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Intégrale
Eric Leduc
Intégraled’unefonctionpositive
Algorithme del’encadrementd’uneintégralepositive
Primitivesd’unefonctioncontinue
Intégraled’une
fonctioncontinue
Calcul d’aire
Intégrale
Terminale S
Eric Leduc
Lycée Jacquard
2014/2015
Intégrale
Eric Leduc
Intégraled’unefonctionpositive
Algorithme del’encadrementd’uneintégralepositive
Primitivesd’unefonctioncontinue
Intégraled’une
fonctioncontinue
Calcul d’aire
Capacités exigibles
> Déterminer des primitives des fonctions usuelles par lectureinverse du tableau des dérivées
> Connaître et utiliser les primitives de U ′eU , U ′Un n entier
relatif différent de −1,U ′p
Uet
U ′
Upour U strictement
positive
> Calculer une intégrale
> Utiliser le calcul intégral pour calculer une aire
> Encadrer une intégrale
> Pour une fonction monotone positive, mettre en œuvre unalgorithme pour déterminer un encadrement d’uneintégrale.
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Eric Leduc
Intégraled’unefonctionpositive
Algorithme del’encadrementd’uneintégralepositive
Primitivesd’unefonctioncontinue
Intégraled’une
fonctioncontinue
Calcul d’aire
Rappel du plan
1 Intégrale d’une fonction positiveAlgorithme de l’encadrement d’une intégrale positive
2 Primitives d’une fonction continue
3 Intégrale d’une fonction continue
4 Calcul d’aire
Intégrale
Eric Leduc
Intégraled’unefonctionpositive
Algorithme del’encadrementd’uneintégralepositive
Primitivesd’unefonctioncontinue
Intégraled’une
fonctioncontinue
Calcul d’aire
Unités d’aires
Définition no 1(
O,−→ı ,
−→
)
est un repère orthogonale du plan
1
2
1 2
b
ObI
bJ
bK
−→i
−→j
Une unité d’aire est définie par 1ua= aire de OIKJ =OI ×OJ
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Algorithme del’encadrementd’uneintégralepositive
Primitivesd’unefonctioncontinue
Intégraled’une
fonctioncontinue
Calcul d’aire
Intégrale d’une fonction positive
Définition no 2
Soit f une fonction continue et positive sur un intervalle [a ; b]et C sa courbe dans un repère orthogonal.
b
O
−→i−→
ja b
C
On appelle intégrale de f entre a et b, l’aire exprimée enunités d’aire, de la surface D délimitée par la courbe C , l’axedes abscisse et les droites d’équations x = a et x = b.Cette aire est appelée « l’aire sous la courbe de f »
Cette intégrale se note :∫b
af (x)dx et se lit « intégrale de a à b
de f »a est la borne inférieure de cette intégrale et b la bornesupérieure.
Intégrale
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Algorithme del’encadrementd’uneintégralepositive
Primitivesd’unefonctioncontinue
Intégraled’une
fonctioncontinue
Calcul d’aire
Intégrale d’une fonction positive
Définition no 2
Soit f une fonction continue et positive sur un intervalle [a ; b]et C sa courbe dans un repère orthogonal.
b
O
−→i−→
j
D
a b
C
On appelle intégrale de f entre a et b, l’aire exprimée enunités d’aire, de la surface D délimitée par la courbe C , l’axedes abscisse et les droites d’équations x = a et x = b.Cette aire est appelée « l’aire sous la courbe de f »
Cette intégrale se note :∫b
af (x)dx et se lit « intégrale de a à b
de f »a est la borne inférieure de cette intégrale et b la bornesupérieure.
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Algorithme del’encadrementd’uneintégralepositive
Primitivesd’unefonctioncontinue
Intégraled’une
fonctioncontinue
Calcul d’aire
Exemple
Exemple no 1
Soit f la fonction définie par f (x)= x sur [0 ; 1].∫1
0x dx =
12
0.5
1.0
0.5 1.0
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Algorithme del’encadrementd’uneintégralepositive
Primitivesd’unefonctioncontinue
Intégraled’une
fonctioncontinue
Calcul d’aire
Exemple
Exemple no 1
Soit f la fonction définie par f (x)= x sur [0 ; 1].∫1
0x dx =
12
0.5
1.0
0.5 1.0
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Primitivesd’unefonctioncontinue
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Calcul d’aire
Exemple
Exemple no 1
Soit f la fonction définie par f (x)= x sur [0 ; 1].∫1
0x dx =
12
0.5
1.0
0.5 1.0
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Algorithme del’encadrementd’uneintégralepositive
Primitivesd’unefonctioncontinue
Intégraled’une
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Calcul d’aire
Exercice no 1
Soit la fonction f définie sur R par f (x)= x −2 et C sa courbereprésentative.
