Elaboré par M. NUTH Sothan 1Fonction de plusieurs variables

Fonction de plusieurs variables 1

FONCTION DE PLUSIEURS VARIABLES

Elaboré par M. NUTH Sothan


Ex.1: L’aire d’un triangle de base x et de hauteur y est une fonction de deux variables. Le domaine de définition est x > 0 et y > 0.

I. Notion

y

x

xyU2

1


2222 Rzyx

I. Notion (suite)

x

y

z

o

221 yxz

Ex.2: L’équation de sphère

ou ,

(R=1) est une

fonction de deux

variables.


Ex.3 : Le volume d’un parallélépipède rectangle V = xyz est une fonction de trois variables.

I. Notion (suite)

o

z

y

x


Soit U=f(x, y, z) . Si z=c , alors U=f(x, y, c) est une fonction de deux variables.

Si y=b et z=c , alors U=f(x, b, c) est une fonction d’une variables.

Ainsi, on peut considérer la fonction U=f(x, y, z) comme une fonction d’une seule variable, de deux variables et de trois variables.

L’image géométrique d’une fonction z=f(x, y) est une surface dans l’espace.

I. Notion (suite)


A chaque couple (x, y) de correspond une certaine valeur de z.

A tout point N(x, y, 0) , on fait corres-pondre un point M(x, y, z) appartenant au graphe de la fonction et constitu-ant l’extrémité de la perpendiculaire NM menée au plan Oxy.

I. Notion (suite)


I. Notion (suite)

X

Z

Y

M(x, y, z)

N(x, y, 0)

O

Si le point N parcourt toutes les positions possibles couvrant la totalité de la région , le point M qui lui lié, décrira dans le cas générale une certaine surface P de l’espace qui surplombe la région . P est le toit construit au-dessus de la

surface .


Définition1 : On appelle ligne de niveau d’une fonction z=f(x, y) l’ensemble des points du plan Oxy en lesquels cette fonction a une seule et même valeur.

On note : f(x, y)=c.

I. Notion (suite)


I. Notion (suite)

oz=3

y

xz=2z=1

Ex. : Si z=1,on obtientC’est un cercle de

rayon R=1.

221 yx

Si z=2,on obtientC’est un cercle de

rayon R=

22 yxz

222 yx

2


Définition2 : On appelle la surface de niveau d’une fonctionU=f(x, y, z) l’ensemble des points des l’espace Oxyz en lesquels cette fonction a une seule et même valeur.

On note : f(x, y, z)=c.

I. Notion (suite)


II. Continuité :Soit z=f(x, y). L’ensemble des valeurs (x, y) est appelé un point.Ainsi z est une fonction d’un point.

Soit x un accroissement de variable x.Soit y un accroissement de variable y.Alors (1)est appelé accroissement partiel de f(x, y) par rapport à la variable x.

),(),( yxfyxxfzx


Analogiquement ( 2)est appelé accroissement partiel def(x, y) par rapport à la variable y.

Enfin ( 3)est appelé accroissement total de f(x, y).

Remarque :

II. Continuité (suite)

),(),( yxfyyxfzy

),(),( yxfyyxxfz

),(),(),( yxfyxfyxf yx


Ex. : Calculer l’accroissement de la fonction

si x varie de 2 à 2,2 et y varie de 1 à 0,9.On a et et


22 2),( yxyxyxf

2,0x 1,0y41.21.22)1,2( 22 f

2,59,0.29,0.2,22,2)9,0;2,2( 22 f2,142,5)1,2( f

04,541.21.2,22,2)1,2( 22 fx

18,449,0.29,0.22)1,2( 22 fy

22,918,404,5)1,2()1,2( ff yx


Définition1 : On dit qu’une fonction f(x, y) est continue en point (x0, y0) si :

1. Elle est définie en ce point et celui-ci est un point limite du domaine d’existence de cette fonction

2. Aux accroissements infiniment petits

des variables x et y correspond un accroissement infiniment petitde la fonction f(x, y) :


0000 et yyyxxx

),( 00 yxf


Définition2 : On dit qu’une fonction f(x, y) est continue sur un domaine donné si elle est continue en tout point de ce domaine:


(4) 0)],(),([),( 000000

00

00

00

limlim

yxfyyxxfyxf

yx

yx

(5) 0)],(),([),( limlim00

00

yxfyyxxfyxf

yx

yx


Ex. :Le domaine de définition:De (5) on obtient:où est un infiniment petit quant x0 et y0 .

