des oligos, et que les masques sont très coûteux à réaliser, on aboutit à un problème d'optimisation combinatoire, celui de la surséquence de longueur minimum. Dès que le nombre d'oligos est supérieur à 2, le problème est NP-difficile. Nous avons comparé des méthodes approchées dont les résultats en moyenne sont similaires ; elles permettent néanmoins de réaliser une économie de l'ordre de 10 à 15 % sur le nombre de masques utilisés pour des puces à 20 000 oligos.

--- Pour des raisons de fiabilité dues à la très haute intégration des puces, et aux difficultés relatives à la synthèse in situ, il peut être intéressant de faire figurer sur la puce plusieurs copies de chaque oligo, ces copies étant synthétisées à l'aide de suites de masques différentes. Ainsi, pour un oligo, un masque ne doit être utilisé que pour une seule de ses copies. La question à traiter est celle de la complexité du problème dedécision : Etant donné un entier , un mot et une séquence , est-ce que contient copies disjointes de

? Nous avons défini une méthode de programmation dynamique pour déterminer si une surséquence (de masques) permet de réaliser deux copies disjointes d'un même oligo. Dans le cas où = 2, le problème est donc polynomial. Un algorithme énumératif permet de déterminer le nombre maximum de copies disjointesréalisables avec une surséquence de masques.

k v v k

k

--- Enfin, nous avons développé une méthode constructive qui permet d'établir une surséquence d'un ensemble de oligos de longueur . Si elle ne contient qu'une seule copie de chaque oligo, c'est une surséquence simple qui est obtenue en ( ) ; si chaque oligo a au moins deux copies disjointes, c'est une surséquence double obtenue en ( ). Du fait que ces algorithmes sont linéaires en fonction du nombre d'oligos, et que est très petit par rapport à , on peut traiter en quelques secondes des problèmes de toute dimension.

courteN L

O NL2

O NL3

L N

4.4. Comparaison évolutive des tumeurs

Les données de puces CGH permettent de savoir si un fragment d'ADN pris dans une cellule tumorale est dans sont état naturel (codé 0), s'il a disparu (codé -1) ou a été amplifiée (codé 1). De plus un examen clinique permet de préciser l'état d'avancement de la tumeur et l'on connaît parfois la durée de vie du patient. Le problème que nous avons abordé, en collaboration avec F. Guyon (Paris 7) et l'Institut Curie (C. Rouveirol, E. Barrillot, F. Radvanyi), est celui de la comparaison évolutive des tumeurs d'un même cancer à partir de ces données. Il est clair que les zones disparues, ne peuvent ni réapparaître ni être amplifiées, et que l'on peut ainsi établir une relation d'ordre partielle sur les tumeurs, l'une pouvant être un état antérieur à l'autre.

Dans cette étude qui débute, nous nous attachons à comparer l'état de gravité observé des tumeurs avec la relation d'ordre, en particulier pour celles qui n'ont que très peu de zones de mutations, mais qui sont dans des états cliniques avancés. Ces zones contiennent certainement des gènes responsables des cancersobservés. Un autre but poursuivi est la classification des tumeurs, selon les procédés évolutifs suivis, qui peut révéler des types de cancers et déboucher sur des traitements appropriés.


FORMATION PAR LA RECHERCHE

Masters

2ème année de Master RechercheMaster de Mathématiques et Applications

Spécialité :Mathématiques Discrètes et Fondements de l'Informatique

responsable Jean-Yves Girard (LDP)coordinateur Thomas Ehrhard (LDP)correspondant Bernard Mourrain (Sophia Antipolis)secrétariat Sophie Frégonèse-Realiniadresse Département de Mathématiques,

163 avenue de Luminy, Case 901,13288 Marseille Cedex 9

Site web http://iml.univ-mrs.fr/dea/Master-MDFI.html

La deuxième année de master MDFI (Mathématiques Discrètes et Fondements de l'Informatique) s'adresse aux étudiants titulaires d'une première année de master de mathématiques ou d'informatique (ex-maîtrise), ou d'un diplôme équivalent, et qui désirent recevoir une solide formation théorique avant d'aborder la recherche. Cette formation est proposée dans le cadre du master de Mathématiques et Applications de Marseille, qui est cohabilité par l'Université de Provence (Aix-Marseille I), l'Université de la Méditerranée (Aix-Marseille II) et l'Université d'Aix-Marseille III. La spécialité MDFI est sous la responsabilité de la Faculté des Sciences de Luminy (Université de la Méditerranée). L'effectif souhaité en deuxième année est d'environ 20 étudiants.

Programme de la deuxième année de master MDFI :

* quatre cours fondamentaux (à choisir parmi six) de 25 heures et 6 crédits chacun (premier semestre),

* un cours intensif d'une semaine (premier semestre),

* deux options (à choisir parmi huit) de 25 heures et 6 crédits chacune (une option par semestre),

* un stage d'initiation à la recherche de trois ou quatre mois dans un laboratoire d'accueil du master MDFI (21 crédits, deuxième semestre).

Tous les cours ont lieu à l'Institut de Mathématiques de Luminy, sauf le cours intensif, qui a lieu à Sophia Antipolis. Sur le site de Luminy, les étudiants ont accès à une salle équipée de postes de travail, et à la bibliothèque du CIRM (Centre International de Rencontres Mathématiques).

Les cours fondamentaux portent sur les structures discrètes de l'algèbre, de l'arithmétique, de la combinatoire, et de la logique. Les connaissances ainsi acquises sont utilisées dans les options, qui abordent les thèmes de recherche actuels, aussi bien en mathématiques qu'en informatique. En accord avec le responsable du master MDFI, les étudiants peuvent valider des options appartenant à un autre master de l'Ecole Doctorale de Mathématiques et Informatique de Marseille.

Cours fondamentaux

Introduction à la théorie des nombresIntroduction aux courbes elliptiques et à la cryptographie elliptique Combinatoire des graphesCombinatoire des mots Preuves et types Logique et théorie du calcul

Options

Compléments de cryptographie Calcul formelAlgèbre, arithmétique et codageIntroduction aux fractions continues et à l'approximation diophantienneDécomposition de graphesAlgorithmique des télécommunications Sémantique dénotationnelle et logique linéaire Mécanisation des preuves

Laboratoires d'accueil

IML (Institut de Mathématiques de Luminy, UMR 6206 du CNRS)INRIA - Sophia AntipolisGRIM (Groupe de Recherche en Informatique et Mathématiques, Université de Toulon et du Var, EA 1355)



MastersMaster de Mathématiques et Applications

2ème année de Master RechercheSpécialité :

Mathématiques

responsables Christian Mauduit (IML-DAC et Univ. Aix-Marseille II)El Hassan Youssfi (Univ. Aix-Marseille I)

co-responsable Paul-Jean Cahen (Univ. Aix-Marseille III)secrétariat Sophie Frégonèse-Realini (Luminy)

Chantal Exbrayat (Château-Gombert)adresses Département de Mathématiques (Luminy)

Centre de Mathématiques et Informatique (Château-Gombert)

Site web http://www.cmi.univ-mrs.fr/dea/math/

Le Master Recherche Mathématique est ouvert aux étudiants titulaires d'une Maîtrise de mathématiques (ou diplôme équivalent), et éventuellement du C.A.P.E.S. ou de l'Agrégation. Les crédits attribués aux étudiants agrégés seront décidés par la commission pédagogique. Ce Master Recherche Mathématique s'adresse aux étudiants qui souhaitent découvrir le monde de la recherche.

Pour les meilleurs étudiants, le Master Recherche Mathématique débouche sur la préparation d'une thèse, puis sur les métiers de la recherche : CNRS, INRIA, CEA, Universités (Enseignement supérieur).

Le Master Recherche Mathématique a aussi un rôle de formation continue sur deux ans pour des personnes déjà entrées dans la vie active, par exemple les enseignants du second degré.

Ce complément de formation est mené d'un point de vue plus professionnel, très différent des formations reçues précédemment et extrêmement valorisant à titre personnel et sur le plan

de la carrière d'enseignant.

