Interférences Chapitre V : Interféromètre de Michelson 1 ...sertella.free.fr/cours_psi_physique/optique/optique chapitre 05.pdfO1 O2 /4 E É R T EN I1 S2 K2 K1 J2) S ( e èr i m

Spéciale PSI - Cours "Optique ondulatoire" 1

Interférences

Chapitre V : Interféromètre de MichelsonObjectif :

• Etude de l’interféromètre de Michelson.

• Mise en œuvre expérimentale.

1. L’interféromètre théorique de Michelson : réduction à une lame d’air

1.1. Description

L’interféromètre théorique de Michelson est représenté sur la figure 1 ci-dessous :

A

S1

(SP)

(M1)

(M'1)

(M2)

I2

I'1

J1

O

(e1)

(e2)

X

Y

O1

O2

π/4

ENTRÉE

I1

S2

K2

K1

J2

Source de lumière (S)

SORTIE

Figure 1

• MiroirsUn interféromètre de Michelson est constitué de deux surfaces planes parfaitement réfléchissantes (M1) et (M2) grossière-ment perpendiculaires ; l’angle dièdre qu’elles forment vaut π/2+α avec α de l’ordre de quelques minutes d’angle. Onles baptisera miroirs (M1) et (M2).Dans un trièdre OXYZ : (M1) coupe l’axe des X en O1, du côté des X positifs.(M2) coupe celui des Y en O2, du côté des Y positifs.On note OO1 = X1 ≥ 0 et OO2 = Y2 ≥ 0.OO1 et OO2 sont usuellement appelés les bras de l’interféromètre.La différence e12 = X1 − Y2 est donc positive, négative ou nulle : elle est algébrique.(M1) est grossièrement perpendiculaire à OX en O1 (à quelques minutes d’angle près).De même (M2) est grossièrement perpendiculaire à OY en O2 (à quelques minutes d’angle près).

• SéparatriceUne surface plane d’équation X = Y joue un rôle réfléchissant (selon les lois de Descartes) et transparent.On l’appelle surface semi-transparente ou semi-réfléchissante : un faisceau lumineux peut donc s’y réfléchir et latraverser, se coupant en deux. Pour cette raison on la dénomme aussi surface séparatrice (sous-entendu des faisceauxlumineux). On la note (SP ) sur les schémas.

Le tout baigne dans l’air d’indice de réfraction pris égal à 1.La région X < 0 est appelée entrée de l’interféromètre et la région Y < 0 la sortie.

Optique ondulatoire. Chapitre V : Interféromètre de Michelson 2

1.2. Visite guidée de l’appareil réel

Voir annexe pour la photographie.Le figure 2 ci-dessous fournit une vue de dessus de l’appareil.

Miroir "chariotable"

Séparatrice

Compensatrice

Miroir "fixe"(6)

(1)

(2)(3)

(4) (5)

Verre anticalorique

(7)

Y

O

(M1)

(M2)

SORTIE

ENTRÉE

X

(C)

(SP)

(VA)

Figure 2

On distingue principalement dans un Michelson réel :

• Trois lames de verre : le verre anticalorique (V A), la séparatrice (SP ) et la compensatrice (C).

• Deux miroirs (M1) et (M2).

• Les différentes vis de réglage de l’interféromètre, numérotées de (1) à (7).

Deux directions sont référencées :

• Une direction de droite, celle de translation rectiligne du miroir (M1), dite direction de chariotage, notée OX.

• Une direction de plan, celle de la séparatrice, d’équation X = Y , inclinée à 45◦ sur la direction de chariotage.

Détail des différentes vis de réglage :

• Les vis de rotation rapide (1) et (2).

• Les vis de rotation lente (4) et (5), les languettes correspondantes.

• La vis (3), de chariotage de (M1) en translation rectiligne le long de la direction de référence OX.

• Les vis de réglage en rotation de la compensatrice (6) et (7).

1.3. Rôle de la compensatrice

La lame séparatrice est un verre, à faces parallèles, dont une des deux faces est traitée pour être semi réfléchissante.Un rayon qui suit la voie 1, donc qui se réfléchit sur le miroir M1 traverse trois fois la séparatrice.Un rayon qui suit la voie 2, donc qui se réfléchit sur le miroir M2 ne traverse qu’une fois la séparatrice.Cette dissymétrie entre deux voies compliquerait les calculs, et introduirait des difficultés d’ordre expérimental.En plaçant une lame du même verre, de même épaisseur, parallèlement à la séparatrice, on compense cette dissymétrie :cette lame s’appelle la compensatrice.Sur chaque voie, les faisceaux traversent maintenant quatre fois l’épaisseur e du même verre, d’où une compensation desdifférences de marche supplémentaires dans le verre sur les deux trajets. En général, cette compensation n’est pas parfaitepuisque les épaisseurs traversées dépendent de l’incidence des rayons, mais elle s’avère suffisante expérimentalement. Lacompensation n’est parfaite que si l’interféromètre est réglé en lame d’air à faces parallèles et si les interférences sont observéesà l’infini.