On peut dire que la fonction f(x, y) est continue si

II. Continuité (suite)yxyxyxf 1),(

}1,0,0{ yxyxD ),(),( yxfyyxxf

),(),( 11lim1

1

yxfyxf

yyxx


Soit z=f(x, y).On a

Définition1 : est une dérivée partielle première par rapport à la variable x de f(x,y).

On note :

III. Dérivées partielles premières:

x

yxfyxxf

x

zyxfyxxfz x

x

),(),(

et ),(),(

x

yxfyxxf

x

z

x

),(),(lim

0

x

zyxf x

),(


Définition2 : est une dérivée partielle première par rapport à la variable x de f(x,y).

On note :

III. Dérivées partielles premières (suite):

y

yxfyyxf

y

z

y

),(),(lim

0

y

zyxf y

),(


Remarque : Si on calcule

y est considérée comme constante.

Si on calcule

x est considérée comme constante.On peut écrire aussi:


),( de yxfx

z

),( de yxfy

z

)],([et )],([ yxfdy

d

y

fyxf

dx

d

x

f


Si y=constant , alors on obtient x qui représente la section de la surface P par un plan correspondant parallèle au plan Oxz:

Analogiquement, si x=constant , alors on obtient y qui représente la section de la surface P par un plan correspondant parallèle au plan Oyz:


tgx

z

dx

dz

x

z

consty

et

tgy

z

dy

dz

y

z

constx

et



M(x, y, z)

yX

Z

Y

O

N(x, y, 0)

x

Y’

X’


Soit y=f(x) . On al’accroissement y=f(x) .On peut écrire:

et Soit z=f(x, y) . On a:

D’après (1), on a:

IV. Différentielle totale

)()()( 000 xfxxfxfy

(1) , )()( 0 xoxAxf xyxxfxA x .).(. 0

),(),(),( 000000 yxfyyxxfyxfz

(2) , )(),( 00 oyBxAyxf


où A et B sont constantes et est dite partie linéaire.Donc, il existe les dérivées partielles.

En effet, si , alors:

IV. Différentielle totale (suite):22 yx

yBxA

ByxfAyxf yx ),(et ),( 0000

0et 0 yx

x

xoA

x

yxfyxxf

)(),(),( 0000

Ax

yxfyxxfyxf

xx

),(),(),( 0000

000 lim


On a ainsi, d’après (2):

Ou

Définition1 :

Définition2 :

De plus

Où et sont infiniment petits si x0, y0

IV. Différentielle totale (suite):

(3) )(),(),(),( 000000 oyyxfxyxfyxf yx

)(3 )( *oyzxzz yx

ydyxdx ,

yBxAdz

,)( yxodzz


Ex.: Calculer la différentielle de la fonction z=xy.

On peut considérer z comme l’aire d’un rectangle de coté x et y.

Soit x l’accroissement au côté x.

Soit y l’accroissement au côté y.

Donc


yxxyyxz

xyyxxyyxxyxyyyxxz

))((

xyyxdz


Th.1 :

Corollaire: Une fonction donnée ne possède qu’une seule différentielle.

Th.2 : La fonction z=f(x,y) est différentiable dans un domaine donné, si elle possède les

dérivées partielles

continues.


dyy

zdx

x

zdz

),(et ),( yxfy

zyxf

x

zyx


Ex.1 :

On a

Remarque : Soit u=f(x, y, z).

