Mathématiques et physique (les débuts de la mécanique ...Math ematiques et physique (les d ebuts de la m ecanique quantique) Nalini Anantharaman Universit e Paris 11, Orsay 30 janvier

Histoire de l’atome jusqu’a Rutherford L’idee de “quantum” d’energie La nouvelle mecanique Paradoxes et bizarreries

Mathematiques et physique (les debuts de lamecanique quantique)

Nalini Anantharaman

Universite Paris 11, Orsay

30 janvier 2014



La philosophie est ecrite dans ce grand livre qui se tientconstamment ouvert devant les yeux (je veux dire l’Univers), maiselle ne peut se saisir si tout d’abord on ne se saisit point de lalangue et si on ignore les caracteres dans lesquelles elle est ecrite.Cette philosophie, elle est ecrite en langue mathematique ; sescaracteres sont des triangles, des cercles et autres figuresgeometriques, sans le moyen desquels il est impossible de saisirhumainement quelque parole ; et sans lesquels on ne fait qu’errervainement dans un labyrinthe obscur.Galilee, Il Saggiatore, 1623



idee philosophique

chimie : notion d’element chimique, de reaction

etude des fluides et des gaz

etude des cristaux


J. J. Thomson : preuve de l’existence de l’electron, modeledu “plum pudding” pour l’atome (1897).

Tube de Crookes


Spectres d’emission et d’absorption


Rutherford : experience de la feuille d’or, modele planetaire(1911)



Voir un atome ?


Spectre du corps noir

“ Le corps noir est un objet ideal qui absorberait toute l’energieelectromagnetique qu’il recevrait, sans en reflechir ni entransmettre. La lumiere etant un rayonnement electromagnetique,elle est absorbee totalement et l’objet devrait donc apparaıtre noir,d’ou son nom. Cependant, compte tenu qu’un pareil corps pourraitemettre de la lumiere sous l’effet d’augmentation de satemperature, il n’est pas correct d’affirmer que le corps noirparaıtrait noir dans toutes les conditions. L’objet reel qui serapproche le plus de ce modele est l’interieur d’un four. ”


“ Le Soleil nous apparaıt visuellement jaune, il emet de la lumiereblanche, on dit que c’est un corps noir a la temperature de 5 800o

K (Soit environ 5 500o C).[...] Cette appellation peut etre prise comme un raccourci delangage. Une surface qui absorbe pratiquement toutes lesradiations qui lui parviennent apparaıt noire. Ceci, par opposition aune surface qui reemet toutes les radiations qui lui parviennent etqui est une surface blanche.[...]Pour modeliser un corps noir on peut imaginer une cavite, rempliede gaz, maintenue a une temperature donnee T, rugueuse, peinteen noire et percee d’un petit trou. Le revetement noir estpartiellement absorbant. Si un rayon de lumiere entre dans lacavite, en raison des absorptions et des diffusions successives sur laparoi interieure de la cavite, un rayon de lumiere pourra sortir de lacavite, mais en ne restituant qu’une tres faible partie de l’energieincidente. La cavite apparaıtra noire a un observateur situe en facede l’ouverture.


Une fenetre qui se presente, ouverte, sur une facade en plein soleilest vue comme un corps noir alors que la fenetre fermee est unesurface reflechissante [...].Le rayonnement d’une etoile est comparable a celui d’un corpsnoir. En effet, une etoile est tres epaisse. C’est une sourced’energie (fusion thermonucleaire). Mais le rayonnement y estpiege par differents processus. Le rayonnement sort de l’etoile, enmoyenne, au bout de millions d’annees. Le milieu stellaire secomporte donc comme la cavite modelisant le corps noir.”


“Rayonnement de corps noir : 1. Definition : rayonnement emis parun milieu en equilibre thermodynamique. Un exemple de corpsnoir : le Soleil.2. Obtention d’un corps noir. Soit une enceinte fermee dans unthermostat a la temperature T. On la met a l’equilibrethermodynamique, puis on perce une petite ouverture, de facon ane pas modifier l’equilibre. On regarde la luminancemonochromatique qui sort.”


Spectre du corps noir (Planck 1900, Einstein 1905)

On considere un ensemble de N oscillateurs de frequence ν. Leurenergie totale est

U = U1 + U2 + . . .+ UN .

Les energies individuelles U1, . . . ,UN sont distribueesarbitrairement (aleatoirement) entre les N particules.