Les enseignements obligatoires se composent de :

I. 4 cours de Tronc Commun à choisir parmi 5 (durée 25 heures chacun).

II. 2 options à choisir parmi 5 (durée 25 heures chacune).

III. Un mémoire à rédiger sous la direction d'un enseignant-chercheur.

Cours fondamentaux

Introduction à l'algèbreIntroduction à l'analyse et à la géométrie complexeIntroduction à l'analyse harmonique et à la géométrie non commutative Introduction à la théorie des nombres, combinatoire et dynamiqueIntroduction à la topologie, à la géométrie et aux singularités

Options

Cours avancé en algèbre Cours avancé en analyse et géométrie complexeCours avancé en analyse harmonique et géométrie non commutativeCours avancé en théorie des nombres, combinatoire et dynamiqueCours avancé en topologie, à la géométrie et aux singularités



École Doctorale Mathématiques et Informatique de Marseille

Directeur Étienne Pardoux (CMI)secrétariat Sylvie Blancadresse Centre de Mathématiques et Informatique

Université de Provence39 rue Joliot-Curie13453 MARSEILLE Cedex 13

Site web http://www.cmi.univ-mrs.fr/dea

L'École Doctorale en Mathématiques et Informatique de Marseille (ED 184) fédère et organise la formation doctorale en Mathématiques et Informatique pour les trois universités d'Aix-Marseille : l'Université de Provence (Aix-Marseille 1), l'Université de la Méditerranée (Aix-Marseille 2), et l'Université Paul Cézanne (Aix-Marseille 3).

L'École s'appuie sur les 4 laboratoires de recherche de mathématiques et informatique de Marseille (l'IML, UMR 6206 ; le LATP, UMR 6632 ; le LIF, UMR 6166 ; et le LSIS, UMR 6168), ainsi que sur certaines équipes de l'INRIA à Sophia-Antipolis.

Depuis 1992, cette École Doctorale assure aux doctorants un encadrement de qualité et une formation ouverte sur l'ensemble des mathématiques, de l'informatique et de leurs applications, au sein d'une structure qui est accréditée par le ministère des Universités. Elle organise, en particulier :

* un colloquium mensuel (1),

* des cours pour doctorants,

* des sessions de formation à l'anglais et aux outils informatiques,

* des séances de sensibilisation au monde des entreprises, et

* soutient le séminaire des doctorants (2), organisé par les doctorants eux-mêmes.

(1) Le colloquium du CMI (responsable : Jérôme Le Rousseau) a lieu environ une fois par mois, le deuxième jeudi du mois en général. Il a lieu à 16h30 dans la salle de conférences 001 du CMI. Il est suivi par un pot au Cyberfoyer du CMI.

(2) Le séminaire des doctorants a été créé il y a quelques années pour permettre aux étudiants de l'école doctorale de connaître l'ensemble des sujets abordés en thèse. Son but est d'introduire les notions de base utilisées par chaque étudiant. Ainsi, à terme, chaque thésard devrait savoir à qui s'adresser lorsqu'une question se présentera. Le séminaire consiste en un exposé par un doctorant d'une notion de son choix. Ce séminaire est ouvert à tous les doctorants utilisant des mathématiques : mathématiques pures, appliquées, physique théorique, ... Le séminaire a lieu deux à trois fois par mois.

Les organisateurs : Bedaride Nicolas (IML, DAC), Béjian Pierre, Klutchnikoff Nicolas, Lovera Stéphanie, Renaud Julie.



Listes des doctorants et des post-doctorantsDOCTORANTS

Nom, Prénom Directeur(s) de thèse Début de thèse

Financement Thème

ARNAUD Nicolas M. Tsfasman 10/2002 Bourse ENS ATI

BARICHARD Alain G. Lachaud 10/2002 Bourse DGA ATI

BEDARIDE Nicolas S. Troubetzkoy 10/2001 Bourse MENRT DAC

BERNAT Julien P. Arnoux 10/2002 Bourse MENRT DAC

BOUCLY Yves R. Rolland 10/2001 Coop. Djibouti ATI

De CARVALHO Daniel T.Ehrhard / P. Baillot (LIPN) 09/2003 Alloc. ACI GEOCAL LDP

CRUMIERE Anne P. Ruet / J.-M. Andréoli 09/2004 Bourse MENRT LDP

DAUVERGNE Benjamin L. Regnier / INRIA 10/2004 - LDP

FERRARI Axel J.-P. Labesse /P. Delorme

09/2004 Bourse MENRT RGR

FUCHS Mathias M. Puschnigg 10/2003 Bourse MENRT RGR

HYVERNAT Pierre T. Ehrhard / T. Coquand (Univ. Chalmers, Göteborg,

Suède)

09/2002 Bourse ENS LDP

LAGIER Nathalie P. Delorme / J.-P. Labesse 10/2004 Aucun RGR

LE GONIDEC Marion C. Mauduit 09/2003 Bourse MENRT DAC

LEBACQUE Philippe M. Tsfasman 09/2004 Bourse ENS ATI

MONTEIL Thierry S. Ferenczi 10/2002 Bourse MENRT DAC

PELLEGRINI Fabien C. Klimcik 10/2001 Aucun RGR

SABLIK Mathieu F. Blanchard 10/2002 Bourse ENS DAC

TRONCON Samuel J.-Y. Girard / P. Livet(Univ. Aix-Mars. 1 et CEPERC)

09/2001 Bourse MENRT LDP

VAUX Lionel T. Ehrhard / L. Regnier 09/2004 Bourse ENS LDP

POST-DOCTORANTS, ATER

Nom, Prénom Statut Organisme d'origine Période ThèmeABERKANE Ali ATER IML 2002-2003 DAC

BÉRARD Sèverine Post-doc(bourse CNRS)

LIRM - UMR 9928,Montpellier

01/09/200428/02/2005

MMG

BRUASSE Laurent ATER CMI, Marseille 2002-2004 RGR

EL MORSLI Driss ATER IML 2003-2004 AOG

GUIRAUD Yves ATER Univ. Montpellier 2 2004-2005 LDP

LANNEAU Erwan ATER Univ. Rennes 1 2003-2004 DAC

LELIEVRE Samuel ATER Univ. Montpellier 2 2003-2004 DAC

LIPPI Sylvain ATER IML 2003-2004 LDP

MARIN Ivan ATER ENS Paris 2002-2003 AOG

MÉLA Xavier Post-doc(Bourse CNRS)

Univ. North Carolina, USA 01/10/200330/09/2005

DAC

PELLEGRINI Fabien ATER IML 2003-2004 RGR

SAMET Redha ATER IML 2002-2003 ATI



Thèses et habilitations soutenues THÈSES

Nom - prénom Titre Directeur(s) de Thèse

Date d'obtention

Devenir desdoctorants

ADAMCZEWSKI Boris

Approche dynamique et combinatoire de la notion de discrépance.

V. Berthé (DAC)

18/12/2002 Post-doctorant CNRS, Orsay

BOUDES Pierre Hypercohérences et jeux. T. Ehrhard (LDP)

20/12/2002 ATER, CMI (Marseille)

GOUILLON Nicolas Minorations explicites de formes linéaires en deux logarithmes.

M. Laurent (ATI)

04/12/2003 -

PAOLINI Luca Lambda-théories : quelques investigations.

J.-Y. Girard / G. Rosolini

(LDP)

23/01/2004 Post-doc (Turin, Italie)

MOHAMED AHMED Mohamed Saadbouh

Modules de Drindeld de rang 2 sur un corps fini.

S. Vladut(ATI)

30/06/2004 -

SAMET Redha Sur l'arithmétique de Modules de Drindeld sur un corps fini.

S. Vladut(ATI)

30/06/2004 ATERGuadeloupe

COLOMBO Tristan Stratégies et algorithmes pour la caractérisation fonctionnelle des systèmes biologiques intégrés.

A. Guénoche(MMG)

17/12/2004 ATERau CMI

(Marseille)

HABILITATIONS

Nom - prénom Titre Date d'obtention

Organisme d'origine

AUBRY Yves Variétés algébriques et corps de fonctions sur un corps fini.

13/12/2003 IML - ATI

HUBERT Pascal Propriétés géométriques et combinatoires de systèmes dynamiques d'entropie nulle

22/11/2002 IML - DAC

LERCIER Reynald Contributions à l'arithmétique de la cryptographie.