IV. Différentielle totale (suite):yxz

xxy

zyx

x

z yy ln , 1

xdyxdxyxdyy

zdx

x

zdz yy ln 1

. dzz

udy

y

udx

x

udu


Ex.2 :

On a


zey

xu

zzz ey

x

z

ue

y

x

y

ue

yx

u

, , 1

2

dz

y

xdy

y

x

y

dxedze

y

xdye

y

xdxe

ydu zzzz

22

1


Si l’accroissement x et y sont suffisamment

petit, alors

peut être remplacée par

On peut donc écrire:


),(),(),( yxfyyxxfyxf

yyxfxyxfyxdf yx ),(),(),(

yyxfxyxfyxfyyxxf yx ),(),(),(),(


Ex. : On considère un rectangle de côté x=6 et y=8. Quelle sera la variation de la diagonale de ce rectangle si x est augmenté de 0,05 et y est diminué de 0,1 ?

La diagonale du rectangle est

On a


22 yxu

222222 yx

yyxxy

yx

yx

yx

xduu

05,06436

)1,0.(805,0.6

u


Si f=f(x, y), x=(u,v) et y= (u,v),alors les dérivées partielles de f par rapport à u et v s’expriment de la manière suivante:

V. Dérivation des fonctions composées:

f f x f y

u x u y u

f f x f y

v x v y v


Soit u=f(x, y) définie sur .

Considérons M(x, y) et la direction

l = (cos , cos ) où = (l, Ox) et = (l, Oy)

Lorsque M(x, y) M’(x+∆x, y +∆y) par la direction l la fonction u=f(x, y) varie d’une quantité ∆l u= f(x+ ∆x, y+ ∆y) – f(x, y) (1)

VI. Dérivée d’une fonction suivante d’une direction donnée:


qui s’appelle l’accroissement de u=f(x, y) dans la direction l .

Si MM’= ∆l est le déplacement du point M(x, y), d’après du triangle MPM’, on a

∆x = ∆l cos ,∆y = ∆l cos (2)Par suite ∆l u= f(x+ ∆x, y+ ∆y) – f(x, y)

= f(x+∆l cos, y+∆l cos ) – f(x, y)

VI. Dérivée d’une fonction suivante d’une direction donnée (suite):



x

),( yyxxM

x

yy

),( yxM

l

x

y

O

l


Définition : La dérivée d’une fonction

u=f(x, y) dans la direction donnée l est:

D’après cette définition, on peut considérer

Comme la dérivée de u=f(x, y) dans la

direction positives de l’axe Ox.


l

u

(3) lim0 l

u

l

u l

l

x

u


Et comme la dérivée de u=f(x, y) dans la

direction positives de l’axe Oy.

La dérivée est la vitesse de variation de

la fonction u=f(x, y) dans la direction l .

Supposons que u=f(x, y) est dérivable


y

u

l

u

yxyy

ux

x

uul

21


Où 10 et 20 quant x0 et y0.


Quant l0 (y0 et x0), on a:


lly

u

x

uul

coscoscoscos 21

coscoscoscos 21

y

u

x

u

l

ul

sincosOù

(4) , coscos

y

u

x

u

l

u


Ex. : Calculer l’accroissement de la fonction

lorsque M(1, 2) se déplace

d’une distance ∆l =0,1 dans la direction l

faisant un angle avec la

direction positive de l’axe Ox. Quelle est la

valeur de la dérivée au point M ?


22 2 yxyxu

4

3arctg

l

u


On a: tg=3/4 et 0<</4.

D’où

par suit:

Enfin:


5

4coset

4

5

16

911

cos

1 2

tg

5

3

5

4.

4

3cos.sin tg

5

3sincos


Alors:

Ainsi, le point M’(x1, y1) :

x1 =x+x=1+0,08=1,08

y1 =y+y=2+0,06=2,06

Et l’accroissement de u :

lu= (1,082 +2.1,08.2,06-2,062 )-(12 +2.1.2-22 ) = 1,3724-1=0,3724


06,05

3.1,0cos.

