IREM de Rouen et Math Adore

Rallye Mathmatique de Haute Normandie

Lundi 28 mars 2011

Sujets classes de troisime - seconde Dure 1h30

- Les 4 premiers exercices sont traiter par tous les lves - Lexercice Spcial est traiter uniquement par les lves des classes concernes

Exercice 1 : A vos ciseaux

Nicole dispose dune feuille de carton carre de 1mm dpaisseur sur laquelle elle effectue les oprations suivantes :

1re opration : elle coupe cette feuille en deux parties gales suivant une parallle un ct et superpose les deux rectangles obtenus. Elle obtient ainsi un nouveau rectangle dpaisseur 2 mm.

2me opration : elle coupe ce nouveau rectangle en deux parties gales suivant une parallle la largeur et superpose les morceaux.

a) A ce stade, combien de carrs superposs a-t-elle obtenu ?

Elle poursuit les dcoupages et les superpositions jusqu la sixime opration et elle constate quelle obtient un cube.

b) Ce cube est constitu de combien de feuilles carres superposes ? c) Quelle est la mesure de larte du cube ? d) Quelle est la mesure du ct de la feuille carre initiale ?

Exercice 2 : Melancholia

Au XVIme sicle, dans son clbre tableau Melancholia , le peintre mathmaticien Albrecht Drer a dessin un carr magique. Sur une reproduction de ce tableau quelques nombres ont t effacs sur le carr magique. Mais nous savons que les deux cases centrales de la ligne du bas donnent lanne de cration du tableau.

On rappelle que dans ce carr magique les nombres entiers de 1 16

doivent tre inscrits dans les cases une fois et une seule, et que la

somme par ligne, par colonne et sur les deux diagonales est la mme.

a) Quel nombre inscrivez-vous dans la case grise ?

b) Quelle est la somme des nombres entiers de 1 16 ?

16

13

10

11

7

4

c) Complter le carr magique.

Exercice 3 : Le poisson de Piero della Francesca

Vers 1480, le mathmaticien Piero della Francesca propose la sagacit de ses contemporains le problme suivant : Un poisson constitu de trois parties, son corps, sa queue et sa tte, pse 51 livres. La tte pse 1/3 du corps, la queue pse 1/4 de la tte. Que psent le corps, la tte et la queue ?.

Rpondez aux trois questions de Piero della Francesca.

Exercice 4 : La famille Cent La famille cent est compose des couples de nombres entiers strictement positifs tels que si on additionne leur produit, leur diffrence (le plus grand moins le plus petit) et leur somme le rsultat est gal cent.

Dterminer tous les couples de nombres de la famille Cent.

Spcial Seconde : La chvre Biquette

Biquette est attache au centre O dun enclos circulaire de rayon 5m par une corde. Lenclos est ouvert suivant un arc de cercle AB. Langle AOB est gal 60. Par ailleurs des barrires [AC] et [BD], de longueur 5m, situes comme lindique la figure, limitent lorsque la corde est trop longue, les dplacements de Biquette.

Quelle est la surface que peut brouter Biquette dans chacun des cas suivants : a)La corde est de longueur 5m. b)La corde est de longueur 10m. c)La corde est de longueur 11m.

Spcial Troisime : Un problme de jardinier

Un jardinier doit amnager, lintrieur dun terrain carr, un massif carr (gris sur le dessin). Les deux carrs ont le mme centre et leurs cts sont parallles. Il achte 156 m2 de gazon en rouleaux de 1m de largeur. Il place tout ce gazon sur une alle de 1m de largeur autour du massif. (cette bande de gazon est reprsente par la partie non grise sur le dessin ci-contre).

Quelle est la mesure du ct du terrain carr ? Quelle est la mesure du ct du massif carr ?

Spcial Troisime Professionnelle : On dcoupe et on colle

Aprs avoir dcoup des jetons carrs numrots de 1 8, vous devez les placer sur les cases du dessin ci-contre de telle sorte que le nombre situ au milieu dun ct soit la diffrence entre les nombres situs aux sommets de ce ct. On collera soigneusement les jetons dcoups sur les cases de la feuille rponse.

Spcial Seconde Professionnelle : Un cylindre dans un cube Un rcipient cylindrique de volume 50,24 litres (50240 cm3) est tel que sa hauteur est gale son diamtre. Dans cet exercice on suppose que =3,14.

a) Quelle est la mesure du rayon de ce rcipient ?

b) On construit le plus petit cube contenant ce rcipient. Quel est en litres le volume de ce cube ?