Intégral de surface

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INTÉGRAL DE SURFACEElaboré par M. NUTH Sothan

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I. SURFACE DANS L’ESPACE

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1. SURFACE RÉGULIÈRE DIFFÉRENTIABLE

Soit x, y et z des coordonnées cartésiennes à 3 dimension. G un ensemble de points dans le plan (u, v).

Déf. : On appelle surface une application continue F.

x=x(u, v) , y=y(u, v) , z=z(u, v) , {u, v} G. (1)de l’ensemble G dans l’espace.

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1. SURFACE RÉGULIÈRE DIFFÉRENTIABLE...

Sous la forme vectorielle : (2)où

L’ensemble G s’appelle système de coordonnées et u et v sont des coordonnées ou paramètres de F.

L’image F(G) est la surface et définie par (1) ou (2).

( , )r r u v

{ , , }; ( , ) { ( , ), ( , ), ( , )}r x y z r u v x u v y u v z u v

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Ex. : Les applications :x = cosu , y = sinu , z = v , (0 u 2π , 0 v 1)et x=cos2u , y=sin2u , z=v , (0 u 2π , 0 v 1)définissent des surfaces différentes biehn queG={{u, v}; (0 u 2π , 0 v 1) soient dans les

deux cas l’ensemble :x2 + y2 = 1 , 0 z 1.

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Le 1er cas : La surface ne présente pas de self-intersection.

Le 2ème cas : Elle en présente.Déf. : La surface F est différentiable si (1) (ou (2))

possèdent des dérivées partielles 1ères ordre continues dans G.

Déf. : Une surface différentiable F est régulière si en tout point {u, v} dans G le rang de la matrice

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est égale à 2.

Ceci exprime que

sont linéairement indépendant.

x y zu u ux y zv v v

, , et , ,r x y z r x y zu u u u v v v v

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2. PLAN TANGENT ET VECTEUR NORMAL À UNE SURFACE

Soit F une surface RD SSI, définie par (1) ou (2).Soit {u0 , v0} G.

Pour u=u0 : devient courbe RD sur F

passant par le point et un

vecteur tangent à la courbe.

0( , )r r u v

0 0( , )r u v

0( , )r u vv

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2. PLAN TANGENT ET VECTEUR NORMAL À UNE SURFACE...

N

0 0( , )r u vv

0 0( , )r u vu

0( )r tt

z

x

yo

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De façon analogue :

Pour v=v0 : devient courbe RD sur F

passant par le point et un

vecteur tangent à la courbe.Les courbes s’appelle

coordonnées de la surface F.

0( , )r r u v

0 0( , )r u v

0( , )r u vu

0 0( , ) et ( , )r u v r u v

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Donc les lignes de coordonnées se coupent sous l’angle (0 < < ).

Soit : u=u(t) , v=v(t) , a t bune courbe RD SSI passant par {u0 ,v0} dans G :

u(t0)=u0 , v(t0)=v0 , a t0 bAlors (3)est une courbe diff. SSI située sur F.

( ( ), ( )) , r r u t v t a t b

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Cette courbe est régulière.En effet :

puisque sont linéairement indépendants

et

( ) ( ) 0 (4)dr r ru t v tdt u v

et r ru v

2 2( ( )) ( ( )) 0u t v t

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L’équation tangent à la surface F au point :

où

est la normale à la surface F au point

0 0( , )r u v

0 0 0 0( ( , ), ( , )) 0 (5)r r u v N u v

0 0( , )r u v

0 0 0 0 0 0( , )) ( , ), ( , ) 0r rN u v u v u vu v

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3. LONGUEUR D’UNE COURBE SUR UNE SURFACE

On a :

2 2

( )

et

or ( ) ( )

( ) ( )u v

ds drr tdt dt

ds drdt dt

dr dr dru t v tdt du dv

r u t r v t

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3. LONGUEUR D’UNE COURBE SUR UNE SURFACE...

