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La mécanique du longboard et du skateboard
Clément Legrand et Florian Sanchez
Janvier 2014
Sujet : La mécanique du longboard et du skateboardProblématique : Est-il possible de modéliser les forces mises en jeu dans la pratique
du longboard ou du skateboard et de résoudre les équations correspondantes ?Thème national choisi : La mesureMatières concernées :
• Physique : pour comprendre les différentes forces et les mettre en équations.
• Informatique (ISN) : pour résoudre numériquement les équations n’ayant pas desolution algébrique et représenter graphiquement les trajectoires
1
2
Table des matières
1 Introduction 5
2 Pré-requis de physique et de mathématiques 52.1 Dérivées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.2 Intégrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.3 Vitesse et accélération d’un objet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.4 Seconde loi de Newton : principe fondamental de la dynamique de
translation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.5 Troisième loi de Newton : principe d’action réaction . . . . . . . . . . . . 72.6 Notions de base sur le frottement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.6.1 Frottement statique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.6.2 Frottement cinétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.7 Saut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3 Early grab 93.1 Physique du early grab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93.2 Simulation Informatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113.3 Pour aller plus loin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
4 Ollie 134.1 Physique du ollie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144.2 Pour aller plus loin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
5 Slide 155.1 Modélisation mathématique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165.2 Simulation informatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185.3 Pour aller plus loin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
6 Conclusion 22
7 Bibliographie 23
3
4
1 Introduction
tail wheelbase (empattement)nose
rouesgriptape (surface anti-dérapante)deck (planche en bois)trucks (composants métalliquepermettant la rotation)
FIGURE 1 – schéma des composés d’une longboard
Le skateboard est une planche d’environ 80 cm montée sur des trucks courts et desroues très dures et petites. Leur dimension les rend particulièrement adaptées à lapratique du skate en Bowl et sur d’autres modules spécialisés. Elles sont plutôt utili-sées pour enchaîner des sauts et des figures que comme moyen de déplacement. Cesplanches sont donc généralement très rigides afin de permettre les meilleurs rebondspossible.
Le longboard est une planche a roulette mesurant de 70 a 150 cm de long avec desroues plus tendres, de diamètre plus élevé et avec des trucks plus longs pour per-mettre tourner plus facilement. Les longboards sont plus adaptés à la descente et auxgrandes vitesses. En effet, le deck étant plus large et l’empattement plus important, cesplanches assurent une plus grande stabilité. En contrepartie, ces planches étant pluslourdes, plus encombrantes et moins rigides, les figures sont moins sautées. Le re-cord actuel de vitesse sur un longboard a été établi en 2012 par Mischo Erban à 129,94km/h [11].
Ce type de planche est une adaptation du skateboard qui a été inventée dans lesannées 1970, par les surfeurs californiens. Ils pouvaient ainsi continuer a pratiquer leurdiscipline quel que soit le temps et l’état de la mer. Il existe de nombreux facteurs, aussibien dans les dimensions que dans les matériaux employés dans la fabrication de laplanche ou de ses composés, qui influent directement sur les différentes performancesdu skate.
Dans ce dossier, nous présentons les différentes modélisations physiques des fi-gures de bases du skateboard et du longboard. Pour cela, nous commeçons (section 2)par la présentation de quelques notions de physique et de mathématique que nous nemaitrisions pas a début de ce TPE et qui nous ont été très utiles. Nous présentons en-suite une réponse à notre problématique pour les figures suivantes : early grab (section3), ollie (section 4) et slide (section 5).
2 Pré-requis de physique et de mathématiques
2.1 Dérivées
La dérivée en un point d’une fonction est égale au coefficient directeur de la droitetangente à la fonction en ce point. La dérivée première df
dxd’une fonction f est notée f ′
5
et est définie par :
f ′(x) = limh→0
f(x+ h)− f(x)h
En physique les grandeurs sont souvent des fonctions du temps et la dérivée par rap-port au temps est notée f plutôt que f ′. De même la dérivée seconde f ′′ = d2f
dt2est notée
f .
2.2 Intégrales
La primitive F d’une fonction f est la transformée inverse de la dérivée, c’est-à-direque F ′ = f . La dérivée d’une constante étant égale à 0, la primitive est définie à uneconstante près. L’interprétation graphique de la primitive est que F (a) − F (b) (égale-ment appelée intégrale entre a et b de f ) correspond à l’aire comprise entre la fonctionf , l’axe (Ox) et entre les points a et b.