1.4. Fabrication

Pour approcher le modèle de l’interféromètre idéal, il faut satisfaire des conditions optiques draconiennes :

• Les miroirs, la séparatrice et la compensatrice ne doivent pas déformer les surfaces d’ondes. Cela impose une planéitéet un polissage très précis, avec une tolérance qui est de l’ordre de 10nm.

• La compensation doit être de bonne qualité, ce qui dépend du parallélisme de la compensatrice et de la séparatrice. Ilfaudra donc régler ce parallélisme très précisément.

Les interférences mettent en évidence des déplacements inférieurs à la longueur d’onde, d’où des impératifs mécaniques :

• Il faut éviter toute vibration intempestive qui risquerait de détruire les interférences.

• Les réglages d’orientation des miroirs doivent être à la fois très sensibles et très stables.

• La translation du miroir M1 doit être très progressive, en gardant une orientation rigoureusement constante.

Le respect d’un tel cahier des charges fait qu’un interféromètre de Michelson, association d’une mécanique et d’une optiquede haute précision, est un objet lourd et coûteux. Il nécessite des manipulations soigneuses et déliées. Il faut parfois des”doigts de fée” pour peaufiner un réglage.

1.5. Équivalence Michelson théorique - lame d’air :

Intéressons nous à la marche de deux rayons lumineux entrant dans l’interféromètre (issus d’un point de l’entrée) et émergeant(par la sortie) après avoir subi une seule réflexion sur (M1) ou (M2).La figure 1 signale la marche du rayon incident primitif issu de S1 , réfléchi sur M1 (avec les points d’impact en transmissionou réflexion sur les miroirs et la séparatrice K1, I1, J1) ainsi que celle du rayon incident issu de S2, réfléchi sur M2 (avec lespoints d’impact K2, I2, J2).Les rayons émergents correspondant sont notés (e1) et (e2).Du point de vue de la marche optique (n’oublions pas que l’on va s’intéresser à des phénomènes d’interférence et donc à desdifférences de marche optique entre les émergents (e1) et (e2)), la figure 1 est inchangée si l’on replie la portion K1I1J1+(M1)vers le haut autour de (SP ).Le pliage autour d’une droite ∆ simule la symétrie par rapport à cette droite : qui n’a pas dans son enfance taché d’encreune feuille de papier et ne l’a plié en deux pour obtenir de superbes papillons parfaitement symétriques !On constate que (M1) se replie en (M ′

1) symétrique de M1 par rapport à (SP ), que I1 se replie en I ′1 intersection de (M′1) et

du symétrique de K1I1 par rapport à la séparatrice (SP ). On notera que pour des raisons de symétrie liées à la réflexion deDescartes sur la séparatrice (SP ), I1J1 se replie sur I ′1J1 dans le prolongement amont de (e1). On peut aussi replier S1K1et S2K2 (dans le prolongement de K1I ′1 et de K2I2) sans changer les marches optiques.La figure 3 ci-dessous est donc équivalente à la figure 1 pour ce qui concerne les marches optiques des rayons émergents (e1)et (e2).

A

S1

(M'1)

(M2)

I2

I'1

(e1)

(e2)

X

Y

S2

Source de lumière (S)

α

Figure 3

On constate alors sur la figure 3 que le Michelson théorique est équivalent à ce qu’on appelle une lame d’air constituéedes deux plans théoriques (M ′

1) et (M2) se coupant éventuellement à distance finie suivant la droite ou arête (A) en formant


l’angle dièdre α.La séparatrice a disparu de la construction équivalente.Par la suite nous raisonnerons toujours sur ce schéma équivalent.

1.6. Différents modes de fonctionnement

On distingue trois cas différents :

• Coin d’air :L’angle dièdre α et e12 sont ”faibles”.On parle de Michelson théorique monté en coin d’air d’arête (A).

• Lame d’air à faces parallèles :L’angle dièdre α est nul et e12 est différent de 0, quoique ”faible”.On parle de Michelson monté en lame d’air à faces parallèles. L’épaisseur de la lame d’air correspondante est notée e.Rigoureusement, e est légèrement différent de e12, sauf si (M ′

1) et (M2) sont tous deux perpendiculaires à OY .

• Contact optique :Si (M ′

1) et (M2) coïncident, on dit qu’il y a contact optique entre les deux miroirs du Michelson. Dans ces conditionsα = 0 et e12 = e = 0.

2. L’interféromètre théorique de Michelson : interférence à deux ondes

2.1. Éclairage par une source ponctuelle

On éclaire la lame équivalente au Michelson théorique par une source de lumière quasi ponctuelle S (voir figure 4).

A

S

(M'1)

(M2)

(e1)(e2)

X

Y

Source ponctuelle de lumière (S)

α

S2

S'1

M

Point du champ d'interférenceSORTIE

I2

I'1

Figure 4

Un point M à la sortie de l’interféromètre peut être atteint par deux émergents de type (e1) et (e2) définis plus haut,issus de S.Celui réfléchi sur (M ′

1) venant de S émerge de (M′1) en passant nécessairement par S

′1 image de S à travers (M

′1).

