Vlastnosti a hlavní my²lenka subdivision s hémat Interpola£ní bodová s hémata Hermitovská subdivision s hémataInterpola£ní subdivision k°ivkyKristýna SlabáKMA, FAV, Z�U7. £ervna 2011

Vlastnosti a hlavní my²lenka subdivision s hémat Interpola£ní bodová s hémata Hermitovská subdivision s hémataObsah1 Vlastnosti a hlavní my²lenka subdivision s hématSubdivision pro esChaikin·v algoritmus2 Interpola£ní bodová s hémataDubu ova varianta £ty°bodového s hématu�ty°bodová interpola£ní metodaModi�ka e £ty°bodového s hématu3 Hermitovská subdivision s hémataMerrienova metodaTrojúhelníkové kruºni ové s hémaNelineární s héma za hovávají í kruºni eNelineární s héma za hovávají í kruºni e - MODIFIKACEPH subdivision s héma

Vlastnosti a hlavní my²lenka subdivision s hémat Interpola£ní bodová s hémata Hermitovská subdivision s hémataSubdivision pro esSubdivision pro esSubdivision (d¥lení) je rekurzivní pro es, který se aplikuje nak°ivky a plo hy.Cílem pro esu je efektivn¥ získat limitní k°ivku, jeº je hladkáa/nebo spl¬uje p°edem danou vlastnost.Dány body, jeº tvo°í po£áte£ní °ídí í sí´ (polygon) → vloºenínový h prvk· (bod·, vektor·, hran, plo h) ⇒ zjemn¥ní sít¥ ∧nová po£áte£ní °ídí í sí´ (polygon).Pouºití - po£íta£ová gra�ka, animátorství, GIS systémy,numeri ké metody (subdivision pro es � numeri ká stabilita,snadná implementovatelnost, efektivní)

Vlastnosti a hlavní my²lenka subdivision s hémat Interpola£ní bodová s hémata Hermitovská subdivision s hémataSubdivision pro esVlastnosti a klasi�ka e metodVlastnosti subdivision metod:efektivnost, tzn. pozi e nového vr holu by m¥la být nalezena smalým po£tem opera í,kompaktní support, tzn. oblast vlivu kaºdého p·vodního boduna výslednou k°ivku by m¥la být malá a kone£ná,lokálnost, tzn. nalezení nového bodu by nem¥lo záviset nap°íli² vzdálený h vr hole h p·vodního polygonu,jednodu host, tzn. samotná pravidla ur£ují í vytvo°ení novéhopolygonu by m¥la být jednodu há a m¥l by ji h být malý po£et,spojitost, tzn. z pravidel pro vloºení nového vr holu (p°íp.vektoru) by m¥lo být moºné dokázat nap°. jakou spojitost málimitní objekt.

Vlastnosti a hlavní my²lenka subdivision s hémat Interpola£ní bodová s hémata Hermitovská subdivision s hémataSubdivision pro esVlastnosti a klasi�ka e metodKategorie metod:bodové vs. hermitovské metodyvstupní data jsou jen body nebo i vektory (te£né, normálové)aproxima£ní vs. interpola£ní metodyvýsledná k°ivka obsahuje/neobsahuje body po£áte£ního°ídí ího polygonusta ionární vs. nesta ionární metodypravidla, která se aplikují na polygon, b¥hem d¥lení jsounem¥nná nebo jsou v n¥který h itera í h d¥lení pouºita jinápravidla neº v ostatní hlineární vs. nelineární metodypro limitní k°ivku po£áte£ního polygonu F = F1 + F2 musíplatit F = F1 + F2

Vlastnosti a hlavní my²lenka subdivision s hémat Interpola£ní bodová s hémata Hermitovská subdivision s hémataSubdivision pro esVlastnosti a klasi�ka e metod

Vlastnosti a hlavní my²lenka subdivision s hémat Interpola£ní bodová s hémata Hermitovská subdivision s hémataChaikin·v algoritmusChaikin·v algoritmusGeorge Chaikin (1974)prin ip metody: �o°ezávání vr hol·�(Namísto p·vodního vr holu jsou nalezeny a vloºeny dva novébody, oº zp·sobí �odst°ihnutí� starého vr holu.)platí samoz°ejm¥ i pro uzav°ené k°ivkylimitní k°ivka je typu C 1

