IUT de Nice - phgeorges.free.frphgeorges.free.fr/docs/sciences/hydraulique.pdf · Ecoulement laminaire ... canaux de transport et d'irrigation, ... une particule liquide circulant

IUT de Nice

Département Génie Electrique & Informatique Industrielle

1ère Année

Histoires d'Eau

Bases de l'hydrostatique & de l'hydrodynamique

Jean Demartini © 30 novembre 2001

Sommaire

1. L'Etat liquide...................................................................................................... 2

1.1. Rigidité parfaite.................................................................................................... 2 1.2. Fluidité parfaite.................................................................................................... 3 1.3. Modèle du liquide idéal ........................................................................................ 3

2. Hydrostatique .................................................................................................... 7

2.1. Notion de Pression statique ................................................................................. 8 2.2. Pression atmosphérique ..................................................................................... 10 2.3. Unités et Dimensions ......................................................................................... 12 2.4. Propriétés de la Pression.................................................................................... 12 2.4.1. La Pression est une Grandeur Scalaire ............................................................ 12 2.4.2. Principe d'Archimède.......................................................................................... 15 2.4.3. Théorème de Pascal ............................................................................................ 16 2.5. Energie potentielle dans un Liquide ................................................................. 17

3. Hydrodynamique............................................................................................. 19

3.1. Liquide idéal en Mouvement ............................................................................. 20 3.1.1. Quelques définitions........................................................................................... 20 3.1.2. Conservation du Volume, le Débit..................................................................... 21 3.1.3. Conservation de l'Energie : Droite de Charge .................................................. 21 3.1.4. Equations de Bernouilli...................................................................................... 23 3.1.5. Ecoulement libre : Formule de Torricelli .......................................................... 24 3.2. Liquide réel en Mouvement ............................................................................... 25 3.2.1. Viscosité : Définition........................................................................................... 25 3.2.2. Différents Types de Liquides ............................................................................. 27 3.2.3. Travail des Forces de Frottement : Pertes de Charge...................................... 28 3.3. Ecoulement laminaire ........................................................................................ 29 3.4. Ecoulement turbulent......................................................................................... 31

4. Exercices ........................................................................................................... 33

- i -

Histoires d'Eau

L'hydraulique est l'étude des fluides incompressibles (les liquides) par opposition à l'Aérodynamique qui est l'étude des fluides compressibles (les gaz). L'orthographe surprenante du mot hydraulique vient de son origine grecque. Ce mot est composé de la racine hydro qui veut dire eau et du suffixe aulos qui veut dire flûte (tuyau musical). En effet la première application connue, abordée scientifiquement, de la technologie de l'eau a été la réalisation d'un orgue à eau.

Cette introduction n'a pas la prétention d'être totalement rigoureuse, elle va simplement tenter d'amener quelques images et quelques notions permettant d'appréhender les principaux phénomènes mis en jeu lors de la manipulation des liquides. Elle fera donc plus souvent appel à l'intuition et les développements mathématiques seront maintenus au niveau strictement indispensable.

L'hydraulique est une science difficile lorsqu'elle prétend expliquer la forme des vagues dans la mer et des lignes de courant d'une rivière. Nous ne nous intéresserons donc qu'à l'étude simplifiée des phénomènes hydrauliques rencontrés dans les mécanismes hydrauliques laissant de côté l'étude délicate des phénomènes naturels.

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Histoires d'Eau L'Etat liquide

1. L'Etat liquide

La matière peut se trouver, schématiquement, dans trois états : état solide, état liquide et état gazeux. Ces différents états ne sont pas faciles à caractériser. On peut cependant introduire deux notions (que nous accepterons intuitivement) : la rigidité et la cohésion. Lorsqu'on applique une force à un élément de matière, sa rigidité caractérise son aptitude à conserver son volume et sa cohésion son aptitude à conserver sa forme.

On peut alors donner ce schéma qui permet de fixer les idées :

Fluides

Cohésion

Solides

LiquidesGaz

Rigidité

figure 1 : Les différents états de la matière.

En résumé on peut dire qu'un liquide idéal est une forme de matière parfaitement rigide mais n'ayant aucune cohésion (un élément de matière sans cohésion est un fluide).

1.1. Rigidité parfaite

L'hypothèse de rigidité parfaite est pratiquement toujours bien respectée par les liquides. Ils peuvent être considérés comme incompressibles, au moins aux pressions courantes rencontrées dans la nature (environ 0,5 bar au sommet de l'Everest jusqu'à 1000 bars dans la fosse marine la plus profonde connue). L'automaticien (donc l'étudiant de GE&II) s'occupe peu de l'écoulement des liquides (rivières, canaux de transport et d'irrigation, adduction d'eau etc.), par contre il utilise couramment des liquides pour exercer des forces à distance (penser au système de freinage hydraulique d'une voiture et aux vérins hydrauliques utilisés par les engins de travaux publics). Les pressions rencontrées, dans ce cas, peuvent aller jusqu'à 200 ou 300 bars.

- 2 -


Dans le cas des pressions extrêmes utilisées (200 à 300 bars, ce qui est finalement faible pour un liquide), les récipients ne sont plus d'une rigidité parfaite et ils se déforment en augmentant légèrement de volume donnant l'impression que le liquide s'est comprimé1. D'autre part, un liquide recèle toujours une certaine quantité de gaz dissous (de l'air souvent) dont la présence permet au mélange liquide-gaz de se comprimer un peu. Définir un module de compressibilité pour le liquide (variation de son volume apparent rapportée à la variation de pression qui l'a provoquée) permet de tenir compte de tous ces phénomènes.

Nous venons d'utiliser sans l'avoir défini et à plusieurs reprises le mot pression. Pour l'instant contentons-nous d'en avoir la compréhension intuitive que la vie courante nous en donne. Nous n'essaierons de définir rigoureusement la pression que plus tard. L'unité industrielle de pression est le bar. Un bar est à peu près égal à la pression atmosphérique. L'unité légale de pression est le pascal (environ 10 bar). L'hectopascal actuel des météorologues correspond à leur ancien millibar. Une autre unité de pression est très utilisée : le PSI (pound per square inch) ! Mais nous reviendrons sur tout cela.

5−

C'est l'absence de rigidité parfaite qui engendre l'élasticité des solides idéaux. L'élasticité traduit le fait qu'un solide presque idéal (ou un liquide presque parfaitement rigide) emmagasine de l'énergie potentielle lors d'une déformation2. L'idéalité implique que cette énergie sera totalement récupérée lorsque la force qui engendre la déformation cessera de s'appliquer. Ainsi donc, un solide (un liquide) idéal est parfaitement rigide, un solide (un liquide) réel est élastique.

1.2. Fluidité parfaite

L'hypothèse de l'absence totale de cohésion dans les liquides n'est que très mal respectée par les liquides réels. En fait, ils apparaît toujours une force (en générale faible mais pas négligeable) lorsqu'ils changent de forme. Cette force peut être assimilée à une force de frottement entre les différents éléments de volume élémentaires du liquide. La détermination de la force ainsi engendrée par un changement de forme du liquide dépend d'un coefficient appelé sa viscosité. Ainsi si un liquide idéal est parfaitement fluide, un liquide réel est visqueux (cette viscosité-là n'est ni gluante ni répugnante).