1 Représenter les surfaces dont les aires, en unités d’aires,sont égales aux intégrales :
⊳ I =∫3
2f (x)dx
⊳ J =∫4
3f (x)dx
2 Calculer ces intégrales.
3 Vérifier avec la calculatrice.
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Primitivesd’unefonctioncontinue
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Calcul d’aire
Encadrement de l’aire par deux rectangles
Pour déterminer une approximation de l’intégrale d’une fonctioncontinue et monotone et positive sur [a ; b], on peut partagerl’intervalle [a ; b] en n sous-intervalles de même amplitude
h=b−a
n.
b
ObI
bJ
−→i
−→j
C
xk xk+1
f (xk)
f (xk+1)
h
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Primitivesd’unefonctioncontinue
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Calcul d’aire
Encadrement de l’aire par deux rectangles
Pour déterminer une approximation de l’intégrale d’une fonctioncontinue et monotone et positive sur [a ; b], on peut partagerl’intervalle [a ; b] en n sous-intervalles de même amplitude
h=b−a
n.
b
ObI
bJ
−→i
−→j
C
xk xk+1
f (xk)
f (xk+1)
h
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Primitivesd’unefonctioncontinue
Intégraled’une
fonctioncontinue
Calcul d’aire
Encadrement de l’aire par deux rectangles
Pour déterminer une approximation de l’intégrale d’une fonctioncontinue et monotone et positive sur [a ; b], on peut partagerl’intervalle [a ; b] en n sous-intervalles de même amplitude
h=b−a
n.
b
ObI
bJ
−→i
−→j
C
xk xk+1
f (xk)
f (xk+1)
h
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Primitivesd’unefonctioncontinue
Intégraled’une
fonctioncontinue
Calcul d’aire
Encadrement de l’aire par deux rectangles
Pour déterminer une approximation de l’intégrale d’une fonctioncontinue et monotone et positive sur [a ; b], on peut partagerl’intervalle [a ; b] en n sous-intervalles de même amplitude
h=b−a
n.
b
ObI
bJ
−→i
−→j
C
xk xk+1
f (xk)
f (xk+1)
h
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Calcul d’aire
Aire supérieure et aire inférieure
Sur chacun de ces intervalles [xk ; xk+1], « l’aire sous la courbede f »est comprise entre les aires de deux rectangle, l’un dehauteur f (xk) et l’autre de hauteur f (xk+1).Ces deux rectangles ont pour aires respectives hf (xk) ethf (xk+1).L’aire de la surface située sur la courbe représentative de f sur[a ; b] peut être encadrée par la sommes des aires« inférieurs »et par la somme des aires « supérieures ».
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Calcul d’aire
Algorithme pour f positive et croissante sur [a ; b]
Variables : a, b, n, k , s, S ,xSaisir a, b et n
h prend la valeurb−a
ns prend la valeur 0S prend la valeur 0x prend la valeur aPour k de 0 à n−1 faire
s prend la valeur s +h× f (x)x prend la valeur x +hS prend la valeur S +h× f (x)
Fin PourAfficher s et S
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Intégraled’une
fonctioncontinue
Calcul d’aire
Calcul de s pour n= 3
1
2
3
4
−1
b
ab
a+hb
a+2h
Cf
b
a+3h
k 0 1 2s 0
x a
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Calcul d’aire
Calcul de s pour n= 3
1
2
3
4
−1
b
ab
a+hb
a+2h
Cf
b
a+3h
k 0 1 2s 0
x a
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Calcul d’aire
Calcul de s pour n= 3
1
2
3
4
−1
b
ab
a+hb
a+2h
Cf
b
a+3h
k 0 1 2s 0 hf (a)
x a
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Calcul d’aire
Calcul de s pour n= 3
1
2
3
4
−1
b
ab
a+hb
a+2h
Cf
b
a+3h
k 0 1 2s 0 hf (a)
x a a+h
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Calcul de s pour n= 3
1
2
3
4
−1
b
ab
a+hb
a+2h
Cf
b
a+3h
k 0 1 2s 0 hf (a)
x a a+h
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1
2
3
4
−1
b
ab
a+hb
a+2h
Cf
b
a+3h
k 0 1 2s 0 hf (a) hf (a)+hf (a+h)
x a a+h
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1
2
3
4
−1
b
ab
a+hb
a+2h
Cf
b
a+3h
k 0 1 2s 0 hf (a) hf (a)+hf (a+h)
x a a+h a+2h
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1
2
3
4
−1
b
ab
a+hb
a+2h
Cf
b
a+3h
k 0 1 2s 0 hf (a) hf (a)+hf (a+h)
x a a+h a+2h
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1
2
3
4
−1
b
ab
a+hb
a+2h
Cf
b
a+3h
k 0 1 2s 0 hf (a) hf (a)+hf (a+h)
hf (a)+hf (a+h)+hf (a+2h)x a a+h a+2h
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Calcul d’aire
Calcul de s pour n= 3
1
2
3
4
−1
b
ab
a+hb
a+2h
Cf
b
a+3h
k 0 1 2s 0 hf (a) hf (a)+hf (a+h)
hf (a)+hf (a+h)+hf (a+2h)x a a+h a+2h
a+3h
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1
2
3
4
−1
b
ab
a+hb
a+2h
Cf
a+3h
k 0S 0x a
k 1 2S
x
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1
2
3
4
−1
b
ab
a+hb
a+2h
Cf
a+3h
k 0S 0x a
k 1 2S
x
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1
2
3
4
−1
b
ab
a+hb
a+2h
Cf
a+3h
k 0S 0 0+hf (a+h)x a
k 1 2S
x
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1
2
3
4
−1
b
ab
a+hb
a+2h
Cf
a+3h
k 0S 0 0+hf (a+h)x a a+hk 1 2S
x
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1
2
3
4
−1
b
ab
a+hb
a+2h
Cf
a+3h
k 0S 0 0+hf (a+h)x a a+hk 1 2S
x
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1
2
3
4
−1
b
ab
a+hb
a+2h
Cf
a+3h
k 0S 0 0+hf (a+h)x a a+hk 1 2S hf (a+h)+hf (a+2h)x
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1
2
3
4
−1
b
ab
a+hb
a+2h
Cf
a+3h
k 0S 0 0+hf (a+h)x a a+hk 1 2S hf (a+h)+hf (a+2h)x a+2h
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1
2
3
4
−1
b
ab
a+hb
a+2h
Cf
a+3h
k 0S 0 0+hf (a+h)x a a+hk 1 2S hf (a+h)+hf (a+2h)x a+2h
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Calcul d’aire
1
2
3
4
−1
b
ab
a+hb
a+2h
Cf
a+3h
k 0S 0 0+hf (a+h)x a a+hk 1 2S hf (a+h)+hf (a+2h) hf (a+h)+hf (a+2h)+hf (a+3h)x a+2h
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Calcul d’aire
1
2
3
4
−1
b
ab
a+hb
a+2h
Cf
a+3h
k 0S 0 0+hf (a+h)x a a+hk 1 2S hf (a+h)+hf (a+2h) hf (a+h)+hf (a+2h)+hf (a+3h)x a+2h a+3h
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Exercice no 2
Soit f la fonction définie par f (x)= x2 sur R et C sa courbereprésentative. On s’intéresse à l’aire sous la courbe délimitéepar les droites d’équation x = a et x = b.Écrire un programme donnant en sortie l’encadrement de cetteaire par la méthode des rectangles, à partir de la saisi de a, b etdu nombre de subdivision n. Exécuter ce programme pour a= 0,b= 1 et n= 100.
