LA DIFFRACTION DES RAYONS X - Laboratoire de Physique des ...lphe.epfl.ch/~mtran/phy_gen_III/Cours/PhysIII_chap-7.pdf · LA DIFFRACTION DES RAYONS X TRAN Minh Tˆam Table des mati`eres

LA DIFFRACTION DES RAYONS X

TRAN Minh Tam

Table des matieres

Rappel : Diffraction par un reseau 157

Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

Application : spectroscopie avec un reseau . . . . . . . . 158

La diffraction des rayons X 161

Production et caracteristiques des RX . . . . . . . . . . 161

Les conditions pour une diffraction . . . . . . . . . . . . 162

Diffraction sur un cristal simple . . . . . . . . . . . . . . 163

Obtention de l’image . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

Determination de la structure d’un cristal 167

Le probleme de la phase . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

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La serie de Patterson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

Les methodes de resolution . . . . . . . . . . . . . . . . 173

-2-

'

&

$

%

Rappel : Diffraction par un reseau

Introduction

La diffraction par les Rayons X (RX) presente certaines analogies avec la diffractionpar un reseau, phenomene que nous avons vu en premiere annee (travaux pratiques).

C’est pour cette raison uniquement que nous commencons ce chapitre par ce rappeld’optique ondulatoire.

Nous allons supposer que les fentes du reseau sont minces et que l’ecran est placesuffisamment loin du reseau pour que nous puissions faire l’hypothese que les rayons

issus des fentes et aboutissant en un point P de l’ecran sont paralleles.

dθ

vers le point P sur l'écran

différence de chemin

entre 2 rayons adjacents

θ

θ

d d

e l'o

rdre

de

qu

elq

ues

1000

nm

Dans un probleme comme celui-ci, un systeme de lentilles amene la lumiere surle reseau en un faisceau parallele. Par le principe de Huygens (Christian Huygens

(1629-1695))

Tout point d’un front d’onde peut etre considere comme la source d’onde-lettes se propageant vers l’avant a la meme vitesse que l’onde ; le nouveau

front d’onde est l’enveloppe de toutes les ondelettes (c.a.d. la tangente atoutes ces ondelettes).

nous pouvons considerer que les ondelettes emises des fentes sont en phases lors-qu’elles sont emises du reseau ; pour arriver au point P situe sur l’ecran a un angle

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θ, chaque ondelette sera en retard (ou en avance) sur sa voisine d’un angle de2π d sin θ / λ , pour une longueur d’onde λ de la lumiere. Une interference construc-

tive se produira sur l’ecran si ce dephasage est un multiple entier de 2π, c.a.d.

d sin θ = mλ m = 0, 1, 2 ...

Application : spectroscopie avec un reseau

L’utilisation d’un reseau comme spectrographe est immediat. Pour m 6= 0, nousavons une dispersion des raies et c’est ce que nous desirons en spectroscopie.

15105 20 30 4035 45250

m = 1 m = 2m = 0

θ (degrés)

Spectre de l’hydrogene obtenu pour d = 2000 nm. Les raies d’ordre m = 3 et

m = 4 ne sont pas dessines : ils se chevauchent entre eux et avec le spectre m = 2.Pour m = 0, toutes les raies se superposent. Remarquez la grande dispersion du

spectre qui s’etend, pour m = 2, sur plus de 40◦.

Dispersion

On definit la dispersion par le rapport de la deviation pour un intervalle de longueurd’onde donne :

D =∆ θ

∆ λDe la relation donnant l’angle reperant la raie en fonction de la longueur d’onde,d sin θ = mλ, nous obtenons en differentiant les deux membres :

d cos θ dθ = mdλ

d’ou l’expression de la dispersion pour un reseau :

D =m

d cos θ[ radians/metre]

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En spectroscopie, nous aimerions avoir une grande dispersion : nous avons interet atravailler avec un reseau ayant une constante d faible et avec des ordres m eleves.

Pouvoir de resolution ou pouvoir separateur

Nous definissons le pouvoir de resolution par

R =λmoyen

∆ λ

λmoyen etant la longueur d’onde moyenne de deux raies que nous n’arrivons pratique-

ment plus a distinguer (separer) et ∆ λ leur difference en terme de longueur d’onde.Nous desirons evidemment avoir un grand pouvoir de resolution.