1.3. Modèle du liquide idéal

Dans ces conditions, un liquide est quelque chose de très paradoxal, car comment peut-on être à la fois rigide et fluide, c'est à dire avoir à la fois l'élasticité du solide et la fluidité d'un gaz ? Comment peut-on conserver son volume sous l'effet d'un force élevée et se déformer sous l'effet d'une force infime ?

1 Imaginer une expérience qui permettrait de justifier cette affirmation.

2 Penser au comportement du ressort vu en mécanique.

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C'est cet aspect paradoxal qui rend l'étude des liquides à l'état naturel si difficile, c'est pourquoi nous nous contenterons d'étudier les liquides contenus dans des récipients. L'introduction de cette restriction nous permet d'acquérir une intuition plus concrète de la rigidité et de la fluidité d'un liquide.

Force

Piston

Liquide

figure 2 : Rigide et Fluide à la fois ! A gauche, même une force très élevée n'arrivera pratiquement pas à comprimer le liquide contenu dans le cylindre (il est rigide). A droite, le liquide coule sans qu'il soit nécessaire d'exercer le moindre effort (il est fluide).

Pour pouvoir raisonner à propos des liquides, nous allons nous en donner l'image d'un ensemble de particules :

Particule liquide

figure 3 : Globules (Particules) de liquide. Un certain volume de liquide est constitué d'un ensemble de particules liquides microscopiques, indéformables et assimilables à des solides (pensez à de petites billes de liquide).

Ces particules n'ont aucune cohésion et aucune force notable d'attraction ou de frottement ne s'exerce entre elles (au moins dans le cas idéal).

Cette vision particulaire des liquides permet d'en avoir une approche mécanique laquelle s'est, très vite, révélée particulièrement riche puisque les bases de l'hydrostatique (étude des liquides au repos) sont dues à Archimède (287-212 av. JC) puis à Pascal (1623-1662), les bases de l'hydrodynamique (étude des liquides en mouvements) et la définition de la viscosité d'un fluide réel sont dues à Newton (1642-1727) tandis que l'équation d'écoulement d'un fluide idéal est due au cadet de la famille des Bernouilli (Daniel, 1700-1782). En d'autres termes, ce que nous allons voir maintenant date du 17ème et du 18ème siècle. Considérer les liquides comme un ensemble de particules solides permet des raisonnements curieux au premier abord mais tout à fait pertinents.

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Soit une particule de liquide située à une altitude h (dans un lac de montagne ou dans un château d'eau).

h

Particule de masse m

0

figure 4 : Energie potentielle dans un liquide.

L'énergie potentielle de cette particule est donnée par :

E g hp m=

Cela signifie d'une part que des particules de liquide nécessitent un certain travail pour être élevées en altitude (travail fourni, par exemple, par une pompe pour monter de l'eau dans un réservoir) et d'autre part que des particules de liquide placées en altitude fournissent un travail lorsqu'elles descendent spontanément (travail fourni par une chute d'eau qui alimente une centrale hydroélectrique par exemple).

Soit, à présent, une particule liquide circulant dans un tuyau avec ses consoeurs.

v

Particule liquide de masse manimée d'une vitesse v

figure 5 : Energie cinétique dans un liquide.

L'énergie cinétique de cette particule est donnée par :

- 5 -


E mc =12

2v

Cela signifie d'une part qu'il faut fournir un certain travail pour mettre des particules liquides en mouvement (par exemple en leur faisant perdre de leur énergie potentielle par diminution de l'altitude - pensez aux conduites forcées descendant l'eau d'un barrage vers une turbine hydroélectrique) et que d'autre part on récupère un travail lorsqu'on freine des particules de liquide (ce travail peut faire tourner une hélice ou une roue de moulin par exemple).

Ces considérations énergétiques ne permettent pas toujours une étude commode des phénomènes hydrauliques ; nous allons devoir introduire d'autres notions comme la pression et le débit.

A la fin de cette introduction à l'hydraulique, nous allons prendre une image encore plus audacieuse. Après avoir passé de longs mois à comprendre le comportement des circuits électriques, il serait dommage de ne pas rentabiliser tout ce savoir-faire si péniblement acquis. Nous montrerons alors qu'en chaussant les lunettes appropriées, on pourra voir un circuit hydraulique comme s'il s'agissait d'un circuit électrique. On construira une analogie hydraulique-électrique dans laquelle les particules de liquides seront assimilées à des charges électriques (sans charge !), les dispositifs hydrauliques courants à des résistances, capacités et inductances électriques et nous retrouverons alors des lois connues pour décrire le comportement des dispositifs hydrauliques.

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Histoires d'Eau Hydrostatique

2. Hydrostatique

L'hydrostatique est l'étude des liquides au repos. La vision particulaire que nous avons du liquide nous amène à dire que, dans ce cas, la résultante des forces qui s'exercent sur une particule de liquide est nulle. Dans le cas contraire, la mécanique nous apprend que cette particule serait soumise à une accélération et se mettrait en mouvement.

figure 6 : Liquide au repos. Les forces exercées sur une particule par ses voisines sont exactement compensées par les réactions de celles-ci.

Ainsi, si on place un liquide dans un champ de gravité, chaque particule supporte le poids de tout ce qui est situé au-dessus et appuie sur ce qui est situé au-dessous en y ajoutant son propre poids. Les forces latérales se compensent mutuellement et pour les particules en contact avec la paroi du récipient, c'est cette paroi qui fournit la force de réaction nécessaire.

Notre vision particulaire du liquide va nous permettre de décrire une propriété très importante des liquides au repos : leur surface supérieure libre est horizontale.

- 7 -


Particule liquidenon équilibréepar sa voisine

de gauche

figure 7 : Les liquides au repos ont une surface horizontale. La particule liquide grisée (entre autre) n'est pas équilibrée par sa voisine de gauche, la résultante des forces qui s'appliquent sur elle n'est pas nulle. Elle se met alors en mouvement en descendant la pente. Son énergie potentielle se transforme en énergie cinétique. Elle va couler jusqu'à ce qu'elle rencontre soit une paroi soit une voisine dont la réaction va annuler la résultante des forces qui s'appliquent sur elle.

La surface supérieure, en toute rigueur, n'est pas horizontale, elle suit une équipotentielle (surface le long de laquelle l'énergie potentielle des particules est constante3). Ce phénomène est très facile à observer, il suffit de remplir un seau d'eau puis de le faire tourner à bout de bras dans un plan vertical. Le seau ne se vide pas lorsqu'il passe au-dessus de notre tête. Cette équipotentielle n'est plane et horizontale (en fait très légèrement sphérique sur terre) que dans un champ de pesanteur.

g : accélération de lapesanteur

fc : force centrifuge

C : champ apparentde pesanteur

figure 8 : Les liquides au repos ont une surface équipotentielle. Dans une centrifugeuse, la surface de l'eau contenue dans les godets est oblique ; elle est perpendiculaire à la résultante de la force centrifuge et de l'accélération de la pesanteur.