Celui réfléchi sur (M2) venant de S émerge de (M2) en passant nécessairement par S2 image de S à travers (M2).Il n’y a donc que deux émergents de type (e1) et (e2) issus de S aboutissant en M .Dans ces conditions il s’agit bien d’interférence à deux ondes réglée par la valeur de la différence de marche δ2/1(M) en M ,par raison de symétrie (voir figure 4).

δ2/1(M) = SI2M − SI ′1M = S2M − S′1M


On retrouve alors le phénomène d’interférence à deux ondes classique, rappelons les résultats essentiels :Le système des franges d’interférences n’est pas localisé. Il est constitué d’une famille d’hyperboloïdes de révolutionautour de l’axe S′1S2 :

S2

S’1

• Sur un écran perpendiculaire à l’axe des sources secondaires S′1S2, on observe un ensemble fini dénombrable d’anneauxconcentriques axés sur S′1S2 dont le contraste variera très peu quand on déplacera l’écran perpendiculairement à l’axede révolution S′1S2.

• Sur un écran parallèle à l’axe des sources secondaires S′1S2 et distant de D on observe les franges ”rectilignes”d’interfrange i = λ0D/a: avec a = S′1S2.

2.2. Éclairage par une source monochromatique étendue spatialement

L’utilisation d’une source ponctuelle permet l’observation d’un système de franges d’interférence non localisées. Mais cettenon localisation se paie au prix d’une luminosité faible (un seul quasi point source !).On a ici encore un exemple du fameux compromis entre luminosité et contraste.L’idée prévaut alors d’étendre spatialement la source de lumière, pour augmenter l’éclairement.

A

S

(M'1)

(M2)

(e1)(e2)

Point moyen de la source de lumière

α

M

Point du champ d'interférenceSORTIE

I2

I'1

J'1

J2

S Point voisin de S

(f1)

(f2)

m

vm

Sm

S'v1

S'm1

Sv22Figure 5

Raisonnons donc sur une source étendue spatialement à l’ordre 1 autour d’un point moyen Sm (on entend par cettephrase un peu vague mais qui évite de longues circonlocutions mathématiques que les paramètres géométriques qui traduisentl’éloignement du point courant de la source au point moyen sont considérés comme infiniment petits équivalents d’ordre 1).Considérons donc deux points de la source étendue, Sm le point moyen et Sv un point voisin à l’ordre 1 (voir figure 5).On note (e1) et (e2) les rayons interférant en M issus de Sm et (f1) et (f2) ceux interférant en M issus de Sv.Les différences de marche correspondantes sont :

δ(Sm, e2/e1,M) = SmI2M − SmI ′1M ; δ(Sv, f2/f1,M) = SvJ2M − SvJ ′1M


Sm et Sv étant incohérents entre eux, les éclairements lumineux correspondant en M s’ajoutent.Pour ne pas perdre de contraste, il faudrait que cette addition corresponde à une coïncidence. Il faudrait en d’autres termesque δ(Sm, e2/e1,M) = δ(Sv, f2/f1,M) modulo λ (la longueur d’onde de la source).Ceci peut être singulièrement vrai pour des voisins Sv particuliers, mais ne l’est pas généralement pour tout Sv voisin àl’ordre 1 de Sm.Le théorème de localisation va préciser les conditions de bonne conservation du contraste.

2.3. Théorème de localisation

2.3.1. Position du problème

Le théorème de localisation répond à l’interrogation suivante : comment faire chuter le moins possible le contraste d’unsystème de franges d’interférence lorsqu’on augmente sa luminosité en étendant la source de lumière de façon spatiale, surune surface autour d’un point moyen Sm ?

2.3.2. Démonstration (hors programme)

Calculons ∆δ qui représente la variation de chemin optique (SM) quand le point S se déplace de Sm en Sv :

∆δ = δ(Sv, f2/f1,M)− δ(Sm, e2/e1,M) = (SvI2M − SvI ′1M)− (SmI2M − SmI ′1M)En vertu des lois de Descartes relative à la réflexion et donc par symétrie :

∆δ = Sv2M − S′v1M − (Sm2M − S′m1M) = Sv2M − Sm2M − (S′v1M − S′m1M)Or de façon très générale, à l’ordre 1 :

d(AB) = d(−−→AB.�uAB) = d(

−−→AB).�uAB +

−−→AB.d(�uAB) =

(d�B − d �A

).�uAB +AB�uAB .d(�uAB)

Mais (�uAB)2 = 1 de sorte que par différentiation �uAB .d(�uAB) = 0 et finalement :

d(AB) =(d�B − d �A

).�uAB =

(d�B − d �A

).

−−→AB

AB

Dans le cas qui nous occupe le point Sm se déplaçant élémentairement en Sv (les symétriques par rapport à M ′1 et M2 sont

également voisins à l’ordre 1) et :

∆δ = −−−−−−→Sm2Sv2.

−−−−→Sm2M

Sm2M+−−−−−→S′m1S

′v1.