30/11/2004 CELAR (DGA)

REGNIER Laurent Modélisation et compréhension des mécanismes de calcul

20/12/2002 IML - LDP


COOPÉRATION EXTERNE

Financement : Fonds National de la ScienceActions Concertées Incitatives (ACI)

Création Intitulé Responsable Partenaires Durée ThèmeFin 2000 Cryptologie :

VAKTICryptographie : générateurs et distributeurs de clefs,

groupes algébriques à logarithme discret robuste, codes d'authentification, confidentialité des transmissions,

fonctions courbes

R. Rolland - 4 ans ATI

Fin 2000 Cryptologie :Construction de suites pseudo-aléatoires et applications à

la cryptologie

J. Rivat Institut Elie Cartan (Nancy) 3 ans DAC

2003 Nouvelles interfaces des mathématiques :GEOCAL

Géométrie du calcul

T. Ehrhard PPS (Paris)LIF (Marseille)LIP (Villetaneuse)LSV CachanPLUME (Lyon)INRIA FUTURS (Orsay)I3M (Montpellier)LORIA CalligrammeINRIA Mimosa (Sophia)

3 ans LDP

2004 Nouvelles interfaces des mathématiques :NUMERATION

Interface de la numération : dynamique symbolique, géométrie discrète, mots multidimensionnels,

quasicristaux

P. ArnouxV. Berthé

J. SakarovitchJ-L Verger-Gaugry

Inst. Fourier (Grenoble)LIRMM MontpellierLTCI Paris

3 ans DAC

2004 Jeunes chercheuses et jeunes chercheurs : Méthodes mathématiques discrètes pour la modélisation et

l'analyse de réseaux d'interactions génétiques

E. Remy TAGC INSERM (Marseille) CIML INSERM (Marseille)

3 ans MMG

Participations aux autres ACI

Création Intitulé Responsable Partenaires Durée Thème2003 IMP-Bio : Etude interdisciplinaire des interactions

protéines-protéinesB. Jacq

(LGPD, Marseille)

IML (Marseille)ENST (Paris)

3 ans MMG

2003 IMP-Bio : Développement d'un système informatique de représentation et d'analyse de processus biologiques

complexes

Y. Quentin(LCB, Marseille)

IML (Marseille)LIF (Marseille)

3 ans MMG

2004 IMP-Bio : LumInDynNetAnalyse bioinformatique et modélisation dynamique des

réseaux de régulation génique impliqués dans la différentiation, la maturation et l'activation des cellules

lymphoïdes

D. Thieffry(LGPD, Marseille)

IML (Marseille) 3 ans MMG



Contrats industriels et autres contrats

CONTRATS INDUSTRIELS

Projet Intitulé Responsable Organisme ThèmeRéséda fiabilité des réseaux, avec application aux plateformes de forage A. Rauzy Total-Elf-Fina LDP

AltaRica mise au point d'un atelier de descriptions fonctionnelles et dysfonctionnelles de systèmes industriels

A. Rauzy Dassault-Aviation LDP

ESACS Projet européenConseils et accompagnement : exigences de sécurité dans les

avions

A. Rauzy Ocland (pour le compte de E.A.D.S.)

LDP

AUTRES CONTRATS

Création Intitulé Responsable Partenaires Durée Thème2001 Contrat InterEPST Bio-Informatique :

Méthodes de partitionnement et application au traitement de données biologiques

A. Guénoche ENST (Paris)LGPD (Marseille)

3 ans MMG

2004 MathSTIC04 F. Rodier Départements SPM et STIC du CNRS

1 an ATI



Actions pédagogiquesDate Action Intervenant(s)

octobre 2002 FÊTE DE LA SCIENCE (11 édition)ème

L'Association « Maths pour Tous » (dont C. Mauduit est le Président), organise à la Faculté des Sciences de Luminy et à Coudoux, dans le cadre de « Mathématiques en jeux », des jeux, des concours, des défis, des expositions, des animations, des conférences pour lycéens et une présentation de la recherche actuelle en mathématiques.

Quelques sujets : nombres premiers, pavage plan, suite de Steinhauss, problèmes de rencontres, problèmes des gardiens de musées, polyèdres, bulles de savon, casse-têtes mathématiques, ...

C. Mauduit *

13 décembre2002

L'IMAGINATION MATHÉMATIQUE

Des professeurs de l'Enseignement Secondaire ont visité notre laboratoire toute la journée. Cette année, c'est l'équipe ATI qui a présenté son activité. En plus il y a eu des discussions sur les études en mathématiques notamment sur la liaison Enseignement secondaire- Enseignement supérieur.

Y. LafontA. Guénoche X. Bressaud

12 et 13 février 2003

JOURNÉES DES FUTURS BACHELIERS

l'IML accueille des groupes de lycéens (4 groupes de 20 lycéens) dans le cadre des "journées des futurs bacheliers" de la Faculté des Sciences.

Il s'agit de montrer à nos futurs étudiants à quoi ressemble le monde de la recherche.

B. Mossé

A. Pichon

E. Remy

Y. LafontL. Regnier

Mai 2003 SOUK DES SCIENCES (1 édition)ère

Le principe du Souk des Sciences est de faire sortir les chercheurs de leurs laboratoires pour leur permettre de présenter des expériences scientifiques au public sous forme de manipulations et de jeux, dans la rue ou dans une galerie marchande. Le Souk se présente donc comme un étalage d'ateliers ouverts librement à tous les curieux, quel que soit leur âge. Il se veut être une sorte de marché des connaissances ("souk"; veut dire "marché"; en arabe), où il est possible de discuter librement, sans aucune crainte d'ignorance, avec des chercheurs, comme on le ferait avec notre boucher ou notre marchand de légumes. C'est donc la convivialité, l'échange et l'accessibilité qui priment dans cette atmosphère scientifique, où la science devient amusante et compréhensible et tente de valoriser ses aspects à la fois utiles et fascinants pour tous.Lieu : Centre Commercial Aix-en-Provence.

C. Mauduit J. Cassaigne


L'Association « Maths pour Tous » assure à la Faculté des Sciences de Luminy et à Coudoux, dans le cadre de « Mathématiques en jeux », des ateliers interactifs, des débats, diffuse des films, ...

Conférence de G. Lachaud : « Les zéros de la fonction zêta ».

G. LachaudC. MauduitR. Rolland

J. Cassaigne

10 et 12 février 2004

JOURNÉES DES FUTURS BACHELIERS

Quelques questions :Qu'est-ce que les maths ?Qu'est-ce qu'un chercheur en maths ?À quoi passe son temps un chercheur en maths ?Comment fonctionne un labo de maths ?

M.-R. Fleury

Y. LafontA. PichonL. Regnier

22 mars2004

L'IMAGINATION MATHÉMATIQUE

31 enseignants de divers collèges et lycées de Marseille se sont vus présenter les travaux des équipes de l'IML, ce qui a débouché sur des discussions et débats sur les thèmes suivants : arithmétique, combinatoire, dynamique, géométrie, génomique, informatique, logique et singularités.

F. BlanchardG. Lachaud

R. RollandM. LaurentF. Rodier


Avec l'Association « Maths pour Tous ».

Lieux : Luminy, Coudoux.


octobre 2004 SOUK DES SCIENCES (2 édition)ème

Ateliers.

Lieu : Centre Commercial Aix-les-Milles.


* Depuis 2002, Christian Mauduit est membre du Comité d'Orientation Scientifique de l'Agora des Sciences de Marseille.


COOPÉRATION INTERNATIONALE

Accords et projetsACCORDS BILATÉRAUX

Financement Pays Date Responsable(s) Partenaire ThèmeCNRS/IMBAS BELARUS 2004 M. Tsfasman

(ATI)Prof. V. Yanchevskii

Univ. MinskPoints rationnels sur les variétés algébriques sur

les corps finis : méthodes explicites

ECOS/ CONICYT CHILI1999

à2004

F. Blanchard(DAC)

Prof. C. Martinez Univ. du Chili

SantiagoSystèmes dynamiques

CNRS/NSFC

N. 16301

CHINE 20032004

P. Arnoux(DAC)

Prof. Z. X. WenUniv. de Wuhan

Dynamique symbolique et arithmétique

CNRS/MINVEC CUBA 1998 à

2004

P. Barthélémy Prof. Estrada Sarlabous ICIMAF

Informatique

PAI

BALATON

HONGRIE 2004 J. Rivat(DAC)

Prof A. SarközyUniv. Eotvos-Lorant, Budapest

Arithmétique

CNRS/CNR ITALIE 2004 P. Baillot (coordinateur)

P. Boudes(LDP)

Prof. M. PedeciniUniv. Rome 3

Interaction et complexité

CNRS/JSPS N. 13571

JAPON 2003 E. Lesigne (Univ. de Tours) et S. Ferenczi

(DAC)

Prof. Y. Ito Univ. de Tokai

Systèmes dynamiques et arithmétique

CNRS/CNRST MAROC 2004 P. Ille(LDP)

Prof. A. BoussaïriUniv. Casablanca

Reconnaissance de l'indécomposabilité en

théorie des graphes

CNRS - CONACYT MEXIQUE 2001à

2004

J.P. Brasselet(SGT)