3 Montrez que le poids apparent d'une particule est perpendiculaire à une surface équipotentielle.

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2.1. Notion de Pression statique

Plaçons-nous dans un grand récipient et, par la pensée, découpons-le le long d'un plan horizontal. Quelle force faudrait-il exercer pour remplacer tout le liquide situé sous la découpe ?

Plan de découpe mentale Force équivalente

h

Ω

Poids de l'air au-dessus

figure 9 : Liquide au repos dans un grand récipient. La force équivalente qu'on cherche à déterminer correspond à celle qu'exerçaient, vers le haut, les particules de liquide que nous avons retirées.

Il est clair qu'il est nécessaire de porter d'une part le poids de liquide situé au-dessus de la découpe et d'autre part le poids de l'air situé au-dessus. La force à exercer est dirigée dans le sens contraire au poids et vaut, en valeur absolue :

F h g P= +Ω ρ 0

avec :

Ω :

:

section du récipient: masse volumique du liquide: accélération de la pesanteur

P poids de l air situé au - dessus0

ρg

′

- 9 -


Ω

m a : m a s s e d 'a ir s itu é e a u -d e s s u sp a r u n ité d e s u rfa c e a u s o l.

figure 10 : Poids de l'air au-dessus. Prolongeons, par la pensée, les parois du récipient jusqu'aux espaces intersidéraux, là où il n'y a plus d'air.

Le poids de l'air au-dessus est :

P m ga0 = Ω

Il est clair que ce poids d'air est proportionnel à la surface du récipient. La force équivalente devient donc :

F h g m gF h m g

a

a

= +

= +

Ω Ω

Ω

ρρb g

Cette force est proportionnelle à la surface du récipient elle aussi. Le coefficient de proportionnalité reliant cette force à la surface représente la force par unité de surface qu'il faut exercer pour porter le poids de tout ce qui est au-dessus. On posera, par définition :

Pression poids de ce qui est au dessus=

−surface

L'introduction du poids de l'air situé au-dessus serait un artifice stérile si nous n'avions aucun moyen pour le déterminer. Il correspond à ce qu'on appelle la pression atmosphérique. Une expérience célèbre, due à Pascal, va nous permettre de le mesurer.

2.2. Pression atmosphérique

L'expérience va se dérouler en deux temps :

1. On prépare un récipient plein de liquide, et on attend que l'équilibre soit établi. D'un autre coté, on remplit un tube de verre à ras bord avec le même liquide.

2. On retourne, sans rien renverser, le tube sur le récipient de telle sorte que l'extrémité ouverte du tube soit sous la surface du liquide.

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1 2

vide

ha

figure 11 : Mesure du poids de l'air au-dessus - Expérience de Pascal.

On constate que le niveau de liquide dans le tube descend légèrement. L'interprétation de cette expérience est assez délicate. Pendant longtemps on expliquait le fait que le tube ne se vide pas complètement dans le récipient en disant que la nature a horreur du vide ! Cette explication un peu naïve peut être améliorée. Considérons les particules de liquide situées exactement à l'endroit où on a l'intention de renverser le tube. Ces particules portent (allègrement) le poids de l'air situé au-dessus. Lorsqu'on a renversé le tube, ces mêmes particules portent la colonne de liquide située au-dessus d'elles et c'est tout ! le vide n'a pas de poids. La pression engendrée par le poids de l'air situé au-dessus est donc égale à :

p ga ah= ρ

Si on fait l'expérience avec du mercure c , on mesure

. Si on réalisait cette expérience avec de l'eau , on

mesurerait . La pression ainsi mesurée est la pression atmosphérique, elle vaut environ 1 bar (sa valeur dépend du temps qu'il fait et du temps qu'il va faire).

ρ = 13 6 3, /g cm hha = 760mm

mρ = 1 3g cm/c h

ha = 10 33,

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Pompe

h < NPSH

figure 12 : Les limites de l'aspiration - NPSH d'une pompe. Une pompe qui aspire se contente de faire le vide au-dessus du liquide, c'est la pression atmosphérique qui fait monter le liquide.

Une pompe ne peut pas aspirer un liquide à une hauteur supérieure à la hauteur ha mise en évidence tout à l'heure. C'est pour cette raison qu'on ne peut donc pas aspirer de l'eau à plus de 10,33 m de hauteur. Ce phénomène à été mis en évidence vers 1680 par René Rennequin lors de la construction, à Marly (à côté de Bougival dans les Yvelines), du système d'alimentation en eau du château et des jardins de Versailles.

La hauteur maximale d'aspiration d'une pompe est son NPSH (Net Point Suction High), cette hauteur dépend de la masse volumique du liquide aspiré, de la pression atmosphérique et de la température.

2.3. Unités et Dimensions

Compte tenu de sa définition :

Unité de pression = Unité de forceUnité de surface

newtonm2= = = − −pascal ML T1 2

A côté de l'unité légale de pression existent quelques unités pratiques :

bar pascals 105

kg cm2 pascals - Cette vieille unité est tombé en désuétude mais se trouve encore sur de vieux appareils de mesure encore en service.

0 981 105, ⋅

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m d'eau 9810 pascals - Cette unité est la préférée des hydrauliciens qui manipulent de l'eau, parlent d'irrigation, de pompes à eau etc.

PSI (Pound per Square Inch) vaut environ 7600 pascals. C'est l'unité préférée des anglo-saxons !

torr 1 mm de mercure soit environ 132 pascals. C'est l'unité des physicien manipulant le vide.

On distingue deux pressions, la pression absolue mesurée par rapport au vide et la pression relative mesurée par rapport à la pression atmosphérique. La plupart des instruments de mesure de la pression mesurent une pression relative.

2.4. Propriétés de la Pression

2.4.1. La Pression est une Grandeur Scalaire

Comme la pression a été définie par le poids situé au-dessus d'une surface unitaire, on sait réaliser une petite balance pour mesurer les pressions. Le poids étant une force, notre petite balance va être un capteur de force. Pour la construire, nous allons utiliser un caoutchouc spécial chargé en particules de carbone dont la résistance varie lorsqu'on le comprime en exerçant une force, en effet, sa résistivité diminue lorsque les particules de carbone se touchent en plus grand nombre.

Boitier rigideisolant

Filsconducteurs

Caoutchouc chargé enparticules de carbone

E

Capteur

G

figure 13 : Un capteur de Pression. Le capteur est une résistance qui dépend de la pression exercée sur la face libre du caoutchouc. La mesure de cette résistance, et surtout de ses variations, est effectuée dans un classique montage en pont. Au départ, toutes les résistances du pont ont la même valeur, celle du capteur de pression au repos. Le pont est équilibré et il n'y a pas de courant dans la branche diagonale. Lorsque le capteur est plongé dans un liquide, la pression fait varier sa résistance, le pont se déséquilibre et un courant passe à travers le galvanomètre G. La mesure de ce courant constitue une mesure de la pression.