Pour pouvoir definir le moment ou nous ne pouvons plus separer deux raies, nousnous mettons dans la meme situation que pour le cas de la diffraction par une fente

ou un orifice circulaire :– Nous ne pouvons plus distinguer deux raies si le maximum de l’un se trouve au

mimimum de l’autre ;– Le “minimum” est atteint pour ∆θm.l. (m.l. = mi-largeur) quand l’onde emise

par la fente du bas interfere destructivement avec celle emise par la fente d’en

haut : ce cas se presente dans le cas de la diffraction par une fente de largeur a sia sin θ = λ ; dans notre cas, pour la raie centrale :

Nd sin ∆θm.l. = λ ou

Nd sin∆θm.l. ' Nd ∆θm.l. = λ

vers le premier

"minimum"

N.d

∆θm.l.

∆θm.l.

θ

Intensité

L'angle est très exagéré

Une raie

0

Pour toute autre raie a θ : ∆θm.l. =λ

Nd cos θ.

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En substituant ∆θm.l. dans ∆θ =m∆λ

d cos θ, nous avons

λ

N= m∆λ , d’ou :

R =λ

∆λ= N m

Attention : Pouvoir de resolution et dispersion ne doivent pas etre confondus ;

nous pouvons avoir un reseau ayant une grande dispersion, mais avec un pouvoirde resolution faible. Alors que le pouvoir de resolution depend non seulement de laconstante d du reseau, mais aussi du nombre de fentes N , la dispersion d’un reseau

n’est inversement proportionnelle qu’a la constante d du reseau.

-160-

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%

La diffraction des rayons X

Production et caracteristiques des RX

Les rayons X (RX) sont des ondes electromagnetiques produits en bombardantune anode par un faisceau d’electrons acceleres par une difference de potentiel de

quelques dizaines de kilo-Volts. Le spectre des RX est compose d’une partie continuedue au “rayonnement de freinage” ou Bremmstrahlung et de raies caracteristiques

du metal de l’anode.

AnodeCathode

Les longueurs d’ondes des RX sont de l’ordre de l’Angstrom (10−10 m) (a compa-

rer aux longueurs d’ondes de la lumiere visible qui sont de quelques centaines denanometres). Il est evident qu’avec de telles longueurs d’onde, la diffraction par unreseau ordinaire avec d ∼ 1000 nm tel qu’utilise en optique ne donnerait rien.

Ainsi, si λ = 0, 1 nm (1 Angstrom), d = 3000 nm, on a :

θ = sin−1

(

mλ

d

)

= sin−1

(

1 × 0, 1

3000

)

= 0, 0019◦

Cet angle est trop petit : la raie correspondante serait trop proche du maximumcentral pour que l’on puisse la distinguer.

Cependant, puisque λ ∼ 1 Angstrom, taille d’un atome, un reseau pouvant resoudreles RX ne peut etre grave de maniere artificielle, mais ce peut etre un cristal !

C’est en 1912 que Max von Laue se rendit compte qu’un cristal solide pouvaitformer un reseau a trois dimensions sur lequel les RX pouvaient “diffracter”. Dans

ce chapitre, nous allons donner quelques relations de base de la diffraction des RX,puis nous donnerons quelques directions pour leur utilisation en Biologie.

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Les conditions pour une diffraction

Remarque : Lorsqu’un faisceau de RX est incident sur un cristal, les ondes

electromagnetiques que sont les RX sont diffuses dans toutes les directions. Danscertaines directions, elles interferent de maniere destructive et donnent lieu a desminima d’intensite, dans d’autres, de maniere constructive pour donner des maxima

d’intensite. La description du phenomene est difficile ; on le nomme “diffraction” desRX, bien que ce ne soit pas le phenomene de diffraction de la lumiere passant au

travers d’une fente ou d’un reseau comme celui que nous avons vu en Optique.

Nous savons que ce sont les electrons des atomes qui forment le reseau cristallin qui

re-diffusent les ondes electromagnetiques incidentes. Cependant, dans le formalismeque nous allons developper maintenant, nous n’allons pas traiter de la diffusion, mais

montrer que “tout se passe comme si...”