−−−−→S′m1M

S′m1M

Le produit scalaire étant un scalaire invariant par symétrie, on en déduit :

∆δ = −−−−→SmSv.�u2 +−−−→SmSv.�u1 = (�u1 − �u2) .

−−−→SmSv

avec �u1 et �u2 vecteurs unitaires portés par les deux incidents primitifs issus du point moyen de la source.On constate donc qu’il suffit que �u1 = �u2 pour que la chute de contraste mesurée en quelque sorte par la variation de différencede marche ∆δ ne dépende qu’à l’ordre 2 de l’élargissement spatial de la source

−−−→SmSv. Dans ces conditions le contraste ”chute

le moins possible” (par élargissement spatial de la source lumineuse). Mais de ce fait le point M de l’espace est soumis à lacondition suivante :

2.3.3. Enoncé du théorème de localisation

Avec une source étendue spatialement, les franges ne sont observables que sur une surface qu’on appelle lasurface de localisation des franges d’interférence.Cette surface se trouve définie comme étant l’ensemble des pointsM intersection de deux rayons ”émergents”(après réflexion sur M ′

1 et M2) issus du même rayon ”incident” (Sm, �u1) = (Sm, �u2), provenant du point moyenSm de la source étendue.Remarques :1) Usuellement, avec le Michelson, c’est cette condition suffisante qui est utilisée, dite de division d’amplitude. Les deux

rayons interférant finalement en M ont une partie commune, (Sm, �u1) = (Sm, �u2), jusqu’en I ′1 = I2 ; ce n’est qu’au delà dela séparatrice que l’amplitude du rayon incident primitif se divise.2) Le Michelson est différent des dispositifs interférentiels du type miroirs de Fresnel, bilentilles de Billet, trous d’Young

etc.. qui opèrent par division du front d’onde (les deux trajets sont différents dès la source primitive).3) La condition vue plus haut �u1 = �u2 n’est que suffisante, non nécessaire. On peut aussi pour minimiser ∆δ imposer que

�u1 − �u2 soit perpendiculaire à−−−→SmSv : cette autre condition suffisante est mise en œuvre en pratique par utilisation de fente

source centrée sur Sm dont la direction est perpendiculaire au plan défini par �u1 et �u2.


2.4. Conditions d’éclairage et d’observation avec une source étendue spatialement

2.4.1. Michelson réglé en coin d’air

• Le point moyen de la source Sm est à l’infini dans une direction perpendiculaire à l’un des miroirs, ici le miroir M1, enpratique au foyer objet d’une lentille convergente dont l’axe coïncide avec Ox.Les franges sont alors localisées sur l’autre miroir, ici le miroir M2, on dit usuellement qu’elles sont localisées sur lecoin. Elles sont rectilignes, d’égale épaisseur. Leur direction signale la direction de l’arête du coin diédrique.Nous avons montré que localement, à la distance x de l’arête du coin d’air, la différence de marche géométrique sousincidence normale vaut δgeo ≈ 2e = 2αx.Ici les deux voix sont parfaitement symétriques, il n’y a pas, contrairement à un coin d’air enfermé entre deux lamesde verre, de différence de marche supplémentaire et donc la différence de marche optique s’identifie à la différence demarche géométrique :

δ = δgeo = 2e = 2αx

L’intensité lumineuse est alors :

I = 2I0 [1 + cosϕ] = 2I0[1 + cos

(4παxλ0

)]

Et l’interfrange en lumière monochromatique s’exprime en fonction de l’angle dièdre α :

i = λ2α

• Observation des frangesLa localisation des franges sur le miroir M2 conduit :

— soit à une observation directe, l’œil devant accommoder sur le plan du miroir M2,

— soit à une projection sur un écran, il faut alors faire l’image du miroir M2 (l’image du coin) surl’écran avec une lentille convergente qui va conjuguer le plan du miroir M2 et le plan de l’écran.

• Contraste des frangesLes franges ne sont visibles avec un bon contraste que dans les zones où δ(M) = 2e = 2αx n’excède pas la longueur destrains d’onde émis par la source. On exige donc :

δ ≤ !c avec !c = cτ c et τc∆ν = 1

Cela confine les franges au voisinage de l’arête du coin d’air.

Remarquons enfin que si l’on veut voir les franges à l’œil nu, en lumière jaune λ = 0, 6µm par exemple, il faut raisonnable-ment que l’interfrange soit supérieur à quelques dixièmes de millimètres ce qui limite l’angle α à quelques minutes d’angle.

2.4.2. Michelson réglé en lame d’air à faces parallèles

• Le point moyen de la source Sm est à distance fini.Les franges sont alors localisées dans le plan de l’infini. Elles sont circulaires (anneaux), concentriques, d’égale inclinai-son.Nous avons montré que la différence de marche géométrique dans une lame à faces parallèles vaut δgeo = 2ne cos r.Ici, il s’agit d’une lame d’air et les angles d’incidence et de réfraction dans la lame sont identiques. A nouveau, etcontrairement à une lame de verre placée dans l’air, il n’y a pas de différence de marche supplémentaire et donc ladifférence de marche optique s’identifie à la différence de marche géométrique :

δ = δgeo = 2e cos i

L’intensité lumineuse dans la direction faisant l’angle i avec l’axe Oy est donc :

I = 2I0 [1 + cosϕ] = 2I0[1 + cos

(4πe cos iλ0

)]

• Observation des frangesDe nouveau, cette localisation des franges dicte les conditions d’observation :

— soit directement sur un écran lointain à quelques mètres, faisant office de plan à l’infini,

— soit en ramenant le plan de l’infini à distance finie, dans le plan focal image d’une lentille conver-gente.