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Doté de ce précieux instrument, nous pouvons mesurer les pressions qui règnent dans un liquide à différentes profondeurs. On peut alors vérifier que la pression relative : ∆p (différence entre la pression mesurée à la surface : p0 et celle mesurée à une certaine profondeur : p) est proportionnelle à cette profondeur.

p0

h

G

∆p = p-p0

p

h

figure 14 : Mesurons des pressions4.

Tout au long de ces mesures, nous avons bien fait attention de placer la face libre du caoutchouc du capteur vers le haut, puisque nous voulons peser ce qu'il y a au-dessus. Lorsque brusquement, nous commettons une grossière erreur, nous désorientons, par inadvertance, le capteur, sa face n'est plus dirigée vers le haut. Et là, nous avons une grosse surprise, son indication ne change pas.

4 Pour mesurer la pression relative ∆p nous avons du mesurer p0 puis systématiquement soustraire p0 de p pour obtenir ∆p. Comment modifier ce capteur pour qu'il nous indique directement une pression relative ?

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La mesure de la pression ne dépend donc pas de l'orientation du capteur.

figure 15 : La pression est isotrope. Sa valeur ne dépend pas de l'orientation du capteur.

La pression est donc une quantité scalaire, c'est la surface qui oriente la force engendrée. C'est la raison pour laquelle on représente presque toujours les surfaces par des vecteurs.

Les conséquences de l'isotropie de la pression sont nombreuses et quelquefois inattendues. Les deux plus importantes, sur un plan pratique, sont :

• Dans un liquide, la pression est égale partout sur une surface équipotentielle. En particulier, la pression au fond d'un récipient ne dépend pas de la forme du récipient mais uniquement de la hauteur de liquide.

• Deux récipients communiquants ont leur surface libre sur un même plan horizontal.

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h

La pression au fond est la même

Vase communiquants

figure 16 : Vases communiquants et autres phénomènes.

2.4.2. Principe d'Archimède

Plongeons un corps solide dans un liquide. Le fait qu'il en ressorte mouillé étant acquis, intéressons-nous aux pressions qui s'exercent sur lui.

H

h

F1 = pH.S

F2 = (pH + ρgh)S

F3 F4 = F3

Résultante des forces s'exerçant sur ce solidecylindrique de section S :

Poids - (ρghS)

figure 17 : Principe d'Archimède. Le solide est soumis à une poussée verticale venant se soustraire à son poids.

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La différence de pression entre le haut et le bas du solide engendre une poussée verticale dirigée vers les pressions décroissantes (du bas vers le haut). Cette poussée est appelée poussée d'Archimède :

P ghS gVA = = =ρ ρ poids du liquide occupant le même volume

On doit à Archimède la statique des solides et les premiers fondements de l'hydrostatique. Il découvrit son principe pour faire échec à un joaillier indélicat qui tentait d'escroquer son sponsor. C'est à cette occasion qu'il se serait écrié " Euréka ! " en sortant de son bain.

2.4.3. Théorème de Pascal

Le théorème5 de Pascal est une conséquence de la rigidité presque parfaite des liquides et de l'isotropie de la pression. On peut l'énoncer ainsi : une augmentation de pression apparaissant en un point d'un liquide se propage instantanément dans tout le liquide6.

Le théorème de Pascal a de nombreuses applications pratiques.

F1 F2

S1S2

F2 = k.F1si

S2 = k.S1

figure 18 : Principe de Pascal. Il permet la réalisation de transmetteurs ou d'amplificateurs de force.

Le liquide idéal étant incompressible, son volume se conserve, on peut alors montrer que l'amplificateur de force ci-dessus conserve le travail.

2.5. Energie potentielle dans un Liquide

L'énergie potentielle du liquide contenu dans un réservoir est la somme des énergies potentielles de toutes les particules de ce liquide. Déterminer cette

5 Ce théorème est en fait un principe. Il n'est issu d'aucune démonstration de type mathématique. L'emploi de ce terme n'est qu'un abus de langage consacré par l'usage.

6 Déduire ce principe de la rigidité du liquide et de l'isotropie de la pression n'est pas si évident. Construire une argumentation cohérente avec ce qui précède permettant d'établir le principe de Pascal.

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énergie potentielle permet, en particulier, de calculer le travail nécessaire au remplissage d'un réservoir. Si on se donne, en plus, le temps du remplissage, on peut en déduire la puissance de la pompe nécessaire à cette opération.

dE g h S dh g S hdh

E dE g S hdh

E g S H H

E g S H H H H

p

pH

H

H

H

ph b

p h bh b

b

h

b

h

= =

= =

=−

= −+

z zρ ρ

ρ

ρ

ρ

2 2

2

2b g

h

0

dh

S

dEp = g h dmdm = ρ S dh

Hb

Hh

HG

figure 19 : Energie potentielle d'un volume de liquide..

Le calcul de cette énergie potentielle va être effectué dans le cas simple du récipient cylindrique ci-dessus, le résultat trouvé est cependant très général.

On considère une tranche d'épaisseur dh et de masse dm, on calcule sa contribution dEp à l'énergie potentielle totale puis on intègre cette contribution sur toute la hauteur du récipient :

soit :

E M g Hp G=

L'énergie potentielle d'un volume de liquide est égale à celle qu'aurait son centre de gravité affecté de toute sa masse.

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Histoires d'Eau Hydrodynamique

3. Hydrodynamique

L'hydrodynamique est l'étude des liquides en mouvement. Si l'hydrostatique se ramène toujours à un problème d'énergie potentielle, l'hydrodynamique va considérer, en plus, l'énergie cinétique des liquides. La loi de conservation de l'énergie totale sera donc un outil de raisonnement puissant pour l'étude des liquides en mouvement.

H

Les particules de liquide ontune vitesse nulle ici et là.

Ici, leur vitesseest maximale.

figure 20 : Energie potentielle et énergie cinétique dans un liquide. Le réservoir est suffisamment grand pour que son niveau ne varie pratiquement pas du fait du jet d'eau.

La vitesse des particules de liquide est négligeable partout dans le réservoir, elles n'ont donc pas d'énergie cinétique. Au sommet du jet d'eau, la vitesse des particules de liquide est nulle, elles n'ont donc pas d'énergie cinétique. Les particules qui disparaissent du réservoir sont au niveau H7, le sommet du jet d'eau sera donc au niveau H si on néglige les frottements de l'eau dans l'air et dans les tuyaux.

Associée à la loi de conservation du volume, la loi de conservation de l'énergie va nous permettre l'étude des liquides idéaux en mouvement. Nous verrons, ensuite, l'énergie qui peut être perdue du fait de la viscosité des liquides réels et du fait de leur type d'écoulement.

7 Cette affirmation semble choquante. Réfléchissez-y et vous verrez qu'en l'absence de tout a priori, on ne peut pas dire autrement.

