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SYSTMES ET BASES
GABRIEL LANG
1. Systmes
On appelle systme de vecteur une suite nie de vecteurs x1,
x2...,xk.
Proposition 1. Soit x1, x2, ...,xk un systme de vecteurs de E.
Le sous-ensembleF contenant toutes les combinaisons linaires de ces
vecteurs est un sous-espacevectoriel de E. On le notera V ect(x1,
x2..., xk).
Il sut de constater qu'une combinaison linaire de combinaisons
linaires de
ces vecteurs redonne une combinaison linaire de ces
vecteurs.
2. Systmes gnrateurs
Certains systmes sont dits gnrateurs au sens o ils engendrent
l'espace vec-
toriel E tout entier.
Denition 1. Soit x1, x2...,xk un systme de vecteurs de E. Le
systme estgnrateur, si pour tout x de E il existe une combinaison
linaire du systme gale x. C'est--dire qu'on peut trouver des
coecients 1, 2, ...k, tels que x = 1x1+2x2 + ...+ kxk.
S'il existe un systme gnrateur pour l'espace E, on dit que
l'espace est dedimension nie. Dans la suite, nous travaillerons
avec un espace de dimension nie.
3. Systmes libres
On appelle systmes libres, les systmes ayant la proprit suivante
:
Denition 2. Soit x1, x2...,xk un systme de vecteurs de E. Le
systme est libresi la seule combinaison linaire nulle construite
partir du systme est celle o tous
les coecients sont nuls. Soit 1, 2, ...k, une suite de k rels.
Pour un systmelibre, si 1x1 + 2x2 + ...+ kxk = 0 alors
ncessairement 1 = 2 = ... = k = 0.
Un systme contenant le vecteur nul n'est jamais libre. Un systme
form d'un
vecteur non nul est toujours libre.
Proposition 2. Soit x1, x2...,xk un systme libre de vecteurs de
E. Alors au-cun des vecteurs du systme n'est combinaison linaire
des autres vecteurs du sys-
tme. Les espaces vectoriels V ect(x1), V ect(x1, x2),...,V
ect(x1, x2, ...xk) sont tousdirents.
Un systme o un vecteur est rpt n'est jamais libre.
Proposition 3. Soit x1, x2...,xk un systme libre de vecteurs de
E. Soit x unvecteur de V ect(x1, x2, ...xk). Il existe une
combinaison linaire unique telle quex = 1x1 + 2x2 + ...+ kxk.
Preuve : si x = 1x1 + 2x2 + ... + kxk et x = 1x1 + 2x2 + ... +
kxk alorsx x = (1 1)x1 + (2 2)x2 + ...+ (k k)xk = 0. Comme le
systme estlibre, tous les coecients de cette dernire combinaison
sont ncessairement nuls.
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4. Bases
Certains systmes sont la fois libres et gnrateurs, on dit alors
qu'ils sont une
base de l'espace vectoriel.
Denition 3. Un systme de vecteurs de E est une base s'il est la
fois libre etgnrateur.
Proposition 4. Soit x1, x2...,xk une base de E. Soit x un
vecteur de E alors ilexiste une unique suite de coecients 1, 2,
...k, tels que x = 1x1 + 2x2 + ...+kxk. Ces coecients uniques
seront appeles coordonnes de x dans la base x1,x2...,xk.
Preuve : Puisque le systme est gnrateur, il existe une telle
srie de coecients.
Comme le systme est libre, cette srie est unique.
Proposition 5. Soit x1, x2...,xk un systme gnrateur de E. Si ce
systme n'estpas libre, il existe un sous-systme contenant un
vecteur de moins qui est galement
gnrateur.
Preuve : Si le systme n'est pas libre il existe une combinaison
linaire nulle du
systme coecients non tous nuls :
1x1 + 2x2 + ...+ kxk = 0.
Supposons que ce soit 1 qui est non nul. Alors x1 = (2/1)x2 ...
(k/1)xk.Soit x un vecteur de E, alors il existe une suite de
coecients 1, 2, ...k, tels quex = 1x1 + 2x2 + ...+ kxk. En
substituant x1, on obtient :
x = 1 ((2/1)x2 + ...+ (k/1)xk) + 2x2 + ...+ kxk=
(2 12
1
)x2 + ...+
(k 1k
1
)xk
Donc x est galement une combinaison linaire du systme x2...,xk.
Le systmex2...,xk est gnrateur.
Proposition 6. Soit x1, x2...,xk un systme gnrateur de E. On
peut en extraireun sous-systme qui est une base de E.
Il sut de construire une base de E en retirant un par un les
vecteurs du systmesuivant la mthode prcdente jusqu' ce que le
systme rsultant soit libre.
Proposition 7. Soit x1, x2...,xk un systme libre de E. Si ce
systme n'est pasgnrateur, on peut ajouter un vecteur xk+1 tel que
x1, x2...,xk, xk+1 est un systmelibre.