L’entropie est, par definition,

S(U) = kB ln (Volume de l’ensemble des configurations possibles)

(modele continu) ou

S(U) = kB ln (Nb de configurations possibles)

(modele discret)


Spectre du corps noir (Planck 1900, Einstein 1905)

On considere un ensemble de N oscillateurs de frequence ν. Leurenergie totale est

U = U1 + U2 + . . .+ UN .

Les energies individuelles U1, . . . ,UN sont distribueesarbitrairement (aleatoirement) entre les N particules.L’entropie est, par definition,

S(U) = kB ln (Volume de l’ensemble des configurations possibles)

(modele continu) ou

S(U) = kB ln (Nb de configurations possibles)

(modele discret)


Equilibre thermodynamique :

dS

dU=

1

T.


Dans le modele continu, U = U1 + U2 + . . .UN .

Vol de l’ensemble des configurations possibles

=

∫U1+U2+...UN−1≤U

dU1dU2 . . . dUN−1

= UN−1Vol (TN−1)

doncS = kB (N − 1) lnU + kB ln (Vol (TN−1))

etdS

dU=

1

T=

kB (N − 1)

U∼ kB

U.


La relation U = kBT ne concorde pas du tout avec l’experiencepour le spectre emis a haute frequence ν.

“Catastrophe ultraviolette”


La relation U = kBT ne concorde pas du tout avec l’experiencepour le spectre emis a haute frequence ν.“Catastrophe ultraviolette”


Planck essaie un modele discret : l’energie de chaque oscillateurdoit etre un multiple entier d’un grain elementaire ε, appele“quantum d’energie”.

U1 = P1ε, . . . ,UN = PNε

U = P1ε+ . . .+ PNε = (P1 + P2 + . . .+ PN) ε = Pε


A P fixe, le nombre de configurations possibles pour nos Noscillateurs est

Nb de configurations possibles =(N + P − 1)!

(N − 1)!P!= CN−1

N+P−1.

Entropie :

S = kB (ln (N + P − 1)! − ln (N − 1)! − lnP!)


et Planck utilise l’approximation de Stirling :

lnN! ∼ N lnN

donc pour l’entropie

S ∼ kB ((N + P − 1) ln (N + P − 1) − (N − 1) ln (N − 1) − PlnP)

∼ kB ((N + P) ln (N + P) − NlnN − PlnP)

et avec U = Pε,

S ∼ kBN

((1 +

U

Nε

)ln

(1 +

U

Nε

)− U

Nεln

U

Nε

)d’ou

dS

dU=

1

T=

kBε

(ln

(1 +

U

Nε

)− ln

U

Nε

)et la relation

U =ε

eε/kBT − 1


U =ε

eε/kBT − 1

et Planck montre (par comparaison avec d’autres lois connues) queε = hν ou h est une constante.


Eugene Wigner, 1960 :“ La deraisonnable efficacite des mathematiques dans les sciencesnaturelles”


Cet

“artifice de calcul”

est a l’origine d’une revolution dans ledomaine de la physique :– idee de “quantum d’energie” : dans les interactions entre lesondes electromagnetiques et la matiere, les echanges d’energie sont“quantifies”– invention de la notion de “photon” par Einstein (1905)


Cet “artifice de calcul” est a l’origine d’une revolution dans ledomaine de la physique :– idee de “quantum d’energie” : dans les interactions entre lesondes electromagnetiques et la matiere, les echanges d’energie sont“quantifies”– invention de la notion de “photon” par Einstein (1905)


Modele de Bohr pour l’atome d’hydrogene

Le moment cinetique est “quantifie” J = nh.


Echec total de cette theorie pour l’atome d’Helium !

Max Born, Werner Heisenberg, Pauli... tentent de trouver desregles de quantification pour expliquer le spectre de l’atomed’Helium.


Pour leurs calculs ils s’inspirent des calculs faits au 19eme sieclepar les astronomes et le mathematicien Henri Poincare pour lesysteme Soleil + Jupiter + Terre.



Devant l’echec de ces methodes “semiclassiques”, WernerHeisenberg decide d’inventer de nouvelles lois de la mecanique !


