8/13/2019 int_ts.pdf
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Terminale S Exercices de rvision (fiche no ) Calcul intgral
Exercice . . Pour tout entier naturelnnon nul, on pose
In =
n!
(x)nexdx.
(a) laide dune intgration par parties, calculerI.
(b) Montrer que, pour tout entier naturelnnon nul,
In
n!
exdx.
En dduire limn+
In .
(c) Montrer, en utilisant une intgration par parties, que, pour
tout entier naturelnnon nul,
In+ =
(n+ )! In .
. On considre la suite relle (an) dfinie sur N par a =
an+ = an +()n+
(n+)! pour tout entier naturelnnon nul
(a) Dmontrer par rcurrence que, pour tout entier naturelnnon
nul,
an =
e+ ()nIn .
(b) En dduire limn+
an .
Exercice . Pour tout entier natureln, on considre la fonction
fndfinie sur R par
fn(x)=e(n)x
+ ex .
. tude de fet fOnappelle()e t ()
lescourbesreprsentativesdefetfdansun repreorthonorm(O,, ), dont
lunit graphique est cm.
(a) Dterminer la limite de fen et en+.
(b) tudier les variations def.
(c) Montrer que le pointI( ;
) est un centre de symtrie de ().
(d) Dterminer une quation de la tangente enI ().
(e) Montrer que, pour tout relx, f(x)=f(x).
(f) Par quelle transformation simple () est-elle limage de ()
?
. Calcul dune aire
(a) Montrer que, pour tout relx,f(x)+f(x)= .
(b) Soitun rel positif ou nul. Calculer
f(x)dx, puis
f(x)dx.
(c) En dduire laireA() de la partie du plan dfinie par x
f(x)y
(d) Dterminer la limite de A() quandtend vers +.
. tude dune suite
Pour tout entier naturel n, on poseun =fn(x)dx.
(a) Calculeruetu.
(b) Montrer que, pour tout entier natureln,
un++un =
n
en
en
.
(c) En dduire la limite, quandntend vers +, deun++un .
(d) Montrer que, pour tout relxde [,],
e(n)x
+ex
enx
+ ex.
(e) En dduire le sens de variation de la suite (un), puis sa
limite en +.
Exercice .Pourtout entier natureln, on considre la
fonctionfndfiniesur ] ,+]par
fn(x)=ex
x+n lnx.
On appelle (Cn) la courbe reprsentative de fn dans un repre
orthonorm (O,, ), dontlunit graphique est cm.
. Pour tout entier natureln, tudier les variations de fnsur ]
,+]. [On distinguera lescasn =etn ].
. Pour tout entier natureln , tudier les positions relatives des
courbes (Cn+) et (Cn).
. Pour tout entier natureln, on pose
In =
fn(x)dx.
(a) Donner une interprtation graphique de cette intgrale.
(b) tudier le sens de variation de la suite (In).
(c) Dmontrer que, pour tout entier naturel n , laire de la
partie du plan compriseentre les courbes (Cn+) et (Cn) et les
droites dquations x= et x=
est une
constante que lon calculera.
(d) Pour tout entier natureln , exprimerIn en fonction deI. En
dduire la limite dela suite (In).
