Inter-académiques Montpellier 2011

Atelier spécialitéProposé par l’académie de Grenoble

Constat

Les programmes de spécialité proposent une entrée par la résolution de problèmes et donnent une liste non exhaustive de problèmes avec les contenus associés.

Cette approche pose un certain nombre de questions aux professeurs.

Plan de l’atelier

1ère partie

Exemples de problèmes portant sur les notions nouvelles du programme de S

2ème partie

Echanges autour des points qui questionnent

Des points qui questionnent

Place de la résolution de problèmes Contenus :

o Matrices inverses, graphes, équations diophantiennes

o Algorithmes o Capacités attendueso Contrat scolaire de l’élève

Place de la démonstration de cours

Exemples de problèmes

Propagation d’épidémie : modèle SIR

Marche aléatoire sur un triangle

Modèle de diffusion Ehrenfest

Pertinence d’une page Web

Propagation de maladieModèle S.I.R

A partir d’une situation, on introduit les notions de graphe probabiliste, matrice de

transition ….

Propagation de maladie, modèle S.I.R.

Dans une population un individu est susceptible de contracter une certaine maladie.

Il peut être dans un des trois états : S : Susceptible : il peut tomber maladeI : Infecté : il a la maladieR : Retiré : il est immunisé .

Graphes probabilistes, modèle S.I.R.

Ces états sont temporaires, l’individu peut changer d’état. Supposons que son état puisse changer tous les trois mois selon les probabilités :

S’il est immunisé (état R), il peut le rester avec une probabilité de 0,9, ou passer à l’état S avec une probabilité 0,1.

S’il est dans l’état S, il peut le rester avec une probabilité de 0,6, ou passer à l’état I avec une probabilité de 0,3 , ou encore à l’état R avec une probabilité de 0,1 ( par vaccination naturelle, par exemple)

S’il est dans l’état I, il peut le rester avec une probabilité de 0, 05 ou passer à l’état R avec une probabilité de 0,95

Graphes probabilistes – Modèle S.I.R

Exemple de questions :

Si un individu est susceptible aujourd’hui, dans quel état sera-t-il dans trois mois ? Dans 9 mois?

Que peut-on prévoir à long terme pour cet individu ?

Interprétation statistique :

On étudie les états d’une population de 10 millions d’habitants : quel nombre d’individus peut-on prévoir dans chaque état, après une longue période.

Graphes probabilistes, modèle S.I.R

On peut résumer les données à l’aide d’un graphe :

Les branches portent des probabilités conditionnelles

Un peu de vocabulaire

Ce graphe possède trois sommets S, I et R Ces sommets sont reliés par des arcs (arêtes orientées),

certains de ces arcs sont des boucles, ils relient le sommet à lui-même. Au plus un arc relie un sommet à un autre.

Ce graphe est valué: les arcs portent des probabilités conditionnelles:

La somme des probabilités conditionnelles issues d’un sommet vaut 1

Une suite de variables aléatoires, état probabiliste, matrice de transition

Matrice de transition d’un graphe probabiliste

Marche aléatoire sur un triangleSauts de puce

A partir d’une même situation, on travaille selon différents points de vue :

probabilités, suites, graphes, matrices…

Le problème

Une puce saute d’un sommet à un autre d’un triangle de sommets A, B, C.

Les sauts de la puce se font avec certaines probabilités précisées dans chaque énoncé.

Peut-on prévoir la position de la puce après un certain nombre de sauts ?

Quelle activité mathématique pour l’élève ?

Effectuer une simulation avec un tableur  Ecrire un algorithme de simulation Utiliser des probabilités conditionnelles Suites Graphe probabiliste Matrices Résolution de système 

Deux approches

Sauts de puce avec les suites. Dans cette première approche, on n’utilise ni les

graphes, ni les matrices

 Sauts de puce, graphes et matrices. Cette deuxième approche, privilégie l’utilisation d’un

graphe probabiliste et de la matrice de transition associée. On peut mener en parallèle l’usage de la programmation et celui d’un tableur

 

Première approche

Simulation SMG1_sauts de puce_suitesV2.xlsx

Algorithme Utilisation d’un arbre de probabilités Suites et limites

Deuxième approche

Graphe probabiliste associé

Utilisation de matrices colonnes

La matrice de transition est

Deuxième approche

A l’aide du calcul formel

saut_puce_matricesV2.wxm

on obtient les probabilités au bout de 5 sauts, puis de 10 sauts

On peut de même déterminer l’état stable.