08,05

4.1,0cos.

ly

lx


Et

Par ailleurs:

Et donc:


7,3

l

ul

2 , 6

22 , 22

)2,1()2,1(

MM y

u

x

u

yxy

uyx

x

u

6,35

3).2(

5

4.6

coscos

MMM y

u

x

u

l

u


Remarque : La dérivée de la fonction

dans la direction

à pour l’expression:


),,( zyxfu

)cos,cos,(cos l

coscoscosz

u

y

u

x

u

l

u


Définition1 : On dit qu’un champ scalaire est définie dans un domaine , si M est donné un certain scalaire u = f (M) (1)

Ex. : Le champ de température, c’est-à-dire la distribution de la température dans un corps échauffé, est un champ scalaire.

Si M(x, y) dans un plan Oxy, donc le champ scalaire u = f (x, y), (x, y) (2)

VII. Gradient:


Définition2 : On dit qu’un champ vectoriel est définie dans un domaine , si M est associé un certain vecteur

Ex. : Le champ de vitesse, à l’instant donnée, des points d’un courent de fluide … etc. sont des champs vectoriels.

Pour le cas d’un champ vectoriel plan (3), on a

VII. Gradient (suite):

(3) )(MFa

(4) ),( ),,( yxyxFa


D’oùsont des coordonnées de . De façon analogue, pour le cas d’un champ

vectoriel dans l’espace, on obtient


(5) ),( ),,( 21 yxFayxFa yx a

)7)}(,,(),,,(),,,({ou

(6) ),,( ),,,(

321 zyxFazyxFazyxFaa

zyxzyxFa

zyx


Définition3 : L’ensemble des points M pour lesquels le champ scalaire (1) conserve une valeur constante f (M) = const.est appelé surface (ou ligne) de niveau du champ scalaire.

Définition4 : Soit u=f(x, y) (8)

un champ scalaire plan dérivable. Alors le

vecteur

est appelé gradient de ce champ.


(9) ,

y

u

x

uugrad


On peut écrire:

sont vecteurs unitaires suivants Ox et Oy.

De même, dans l’espace u=f(x, y, z) (8’) à pour le gradient:

Ainsi, le champ scalaire engendre un champ vectoriel, appelé champ de gradients.


et où jiy

uj

x

uiugrad

)9( ,,

z

u

y

u

x

uugrad


Définition5 : On appelle dérivée du champ

scalaire (8’) dans une direction donnée l

l’expression:

sont les cosinus

directeurs du vecteur l .


cos ,cos ,cosoù

(10) coscoscosz

u

y

u

x

u

l

u


Th. : La dérivée d’un champ scalaire dans

une direction donnée est égale à projection

du gradient de ce champ sur cette

direction:


ugradl

ul Proj



ugrad

),( yxM

l

u

l


Démonstration : Désignons le vecteur

unitaire de la direction l par :



}cos,cos,{cos0 l

) , (où

(12) Projcos .

(11) cos . . .

0

00

lugrad

ugradugradl

u

lugradlugradl

u

l


Corollaire : Le gradient d’un champ scalaire en un point donné est égal en grandeur et en direction à la vitesse maximale de variation du champ en ce point.

En effet, d’après (11), on a:

Et de plus cos=1. Donc la direction doit coïncider avec la direction de


ugradl

u

l

u

l

*max

*ll

ugrad


Alors:

Remarque : Le gradient du champ ne dépend pas du choix d’un système de coordonnées rectangulaires Oxyz.


(13) 222

*

z

u

y

u

x

uugrad

l

u


Ex.: Déterminer la grandeur et la direction du gradient du champ, au point M0 (2,1,0),

On a:


2zy

xu

02

2

11

0

0

00

00

2

MM

MM

MM

zz

u

y

x

y

u

yx

u


Par suite:

Donc:


5)(

2)(

0

0

Mugrad

jiMugrad

), ( , ), (où

cos . , cos .