Prof. P. Seade UNAM, Mexico

Singularité-topologie

CNRS/GRICESN.14139

PORTUGAL 2003

2004

S. Ferenczi(DAC)

Prof. P. SilvaUniv. de Porto

Combinatoire des mots et

systèmes dynamiques

CNRS/CPCFQ QUÉBEC 20042005

G. Lachaud(ATI)

Prof. R. LévesqueUniv. Laval

Théorie des nombres et ses applications à la

cryptographie

CNRS/ARS

N. 17010

ROUMANIE 2003

2004

J. Cassaigne(DAC)

Prof. Z. Kasa Univ. Babes-Bolyai

Cluj-Napoca

Complexité des mots finis et infinis

CNRSN. 2615

RUSSIE 2000à

2004

G. Lachaud(ATI)

M. TsfasmanLaboratoire Poncelet,

Moscou

Arithmétique et théorie de l'information

CNRS ASR N. 9459

RUSSIE 2003

2004

S. Ferenczi(DAC)

Prof. A. Vershik Inst.Steklov-St.Petersbourg

Étude des systèmes adiques

CMCU Comité Franco

TunisienTUNISIE 2003

2004Ch. Mauduit

(DAC)Prof. Touibi

Univ. de Tunis Systèmes dynamiques

CNRS/DGRST TUNISIE 2000 à

2004

P. Ille(LDP)

Prof. Y. Boudabbous Univ. de Sfax

Dualité et monomorphie des structures binaires

PICS

Financement Pays Date Responsable(s) Partenaire Thème

CNRS PICS JAPON2001

à2004

J.P. Brasselet(SGT)

Prof. T. Suwa Univ. d'Hokkaido

Singularités en topologie et géométrie

RÉSEAUX EUROPÉENS

Financement Pays Date Responsable(s) Partenaire ThèmeCE - TMR

Site coordinateur 4 PCRDTème

U.K. ITALIE, PORTUGAL,

FRANCE

1998à

2004

L. Regnier(LDP)

Univ. de Bologne, Cambridge, Edimbourg,

Lisbonne, Rome, Paris VII.

Linear Logic in TheoreticalComputer Science

CE - TMR Site associé

4 PCRDTème

ITALIE FRANCE

ALLEMAGNE DANEMARK

POLOGNE ROUMANIE

1999à

2004J.-P. Brasselet

(SGT)

Uni. d'Ancona Coordinateur : Nicolas

TelemanGéométrie analytique

ESF divers pays 2003 Y. Aubry(ATI) ESF Géométrie algébrique et

théorie de l'information

ESF divers pays européens 20032004

X. Bressaud S. Troubetzkoy

(DAC) S. Vaienti

Réseau européen PRODYN(Probabilistic Methods in Non-Hyperbolic Dynamic)

Systèmes dynamiques

PROJET EUROPÉEN soumis

Financement Projet Intitulé Responsable

2 appel d'offre du 6 PCRDème èmeSTREP

(Specific Targeted REsearch or innovation Project)

DIAMONDS : Data Integration And Modelling : On a New Design to

enable Systems biology

A. Guénoche(MMG)

PROJETS DE COOPÉRATIONS INTERNATIONALESdans le cadre du volet « relations internationales » du contrat quadriennal 2004-2007

de l'université de la Méditerranée

N° Pays Responsable(s) Partenaire(s) Contenu - Objectif(s)7 CAMBODGE P. Arnoux

(DAC)Institut Technologique du Cambodge

MATHÉMATIQUESFormation de formateurs en mathématiques discrètes. Cette coopération devrait être associée à l'École d'Ingénieurs de Luminy

19 CHINE S. Ferenczi(DAC)

Univ. de Tsing Hua (Beijing),Univ. de Wuhan,Univ. Scient. et Technologique de la Chine (Heife),Univ. Chinoise de Hong-Kong,Académie des Sciences de Taipei

ÉAUTOMATES, SYSTÈMES DYNAMIQUES ET ARITHM TIQUE- Approfondissement des recherches communes établies avec Wuhan et Beijing et élargissement des thématiques vers les systèmes dynamiques avec l'Université de Heife, de Hong-Kong et Taipei.- Projet d'organisation d'un colloque international. Ce projet est appelé à se développer grâce à l'existence d'un réseau de 5 universités chinoises et taïwanaises.

37 ÉTATS-UNIS S. Troubetzkoy(DAC)

Univ. San Francisco,Univ. d'Orégon,Univ. North Texas,Univ. Rice,Univ. du Texas

MATHÉMATIQUES Théorie ergodique et géométrie.

45 JAPON S. Ferenczi(DAC)

Univ. Tokai (Tokyo),Tsuda College (Tokyo),Univ. Kelo (Yokohama),Univ. Ito (Kanazawa),Univ. Akiyama (Niigata),Univ. Kamea (Osaka),Univ. Hamachi (Fukuoka)

MATHÉMATIQUES Systèmes dynamiques et arithmétiques en collaboration avec les partenaires japonais.

46 CHINE C. Mauduit(DAC)

Univ. de Tsing Hua (Beijing)

MATHÉMATIQUES Automates finis et systèmes dynamiques discrets.Elargissement de la coopération et participation au programme européen entre l'Union Européenne et la Chine.

48 JAPON J.-P. Brasselet(SGT)

Univ. d'Okkaido (Saporo), Univ. de TMU (Tokyo), Univ. de Saitama (Kobé),Univ. de Kyoto (Kagoshima)

MATHÉMATIQUES Coopération en Singularités en Géométrie et Topologie. Les financements proviennent du CNRS (PICS) et du JSPS (Japan Society for Promotion of Science). Il est prévu l'extension de la coopération au niveau des jeunes chercheurs et dans les deux sens de pré-doc et post-doc.

63 ITALIE P. Ruet(LDP)

Univ. de Rome III LOGIQUE MATHÉMATIQUE ET INFORMATIQUE THÉORIQUERecherche Formation : Université franco-italienne, Programme Vinci.Théorie de la démonstration logique linéaire, informatique théorique.Faciliter la mobilité des doctorants, approfondir les collaborations universitaires en favorisant les échanges d'enseignants, de chercheurs et de personnel administratif.

75 RUSSIE F. Blanchard(DAC)

École d'Économie Avancée (EEANN) de Nijni-Novgorod

MATHÉMATIQUES- Développer la mobilité des mathématiciens russes à Luminy et des Français à Nijni-Novgorod.- Développer la coopération à l'interface entre dynamique des équations aux dérivées partielles et dynamique abstraite. Un des objectifs porte sur la modélisation des phénomènes mécaniques. Projet à mettre en parallèle avec celui présenté par la Faculté des Sciences Economiques de l'Univ. de la Méditerranée et l'Ecole d'Économie Avancée de Nijni-Novgorod

78 BURKINA FASO

MAURITANIER. D. du CONGO

J. Cassaigne(DAC)

Univ. de Bobo-DioulassoUniv. NouakchottInst. Pédag. de Kananga

MATHÉMATIQUES DISCRÈTES - Mise en place de formation de 3 cycle- Echange d'étudiants- Thèses en co-tutelle.

ème

82 BRÉSIL C. Mauduit(DAC)

Univ. de Sao Paulo,Univ. Fédérale Rio de Janeiro,Inst. Mathématiques Pures et Appliquées de Rio de Janeiro

DYNAMIQUE, SYMBOLIQUE, ARITHMÉTIQUE ET COMBINATOIRE Projets de recherche en dynamique, symbolique, arithmétique et combinatoire.

83 MEXIQUEBRÉSIL

J.-P. Brasselet(SGT)

Univ. de Mexico et de CuernavacaUniv. de Fortalezza,Univ. de Sao Carlos,Univ. de Sao Paulo

ÉRECHERCHE SUR LES SINGULARIT SProjet de recherche sur les singularités,accueil de doctorants et post-doctorants.

84 CUBA P. Barthelèmy ICIMAF (Institut de Cybernétique, de Mathématiques et de Physique de l'Académie des Sciences), La Havane

MATHÉMATIQUES, INFORMATIQUEAmplifier la coopération dans les domaines des mathématiques et de l'informatique et, éventuellement, l'élargir à d'autres domaines avec d'autres partenaires en s'appuyant sur de nombreux contacts existants et sur la connaissance du terrain acquise en 6 ans de coopération scientifique, technique et d'enseignement à Cuba. A plus long terme, est envisagée la mise en place d'un réseau régional de coopération pour la zone Caraïbes et Amérique Centrale.