Donc :

Notons :

2

2 2

( ( ) ( ), ( ) ( ))

( , )( ( )) 2( , ) ( ) ( ) ( , )( ( ))

u v u v

u u u v v v

dr r u t r v t r u t r v tdt

r r u t r r u t v t r r v t

2 2

( , ) ( , ), ( , ) ( , ), ( , ) ( , )

2

u u u v v v

b b

a a

E u v r r F u v r r G u v r r

drl dt Eu Fu v Gv dtdt

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4. AIRE DE SURFACE

Soit F RD SSI définie par :

et D G un domaine borné fermé.⊂Soit FD la partie de F définie par D :

Déf. : L’aire de surface FD est :

( , ) , { , } Gr r u v u v

( , ) , { , } Dr r u v u v

2 (6)D

S EG F dudv

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4. AIRE DE SURFACE...

R.1: (6) représente l’aire du parallélogramme construit sur les vecteurs

En effet : et u vr du r dv

2 2 2 2 22 2

22 2 2 2 2

2

, sin ,

, sin (1 cos )

cos , , ,

u v u v

u v u v u v

u v u v u u v v u v

r r r r

r r r r r r

r r r r r r r r r r

EG F

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R.2: Si la surface différentiable F définie par :z = f(x, y) , {x, y}G ,alors :

22

222

( , ) { , , ( , )},( , ) {1,0, ( , )},( , ) {0,1, ( , )},

1 , , 1 ,

1 .

x x

y y

x x y y

x y

r x y x y f x yr x y f x yr x y f x y

E f F f f G f

EG F f f

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Alors :

R.3: Si z=0 , alors :

Ex.: Calculer l’aire de portion de sphère de rayon R et de centre l’origine de coordonnées située dans le 1er octant.

222 1 x yD D

S EG F dxdy f f dxdy

D

S dxdy

20

II. INTÉGRALE DE SURFACE

21

II. INTÉGRALE DE SURFACE

Soit F une surface RD SSI définie par

et D G un domaine borné fermé. Désignons F⊂ D la partie de F définie par D :

( , ),( , ) { ( , ), ( , ), ( , )}, ( , )

r r u vr u v x u v y u v z u v u v G

( , ),{ , }r r u v u v D

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II. INTÉGRALE DE SURFACE...

Déf.: Soit g(x, y, z) continue sur FD .

2

( , , )

( ( , ), ( , ), ( , ))

(1)

DF

D

g x y z ds

g x u v y u v z u v EG F dudv

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R.: Si z=f(x, y) , {x, y}D

2 2

( , , )

( , , ( , )) 1

DF

x yD

g x y z ds

g x y f x y f f dxdy

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Déf.: On dit qu’une surface RD est orientable s’il est possible de choisir un champ de vecteurs unitaires normaux continu.

Dans le cas contraire on dit qu’elle est non orientable.

Soit F une surface RD SSI orientée par le choix d’un champ de vecteurs unitaires normaux continus.

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R.: Il existe une surface non orientable.Soit F une surface RD SSI orientée par le choix

d’un champ de vecteur unitaires normaux :

1 1 2[ , ]( , ) , ( , ) ( , )[ , ]

u v

u v

r rn u v n u v n u vr r

2 2 2

( , ) {cos ,cos ,cos },

cos cos cos 1

n u v

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Supposons :

est continu sur F.Déf.: On appelle flux du champ de vecteur

à travers la surface orienté F l’intégrale :

où F est définie par :

( , , ) { ( , , ), ( , , ), ( , , )}u x y z P x y z Q x y z R x y z

( , ) [ cos cos cos ] (2)D DF F

u n ds P Q R ds

( , , )u x y z

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(2) s’appelle intégrale de surface de second espèce.Si F est orientée par , alors (2) change de

signe.En effet : Si P=Q=0 et F est définie par :

z=z(x, y), {x, y}D

( , ), ( , )r r u v u v D G

( , )n u v

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Alors :

Le signe dépend du choix de l’orientation de la surface.

Et

2 2

1cos1 x yz z

2 2

2 2

( , , ( , ))cos 11

( , , ( , ))

D

x yF D x y

D

R x y z x yR ds z z dxdyz z

R x y z x y dxdy

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Alors :

De même manière :

Et l’intégrale de surface de second espèce est (2).