0 , 2 , 1

OyugradOxugrad

ugrady

uugrad

x

u

z

u

y

u

x

u


On a:

Définition1 : Le point M0 en lequel est appelé point singulier .

Dans le cas contraire, M est dit non singulier.

Th.2 : En tout point non singulier d’un champ salaire plan le gradient du champ est dirigé suivant la normale de la ligne de niveau passant par ce point, dans le sens de croissance du champ.

VII. Gradient (suite): 0cos ,

5

2cos ,

5

1cos

0)( 0 Mugrad


Soit: z=f(x, y) . Ses dérivées:

Sont fonctions de x et y .Des dérivées du second ordre:

VIII. Dérivée partielle successive:

),( , ),( yxfy

zyxf

x

zyx

. ),( , ),(

, ),( , ),(

2

22

2

2

2

yxfy

z

yy

zyxf

y

z

xxy

z

yxfx

z

yyx

zyxf

x

z

xx

z

yyyx

xyxx


En continuant, on peut calculer les dérivées partielles du troisième ou plusieurs ordre.

Ex. : On a:

Alors:

VIII. Dérivée partielle successive (suite):

0 , xxz y

112

112

1

ln , ln

ln ,

yy

yyy

xxyxxy

zxy

y

z

xxyxyx

zyx

x

z

xy

z

yx

z

22


Si u=f(x, y) est différentiable, alors sa différentielle totale est de la forme:

On a:

IX. Condition nécessaire de différentielle totale:

(1) ),(),(ou dyyxQdxyxPdu

dyy

udx

x

udu

(2) ),( , ),(y

uyxQ

x

uyxP


A l’inverse, soit:Dans quelle condition pour que (3) soit

différentielle totale ?

Th. : Pour que l’expression (3) soit différentielle totale dans G d’une fonction u=f(x, y), il faut que dans G soit:

IX. Condition nécessaire de différentielle totale:

(3) ),(),( dyyxQdxyxP

(4) )),(( ),(),(

Gyxx

yxQ

y

yxP


Démonstration : Supposons que la différentielle total de u=f(x, y) est:

On a:

IX. Condition nécessaire de différentielle totale (suite):

dyy

udx

x

udu

. Or

,

).,( , ),(

22

22

x

Q

y

P

xy

u

yx

u

xy

u

y

u

xx

Q

yx

u

x

u

yy

P

yxQy

uyxP

x

u


Corollaire : Si la condition (4) n’est pas réalisée, l’expression (3) n’est pas dans le domaine G une différentielle totale d’une fonction.

Ex. : L’expression:Sont-elles les différentielles totales de

certaines fonctions.

IX. Condition nécessaire de différentielle totale (suite):

xdyydxxdyydx et ,


Définition1 : On appelle maximum (strict) d’une fonction f(x, y) une telle valeur f(x1, y1) tel que: f(x1, y1) > f(x, y) , ( f(x, y) ) , prise aux points de voisinage de ( x1, y1 ) .

Définition2 : On appelle minimum (strict) d’une fonction f(x, y) une telle valeur f(x2, y2) tel que: f(x2, y2) < f(x, y) , ( f(x, y) ) , prise aux points de voisinage de ( x2, y2 ) .

X. Maximum et minimum d’une fonction de deux variables:


Th.1 (CN) : La fonction dérivable f(x, y) admet un extrémum en point M0 (x0 , y0) , si

ou il n’existe pas.

Remarque : 1. Le point M0 (x0 , y0) où

ou il n’existe pas s’appelle point critique de cette fonction.2. Th.1 n’est que la condition nécessaire.