• Description des anneaux dans le plan focal de la lentille de projection

(M2)

(M’1)

Mρ

i

i

S

f

F

C

e

En se limitant à des angles i faibles, ce qui est licite si la lentille travaille dans les conditions de Gauss :

cos i ≈ 1− i2

2et ρ = f tan i ≈ f i

I = 2I0 [1 + cosϕ] = 2I0

[1 + cos

(4πne

λ0

(1− ρ2

2f2

))]

En introduisant l’ordre d’interférence p,

p =δ

λ0=2e

λ0

(1− ρ2

2f2

)

et en remarquant que 2e représente la différence de marche δ0 > 0 dans la direction S′1S2, donc au foyer image F′ de

la lentille de projection où se trouve le centre des anneaux, on peut écrire :

p =δ

λ0=δ0λ0

(1− ρ2

2f2

)= p0

(1− ρ2

2f2

)> 0

expression dans laquelle p0 > 0 désigne l’ordre d’interférence au centre de la figure d’interférence.Le rayon ρp de la frange d’ordre p vaut :

ρp = f√2

√p0 − pp0

Les franges lumineuses sont toujours obtenues quand le déphasage est un multiple entier de 2π, ϕ = p(2π) c’est à direquand p = δ

λ0∈ N .

En supposant que le centre de la figure est lumineux, c’est à dire que p0 est entier, le K eme anneau lumineux à compterdu centre est d’ordre p tel que :

p = p0 −K

Et donc le rayon de ce K eme anneau lumineux à compter du centre est donné par :

ρp = f

√2

p0

√p0 − p = f

√2

p0

√K

Les anneaux se resserrent donc à mesure que l’on s’éloigne du centre de la figure.

3. Applications

Michelson mit au point son interféromètre (1907) pour mettre en évidence de très faible variation de chemin optique, cequi permit d’établir expérimentalement l’invariance de la vitesse de la lumière dans le vide. Actuellement, l’observatoireFranco-Italien Virgo tente de détecter l’existence prévue par Einstein d’ondes gravitationnelles à l’aide d’un interféromètrede type Michelson dont les bras ont une longueur de 3 km.


3.1. En franges d’égale épaisseur : contrôle de surface

Un défaut local de planéité d’un des deux miroirs de h se traduit par une variation du chemin optique de 2h.En supposant que h soit égal à un quart de longueur d’onde, la variation de chemin optique correspondante vaut donc λ/2et remplace donc localement une frange lumineuse par une frange sombre.En admettant que l’on puisse ainsi détecter un décalage d’un dixième de frange, des défauts de surface de λ/20 soit de0, 02µm peuvent être repérés.

3.2. En frange d’égale inclinaison : mesure d’un écart de longueur d’onde

3.2.1. Expérience

La lumière émise par les lampes à vapeur de sodium est essentiellement constituée d’une radiation jaune.Si l’on réalise des anneaux localisés à l’infini avec un interféromètre de Michelson éclairé par une lampe à sodium on constateque lorsque l’on translate le miroir mobile, à partir de la différence de marche nulle, donc à partir de la teinte plate lesanneaux se resserrent comme prévu mais simultanément le contraste diminue jusqu’à une disparition des anneaux.Si l’on poursuit le déplacement du miroir dans le même sens, les anneaux apparaissent à nouveau avec un bon contraste. Sil’interféromètre est correctement réglé, on peut mettre ainsi en évidence plusieurs annulations successives du contraste.Une cellule photoélectrique placée an centre du système d’anneaux permet de faire des mesures quantitatives.L’interférogramme, c’est-à-dire l’enregistrement de I(δ) a l’allure représenté ci-dessous. Pour des raisons de clarté, nousavons réduit sur cette simulation le rapport entre la fréquence de la sinusoïde de faible période et celle de la modulation enamplitude. On compte, en fait, un peu moins de 1000 franges entre deux disparitions des franges.

3.2.2. Interprétation

Supposons le Michelson éclairé par la lumière jaune d’une lampe à vapeur de sodium. Cette lumière est constituée de deuxradiations de longueurs d’onde très voisines et de même intensité.