( , , ) cos ( , , )D DF F

R x y z ds R x y z dxdy

( , , ) cos ( , , ) ,

( , , ) cos ( , , ) ,D D

D D

F F

F F

P x y z ds P x y z dydz

Q x y z ds Q x y z dxdz

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III. FORMULE DE STOKES. CONDITION DE POTENTIALITÉ D’UN CHAMP DE VECTEURS DANS L’ESPACE.

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1. FORMULE DE STOKES.

Soit F une surface RD SSI définie par :

et G un domaine simplement connexe.Soit C G un contour fermé simple deux fois ⊂

différentiables : u=u(t) , v=v(t) , a t b ,D un domaine fermé borné de frontière C.Donc définie un contour

C situé sur F.

( , ),{ , }r r u v u v G

( ( ), ( )),r r u t v t a t b

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1. FORMULE DE STOKES...

Soit FD la portion de surface contenue à l’intérieur de C. La surface F est orienté par vecteur unitaire normal : [ , ] {cos ,cos ,cos }

[ , ]u v

u v

r rnr r

[ , ] , ,u u u u u uu v u u u

v v v v v vv v v

i j ky z z x x y

r r x y zy z z x x y

x y z

2[ , ]u vr r EG F

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Th.1: Soit

un champ de vecteur continu et différentiable sur F.( , , ) { ( , , ), ( , , ), ( , , )}u x y z P x y z Q x y z R x y z

cos cos

cos

DF

C

R Q P Ry z z x

Q P ds Pdx Qdy Rdzx y

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Déf.: Le champ de vecteurs

s’appelle rotationnel du champ de vecteurs différentiable

ou( , , ) { ( , , ), ( , , ), ( , , )}u x y z P x y z Q x y z R x y z

, ,R Q P R Q Protuy z z x x y

[ , ], où , ,rotu ux y z

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La formule de Stockes peut être écrite sous forme :

R.: D’après la formule de Stockes, la circulation d’un champ de vecteurs suivant un contour fermé est égale au flux du rotationnel de ce champ à travers la surface limitée par ce contour.

( , ) ( , )DF C

rotu n ds u dr

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2. CONDITION DE POTENTIALITÉ

Th.2 (CNS): Un champ de vecteurs continu dans G

est potentiel ssi ne dépend pas de chemin

L joignant deux points qc de G.Th.3 (CNS): Un champ de vecteurs continu dans G

est potentiel ssi


( , )C

u dr


0rotu

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IV. FORMULE D’OSTROGRADSKI

Soit H={{x, y, z}; z1 (x, y) z z2 (x, y), {x, y}D},et z1 (x, y) < z2 (x, y) pour {x, y}DSoit la surface F est orientée par

Soit un champ de vecteur{cos ,cos ,cos }n


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IV. FORMULE D’OSTROGRADSKI...z=z1 (x, y)

z=z1 (x, y)

n

D

F1

F2

F0

y

z

x 0

n

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IV. FORMULE D’OSTROGRADSKI...

Th.:

Déf.:

cos cos cosH

F

P Q R dxdydzx y z

P Q R ds

( , ),

où = , ,

P Q Rdivu ux y z

x y z

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IV. FORMULE D’OSTROGRADSKI...

Alors la formule d’Ostrogradski devient

R.: est dit solénoïdal.

,H F

divudxdydz u n ds

0 ( , , )divu u x y z

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V. EXEMPLE2 2 2 2 2 2

2 2 22 2

2 2 2

2 2 2

2 2 2 2

1. ( ) , où F:

2. , où F: 0,0 .

3. ,

où F: 0, 0, 0, .

4. ,

où F: , 0.

F

F

F

F

x y ds x y z a

x y zx y ds z ba a b

yzdydz xzdxdz xydxdy

x y z x y z a

x dydz y dzdx z dxdy

x y z a z

42

V. EXEMPLE...

2 2 2 2

2 2

3 3 3

5. ( ) ( ) ( ) ,

où C: , 0.

6. ( ) ( ) ( ) ,

où C: 1, 1.

7. ,

où F: 0, 0, 0, .

8. ,où F:

C

C

F

F

y z dx z x dy x y dz

x y z a x y z

y z dx z x dy x y dz

x y x z

xdydz ydxdz zdxdy

x y z x y z a

x dydz y dzdx z dxdy x

2 2 2 2.y z a

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