Dans la suite, il sera courant que l’on détermine une primitive d’une fonction véri-fiant une condition initiale donnée afin de déterminer des trajectoires.
2.3 Vitesse et accélération d’un objet
On suppose que l’on s’est placé dans un repère orthonormé (O, x, y, z). On s’intéressealors à un objet de position M(t) et représenté par le vecteur
−−−−→OM(t). Pour alléger les
notations, on écrira par la suite−−→OM au lieu de
−−−−→OM(t).
La vitesse instantanée d’un corps est définie par la dérivée de sa position M parrapport au temps [5] :
−→v =d−−→OM
dt
De même, l’accélération d’un corps représente sa variation de vitesse au cours dutemps. L’accélération instantanée d’un corps est donc définie par :
−→a =d−→vdt
=d2−−→OM
dt2
2.4 Seconde loi de Newton : principe fondamental de la dynamiquede translation
La seconde loi de Newton permet de relier le mouvement d’un objet aux forces quis’exercent sur ce dernier. Formellement, elle s’écrit [5] :
m.−→a =∑−→
F
Ainsi, si la somme des forces est nulle, l’accélération aussi. La vitesse reste doncconstante et un objet continue donc sur sa lancée.
6
2.5 Troisième loi de Newton : principe d’action réaction
SoitA etB deux corps en interaction. Si le corpsA exerce une force surB, il subit en re-tour une force de celui ci d’intensité et de direction identique mais de sens opposé [5] :
−→F A/B = −
−→F B/A
2.6 Notions de base sur le frottement
On distingue deux types de frottements différents : le frottement statique et le frotte-ment cinétique [9]. Durant tout ce TPE, on négligera les frottements dûs à l’air et lesfrottement intervenant dans les roulements à billes des roues. On considérera unique-ment les frottements des roues avec le sol.
2.6.1 Frottement statique
Le frottement statique s’exerce entre deux corps en contact et ne glissant pas l’un surl’autre. C’est le cas par exemple lorsqu’il y a roulement de la roue sur le sol. Cetteforce tend à conserver les corps dans un état de contact. Cette force est d’intensitéet de direction identique mais de sens opposée à la force appliquée. Ainsi, l’intensitédu frottement statique est variable et dépend de la force appliquée (voir Figure 2).Toutefois il existe pour cette force une intensité maximale au delà de laquelle le corpsse met en mouvement. Cette intensité maximale dépend de la force normale appliquéepar le corps en contact et d’un coefficient de frottement propre à la nature des deuxsurfaces en contact :
Fs 6 µs.N.
FIGURE 2 – Illustration de la force statique : ici, l’objet n’est soumis qu’à son proprepoids.
C’est la raison pour laquelle plus un objet est lourd plus il est difficile à faire glisser.Contrairement aux idées reçues, le coefficient de frottement ne dépend absolument pasde l’aire de la surface de contact des deux corps, mais du rapport entre l’aire de contactréelle et l’aire de contact apparente. C’est aussi pourquoi le coefficient de frottementstatique est exprimé sans unité. Le coefficient de frottement statique entre deux typesde matériaux est donc une grandeur macroscopique déterminée expérimentalement.
Si l’intensité de la force appliquée est supérieure à cette intensité maximale, il y aglissement et la force de frottement statique est remplacée par la force de frottementcinétique.
7
2.6.2 Frottement cinétique
Le frottement cinétique s’exerce sur un corps en mouvement par rapport à u autre.Elle correspond au cas où il y a glissement et tend a réduire la vitesse de l’objet. Cetteforce de frottement est de même direction mais de sens opposé au mouvement ducorps. L’intensité de la force de frottement cinétique est constante et dépend encored’un coefficient de frottement cinétique et de l’intensité de la force normale exercéeentre les deux corps :
Fc = µc.N.
Attention : la force de frottement statique est de sens opposé à la force appliquéetandis que la force de frottement cinétique est de sens opposé à la vitesse du corps.Remarque : le coefficient de frottement statique est, sauf pour quelques matériaux auxpropriétés très particulières, supérieur ou égal au coefficient de frottement cinétique.
µs > µc
Tout comme le coefficient de frottement statique, le coefficient de frottement ciné-tique entre deux matériaux est déterminé expérimentalement.
Les roues de longboard et de skateboard sont classés selon différents paramètres : lepremier est bien entendu le diamètre de la roue et le second est la dureté de la gomme.La dureté des roues est classée sur une échelle allant d’environ 70 A à 100 A. Les rouesen 70A sont des roues extrêmement tendres, confortables sur revêtement de moyennequalité, avec un coefficient de frottement très élevé : la roue se déforme légèrement etle rapport aire de contact réelle
aire de contact apparente est ainsi plus élevé. Au contraire des roues en 100A seronttrès dures, moins confortables mais très faciles à faire déraper.