σ1 = σ0 +∆σ

2; σ2 = σ0 −

∆σ

2

Ces deux radiations étant incohérentes, l’intensité totale au point M où la différence de marche est δ vaut :

I(δ) = I1(δ) + I2(δ) = 2I0 [1 + cos (2πσ1δ)] + 2I0 [1 + cos (2πσ2δ)]

⇒ I(δ) = 2I0 [1 + cos (π∆σδ) cos (2πσ0δ)]

L’interférogramme est donc identique à celui d’une radiation monochromatique de nombre d’onde σ0 :

I(δ) = 4I0 [1 + V (∆σ) cos (2πσ0δ)]

modulé par un contraste V (∆σ) à variation lente :

V (∆σ) = cos (π∆σδ)

L’écart, compté en chemin optique, entre deux franges lumineuses est :

∆δ1 = 1/σ0

Les franges sombres sont noires et le contraste est maximal lorsque V (δ) = 1.L’éclairement est uniforme et le contraste est nul lorsque V (δ) = 0.Entre deux annulations successives du contraste, π∆σδ varie de π et donc la différence de marche varie de 1/∆σ. L’écart,compté en chemin optique, entre deux annulations successives du contraste est donc :

∆δ2 = 1/∆σ

Le nombre N de franges entre deux annulations du contraste vaut donc :

N = ∆δ2/∆δ1 = σ0/∆σ

Expérimentalement on compte N = 982. Si λ1 = 589, 0nm, on en déduit λ2 = 2N+12N−1λ1 = 589, 6 nm.


I

δ

1 /∆ σ

1 / σ 0

On appelle battements, ce type de modulation créée par la somme de deux fonctions sinusoïdales de fréquences voisines.Elles sont alternativement :

• en phase (les deux systèmes d’interférence sont en coïncidence) et l’intensité est maximale,

• en opposition de phase (les deux systèmes d’interférence sont en anticoïncidence) et l’intensité s’annule.

Le modèle du doublet fournit donc un interférogramme proche de celui qui est obtenu expérimentalement.

4. Exemple de mise en œuvre expérimentale

4.1. Reglage géomètrique de l’interféromètre de Michelson

On réalise le montage de la figure ci-dessous :


Séparatrice

Compensatrice

Miroir "fixe"(6)

(1)

(2)(3)

(4) (5)

Verre anticalorique

(7)

Y

O

(M1)

(M2)

SORTIE

ENTRÉE

X

(C)

(SP)

(VA)

(L1 )Source Hg

Focale 10 cm

Focale 20 cm

Écran de projection dans le plan focal de L

(L2 )

2

4.1.1. Éclairage

On utilise comme source une lampe à vapeur de mercure équipée d’un diaphragme circulaire de faible diamètre (T ) (quasi-ponctuel). Ce dernier sera mis au foyer objet d’une lentille (L1) de focale image f ′1 = 10 cm par autocollimation sur lesmiroirs du Michelson.Le Michelson est donc éclairé en lumière quasi-parallèle (source centrée sur un point à l’infini dans une direction perpendic-ulaire à l’un des miroirs).En interceptant le faisceau issu de la lentille à l’aide d’une feuille de papier, on s’assurera que le faisceau est bien parallèle etéclaire la totalité de la surface des miroirs.


4.1.2. Projection

On reprend le faisceau sortant du Michelson par une lentille (L2) de focale image f ′2 = 20 cm pour former les images du trousource (T ) à travers le Michelson sur l’écran (E), lequel doit donc coïncider avec le plan focal image de (L2).Remarque : cette obsevation peut se faire également à l’œil à travers le Michelson.

4.1.3. Première observation

On voit alors sur (E) au moins quatre points image plus lumineux que d’autres, provenant des diverses transmissions etréflexions sur (C), (S), (M1), (M2).On les baptise naturellement CM1, CM2, SM1, SM2 du nom des lames ou miroirs sur lesquels la lumière se réfléchit.

4.1.4. Réglage de la compensatrice

Agir sur la vis 7 (rotation de (C) autour d’un axe ∆ horizontal) puis sur la vis 6 (rotation de (C) autour de l’axe des Z) defaçon a n’avoir plus que deux images SCM1 et SCM2. Les compensatrice et séparatrice devenues parallèles fournissent lesmêmes directions de réflexion. Il y a confusion à la ”4− 2”.On signale ici la nécessité de la compensatrice (émergents traversant les mêmes épaisseurs de lame, pour une ”bonne”interférence).(égalisation des chemins optiques).Remarque : sur certains interféromètres il est possible d’effectuer ce réglage en éclairant directement l’ensemble séparatrice

- compensatrice sans passer par les miroirs. Cette méthode évite les images parasites dues aux réflexions sur (M1) et (M2).

4.1.5. Réglage de (M ′1) pour le rendre parallèle à (M2)

Les vis de rotation lente (4) et (5) étant réglées à mi-course environ, (M2) à peu près perpendiculaire à (M1), agir sur les visde rotation (1) et (2) de manière à superposer les deux images précédentes pour n’obtenir finalement plus qu’une image bienlumineuse. On peut procéder soit par projection sur un écran soit par observation directeà l’œil nu.


Du coup (M ′1) a une direction de plan symétrique de celle de (M2) par rapport à la direction maintenant commune de la

séparatrice et de la compensatrice.Remarque : dans le cas du choix lampe Na, on peut affiner ce réglage en jouant sur (1) et (2), jusqu’à ce que l’on observe

des franges dans l’image commune.

