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Intégrale doubleElaboré par M. NUTH Sothan
I- Notion de l’intégrale double
1. Calculer l’aire d’un trapèze curviligne :
∆x i
f(x i)
a b0 x
y
Notion de l’intégrale double (suite)
s’appelle la somme de Riemann de f(x) .2. Calculer le volume d’un corps limité en haut par une
surface continue : z=f(x, y) ( f(x, y) ≥ 0 )en bas par le domaine fermé borné S du plan XOY .
1
max 00
lim ( ) ( )i
bn
i ix
i a
f x x f x dx
Notion de l’intégrale double (suite)
La somme :
1
( , ) (2)n
i i ii
f x y S V
représente le volume d’un corps qui s’appelle la somme
de Riemann bidimensionnelle étendue à un domaine S de f(x, y) .
Soit di le diamètre de ∆Si .Soit d = max di
Notion de l’intégrale double (suite)
On obtient :
On a :
où f(x, y) est intégrable.
01
lim ( , ) (3)n
i i id
i
V f x y S
01
lim ( , ) = ( , ) (4)n
i i id
i S
f x y S f x y ds
V= ( , ) (5)S
f x y ds
Notion de l’intégrale double (suite)
Th1: Si S est un domaine borné et fermé à frontière ℾlisse par morceaux et si f(x, y) est continue sur ce domaine S, l’intégrale double :
Comme (6) est la somme bidimensionnelle, on a :∆Sij = ∆xi ∆yj et ds = dx dy (7)
01
( , ) lim ( , ) (6)n
i i id
iS
f x y ds f x y S
Notion de l’intégrale double (suite)
On obtient :
où (xi, yj) ∈ ∆Sijmax 0
1 1max 0
( , ) lim ( , ) (8)i
j
n n
i j i jx
i jS y
f x y dxdy f x y x y
II- Intégrale double en coordonnée cartésiennes rectangulaires :Soit le domaine d’intégration S représente un trapèze
curviligne :a ≤ x ≤ b , y1(x) ≤ y ≤ y2(x) (1)
où y1(x) et y2(x) sont continues sur [a, b] .
(1) s’appelle le domaine standard par rapport à l’axe OY.
Soit f(x, y) continue sur S. Alors, l’intégrale double est
( , ) (2)S
I f x y dxdy
Intégrale double en coordonnée cartésiennes rectangulaires (suite):
y
0 xa bx
M2
M1
A2
A1
B2
B1
y = y2 (x)
y = y1 (x)
S
y2
y1
Intégrale double en coordonnée cartésiennes rectangulaires (suite):1. Supposons que f(x, y) ≥ 0 dans S.Soit σ(x) l’aire de la section de cylindroïde par le plan
M1 M2 M’2 M’1 Ox au point x ∈ [a, b] .Donc ou ( , )
S
I f x y dxdy
( ) (3)b
a
I x dx
Intégrale double en coordonnée cartésiennes rectangulaires (suite):Où
continue sur [a, b] .On obtient :
2
1
( )
( )
( ) ( , ) (4)y x
y x
x f x y dy
2
1
( )
( )
( , ) ( , ) (5)y xb
S a y x
f x y dxdy dx f x y dy
Intégrale double en coordonnée cartésiennes rectangulaires (suite):
z
0ya
z=f(x, y)
x
M1M2
A2A1
B2B1
y = y2 (x)S
σ(x)
b y = y1 (x)
A’2
A’1
B’1 B’2
M’1 M’2
x
Intégrale double en coordonnée cartésiennes rectangulaires (suite):2. Soit le domaine d’intégration S représente un trapèze
curviligne :c ≤ y ≤ d , x1(y) ≤ x ≤ x2(y) (6)
où x1(y) et x2(y) sont continues sur [c, d] .
(6) s’appelle le domaine standard par rapport à l’axe OX.