Vlastnosti a hlavní my²lenka subdivision s hémat Interpola£ní bodová s hémata Hermitovská subdivision s hémataChaikin·v algoritmusChaikin·v algoritmusGeorge Chaikin (1974)prin ip metody: �o°ezávání vr hol·�(Namísto p·vodního vr holu jsou nalezeny a vloºeny dva novébody, oº zp·sobí �odst°ihnutí� starého vr holu.)platí samoz°ejm¥ i pro uzav°ené k°ivkylimitní k°ivka je typu C 1

Vlastnosti a hlavní my²lenka subdivision s hémat Interpola£ní bodová s hémata Hermitovská subdivision s hémataChaikin·v algoritmusChaikin·v algoritmusGeorge Chaikin (1974)prin ip metody: �o°ezávání vr hol·�(Namísto p·vodního vr holu jsou nalezeny a vloºeny dva novébody, oº zp·sobí �odst°ihnutí� starého vr holu.)platí samoz°ejm¥ i pro uzav°ené k°ivkylimitní k°ivka je typu C 1

Vlastnosti a hlavní my²lenka subdivision s hémat Interpola£ní bodová s hémata Hermitovská subdivision s hémataDubu ova varianta £ty°bodového s hématuDubu ova varianta £ty°bodového s hématuinterpola£ní metoda pro generování hladký h k°ivek v Rds héma je moºné odvodit v R

2 pomo í Lagrangeova kubi kéhopolynomupro i = 1, 2, . . . , n − 3vk+12i+1 = 916(vki + vki+1)− 116(vki−1 + vki+2), (1)rovni e (1) neplatí pro hodnoty index· i = 0 a i = n − 2vk+11 =116(5vk0 + 15vk1 − 5vk2 + vk3 ),vk+12n−3 =116(5vkn−1 + 15vkn−2 − 5vkn−3 + vkn−4) (2)p°ezna£ení p·vodní h vr hol·vk+12i = vki , i = 0, 1, . . . , n − 1. (3)lze aplikovat i na uzav°ené k°ivky, lineární, sta ionární metoda,limitní k°ivky je typu C 1

Vlastnosti a hlavní my²lenka subdivision s hémat Interpola£ní bodová s hémata Hermitovská subdivision s hémataDubu ova varianta £ty°bodového s hématuDubu ova varianta £ty°bodového s hématu - obrázky otev°enýpolygon

Vlastnosti a hlavní my²lenka subdivision s hémat Interpola£ní bodová s hémata Hermitovská subdivision s hémataDubu ova varianta £ty°bodového s hématuDubu ova varianta £ty°bodového s hématu - obrázky otev°enýpolygon

Vlastnosti a hlavní my²lenka subdivision s hémat Interpola£ní bodová s hémata Hermitovská subdivision s hémataDubu ova varianta £ty°bodového s hématuDubu ova varianta £ty°bodového s hématu - obrázky otev°enýpolygon

Vlastnosti a hlavní my²lenka subdivision s hémat Interpola£ní bodová s hémata Hermitovská subdivision s hémataDubu ova varianta £ty°bodového s hématuDubu ova varianta £ty°bodového s hématu - obrázky uzav°enýpolygon

Vlastnosti a hlavní my²lenka subdivision s hémat Interpola£ní bodová s hémata Hermitovská subdivision s hémataDubu ova varianta £ty°bodového s hématuDubu ova varianta £ty°bodového s hématu - obrázky uzav°enýpolygon

Vlastnosti a hlavní my²lenka subdivision s hémat Interpola£ní bodová s hémata Hermitovská subdivision s hémataDubu ova varianta £ty°bodového s hématuDubu ova varianta £ty°bodového s hématu - obrázky uzav°enýpolygon

Vlastnosti a hlavní my²lenka subdivision s hémat Interpola£ní bodová s hémata Hermitovská subdivision s hémataDubu ova varianta £ty°bodového s hématuDubu ova varianta £ty°bodového s hématu - obrázky prostorová data

Vlastnosti a hlavní my²lenka subdivision s hémat Interpola£ní bodová s hémata Hermitovská subdivision s hémata�ty°bodová interpola£ní metoda�ty°bodová interpola£ní metodazobe n¥ní Dubu ovy metody � p°idání parametru γ, který senazývá parametr nap¥tí a zna£í, jak t¥sn¥ p°iléhá limitní k°ivkak po£áte£nímu polygonu a závisí na n¥m hladkost limitní k°ivkypro i = 1, 2, . . . , n − 3vk+12i+1 = (12 + γ