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Primitivesd’unefonctioncontinue
Intégraled’une
fonctioncontinue
Calcul d’aire
Rappel du plan
1 Intégrale d’une fonction positiveAlgorithme de l’encadrement d’une intégrale positive
2 Primitives d’une fonction continue
3 Intégrale d’une fonction continue
4 Calcul d’aire
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Intégraled’unefonctionpositive
Algorithme del’encadrementd’uneintégralepositive
Primitivesd’unefonctioncontinue
Intégraled’une
fonctioncontinue
Calcul d’aire
Primitive de f qui s’annule pour x = a
Théorème no 1
Si f est une fonction continue et positive sur [a ; b], la fonction
F définie sur [a ; b] par F (x)=∫x
af (t)dt est dérivable sur
[a ; b] et a pour dérivée f .Ainsi pour tout x ∈ [a ; b] : F ′(x)= f (x)
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Calcul d’aire
Exercice no 3 I
Soit la fonction F définie sur [1 ; +∞[ par F (x)=∫x
1ln(t)dt.
1
1 Donner une interprétation graphique de F (2) et F (3)
1
2
3
4
−1
−2
−3
1 2 3 4 5−1
b
O
−→i−→
j
C
2 Comparer graphiquement F (2) avec F (3).
2 Déterminer la dérivée de F sur [1 ; +∞[.
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Exercice no 3 II
3
1 Étudier le sens de variation de F sur [1 ; +∞[.2 En déduire la comparaison de F (2) avec F (3).
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Calcul d’aire
Définition d’une primitive d’une fonction f
Définition no 3
Soit f une fonction continue sur un intervalle I .On appelle primitive de f sur I , une fonction F dérivable sur Idont la dérivée est égale à f .Ainsi pour tout x ∈ I : F ′(x)= f (x)
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Remarque
Remarque no 1
⊳ La fonction x 7−→∫x
af (t)dt est une primitive de f sur
[a ; b]
⊳ Retenons le petit schéma :
Fa pour dérivée−→ F ′ = f
F ←−a pour primitive
f
Une primitive d’une fonction est une fonction« antérieur »à la dérivation.
⊳ Le verbe qui consiste à chercher une primitive est le verbe« intégrer ».
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Une primitive est définie à une constante près
Théorème no 2
Toute fonction continue sur un intervalle I admet des primitivessur I .
Propriété no 1
Soit f une fonction continue sur un intervalle I .
⊳ Si F est une primitive de f sur I , alors toutes les primitivesde f sur I sont les fonctions G définies sur I par :G (x)=F (x)+k où k est une constante réelle
⊳ Soit x0 un réel de I et y0 un réel quelconque, il existe uneunique primitive F de f sur I telle que F (x0)= y0.
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Exercice no 4
Soient les fonctions f et F définies sur ]0 ; +∞[ par :
f (x)=ln(x)
xet F (x)=
12(ln(x))2
1 Démontrer que F est une primitive de f sur ]0 ; +∞[2 Trouver la primitive de f sur ]0 ; +∞[ qui s’annule pour
x = e.