Modèle de diffusiond’Ehrenfest

(1880-1933)

Présentation d’un problème méconnu permettant de travailler sur la non convergence vers un état

stable.

La problématique

Relevé par Boltzmann : un système thermodynamique évolue vers un état stable de manière irréversible, mais les équations physiques sont réversibles.

Les époux Ehrenfest (physiciens) ont proposé de considérer deux enceintes A et B de même volume. Le vide est fait dans l’enceinte B puis on fait un trou dans la paroi séparant les deux enceintes.

Modélisation simple:

on dispose de deux urnes A et B ainsi que de N boules numérotées

à intervalles réguliers une boule et une seule choisie au hasard parmi les N change d’urne. On effectue ainsi n tirages

à l’instant initial toutes les boules sont dans l’urne A

Avec les élèves

Étude de l’évolution de l’urne AY- a-t-il stabilisation conformément à l’intuition ?Travail sur Excel, Scilab (ou un autre algorithme illustré en Xcas)

Simulation

Avec les élèvesUn peu de théorie avec 4 boules

Le graphe probabiliste

La matrice de transition

Avec les élèvesUn peu de théorie avec 4 boules

Avec logiciel de calcul formel

Avec les élèvesUn peu de théorie avec 4 boules

Avec logiciel de calcul formel

Calcul de Mn, puis de En, en fonction de n

Avec les élèvesUn peu de théorie avec 4 boules

Avec logiciel de calcul formel

Recherche de l’état stable

Résolution du système M:(a,b,c,d,e) = (a,b,c,d,e) et a+b+c+d+e=1

Solution C’est-à-dire b(4;1/2)

Avec les élèvesUn peu de théorie avec 4 boules

un autre état initial

On peut prendre C’est à dire qu’avant de démarrer le processus on choisit au hasard(uniformément) le nombre initial de boules dans A

Ou bien (a,b,c,d,e) un état initial quelconque (avec a + b + c + d + e = 1)Dans ce cas l’espérance de Xn vaut

Dans tous les cas on a donc

et

Retours à l’état initial

Simulation avec 1000 boules et 10 000 lancers

Retours à l’état initial

Estimer le temps moyen de retour à l’état initial (toutes les boules dans l’urne A) en fonction du nombre de boulesEhrenfest4RetoursEtatInitial.xws Simulation :

en abscisse : le nombre de boules, en ordonnée : le nombre moyen de tirages entre deux retours à l’état initial

Quelques résultats

Calcul de pertinence d’une page Web

Présentation rapide d’un problème dont la formulation intrigue

Le problème

Comment s’y prendre pour choisir un ordre d’affichage, de façon à présenter en premier les pages les plus pertinentes ?

Un modèle réduit : supposons que quatre pages contiennent les mots clés de la recherche

On affine

Matrice de transition

Le calcul de pertinence est donné par l’état stable :

Exemple de problème posé en classe

Ceci peut illustrer la phrase du programme

« Marche aléatoire sur un tétraèdre ou sur un graphe à N sommets avec saut direct possible d’un sommet à un autre : à chaque instant, le mobile peut suivre les arêtes du graphe probabiliste ou aller directement sur n’importe quel sommet avec une probabilité constante p»

Documentation fournie pour quelques autres problèmes non développés pendant l’atelier

Nombres de CarmichaelModèle proie-prédateur : discret et continuPlus court chemin dans un graphe Implémentation concrète de l’algorithme de Dijkstra,

traduction dans un langage de programmation

D’autres ressources seront disponibles sur le site Planète maths de l’académie de Grenoble courant 2011