)

(vki + vki+1)− γ(vki−1 + vki+2) (4)spe iální rovni e pro i = 0 a i = n − 2; p°ezna£ení p·vodní hvr hol·γ = 116 → Dubu ova metoda, |γ| < 14 → limitní k°ivka jespojitá, 0 < γ < 18 → spojitost te£ný h vektor·lineární, sta ionární metoda

Vlastnosti a hlavní my²lenka subdivision s hémat Interpola£ní bodová s hémata Hermitovská subdivision s hémata�ty°bodová interpola£ní metoda�ty°bodová interpola£ní metoda - obrázky pro r·zné γ

Vlastnosti a hlavní my²lenka subdivision s hémat Interpola£ní bodová s hémata Hermitovská subdivision s hémata�ty°bodová interpola£ní metoda�ty°bodová interpola£ní metoda - obrázky prostorová data

Vlastnosti a hlavní my²lenka subdivision s hémat Interpola£ní bodová s hémata Hermitovská subdivision s hémataModi�ka e £ty°bodového s hématuChordálová a entripetální parametriza e£ty°bodového s héma je zaloºeno na uniformní parametriza i,limitní k°ivka p°iléhá ví e v míste h, kde jsou v p·vodnímpolygonu del²í hrany a naopak u krat²í h hran se vzdaluje → hordálová a entripetální parametriza ev kaºdém kroku p°íslu²í vr holu vkj parametr tkj , kdetk0 = 0, tkj+1 = tkj + ‖vkj+1 − vkj ‖α (5)α ur£uje druh parametriza enumeri ké experimenty ukázaly, ºe limitní k°ivka je typu C 1,nelineární, nesta ionární s héma entripetální parametriza e � men²í vzdálenost limitní k°ivkyod po£áte£ního polygonu (neº v p°ípad¥ hordálové auniformní parametriza e)

Vlastnosti a hlavní my²lenka subdivision s hémat Interpola£ní bodová s hémata Hermitovská subdivision s hémataModi�ka e £ty°bodového s hématu�ty°bodové s héma za hovávají í kruºni elimitní k°ivka získaná £ty°bodovým s hématem, m·ºeobsahovat ur£ité deforma e0 50 100 150 200 250

x0.90

0.92

0.94

0.96

0.98

1.00y

motiva e � zaru£ena hladkost pr·b¥hu k°ivosti a s hémaza hovávají í kruºni eur£ení vektoru k°ivosti v kaºdém vr holu (pomo í vztahu propolom¥r st°edu kruºni e opsané △vi−1vivi+1)limitní k°ivka je typu C 1; nelineární, nesta ionární metoda

Vlastnosti a hlavní my²lenka subdivision s hémat Interpola£ní bodová s hémata Hermitovská subdivision s hémataModi�ka e £ty°bodového s hématuModi�ka e - obrázky

Vlastnosti a hlavní my²lenka subdivision s hémat Interpola£ní bodová s hémata Hermitovská subdivision s hémataShrnutíShrnutí bodový h interpola£ní h metodNázev metody Spojitost Linearita Sta ionárnostDubu C 1 2� 2��ty°bodová me-toda C 1 2� 2��ty°bodová me-toda � hordálováparametriza e ∗C 1 4 4�ty°bodová me-toda � entripe-tální parametriza e ∗C 1 4 4�ty°bodovés héma za ho-vávají í kruºni e C 1 4 4

Vlastnosti a hlavní my²lenka subdivision s hémat Interpola£ní bodová s hémata Hermitovská subdivision s hémataShrnutíShrnutí

Vlastnosti a hlavní my²lenka subdivision s hémat Interpola£ní bodová s hémata Hermitovská subdivision s hémataMerrienova metodaMerrienova metodaprvním autor, který se za£al zabývat subdivision k°ivkamispl¬ují ími hermitovské podmínkypo£áte£ní polygon v0i ∈ R2 a p°íslu²né te£né vektory t0i , kdei = 0, 1, . . . , n − 1, vr holu v0i p°i°adíme parametr s0i ,hki = ski+1 − skivk+12i+1 = λ(vki + vki+1) + λ′hki (tki+1 − tki ),tk+12i+1 =

