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1
INTÉGRAL DE SURFACE
Elaboré par M. NUTH Sothan
2
I. SURFACE DANS L’ESPACE
3
1. SURFACE RÉGULIÈRE DIFFÉRENTIABLE
Soit x, y et z des coordonnées cartésiennes à 3 dimension. G un ensemble de points dans le plan (u, v).
Déf. : On appelle surface une application continue F.
x=x(u, v) , y=y(u, v) , z=z(u, v) , {u, v} G. (1)
de l’ensemble G dans l’espace.
4
1. SURFACE RÉGULIÈRE DIFFÉRENTIABLE...
Sous la forme vectorielle :
(2)
où
L’ensemble G s’appelle système de coordonnées et u et v sont des coordonnées ou paramètres de F.
L’image F(G) est la surface et définie par (1) ou (2).
( , )r r u v
{ , , }; ( , ) { ( , ), ( , ), ( , )}r x y z r u v x u v y u v z u v
5
1. SURFACE RÉGULIÈRE DIFFÉRENTIABLE...
Ex. : Les applications :
x = cosu , y = sinu , z = v , (0 u 2π , 0 v 1)
et
x=cos2u , y=sin2u , z=v , (0 u 2π , 0 v 1)
définissent des surfaces différentes biehn que
G={{u, v}; (0 u 2π , 0 v 1) soient dans les deux cas l’ensemble :
x2 + y2 = 1 , 0 z 1.
6
1. SURFACE RÉGULIÈRE DIFFÉRENTIABLE...
Le 1er cas : La surface ne présente pas de self-intersection.
Le 2ème cas : Elle en présente.
Déf. : La surface F est différentiable si (1) (ou (2)) possèdent des dérivées partielles 1ères ordre continues dans G.
Déf. : Une surface différentiable F est régulière si en tout point {u, v} dans G le rang de la matrice
7
1. SURFACE RÉGULIÈRE DIFFÉRENTIABLE...
est égale à 2.
Ceci exprime que
sont linéairement indépendant.
x y z
u u ux y z
v v v
, , et , ,r x y z r x y z
u u u u v v v v
8
2. PLAN TANGENT ET VECTEUR NORMAL À UNE SURFACE
Soit F une surface RD SSI, définie par (1) ou (2).
Soit {u0 , v0} G.
Pour u=u0 : devient courbe RD sur F
passant par le point et un
vecteur tangent à la courbe.
0( , )r r u v
0 0( , )r u v
0( , )r
u vv
9
2. PLAN TANGENT ET VECTEUR NORMAL À UNE SURFACE...
N
0 0( , )r
u vv
0 0( , )r
u vu
0( )r
tt
z
x
yo
10
2. PLAN TANGENT ET VECTEUR NORMAL À UNE SURFACE...
De façon analogue :
Pour v=v0 : devient courbe RD sur F
passant par le point et un
vecteur tangent à la courbe.
Les courbes s’appelle coordonnées de la surface F.
0( , )r r u v
0 0( , )r u v
0( , )r
u vu
0 0( , ) et ( , )r u v r u v
11
2. PLAN TANGENT ET VECTEUR NORMAL À UNE SURFACE...
Donc les lignes de coordonnées se coupent sous l’angle (0 < < ).
Soit : u=u(t) , v=v(t) , a t bune courbe RD SSI passant par {u0 ,v0} dans G :
u(t0)=u0 , v(t0)=v0 , a t0 b
Alors (3)
est une courbe diff. SSI située sur F.
( ( ), ( )) , r r u t v t a t b
12
2. PLAN TANGENT ET VECTEUR NORMAL À UNE SURFACE...
Cette courbe est régulière.
En effet :
puisque sont linéairement indépendants
et
( ) ( ) 0 (4)dr r r
u t v tdt u v
et r r
u v
2 2( ( )) ( ( )) 0u t v t
13
2. PLAN TANGENT ET VECTEUR NORMAL À UNE SURFACE...
L’équation tangent à la surface F au point :
où
est la normale à la surface F au point
0 0( , )r u v
0 0 0 0( ( , ), ( , )) 0 (5)r r u v N u v
0 0( , )r u v
0 0 0 0 0 0( , )) ( , ), ( , ) 0r r
N u v u v u vu v
14
3. LONGUEUR D’UNE COURBE SUR UNE SURFACE
On a :
2 2
( )
et
or ( ) ( )