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3.1. Liquide idéal en Mouvement

3.1.1. Quelques définitions

Dans un liquide en mouvement, chaque particule de liquide est animée d'une vitesse v (vecteur). Lorsque l'écoulement du liquide est guidé, toutes les particules ont un mouvement d'ensemble et leurs vitesses possèdent une certaine cohérence8. La description de cette cohérence utilise les notions suivantes :

• Chaque particule décrit, en fonction du temps, une trajectoire.

• Le champ des vitesses à un instant donné est la répartition des vitesses en grandeur et en direction à cet instant.

• Une ligne de courant est une ligne imaginaire tangente en chacun de ses points à la direction des vecteurs vitesse à un instant donné.

• Un filet de courant est l'alignement imaginaire des particules de liquides sur une trajectoire.

• Un tube de courant est le volume délimité par les lignes de courant qui s'appuient sur un contour fermé donné.

Un écoulement est stationnaire lorsque le champ des vitesse, en tout point, ne dépend pas du temps. Dans un écoulement stationnaire, les lignes de courant et les trajectoire coïncident et constituent des courbes fixes. Le liquide coule alors dans un tube de courant comme si ce dernier était un tube solide rigide.

A

Au cours de son existence, la particuleA parcourt une trajectoire.

A

A un instant donné, les particules de la famillede A définissent une ligne de courant.

figure 21 : Liquide en écoulement stationnaire. La courbe du haut est la trajectoire d'une particule, la courbe du bas est une ligne de courant.

8 La résultante de toutes les vitesses des particules est la vitesse globale de l'écoulement.

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Nous n'étudierons que les écoulements stationnaires rencontrés dans les mécanismes hydrauliques qui nous intéressent.

3.1.2. Conservation du Volume, le Débit.

Considérons un tube de courant (ou un tuyau) parcouru, en régime permanent par un liquide. Définissons deux sections droites respectivement en amont et en aval. Le liquide entre dans le tube en traversant la section amont et en ressort en traversant la section aval.

S1

S2

v2

v1

dl1dl2

figure 22 : Conservation du Volume.

Le liquide étant incompressible, le volume contenu dans le tube et limité par les sections amont et aval est constant.

Le volume qui entre en amont est donc égal au volume qui sort en aval :

S dl S dl

S dldt

S dldt

S v S v

1 1 2 2

11

22

1 1 2 2

=

=

=

La quantité q représente le débit volumique du liquide et on constate que ce débit est constant. Ce débit représente le volume de liquide traversant une surface donnée perpendiculaire à l'écoulement par unité de temps. Ses dimensions sont :

Sv = v

L T3 1−

3.1.3. Conservation de l'Energie : Droite de Charge

Le système ci-dessus est supposé fixe par rapport à la terre et il ne se produit aucun échange d'énergie autre qu'hydraulique (pas d'échange d'énergie mécanique, thermique, chimique...).

- 21 -


S1

S2

v2

v1

dl1dl2

h1h2

Référence des énergies potentielles

figure 23 : Conservation de l'énergie.

Faisons le bilan de toutes les formes d'énergie mises en jeu au niveau des sections S1 et S2 :

Section S1 Section S2

Energie potentielle ρ S dl g h1 1 1 ρ S dl g h2 2 2

Energie cinétique 12 1 1 1

2ρ S dl v 12 2 2 2

2ρ S dl v

Travail des forces de pression p S dl1 1 1 p S dl2 2 2

La loi de conservation de l'énergie permet alors d'écrire :

ρ ρg h v p Cte+ + =12

2

Cette relation va nous permettre de déterminer toutes les caractéristiques de l'écoulement d'un liquide parfait. Cette expression peut prendre plusieurs formes : les équations de Bernouilli.

- 22 -


3.1.4. Equations de Bernouilli

L'expression que nous venons de trouver peut se mettre sous deux formes :

Le liquide est caractérisé par sa pression totale. ρ ρg h v p Cte+ + =12

2

Le liquide est caractérisé par sa charge. h vg

pg

Cte+ + =2

2 ρ

Les expressions ci-dessus font apparaître quelques termes jouant un grand rôle dans le comportement des liquides :

pression totale p g h v+ +ρ ρ12

2

pression motrice p g h+ ρ

pression dynamique 12

2ρ v

On peut donner une représentation graphique commode des équations de Bernouilli :

Filet de courant

Droite de charge

Droite de référence

vg

2

2

pgρ

h

hauteur de chute

hauteur de pression

hauteur géométrique

figure 24 : Représentation géométrique des équations de Bernouilli.

Tous les termes apparaissant dans cette représentation peuvent être mis en évidence par un dispositif expérimental approprié.

- 23 -


pressionstatique

pressiontotale

pressiondynamique

figure 25 : Mesure des termes constituant la charge d'un liquide. La pression dynamique est proportionnelle au carré de la vitesse du liquide. Mesurer la hauteur de chute permet donc de mesurer le débit de liquide. C'est un dispositif analogue - le tube de Pitot - qui permet aux avions de déterminer leur vitesse par rapport à l'air.

3.1.5. Ecoulement libre : Formule de Torricelli

La formule de Torricelli donna lieu à une forte controverse lors de son établissement car elle n'était par validée par l'expérience. C'est finalement Newton qui trouva la clé de la divergence entre les résultats théoriques et les résultats expérimentaux.

On considère un récipient suffisamment grand et on cherche à déterminer le débit de liquide coulant par un trou fait dans la paroi.

- 24 -


H

h

vitesse : 0pression : pahauteur : H

vitesse : Upression : # pahauteur : h

sc : section contractée

figure 26 : Ecoulement d'un liquide par un orifice en mince paroi.

Imaginons un filet de courant partant du sommet du récipient et s'écoulant par l'orifice. Comme le récipient est grand, on peut considérer que la vitesse à laquelle le niveau de liquide baisse est négligeable.

Au départ du filet, on a :

p g Ha C+ =ρ

Au niveau de l'orifice, on a :

p g h U Ca + + =ρ ρ 2

2

Soit :

U g H= −2 b gh

Jusque là, tout le monde était d'accord, mais cette formule permet de calculer la vitesse du liquide qui s'écoule et sa mesure directe était impossible à cette époque. On tentait donc de vérifier cette formule en déterminant la vitesse à partir de la mesure9 du débit volumique du liquide qui coule, en effet :

q sUv =

La mesure de U est fausse si on prend la section du trou comme surface s. C'est Newton qui s'aperçut que les filets de courant convergent à la sortie du trou et qu'il faut considérer une section contractée sc à la place de la section du trou. Moyennant cette précaution, la formule de Torricelli s'applique parfaitement pour les liquides près de l'idéalité.

9 Cette mesure est très facile à effectuer par empotage. On mesure le temps nécessaire au remplissage d'un pot de volume connu.

- 25 -


3.2. Liquide réel en Mouvement

L'application des équations de Bernouilli à de nombreux liquides réels donne des résultats décevants et il est nécessaire de trouver en quoi un liquide réel diffère d'un liquide idéal.