µhki (vki+1 − vki ) + µ′(tki + tki+1),sk+12i+1 = ski +hki2 , (6)p°ezna£ení p·vodní h vr hol· a te£ný h vektor·limitní k°ivka je C 1 (pro ur£ité λ, µ); nelineární a nesta ionárnímetoda

Vlastnosti a hlavní my²lenka subdivision s hémat Interpola£ní bodová s hémata Hermitovská subdivision s hémataMerrienova metodaMerrienova metoda - obrázky otev°ený polygon

Vlastnosti a hlavní my²lenka subdivision s hémat Interpola£ní bodová s hémata Hermitovská subdivision s hémataMerrienova metodaMerrienova metoda - obrázky otev°ený polygon

Vlastnosti a hlavní my²lenka subdivision s hémat Interpola£ní bodová s hémata Hermitovská subdivision s hémataMerrienova metodaMerrienova metoda - obrázky otev°ený polygon

Vlastnosti a hlavní my²lenka subdivision s hémat Interpola£ní bodová s hémata Hermitovská subdivision s hémataMerrienova metodaMerrienova metoda - obrázky uzav°ený polygon

Vlastnosti a hlavní my²lenka subdivision s hémat Interpola£ní bodová s hémata Hermitovská subdivision s hémataMerrienova metodaMerrienova metoda - obrázky uzav°ený polygon

Vlastnosti a hlavní my²lenka subdivision s hémat Interpola£ní bodová s hémata Hermitovská subdivision s hémataMerrienova metodaMerrienova metoda - obrázky uzav°ený polygon

Vlastnosti a hlavní my²lenka subdivision s hémat Interpola£ní bodová s hémata Hermitovská subdivision s hémataTrojúhelníkové kruºni ové s hémaTrojúhelníkové kruºni ové s hémas héma zaloºeno spí²e na geometri kém p°ístupu ke generováník°ivekdány vr holy a p°íslu²né te£né vektorynov¥ vloºený vr hol je st°edem kruºni e vepsané trojúhelníku,jeº je tvo°en spojni í dvou sousední h vr hol· polygonu ap°ímkami ur£enými t¥mito body a p°íslu²nými te£nými vektory,nový te£ný vektor je rovnob¥ºný s hranou p·vodního polygonu

Vlastnosti a hlavní my²lenka subdivision s hémat Interpola£ní bodová s hémata Hermitovská subdivision s hémataTrojúhelníkové kruºni ové s hémaTrojúhelníkové kruºni ové s hémaPSfrag repla ementsvk+12i = vki

tk+12i+1 −tki+1tk+12i = tki vk+12i+1 vk+12i+2 = vki+1tk+12i+2 = tki+1

Vlastnosti a hlavní my²lenka subdivision s hémat Interpola£ní bodová s hémata Hermitovská subdivision s hémataTrojúhelníkové kruºni ové s hémaTrojúhelníkové kruºni ové s hémavloºení nový h vr hol· a te£ný h vektor·vk+12i+1 = vki +sin αki2sin(αki2 +

βki2 )R(

−αki2 )

(vki+1 − vki )tk+12i+1 =vki+1 − vki‖vki+1 − vki ‖ (7)p°ezna£ení p·vodní h vr hol· a te£ný h vektor·klasi�ka e hran: konvexní, in�exní, p°ímá (po£áte£níp°erozd¥lení in�exní h hran na dv¥ konvexní)limitní k°ivky jsou typu G 1, s héma za hovává kruºni e

Vlastnosti a hlavní my²lenka subdivision s hémat Interpola£ní bodová s hémata Hermitovská subdivision s hémataTrojúhelníkové kruºni ové s hémaTrojúhelníkové kruºni ové s héma - obrázky otev°ený polygon

Vlastnosti a hlavní my²lenka subdivision s hémat Interpola£ní bodová s hémata Hermitovská subdivision s hémataTrojúhelníkové kruºni ové s hémaTrojúhelníkové kruºni ové s héma - obrázky otev°ený polygon

Vlastnosti a hlavní my²lenka subdivision s hémat Interpola£ní bodová s hémata Hermitovská subdivision s hémataTrojúhelníkové kruºni ové s hémaTrojúhelníkové kruºni ové s héma - obrázky otev°ený polygon