2.7 Saut
Dans le cas d’un saut, la seule force s’exerçant sur le sauteur est la gravité. Plus géné-ralement, notons
−→F ,la somme des forces. Si
−→F est de direction verticale, les équations
décrivent la trajectoire du sauteur. On applique donc la seconde loi de Newton pourobtenir l’accélération : {
x(t) = 0
y(t) = fm
En intégrant on obtient la vitesse. Si on note (v0x, v0y) la vitesse à l’instant t = 0, on adonc : {
x(t) = v0x
y(t) = fmt+ v0y
En intégrant une nouvelle fois, si on note (x0, y0) la position à l’instant t = 0, on obtientla position : {
x(t) = v0xt+ x0
y(t) = f2mt2 + v0yt+ y0
Ce type de trajectoire correspond à une parabole et sera obtenue pour les deux figuressuivantes.
8
3 Early grab
Le early grab est la façon la plus simple d’effectuer un saut en skateboard. Le early grabest praticable avec des planches plus lourdes et plus longues comme les longboards.Comme son nom l’indique, le early grab est un grab, figure consistant à attraper saplanche avec une ou deux mains lors d’un saut (voir Figure 3). Cette figure est relati-vement simple, il existe donc des robots effectuant des early grab [?].
FIGURE 3 – early grab 180 [3]
3.1 Physique du early grab
Le skateur attrape avec sa main droite (si regular) l’arrière de sa planche entre ses deuxpieds. Il va ensuite faire un saut, emportant avec lui sa planche dans les airs [4]. Autemps t = 0, les forces s’appliquant sur le skateur et sa planche sont la gravité et laréaction du sol (on suppose là encore que le skateur est sur un sol plat pour simplifierles calculs). Toutes ces forces se compensent (voir Figure 4).
On se place dans le repère (O,−→ex ,−→ey ). Le early grab étant un saut, la trajectoire dé-crite par le skateur est une parabole. Notons t1 le moment où le skateur commence àappliquer une force supérieure à la gravité avec ses jambes. Cette force additionnelleva élever son centre de gravité et lui communiquer une certaine vitesse. Cette vitesseverticale va le faire s’élever dans les airs. Comme le skateur tient sa planche avec samain, la hauteur h2 qu’il va pouvoir ainsi atteindre est limitée par la longueur de sonbras. Notons t2 l’instant où cette hauteur est atteinte.
De t1 = 0 à t2, les forces appliquées sur le skateur sont∑−→
F =−→P +
−→f . En utilisant
la seconde loi de Newton, on obtient :
y(t) = −g + f
m
9
Détente maximale du sauteur
FIGURE 4 – shema des forces lors d’un saut
On en déduit donc les équations du mouvement suivante :{x(t) = v0 × ty(t) = (−g + f
m). t
2
2+ h1
Le temps t2 est donc atteint quand y(t) = h2, d’où :
t2 =
√2(h2 − h1)(−g + f
m
)La vitesse verticale du skateur au temps t2 est donc :
y(t2) =
(−g + f
m
).t2 =
√2.(h2 − h1)
(−g + f
m
)À partir de l’instant t2, la seule force s’appliquant sur le skateur et sa planche est la
gravité. On a donc y(t) = −g, ce qui nous donne l’équation mouvement suivante :{x(t) = v0 × ty(t) = −g × (t−t2)2
2+ y(t2)× (t− t2) + h2
Notons t3 l’instant où le skateur est le plus haut. Cet instant corrspond au momentoù sa vitesse verticale s’annule, soit :
t3 = t2 +y(t2)
g
La hauteur h3 ainsi atteinte vaut après simplification :
h3 = h2 +h2 − h1
2
(f
mg− 1
)On retrouve bien l’intuition que h3 est limité par (h2 − h1) la longueur du bras du
skateur, et directement croissant avec la force du skateur f . DE plus on retrouveaussile fait que plus le skateur est lourd, moins il saute haut. . .