Preuve : le systme n'tant pas gnrateur, il existe un vecteur x
qui n'estpas combinaison linaire de x1,...,xk. Choisissons xk+1 = x
et considrons unecombinaison linaire nulle du systme complt par
xk+1 :
1x1 + 2x2 + ...+ kxk + k+1xk+1 = 0
Si k+1 6= 0 alorsxk+1 = (1/k+1)x1 + (2/k+1)x2 + ...+
(k/k+1)xk,
ce qui est imposssible puisque xk+1 n'est pas une combinaison
linaire de cesvecteurs. Donc k+1 = 0 et
1x1 + 2x2 + ...+ kxk = 0.
Le systme x1, x2..., xk tant libre, tous les coecients i sont
nuls, ce qui signieque x1, x2..., xk, xk+1 est libre.
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SYSTMES ET BASES 3
Proposition 8 (Thorme de la base incomplte). Soit L = (x1, ...,
xk) un systmelibre et G = (y1, ..., yn) un systme gnrateur. On peut
dnir un sous-ensemblede F de G tel que L F soit une base de
l'espace E.On choisit le plus grand sous ensemble F de G tel que L
F soit libre ; s'ilexiste un vecteur x de G qui n'appartient pas V
ect(L F ), alors L F {x}est encore libre et F n'est pas le plus
grand sous-ensemble. Donc tout G est inclusdans V ect(L F ). V
ect(L F ) est alors un systme gnrateur donc une base.5. Dimension
d'un espace vectoriel
Proposition 9. Toutes les bases d'un espace vectoriel ont le mme
cardinal ; cet
entier est appel dimension de l'espace vectoriel.
Ce rsultat ne se dduit pas directement du rsultat prcdent ; il
faut utiliser
le lemme suivant :
Proposition 10 (Lemme d'change). Soit B1 et B2 deux bases de E ;
soit x unlment de B1 ; il existe une partie F de B2 telle que B =
(B1\{x}) F est unebase de E. De plus, card B1 card B.On pose L =
B1\{x} et G = (B1\{x}) B2 et on applique le thorme de labase
incomplte pour trouver F . B1\{x} ne peut pas tre une base car x
n'estpas gnr par ce systme. Donc F contient au moins un vecteur et
card B est aumoins gal card B1. Pour dmontrer le thorme de la base
incomplte, on utilisele lemme pour remplacer un par un les vecteurs
de la base B1. On construit ainsiune base B forme de vecteur de B2
et de cardinal suprieur celui de B. Celaprouve que le cardinal de
B1 est au plus gal au cardinal de B2. On peut changermaintenant le
rle de B1 et B2 et conclure l'galit des cardinaux.
6. Sous-espace supplmentaire
Denition 4. Deux sous espaces F1 et F2 de E sont supplmentaires
si pour chaquevecteur x de E, il existe un couple unique de
vecteurs y F1 et z F2 tel quex = y + z. La somme des dimensions de
F1 et F2 est gale la dimension de E.L'intersection de F1 et F2 ne
contient que le vecteur nul.
Si B1 est une base de F1 et B2 est une base de F2 alors B1 B2
est une base deE, d'o le rsultat sur les dimensions. L'intersection
contient toujours le vecteurnul, mais s'il y avait un x non nul
dans l'intersection, on pourrait l'crire de deuxfaons direntes,
avec y = x et z = 0 ou y = 0 et z = x.
Proposition 11. Tout sous-espace vectoriel H de E a un
sous-espace supplmen-taire dans E.
C'est une consquence du thorme de la base incomplte. Soit L une
base deH et G une base de E. On construit F partie de G telle que L
F soit une basede E. Alors l'espace vectoriel engendr par F est
supplmentaire de H.
7. Exercices
(1) On se place dans l'espace vectoriel IR
2. Soit i = (1, 0) et j = (0, 1). Montrerque le systme form de i
et j est une base. Quelles sont les coordonnesdu vecteur (3, 4)
dans cette base, quelles sont les coordonnes d'un vecteur(a,b)
?
(2) On se place dans l'espace vectoriel IR
2. Soit i = (1, 0) et k = (1, 1). Montrerque le systme form de i
et k est une base. Quelles sont les coordonnesdu vecteur (3, 4)
dans cette base, quelles sont les coordonnes d'un vecteur(a,b) ?
Quelles sont les coordonnes de i, j et k dans cette base ?
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4 GABRIEL LANG
(3) Montrer que les polynmes P0 = 1, P1 = x et P2 = x2forment
une base
de P2 espace vectoriel des polynmes de degr au plus 2. Quelles
sont lescoordonnes du polynme x2 2x+ 1 dans cette base ?(4) Montrer
qu'un systme comprenant le vecteur nul n'est jamais libre.
(5) Montrer que si un systme de deux vecteurs n'est pas libre,
les vecteurs
sont proportionnels l'un l'autre (on parle de vecteurs
colinaires).
(6) Montrer que si x = 0 alors x = 0 ou = 0 (on utilisera les
proprits 8et 9 de l'espace vectoriel). En dduire qu'un systme form
d'un unique
vecteur non nul est libre.
(7) Dmontrer la n de la proposition 11 en utilisant la dnition
des espaces
supplmentaires.