Vlastnosti a hlavní my²lenka subdivision s hémat Interpola£ní bodová s hémata Hermitovská subdivision s hémataTrojúhelníkové kruºni ové s hémaTrojúhelníkové kruºni ové s héma - obrázky uzav°ený polygon

Vlastnosti a hlavní my²lenka subdivision s hémat Interpola£ní bodová s hémata Hermitovská subdivision s hémataTrojúhelníkové kruºni ové s hémaTrojúhelníkové kruºni ové s héma - obrázky uzav°ený polygon

Vlastnosti a hlavní my²lenka subdivision s hémat Interpola£ní bodová s hémata Hermitovská subdivision s hémataTrojúhelníkové kruºni ové s hémaTrojúhelníkové kruºni ové s héma - obrázky uzav°ený polygon

Vlastnosti a hlavní my²lenka subdivision s hémat Interpola£ní bodová s hémata Hermitovská subdivision s hémataNelineární s héma za hovávají í kruºni eNelineární s héma za hovávají í kruºni edány vr holy vki a p°íslu²né jednotkové normálové vektory nki h eme najít kruºni if (x , y) = a(x2 + y2)+ bx + y + d = 0, a, b, , d ,∈ R, (8)která minimalizuje ú£elovou funk iF (a, b, , d) = f (vki )2 + f (vki+1)2++‖▽f (vki )− nki ‖2 + ‖▽f (vki+1)− nki+1‖2 (9)kruºni e existuje a vk+12i+1 potom získáme jako pr·se£ík osyhrany vki vki+1 a této kruºni e, nový normálový vektor nk+12i+1 jejednotkový vektor kolmý na hranu vki vki+1limitní k°ivky jsou typu G 1, s héma za hovává kruºni e

Vlastnosti a hlavní my²lenka subdivision s hémat Interpola£ní bodová s hémata Hermitovská subdivision s hémataNelineární s héma za hovávají í kruºni eNelineární s héma za hovávají í kruºni enov¥ vloºené vr holy a p°íslu²né normálové vektoryvk+12i+1 =12vki +

12vki+1 − 12 tan β2 (vki+1 − vki )⊥nk+12i+1 = ±(vki+1 − vki )⊥‖vki+1 − vki ‖ (10)podmínka pro normálové vektorynk+12i+1 · nki > 0 ∧ nk+12i+1 · nki+1 > 0. (11)p°ezna£ení p·vodní h vr hol· a normálový h vektor·

Vlastnosti a hlavní my²lenka subdivision s hémat Interpola£ní bodová s hémata Hermitovská subdivision s hémataNelineární s héma za hovávají í kruºni eNelineární s héma za hovávají í kruºni ePSfrag repla ements

vki vk+12i+1nki vki+1nki+1vk+12i+1

Vlastnosti a hlavní my²lenka subdivision s hémat Interpola£ní bodová s hémata Hermitovská subdivision s hémataNelineární s héma za hovávají í kruºni eNelineární s héma za hovávají í kruºni e - obrázky otev°ený polygon

Vlastnosti a hlavní my²lenka subdivision s hémat Interpola£ní bodová s hémata Hermitovská subdivision s hémataNelineární s héma za hovávají í kruºni eNelineární s héma za hovávají í kruºni e - obrázky otev°ený polygon

Vlastnosti a hlavní my²lenka subdivision s hémat Interpola£ní bodová s hémata Hermitovská subdivision s hémataNelineární s héma za hovávají í kruºni eNelineární s héma za hovávají í kruºni e - obrázky otev°ený polygon

Vlastnosti a hlavní my²lenka subdivision s hémat Interpola£ní bodová s hémata Hermitovská subdivision s hémataNelineární s héma za hovávají í kruºni eNelineární s héma za hovávají í kruºni e - obrázky uzav°ený polygon

Vlastnosti a hlavní my²lenka subdivision s hémat Interpola£ní bodová s hémata Hermitovská subdivision s hémataNelineární s héma za hovávají í kruºni eNelineární s héma za hovávají í kruºni e - obrázky uzav°ený polygon

Vlastnosti a hlavní my²lenka subdivision s hémat Interpola£ní bodová s hémata Hermitovská subdivision s hémataNelineární s héma za hovávají í kruºni eNelineární s héma za hovávají í kruºni e - obrázky uzav°ený polygon