Considerons un faisceau de RX arrivant sur une ligne d’atomes espaces de d ′ (figure

a) ci-dessous). La condition a laquelle devront satisfaire les angles θ et α que fontles faisceaux incident et diffracte avec la direction (ou le plan) des atomes afind’obtenir une interference constructive est que la difference de chemin (ae − cb) soit

un multiple entier de la longueur d’onde du RX :

d ′ cos α − d ′ cos θ = n λ figure a)

Mais cette condition n’est pas la seule : il faut aussi que les “reflexions” sur les

a b

ce

θ

α θ

α

d'

a)

1 2

plans successifs interferent constructivement (figure b) ci-dessous). Par consequent,

le chemin supplementaire (ab + bc) du rayon 1 (figure b)) doit etre un multipleentier de la longueur d’onde du RX :

d sinθ + d sinα = mλ figure b)

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%


θ

αθ

α

b)

a

b

c

e

d

1 2

Les deux conditions ci-dessus ne peuvent pas etre satisfaites simultanement, sauf si

θ = α. La premiere equation se reduit a zero, tandis que nous obtenons la loi deBragg avec la seconde condition.

2d sin θ = mλ avec m = 1, 2, 3, ...

Resume : Les deux conditions ci-dessus pour une interference constructive re-viennent donc a celles-ci :

– L’angle que fait le rayon incident doit etre le meme que celui du rayon reflechi.– Les reflexions sur differents “plans cristallins” doivent etre en phase, c.a.d. doivent

satisfaire a

2d sin θ = mλ avec m = 1, 2, 3, ... Loi de Bragg

Diffraction sur un cristal simple

Considerons le cristal de Chlorure de Sodium NaCl :

a0

a0

Na+

Cl-

Tout se passe comme si, pour les maxima d’intensite, les RX etaient reflechis

par une serie de plans reflechissants ou plans cristallins qui s’etendent au travers ducristal et qui contiennent des arrangements d’atomes.

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%


Remarque. Les RX ne sont pas reflechis : l’utilisation des plans cristallins facilitent seulement

l’analyse de phenomene.

La figure ci-apres montre la “reflexion” de trois rayons sur trois plans successifs. Endiffraction des RX, contrairement a ce que nous avons en Optique Geometrique, les

angles d’incidence et de reflexion sont mesures a partir du plan de reflexion et nonpas a partir de la normale a ce plan.

θ

θ

θ

θ

θ

θ

123

d

d

θ

θ θ

θ

θ

θ

θθ

d sin θ d sin θ

12

d

Pour expliquer les maxima d’intensite, nous disons que les rayons 1 et 2 sont telsque leurs difference de chemin, 2d sin θ , doit etre egal a un nombre entier fois la

longueur d’onde λ du RX, d etant la distance entre “plans cristallins” :

2d sin θ = mλ avec m = 1, 2, 3, ... Loi de Bragg

Remarques :– Les rayons 1 et 2 arrivent en phase sur le “plan cristallin”.– Les RX ne sont pas refractes : nous n’avons pas introduit d’indice de refraction.

Pour d’autres orientations du faisceau de RX par rapport au cristal, d’autres “planscristallins” “reflechissent” les RX et nous pouvons y appliquer la loi de Bragg

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2d sin θ = mλ. Ces nouveaux groupes de plans cristallins sont caracterises pard’autres distances d entre plans cristallins.

θ

θ

θ

θ

θ

θ

d

d

d

La figure ci-apres montre la relation que l’on peut trouver entre la distance entre“plans cristallins” et caracteristique du reseau cristallin (a0 est la ”maille” du reseaucristallin) :

a

0.5a

d

0

0

Nous trouvons (Th. de Pythagore) :

5 d =

√

5

4a0 ⇒ d =

a0√20

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Obtention de l’image

La methode la plus simple pour obtenir des images de diffraction de RX est la

methode de diffraction sur de la poudre, introduite par Debye et Scherrer. Aulieu de prendre un monocristal ayant une orientation bien precise par rapport aufaisceau de RX, on prend plutot une poudre de petits cristaux. Parmi le tres grand

nombre d’orientations possibles des cristaux, il y en a qui ont la “bonne orientation”pour donner une reflexion des RX selon la loi de Bragg. Ainsi, si le faisceau de RX

incident fait un angle θ, les RX diffractes feront un cone d’angle au sommet de 2θpar rapport au faisceau incident.

a) b)

Absorbeur

de Pb θ

2θ

Echantillon

Film RX

direction incidente du RX

Pour chaque “plan cristallin”, les RX diffractes sont sur un cone d’angle au som-

met de 2θ (a)) qui coupent les plans de films RX disposes tout autour selon deslignes bien definis (b)). Ces series de lignes obtenues seront ensuite comparees au

predictions theoriques : nous devons alors identifier les raies en connaissant la struc-ture cristalline de l’echantillon etudie.