L’instant t4 où le skateur atterri correspond au moment où y(t) = h2, d’où :
10
t4 = t2 + 2y(t)
g
3.2 Simulation Informatique
Pour obtenir la trajectoire du skateur, nous utilisons les bibliothèques numpy etmatplotlib [?] qui permettent de tracer simplement des courbes. Le programmesuivant utilise directement les formules précédentes pour tracer la trajectoire.
import osfrom math import *import numpy as npimport matplotlib.pyplot as plt
v_0 = 3 # en m*s^-1g = 9.81 # en m*s^-2f = 800 # en Nm = 60 # en kgX = []Y = []h_1 = 0.3h_2 = 0.5y = h_1dt = 0.001
if(-g + f/m<0):print "Pas assez de force pour decoller...\n"exit(0)
############## Calcul des positions #################t_1 = 0t_2 = sqrt(2*(h_2-h_1)/(-g+f/m))v_t2 = (-g + f/m) * t_2 #vitesse en y a l’instant t_2t_3 = t_2 + v_t2/gh_3 = (-g)/2 * (t_3-t_2)**2 + v_t2 * (t_3-t_2) + h_2t_4 = t_2 + 2*v_t2/g
t = np.arange(t_1,t_2,dt)X = v_0 * tY = (-g+f/m)/2 * t**2 + h_1
t = np.arange(0,t_4-t_2,dt)X2 = v_0 * (t + t_2)Y2 = (-g)/2 * t**2 + v_t2 * t + h_2
############## Affichage ###########################
11
fig = plt.figure()font = {’family’ : ’serif’,’color’ : ’darkred’,’weight’ : ’normal’,’size’ : 16,} #fixe la police des anotations sur la courbeax = fig.add_subplot(111, aspect=’equal’)ax.plot(X,Y)ax.plot(X2,Y2)ax.set_title(’Trajectoire du early grab’)#ax.set_xticks([0, 1])#ax.set_xlim([-0.5, 1.5])ymax = 1ax.set_ylim([0, ymax])#trace la ligne pointillee verticale passant par h_2lx = np.array( [t_2*v_0,t_2*v_0] )ly = np.array( [0,ymax] )plt.plot(lx,ly,’k--’)#trace la ligne pointillee horizontale passant par h_2lx = np.array( [0,t_4*v_0] )ly = np.array( [h_2,h_2] )plt.plot(lx,ly,’k--’)
plt.text(0, h_1*1.1, ’$h_1$’,fontdict=font)plt.text(v_0*t_2*0.92, h_2*1.1, ’$h_2$’,fontdict=font)plt.text(v_0*t_3*0.98, h_3*1.05, ’$h_3$’,fontdict=font)plt.text(v_0*t_4*0.98, h_2*0.9, ’$h_2$’,fontdict=font)plt.text(v_0*t_2*0.92, 0.05, ’$t_2$’,fontdict=font)plt.text(v_0*t_4*0.98, 0.05, ’$t_4$’,fontdict=font)plt.savefig(filename)os.system("pdfcrop " + filename + " " + filename + \
" >/dev/null 2>&1")
La Figure 5 est le résultat du programme précédent. De l’instant t1 à l’instant t2,le skateur se relève. À partir de l’instant t2, il décolle. Il atteint sa hauteur maximaleà l’instant t3 et retouche le sol à l’instant t4. On voit que la hauteur dont il a décollé(entre la ligne pointillée horizontale et le maximum de la courbe) est assez faible.
3.3 Pour aller plus loin
Comme on vient de le voir, la hauteur du saut est liée à h2 − h1 (qui est limitée parla longueur des bras du skateur) et à la force f qu’il impulse (qui est limitée par samasse musculaire). Une technique permettant de sauter plus haut consiste à d’abordse laisser tomber sur sa planche afin de profiter de l’énergie renvoyée par la planche(élastique). L’énergie ainsi renvoyée se traduit par une force supplémentaire à la forcef , ce qui permet de sauter plus haut. Une autre technique consiste à s’affranchir de lalimitation imposée par h2 − h1, c’est ce qu’on appelle le Ollie.
12
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.80.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
h1
h2
h3
h2
t2 t4
Trajectoire du early grab
FIGURE 5 – Illustration de la trajectoire d’un early grab grâce au programme précédent.À partir de l’instant t2, le skateur décolle. Il atterrit à l’instant t4.
4 Ollie
Le ollie est la plus connue et la plus utilisée des figures de skateboard et a été inventéedans les années 1980 par Allan Ollie Gefland [?]. Cette figure consiste à utiliser lerebond du sol pour s’élever avec sa planche dans les airs (voir Figure 6). Elle est ainsil’ancêtre de la plupart des figures nécessitant un saut comme les flip ou le kickflip(ollie + rotation de la planche en l’air) par exemple, c’est aussi la figure la plus simpledans la plupart des jeux vidéos. Ces figures sont toutefois bien plus difficiles à réaliseravec un longboard car la planche est plus lourde et le tail plus court. Nous reviendronsplus tard sur ce point. Le record actuel de ollie, détenu par Aldrin Garcia [?], est de114.3 cm de hauteur !