Vlastnosti a hlavní my²lenka subdivision s hémat Interpola£ní bodová s hémata Hermitovská subdivision s hémataNelineární s héma za hovávají í kruºni eNelineární s héma za hovávají í kruºni e - obrázky kruºni e

Vlastnosti a hlavní my²lenka subdivision s hémat Interpola£ní bodová s hémata Hermitovská subdivision s hémataNelineární s héma za hovávají í kruºni eShrnutí

Vlastnosti a hlavní my²lenka subdivision s hémat Interpola£ní bodová s hémata Hermitovská subdivision s hémataNelineární s héma za hovávají í kruºni e - MODIFIKACENelineární s héma za hovávají í kruºni e - MODIFIKACEs héma bude moºné aplikovat i na data, jeº obsahujínormálové vektory s r·znou orienta ívektory nki = ( os θ, sin θ) a nki+1 = ( osφ, sinφ),θ, φ ∈ 〈−π, π), mají stejnou orienta i, pokud θφ > 0, a nebomají opa£nou orienta i, pokud θφ < 0PSfrag repla ements

vki nkiθ vki+1nki+1

φ3 moºné p°ístupy - nap°. po£áte£ní p°erozd¥lení (vloºenývr hol náleºí hran¥ polygonu a vloºené normálové vektory leºína ose úhlu p°ímek ur£ený h vektory pomo ný h kruºni )

Vlastnosti a hlavní my²lenka subdivision s hémat Interpola£ní bodová s hémata Hermitovská subdivision s hémataNelineární s héma za hovávají í kruºni e - MODIFIKACENelineární s héma za hovávají í kruºni e - MODIFIKACEvloºíme jeden nový vr hol v0i+ 12 a dva nové jednotkovénormálové vektory n0i+ 13 a n0i+ 23v0i+ 12 = (1− s)v0i + sv0i+1, s ∈ (0, 1) (12)pomo né kruºni e k1 a k2, k1 pro hází body v0i a v0i+ 12 a k2pro hází body v0i+ 12 a v0i+1S1, S2 kruºni k1 a k2 leºí na osá h hran v0i v0i+ 12 a v0i+ 12 v0i+1minimalizujeme ú£elovou funk iF = ‖∇k1(v0i )− n0i ‖2 + ‖∇k2(v0i+1)− n0i+1‖2, (13)ur£íme normálové vektory n0i+ 13 a n0i+ 23 ve vr holu v0i+ 12nové normálové vektory n0i+ 13 a n0i+ 23 - leºí na ose p°ímekur£ený h vr holem v0i+ 12 a vektory n0i+ 13 a n0i+ 23

Vlastnosti a hlavní my²lenka subdivision s hémat Interpola£ní bodová s hémata Hermitovská subdivision s hémataNelineární s héma za hovávají í kruºni e - MODIFIKACENelineární s héma za hovávají í kruºni e - MODIFIKACEPSfrag repla ements n0in0i+1

n0i+ 13n0i+ 23k1 k2 n0i+ 13n0i+ 23

Vlastnosti a hlavní my²lenka subdivision s hémat Interpola£ní bodová s hémata Hermitovská subdivision s hémataNelineární s héma za hovávají í kruºni e - MODIFIKACENelineární s héma za hovávají í kruºni e - MODIFIKACE

Vlastnosti a hlavní my²lenka subdivision s hémat Interpola£ní bodová s hémata Hermitovská subdivision s hémataPH subdivision s hémaPH subdivision s hémas héma generují í oblouky PH kubiky pro zadaná hermitovskádatanejprve vypo£teme °ídí í polygon, pak vloºíme nový vr holvk+12i+1 a nový te£ný vektor tk+12i+1 pomo í algoritmu de Casteljaupodmínka pro °ídí í polygon kubi ké Beziérovy k°ivkyd12 =√d01d23 a θ1 = θ2 (14)PSfrag repla ements

θ0θ1 θ2θ3

P1 P2P0 P3d01 d12 d23tki tki+1

Vlastnosti a hlavní my²lenka subdivision s hémat Interpola£ní bodová s hémata Hermitovská subdivision s hémataPH subdivision s hémaPH subdivision s hémaOzna£mePSfrag repla ementsvki P0vki 1 P3tkitki 1P1P2