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Primitives des fonctions usuelles
Fonctions Une primitive F Validitéa ∈R f (x)= F (x)= ax R
n 6= −1 et n 6= 0 f (x)= F (x)=xn+1
n+1R ou R∗
f (x)= F (x)=1x
R∗
f (x)= F (x)= ln(x) ]0 ; +∞[
f (x)= F (x)= ex Rf (x)= F (x)= e−x R
f (x)= F (x)=p
x ]0 ; +∞[
f (x)= F (x)= sin(x) Rf (x)= F (x)= cos(x) R
f (x)= F (x)= sin(ax +b)) Rf (x)= F (x)= cos(ax +b) R
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Intégraled’une
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Primitives des fonctions usuelles
Fonctions Une primitive F Validitéa ∈R f (x)= a F (x)= ax R
n 6= −1 et n 6= 0 f (x)= F (x)=xn+1
n+1R ou R∗
f (x)= F (x)=1x
R∗
f (x)= F (x)= ln(x) ]0 ; +∞[
f (x)= F (x)= ex Rf (x)= F (x)= e−x R
f (x)= F (x)=p
x ]0 ; +∞[
f (x)= F (x)= sin(x) Rf (x)= F (x)= cos(x) R
f (x)= F (x)= sin(ax +b)) Rf (x)= F (x)= cos(ax +b) R
Intégrale
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Algorithme del’encadrementd’uneintégralepositive
Primitivesd’unefonctioncontinue
Intégraled’une
fonctioncontinue
Calcul d’aire
Primitives des fonctions usuelles
Fonctions Une primitive F Validitéa ∈R f (x)= a F (x)= ax R
n 6= −1 et n 6= 0 f (x)= xn F (x)=xn+1
n+1R ou R∗
f (x)= F (x)=1x
R∗
f (x)= F (x)= ln(x) ]0 ; +∞[
f (x)= F (x)= ex Rf (x)= F (x)= e−x R
f (x)= F (x)=p
x ]0 ; +∞[
f (x)= F (x)= sin(x) Rf (x)= F (x)= cos(x) R
f (x)= F (x)= sin(ax +b)) Rf (x)= F (x)= cos(ax +b) R
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Intégraled’unefonctionpositive
Algorithme del’encadrementd’uneintégralepositive
Primitivesd’unefonctioncontinue
Intégraled’une
fonctioncontinue
Calcul d’aire
Primitives des fonctions usuelles
Fonctions Une primitive F Validitéa ∈R f (x)= a F (x)= ax R
n 6= −1 et n 6= 0 f (x)= xn F (x)=xn+1
n+1R ou R∗
f (x)= −1
x2F (x)=
1x
R∗
f (x)= F (x)= ln(x) ]0 ; +∞[
f (x)= F (x)= ex Rf (x)= F (x)= e−x R
f (x)= F (x)=p
x ]0 ; +∞[
f (x)= F (x)= sin(x) Rf (x)= F (x)= cos(x) R
f (x)= F (x)= sin(ax +b)) Rf (x)= F (x)= cos(ax +b) R
Intégrale
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Primitivesd’unefonctioncontinue
Intégraled’une
fonctioncontinue
Calcul d’aire
Primitives des fonctions usuelles
Fonctions Une primitive F Validitéa ∈R f (x)= a F (x)= ax R
n 6= −1 et n 6= 0 f (x)= xn F (x)=xn+1
n+1R ou R∗
f (x)= −1
x2F (x)=
1x
R∗
f (x)=1x
F (x)= ln(x) ]0 ; +∞[
f (x)= F (x)= ex Rf (x)= F (x)= e−x R
f (x)= F (x)=p
x ]0 ; +∞[
f (x)= F (x)= sin(x) Rf (x)= F (x)= cos(x) R
f (x)= F (x)= sin(ax +b)) Rf (x)= F (x)= cos(ax +b) R
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Primitivesd’unefonctioncontinue
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fonctioncontinue
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Primitives des fonctions usuelles
Fonctions Une primitive F Validitéa ∈R f (x)= a F (x)= ax R
n 6= −1 et n 6= 0 f (x)= xn F (x)=xn+1
n+1R ou R∗
f (x)= −1
x2F (x)=
1x
R∗
f (x)=1x
F (x)= ln(x) ]0 ; +∞[
f (x)= ex F (x)= ex Rf (x)= F (x)= e−x R
f (x)= F (x)=p
x ]0 ; +∞[
f (x)= F (x)= sin(x) Rf (x)= F (x)= cos(x) R
f (x)= F (x)= sin(ax +b)) Rf (x)= F (x)= cos(ax +b) R
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fonctioncontinue
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Primitives des fonctions usuelles
Fonctions Une primitive F Validitéa ∈R f (x)= a F (x)= ax R
n 6= −1 et n 6= 0 f (x)= xn F (x)=xn+1
n+1R ou R∗
f (x)= −1
x2F (x)=
1x
R∗
f (x)=1x
F (x)= ln(x) ]0 ; +∞[
f (x)= ex F (x)= ex Rf (x)= −e−x F (x)= e−x R
f (x)= F (x)=p
x ]0 ; +∞[
f (x)= F (x)= sin(x) Rf (x)= F (x)= cos(x) R
f (x)= F (x)= sin(ax +b)) Rf (x)= F (x)= cos(ax +b) R
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Fonctions Une primitive F Validitéa ∈R f (x)= a F (x)= ax R
n 6= −1 et n 6= 0 f (x)= xn F (x)=xn+1
n+1R ou R∗
f (x)= −1
x2F (x)=
1x
R∗
f (x)=1x
F (x)= ln(x) ]0 ; +∞[
f (x)= ex F (x)= ex Rf (x)= −e−x F (x)= e−x R
f (x)=1
2p
xF (x)=
px ]0 ; +∞[
f (x)= F (x)= sin(x) Rf (x)= F (x)= cos(x) R
f (x)= F (x)= sin(ax +b)) Rf (x)= F (x)= cos(ax +b) R
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Fonctions Une primitive F Validitéa ∈R f (x)= a F (x)= ax R
n 6= −1 et n 6= 0 f (x)= xn F (x)=xn+1
n+1R ou R∗
f (x)= −1
x2F (x)=
1x
R∗
f (x)=1x
F (x)= ln(x) ]0 ; +∞[
f (x)= ex F (x)= ex Rf (x)= −e−x F (x)= e−x R
f (x)=1
2p
xF (x)=
px ]0 ; +∞[
f (x)= cos(x) F (x)= sin(x) Rf (x)= F (x)= cos(x) R
f (x)= F (x)= sin(ax +b)) Rf (x)= F (x)= cos(ax +b) R
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Primitives des fonctions usuelles
Fonctions Une primitive F Validitéa ∈R f (x)= a F (x)= ax R
n 6= −1 et n 6= 0 f (x)= xn F (x)=xn+1
n+1R ou R∗