Soit f(x, y) continue sur S. Alors, l’intégrale double est2
1
( )
( )
( , ) ( , ) (7)x yd
S c x y
f x y dxdy dy f x y dx
Intégrale double en coordonnée cartésiennes rectangulaires (suite):
y
0 x
c
d
x
M1 M2
A2A1
B2
B1
x = x2 (y)x = x1 (y)
S
Intégrale double en coordonnée cartésiennes rectangulaires (suite):3. Soit le domaine d’intégration S représente un trapèze
curviligne :a ≤ x ≤ b , c ≤ y ≤ d (8)
Soit f(x, y) continue sur S. Alors, l’intégrale double est
ou
( , ) ( , ) (9)b d
S a c
f x y dxdy dx f x y dy
( , ) ( , ) (10)d b
S c a
f x y dxdy dy f x y dx
Intégrale double en coordonnée cartésiennes rectangulaires (suite):
y
0 x
c
d
x
M2
M2A2A1
B2
B1
S
a b
Intégrale double en coordonnée cartésiennes rectangulaires (suite):Remarque : Si le domaine d’intégration S n’est par
standard, on subdivise en S1 , S2 , ... , Sp .
Alors, l’intégrale double est
1 2
( , ) ( , ) ( , ) ...S S S
f x y dxdy f x y dxdy f x y dxdy ( , )
pS
f x y dxdy
Exemples :
Ex.1: Calculer l’intégrale :où S : 0 ≤ x ≤ 1 , 0 ≤ y ≤ 1.
Ex.2: Calculer l’intégrale :où S : 0 ≤ x ≤ 1 , -2 ≤ y ≤ 3.
Ex.3: Calculer l’intégrale :où S est un triangle de sommets O(0, 0), A(2, 0) et B(2,
1). Alors S: 0 ≤ x ≤ 2 , 0 ≤ y ≤ x/2.
2 2( )S
I x y dxdy
2
S
I xy dxdy
2
S
I x ydxdy
Exemples
Ex.4: Intervertir l’ordre des intégrations dans
l’intégrale itérée :
Ex.5: Mettre les limites d’intégration dans l’intégrale :
où S: x2 + y2 = 1 et x2 + y2 = 4
2
1
0
( , )x
x
I dx f x y dy
( , )S
I f x y dxdy
III- Intégrale double en coordonnée polaires:Soit
Passons en coordonnée polaire r=r(φ),On pose : x= r cos φ , y= r sin φ (2)On obtient:
( , ) ( , ) (1)S S
f x y dxdy f x y ds
( , ) ( cos , sin ) (3)S S
f x y dxdy f r r J drd
III- Intégrale double en coordonnée polaires (suite):Où le jacobien
2 2sin cos= = (sin cos )
cos sin
(4)
x xrr
J ry y r
r
J r
III- Intégrale double en coordonnée polaires:On obtient:
( , ) ( cos , sin ) (5)S S
f x y dxdy f r r rdrd
Exemples:
Ex. : Passer aux coordonnées polaires les domaines suivantes:
1. x2 + y2 = R2 .2. x2 + y2 ≤ ax .3. x2 + y2 ≤ by .4. x2 + y2 = 4x , x2 + y2 = 8x , y= x , y= 2x .5. x2 + y2 ≤ ax , x2 + y2 ≤ by .6. (x2 + y2)2 = a2 (x2 - y2) .7. (x2 + y2)3 ≤ 4a2 x2 y2 . x ≥ 0, y ≥ 0 .
III- Intégrale double en coordonnée polaires (suite):En général:On pose: x= x(u, v), y=y(u, v)Alors:
(6)
x x
u vJy y
u v
III- Intégrale double en coordonnée polaires (suite):On obtient:
( , ) ( ( , ), ( , )) (7)S S
f x y dxdy f x u v y u v J dudv
Exemples:
Ex. : Calculer l’intégrale:
où S : y = x + 1, y = x – 3, y = −1/3x + 7/3,y = −1/3x + 5.On peut poser : u = y – x , v = y + 1/3x.Dans les coordonnées Ouv , on a :S : u = 1 , u = − 3 , v = 7/3 , v = 5 on obtient : x = − 3/4u + 3/4v , y = 1/4u + 3/4v .et J = − 3/4 .
