Roland Charnay - 2004-20051 Apprentissages numériques de lécole au collège Apprentissages numériques de lécole au collège Conférence donnée à Angers le

Roland Charnay - 2004-2005 1

Apprentissages numériques Apprentissages numériques de l’école au collège de l’école au collège

Conférence donnée à Angers

le 2 février 2005

par Roland CHARNAY, IUFM de Lyon

À la demande de l’Inspection Pédagogique Régionale

de l’académie de Nantes


Apprentissages numériques Apprentissages numériques de l’école au collège de l’école au collège

Enjeux, difficultés, évolutions


Autour de 3 réflexionsAutour de 3 réflexions

Les enjeux de ces apprentissages sur l’ensemble de la scolarité obligatoire

Les connaissances attendues des élèves au terme de l’école primaire (programmes actuels)

Les difficultés constatées, à partir de l’analyse des évaluations à l’entrée en Sixième


Organisation des programmesOrganisation des programmesCycle 3 de l’école primaire Collège

Exploitation de données numériques

Organisation et gestion de données, fonctions

Connaissance des nombres entiers naturels

Nombres et calculConnaissance des fractions simples et des nombres décimaux

Calcul

Espace et géométrie Géométrie

Grandeurs et mesure Grandeurs et mesure


PlanPlan

L’apprentissage des nombres et de leurs désignations

L’apprentissage du calcul

La résolution de problèmes, avec un intérêt plus particulier pour la proportionnalité


Les nombres Les nombres et leurs désignationset leurs désignations


Entiers naturelsEntiers naturels

Numération décimale et ordre sur ces nombres : depuis le CP

Valeur positionnelle des chiffres peu évaluée à l'entrée en Sixième

Deux résultats

– Ecris en chiffres 25 dizaines 40,8 %

– relation désignations orale-chiffrée relativement bien acquise 80 % à 90 %


Quelle explication pour Quelle explication pour 25 dizaines25 dizaines ? ?

Une remarque : Ecris en chiffres 7 unités 4 dixièmes est mieux réussi (54,8 %)

Une explication : les termes comme dizaine… renvoient à une position et non à une valeur

C'est la valeur positionnelle qui importe…

… Et les relations entre valeurs


Pour les écritures, pas de différence Pour les écritures, pas de différence fondamentale entre naturels et décimauxfondamentale entre naturels et décimaux

2 4 1 7

100 fois plus

100 fois moins

2 4, 1 7

100 fois plus

100 fois moins


DécimauxDécimauxNumération décimale et ordre : depuis le CM1

repris au collègeEvaluations : difficultés pour 25 % à 50 % des

élèvesAu primaire comme au collège

– travail insuffisant sur la compréhension– trop axé sur les techniques : revenir au sens chaque fois

que c'est possible (ex 7 x0,1 : c'est 7 dixièmes)– marquant de manière insuffisante les ruptures avec les

entiers


Ruptures principalesRuptures principales

Relativement à l'ordre– procédure de comparaison– intercalation

Relativement à des procédures de calcul– notamment multiplication et division par 10,

100…

Relativement au "sens" des opérations


FractionsFractions

Approche limitée à l'école primaire

• une seule signification : 5/3 c’est 5 fois 1/3

• travail par le raisonnement (sans techniques)

Peu évalué à l'entrée en Sixième


Au collège : une place centrale et des difficultés nouvelles

Nouvelle signification, comme quotient : 7/3 c’est le tiers de 7

Comprendre l'équivalence : 7 fois le tiers de 1, c’est pareil que le tiers de 7

7/3 est un nombre et non un calcul à effectuerConception plus théorique : 7/3 est le nombre

qui multiplié par 3 donne 7 Fractions avec des décimaux au numérateur et

au dénominateur


Des difficultés Des difficultés et un travail à faire au collègeet un travail à faire au collège

Le mot "quotient"

– désigne le résultat d'un calcul au cycle 3

– désigne aussi un nombre (sans calcul) au collège

L'équivalence des 2 significations de 7/3


Evolution de la notion de nombre Evolution de la notion de nombre au cours de la scolaritéau cours de la scolarité

Des entiers naturels aux décimaux : – renoncer à l’idée de nombres qui se suivent – accepter l’intercalation "sans fin"

Passage aux fractions quotients :– accepter qu’un nombre ne s’exprime pas

nécessairement par une suite de chiffresPassage aux négatifs :

– renoncer au fait qu’un nombre exprime une quantité ou la mesure d’une grandeur


Le calculLe calcul


Deux questionsDeux questions

Quels sont les besoins en calcul du futur acteur social et professionnel ?

Quels sont les besoins en calcul pour l’apprentissage des mathématiques ?


Apprendre à calculer…Apprendre à calculer…

apprendre à rendre calculables des situations par un travail de modélisation (cf. résolution de problèmes)

apprendre à traiter des calculs– de façon automatisée ou raisonnée – pour aboutir à un résultat exact ou approché

apprendre à organiser un calcul pour le rendre exécutable par une machine

(Cf. initiation à l’usage du tableur au collège)


Quel calcul ?Quel calcul ?