85 BRÉSILCUBA

MEXIQUE

R. Rolland(ATI)

Inst. Math. Pures et Appl. de Rio (Brésil),Inst. de Cybernétique, de Math. et de Phys.), La Havane (Cuba),Univ. Mexico (Mexique)

CODES ET CRYPTOGRAPHIEProjets de recherche en codes et cryptographie

92 CUBA P. Barthelèmy,R. Rolland

(ATI)

ICIMAF (Institut de Cybernétique, de Mathématiques et de Physique de l'Académie des Sciences), La Havane

MATHÉMATIQUES ET PHYSIQUE- Formation par la recherche.En matière d'enseignement, 2 axes : - ouverture vers l'ISPJAE (Inst. Polytechnique José Antonio Etcheverria), une école d'ingénieurs pluri-disciplinaire d'un très bon niveau.- accueil d'étudiants cubains de différentes disciplines dans les composantes de l'Université de la Méditerranée.

109 MAROC C. Mauduit(DAC)

Univ. Mohamed 1d'Oudja

er MATHÉMATIQUES, INFORMATIQUEProjet de recherche sur des thèmes communs en Mathématiques Informatique, à terme co-encadrement de thèses.

110 TUNISIE P. Hubert(DAC)

Univ. de TunisUniv. de Sfax

MATHÉMATIQUES - Collaboration et mise en place à l'Université de Sfax d'une équipe de Mathématiques Discrètes.- Développement à moyen terme d'un troisième cycle. Cet enseignement devrait déboucher sur des thèses co dirigées.



Doctorants et post-doctorants étrangersDOCTORANTS ÉTRANGERS

Nom, Prénom Directeur(s) de thèse

Début de la thèse

Etablissement d'origine et Pays

Financement Thème

BEN AMAR Héla M. Mkaouar /A. Nogueira

10/2004 Univ. Sfax,Tunisie

Aucun DAC

BEN ISHAK Anis B. Ghattas /Trabelsi

09/2003 Inst. Sup. Gestion, Tunisie

Bourse EGIDE MMG

CHANDOUL Amara M. Mkaouar /A. Nogueira


Aucun DAC

COSENTINO Francesco J.-Y. Girard /A. Ursini

09/2003 Univ. Sienne,Italie

- LDP

EDOUKOU Aka Bile Frédéric F. Rodier 11/2003 ENS Abidjan,Côte d'Ivoire

Bourse Côte d'Ivoire

ATI

EL MORSLI Driss G. Kasparov 10/2000 Maroc Aucun AOG

HBAIB Mohamed C. Mauduit /Mkaouar

12/2003 Univ. Sfax, Tunisie

Assistant Fac. Sfax

DAC

KHUU Minh-Thang A. Rauzy 11/2003 Vietnam Bourse EGIDE LDP

MAZZA Damiano L. Regnier 09/2003 Univ. Rome 3,Italie

Bourse MENRT LDP

PAGANI Michele J.-Y. Girard /V. M. Abrusci

09/2003 Univ. Rome 3,Italie

- LDP

PULCINI Gabriele V. M. Abrusci /J.-M. Andreoli

09/2003 Univ. Rome 3,Italie

Bourse Roma 3

LDP

SBOUI Adnen F. Rodier /Smida


Bourse Univ. Tunisie

ATI

SHAWKET Zaid C. Mauduit /Naoum

09/2003 Univ. Bagdad,Irak

Bourse MAE DAC

POST-DOCTORANTS ÉTRANGERS

Nom, Prénom Invitant Début stage Fin stage Etablissement d'origine

Financement Thème

ABE Ryuji P. Arnoux 01/10/2002 30/09/2003 Université de Kanagawa, Japon

Bourse MAE DAC

CALVO-ANDRADE Omegar

J.-P. Brasselet 06/01/2004 06/02/2004 Centro de Investigacion en

Matematicas, Guanajuato, Mexique

Accords CNRS/CONACyT

France-Mexique

SGT

HAMANO Masahiro T. Ehrhard 01/09/2002 31/08/2003 Japan Advanced Inst. of Science and

Technology, Ishikawa, Japon

Bourse JAIST LDP

HUANG Wen F. Blanchard 12/12/2004 11/12/2005 Univ. of science and technology of china,

Hefei

bourse K.C.Wong DAC

KABORE Idrissa

J. Cassaigne 13/09/2004 12/09/2005 Université de Ouagadougou,

Burkina Faso

BourseAgence Univ.

Francophonie (AUF)

DAC

KHANEDANI Bahman J.-P. Brasselet 01/04/2002 31/03/2003 Sharif University of Technology, Teheran, Iran

Bourse Acad. Sciences, Iran

SGT

LUDWIG Ursula J.-P. Brasselet 26/01/2004 31/03/2004 Univ. Leipzig, Allemagne

Bourse TMR Geometrical

Analysis

SGT

MOL Rogerio J.-P. Brasselet 01/12/2002 31/10/2003 IMPA, Brésil AccordFrance / Brésil

SGT

PFÄFFLE Franck J.-P. Brasselet 01/03/2003 30/08/2003 Univ. Hamburg, Allemagne

Bourse TMR Geometrical

Analysis

SGT

SAUER Roman A. Wasserman 13/09/2004 10/10/2004 Univ. Münster, Allemagne

CNRS-FRUMAM (GDR Algèbres d'opérateurs)

AOG



Invités étrangers2003

Nom, Prénom Invitant Établissement d'origine

Financement Séjour * Thème

ABRUSCI Michele P. Ruet Univ. Rome 3, Italie Poste vacant Université

Juin 2003 LDP

BARTHEL Gottfried J.-P. Brasselet Univ.Constance, Allemagne

Contingent National Univ.

08/07/200316/07/2003

SGT

BERNSTEIN Joseph P. Delorme Univ. Tel Aviv, Israël Contingent National Univ.

Juin 2003 RGR

FIESELER Karl J.-P. Brasselet Univ. Uppsala, Suède Contingent National Univ.

05/06/200331/07/2003

SGT

GARCIA Arnaldo G. Lachaud IMPA, Rio de Janeiro, Brésil

Poste vacant Université

30/04/200329/05/2003

ATI

GHORPADE Sudhir G. Lachaud Indian Inst. Of Technology, Bombay,

Inde


Mai 2003 ATI

JONES Vaughan A. Wassermann U.C. Berkeley, USA Poste vacant Université

Juillet 2003 AOG

KABATIANSKY Grigori M. Tsfasman IITP, Moscou, Russie Contingent National Univ.