( )S
I y x dxdy
Exemples:
On a :5 1
7 33
3 3( ) 8
4 4S S
I y x dxdy u dudv ududv
IV- Intégrale d’Euler-Poisson:
Calculer l’intégrale d’Euler-Poisson :
Comme l’intégrale définie ne dépende pas de la désignation de la variable, on peut écrire :
2
0
(1)xI e dx
2
0
(2)yI e dy
IV- Intégrale d’Euler-Poisson (suite):
En multipliant (1) et (2), on obtient :
où S : 0 ≤ x < + , 0 ≤ y < + .En passant aux coordonnées polaires, on obtient :
2 22 ( ) (3)x y
S
I e dxdy
2 2 22
2 20
00 0
1= ( )
2 4r r r
S
I e rdrd d re dr e
IV- Intégrale d’Euler-Poisson (suite):
Comme I est positif, on en déduit que :
et enfin :
2
0
2
xI e dx
2xI e dx
V- Théorème de la moyenne:
Soit f(x, y) est continue dans un domaine fermé borné S.
Soit :
Donc :
min ( , )
max ( , )S
S
m f x y
M f x y
1
( , )n
i i ii
mS f x y S MS
V- Théorème de la moyenne (suite):
Soit :Quand d → 0 , on obtient :
En suite :
On note :
qui s’appelle la valeur moyenne de f(x, y) dans S.
max ( ).ii
d d S
( , ) (2)S
mS f x y ds MS 1
( , )S
m f x y ds MS
1
( , ) (3)S
f x y dsS
V- Théorème de la moyenne (suite):
D’après (3), on peut écrire :
Ex. : Evaluer l’intégrale
où S : 0 ≤ x ≤ 1 , 0 ≤ y ≤ 1.On a :
( , ) (4)S
f x y ds S2 2
S
I x y dxdy
min ( , ) (0,0) 0
max ( , ) (1,1) 2
S
S
m f x y f
M f x y f
V- Théorème de la moyenne (suite):
Puisque S=1, on a : 0 ≤ I ≤ ≈ 1,41.Alors : I ≈ (0+1,41)/2 ≈0,71.Et la valeur exacte de cette intégrale :I =[ +ln(1+ )]/3 ≈0,79.
2
22
VI- Application géométrique de l’intégrale double:1. Volume limité en haut par la surface z=f(x, y) et en
bas par le domaine S du plan XOY.Soit z=f(x, y) continue sur Soù S={a ≤ x ≤ b , y1(x) ≤ y ≤ y1(x) }
2
1
( )
( )
( , ) ( , )y xb
S a y x
V f x y dxdy dx f x y dy
VI- Application géométrique de l’intégrale double (suite):2. Surface de domaine S du plan XOY.Soit f(x, y)=1 où S={a ≤ x ≤ b , y1(x) ≤ y ≤ y1(x) }
2
1
( )
( )
y xb
a y x
S dx dy
VI- Application géométrique de l’intégrale double (suite):3. L’aire de surface z= f(x, y) .
où D est la projection de la surface z = f(x, y) sur le plan Oxy.
22
1D
z zS dxdy
x y
Exemple :
Ex. 1 :Calculer l’aire de la portion de plan :
comprise entre les plans de coordonnées.
1x y z
a b c
Exemple :
Ex. 2 :Calculer l’aire de surface d’une sphère de centre O(0, 0, 0) et de rayon R.
On a :
où D est la projection de la surface z = f(x, y) sur le plan Oxy.
22
1D
z zS dxdy
x y
Exemples:
Ex.3: Calculer l’airede surface limité par les courbes suivantes :
2 2 et y x x y x
x
y
0
y=x
(3, 3)
Exemples:
Ex.2: Calculer le volume limité par le plan z=x , le cylindre x2 + y2 = 4 et le plan XOY :
y
x
z
0
Exemples:
Ex.3: Calculer le volume du corps limité par les surfaces z=x2 , z=0 , x=0 , y=0 , x+y=1 .
Ex.4: Calculer l’aire de surface limité par les courbes :y=a2 /x , y=2a2 /x ,(a > 0) et les droites : x=1 , x=2 .