CALCUL AUTOMATISE

CALCUL REFLECHI

OU RAISONNE

Résultat exactRésultat approché

Calcul mental

Résultats

Procédures

Procédures construiteschoix des arrondis

Calcul écritTechniques opératoires

Procédures construiteschoix des arrondis

Calcul instrumenté

Calculs usuelsEx : quotient et

reste avec


Priorité au calcul mentalPriorité au calcul mental

Calcul d’usage, utile dans la vie ordinaire

Moyen privilégié de contrôle

Calcul réfléchi : lien entre raisonnement et calcul (choix et mise en œuvre d'une procédure adaptée)

Indispensable à l'acquisition de nouvelles connaissances, à leur représentation mentale

Aide à la résolution de problèmes : se ramener à un cas qui peut être traité mentalement


Le domaine de laLe domaine de lamultiplication et de la divisionmultiplication et de la division

Naturels Décimaux

Multiplication

Cycle 2

Sens

Calcul mental

Cycle 3

Sens

Calculs mental et posé

Fin du cycle 3

Décimal par entier

Sens


Collège

Produit de 2 décimaux

Division

Cycle 3

Division euclidienne

Sens


Collège

Quotient décimal de 2 entiers

Quotient de 2 décimaux


L'extension du calcul aux décimaux et aux L'extension du calcul aux décimaux et aux fractions suppose des restructurations de fractions suppose des restructurations de

connaissancesconnaissances

Sens de la multiplication – surtout liée, pour les entiers, à l'addition itérée

Sens de la division– liée, sur les entiers, au partage

Théorèmes implicites– La multiplication "agrandit"– La division "diminue"


Compétences en calcul mental Compétences en calcul mental à l'entrée au collègeà l'entrée au collège

Mémorisation ou automatisationMémorisation ou automatisation

Peu évaluée– Difficultés avec tables de multiplication– Quart de cent 67 % (Eva 2000)– Cent divisé par quatre 61 % (Eva

2000)– Trente-sept divisé par dix 42 % (Eva 2003)– Trois fois zéro virgule cinq 44 % (Eva 2003)


Calcul réfléchiCalcul réfléchi

Résultats contrastés sur les entiers 198 + 10 81 % (Eva 2003)

405 – 10 78 % (Eva 2003)

47 + 33 84 % (Eva 2003)

60 – 19 65 % (Eva 2003)

52 : 4 35 % (Eva 2000)

Résultats plus faibles avec les décimaux 1,7 + 2,3 61 % (Eva 2003)

2,5 x 4 44 % (Eva 2003)


ConclusionConclusion

Nécessité de poursuivre au collège l’entraînement au calcul mental – sous ses 2 formes : mémorisé et réfléchi – et ses 2 types de résultats : exacts et approchés

Question des résultats nouveaux dont la mémorisation est utile (relatifs, carrés, racines carrées, puissances de nombres simples…)


Résolution Résolution de problèmesde problèmes


Quelques constats


Evaluation 6Evaluation 6ee - 2003 - 2003

Xavier range les 50 photos de ses dernières vacances dans un classeur.

Chaque page contient 6 photos.

a) Combien y aura-t-il de pages complètes ?

b) Combien y a-t-il de photos sur la page incomplète ?

Il y a ……… pages complètes. 54 %

Il y a ……… photos sur la page incomplète. 57 %


Procédures possiblesProcédures possibles

Schématisation des pages et des photos Dénombrement (CP)

Addition de 6 en 6 Addition (CE1)

Encadrement par deux multiples de 6 Table de multiplication (CE2)

Division par 6 Division (CM1)


Une questionUne question

Pourquoi des élèves qui disposent de l’une ou l’autre des connaissances permettant de résoudre ce problème…- ne pensent-ils pas…- n’osent-ils pas…- ne se croient-ils pas autorisés…

… (à) les utiliser pour répondre à la question?


Sophie a dessiné et colorié trois étiquettes rectangulaires toutes identiques sur une plaque de carton, comme le montre le dessin. La plaque est rectangulaire et a pour longueur 12 cm et pour largeur 10 cm.

12 cm

10 cm

a) Calcule la longueur réelle d’une étiquette. Ecris tes calculs. 44 %b) Calcule la largeur réelle d’une étiquette. Ecris tes calculs. 23 %

22 % des élèves ont mesuré

Raisonnement Raisonnement (exemple 2 : éva 6(exemple 2 : éva 6ee, 2000), 2000)


Deux pistes de travail Deux pistes de travail pour l'école et le collègepour l'école et le collège

inciter les élèves à initier des procédures de résolution originales, personnelles

travailler la capacité à déduire et à articuler différentes étapes par un raisonnement approprié.