3.2.1. Viscosité : Définition

Le dispositif ci-dessous va montrer qu'il est possible de mettre en évidence une force de frottement en faisant glisser deux plans de liquide l'un contre l'autre. Ce même dispositif permet de déterminer la relation entre cette force et la vitesse du glissement.

a

Cylindre librerappelé par un

ressort

Cylindre entrainéen rotation

liquided'épreuve

figure 27 : Mise en évidence de la viscosité d'un liquide réel. Le cylindre central est entraîné par un moteur et tourne à vitesse constante. Le cylindre périphérique est relié à un ressort et l'angle dont il tourne mesure le couple créé par la force de frottement qui apparaît dans le liquide.

Les couches de liquides en contact avec les parois peuvent être considérées comme collées à ces parois. Elles se déplacent donc à la vitesse des parois. L'espace entre les deux cylindres est suffisamment faible pour qu'on puisse considérer que les deux couches de liquides glissent l'une contre l'autre. On appelle gradient de vitesse :

Gradient de vitesse = Différence de vitesse entre les plansDistance entre les plans

=dvde

On peut effectuer des mesures pour différents gradients de vitesse en faisant varier la vitesse de rotation du cylindre intérieur. L'angle dont a tourné le

- 26 -


cylindre libre avant de se stabiliser mesure le couple donc la force de frottement engendrée. On peut alors tracer la courbe :

dvde

Ff

0

figure 28 : Mesure de la viscosité d'un liquide réel. La courbe obtenue est très proche d'une droite pour les liquides les plus courants. La pente de cette droite est inversement proportionnelle à la viscosité du liquide.

La viscosité est définie à partir de la formule de Newton :

F S dvdef = η

avec :

Ff : force de frottement: viscosité

S : surface de contactη

L'unité légale de viscosité est le poiseuille dont les dimensions sont :

M L T− −1 1

L'unité courante de viscosité est la poise (Po) = 0,1 poiseuille. A titre d'exemple, l'eau a une viscosité de 1,8 cPo (centipoise) à 0°C et de 0,3 cPo à 100°C. En général, la viscosité des liquides décroît lorsque la température croît.

3.2.2. Différents Types de Liquides

On peut classer les liquides réels par rapport au comportement de leur viscosité.

- 27 -


Gradient de vitesse

Pression deglissement newtonien

plastique

thixotrope

figure 29 : Différents types de liquides.

Les liquides dont la viscosité est constante sont dits newtoniens. Les solutions aqueuses vraies sont généralement de ce type. Les liquides dont la viscosité décroît lorsque la pression de glissement augmente sont dits dilatants. Les solutions colloïdales sont généralement de ce type. Cette propriété est utilisée pour faire des peintures qui s'étalent bien mais ne coulent pas. Les sables mouvants sont dilatants, ils engloutissent l'imprudent qui s'agite trop. Les liquides plastiques se comportent comme des solides tant qu'une force critique n'est pas atteinte, ils deviennent newtoniens ensuite. Les graisses et les savons sont de ce type.

3.2.3. Travail des Forces de Frottement : Pertes de Charge

La loi de conservation de l'énergie qui nous avait permis d'écrire :

ρ ρg h v p Cte+ + =12

2

supposait qu'aucune énergie mécanique n'était apportée au liquide au cours de son écoulement. Mais nous venons de mettre en évidence une force de frottement située entre chaque filet de courant. Cette force va fournir un travail tout le long de l'écoulement et ce travail va être proportionnel à sa longueur.

- 28 -


Filet de courant

Droite de charge

Droite de référence

vg

2

2

pgρ

h

hauteur de pression

hauteur géométrique

hauteur de chute

pertes de charge

figure 30 : Pertes de charge.

La droite de charge n'est plus horizontale, elle s'abaisse tout au long de l'écoulement. Dans le cas des écoulements forcés, la perte de charge l'emporte largement sur la hauteur géométrique qu'on négligera donc souvent.

v

x

0 v

x

0

Liquide idéal Liquide réel

figure 31 : Profils de vitesse dans un liquide idéal et dans un liquide réel. On peut considérer que dans un liquide idéal les filets de courant touchant la paroi sont immobiles, par contre ceux qui touchent ces filets de courant immobiles ne sont pas freinés et ont leur vitesse maximale. Dans le cas d'un liquide réel, l'existence des forces de frottement entre les filets de courant font qu'ils se freinent mutuellement, leur vitesse est donc d'autant plus élevée qu'ils sont loin de la paroi.

3.3. Ecoulement laminaire

On peut aisément déterminer le profil de vitesse obtenu lors de l'écoulement stationnaire d'un liquide newtonien dans un tuyau cylindrique. On suppose que les filets de courant conservent leur indépendance tout au long de l'écoulement, ils ne se mélangent pas. Un tel type d'écoulement est dit laminaire.

- 29 -


Le calcul de ce profil de vitesse permet d'illustrer un mécanisme de raisonnement très classique en physique lorsqu'on veut appliquer les résultats de la mécanique à un élément non solide : on isole par la pensée un petit élément de volume ou de masse et on détermine la résultante des forces qui s'y appliquent. On peut alors en déduire sa loi de mouvement.

0x

x+dx

p2p1

L

R

-R

v

figure 32 : Profil de vitesse dans un tube cylindrique : écoulement laminaire. On considère un filet de courant. Un tube ayant une symétrie cylindrique, il est commode de prendre un filet de courant cylindrique également. Ce filet est la portion de volume contenue entre le cylindre de rayon (x + dx) et celui de rayon x. Ce filet est isolé dans une portion de tuyau de longueur L. La pression amont est p1 tandis que la pression aval est p2. Ce filet est rempli de particules liquides se déplaçant à une vitesse v.

Isolons un filet de courant. Ce filet de courant est soumis à une force de pression amont qui le pousse, une force de pression aval qui le freine. Il est d'autre part freiné par la force de frottement provoquée par le filet extérieur qui va moins vite que lui et tiré par la force de frottement provoquée par le filet intérieur qui va plus vite que lui.

Déterminons toutes ces forces :

Force de pression amont p x d1 2πb gx

Force de pression aval p x d2 2πb gx

Force de frottement intérieure η π2 x L dvdx x

LNMOQP

Force de frottement extérieure η π2 x L dvdx x dx

LNMOQP +

- 30 -


On peut maintenant écrire le bilan des forces en présence. Les forces qui poussent ou tirent sont compensées par les forces qui freinent puisque l'écoulement est stationnaire :

2 2 2 21 2π η π π η πx dx p x L dvdx

x dx p x L dvdxx x

−dx

LNMOQP = − L

NMOQP +

soit :

dx p p L dvdx

dvdxx dx x

1 2− = − LNMOQP − LNM

OQP

FHG

IKJ+

b g η

Il vient alors :

∆pL

dvdx

dvdx

dxd vdx

x dx x

η= −

LNMOQP − LNM

OQP

FHG

IKJ= −+

2

2

Le profil étant nécessairement symétrique, le terme en x disparaît et la loi du mouvement est de la forme :

v v pLx v R= − ± =0

2 0∆η

avec b g

soit :

v pLR x= −

∆η

2 2c h

On trouve un profil parabolique caractéristique de l'écoulement laminaire stationnaire des liquides newtoniens dans un tube cylindrique.

