La notion d'holonomie chez Élie Cartan

LA NOTION D'HOLONOMIE CHEZ ÉLIE CARTAN Philippe Nabonnand Armand Colin | Revue d'histoire des sciences 2009/1 - Tome 62pages 221 à 245

ISSN 0151-4105

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Pour citer cet article :

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Nabonnand Philippe, « La notion d'holonomie chez Élie Cartan »,

Revue d'histoire des sciences, 2009/1 Tome 62, p. 221-245. DOI : 10.3917/rhs.621.0221

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janvier-juin 2009

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221-245

La notion d’holonomie chez Élie Cartan

Philippe NABONNAND *

Résumé

: À partir de 1922, Élie Cartan développe une théorie origi-nale des connexions. L’objectif de cet article est de montrer que lanotion d’holonomie, héritée de la mécanique, joue un rôle centraldans le dispositif théorique de Cartan et dans sa genèse.

Mots-clés

: Élie Cartan ; connexions ; holonomie ; groupe d’holonomie.

Summary

: Élie Cartan elaborated from 1922 on an original theory ofconnections. The aim of this paper is to show the crucial role playedby the notion of holonomy within Cartan’s conceptual framework aswell as in its genesis.

Keywords

: Élie Cartan ; connections ; holonomy ; holonomy group.

Introduction

La théorie des espaces généralisés ou « non-holonomes » d’ÉlieCartan généralise à la fois la géométrie riemannienne et les princi-pes développés par Felix Klein dans son programme d’Erlangen.D’une part, en définissant la notion de connexion à partir de lanotion de changement de repères, Cartan peut envisager de traiterdes géométries dont le groupe fondamental est plus général quecelui des déplacements euclidiens, d’autre part, en ne considérantque des groupes opérant infinitésimalement, il s’abstrait de lacondition d’homogénéité qu’imposait Klein aux espaces. Les espa-ces de Cartan généralisent les espaces de la géométrie rieman-nienne de manière analogue à celle dont les espaces de Klein

* Philippe Nabonnand, Archives Poincaré, Université de Nancy-2, 23, bd Albert 1er, BP3397, F-54015 Nancy Cedex.Les références bibliographiques complètes des travaux cités dans les notes qui suiventsont données dans la bibliographie située en fin d’article. Dans ces notes, l’abréviationOC, suivie du volume et des pages éventuellement renvoie aux œuvres complètes d’ÉlieCartan dont on trouvera la référence dans cette même bibliographie.

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généralisent l’espace euclidien. Ils sont aussi des généralisations desespaces de Klein au même titre que l’espace de Riemann générali-sait l’espace euclidien. Ainsi, Cartan qualifie d’« espace euclidiennon holonome

1

», l’espace riemannien, vu comme généralisationde l’espace euclidien

2

. Ses méthodes lui permettent de développernon seulement les notions de connexions euclidienne et affine maisaussi celles de connexions conforme et projective – ce qu’il pré-sente comme la supériorité de son point de vue – et de définir desespaces affines, projectifs ou conformes non holonomes.

La lecture des textes de Cartan présente plusieurs difficultés :paradoxalement, la première est que ses idées sont toujoursactuelles ; la tentation est grande de les comprendre en lestraduisant de manière récurrente dans le langage des fibrés ou desG-structures

3

. La seconde, plus essentielle, est la compréhensionprofonde des liens, qu’il met en lumière à cette occasion, entre lathéorie des groupes de Lie et l’une des techniques essentielles dela tradition française de géométrie, à savoir la théorie du repèremobile. Hermann Weyl soulignait cette difficulté dans sa recen-sion du livre de Cartan,

La Théorie des groupes finis et continus etla géométrie différentielle

4

:

«

I must admit that I found the book, like most of Cartan’spapers, hard reading. Does the reason lie only in the greatFrench geometric tradition on which Cartan draws, and the styleand contents of which he takes more or less for granted as acommon ground for all geometers, while we, born and educa-ted in other countries do not share it

5

?