Le cas de la Le cas de la proportionnalitéproportionnalité


Complexité liée à la variété des problèmesComplexité liée à la variété des problèmes

Types de problèmes

– Reconnaître la proportionnalité

– Recherche d'une quatrième proportionnelle

– Problème de comparaison (partie/tout ; partie 1/ partie 2)

– Proportionnalité "multiple" (ex : aire du triangle)

Types de contextes

– Proportionnalité fixée "socialement"

– Proportionnalité "intrinsèque" (physique, géométrie)

– Proportionnalité "fictive" (pourcentage, vitesse moyenne…)


Complexité liée à la diversité des procéduresComplexité liée à la diversité des procédures

Propriétés utilisées implicitement ou explicitement– linéarité

– coefficient de proportionnalité

– égalité de rapports…

Sensibilité de ces procédures– aux grandeurs en relation (de même nature ou non)

– aux nombres en jeu

– au nombre de couples fournis

Procédures particulières utilisées dans d'autres disciplines


Des niveaux Des niveaux de conceptualisation différentsde conceptualisation différents

Exemple :

Avec 120 kg de blé, on obtient 100 kg de farine ?

Combien de kg de farine avec 900 kg de blé ?


Raisonnement contextualisé 1Raisonnement contextualisé 1

Avec 120 kg de blé, 100 kg de farine

Avec 5 fois plus de blé, 5 fois plus de farineDonc avec 600 kg de blé, 500 kg de farine

Avec 300 kg de blé, 250 kg de farine

Avec 900 kg (600 kg + 300 kg) de blé, 750 kg de farine (500 kg +

250 kg)



Combien y a-t-il de fois 120 kg dans 900 kg ?

(par division : 7,5 fois)

Donc 7,5 fois plus de farine : 100 x 7,5 = 750

Les raisonnements 1 et 2 sont beaucoup plus difficiles si la question porte sur 90 kg de farine…



La masse de farine est 1,2 fois moins importante que celle de blé

Donc 900 : 1,2 = 750


Premier niveau de conceptualisationPremier niveau de conceptualisation

Modélisation par un tableau de nombres

Donc changement de langage– langage ordinaire langage "numérisé"– Autre représentation du raisonnement

Permet une explicitation des propriétés utilisées (linéarité, coefficient)


Deuxième niveau de conceptualisationDeuxième niveau de conceptualisation

Fonction linéaire

Nouveau langage (plus "algébrisé")

Autre formulation des propriétés– Exemple : f(λx) = λf(x)


A l'école primaireA l'école primairePas d'enseignement de la proportionnalitéRésolution de problèmes, avec des procédures

"contextualisées" qui s'appuient implicitement :– sur les propriétés de linéarité– sur le passage par l'image de l'unité– sur le coefficient, lorsqu'il a une signification pour les

élèves

Pourcentage, échelle et vitesse – travaillés dans cet esprit– sans procédures spécifiques


Exemple : 20 % de 350Exemple : 20 % de 350 (vente de croissants)(vente de croissants)

Pour 100 fabriqués 20 vendus






Appui sur le langage : 20 pour 100


Pour 100 fabriqués 20 vendus Pour 300 fabriqués 60 vendus (3 fois plus)

Pour 50 fabriqués 10 vendus (la moitié)


Le nombre de pains vendus, c'est 1/5 du nombre de pains fabriqués (ou 5 fois moins)

1/5 de 350, c'est 70


Au collègeAu collège

Difficulté de passer de l'expression verbale "prendre 20 pour 100"…

… à une procédure qui utilise :– le quotient 20 / 100– La multiplication

Ce passage n'a rien de "naturel"


Au collège : évolution des procéduresAu collège : évolution des procédures

Sixième – passage par l’image de l’unité– rapport de linéarité, exprimé sous forme de quotient– coefficient de proportionnalité, exprimé sous forme de quotient

Cinquième– recours plus systématique aux quotients– travail sur des tableaux de nombres (décontextualisation)– première approche graphique

Quatrième– produit en croix (lié à égalité de quotients)– caractérisation graphique

Troisième– modélisation par une fonction linéaire


Le cas de la multiplication de 2 Le cas de la multiplication de 2 nombres décimauxnombres décimaux

Rupture avec la multiplication par un entier (liée à l'addition itérée)

L'utilisation de procédures relatives à la proportionnalité précède souvent celle de la multiplication

– Ex : 2,750 kg à 32,50 € le kg en passant par 500 g et 250 g

– Cas plus "complexe" : 2,648 kg en utilisant la signification de chaque chiffre


Relation avec de nombreux Relation avec de nombreux domaines du programmedomaines du programme

Graduation, diagramme, graphique

Mesure : changement d'unité, formules, grandeurs-produits, grandeurs-quotients

Géométrie : Thalès, agrandissement, réduction, cosinus

Et avec d'autres disciplines


Quelques documentsQuelques documents

documents d’application des programmes de l’école primaire (notamment cycle 3)

document Articulation école-collègedocument Calcul mentaldocument Calculatricesdocument Calcul posédocument Problèmes pour chercher

Documents

Roland Charnay - 2004-20051 Apprentissages numériques de lécole au collège Apprentissages numériques de lécole au collège Conférence donnée à Angers le