f (x)= −1
x2F (x)=
1x
R∗
f (x)=1x
F (x)= ln(x) ]0 ; +∞[
f (x)= ex F (x)= ex Rf (x)= −e−x F (x)= e−x R
f (x)=1
2p
xF (x)=
px ]0 ; +∞[
f (x)= cos(x) F (x)= sin(x) Rf (x)= − sin(x) F (x)= cos(x) R
f (x)= F (x)= sin(ax +b)) Rf (x)= F (x)= cos(ax +b) R
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fonctioncontinue
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Primitives des fonctions usuelles
Fonctions Une primitive F Validitéa ∈R f (x)= a F (x)= ax R
n 6= −1 et n 6= 0 f (x)= xn F (x)=xn+1
n+1R ou R∗
f (x)= −1
x2F (x)=
1x
R∗
f (x)=1x
F (x)= ln(x) ]0 ; +∞[
f (x)= ex F (x)= ex Rf (x)= −e−x F (x)= e−x R
f (x)=1
2p
xF (x)=
px ]0 ; +∞[
f (x)= cos(x) F (x)= sin(x) Rf (x)= − sin(x) F (x)= cos(x) R
f (x)= acos(ax +b) F (x)= sin(ax +b)) Rf (x)= F (x)= cos(ax +b) R
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Primitivesd’unefonctioncontinue
Intégraled’une
fonctioncontinue
Calcul d’aire
Primitives des fonctions usuelles
Fonctions Une primitive F Validitéa ∈R f (x)= a F (x)= ax R
n 6= −1 et n 6= 0 f (x)= xn F (x)=xn+1
n+1R ou R∗
f (x)= −1
x2F (x)=
1x
R∗
f (x)=1x
F (x)= ln(x) ]0 ; +∞[
f (x)= ex F (x)= ex Rf (x)= −e−x F (x)= e−x R
f (x)=1
2p
xF (x)=
px ]0 ; +∞[
f (x)= cos(x) F (x)= sin(x) Rf (x)= − sin(x) F (x)= cos(x) R
f (x)= acos(ax +b) F (x)= sin(ax +b)) Rf (x)= −asin(ax +b) F (x)= cos(ax +b) R
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Intégraled’une
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Calcul d’aire
Primitive et fonctions composées
Fonction Une primitive ValiditéU +V IkU I
Pour n 6= −1 et n 6= 0Un+1
n+1I
eU
ln(U) Ip
U I
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Primitive et fonctions composées
Fonction Une primitive Validitéu+v U +V I
kU I
Pour n 6= −1 et n 6= 0Un+1
n+1I
eU
ln(U) Ip
U I
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Primitivesd’unefonctioncontinue
Intégraled’une
fonctioncontinue
Calcul d’aire
Primitive et fonctions composées
Fonction Une primitive Validitéu+v U +V Iku kU I
Pour n 6= −1 et n 6= 0Un+1
n+1I
eU
ln(U) Ip
U I
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Primitivesd’unefonctioncontinue
Intégraled’une
fonctioncontinue
Calcul d’aire
Primitive et fonctions composées
Fonction Une primitive Validitéu+v U +V Iku kU I
Pour n 6= −1 et n 6= 0 U ′×UnUn+1
n+1I
eU
ln(U) Ip
U I
Intégrale
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Primitivesd’unefonctioncontinue
Intégraled’une
fonctioncontinue
Calcul d’aire
Primitive et fonctions composées
Fonction Une primitive Validitéu+v U +V Iku kU I
Pour n 6= −1 et n 6= 0 U ′×UnUn+1
n+1I
U ′eU eU
ln(U) Ip
U I
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Algorithme del’encadrementd’uneintégralepositive
Primitivesd’unefonctioncontinue
Intégraled’une
fonctioncontinue
Calcul d’aire
Primitive et fonctions composées
Fonction Une primitive Validitéu+v U +V Iku kU I
Pour n 6= −1 et n 6= 0 U ′×UnUn+1
n+1I
U ′eU eU
U ′
Uln(U) Ip
U I
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Algorithme del’encadrementd’uneintégralepositive
Primitivesd’unefonctioncontinue
Intégraled’une
fonctioncontinue
Calcul d’aire
Primitive et fonctions composées
Fonction Une primitive Validitéu+v U +V Iku kU I
Pour n 6= −1 et n 6= 0 U ′×UnUn+1
n+1I
U ′eU eU
U ′
Uln(U) I
U ′
2p
U
pU I
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Algorithme del’encadrementd’uneintégralepositive
Primitivesd’unefonctioncontinue
Intégraled’une
fonctioncontinue
Calcul d’aire
Exercice no 5
Déterminer une primitive de f sur I
⊳ f (x)= x4 et I =R
⊳ f (x)=1x3
et I =]−∞ ; 0[
⊳ f (x)= 5 et I =R⊳ Soit f (x)= 2x +1 déterminer la primitive F de f
sur R telle que F (−2)= 3
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Intégraled’unefonctionpositive
Algorithme del’encadrementd’uneintégralepositive
Primitivesd’unefonctioncontinue
Intégraled’une
fonctioncontinue
Calcul d’aire
Exercice no 6
Déterminer une primitive de f sur I
⊲ f (x)= 2x3 +5x2+5x +2 et I =R
⊲ f (x)=1
2p
x+3cos(3x +5) et I =]0 ; +∞[
⊲ f (x)=2x
2p
x2+1et I =R
⊲ f (x)= (2x +2)(x2 +2x +3)3 et I =R
⊲ f (x)=5
(5x +1)4et I =]−
15
; +∞[
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Algorithme del’encadrementd’uneintégralepositive
Primitivesd’unefonctioncontinue
Intégraled’une
fonctioncontinue
Calcul d’aire
Exercice no 7
1 Déterminer sur ]0 ; +∞[ une primitive de la fonction f
définie par f (x)= 9x2 +7
x3
2 Déterminer sur R une primitive de la fonction g définie parg(x)= cos(3x)−4sin(2x −1)
3 Déterminer une primitive de chacune des fonctions définiessur R par :
1 f (x)=3x
x2+12 g(x)= 20xex
2+5
3 h(x)= cos2(x)sin(x)
4 i(x)=11x
√
x2+1.