»

L’objectif de cet article est de montrer l’importance de la notiond’holonomie dans les travaux de Cartan en géométrie différentielle.En particulier, cette notion est essentielle pour comprendre lagenèse de ces travaux tant du point de vue de la démarche mathé-matique de Cartan que de celui de l’analyse des contextes. Dans la

1 - Cartan (1925

a

),

OC

, vol. III.1, 894.2 - Cartan (1927),

OC

, vol. I-2, 847.3 - L’objectif d’un travail historique n’est sûrement pas de traduire en langage moderne les

théories obtenues par les mathématiciens. Néanmoins, pour faciliter la compréhensionde la démarche des auteurs, il peut être utile de temps en temps d’exprimer commentun résultat est conçu actuellement. Dans le cas de Cartan, nous nous servirons alorsdu remarquable traité de Richard W. Sharpe,

Differential geometry : Cartan’s generali-zation of Klein’s Erlangen program

(1997).4 - Cartan (1937

b

).5 - Weyl (1938),

Gesammelte Abhandlungen

, 4, 595.


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première partie, l’origine mécanique de la notion d’holonomie estrappelée. Dès 1910, dans un premier travail, Cartan établit des rela-tions entre la théorie du trièdre mobile de Gaston Darboux et celledes groupes de transformations qui avait été jusque-là au centre deses efforts

6

. Cette première contribution pour importer la notion degroupe de transformations en géométrie différentielle est l’objet dela seconde partie. Dans une troisième partie, je montre commentCartan se sert de la notion d’holonomie pour caractériser les géo-métries de Klein comme holonomes et pour motiver l’introductiondes espaces généralisés ou non-holonomes. L’holonomie permet àCartan de mobiliser sa théorie des groupes continus et la théorie durepère mobile de Darboux pour introduire sa définition de la notionde connexion. L’exemple des espaces à connexion projective estdéveloppé dans la troisième partie. Nous verrons dans une qua-trième partie comment Cartan explique dans sa correspondanceavec Hermann Weyl qu’il considère les espaces à connexion qu’ilvient de définir comme des « supports de transformations infini-tésimales

7

», posant ainsi la première pierre de la construction de lanotion de fibré principal. La dernière partie de cet article est consa-crée à l’introduction par Cartan des groupes d’holonomie.

La notion d’holonomie en mécanique

Dans la notice sur ses travaux scientifiques

8

, Élie Cartan préciseque le qualificatif de « non-holonome » qu’il utilise pour décrireses nouvelles géométries est lié « à la notion mécanique deliaisons non holonomes ». Dans sa présentation géométrique dela mécanique

9

, Heinrich Hertz introduit les interactions entre lespoints d’un système matériel comme des liaisons qui s’exprimentanalytiquement dans les coordonnées générales du système sousla forme d’équations différentielles du premier ordre :

où les fonctions sont continues des .

6 - Cartan (1910),

OC

, vol. III-1, 145-178.7 - Élie Cartan, Lettre adressée à Hermann Weyl le 5 janvier 1930 (archives de

l’Eidgenössiche Technische Hochschule (ETH) de Zurich, réf. Hs 91 : 503).8 - Cartan (1931),

OC

, vol. I-1, 61.9 - Hertz,

Die Prinzipien der Mekanik in neuen Zusammenhange dargestellt

(1894).

p dp kr

cr rr

c= = …=

∑ 0 11

, , ,

pcr pi


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Lorsque ces équations sont intégrables et donnent lieu à deséquations du type :

,

Hertz qualifie le système d’holonome. Intuitivement, l’holo-nomie des contraintes astreint le système à se déplacer sur unesous-variété de l’espace. Si les équations différentielles deliaison ne sont pas intégrables, le système est non-holonome.Un exemple de système non-holonome est celui d’une bouleroulant sur un plan. Les systèmes holonomes à

k

degrés deliberté sont caractérisés par le fait que les coordonnées despoints du système peuvent s’exprimer sous forme finie en fonc-tion de

k

paramètres :

Dans son traité de mécanique

10

, Paul Appell prend cettepropriété comme définition des systèmes holonomes. Dans son

Traité d’énergétique

(1911), Pierre Duhem généralise « la déno-mination introduite par M. Hertz

11

» ; il qualifie de

conditionsde liaison holonome, des équations qui conservent leur valeurquel que soit l’état du système étudié.