( ) ( )u v
ds drr t
dt dt
ds dr
dt dt
dr dr dru t v t
dt du dvr u t r v t
15
3. LONGUEUR D’UNE COURBE SUR UNE SURFACE...
Donc :
Notons :
2
2 2
( ( ) ( ), ( ) ( ))
( , )( ( )) 2( , ) ( ) ( ) ( , )( ( ))
u v u v
u u u v v v
drr u t r v t r u t r v t
dt
r r u t r r u t v t r r v t
2 2
( , ) ( , ), ( , ) ( , ), ( , ) ( , )
2
u u u v v v
b b
a a
E u v r r F u v r r G u v r r
drl dt Eu Fu v Gv dt
dt
16
4. AIRE DE SURFACE
Soit F RD SSI définie par :
et D G un domaine borné fermé.⊂Soit FD la partie de F définie par D :
Déf. : L’aire de surface FD est :
( , ) , { , } Gr r u v u v
( , ) , { , } Dr r u v u v
2 (6)D
S EG F dudv
17
4. AIRE DE SURFACE...
R.1: (6) représente l’aire du parallélogramme construit sur les vecteurs
En effet :
et u vr du r dv
2 2 2 2 22 2
22 2 2 2 2
2
, sin ,
, sin (1 cos )
cos , , ,
u v u v
u v u v u v
u v u v u u v v u v
r r r r
r r r r r r
r r r r r r r r r r
EG F
18
4. AIRE DE SURFACE...
R.2: Si la surface différentiable F définie par :
z = f(x, y) , {x, y}G ,
alors :
22
222
( , ) { , , ( , )},
( , ) {1,0, ( , )},
( , ) {0,1, ( , )},
1 , , 1 ,
1 .
x x
y y
x x y y
x y
r x y x y f x y
r x y f x y
r x y f x y
E f F f f G f
EG F f f
19
4. AIRE DE SURFACE...
Alors :
R.3: Si z=0 , alors :
Ex.: Calculer l’aire de portion de sphère de rayon R et de centre l’origine de coordonnées située dans le 1er octant.
222 1 x y
D D
S EG F dxdy f f dxdy
D
S dxdy
20
II. INTÉGRALE DE SURFACE
21
II. INTÉGRALE DE SURFACE
Soit F une surface RD SSI définie par
et D G un domaine borné fermé. Désignons F⊂ D la partie de F définie par D :
( , ),
( , ) { ( , ), ( , ), ( , )}, ( , )
r r u v
r u v x u v y u v z u v u v G
( , ),{ , }r r u v u v D
22
II. INTÉGRALE DE SURFACE...
Déf.: Soit g(x, y, z) continue sur FD .
2
( , , )
( ( , ), ( , ), ( , ))
(1)
DF
D
g x y z ds
g x u v y u v z u v EG F dudv
23
II. INTÉGRALE DE SURFACE...
R.: Si z=f(x, y) , {x, y}D
2 2
( , , )
( , , ( , )) 1
DF
x y
D
g x y z ds
g x y f x y f f dxdy
24
II. INTÉGRALE DE SURFACE...
Déf.: On dit qu’une surface RD est orientable s’il est possible de choisir un champ de vecteurs unitaires normaux continu.
Dans le cas contraire on dit qu’elle est non orientable.
Soit F une surface RD SSI orientée par le choix d’un champ de vecteurs unitaires normaux continus.
25
II. INTÉGRALE DE SURFACE...
R.: Il existe une surface non orientable.
Soit F une surface RD SSI orientée par le choix d’un champ de vecteur unitaires normaux :
1 1 2
[ , ]( , ) , ( , ) ( , )
[ , ]u v
u v
r rn u v n u v n u v
r r
2 2 2
( , ) {cos ,cos ,cos },
cos cos cos 1
n u v
26
II. INTÉGRALE DE SURFACE...
Supposons :
est continu sur F.
Déf.: On appelle flux du champ de vecteur à travers la surface orienté F l’intégrale :
où F est définie par :
( , , ) { ( , , ), ( , , ), ( , , )}u x y z P x y z Q x y z R x y z
( , ) [ cos cos cos ] (2)D DF F
u n ds P Q R ds
( , , )u x y z
27
II. INTÉGRALE DE SURFACE...
(2) s’appelle intégrale de surface de second espèce.
Si F est orientée par , alors (2) change de signe.
En effet : Si P=Q=0 et F est définie par :
z=z(x, y), {x, y}D
( , ), ( , )r r u v u v D G
( , )n u v
28
II. INTÉGRALE DE SURFACE...
Alors :
Le signe dépend du choix de l’orientation de la surface.
Et
2 2
1cos
1 x yz z
2 2
2 2
( , , ( , ))cos 1
1
( , , ( , ))
D
x y
F D x y
D
R x y z x yR ds z z dxdy
z z
R x y z x y dxdy
29
II. INTÉGRALE DE SURFACE...
Alors :
De même manière :
Et l’intégrale de surface de second espèce est (2).