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Intégraled’unefonctionpositive
Algorithme del’encadrementd’uneintégralepositive
Primitivesd’unefonctioncontinue
Intégraled’une
fonctioncontinue
Calcul d’aire
Rappel du plan
1 Intégrale d’une fonction positiveAlgorithme de l’encadrement d’une intégrale positive
2 Primitives d’une fonction continue
3 Intégrale d’une fonction continue
4 Calcul d’aire
Intégrale
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Intégraled’unefonctionpositive
Algorithme del’encadrementd’uneintégralepositive
Primitivesd’unefonctioncontinue
Intégraled’une
fonctioncontinue
Calcul d’aire
Calcul d’une intégrale
Définition no 4
Soit f une fonction continue sur un intervalle I , F une primitivede f sur I , a et b deux réels de I .On appelle intégrale de f entre a et b la différence F (b)−F (a).
On a donc :∫b
af (x)dx = [F (x)]ba =F (b)−F (a)
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Intégraled’unefonctionpositive
Algorithme del’encadrementd’uneintégralepositive
Primitivesd’unefonctioncontinue
Intégraled’une
fonctioncontinue
Calcul d’aire
Exercice no 8
Calculer les intégrales I =∫3
1
(
3x2 +4x)
dx et J =∫0
−1e3x dx .
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Primitivesd’unefonctioncontinue
Intégraled’une
fonctioncontinue
Calcul d’aire
Propriétés de l’intégrale
Propriété no 2
Soient f et g deux fonctions continues sur un intervalle I , a, bet c sont trois réels de I et k un réel quelconque
⊳
∫a
af (x)dx = 0
⊳
∫b
af (x)dx =−
∫a
bf (x)dx
⊳
∫b
akf (x)dx = k
∫b
af (x)dx
⊳
∫b
a(f (x)+g(x)) dx =
∫b
af (x)dx +
∫b
ag(x)dx
Intégrale
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Algorithme del’encadrementd’uneintégralepositive
Primitivesd’unefonctioncontinue
Intégraled’une
fonctioncontinue
Calcul d’aire
Propriétés de l’intégrale
Propriété no 3
⊳ Relation de Chasles :∫b
af (x)dx +
∫c
bf (x)dx =
∫c
af (x)dx
⊳ Soit a< b, si f (x)Ê 0 pour tout x ∈ [a ; b], alors∫b
af (x)dx Ê 0
⊳ Si f (x)Ê g(x) sur [a ; b], alors∫b
af (x)dx Ê
∫b
ag(x)dx .
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Algorithme del’encadrementd’uneintégralepositive
Primitivesd’unefonctioncontinue
Intégraled’une
fonctioncontinue
Calcul d’aire
Exercice no 9
1 Déterminer le signe de l’intégrale∫1
0e−x
2
dx
2 Soit I =∫1
0
ex
ex +1dx et J =
∫1
0
1ex +1
dx
1 Calculer I2 Calculer I +J, puis en déduire J.
3
1 Démontrer que pour tout x ∈ [0 ; 1] : ex2É ex
2 En déduire que 0É∫1
0ex
2dx É e−1.
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Algorithme del’encadrementd’uneintégralepositive
Primitivesd’unefonctioncontinue
Intégraled’une
fonctioncontinue
Calcul d’aire
Rappel du plan
1 Intégrale d’une fonction positiveAlgorithme de l’encadrement d’une intégrale positive
2 Primitives d’une fonction continue
3 Intégrale d’une fonction continue
4 Calcul d’aire
Intégrale
Eric Leduc
Intégraled’unefonctionpositive
Algorithme del’encadrementd’uneintégralepositive
Primitivesd’unefonctioncontinue
Intégraled’une
fonctioncontinue
Calcul d’aire
Cas d’une continue et positive
Propriété no 4
b
ObI
bJ−→i−→j
a b
C
Si la fonction f est continue et positive sur [a ; b], l’aireexprimée en ua de la surface plane délimitée par la courbe Cf ,l’axe des abscisse et les droites d’équation x = a et x = b est
égale à∫b
af (t) dt
Intégrale
Eric Leduc
Intégraled’unefonctionpositive
Algorithme del’encadrementd’uneintégralepositive
Primitivesd’unefonctioncontinue
Intégraled’une
fonctioncontinue
Calcul d’aire
Cas d’une continue et positive
Propriété no 4
b
ObI
bJ−→i−→j
D
a b
C
Si la fonction f est continue et positive sur [a ; b], l’aireexprimée en ua de la surface plane délimitée par la courbe Cf ,l’axe des abscisse et les droites d’équation x = a et x = b est
égale à∫b
af (t) dt
Intégrale
Eric Leduc
Intégraled’unefonctionpositive
Algorithme del’encadrementd’uneintégralepositive
Primitivesd’unefonctioncontinue
Intégraled’une
fonctioncontinue
Calcul d’aire
Cas d’une continue et négative
Propriété no 5
−5
b
ObI
b −→i−→j
−5
a b
Cf
Si la fonction f est continue et négative sur [a ; b], l’aireexprimée en ua de la surface plane délimitée par la courbe Cf ,l’axe des abscisse et les droites d’équation x = a et x = b est