FIGURE 6 – Étapes une à quatre du Ollie [2]
On notera qu’il n’existe a ce jour aucun robot capable d’effectuer un ollie pour la
13
raison suivante : des paramètres tels que l’équilibre du robot en l’air et la précisionnécessaire des mouvements sont trop compliqués pour un simple robot.
4.1 Physique du ollie
La réalité est hélas bien différente et plus complexe que les jeux vidéos. Pour fairedécoller sa planche, le skateur fait en réalité appel à la troisième loi de Newton : leprincipe d’action réaction. Au début le skateur est immobile, les forces s’appliquantsur lui et sa planche sont :
• La gravité terrestre qui ramene le skateur contre sa planche,
• La poussée de la planche sur les pieds du skateur,
• La gravité terrestre sui ramène le skateur et sa planche vers le sol,
• La poussée du sol sur la planche.
La somme de ces deux forces est nulle. Dans la suite on notera ms+p la masse du ska-teur et de sa planche, ms celle du skateur et mp de sa planche. On a alors :
−→Fg = ms+p ×−→g
Dans un premier temps, il déplace l’intégralité de son poids sur son pied arrière etdonc sur le tail faisant ainsi basculer la planche vers l’arrière. Si le skateur décolle desa planche en sautant au même instant, cela signifie qu’il y a une force s’exercant surla planche d’intensité et de direction egale à la force nécessaire pour son saut mais desens opposé. S’applique alors la troisième loi de Newton :
−→F skateur/planche = −
−→F planche/skateur
Le skateur fait en même temps un bond dans les airs, allégeant ainsi sa planchede son poids. La force gravitationnelle clouant la planche au sol est plus faible que laforce de rebond du skateur et de sa planche ensemble :
|−→F g| 6 |
−→F skateur et de sa planche|
La force du rebond étant dirigée en sens inverse à la gravité, la planche s’élève dansles airs sous les pieds du skateur. Du moins jusqu’à ce que la gravité les ramène toutles deux au sol. . . Quoi qu’il en soit, cette manœuvre est un saut et conduit donc à unetrajectoire parabolique, se résumant donc à :{
x(t) = v0x × ty(t) = −g × t2
2+ v0y × t+ h
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4.2 Pour aller plus loin
La majorité des skateur, pour faciliter leur élévation dans les airs, replient les jambeset font glisser leur pied sur la planche (inclinée) le long du griptape pour propulser laplanche et l’air et en avant.
On pourrait penser qu’en utilisant cette technique le skateur avance (augmente savitesse). C’est faux si sa planche semble avancer son corps lui recule de telle sorte quele centre de gravité ne se déplace pas (avec −→v i = 0). Ceci s’explique encore une foispar la troisième loi de Newton en exerçant une force de frottement sur la planche, leskateur reçoit de la planche une poussée de sens contraire et de même intensité quecelle appliquée sur le skate.
De part leurs dimension, ayant des tails très courts, c’est la seule méthode poureffectuer un ollie en longboard. Mais n’utilisant donc pas le rebond de la planche, c’estbeaucoup moins efficace.
5 Slide
Tout comme le ollie est la base de nombreuse figures de skate, le slide est la base des fi-gures de longboard. Le slide consiste en un dérapage, permettant au skateur de perdrede la vitesse dans une descente avec un style plus certain que de sauter de sa planche(voir Figure 7). De nombreuses figures de longboard sont dérivées du slide : le skateurpeut premièrement choisir une rotation plus ou moins longue (0°,180°,360°. . . etc), etpeut le faire avec plus ou moins d’appuis (une main au sol, les deux, debout ou encoresur une seule jambe. . . ).
FIGURE 7 – back slide [6]
15
5.1 Modélisation mathématique
Le skateur est en pente et n’est soumis qu’à son propre poids, au lieu de se placer dansun repère (O,−→ex ,−→ey ,−→ez ) classique où −→e z serait vertical, on choisit −→e z perpendiculaireau plan incliné (voir Figure 8).
FIGURE 8 – shéma du repère.