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Determination de la structure d’un cristal

Le probleme de la phase

Jusqu’a present, nous avons place un seul atome, donc un seul “plan cristallin”, a

une position de la maille du cristal. Ce qui nous interesse, ce sont des cristaux quiont plusieurs (des dizaines ou des centaines) d’atomes dans une maille. Commentcela va-t-il affecter le traitement de Bragg que nous venons de voir ?

Considerons pour commencer une maille cubique face centree (figure de gauche) etremplacons chacun des atomes par une molecule di-atomique. Quand la condition

de Bragg est satisfaite, les reflexions sur les atomes “pleins” sont en phase, commecelles sur les atomes “vides”.

Maille cubique

face centrée

A chaque emplacement

de la maille, nous avons

une molécule diatomique

Cependant, les ondes diffusees sur les plans cristallins “pleins” et “vides” sontlegerement dephases ; par consequent, l’amplitude resultante, et donc l’intensite,

sera diminuee par interference.

Le probleme est d’obtenir une expression generale pour la difference de phase. Nous

allons donner ci-apres les points essentiels de la demarche utilisee pour determinerla structure de gros cristaux comme ceux que l’on rencontre en Biologie.

Difference de phase Les faces d’un cristal et les plans dans le cristal peuventetre caracterises dans un systeme de trois axes. Sur la figure ci-dessous, les trois

axes ont des longueurs a, b, et c et coupent le plan ABC. On definit

a

OA= h ,

b

OB= k ,

c

OC= l

Les indices (h, k, l) sont les indices de Miller et permettent de caracteriser les

plans du cristal. Un exemple de ces indices est montre sur les figures de droitepour une maille cubique.

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O

A

B

C

a

b

c

(100) (110)

(111)

x

y

z

Retour au probleme

Pour revenir a la discussion du debut de ce paragraphe, considerons une seriede plans cristallins pour lesquels la loi de Bragg est satisfaite. En passant d’unplan a un autre, nous avons un dephasage de 2π pour une distance de a/h.

Pour le plan des atomes “vides”, situe a une distance x, ce dephasage sera de2 π x (h/a) (figure a) (gauche)) ci-apres.

La difference de phase

Pour un point place a la distance x de l’origine O (figure a) (droite)), l’onde

d’amplitude E0 emis par un atome place a l’origine sera percue avec une ampli-tude E1. Pour un atome place a r1, l’onde qu’il emet et recue en x le sera avecune amplitude differente. Pour deux atomes places a des positions differentes r1

et r2, l’amplitude de l’onde resultante en x sera la somme algebrique des deuxondes E1 et E2 en x

En etendant le raisonnement a trois dimensions, pour un atome i place en

(x, y, z) dans la maille, le dephasage sera de

ϕi = 2π

(

hx

a+

ky

b+

lz

c

)

Clairement, la phase ϕi est liee a la position de l’atome dans la maille.

Facteur de structure En utilisant le principe de superposition pour trouver

l’amplitude resultante des diffusions de toutes les ondes diffusees sur les atomesd’une maille, nous sommons les amplitudes individuelles en utilisant les vecteurs

de Fresnel, c.a.d. en sommant les nombres complexes fi exp(i ϕi) :

F (hkl) =∑

i

fi exp(i ϕi) =∑

i

fi exp

[

2πi

(

hx

a+

ky

b+

lz

c

)]

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&

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%


Origine

Changement de phase

de 2π dans la direction a

aa/h

x

(a) (b)

Fig. 1 – Difference de phase pour deux plans diffuseurs satisfaisant a la loi de Bragg (a). Additionde deux ondes electromagnetiques dont les origines sont deplacees l’une par rapport a l’autre (b).

F est appele facteur de structure du cristal. La sommation se fait sur tous lesatomes. Sa valeur est determinee par les positions des atomes et de leur facteur

de diffusion fi. Ce dernier depend du nombre et de la distribution des electronsdans l’atome (n’oublions pas que ce sont les electrons qui re-diffusent les ondes

electromagnetiques !) et de l’angle de diffusion θ. Nous mesurons l’intensitetotale de la lumiere diffractee et non pas l’amplitude resultante de la lumiere :

cette intensite est egale au module au carre de l’ampitude F (hkl) :

I = |F (hkl)|2 = F (hkl) F ?(hkl)

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'

&

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%


Une mesure de l’intensite du RX diffracte nous donne donc le module de F (hkl),mais ne nous permet pas d’avoir acces aux phases ϕi : l’information correspon-

dante aux positions des atome la maille est perdue, nous laissant seulementl’information relative sur le nombre et la nature des centres diffuseurs ramenes

a l’origine de la maille. C’est ce qu’on appelle le probleme de la phase en cris-tallographie.