Mai 2003 ATI

KARHUMÄKI Juhani J. Cassaigne Univ. Turku, Finlande Poste vacant Université

Janvier 2003 DAC

KOSSIAK Alexandre R. Zekri Univ. Kiev,Ukraine


01/02/200330/06/2003

RGR

KUNYAVSKII Boris M. Tsfasman Univ. Bar lIan,Israël


Janvier 2003 ATI

LAIRD James L. Regnier Univ. Sussex, Royaume-Uni


Mars 2003 LDP

LUENGO Ignacio A. Pichon Univ. Madrid, Espagne


Septembre 2003 SGT

NOGIN Dmitri M. Tsfasman IITP, Moscou, Russie Chercheur Associé CNRS

Mars 2003 ATI

OPDAM Eric P. Delorme Univ. Leiden,Pays-Bas


Février 2003 RGR

ROVINSKI Marat M. Tsfasman IITP, Moscou Chercheur Associé CNRS

3 mois 2003 ATI

SCHMELING Jörg T. Troubetzkoy Univ. Lund, Suède Poste vacant Université

1 mois 2003 DAC

SOARES Marcio J.-P. Brasselet Univ. Belo Horizonte, Brésil

Accord France/Brésil

30/06/200321/07/2003

SGT

SRINIVAS Kotyada G. Lachaud MathScience, Chennai, Inde

Chercheur Associé CNRS

Avril 2003 ATI

STREICHER Thomas T. Ehrhard Univ. Darmstadt, Allemagne


Janvier 2003 LDP

TAMURA Jun-Ichi C. Mauduit Tatsuda college, Japon


Juillet 2003 DAC

TSHIKUNA-MATAMBA Tshikunguila C. Mauduit Inst. Sup. Kananga, Congo

Crédits IML juin 2003 DAC

WOODROW Robert P. Ille Univ. Calgary, Canada Poste vacant Université

Mai 2003 LDP

YATRACOS Yannis B. Ghattas Univ. Singapour Poste vacant Université

01/02/200331/06/2003

MMG

2004Nom, Prénom Invitant Établissement d'origine Financement Séjour Thème

ABDON Myriam R. Rolland UFF, Brésil Poste vacant Université

08/01/200408/02/2004

ATI

BARTHEL Gottfried J.-P. Brasselet Univ. Konstanz, Allemagne


07/03/200406/04/2004

SGT

BEAUREGARD Sébastien G. Lachaud Univ. Québec, Canada Accord France-Québec

18/11/200415/12/2004

ATI

BOUAZIZ Moncef P. Ille IPEI, Sfax, Tunisie Convention d'échange DDRI

30/11/200430/12/2004

LDP

CURRIE James A. Nogueira Univ. Winnipeg,Canada


09/11/200401/05/2005

DAC

HEMAN Danièle S. Ferenczi Univ. of North Texas, USA Aucun 02/06/200402/11/2004

DAC

KABATIANSKY Grigori M. Tsfasman IITP, Moscou, Russie Chercheur Associé CNRS

Avril,mai,

juin 2004

ATI

KARPENKOV Oleg M. Tsfasman Moscow Independent Univ., Russie

Convention CNRS / Russie

15/05/200430/06/2004

ATI

MAIRSON Harry T. Ehrhard Brandeis University, Massachussets, USA

Chercheur Associé CNRS

Mai,juin,

juillet 2004

LDP

SOARES Marcio J.-P. Brasselet Univ. Belo Horizonte, Brésil

Accord France-Brésil

04/07/200404/08/2004

SGT

NOGIN Dmitri M. Tsfasman IITP, Moscou, Russie Convention CNRS / Russie

01/05/200415/07/2004

ATI

PERERA Gonzalo B. Ghattas Inst. Matemática y Estadística, Montevideo,

Uruguay

Poste vacant Université etContingent

National Univ.

15/09/200315/01/2004

MMG

PEREZ-CHAVELA Ernesto P. Arnoux Autonomous Metropolitan Univ., Mexico, Mexique

- 07/06/200430/07/2004

DAC

POPA Sorin A. Wassermann UCLA, USA Chercheur Associé CNRS

01/05/200431/07/2004

AOG

SARKÖZY Andras C. Mauduit Univ., Budapest, Hongrie Contingent National Univ.

Mai 2004 DAC

SCHICK Thomas M. Puschnigg Univ. Göttingen, Allemagne


Février 2004 AOG

SCHMIDT Thomas P. Hubert Oregon State Univ. Corvallis, USA


15/02/200414/03/2004

DAC

SILVA Pedro S. Ferenczi Univ. Porto, Portugal Coop. CNRS / Portugal

janvier 2004 DAC

YATRACOS Yannis B. Ghattas Univ. Singapour - 13/05/200430/06/2004

MMG

ZAMBONI Luca S. Ferenczi Univ. of North Texas, USA Crédits IML 02/06/200402/11/2004

DAC

* supérieur ou égal à 1 mois


PUBLICATIONS 2003-2004

Logique De la Programmation

Concurrent construction of proof-nets. Jean-Marc, Laurent.Andreoli Lazaré

Computer science logic, 29--42, Lecture Notes in Comput. Sci., 2803, Springer, Berlin, 2003.

An engineering approach to optimize system design or spare parts inventory. J.-L., Y., Antoine, J.-P.Chabot Dutuit Rauzy Signoret

Risk Decision and Policy, 8:1-11, 2003.

Homology of Gaussian groups.Dehornoy P., Lafont Yves.

Ann. Inst. Fourier (Grenoble) 53, no. 2, 489--540, 2003.

The differential lambda-calculus. Thomas, Laurent.Ehrhard Regnier

Theoret. Comput. Sci. 309, no. 1-3, 1--41, 2003.

From foundations to ludics. Jean-Yves.Girard

New programs and open problems in the foundation of mathematics (Paris, 2000). Bull. Symbolic Logic 9, no. 2, 131--168, 2003.

Jean-Yves.GirardLa logique comme géométrie de la cognition.Rapport technique de l'IML, 2003.

Formalizing the transformations of a cognitive universe. Nicole, Gérard, P., J. L.Lafaye de Micheaux Lopez Vitiello Beauvois

Discrete models for complex systems, DMCS '03 (Lyon), 141--153 (electronic), Discrete Math. Theor. Comput. Sci. Proc., AB, Assoc. Discrete Math. Theor. Comput. Sci., Nancy, 2003.

Towards an algebraic theory of Boolean circuits. Yves.Lafont

J. Pure Appl. Algebra 184, no. 2-3, 257--310, 2003.

Non-commutative logic. III. Focusing proofs. Roberto, Paul.Maieli Ruet

Inform. and Comput. 185, no. 2, 233--262, 2003.

A practical comparison of methods to assess sum-of-products. Antoine, E., Y., C.Rauzy Châtelet Dutuit Bérenguer

Reliability Engineering and System Safety, 79:33-42, 2003.

A new methodology to handle boolean models with loops. Antoine.Rauzy

IEEE Transactions on Reliability, 52(1):96-105, 2003.

Towards an efficient implementation of Mocus. Antoine.Rauzy

IEEE Transactions on Reliability, 52(2):175-180, 2003. Jean-Marc.Andreoli

An axiomatic approach to structural rules for locative linear logic.Linear Logic in Computer Science, pp. 192-235, London Mathematical Society Lecture Note Series 316, Cambridge University Press, 2004.

Pierre.BoudesProjecting games on hypercoherences.International Colloquium on Automata, Languages and Programming ICALP'04, Lecture Notes in Computer Science 3142, pp. 257-268, Springer Verlag, 2004.

The C3-structure of the tournaments.Boussaïri Abderrahim, Ille Pierre, Lopez Gérard, Thomassé Stéphane.

Discrete Math. 277, 29-43, 2004.

Claudine, Luis, Élisabeth, Paul, Denis.Chaouiya Mendoza Remy Ruet ThieffryFrom logical regulatory graphs to standard Petri nets: dynamical roles and functionality of feedback circuits.Concurrent Models in Molecular Biology, Electronic Notes in Comp. Science, Elsevier, 2004.

Claudine, Élisabeth, Paul, Denis.Chaouiya Remy Ruet ThieffryQualitative modelling of genetic networks: from logical regulatory graphs to standard Petri nets,Application and Theory of Petri Nets, Lecture Notes in Computer Science 3099, pp. 137-156, Springer Verlag, 2004.

A completeness theorem for symmetric product phase spaces. Thomas.Ehrhard

J. Symbolic Logic 69, no. 2, 340--370, 2004.

First order in ludics. Marie-Renée, Myriam.Fleury Quatrini

Math. Structures Comput. Sci. 14, no. 2, 189--213, 2004.Girard Jean-Yves.Between logic and quantic: a tract.Linear Logic in Computer Science, London Mathematical Society Lecture Note Series 316, pp. 346-381, Cambridge University Press, 2004.

Jean-Yves.GirardGeometry of interaction IV: the feedback equation.Proceedings of the Helsinki meeting, 2004.

Absorbing sets in arc-coloured tournaments. Gena, Pierre, Robert E.Hahn Ille Woodrow

Discrete Math. 283, no. 1-3, 93--99, 2004.Hyvernat Pierre.Predicate Transformers and Linear Logic: yet another Denotational Model.18th international workshop in Logic and Computer Science, Lecture Notes in Computer Science 3210, Springer Verlag, 2004.

Soft linear logic and polynomial time. Yves.Lafont


Parametric parameter passing lambda-calculus. Luca, Simona.Paolini Ronchi Della Rocca

Inform. and Comput. 189, no. 1, 87--106, 2004.

An experimental study on six algorithms to compute transient solutions of large markov systems. Antoine.Rauzy

Reliability Engineering and System Safety, 86(1):105-115, 2004. Daniel.De Carvalho

Intersection types for light affine lambda-calculus.Proceedings of 3rd Workshop on Intersection Types and Related Systems (ITRS'04)Electronic Notes in Computer Science, Elsevier. A paraître.

Approximate estimation of system reliability via fault trees.Dutuit Y., Rauzy Antoine.

Reliability Engineering and System Safety. A paraître. Thomas, Laurent.Ehrhard Regnier

Differential Interaction Nets.Workshop on Logic, Language, Information and Computation WoLLIC'04,Electronic Notes in Computer Science, Elsevier. A paraître.

Can We Trust PRA ?Epstein S., Rauzy Antoine.