3.4. Ecoulement turbulent

Lorsque les vitesse d'écoulement deviennent trop importantes, le mouvement des filets de courant n'est plus stable et ils se mélangent. Un tel écoulement est dit turbulent. Dans un tel écoulement, le profil de vitesse s'aplatit du fait du mélange des vitesses des filets de courant voisins.

figure 33 : Profils de vitesse dans un tuyau cylindrique : écoulement turbulent.

- 31 -


Ce mélange provoque l'apparition de tourbillons introduisant un terme d'énergie cinétique de rotation. Cette énergie est proportionnelle à la longueur de l'écoulement puisqu'elle est proportionnelle au nombre des tourbillons. Un deuxième terme d'énergie mécanique vient se soustraire à nouveau de la charge du liquide. L'apparition des tourbillons augmente donc la perte de charge.

On peut montrer que l'apparition du régime turbulent peut être caractérisée par un nombre sans dimension : nombre de Reynolds

Re v D=ρη

avec :

ρ

η

: masse volumique du liquide: vitesse d'écoulement: diamètre du tuyau: viscosité

vD

Le régime d'écoulement devient turbulent lorsque : Re > 3000

- 32 -

Histoires d'Eau Exercices

4. Exercices

• Exercice 1 : Mais combien ce récipient pèse-t-il ?

Henri Drolix se propose de déterminer le poids de l'eau contenue dans un récipient ayant la forme ci-dessous.

h

S

α°Mρ

m

1. Déterminer le pression p au fond du récipient dont les caractéristiques sont indiquées sur la figure 1.

2. Déterminer la force qui s'exerce sur le fond de ce récipient.

3. Ecrire l'équation d'équilibre de la balance et en déduire la masse M à placer sur le plateau de droite pour équilibrer une hauteur h de liquide dont la masse volumique est ρ.

Mais son amie Elodie Namix lui fait remarquer qu'elle avait pesé, par ailleurs, l'eau du récipient et le récipient lui-même, et qu'elle trouve un poids bien inférieur au sien.

4. Déterminer l'erreur commise par Henri Drolix.

5. Comment doit-il corriger son raisonnement pour retrouver le résultat obtenu par Elodie Namix ?

• Exercice 2 : Quel est le poids de celui-là ?

Elodie Namix modifie le récipient précédent. Les parois ne sont plus solidaires du fond, elles sont fixées au socle de la balance. Le fond est libre, il est posé sur le plateau et appliqué au bas de la paroi de telle sorte que le liquide ne puisse pas couler.

- 33 -


h

S

α°

Mρ

1. Déterminer la pression appliquée au fond du récipient.

2. Déterminer la force qui s'exerce sur le fond de ce récipient.

3. Ecrire l'équation d'équilibre de la balance et en déduire la masse M à placer sur le plateau de droite pour équilibrer une hauteur h de liquide dont la masse volumique est ρ.

Henri Drolix lui fait remarquer qu'il a pesé, lui aussi, l'eau et le fond du récipient et qu'il trouve un poids bien inférieur à celui trouvé ci-dessus par Elodie. Il place alors ce poids sur le plateau de droite de la balance et ce qui devait arriver arriva, la balance déséquilibrée à gauche laissa échapper tout le liquide.

4. Déterminer l'erreur commise par Henri Drolix.

5. Comment doit-il corriger son raisonnement pour trouver la valeur réelle du poids à placer sur le plateau de droite ?

Très surpris, Henri Drolix se demande pourquoi ce récipient se comporte différemment du récipient précédent.

6. Aidez Henri Drolix à comprendre ce qui se passe dans ce cas de figure.

• Exercice 3 : Vase de Mariotte

Se promenant dans un atelier, Henri Drolix tombe en arrêt devant une curieuse installation. Un bac est placé en charge, il est rempli d'eau. C'est le tube qui plonge dans l'eau du bac qui a excité sa curiosité. Des bulles ne cessent de s'en échapper.

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A

1. Déterminer la pression statique au point A en fonction des dimensions géométriques adéquates de l'installation.

2. Quel est l'intérêt de ce dispositif ?

• Exercice 4 : Ma couronne est-elle réellement en or ?

Hiéron II de Syracuse vient de recevoir sa nouvelle couronne d'or fabriquée par le joaillier de la cour de Sicile. Il pose la couronne sur sa tête et ressent comme un doute. N'est-elle pas un peu légère pour une couronne en or ? Comment en être sûr ?

Hiéron fait alors appel à l'ingénieur de la cour, Archimède. Le talent d'Archimède est déjà célèbre et Hiéron lui demande d'imaginer un moyen lui permettant de vérifier l'honnêteté de son joaillier.

- 35 -


Archimède réalise les deux mesures suivantes :

m1

m2

1

2

La première pesée donne : 2,43 kg et la deuxième : 2,29 kg. La masse volumique de l'or est 19,3 g/cm3 tandis que celle du cuivre est 8,96 g/cm3, mais alors :

1. La couronne est-elle en or pur ?

2. Si non, quelle serait la proportion de cuivre incorporée frauduleusement dans l'alliage ?

3. Imaginer une procédure qui aurait permis à Archimède de déterminer si la couronne était en or sans aucun calcul.

• Exercice 5 : J'ai inventé le mouvement perpétuel !

Elodie Namix vient trouver Henri Drolix en lui disant qu'elle pense avoir enfin trouvé le mouvement perpétuel. Henri Drolix, un peu dubitatif, lui demande d'expliquer le procédé qu'elle utilise.

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rayon : rlongueur : L

masse volumique : ρ

Poussée d'Archimède

... J'ai pris un récipient rectangulaire et j'ai découpé un trou rectangulaire dans une des parois latérales. Dans ce trou, j'ai ajusté un cylindre horizontalement de telle sorte que le montage soit étanche mais que celui-là puisse tourner librement. Comme seule la moitié du cylindre est dans le liquide, cette moitié seule est soumise à la poussée d'Archimède. La partie gauche du cylindre est donc plus légère que la partie droite et le cylindre va se mettre à tourner...

1. Ce montage va-t-il fonctionner comme l'espère Elodie Namix ? Pourquoi ?

2. Quelle est la résultante des forces s'exerçant sur le cylindre ?

• Exercice 6 : Un sous-marin peut-il s'immobiliser entre deux eaux ?

Un sous-marin est essentiellement une coque en acier creuse. Aux profondeurs où il opère (de 0 à environ 300 mètres de profondeur), un sous-marin ne peut pas être considéré comme totalement incompressible (déformation de la coque).

- 37 -


profondeur : h

La compressibilité de la coque est définie par :

α =∆

∆volume de la coque

pressionb gb g

1. Déterminer la relation entre la poussée d'Archimède s'exerçant sur le sous-marin et la profondeur à laquelle il se trouve.

2. Tracer sur un même graphique le poids du sous-marin et la poussée d'Archimède en fonction de la profondeur atteinte.

3. Déterminer la profondeur d'équilibre. Cet équilibre est-il stable ?

4. Mais, alors, comment un sous-marin fait-il pour naviguer entre deux eaux ?

• Exercice 7 : Et la bouteille éclata !