Densite d’electrons Puisque ce sont les electrons qui diffusent les RX, la struc-

ture d’un cristal obtenue par RX peut etre vue comme la distribution a troisdimensions de la densite d’electrons ρ(x, y, z). Toute fonction pouvant etredecomposee en serie de Fourier, nous pouvons ecrire ainsi la densite d’electrons

ρ(x, y, z) =+∞∑

p =−∞

+∞∑

q =−∞

+∞∑

r =−∞Apqr exp

[

− 2πi(px

a+

qy

b+

rz

c

)]

On montre que les coefficients de Fourier Apqr sont egaux aux facteurs de struc-ture F (hkl) divises par le volume de la maille (voir par exemple The CrystallineState L. Bragg, p. 221 et suivantes) :

ρ(x, y, z) =1

V

∑

h,k,l

F (hkl) exp

[

− 2πi

(

hx

a+

ky

b+

lz

c

)]

avec :

F (hkl) =∑

i

fi exp(i ϕi) =∑

i

fi exp

[

2πi

(

hx

a+

ky

b+

lz

c

)]

La sommation est faite sur toutes les valeurs de h, k, l pour avoir un termepour chaque plan (hkl) et donc pour chaque maxima de la figure de diffraction.

L’equation donnant ρ(x, y, z) precedente permet la determination de la

structure du cristal, puisque la structure du cristal, c’est ρ(x, y, z). Les maximade la figure de diffraction correspondent aux pics de la distribution densited’electrons ρ(x, y, z) : ces pics sont aussi proportionnels au nombre atomique.

Par consequent, si nous connaissons les facteurs de structure F (hkl), nous

pouvons immediatement calculer la structure du cristal. Malheureusement, lesresultats de la mesure sont les intensites sur le film RX, c’est a dire une quantite

proportionnelle au module au carre |F (hkl)|2 et nous n’avons pas les phases !

Qu’avons-nous perdu ? L’information que nous n’avons pas est

exp[

− 2πi(px

a+

qy

b+

rz

c

)]

c’est a dire la position de l’atome dans la maille, nous laissant seulement avec le

nombre de points diffuseurs ramenes a l’origine de la maille ! En effet, le moduleau carre de l’exponentielle complexe est egal a 1 !

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'

&

$

%


La serie de Patterson

Nous avons vu que l’intensite diffractee etait I = |F (hkl)|2 = F (hkl) F ?(hkl). La

fonction de Patterson est definie comme

P(u, v, w) =1

V

+∞∑

h =−∞

+∞∑

k =−∞

+∞∑

l =−∞|F (hkl)|2 exp

[

− 2πi

(

hu

a+

kv

b+

lw

c

)]

|F (hkl)|2 = F (hkl) F ?(hkl) =

=

[

N∑

i

fi exp

(

2πi

(

hxi

a+

kyi

b+

lzi

c

))

]

·[

N∑

j

fj exp

(

− 2πi

(

hxj

a+

kyj

b+

lzj

c

))

]

|F (hkl)|2 =N

∑

i

N∑

j

fi fj exp

[

2πi

(

h

a(xi − xj) +

k

b(yi − yj) +

l

c(zi − zj)

)]

avec u = |xi − xj| , v = |yi − yj| , w = |zi − zj|

Proprietes de la serie de Patterson

• La serie est calculee a partir des resultats experimentaux• Les coefficients |F (hkl)|2 sont proportionnels aux intensites observees

• Ne conduit pas aux positions atomiques, mais aux distances interatomiques• L’importance des pics est liee a celle des produits fifj

Serie de Fourier et serie de Patterson

Nous avons vu la densite d’elecrons :

ρ(x, y, z) =1

V

+∞∑

h =−∞

+∞∑

k =−∞

+∞∑

l =−∞F (hkl) exp

[

− 2πi

(

hx

a+

ky

b+

lz

c

)]

avec F (hkl) =∑

i

fi exp(i ϕi) =∑

i

fi exp

[

2πi

(

hx

a+

ky

b+

lz

c

)]