« Le cas où les liaisons qui fixent la constitution d’un systèmene sont pas holonomes apparaît à l’algébriste, […] comme lecas général ; les systèmes dont la constitution dépend exclusive-ment de liaisons holonomes présentent le caractère de systèmestrès exceptionnels. Cependant, pendant longtemps, les mécani-ciens n’ont eu affaire qu’à ces derniers systèmes ; c’est fort tardque leur attention a été appelée sur les systèmes dont la consti-tution dépend de liaisons non holonomes

12

. »

Les espaces de Klein peuvent apparaître alors comme holono-mes : en 1923, dans son article « Sur les variétés à connexion

10 - Appell,

Traité de mécanique rationnelle

(1902).11 - Pierre Duhem,

Traité d’énergétique

(Paris : Gauthier-Villars, 1911), 32.12 -

Ibid.

, 36.

F p prc 1 0, ,…( ) =

x q q q

y q q q

z q q

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k

n n

n n

n n

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= …( )= …( )=

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, 22

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, ,

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…( )( )= …

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affine et la théorie de la relativité généralisée

13

», Cartan donnel’exemple de la géométrie affine en dimension 3. Il associe àchaque point de l’espace affine, un système de références

. Un mouvement infinitésimal du point et du repère setraduit par les équations :

où les formes et vérifient les équations (exprimées avecdes notations contemporaines) :

.

Or ces équations de structure expriment que les équations dumouvement sont complètement intégrables. Suivant Cartan,l’espace sera dit holonome ou non-holonome selon que le sys-tème des équations de structure du groupe des mouvementsinfinitésimaux associés est intégrable ou non.

Une première contribution liantthéorie des groupes de transformations et géométrie différentielle

En 1910, Cartan propose en complément de son étude de lastructure des groupes de transformations, un court article danslequel il se propose de lier sa présentation des groupes continusde transformations sous forme de systèmes de Pfaff et la théoriedes trièdres mobiles élaborée par Darboux pour étudier lagéométrie des surfaces

14

. Ce travail repose sur un des lemmescentraux de la théorie des groupes de Cartan :

13 - Cartan (1923-1925),

OC

, vol. III-1, 659-746.14 - Cartan (1910),

OC

, vol. III-1, 145-178.

me e e1 2 3, ,

dm e e e

de e e e

de

= + += + +=

w w ww w ww

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2 23

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3

e e e

de e e e

+ += + +

w ww w w

w iw i

j

d di kki

kij

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w w w w w w= ∧ = ∧= =

∑ ∑1

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« Étant donné un groupe G fini et transitif à

n

variables et paramètres, on peut toujours adjoindre

aux

n

variables données un certain nombre (ici ) de varia-bles auxiliaires

y

de telle sorte que le groupe G soit formé del’ensemble des transformations qui laissent invariantes

r

expres-sions linéaires aux différentielles totales

15

. »

Lorsque G est le groupe des déplacements de l’espace et que l’onadjoint aux coordonnées d’un point trois variables auxiliairesdéfinissant l’orientation d’un trièdre ayant pour sommet le point,alors « les 6 expressions ne sont pas autre chose que lescomposantes par rapport au trièdre mobile du déplacement ins-tantané de ce trièdre quand on donne aux 6 variables desaccroissements infiniment petits arbitraires

16

». Plus précisément,on associe à chaque point de un repère orthonormé .

Le passage de à estdécrit par les équations :

où les formes vérifient les équations de structure (dites deMaurer-Cartan) du groupe orthogonal (exprimées dans des nota-tions contemporaines) :

(1).