égale à −∫b
af (t) dt
Intégrale
Eric Leduc
Intégraled’unefonctionpositive
Algorithme del’encadrementd’uneintégralepositive
Primitivesd’unefonctioncontinue
Intégraled’une
fonctioncontinue
Calcul d’aire
Cas d’une continue et négative
Propriété no 5
−5
b
ObI
b −→i−→j
D
−5
a b
Cf
Si la fonction f est continue et négative sur [a ; b], l’aireexprimée en ua de la surface plane délimitée par la courbe Cf ,l’axe des abscisse et les droites d’équation x = a et x = b est
égale à −∫b
af (t) dt
Intégrale
Eric Leduc
Intégraled’unefonctionpositive
Algorithme del’encadrementd’uneintégralepositive
Primitivesd’unefonctioncontinue
Intégraled’une
fonctioncontinue
Calcul d’aire
Cas d’une fonction qui change de signe
Propriété no 6
Si f est de signe quelconque, on décompose [a ; d ] en plusieursintervalles où f est de signe constant
b
ObI
bJ
−→i
−→j
a b c d
D1
D2
D3
−→i
−→j
Aire totale= =
Intégrale
Eric Leduc
Intégraled’unefonctionpositive
Algorithme del’encadrementd’uneintégralepositive
Primitivesd’unefonctioncontinue
Intégraled’une
fonctioncontinue
Calcul d’aire
Cas d’une fonction qui change de signe
Propriété no 6
Si f est de signe quelconque, on décompose [a ; d ] en plusieursintervalles où f est de signe constant
b
ObI
bJ
−→i
−→j
a b c d
D1
D2
D3
−→i
−→j
Aire totale= aire de D1 =
Intégrale
Eric Leduc
Intégraled’unefonctionpositive
Algorithme del’encadrementd’uneintégralepositive
Primitivesd’unefonctioncontinue
Intégraled’une
fonctioncontinue
Calcul d’aire
Cas d’une fonction qui change de signe
Propriété no 6
Si f est de signe quelconque, on décompose [a ; d ] en plusieursintervalles où f est de signe constant
b
ObI
bJ
−→i
−→j
a b c d
D1
D2
D3
−→i
−→j
Aire totale= aire de D1−aire de D2 =
Intégrale
Eric Leduc
Intégraled’unefonctionpositive
Algorithme del’encadrementd’uneintégralepositive
Primitivesd’unefonctioncontinue
Intégraled’une
fonctioncontinue
Calcul d’aire
Cas d’une fonction qui change de signe
Propriété no 6
Si f est de signe quelconque, on décompose [a ; d ] en plusieursintervalles où f est de signe constant
b
ObI
bJ
−→i
−→j
a b c d
D1
D2
D3
−→i
−→j
Aire totale= aire de D1−aire de D2+aire de D3 =
Intégrale
Eric Leduc
Intégraled’unefonctionpositive
Algorithme del’encadrementd’uneintégralepositive
Primitivesd’unefonctioncontinue
Intégraled’une
fonctioncontinue
Calcul d’aire
Cas d’une fonction qui change de signe
Propriété no 6
Si f est de signe quelconque, on décompose [a ; d ] en plusieursintervalles où f est de signe constant
b
ObI
bJ
−→i
−→j
a b c d
D1
D2
D3
−→i
−→j
Aire totale= aire de D1−aire de D2+aire de D3 =∫b
af (t)dt
Intégrale
Eric Leduc
Intégraled’unefonctionpositive
Algorithme del’encadrementd’uneintégralepositive
Primitivesd’unefonctioncontinue
Intégraled’une
fonctioncontinue
Calcul d’aire
Cas d’une fonction qui change de signe
Propriété no 6
Si f est de signe quelconque, on décompose [a ; d ] en plusieursintervalles où f est de signe constant
b
ObI
bJ
−→i
−→j
a b c d
D1
D2
D3
−→i
−→j
Aire totale= aire de D1−aire de D2+aire de D3 =∫b
af (t)dt −
∫c
bf (t)dt
Intégrale
Eric Leduc
Intégraled’unefonctionpositive
Algorithme del’encadrementd’uneintégralepositive
Primitivesd’unefonctioncontinue
Intégraled’une
fonctioncontinue
Calcul d’aire
Cas d’une fonction qui change de signe
Propriété no 6
Si f est de signe quelconque, on décompose [a ; d ] en plusieursintervalles où f est de signe constant
b
ObI
bJ
−→i
−→j
a b c d
D1
D2
D3
−→i
−→j
Aire totale= aire de D1−aire de D2+aire de D3 =∫b
af (t)dt −
∫c
bf (t)dt +
∫d
cf (t)dt
Intégrale
Eric Leduc
Intégraled’unefonctionpositive
Algorithme del’encadrementd’uneintégralepositive
Primitivesd’unefonctioncontinue
Intégraled’une
fonctioncontinue
Calcul d’aire
Aire entre deux courbes
Propriété no 7
1
2
3
4
1 2 3 4 5 6
Cg
Cf
Si f et g sont deux fonctions continues sur [a ; b] telles quef (x)É g(x), alors l’aire, exprimée en unités d’aire, de la surfacecomprise entre les courbes Cf et Cg et les droites d’équationx = a et x = b est égale à :
Intégrale
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Intégraled’unefonctionpositive
Algorithme del’encadrementd’uneintégralepositive
