Introduction

1. Cinématique: études de trajectoires

2. Dynamique

Les lois de Newton

Des forces aux trajectoires

3. Cinématique : bases locales et

systèmes de coordonnées

4. Dynamique : Lois de conservation

Travail, forces conservatives, énergie

Application : l’oscillateur harmonique

Mécanique du point

Chapitre 2 : Les lois de Newton – Forces et trajectoires

const.)(0 0vtvF

2.1.1 Principe d’inertie (1ère loi de Newton)

En l’absence de forces extérieures, un point matériel est animé d’un mouvement rectiligne uniforme

Si le point est immobile à t = 0, il le restera.

0)(

dt

tvd

Si la vitesse est constante, l’accélération est nulle :

Isaac Newton (1642 - 1727)

Conséquence du Principe d’inertie

En l’absence de forces extérieures, l’accélération d’un point matériel est nulle

)()( tmtF

2.1.2 Principe fondamental de la dynamique (2ème loi de Newton)

Si un point matériel est soumis à une force extérieure, son mouvement est accéléré de sorte que

L’unité dans le système international : 1 Newton = 1 kg m s-2

m1 m2

m3

m4m

...21 FFF

Les forces exercées par les masses mi sur m sont additives

La résultante est la somme vectorielle.

Ceci s’applique à toutes les forces, quelle que soit leur nature(élastique, électromagnétique, de gravitation, …)

F

m=

Analyse dimensionnelle [F]=MLT-2

(C’est la 1ère loi de Newton, ou principe d’inertie.)

L’origine de cette loi est l’invariance par translation dans l’espace.

Le PFD en fonction de la quantité de mouvement

Fvdt

dmvm

dt

dp

dt

d

2.1.2. Conservation de la quantité de mouvement

const0)( 0pprF

En l’absence de forces, la quantité de mouvement est conservée

vmp

ex

a

P

f

p

ey

VO

ze

zemgm

gmm pi

02

21)( zgttz

Exemple : Trajectoire dans un champ de pesanteur

Un point matériel m est soumis à la force où 9,81 ms-2

axaV

xgxz

aV

xtatVtx

tancos

)(

coscos)(

2

021

00

gttz )(gtz )( )0( tVz0)( tx )0()( tVtx x

tp =2

tf =

• Nous pouvons écrire l’équation de la trajectoire

en éliminant le temps dans les équations horaires.

On obtient alors l’équation d’une parabole

aV sin0

aVtx cos)( 0

portée=

flèche

atVtx

atVgttz

cos)(

sin)(

0

02

21

Analyse dimensionnelle

• La flèche correspond au sommet de la trajectoire quand

la vitesse ascensionnelle est nulle ( (t)=0):on en déduit

• La portée correspond à z²(tp)=0  : on en déduit

• On remarque que tp=2tf ( la trajectoire est symétrique par rapport au sommet) et que la portée est maximale pour une vitesse initiale donnée lorsque a=45°.

Constante universelle de gravitation G = 6.67 x 10-11 N m2 kg-2

2.5.2 Loi de l’attraction universelle (Newton 1667)

rer

mGmrF

2

21)(

Tout point matériel m1 exerce sur tout autre point m2 la force d’attraction

2.5.3 Champ de gravitation terrestre

L’attraction d’un corps de masse m par la masse centrale M peut s’écrire

où on a défini le champ de gravitation

)(2

rgmer

GmMF r

rr ehR

GMe

r

GMrg

22 )(

)(

R

(comme si toute la masse M était concentrée à l’origine : théorème de Gauss)

22

m/s81,9R

GMg

La valeur au niveau du sol du champ de gravitation terrestre est (h=0, R rayon de la terre=6371 km, M=6. kg)

le poids devient alors =m.

2.1.3 Principe de l’action et de la réaction (3ème loi de Newton)

Si un point matériel m1 exerce sur le point m2 la force ,

alors réciproquement, m2 exerce sur m1 la force inverse

telle que

)( 21 rF

)( 12 rF

)()( 2112 rFrF

Constante universelle de gravitation G = 6.67 x 10-11 N m2 kg-2

Loi de l’attraction universelle (Newton 1667)

rer

mGmrF

2

21)(

m1 m2

)( 21 rF

)( 12 rF

rerr

Tout point matériel m1 exerce sur tout autre point m2 la force d’attraction

Soit R’ animé d’une vitesse constante V par rapport à R.