-171-

'

&

$

%


et maintenant la serie de Patterson :

P(u, v, w) =1

V

+∞∑

h =−∞

+∞∑

k =−∞

+∞∑

l =−∞|F (hkl)|2 exp

[

− 2πi

(

hu

a+

kv

b+

lw

c

)]

|F (hkl)|2 =N

∑

i

N∑

j

fi fj exp

[

2πi

(

h

a(xi − xj) +

k

b(yi − yj) +

l

c(zi − zj)

)]

a)

b)

1

2

3

2’

3’3 - 3’

3’- 3

2 - 2’

2’- 2

2 - 1

2’- 13 - 2

3’- 2

3’- 1

3 - 1

3’- 2’

3 - 2’

1 - 2’

1 - 2

2 - 3

2 - 3’

1 - 3’

1 - 3

2’- 3’

2’- 3

Fig. 2 – Arguments de la fonction de Patterson dans le cas de 3 atomes.

x xi j

maille

fi f j

maille

fi

xi

z i

y iy yi j

z zi j

pic de “Fourier” pic de “Patterson”

Par la transformee de Fourier, nous sommes sensibles a position des atomes alorsque dans la serie de Patterson, nous sommes sensibles aux distances interatomiques.

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'

&

$

%


Les pics fifj , (xi − xj) et fjfj , (xij − xi) ont meme intensite et des coordonneesopposees

Des considerations de symetrie permettent d’interpreter une carte d’intensite dePatterson.

Les methodes de resolution

Nous donnons ci-apres quelques generalites sur les methodes de resolution duprobleme de la phase.

Iteration a partir d’une structure proche Une des methodes utilisees estd’essayer une structure proche et de calculer les intensites. Faire l’hypothesed’une structure, c’est avoir la possibilite de calculer les dephasages

ϕi = 2π

(

hx

a+

ky

b+

lz

c

)

On calcule alors les series de Fourier en prenant les |F (hkl)| deduits de la

mesure de diffraction de RX et les dephasages calcules. Si on est sur une bonnepiste, la distribution ρ(xyz) donnera de nouvelles positions des atomes que l’onpourra utiliser pour obtenir de nouveaux dephasages.

C’est ce qu’on appelle le remplacement moleculaire. Cette methode peut

etre utilisee pour des acides nucleiques et pour des proteines. Pour une structurenouvelle et totalement inconnue, la methode ne marchera pas.

Dans l’iteration, plus le nombre de termes de la serie de Fourier est grand, plus

precise sera l’image de la structure.[La situation est assez semblable au cas d’un microscope ou d’un telescope :plus on recueille de lumiere dans l’instrument d’optique grace a une ouverture

plus grande, meilleure sera la resolution. Ici, plus on inclut de termes de la seriede Fourier, meilleure sera la precision.]

La figure ci-dessous montre une image de la densite electronique du glycylgly-

cine (H2NCH2CONHCH2CO2H) projetee sur une maille ; le nombre de termesde la serie de Fourier dont on a tenu compte est aussi inscrit. Avec 40 termes,

la resolution est de 0,25 nm, avec 100 termes, elle est de 0,15 nm et avec 160termes, elle atteint 0,11 nm.

Les methodes directes Dans les methodes directes, on peut essayer toutes les

combinaisons de phase et rechercher celle qui “fitte” le mieux les donnees, ou

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'

&

$

%


40 termes

100 termes

160 termes

NHO

O

C

O

C

CH2

CH2

NH2

H

Fig. 3 – Densite des electrons du glycylglycine (H2NCH2CONHCH2CO2H) projetee sur une maille.

bien partir de l’information contenue dans la donnee de l’intensite et relativea chacun des atomes pour retrouver quelques informations sur les positions

relatives des atomes dans le cristal : c’est la methode de Patterson. Lesmethodes directes sont utilisees pour des “petites molecules” ayant quelques

centaines d’atomes qui ne sont pas des hydrogenes.

Le remplacement isomorphe Cette methode est utilisee quand il est possible

de substituer une atome A par un atome B different sans que cette dernierene change la symetrie ; l’atome B sera en general plus lourd que A. Le cristal

initial et celui ou le remplacement a eu lieu sont mesures. La difference des deuxjeux de resultats (avec atome A et avec atome B) provient de la substitution,

ce qui permet de retrouver les positions des atomes substitues. Les phases deleurs facteurs de structure peuvent alors etre connues.

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