X. Maximum et minimum d’une fonction de deux variables (suite):

0),(et 0),( yxfyxf yx

0),(et 0),( yxfyxf yx


Th.2 (CS) : Soient :

1. Si >0 extrémumet si A<0 (ou C<0) maxsi A>0 (ou C>0) min

2. Si <0 il n’existe pas extrémum3. Si =0 on ne peut pas dire.

X. Maximum et minimum d’une fonction de deux variables (suite):

2

000000

BAC posons

),(C , ),(B , ),(Aet

yxfyxfyxf yyxyxx

0),(),( 0000 yxfyxf yx


Ex.1 : Soit: Trouver l’extrémum ?

On a: M1 (1,2), M2 (2,1), M3 (-1,-2), M4 (-2,-1)

Exemples:

yxxyxz 12153 23

0126 , 01533 22

xyy

zyx

x

z

2

2

22

2

2

: Posons

6 , 6 , 6

BAC

xy

zy

yx

zx

x

z


On a:M1 (1,2) : A=6, B=12, C=6, <0 n’existe

pas l’extrémum.M2 (2,1): A=12, B=6, C=12, >0 Zmin=-28

M3 (-1,-2) : A=-6, B=-12, C=-6, <0 n’existe pas l’extrémum.

M4 (-2,-1): A=-12, B=-6, C=-12, >0 Zmax=28

Exemples (suite):


Soit z=f(x, y) définie sur D.On cherche un extremum de z=f(x, y) sur la surface

donnée, c.à.d. qu’on cherche un extremum liée par une contrainte de la forme Φ(x, y) = 0.

En point M(a, b) on aura :f(a, b)=K où K est constant.Φ(a, b) = 0.La relation de proportionnalité entre dérivées partielles

de f(x, y) et de Φ(x, y) :

XI. Extrémums avec contrainte:


, où 𝜆 est const.

c.à.d.

𝜆 est appelé le multiplicateur de Lagrange.

XI. Extrémums avec contrainte (suite):

df ddx dx

df ddydy

0 (1)

0 (2)

f

x xf

y y


Les relation (1), (2) et Φ(x, y)=0 permettent alors de déterminer a, b et 𝜆 .

En posant :

la recherche des extrémums avec contrainte Φ(x, y)=0 revient à chercher les extrémums libres de la fonction F(x, y).

XI. Extrémums avec contrainte (suite):

( , ) ( , ) ( , )F x y f x y x y


Ex.2: Déterminer les extrémums de la fonction définie par f(x, y) = xy qui se trouve sur le cercle de centre O et de rayon 1.

Posonsoù Les points critiques de F(x, y) sont données par le

système :

Exemples:

2 2

( , ) ( , ) ( , )

( , ) 1

F x y f x y x y

x y x y

( , ) 0 2 0 (1)

( , ) 0 2 0 (2)

Fx y y x

xF

x y x yy


Et en plus :

On trouve :

f(A1)= f(A2)=1/2 ⇒ A1 et A2 sont max de f .

f(A3)= f(A4)= -1/2 ⇒ A3 et A4 sont min de f .

Exemples (suite):

2 2 1 0 (3)x y

1 2

3 4

2 2 2 2, , , ,

2 2 2 2

2 2 2 2, , , .

2 2 2 2

A A

A A


1. Ellipsoïde:

XII. Surface quadratique:

2 2 2

2 2 21

x y z

a b c

x

y

z

o


2. Paraboloïde elliptique:

XII. Surface quadratique (suite):

2 2

2 2

x y z

a b c

x

y

z

0


3. Cône elliptique:


2 2 2

2 2 2

x y z

a b c

0 y

x

z


4. Hyperboloïde à une nappe:


2 2 2

2 2 21

x y z

a b c

z

x0 y


5. Hyperboloïdeà deux nappes:

XII. Surfacequadratique (suite):

2 2 2

2 2 21

z x y

c a b

x

y

z

0


6. Paraboloïde hyperbolique:


2 2

2 2 ( 0)

y x zc

b a c

y

z

x

0


7. Cylindre elliptique:


2 22

2 2

x yR

a b

y

z

x0

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