αW

vki = P0vki = P0 vki+1 = P3vki+1 = P3tkitki tki+1tki+1P1P1 P2P12x z yWW

Vlastnosti a hlavní my²lenka subdivision s hémat Interpola£ní bodová s hémata Hermitovská subdivision s hémataPH subdivision s hémaPH subdivision s hémap°edpis pro nový vr hol a nový te£ný vektorvk+12i+1 =

a + 3x8a vki +38 (2− xa −

xb)W+b + 3x8b vki+1tk+12i+1 =

− a+x8a vki +(3x4a + x2b )W + x+b8b vki+1

‖ − a+x8a vki +(3x4a + x2b )W + x+b8b vki+1‖p°ezna£ení p·vodní h vr hol· a te£ný h vektor·nelineární, nesta ionární metoda, limitní k°ivka je typu G 1

Vlastnosti a hlavní my²lenka subdivision s hémat Interpola£ní bodová s hémata Hermitovská subdivision s hémataPH subdivision s hémaPH subdivision s héma - otev°ený polygon

Vlastnosti a hlavní my²lenka subdivision s hémat Interpola£ní bodová s hémata Hermitovská subdivision s hémataPH subdivision s hémaPH subdivision s héma - otev°ený polygon

Vlastnosti a hlavní my²lenka subdivision s hémat Interpola£ní bodová s hémata Hermitovská subdivision s hémataPH subdivision s hémaPH subdivision s héma - otev°ený polygon

Vlastnosti a hlavní my²lenka subdivision s hémat Interpola£ní bodová s hémata Hermitovská subdivision s hémataPH subdivision s hémaPH subdivision s héma - uzav°ený polygon

Vlastnosti a hlavní my²lenka subdivision s hémat Interpola£ní bodová s hémata Hermitovská subdivision s hémataPH subdivision s hémaPH subdivision s héma - uzav°ený polygon

Vlastnosti a hlavní my²lenka subdivision s hémat Interpola£ní bodová s hémata Hermitovská subdivision s hémataPH subdivision s hémaPH subdivision s héma - uzav°ený polygon

Vlastnosti a hlavní my²lenka subdivision s hémat Interpola£ní bodová s hémata Hermitovská subdivision s hémataPH subdivision s hémaLiteraturaAUGSDÖRFER U. H.; DODGSON, N. A.; SABIN, M. A.Variations on the four-point subdivision s heme. ComputerAided Geometri Design, Vol. 27, pp. 78-95, 2010.DUBUC, S. Interpolation through an iterative s heme. Journalof Mathemati al Analysis and Appli ations, Vol. 114, pp.185-204, 1986.DENG, Ch.; WANG, G. In enter subdivision s heme for urveinterpolation. Computer Aided Geometri Design, Vol. 27, pp.48-59, 2010.DYN, N.; FLOATER, M. S.; HORMANN, K. Four-point urvesubdivision based on hordal and entripetal parametrizations.Computer Aided Geometri Design, Vol. 26, pp. 279-286,2009.

Vlastnosti a hlavní my²lenka subdivision s hémat Interpola£ní bodová s hémata Hermitovská subdivision s hémataPH subdivision s hémaLiteraturaDYN, N.; LEVIN, D.; GREGORY, J. A. A 4-point interpolarys heme for urve design. Computer Aided Geometri Design,Vol. 4, pp. 257-268, 1987.CHAIKIN, G. An algorithm for high speed urve generation.Computer Graphi s and Image Pro essing, Vol. 3, pp.346�349, 1974.CHALMOVIANSKÝ, P.; JÜTTLER, B. A non-linear ir le-preserving subdivision s heme. Advan es inComputational Mathemati s, pp. 375-400, 2006.MERRIEN, J. L. A family of Hermite interpolants by bise tionalgorithms. Numeri al Algorithms 2, pp. 187-200, 1992.SABIN, M. A.; DODGSON N. E. A ir le preserving variant ofthe four-point subdivision s heme. In: DÆHLEN, M;MØRKEN, K.; SCHUMAKER, L. (Eds.) Mathemati alMethods for Curve and Surfa es. Tromsø, 2004.

Vlastnosti a hlavní my²lenka subdivision s hémat Interpola£ní bodová s hémata Hermitovská subdivision s hémataPH subdivision s hémaLiteraturaD¥kuji za pozornost.