Pour amorcer son dérapage et "vaincre" la force de frottement statique de ses roues,le skateur tourne avec un rayon le plus faible possible pour changer l’orientation deses roues et les empêcher de rouler pour les faire déraper latéralement. Cette trajectoireest comparable a celle d’un pendule trop lourd pour la résistance de la tige le retenant(voir Figure 9). Pour étudier ce mouvement, il est plus simple de se placer au débutdans un repère tournant (M,−→er ,−→eθ ,−→ez ) avec M le centre de gravité du skateur.
FIGURE 9 – shéma d’un pendule.
Notons θ l’angle formé par la position du skateboard et l’axe X . On note θ sa dé-rivée par rapport au temps (vitesse angulaire) et θ sa dérivée seconde (accélérationangulaire). On compare la trajectoire précédant le dérapage du skateur à celle décritepar le poids du poids d’un pendule. En effet, la seule différence avec est trajectoire estl’inclinaison de la tige du pendule (pente du sol) selon α, l’angle formé par la positiondu skateboard et l’axe Z (voir Figure 10).
La force de Tension−→Ts de la corde du pendule représente alors notre force de frot-
tement statique. La corde virtuelle lâchera donc à partir du moment où :
|−→Pr| > |
−−→Tmax| c’est à dire si |
−→P × cos θ sinα| > µs ×
−→P × cosα
On cherche à simuler la trajectoire du skateur précédant le dérapage.
16
FIGURE 10 – force de frottement en fonction de la pente α.
−−→OM = r−→er
On obtient en dérivant :
−→v =d−−→OM
dt= r−→er + r−→er
−→v = r−→er + rθ−→eθEn dérivant une seconde fois, on en déduit :
−→a =d−→vdt
= r−→er + r−→er + rθ−→eθ + rθ−→eθ + rθ−→eθ−→a = r−→er + 2rθ−→eθ + rθ−→eθ − rθ2−→er
En l’absence d’informations particulières sur la façon dont le skateur exécuteson dérapage, nous supposons pour simplifier que le skateur tourne avec un rayonconstant R (corde du pendule non élastique).
m−→a =
(−mRθ2
mRθ
)En appliquant la seconde loi de Newton dans un repère tournant, on obtient :
mg × cos θ − T = −mRθ2 (1)
θ = − gR× sin θ × sinα (2)
En résolvant l’équation différentielle ( 2), on connaît la position M de notre skateura tout moment ainsi que la trajectoire qu’il décrit jusqu’à son dérapage. En injectant lasolution dans ( 1), on en déduit l’intensité de T . Dés que
−→T >
−−−→Tmax le skateur dérape,
il n’y a plus de rotation. Il donc plus simple de changer de modèle et de repasser dansle repère (O,−→ex ,−→ey ,−→ez ). Le force de frottement est donc un frottement cinétique
−→Tc . En
appliquant la seconde loi de Newton :{−→ax =−→Px −
−→Tcx
−→ay = −−→Tcy
17
Rappellons que la force de frottement cinétique est opposée à la vitesse du corps.−→ax = −→g sinα−−→g µc cosα× vx√
v2x+v2y
−→ay = −−→g µc cosα× vy√v2x+v
2y
5.2 Simulation informatique
À la différence des situations précédentes où nous pouvions obtenir assez simplementles équations du mouvement, dans le cas du slide, nous ne savons pas comment obte-nir de forme close car nous ne savons pas résoudre l’équation différentielle (*2). Nousapproximons donc la trajectoire du skateboard à l’aide de la méthode d’Euler. Afind’éviter la situation où le skateur suivrait une trajectoire ne lui permettant pas de s’ar-rêter, nous avons borné le nombre d’itérations.
v0 = 20 # en m.s^-2pente = 25 # en degrespente = pente * pi /180 # en radiansR = 20 # en metresmasse = 60 # en kg
Nous avons fixé la vitesse initaile à 20 km.m¹, car c’est la vitesse moyenneà laquellenous roulons, de même pour la pente. En revanche, nous avons approximé le coeffi-cient de frottement statique et le coefficient de frottement cinétique entre l’urethaneet le bitume à partir des coefficients de frottements de l’urethane sur de l’acier. Nousaurions préférer le déterminer expérimentalement nous même mais le protocole del’expérience étant assez compliqué et le temps manquant, nous avons pris les mêmesvaleures que sur de l’acierl.