( , , ) cos ( , , )D DF F
R x y z ds R x y z dxdy
( , , ) cos ( , , ) ,
( , , ) cos ( , , ) ,
D D
D D
F F
F F
P x y z ds P x y z dydz
Q x y z ds Q x y z dxdz
30
III. FORMULE DE STOKES. CONDITION DE POTENTIALITÉ D’UN CHAMP DE VECTEURS DANS
L’ESPACE.
31
1. FORMULE DE STOKES.
Soit F une surface RD SSI définie par :
et G un domaine simplement connexe.
Soit C G un contour fermé simple deux fois ⊂différentiables : u=u(t) , v=v(t) , a t b ,
D un domaine fermé borné de frontière C.
Donc définie un contour C situé sur F.
( , ),{ , }r r u v u v G
( ( ), ( )),r r u t v t a t b
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1. FORMULE DE STOKES...
Soit FD la portion de surface contenue à l’intérieur de C. La surface F est orienté par vecteur unitaire normal : [ , ]
{cos ,cos ,cos }[ , ]
u v
u v
r rn
r r
[ , ] , ,u u u u u uu v u u u
v v v v v vv v v
i j ky z z x x y
r r x y zy z z x x y
x y z
2[ , ]u vr r EG F
33
1. FORMULE DE STOKES...
Th.1: Soit
un champ de vecteur continu et différentiable sur F.
( , , ) { ( , , ), ( , , ), ( , , )}u x y z P x y z Q x y z R x y z
cos cos
cos
DF
C
R Q P R
y z z x
Q Pds Pdx Qdy Rdz
x y
34
1. FORMULE DE STOKES...
Déf.: Le champ de vecteurs
s’appelle rotationnel du champ de vecteurs différentiable
ou
( , , ) { ( , , ), ( , , ), ( , , )}u x y z P x y z Q x y z R x y z
, ,R Q P R Q P
rotuy z z x x y
[ , ], où , ,rotu ux y z
35
1. FORMULE DE STOKES...
La formule de Stockes peut être écrite sous forme :
R.: D’après la formule de Stockes, la circulation d’un champ de vecteurs suivant un contour fermé est égale au flux du rotationnel de ce champ à travers la surface limitée par ce contour.
( , ) ( , )DF C
rotu n ds u dr
36
2. CONDITION DE POTENTIALITÉ
Th.2 (CNS): Un champ de vecteurs continu dans G
est potentiel ssi ne dépend pas de chemin
L joignant deux points qc de G.
Th.3 (CNS): Un champ de vecteurs continu dans G
est potentiel ssi
( , , ) { ( , , ), ( , , ), ( , , )}u x y z P x y z Q x y z R x y z
( , )C
u dr
( , , ) { ( , , ), ( , , ), ( , , )}u x y z P x y z Q x y z R x y z
0rotu
37
IV. FORMULE D’OSTROGRADSKI
Soit
H={{x, y, z}; z1 (x, y) z z2 (x, y), {x, y}D},
et z1 (x, y) < z2 (x, y) pour {x, y}D
Soit la surface F est orientée par
Soit un champ de vecteur
{cos ,cos ,cos }n
( , , ) { ( , , ), ( , , ), ( , , )}u x y z P x y z Q x y z R x y z
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IV. FORMULE D’OSTROGRADSKI...
z=z1 (x, y)
z=z1 (x, y)
n
D
F1
F2
F0
y
z
x
0
n
39
IV. FORMULE D’OSTROGRADSKI...
Th.:
Déf.:
cos cos cos
H
F
P Q Rdxdydz
x y z
P Q R ds
( , ),
où = , ,
P Q Rdivu u
x y z
x y z
40
IV. FORMULE D’OSTROGRADSKI...
Alors la formule d’Ostrogradski devient
R.: est dit solénoïdal.
,H F
divudxdydz u n ds
0 ( , , )divu u x y z
41
V. EXEMPLE2 2 2 2 2 2
2 2 22 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2 2
1. ( ) , où F:
2. , où F: 0,0 .
3. ,
où F: 0, 0, 0, .
4. ,
où F: , 0.
F
F
F
F
x y ds x y z a
x y zx y ds z b
a a b
yzdydz xzdxdz xydxdy
x y z x y z a
x dydz y dzdx z dxdy
x y z a z
42
V. EXEMPLE...
2 2 2 2
2 2
3 3 3
5. ( ) ( ) ( ) ,
où C: , 0.
6. ( ) ( ) ( ) ,
où C: 1, 1.
7. ,
où F: 0, 0, 0, .
8. ,où F:
C
C
F
F
y z dx z x dy x y dz
x y z a x y z
y z dx z x dy x y dz
x y x z
xdydz ydxdz zdxdy
x y z x y z a
x dydz y dzdx z dxdy x
2 2 2 2.y z a