Henri Drolix visite un atelier de mécanique où on fabrique des bouteilles d'acier destinées au conditionnement des gaz sous très haute pression (200 à 300 bars). Ces bouteilles ne sont pas éprouvées avec un gaz (l'explosion serait terrible en cas de rupture) mais avec un liquide qui permet sans danger d'obtenir des pressions très élevées.

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l 2l

masse : m

plongeur cylindrique : ∅ 1 mm

Un bouchon très résistant est vissé à l'emplacement du robinet de la bouteille. Ce bouchon est percé d'un trou permettant le passage d'un plongeur cylindrique de très petit diamètre. L'ajustement est réalisé de façon à être étanche. Un système de levier reporte le poids de la masse placée dans le plateau de la balance sur ce plongeur.

1. En supposant qu'on place une masse de 3 kg sur le plateau de la balance, calculer la pression engendrée dans la bouteille. Serez-vous surpris si la bouteille éclate ?

2. De combien s'enfonce le plongeur dans les conditions ci-dessus ?

• Exercice 8 : La presse hydraulique

Une presse hydraulique est un amplificateur hydraulique de force fondée sur l'application du théorème de Pascal. Son principe de fonctionnement est illustré par la figure suivante.

- 39 -


piston

f

F

s

S

l

L

piston decommande

pistonpiloté

1. Déterminer le rapport des forces f et F en présence.

2. Calculer le travail effectué par la force f lors d'un déplacement l.

3. En déduire le déplacement L du piston.

• Exercice 9 : Produisons de l'énergie électrique

C'est en 1869, à Lancey, sur la rive droite de l'Isère entre chambéry et Grenoble, qu'Aristide Bergès (1833-1904) imagina, le premier, d'utiliser une cascade descendant de la chaîne de Belledonne pour produire de l'électricité, cela grâce à la turbine que vient d'inventer Lester A. Pelton (1829-1908). C'est lui, également, qui introduisit le terme de Houille Blanche pour désigner l'énergie hydro-électrique. Cette énergie électrique abondante et économique permit le développement de l'industrie de l'aluminium (vallée de la Maurienne) et de l'industrie électro-chimique (vallée du Drac) dans les Alpes.

Cet exercice est l'illustration de la puissance remarquable des raisonnements fondés sur la notion d'énergie. L'énergie permet une description macroscopique d'un phénomène sans avoir à s'occuper des détails et d'obtenir des résultats globaux de portée très générale.

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p0

p0

H

Injecteur de la turbine• Section : S• Vitesse de l'eau : v• Masse volumique de l'eau : ρ

On se propose de calculer une approximation de la puissance électrique que l'eau stockée dans ce lac de montagne peut développer.

1. Déterminer la vitesse de l'eau au niveau de l'injecteur de la turbine en considérant que les frottements de l'eau sur les parois de la conduite forcée sont négligeables.

2. Si on considére que l'eau qui s'écoule en aval de la turbine a une vitesse pratiquement nulle, déterminer l'expression analytique de la puissance hydraulique fournie par l'eau.

3. Déterminer la puissance électrique fournie par l'alternateur relié à la turbine dans les conditions suivantes (déterminez donc également, par la même occasion, la vitesse de l'eau au niveau de l'injecteur !) :

– Le dénivelé H est de 1000 m. – Le diamètre de l'injecteur est de 10 cm. – L'eau a une masse volumique ρ de 1 g/cm3.

- 41 -


• Exercice 10 : Faisons le vide à l'aide d'une trompe à eau

Henri Drolix visite un laboratoire de physique lorsqu'il remarque le curieux appareil suivant accroché à un robinet d'eau :

S2 : injecteur dediamètre d2

S1 : tuyau d'arrivéed'eau de diamètre d1

aspiration

v1 v2

C'est un appareil à faire le vide, lui indique le chercheur qui l'accompagne : "...lorsqu'on ouvre le robinet à fond, l'eau qui coule aspire l'air qui se trouve dans le récipient où on désire faire le vide...".

1. Etablir les équations de Bernouilli au niveau des sections 1 et 2 de l'appareil.

2. En déduire la différence de pression apparaissant entre les sections 1 et 2 en fonction du rapport des diamètres des sections 1 et 2, du débit volumique de l'eau et de la surface de la section 1.

3. Quel doit être le débit d'eau pour que la pression soit nulle (le vide...) au niveau de l'injecteur dans les conditions suivantes ?

p barsg cm

d md mm

13

1

2

81102

m

=

===

ρ

• Exercice 11 : Mesure d'un débit - le venturi

— Comment peut-on mesurer le débit d'un liquide ? demanda Elodie Namix.

— C'est assez facile, lui répond l'ingénieur qui la guide, on utilise un venturi qu'on insère dans la canalisation là où on désire mesurer le débit. Un venturi est un petit morceau de canalisation dont le diamètre a été réduit. Le liquide va accélérer au niveau de la restriction. De la mesure de la différence de pression entre un point situé avant le venturi et celle mesurée à l'endroit où le diamètre est le plus petit on peut déduire le débit de liquide. Dans l'installation que vous voyez, c'est de l'eau qui circule et on utilise du mercure pour mesurer la différence de pression...

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∆hSection S1

Section S2

Aidons Elodie à analyser comment fonctionne le venturi.

1. Etablir les équations de Bernouilli aux niveaux des sections 1 et 2 du venturi.

2. En déduire la différence de pression apparaîssant entre les sections 1 et 2 en fonction du rapport des diamètres des sections 1 et 2, du débit volumique du liquide et de la surface de la section 1.

3. Déterminer, alors, l'expression donnant le débit volumique du liquide en fonction de la différence de hauteur de mercure mesurée, des caractéristiques physiques du liquide et des paramètres géométriques du venturi.

Dans un carburateur traditionnel, c'est la dépression créée par l'air aspiré dans les cylindres du moteur au cours du cycle d'admission qui fait monter l'essence qui se trouve dans la cuve au niveau du gicleur afin de créer le mélange air-essence.

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• Exercice 12 : Pertes de charge en écoulement laminaire.

On considère un tuyau cylindrique dans lequel un liquide s'écoule en régime laminaire :

v

x

0

dl

R

L

Nous savons que, dans ces conditions, le profil des vitesses est parabolique :

v pLR x= −

∆η

2 2c h

avec :

∆p

LR

: différence de pression entre l'entrée et la sortie du tuyau. : viscosité du liquide. : longueur du tuyau. : rayon du tuyau.

η

1. Déterminez la perte de charge unitaire (par unité de longueur), due aux forces de viscosité, dans un tel tuyau.

2. En déduire le travail unitaire (par unité de longueur) des forces de viscosité dans ce tuyau.

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Documents

IUT de Nice - phgeorges.free.frphgeorges.free.fr/docs/sciences/hydraulique.pdf · Ecoulement laminaire ... canaux de transport et d'irrigation, ... une particule liquide circulant