Reliability Engineering and System Safety. A paraître. Peter, Pierre.Hancock Hyvernat

Programming interfaces and basic topology.Annals of Pure and Applied Logic, Elsevier. A paraître.

Pierre, Jean-Xavier.Ille RamponA counting of the minimal realizations of the posets of dimension two.Ars Combinatoria, The Charles Babbage Research Centre. A paraître.

Pierre.IlleLa décomposition intervallaire des structures binaires.Gazette des Mathématiciens. A paraître.

Samuel.TronçonInteraction et signification.Actes du Colloque LMIP, Presses de l'Université Paris-Sorbonne. A paraître.

Ouvrages

Linear logic. Jean-Yves, M., A.Girard Okada Scedrov

Papers from the meeting held at Keio University, Tokyo, March 28- April 2, 1996. Edited by J.-Y. Girard, M. Okada and A. Scedrov. Theoret. Comput. Sci. 294, no. 3. Elsevier Science Publishers, B.V., Amsterdam, 2003. pp. i--iv and 333--573, 2003.

Thomas, Jean-Yves, Paul, Philip.Ehrhard Girard Ruet ScottLinear logic in computer science.London Mathematical Society Lecture Note Series 316, Cambridge University Press, 2004.



Arithmétique et Théorie de l'Information

Un lemme de zéros,Gouillon Nicolas.

Comptes Rendus Acad. Sci. Ser. I, 335, 167-170, 2002.

Zéros des fonctions L et formes toriques. Gilles.Lachaud

C. R. Math. Acad. Sci. Paris 335, no. 3, 219-222, 2002.Lachaud Gilles, Ghorpade Sudhir R.Étale cohomology, Lefschetz theorems and number of points of singular varieties over finite fields.Moscow Mathematics. J. 2, no. 3, 589-631, 2002.

Gilles, Sudhir R.Lachaud Ghorpade Number of solutions of equations over finite fields and a conjecture of Lang and Weil.Number theory and discrete mathematics, 269-291, Birkhäuser, Basel, 2002.

Spectral analysis and the Riemann hypothesis. Gilles.Lachaud

Proceedings of the International Conference on Special Functions and their Applications (Chennai, 2002). J. Comput. Appl. Math. 160, no. 1-2, 175--190, 2003.

Simultaneous rational approximation to the successive powers of a real number. Michel.Laurent

Indag. Math. (N.S.) 14, no. 1, 45--53, 2003.

Note on a hypothesis implying the non-vanishing of Dirichlet L-series L(s, ) for s > 0 and real characters .

Louboutin Stéphane.

Colloq. Math.,96, 207--212, 2003.

Explicit lower bounds for residues at s = 1 of Dedekind zeta functions and relative class numbers of CM-fields.


Trans. Amer. Math. Soc. 355, 3079--3098, 2003.

Exponents of the ideal class groups of CM number fields. Stéphane, Ryotaro.Louboutin Okazaki

Math. Z. 243, 155--159, 2003.

Codes from flag varieties over a finite field.Rodier François.

J. Pure Appl. Algebra 178, no. 2, 203--214, 2003.

On the nonlinearity of Boolean functions.Rodier François.

Proceedings of WCC2003, Workshop on coding and cryptography 2003, sous la direction de D. Augot, P. Charpin, G. Kabatianski, INRIA, pp. 397 - 405, 2003.

On the characteristic polynomials of the Frobenius endomorphism for projective curves over finite fields.

Yves, Marc.Aubry Perret

Finite Fields Appl. 10, no. 3, 412--431, 2004.

Divisibility of zeta functions of curves in a covering. Yves, Marc.Aubry Perret

Arch. Math. (Basel) 82, no. 3, 205--213, 2004.

Multiplication algorithm in a finite field and tensor rank of the multiplication. Stéphane, Robert.Ballet Rolland

Journal of Algebra, Vol 272/1, 173--185, 2004. Michel, Poulakis Dimitrios.Laurent

On the global distance between two algebraic points on a curve.J. Number Theory 104, no. 2, 210--254, 2004.

Totally real integral points on a plane algebraic curve. Michel.Laurent

Number theory, 203--208, CRM Proc. Lecture Notes, 36, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2004.

Explicit upper bounds for | (1, for primitive characters . Stéphane.Louboutin

L ) | Q. J. Math. 55, no. 1, 57--68, 2004.

Explicit upper bounds for values at s = 1 of Dirichlet L-series associated with primitive even characters.


J. Number Theory, 104, 118--131, 2004.

Class numbers of real cyclotomic fields.Louboutin Stéphane.

Publ. Math. Debrecen, 64, 451--461, 2004.

The simplest quartic fields with ideal class groups of exponents <=2.Louboutin Stéphane.

J. Math. Soc. Japan, 56, 717--727, 2004.

Numerical evaluation at negative integers of the Dedekind zeta functions of totally real cubic number fields.


Algorithmic Number Theory (University of Vermont, 2004), Lectures Notes in Computer Science, 3076, 318--326, 2004.

Remarks on S. Chowla's hypothesis implying that L(s, ) > 0 for s > 0 and for real characters .Louboutin Stéphane.

The Fields Institute Communications Series; Primes and Misdemeanours: Lectures in Honour of the Sixtieth Birthday of Hugh Cowie Williams, Fields Institute Communications, 41, 283--291, 2004.

The non-normal quartic CM-fields and the dihedral octic CM-fields with ideal class groups of exponent <=-2.

Stéphane, H.-S., S.-H.Louboutin Yang Kwon

Math. Slovaca, 54, 535--574, 2004.

Sur la non-linéarité des fonctions booléennes,Rodier François.

Acta Arithmetica, vol 115, 1-22, 2004.

Class number in non Galois quartic and non abelian Galois octic function fields over finite fields. Yves.Aubry

Bulletin of the Greek Math. Soc, 15 pages. A paraître.

On the bilinear complexity of the multiplication in finite fields.Stéphane, Robert.Ballet Rolland

Proceedings de AGCT9. A paraître.

Descent of the definition field of a tower of function fields and applications.Ballet Stéphane, Le Brigand Dominique, Rolland Robert.

Journal of Algebra. A paraître.

Exponents of diophantine approximation and sturmian continued fractions. Y., Michel.Bugeaud Laurent

Annales de l'Institut Fourier, 25 pages. A paraître.

Formes linéaires en deux logarithmes. Nicolas.Gouillon

Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux. A paraître.

Ouvrages

Algebraic Geometry and Coding Theory. Yves, Gilles.Aubry Lachaud

Exposés présentés lors de la conférence AGCT-9 tenue à Luminy en mai 2003.Société Mathématique de France (collection Séminaires & Congrès, 250 pp. A paraître.

Algebraic Geometry Codes: Basic Notions. Michael A., Serge, D.Tsfasman Vladuts Nogin

Université Indépendante de Moscou, 503 pp. (en russe, l'édition anglaise est en préparation), 2003.



Singularités en Géométrie et Topologie

Hochschild homology of singular algebras. Jean-Paul, André, Nicolae.Brasselet Legrand Teleman

K-Theory 29, no. 1, 1--25, 2003.

Interpolation of characteristic classes of singular hypersurfaces, Jean-Paul, Paolo.Brasselet Aluffi

Advances in Mathematics 180, no. 2, 692--704, 2003.

On the boundary of the Milnor fibre of nonisolated singularities. Françoise, Anne.Michel Pichon

Int. Math. Res. Not. 2003, no. 43, 2305--2311, 2003.(Erratum: Int. Math. Res. Not. 2004, no. 6, 309--310)

Real singularities and open-book decomposition of the 3-sphere.Pichon Anne, Seade José.

Ann. Fac. Sci. Toulouse, VI, Sér. Math. 12 no 2, 245-265, 2003. Jean-Paul, David B., A. J., José.Brasselet Massey Parameswaran Seade

Euler obstruction and defects of functions on singular varieties.J. London Math. Soc. (2) 70, no. 1, 59--76, 2004.

Real analytic germs and open-book decomposition of the 3-sphere. Anne.Pichon

f(g )-International Journal of Mathematics, Vol. 16, No. 1, 1--12, 2005.

Lê's conjecture for cyclic covers. Anne, Ignacio.Pichon Luengo

Séminaires et Congrès, Publications SMF, no 10, 163-190, 2005.

Poincaré Polynomials and Perverse Sheaves on Fans, a combinatorial framework. Gottfried, Barthel Brasselet Jean-Paul, Fieseler Karl-Heinz, Ludger.Kaup

Tohoku J. Maths. A paraître.