import osfrom math import *import numpy as npimport matplotlib.pyplot as plt
theta_0 = pi / 2 # en radiansg = 9.81 # en m.s^-2dt = 0.001 # en secondesmu_stat = .9 # sans unitemu_cntq = .7 # sans unitevitesse_initiale = v0 / 3.6 # en m.s^-1thetap_0 = -vitesse_initiale / R # en rad.s^-1
T = 0theta = theta_0thetap = thetap_0X = []Y = []
18
temps_max = 20count = 0count_max = temps_max/dt
while (T < mu_stat * masse * g * cos(pente) and \count < count_max):
new_theta = dt * thetap + thetanew_thetap = dt * (-g*sin(pente)/R*sin(theta)) + thetaptheta = new_thetathetap= new_thetapT = masse * g * sin(pente) * cos(theta) + \
masse * R * thetap**2x = R * cos(theta)y = R * sin(theta)X.append(-x)Y.append(y)count += 1
V_0 = R * thetapVx_0 = - V_0 * sin(theta)Vy_0 = V_0 * cos(theta)x1 = Vx_0y1 = Vy_0
Xs = [X[len(X)-1]]Ys = [Y[len(Y)-1]]
while (sqrt(x1**2+y1**2) > 0.001 and count < count_max):x2 = g * sin(pente) - mu_cntq * g * cos(pente) * \
x1 / (sqrt(x1**2+y1**2))y2 = - g * cos(pente) * mu_cntq * y1 / (sqrt(x1**2+y1**2))new_x1 = x1 + dt * x2new_y1 = y1 + dt * y2new_x = x + dt * x1new_y = y + dt * y1x1 = new_x1y1 = new_y1x = new_xy = new_yXs.append(-x)Ys.append(y)count += 1
############## Affichage ###########################fig = plt.figure()ax = fig.add_subplot(111, aspect=’equal’)
19
ax.plot(Y,X)ax.plot(Ys,Xs)font = {’family’ : ’serif’,’color’ : ’black’,’weight’ : ’normal’,’size’ : 12,}ax.set_title(’Slide pour R=%g, une pente de %.2f degres \n\
et une vitesse initiale de %g km/h’ % \(R,pente,v0), fontdict=font)
xmin = min(min(Ys),0)xmin = 2*np.floor(xmin/2)xmax = np.ceil(R*1.1)ymax = 20ax.set_xlim([xmin, xmax])ax.set_xticks(np.arange(xmin,xmax,2))ax.set_ylim([-ymax,0])lx = np.array( [X[len(X)-1],X[len(X)-1]] )ly = np.array( [xmin,xmax] )plt.plot(ly,lx,’k:’)lx = np.array( [0,(-ymax)])ly = np.array( [Y[len(Y)-1],Y[len(Y)-1]] )plt.plot(ly,lx,’k:’)lx = np.array( [Xs[len(Xs)-1],Xs[len(Xs)-1]] )ly = np.array( [xmin,xmax] )plt.plot(ly,lx,’k--’)plt.savefig(filename)os.system("pdfcrop " + filename + " " + filename + " >/dev/null 2>&1")
En exécutant le code précédant pour différents paramètres, on obtient les trajec-toires de la figure 11.
La partie de la courbe avant la ligne pointillée horizontale représente la trajectoiredu centre de gravité du skateur quand le dérapage n’a pas encore commencé. À l’in-verse, la partie après représente la trajectoire du skateur pendant son dérapage. Laligne horizontale en tirets matérialise l’endroit où le skateur s’arrète.
On voit que plus le rayon du virage que prend le skateur est court plus sa distancede dérapage est courte.
Sur le dernier shema, le rayon est trop important pour que le skateur puisse mêmecommencer à déraper, il continuera donc à décrire des cercles indéfiniment. . .
5.3 Pour aller plus loin
Clairement, le résultat de ces simulations n’est que vaguement ressemblant à ce qu’ilse passe en réalité et il nous semble par exemple très difficile de prédire au bout decombien de temps un vrai skateur s’arrêterait uniquement à partir des paramètresidentifiés précédemment. Nous pensons que ces différences peuvent s’expliquer parles hypothèses simplificatrices que nous avons prises.
20
0 220
15
10
5
0Slide pour R=3, une pente de 0.20 degres et une vitesse initiale de 20 km/h
0 2 420
15
10
5
0Slide pour R=5, une pente de 0.20 degres et une vitesse initiale de 20 km/h
4 2 0 2 4 6 8 1020
15
10
5
0Slide pour R=10, une pente de 0.20 degres et une vitesse initiale de 20 km/h
0 2 4 6 8 10 12 14 1620
15
10
5
0Slide pour R=15, une pente de 0.20 degres et une vitesse initiale de 20 km/h
FIGURE 11 – Illustration de l’impact du rayon de courbure sur la distance de freinage.Le skateur s’arrête au niveau de la ligne pointillée
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Premièrement, le coefficient de frottement dépend de la température. Or le frotte-ment des roues dissipe une forte énergie thermique. Nous pensons cependant que ladifférence entre les coefficients de frottement avant et après l’échauffement est relati-vement minime. D’autre part, le dérapage est de durée suffisamment courte pour quecette différence importe peu sur l’ensemble de la trajectoire.