« Les formules de structure du groupe coïncident alors tout sim-plement avec les équations aux dérivées partielles du premierordre que M. Darboux a rendues classiques dans la théorie desdéplacements à plusieurs paramètres

17

. »

Cartan reprend la description géométrique de Darboux des formes

: les formes représentent les composantes de la

translation

15 - Cartan (1910),

OC

, vol. III-1, 145-178.16 -

Ibid.

, 146.

17 - Ibid.

x x xn1 2, , ,…( ) r n≥r n−

w w w1 2, , ,… r

w

R3 e e e1 2 3, ,

x e e e, , ,1 2 3( ) x dx e de e de e de+ + + +( ), , ,1 1 2 2 3 3

dx e e e

de e e

de e

= + += += +

w w ww ww w

11

22

33

1 12

2 13

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2 21

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3

3 31

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2

e

de e e= +w w

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ji= −( )

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w w w w w w= ∧ = ∧∑ ∑,

w w i( )


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instantanée et les formes celles de la rotation instantanée du

trièdre mobile.

Cartan généralise dans cet article ce raisonnement moyennant« quelques conventions de langage simples 18 » aux autres grou-pes finis 19. Il évoque cette généralisation dans la Notice sur sestravaux de 1931 20 : en chaque point d’un espace « transformétransitivement par un groupe G fini et continu », on considèreune famille de repères « telle que deux quelconques d’entreeux puissent être amenés en coïncidence par une transformationet une seule du groupe G ». Chaque repère fournit un système decoordonnées et l’on passe de l’un à l’autre par une transformationdu groupe. « La transformation infinitésimale du groupe quiamène en coïncidence deux repères infiniment voisins a, par rap-port aux coordonnées associées à des composantes satisfaisant aux équations de structure du groupe, qui généralisentainsi les équations de Darboux 21. »

Les espaces non-holonomesCartan est amené à s’intéresser à la géométrie différentielle à lasuite de l’utilisation par Albert Einstein, Arthur Eddington etWeyl de la géométrie riemannienne dans la théorie de la relati-vité générale. Ses premières contributions des années 1922-1923 ont pour objectif explicite de donner une interprétationgéométrique du formalisme d’Einstein, en particulier du tenseurd’énergie. Dans l’introduction de son mémoire sur les équationsde la gravitation d’Einstein 22 (1922), Cartan souligne que sestravaux à partir de 1922 sur les espaces généralisés et lesconnexions trouvent leur origine dans ses premières considéra-tions sur la théorie d’Einstein :

« Ce mémoire a été rédigé il y a plus d’un an. Depuis j’ai publié[…] des Notes relatives à une conception géométrique nouvelle

18 - Cartan (1910), OC, vol. III-1, 146.19 - Cartan reprend la dénomination de Sophus Lie : un groupe continu est fini s’il

dépend d’un nombre fini de paramètres.20 - Cartan (1931), OC, vol. I-1, 1-98.21 - Ibid., 63.22 - Cartan (1922d), OC, vol. III-1, 549-611.

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des espaces non-euclidiens. L’idée fondamentale de ces Notes esten germe, sous une forme mi-abstraite, mi-géométrique, dans lespremiers et les derniers numéros de ce Mémoire 23. »

De même, Émile Borel, en 1922, dans son rapport sur la candi-dature de Cartan à l’Académie des sciences de Paris, expliqueque les méthodes géométriques de Cartan sont en fait des géné-ralisations de celles élaborées par Einstein pour aborder la théo-rie de la relativité générale :