A geometric definition of Fulton-Johnson classes I. Jean-Paul, José, Tatsuo.Brasselet Seade Suwa

Actes du colloque franco-japonais Juillet 2002, Séminaires et Congrès no 10, 2005. A paraître.

On the homology of Whitney functions over subanalytic sets. Jean-Paul, Markus.Brasselet Pflaum

A paraître.

Motivic characteristic classes. Jean-Paul,, Jörg, Shoji.Brasselet Schürmann Yokura

CRAS. A paraître.

Ouvrages

Topics in algebraic and noncommutative geometry. Dedicated to the memory of Ruth Michler.Caroline , Jean-Paul, Gary, Kristin, Lee.Grant Melles Brasselet Kennedy Lauter McEwan

Proceedings of the Conference "Resolution of Singularities and Noncommutative Geometry" held in Luminy, July 20--22, 2001 and the Algebraic Geometry Conference held in Annapolis, MD, October 25--28, 2001. Edited by Contemporary Mathematics, 324. American Mathematical Society, Providence, RI. xvi+233 pp. ISBN: 0-8218-3209-3, 2003.

Singularités franco-japonaises. Jean-Paul, Tatsuo.Brasselet Suwa

Actes du colloque franco-japonais Septembre 2002, Séminaires et Congrès no 10, 2005. A paraître.



Représentations des Groupes Réductifs

One-loop renormalizability of all 2-dimensional Poisson-Lie -models. Ctirad, Galliano.Klimcik Valent

Phys. Lett. B 565, no. 1-4, 237--245, 2003.

Anti-Wick symbols for infinite products in K-homology. Alexandr, Richard.Kosyak Zekri

K-Theory 29, no. 2, 117--145, 2003.Delorme Patrick, Souaifi Sofiane.Filtration de certains espaces de fonctions sur un espace symétrique réductif.J. Funct. Anal. 217, no. 2, 314--346, 2004.

Espace des coefficients de représentations admissibles d'un groupe réductif p-adique [Spaces of coefficients of admissible representations of a p-adic reductive group].

Patrick.Delorme

Noncommutative harmonic analysis, 131--176, Progr. Math., 220, Birkhäuser Boston, 2004.

Noncommutative harmonic analysis. In honor of Jacques Carmona.Delorme Patrick, Vergne Michèle.

Progress in Mathematics, 220. Birkhäuser Boston, Inc., Boston, MA. xviii+509 pp. ISBN: 0-8176-3207-7, 2004.

( Ctirad.Klimcik

q-deformation of z −> az+b)/(cz+d).J. Math. Phys. 45, no. 11, 4352--4359. 2004.

Quasitriangular WZW model. Ctirad.Klimcik

Rev. Math. Phys. 16, no. 6, 679--808. 2004.

On the Poisson-Lie T-duality and zero modes. Ctirad, S.Klimcik Parkhomenko

Teoret. Mat. Fiz. 139, no. 3, 462--476, 2004.

Weak Weyl's law for congruence subgroups. Jean-Pierre, Werner.Labesse Müller

Asian J. Math. 8, no.4, 733--746, 2004.

Conditional base change for unitary groups. Jean-Pierre, Michael.Labesse Harris

Asian J. Math. 8, no.4, 653--684, 2004.

Stable twisted trace formula: elliptic terms. Jean-Pierre.Labesse

J. Inst. Math. Jussieu 3, no. 4, 473--530, 2004.

Représentations lisses de GL(m,D), I : caractères simples.Sécherre Vincent.

Bull. Soc. Math. France 132, 2004.

Support d'asymptotiques et croissance des fonctions propres sur un espac symétrique semi-simple.

Carmona Jacques.

J. Functional Anal., 27p. A paraître..

..

Delorme PatrickSur le théorème de Paley-Wiener d'ArthurAnnals of Mathematics, 40p. A paraître

Fabien.PellegriniIwasawa decomposition for Lie supergroups.Journal of Algebra and Its Applications. A paraître.

Représentations lisses de GL(m,D), II : beta-extensions.Sécherre Vincent.

Compositio Math. A paraître.



Dynamique, Arithmétique et Combinatoire

Words whose complexity satisfies lim ( )/ =1. Ali.Aberkane

p n nTheoret. Comput. Sci. 307, no. 1, 31--46, 2003.

On the transcendence of real numbers with a regular expansion. Boris, Julien.Adamczewski Cassaigne

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Proceedings on General Theory of Information Transfer and Combinatorics. A paraître.

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Propriétés q-multiplicatives de la suite [n ].Mauduit Christian, Rivat Joel.

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Sur les entiers dont la somme des chiffres est moyenne.Mauduit Christian, Fouvry E.

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Ouvrages

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Opérateurs d'Algèbres et Géométrie

Groups acting properly on "bolic" spaces and the Novikov conjecture. Gennadi, Georges.Kasparov Skandalis

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Anti-Wick symbols for infinite products in K-homology. Alexandr, Richard.Kosyak Zekri

K-Theory 29, no. 2, 117--145, 2003.

Diffeotopy functors of ind-algebras and local cyclic cohomology. Michael.Puschnigg

Docum. Math. J. 8, 143-245, 2003.

Excision and the Hodge filtration in periodic cycle homology. Michael.Puschnigg

Crelle Journal, 38pp., à paraître.

Characters of Fredholm modules and a problem of Connes. Michael.Puschnigg

En cours de rédaction.



Méthodes Mathématiques pour la Génomique

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C., F., D., J., Alain, B.Brun Chevenet Martin Wojcik Guénoche Jacq

Genome Biology, 2003 .http ://genomebiology.com/2003/5/1/R6

Approach of the functional evolution of duplicated genes in Saccharomyces cerevisiae using a new classification method based on protein-protein interaction data

C., Alain, B.Brun Guénoche Jacq

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Qualitative analysis of regulatory graphs: a computational tool based on a discrete formal framework.

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Positive systems, Theory and application (L. Benvenuti, A. De Santis and L. Farin eds), Lecture Notes in Control and Inform. Sci., 294, 119--126, Springer-Verlag, Berlin, 2003.

Recherche de zones denses dans un graphe : application aux gènes orthologues.Tristan, Y., Alain.Colombo Quentin Guénoche

Colloque «Knowledge Discovery and Discrete Mathematics». Actes des Journées Informatiques de Metz (JIM 2003), 203-212, 2003.

Common intervals of two sequences.Gilles.Didier

Workshop on Algorithms in Bioinformatics (WABI 2003). Lecture Notes in Computer Science 2812, 17-24, 2003.

Partitions optimisées selon différents critères: évaluation et comparaison. Recherche opérationnelle et aide à la décision.

Alain.Guénoche

Math. Sci. Hum. Math. Soc. Sci. No. 161, 41--58, 2003.

Symbolic analysis of finite words: the complexity function. Sébastien, Ricardo, Brigitte.Jaeger Lima Mossé

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A description of dynamical graphs associated to elementary regulatory circuits.

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The operons, a criterion to compare the reliability of transcriptome analysis tools: ICA is more reliable than ANOVA, PLS and PCA.

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On the extension of a partial metric to a tree metric. Alain, Bruno, Vladimir.Guénoche Leclerc Makarenkov

6th International Conference on Graph Theory. Discrete Math. 276, no. 1-3, 229--248, 2004.

Supersequences of masks for oligo-chips.Alain.Guénoche

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Clustering by vertex density in a Graph, Meeting of the International Federation of the Classification Societies.

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Chicago, Classification, Clustering and Data Mining, D. Banks et al. (Eds.), Springer, 15-23, 2004.

Isoperimetry and heat kernel decay on percolation clusters. Pierre, Elisabeth.Mathieu Remy

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About the design of oligo-chips,Guénoche Alain.

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Classes empiétantes dans un graphe et application aux interactions entre protéines,I., L., Alain, O.Charon Denoeud Guénoche Hudry

Actes du colloque de la «Société Française de Recherche Opérationnelle et d'Aide à la Décision» (ROADEF'05), Presses de l'Université F. Rabelais, Tours, 2005.

Comparison of distance indices between partitions.L., H., Alain.Denoeud Garreta Guénoche

Applied Stochastic Model and Data Analysis. A paraître.

GOToolBox: Functional analysis of gene datasets based on Gene Ontology,D., C., Elisabeth, P., D., B.Martin Brun Remy Mouren Thieffry Jacq

Genome Biology. A paraître.

A Petri net formalism for multivalued logical regulatory graphs.Remy Elisabeth, Thieffry Denis, Chaouiya Claudine.

Journal of Discrete Algorithms. A paraître.

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