Ensuite, lors d’un dérapage, le rayon r n’est pas constant. Intuitivement, on com-mence à avec un rayon très élevé (trajectoire rectiligne) et on fini avec un rayon trèsfaible au moment du dérapage. Avec les notations que nous avons prises, cela voudraitdire que le centre du cercle se déplace. Notre modèle est donc une approximation as-sez juste pour certains slides, par exemple quand la vitesse initiale du skateur est assezfaible. Plus la vitesse est grande plus le résultat est faussé.
Ce rayon dépend non seulement de la vitesse du skateur mais aussi du réglage destrucks (voir Figure 1) ainsi que de leurs tailles et leur angle d’inclinaison. Cela dépendenfin du type de dérapage que veut faire le skateur. La valeur du rayon prise dans leprogramme a donc été ajustée afin d’avoir une trajectoire qui nous paraisse réalistemais ne correspond en aucun cas à une valeur que nous aurions estimée expérimenta-lement.
Ensuite le poids du skateur varie : pour s’arrêter plus rapidement, le skateur auratendance à s’alléger avec une légère flexion pour réduire l’intensité maximale de laforce de frottement statique, commençant ainsi son dérapage plus tôt. En revanchedès qu’il aura commencer à déraper, il se laissera retomber, augmentant son poidset l’intensité de la force de frottement cinétique, ce qui lui permet de s’arrêter plusrapidement.
Enfin, pour s’assurer d’une meilleur stabilité et pour commencer à déraper le plustôt possible, certains skateur préfèrent poser une main (voire deux) avec des gantsadaptés au sol. En variant la répartition de son poids sur cet appui supplémentaire, leskateur augmente ou diminue la force de frottement qui a lieu entre les roues et le sol.Le coefficient de frottement des gants est généralement très inférieur à celui des rouescontre le sol. En allégeant le poids exercé sur la planche, il peut donc commencer àse mettre en situation de dérapage plus rapidement. Une fois le dérapage amorcé, ilpeut re-transférer une partie de son poids sur la planche afin de dissiper le maximumd’énergie possible tout en dérapant et donc s’arrêter au plus tôt. Le skateur diminueainsi considérablement sa distance de dérapage.
6 Conclusion
L’objectif premier de ce TPE était de déterminer si nous arrivions à modéliser les forcesmises en jeu dans la pratique du longboard et d’en déduire les équations du mouve-ment correspondant. Pour cela, nous avons évidemment dû faire certaines hypothèsessimplificatrices. Nous estimons que certaines sont justifiées mais que d’autres sontprobablement un peu trop simplistes, ce qui donne parfois lieu à des simulations in-formatiques pas aussi réalistes que nous l’espérions, en particulier dans le cas du slide.
D’autre part, nous avons toujours modélisé la trajectoire de l’ensemble skateur +longboard en nous concentrant sur les forces extérieures à ce système. Les forces exer-cées entre le skateur et sa planche sont pourtant déterminantes dans la trajectoire mais
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une telle modélisation auraient nécessité des outils bien plus complexes.
7 Bibliographie
Ne sont cités ici que les sites dont nous nous sommes le plus servis
Références
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[2] K. CHIN : Sneak peak : The loaded freeride/dh board. http://www.loadedboards.com/loadednews/index.php?post/2011/05/09/Sneak-Peak%3A-The-Loaded-Freeride/DH-Board, mai 2011.
[3] K. CHIN : Tree longboarding. http://www.flickr.com/photos/treee-longboarding/5567184674/, mars 2011.
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[5] M. FAURIS : Physique Terminale S enseignement obligatoire programme 1995. Nathan,1995.
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[10] WIKIPEDIA : Lois du mouvement de newton. http://fr.wikipedia.org/wiki/Lois_du_mouvement_de_Newton, jan. 2014.
[11] WIKIPEDIA : Longboard (skateboard). http://en.wikipedia.org/wiki/Longboard_(skateboard), fév. 2014.
[12] WIKIPEDIA : Pendule simple. http://fr.wikipedia.org/wiki/Pendule_simple, jan. 2014.
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