« M. Cartan a appliqué la méthode géométrique de Darboux àdes problèmes qui n’avaient jamais été abordés que par desméthodes analytiques formelles ; il a ainsi étudié le système com-plet des invariants d’une forme différentielle quadratique à quatrevariables. Cette étude ne l’a pas seulement conduit à une inter-prétation géométrique élégante du tenseur fondamental à quatredimensions de la théorie d’Einstein, interprétation qui éclaire biendes côtés de cette théorie difficile ; la méthode géométrique sui-vie par M. Cartan l’a mis sur la voie d’une généralisation qui avaitéchappé aux nombreux mathématiciens qui s’étaient occupés deces questions d’un point de vue purement analytique. Il arriveainsi à attacher à un même une courbure nouvelle à laquelleil donne le nom de courbure de translation, ou de torsion paropposition à la courbure ordinaire des espaces de Riemann 24. »

Borel fait allusion à la manière dont Cartan applique les équationsde structure (1) à un « espace euclidien déformé », c’est-à-dire unespace sur lequel le groupe des déplacements n’opère plus globa-lement mais seulement infinitésimalement. Dans une note de1922 sur les équations de structure des espaces généralisés etl’expression analytique du tenseur d’Einstein 25, Cartan reprendson analyse de l’espace euclidien de 1910 et montre commentcette analyse peut s’étendre lorsque cet espace est déformé :

« Imaginons l’ensemble de tous les trièdres trirectangles quidépendent de six paramètres , dont les trois premiers

seront les coordonnées (cartésiennes ou curvilignes) del’origine. On peut passer d’un de ces trièdres à un trièdreinfiniment voisin par un déplacement infiniment petit,réductible à une translation et une rotation. Les composantes

23 - Cartan (1922d), OC, vol. III-1, 552.24 - Émile Borel, Rapport sur la candidature de Cartan à l’Académie des sciences, 1922,

Archives de l’Académie des sciences, dossier personnel d’É. Cartan.25 - Cartan (1922c), OC, vol. III-1, 625-627.

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x x1 6, ,…x x x1 2 3, ,

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suivant les axes du trièdre , de cette translation, etles composantes

suivant les mêmes axes, de la rotation sont, les trois premières,linéaires en , les trois dernières en , lescoefficients des différentielles dépendant eux-mêmes des sixvariables . Les expressions de Pfaff […] satisfont auxrelations classiques relatives aux déplacements à plusieursparamètres […]

(1) 26.

Ce sont les équations de structure de l’espace euclidien. […]Cela posé, dans un espace euclidien déformé, on aura, pour lescomposantes des déplacements infiniment petits, des for-mules analogues à (1), mais non identiques. Elles sont modifiéespar l’adjonction de termes complémentaires, qui traduiront ladivergence entre l’espace considéré et l’espace euclidien. Leséquations de structure prendront la forme

(1') ,

où les sont les composantes d’une translation et d’unerotation infiniment petites […] ; les définissent la torsion, les

la courbure de l’espace.[…] On conçoit que ce qui a été fait pour le groupe euclidien,dont les équations de structure (1) sont déformées en (1’), peutse répéter pour n’importe quel groupe, fini ou infini 27. »

Comme le montre la fin de la citation, Cartan a développé dèsle début de ses travaux de géométrie différentielle en 1921-1922 un programme de travail général. Dans l’exposé de sestravaux rédigé en 1922 28 lors de sa première candidature àl’Académie des sciences, il expose très clairement son projet enquatre temps :

1) Il rappelle sa présentation de l’espace euclidien de 1910 etles formules (1)

26 - Ces formules sont les équations de structure du groupe de déplacements (voir para-graphe précédent) écrites avec les notations de Cartan. Nous continuons à les indicerpar (1).

27 - Cartan (1922c), OC, vol. III-1, 625-626.28 - Cartan (1922e).

w w w1 2 3, , ( )T

w w w w w w23 32 31 13 12 21= − = − = −, ,

dx dx dx1 2 3, , dx dx1 6, ,…

xi w wi ij,

′ = ⎡⎣ ⎤⎦ ′ = ⎡⎣ ⎤⎦∑ ∑w w w w w wi k kik

ij ik kjk

w wi ij,

′ = ⎡⎣ ⎤⎦ + ′ = ⎡⎣ ⎤⎦ +∑ ∑w w w W w w w Wi k ki ik

ij ik kjk

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(a) (b)

en expliquant (sans utiliser alors le terme) qu’elles signifient quel’espace est holonome, c’est-à-dire que « lorsqu’on décrit uncontour fermé, les résultantes des translations et des rotationsinfiniment petites qui font passer du système de référence atta-ché à un point de contour au système de référence attaché aupoint infiniment voisin, sont toutes les deux nulles 29 ».