4.1.6. Résumé du réglage géométrique à ce stade

Autant qu’on puisse apprécier à l’œil nu qu’on a une seule image après le réglage du § 4.1.5., on peut déclarer que (C) et(SP ) sont quasi-parallèles et que (M ′

1) et (M2) sont quasi parallèles.Ils forment en fait (on ne peut s’en rendre compte à l’oeil nu ) entre eux des angles faibles (de l’ordre de la minute d’angle),ce qui va être confirmé par les expériences ultérieures.

4.2. Obtention des franges du coin d’air avec la lampe à vapeur de mercure

4.2.1. Schéma général du montage (les angles sont exagérés)

Miroir "chariotable"Séparatrice

Compensatrice

Miroir "fixe"

Verre anticalorique

Y

O

(M2)

SORTIE

ENTRÉE

X

(C)

(SP)

(VA)

(L1 )

Source Hg

Focale 10 cm

Focale 20 cm

Écran de projection à 1,50 m environ de L

(L2 )

2

(FJ)

(FJ) Filtre Jaune

(M1)


4.2.2. Eclairage

On ne fait qu’élargir le diaphragme utilisé précédemment, sans toucher ni à la lampe à vapeur de mercure, ni à la lentille(L1). On met le filtre jaune pour sélectionner une bande de longueur d’onde assez étroite et avoir ainsi une assez bonnecohérence temporelle.L’appareil est éclairé par une source cohérente, large à l’infini, centrée sur un point moyen à l’infini dans une directionperpendiculaire à l’un des miroirs. On est dans les conditions d’éclairage du coin d’air.

4.2.3. Projection

Les franges ”d’égale épaisseur” sont localisées au voisinage des miroirs. La lentille (L2), permet de réaliser l’image du coinsur l’écran (E) à environ 1, 50m−2m environ du Michelson. On a ainsi la projection de la surface de localisation des frangesd’égale épaisseur du coin d’air.


Si on a un peu de chance ,on voit tout de suite apparaître des franges rectilignes, sinon on retouche à la vis de chariotage (3)pour que les franges rentrent dans le champ de vision et soient bien contrastées. En effet une translation de l’un des miroirsramène l’arête du coin d’air diédrique dans le champ de vision, car pour des raisons de cohérence temporelle, les franges ducoin d’air sont localisées au voisinage de l’arête, laquelle doit être dans le champ de vision.

4.2.5. Étude des franges et mesure de l’angle α du coin d’air

En jouant sur les vis de rotation rapide (1) et (2) ou lente (4) et (5) on fait varier α pour qu’il y ait une dizaine de frangesbien contrastées, dans le champ. On peut alors mesurer l’interfrange (i′) du système de franges sur l’écran de projection. Onpeut en déduire une estimation de l’angle α du coin d’air.

4.2.6. Recherche de α = 0 pour approcher la lame d’air à faces parallèles

Après avoir enlevé le filtre jaune, on joue sur les vis de rotation rapide des miroirs pour élargir l’interfrange (on ne doit voirqu’une ou deux franges irisées). On achève finement avec les vis de rotation lente pour n’avoir sur l’image qu’une teinte nonmodulée spatialement de même couleur que la source, la teinte plate (autant que faire se peut).

4.3. Obtention des anneaux à l’infini de la lame d’air a faces paralleles avec la lampe à vapeurde Hg

4.3.1. Schéma général du montage


Miroir "fixe"(6)

(1)

(2)(3)

(4) (5)

Verre anticalorique

(7)

Y

O

(M1)

(M2)

SORTIE

ENTRÉE

X

(C)

(SP)

(VA)

(L1 )Source Hg

Focale 10 cm

Focale 20 cm

Écran de projection dans le plan focal de L

(L2 )

2

60 cm


4.3.2. Éclairage

On opère en lumière convergente (source large avec point moyen à distance finie) avec la lampe à vapeur de mercure nondiaphragmée, pour avoir des rayons incidents d’inclinaison variable.Pour cela on recule la lampe à 60 cm (diaphragme enlevé) environ de la lentille (L1), cette dernière restant fixe : le faisceauconverge vers (M1) à peu de chose près.

4.3.3. Projection

Les franges sont localisées à l’infini, de sorte qu’on observe les anneaux soit directement à l’infini (en fait sur un grand écranà 2m sans lentille de projection) ou bien dans le plan focal image de (L2).


On doit voir sur l’écran des anneaux colorés concentriques plus ou moins écartés les uns des autres.Les anneaux sont plus serrés sur les bords qu’au centre.

4.3.5. Recherche d’un excellent parallélisme entre séparatrice (Sp) et compensatrice (C1)

On diminue l’épaisseur e de la lame d’air à faces parallèles avec la vis de translation du miroir.Retrouver l’expression de la différence de marche entre deux rayons qui interfèrent sur l’écran.Justifier que :

• les anneaux s’enfoncent dans le centre (le rayon diminue) et ils sont plus écartés les uns des autres quand l’épaisseurde la lame d’air diminue.

• les anneaux se forment à partir du centre (le rayon augmente) et ils sont plus proches les uns des autres quand l’épaisseurde la lame d’air augmente.