Un point M immobile dans R’ se déplace dans R selon

tVMOOM

'

R=R’M t=0

tV

R

R’

OM

t>0

La vitesse du point M est différente dans R et R’,

RRVvv /''

étant constant, l’accélération est la même,

'

V

Et les lois de la Physique seront les mêmes : R et R’ sont des référentiels galiléens (lois de Newton)

2.2 Invariance Galiléenne

L’étude d’un mouvement nécessite un point de repère ou « référentiel » R.

Selon le référentiel choisi, le même mouvement peut prendre une forme différente

+𝑂𝑂 ′  

2.5 Forces usuelles en Mécanique- Forces Fondamentales

Eqer

qqrF r

22

0

2121 4

)(

Force de Coulomb : une charge q1 exerce sur tout autre charge q2 la force (attractive ou répulsive)

Force de LorentzR

Autres forces agissant à distance

)( BvEqF

Réaction du support

zemgP

Un corps de masse m exerce sur le support le poids

2.5.4. Forces de réaction

Le support oppose une force de réaction de signe opposé

PR

Donc la somme des forces agissant sur le corps s’annule, et il n’y a pas d’accélération.

0 PRm

R

P

zemg

Mouvement contraint

sinmgtP

patin glissant sur une pente.

Le support oppose une force de réaction

nmgR

cosLa composante parallèle accélère le patin :

φR

n

t

tmgPRm sin

mComposante du poids perpendiculaire à la surface

P

On intègre la composante tangentielle

sin2

1)(sin)(sin 2gttygttygy

y

Composante parallèle

cosmgnP

nmgRtmgPRm

)cos(sin

tg

sin

Mouvement dans un gaz ou un liquide

2.5.5 Forces de frottement fluide

vF

Chocs avec les molécules de l’air

v

Les chocs étant plus violents en direction du mouvement,l’air freine en permanence le mouvement et exerce une force sur la particule

En régime stationnaire l’accélération est nulle

PFm

Le corps atteint alors sa vitesse limiteze

mgv

Chute libre

0 zemgvPF

Cas Dynamique

zemgP

Un corps de masse m exerce sur le support le poids

Le support oppose une force de réaction de signe opposé

PN

Si l’on tire le corps avec une force ,le frottement va s’opposer au mouvement … N

P

CN

T Coefficient de frottement cinétique tan α=μc

F

T

R

αet

2.5.6 Forces de frottement solide

Cas statique

sinmgtP

Les frottement sur le support peuvent opposer une force de réaction qui compense le poids …

cos. mgnRN

φN

n

t

T

Composante du poids perpendiculaire à la surface

P

…tant que

x

Composante parallèle

cosmgnP

2.5.6 Forces de frottement solide

sN

T

PR

sinmgtRT

Coefficient de frottement statique

Si tan φ>μs Mise en mouvement

Réaction du support

zemgP

Un corps de masse m exerce sur le support le poids

Le support oppose une force de réaction de signe opposé

PN

Si l’on tire le corps avec une force ,le frottement va s’opposer à la mise en mouvement …

0 RPF

N

P

…tant que sN

T Coefficient de frottement statique

Si >μs N= μsmg Mise en mouvement

F

T

R

𝑇=−𝐹 et

• Loi de Hooke

force de rappel due à un ressort

) où est la position d’équilibre (stable)

• Forces de Van der Waals

Courte portée = force de contact

Longue portée =force électromagnétique attractive mais de courte portée

FAMFM A )(Le moment par rapport à A d’une force exercée sur un point M est donnée par

2.5 Théorème du moment cinétique

2.5.1 Moment d’une force

)(MpAMA

Soit M un point matériel de masse m et vitesse )(Mv

Le moment cinétique par rapport à un point A est donné par

Remarque : ces moments dépendent du point de référence

pAAAAAMMA AA

''' '

2.5.2 Moment cinétique

= m

Notion de couple : Si la résultante des forces appliquées est nulle, le moment total des forces devient indépendant du point A. On appelle couple ce moment total

A’ = A + A

M

A

)(Mv

A’

M

'A

)(Mv

Calculons la dérivée temporelle

Frvvmdt

pdrp

dt

rdpr

dt

d

dt

d

)(

Frdt

d

2.5.3 Théorème du moment cinétique

PFD !

0 vv

Avec on trouve Frdt

d

Une force centrale avec son centre à l’origine est définie par

rerFrF

)()(

Pour un corps soumis à une force centrale, le moment cinétique est conservé.

(Symétrie de rotation)

Dans ce cas la dérivée du moment cinétique est nulle,

const)()( 0 rerFrF

et on obtient une loi de conservation importante :

0 rerFdt

d