Primitivesd’unefonctioncontinue
Intégraled’une
fonctioncontinue
Calcul d’aire
Aire entre deux courbes
Propriété no 7
1
2
3
4
1 2 3 4 5 6
Cg
Cf
Si f et g sont deux fonctions continues sur [a ; b] telles quef (x)É g(x), alors l’aire, exprimée en unités d’aire, de la surfacecomprise entre les courbes Cf et Cg et les droites d’équationx = a et x = b est égale à :
Intégrale
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Intégraled’unefonctionpositive
Algorithme del’encadrementd’uneintégralepositive
Primitivesd’unefonctioncontinue
Intégraled’une
fonctioncontinue
Calcul d’aire
Aire entre deux courbes
Propriété no 7
1
2
3
4
1 2 3 4 5 6
Cg
Cf
Si f et g sont deux fonctions continues sur [a ; b] telles quef (x)É g(x), alors l’aire, exprimée en unités d’aire, de la surfacecomprise entre les courbes Cf et Cg et les droites d’équationx = a et x = b est égale à :
∫b
a(g(t)− f (t)) dt
Intégrale
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Intégraled’unefonctionpositive
Algorithme del’encadrementd’uneintégralepositive
Primitivesd’unefonctioncontinue
Intégraled’une
fonctioncontinue
Calcul d’aire
Exercice no 10
1 Soit f (x)= x2−x3 définie sur [0 ; 2]1 Étudiez le signe de f (x) sur [0 ; 2]2 Calculez l’aire en ua de la surface délimitée par l’axe des
abscisses et la courbe Cf compris entre les droitesd’équation x = 0 et x = 2
2 Soient f (x)= x2 et g(x)= x définies sur [0 ; 2]1 Étudiez la position de Cf par rapport à Cg sur [0 ; 2]2 Calculez l’aire en ua de la surface délimitée entre les
courbes Cf et Cg compris entre les droites d’équationx = 0 et x = 2
Intégrale
Eric Leduc
Intégraled’unefonctionpositive
Algorithme del’encadrementd’uneintégralepositive
Primitivesd’unefonctioncontinue
Intégraled’une
fonctioncontinue
Calcul d’aire
Valeur moyenne d’une fonction
Théorème no 3
f est une fonction continue sur I, a et b sont deux réelsdistincts de I.
⊳ Il existe c ∈ [a ; b] tel que∫b
af (x)dx = (b−a)f (c)
⊳ Le nombre1
b−a
∫b
af (x)dx est appelé valeur moyenne de
f sur [a ; b]
Intégrale
Eric Leduc
Intégraled’unefonctionpositive
Algorithme del’encadrementd’uneintégralepositive
Primitivesd’unefonctioncontinue
Intégraled’une
fonctioncontinue
Calcul d’aire
Interprétation graphique
5
b
ObI
bJ−→i
−→j
5
a b
m
Cf
c
=
Intégrale
Eric Leduc
Intégraled’unefonctionpositive
Algorithme del’encadrementd’uneintégralepositive
Primitivesd’unefonctioncontinue
Intégraled’une
fonctioncontinue
Calcul d’aire
Interprétation graphique
5
b
ObI
bJ−→i
−→j
5
a b
m
Cf
c
=
Intégrale
Eric Leduc
Intégraled’unefonctionpositive
Algorithme del’encadrementd’uneintégralepositive
Primitivesd’unefonctioncontinue
Intégraled’une
fonctioncontinue
Calcul d’aire
Interprétation graphique
5
b
ObI
bJ−→i
−→j
5
a b
m
Cf
c
∫b
af (x)dx =
Intégrale
Eric Leduc
Intégraled’unefonctionpositive
Algorithme del’encadrementd’uneintégralepositive
Primitivesd’unefonctioncontinue
Intégraled’une
fonctioncontinue
Calcul d’aire
Interprétation graphique
5
b
ObI
bJ−→i
−→j
5
a b
m
Cf
c
∫b
af (x)dx =
Intégrale
Eric Leduc
Intégraled’unefonctionpositive
Algorithme del’encadrementd’uneintégralepositive
Primitivesd’unefonctioncontinue
Intégraled’une
fonctioncontinue
Calcul d’aire
Interprétation graphique
5
b
ObI
bJ−→i
−→j
5
a b
m
Cf
c
∫b
af (x)dx =m(b−a)
Intégrale
Eric Leduc
Intégraled’unefonctionpositive
Algorithme del’encadrementd’uneintégralepositive
Primitivesd’unefonctioncontinue
Intégraled’une
fonctioncontinue
Calcul d’aire
Interprétation graphique
5
b
ObI
bJ−→i
−→j
5
a b
m
Cf
c
∫b
af (x)dx =m(b−a)
Intégrale
Eric Leduc
Intégraled’unefonctionpositive
Algorithme del’encadrementd’uneintégralepositive
Primitivesd’unefonctioncontinue
Intégraled’une
fonctioncontinue
Calcul d’aire
Exercice no 11
1 Calculer la valeur moyenne de la fonction cosinus sur[0 ; 2π]
2
1 Démontrer que la fonction g définie sur [0 ; 2π] par
g(x)=sin(x)×cos(x)
2+
x
2est une primitive de la fonction
f définie par f (x)= cos2 (x) sur [0 ; 2π].2 En déduire que la valeur moyenne de f sur sur [0 ; 2π] est
1
2.
Intégrale d'une fonction positiveAlgorithme de l'encadrement d'une intégrale positive
Primitives d'une fonction continueIntégrale d'une fonction continueCalcul d'aire