Notion centrale : la notion de quantite observable

: l’energie, lemoment cinetique, la quantite de mouvement, la position.En mecanique classique, les observables sont des “fonctions” : parexemple l’energie de l’electron :

E (x , y , z , vx , vy , vz) =m(v2x + v2

y + v2z

)2

− q2

4πε0

√x2 + y2 + z2

En mecanique quantique, les observables sont des “matrices”(operateurs).


Notion centrale : la notion de quantite observable : l’energie, lemoment cinetique, la quantite de mouvement, la position.

En mecanique classique, les observables sont des “fonctions” : parexemple l’energie de l’electron :

E (x , y , z , vx , vy , vz) =m(v2x + v2

y + v2z

)2

− q2

4πε0

√x2 + y2 + z2



Notion centrale : la notion de quantite observable : l’energie, lemoment cinetique, la quantite de mouvement, la position.En mecanique classique, les observables sont des “fonctions” : parexemple l’energie de l’electron :

E (x , y , z , vx , vy , vz) =m(v2x + v2

y + v2z

)2

− q2

4πε0

√x2 + y2 + z2



Notion centrale : la notion de quantite observable : l’energie, lemoment cinetique, la quantite de mouvement, la position.En mecanique classique, les observables sont des “fonctions” : parexemple l’energie de l’electron :

E (x , y , z , vx , vy , vz) =m(v2x + v2

y + v2z

)2

− q2

4πε0

√x2 + y2 + z2



A une matrice, on peut associer un “spectre” de valeurs(λ1, λ2, ..., λn, . . .).L’energie emise par un atome lors d’une transition electronique dela couche n vers la couche m est

En→m = λm − λn

ou (λ1, λ2, ..., λn, . . .) est le spectre de la matrice Energie.C’est ainsi que l’on calcule le spectre d’emission et d’absorptiond’un atome.


Une idee concurrenteLouis De Broglie (1923) : idee de la dualite onde-corpuscule.Schrodinger (1925) propose de decrire l’electron comme etant uneonde.Cette onde est regie par une equation inventee par Schrodinger

i~dψ

dt=

(−~2∆

2m+ V

)ψ

ψ(x , y , z) est la fonction d’onde.


Interpretation probabiliste de la fonction d’onde par Max Born


Probleme de la mesure en mecanique quantique.

Figure: Bohr et Einstein


Probleme de la mesure en mecanique quantique.

Figure: Bohr et Einstein


Principe d’incertitude de Heisenberg : quand deux observables necommutent pas, elles ne peuvent pas etre considereessimultanement, la connaissance de la valeur de l’une entraıne uneincertitude sur la valeur de l’autre.Par exemple, la position et la quantite de mouvement de l’electron.


Notion d’intrication quantique et probleme de l’“action a distance”.

Figure: Einstein, Podolsky et Rosen, 1935


Dualite onde-corpuscule.

Figure: Douglas Hofstadter, 2001


Dualite onde-corpuscule.

Figure: Tonomura, 1986


Superposition d’etats, chat de Schrodinger

Figure: ψ = ψ1 + ψ2


Chacune de nos lois est un enonce purement mathematique, et entermes mathematiques fort complexes et abstraits. La loi de lagravitation, telle que Newton l’enonca, n’utilise que desmathematiques assez simples. Mais cela devient de plus en plusabstrait et difficile au fur et a mesure que nous avancons.Pourquoi ? Je n’en ai pas la moindre idee. Mon seul but ici, c’estde vous indiquer ce fait. Le drame de cette conference, c’estjustement que je dois vous faire comprendre qu’on ne peutserieusement expliquer la beaute des lois de la nature et surtout dela faire ressentir a des gens qui n’ont aucune connaissanceprofonde des mathematiques. J’en suis desole, mais apparemment,c’est comme ca. Richard Feynman, La nature de la physique(Seuil-Points Sciences 1980)


Le miracle de l’adequation du langage des mathematiques a laformulation des lois de la physique est un cadeau merveilleux, quenous ne comprenons et ne meritons pas. Nous devrions en etrereconnaissant, et esperer qu’il perdurera pour les recherches futureset s’etendra, pour le meilleur et pour le pire, a notre grand plaisir,et cependant aussi peut-etre a notre grande confusion, a desdomaines varies du savoir.E. Wigner

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Mathématiques et physique (les débuts de la mécanique ...Math ematiques et physique (les d ebuts de la m ecanique quantique) Nalini Anantharaman Universit e Paris 11, Orsay 30 janvier