Devenant plus gros, les anneaux peuvent être déformés et avoir l’allure d’ellipses à grand axe oblique.Avec les vis de rotation de la compensatrice on redresse le grand axe et on rectifie l’excentricité des ellipses jusqu’à l’annuler.

4.3.6. Mesure d’une longueur d’onde

Le défilement d’un anneau correspond à une translation de λ/2 du miroir (M1).On peut faire défiler un grand nombre d’anneaux sur l’écran en chariotant le miroir (M1) à l’aide du moteur d’entraînementqui tourne très lentement : (sur certains modèles la vitesse est de 1 tour en 15 minutes, soit un déplacement de 0, 5mm).On peut déduire du comptage des anneaux la longueur d’onde λ de la lumière incidente.

Exercice n◦ 01 : Compensation parfaite dans le cas d’une observation à l’infiniMontrer que la compensatrice réalise une compensation parfaite, si l’interféromètre de Michelson est réglé en lame d’air à faces

parallèles et si les interférences sont observées à l’infini.

Exercice n◦ 02 : Interféromètre de Michelson : anneaux d’égale inclinaison

Un interférmètre de Michelson est constitué :· d’une source S placée au foyer d’un collimateur (L) ;· de deux miroirs plans M1 et M2 dont les plans sont initialement orthogonaux, avec IO1 = IO2· d’une lame séparatrice Σ, inclinée à 45◦ du faisceau incident (les inconvénients dus à l’épaisseur de la séparatrice sont compensés

par une compensatrice C de même épaisseur ; on ne se préoccupera donc pas de l’épaisseur du système Σ+C) ;· d’un objectif d’observation (L′) assimilé à une lentille convergente de distance focale f ′ = 1m.


On déplace le miroir M1 parallèlement à lui-même de la quantité d, soit IO1 = IO2 + d ; on observe les franges sur l’écran (E)disposé dans le plan focal image de L′.

A) La source S est monochromatique de longueur d’onde λ = 508, 6 nm (raie verte du cadmium) ; on donne d = 7629µm.1) Exprimer l’ordre d’interférence p (x) au pointM (OM = x) de l’écran (E) ; on n’oubliera pas le déphasage supplémentaire

introduit par la séparatrice.2) Quelle est la forme des franges d’interférence ? Déterminer la loi I (x) de l’intensité (on désignera I0 la valeur maximale de

cette intensité).3) Calculer l’ordre l’interférence p0 au centre O ainsi que le rayon des trois premiers anneaux noirs observés sur (E).4) On insère sur le trajet IO1 de la lumière une très mince lame de mica L1 d’indice n = 1, 52 et d’épaisseur ! inconnue,

disposée parallèlement au miroir M1. On observe le défilement de 18 franges sur l’écran (E). Calculer !.B) La source est une lampe à vapeur de sodium qui émet deux radiations monochromatiques de même intensité et de longueurs

d’onde voisines λ1 = 588, 99nm et λ2 = 589, 59 nm. On posera λ = (λ1 + λ2) /2 et ∆λ = λ2 − λ1.5) Montrer que l’intensité vibratoire au centre O peut s’écrire

I = I0

[1− V (d) . cos

(4πd

λ

)]

On explicitera la fonction visibilité V (d).6) On règle la position de M1 jusqu’à observer des anneaux parfaitement visibles ; de quelle quantité ∆d minimale faut-il

translater M1 pour que ces anneaux disparaissent complètement ?

Exercice n◦ 03 : Interféromètre de Michelson : franges d’égale épaisseur (mêmes notations que l’exercice précédent)Les miroirs M1 et M2 étant initialement orthogonaux et tels que IO1 = IO2, on fait tourner M1 d’un petit angle θ autour d’un

axe perpendiculaire au plan de la figure : on observe les franges sur un écran (E) placé dans le plan conjugué deM2 par rapport à L′.

1) La source S est monochromatique (λ = 508, 6 nm) :a) On considère un point P du miroir M2 repéré par l’abscisse X = O2P . Déterminer la forme des franges et exprimer

l’intensité vibratoire en P . Calculer l’interfrange ∆X en fonction de λ et θ.b) On observe sur l’écran : N = 12 franges noires, les extrémités de l’image du miroir correspondant à des maximes d’intensité.

Sachant que le diamètre des miroirs est D = 20mm, calculer l’angle θ (en secondes d’arc).2) On remplace la radiation bleue λ = 508, 6nm par la radiation rouge λ = 643, 8 nm. Combien de franges sombres et brillantes

observe-t-on ?3) La source S est la lampe à vapeur de sodium (source bichromatique). En déplaçant M1 d’un mouvement de translation, les

franges nettes disparaissent puis réapparaissent périodiquement. Combien de franges défilent en un point de l’écran entre une disparitiondes franges et la disparition suivante ?

Documents

Interférences Chapitre V : Interféromètre de Michelson 1 ...sertella.free.fr/cours_psi_physique/optique/optique chapitre 05.pdfO1 O2 /4 E É R T EN I1 S2 K2 K1 J2) S ( e èr i m