2) Ensuite, il explique qu’une première généralisation de sa pré-sentation permet de redécouvrir la théorie du parallélisme deTullio Levi-Civita ; décomposer une forme différentielle quadra-tique quelconque de quatre variables en une somme de carrés

« revient physiquement à choisir en chaqueévénement un système de référence euclidien valable au voisi-nage immédiat de cet événement 30 ». Dans le cas euclidien (sila métrique est définie positive), les repères associés sont ani-més de translations décrites par les formes et de rotationsdécrites par les formes .

« Or, on peut toujours, d’une manière et d’une seule, détermi-ner six expressions de Pfaff satisfaisant aux relations(a) : il est naturel de dire qu’elles représentent la rotation instan-tanée du système de référence mobile. Seulement les formules(b) ne sont plus valables ; il faut les compléter par l’adjonctiondans les seconds membres de termes complémentaires :

(b')

et qui définissent la courbure de Riemann. […] On peut interpré-ter ces formules géométriquement. Considérons un contour ferméinfiniment petit : la formule (b') exprime que, lorsqu’on décrit cecontour fermé, la résultante des rotations qui permettent de pas-ser du système de référence au système de référence associé aupoint infiniment voisin, au lieu d’être nulle comme dans l’espaceeuclidien, a pour composantes les six quantités 31. »

3) Cartan souligne alors que le choix des formes , c’est-à-direcelui des rotations instantanées du système de référence mobile,

29 - Cartan (1922e), 59.30 - Ibid.31 - Ibid., 60.

′ = ∑w w wi k kik

′ = ∑w w wij ik kjk

w w w w12

22

32

42+ + +

w i

w ij

w wij ji=

Wij

′ = +∑w w w Wij ik kjk

ij

Wij

w ij


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de telle manière que les formules (a) restent valables, est celui« qui résulte de la théorie du parallélisme de Levi-Civita ». Ilconstate en même temps que ce choix n’est pas imposé et que

« rien n’empêche théoriquement de le définir autrement etmême suivant une loi arbitraire : cela reviendrait à modifier lesformules (a) sous la forme plus générale :

(a')

où les sont des éléments d’intégrales doubles ; ces quantitésdéfinissent une translation instantanée à tout contour fermé infini-ment petit. On arrive ainsi à la notion d’une variété ayant le même

que précédemment, mais munie d’une courbure nouvellequ’on pourrait appeler courbure de translation, ou mieux, torsionpar opposition à la courbure ordinaire des espaces de Riemann 32 ».

4) Jusqu’à présent, Cartan a expliqué que sa théorie généralisaitles variétés de Riemann. Il évoque alors un autre type d’exten-sion en envisageant la construction d’espaces conformes, affi-nes, projectifs. Il suffit alors de considérer au lieu du groupeeuclidien les groupes conformes, affines, projectifs :

« La théorie précédente peut se généraliser en considérant unespace qui serait non euclidien, mais conforme, affine, ou projectifau voisinage de chaque point : la structure de ces espaces est défi-nie par les formules de structure des groupes conforme, affine, pro-jectif, mais modifiées par l’addition de termes complémentaires :ces termes manifestent les divergences qui se produisent, quand onparcourt un contour fermé infiniment petit, entre les propriétés del’espace considéré et celles d’un espace qui serait rigoureusement,et dans toute son étendue conforme, affine, projectif, etc. 33. »

Dès 1922, les intentions de Cartan sont donc de produire unethéorie des espaces généralisés et assez rapidement (à partir deses travaux sur les espaces à connexion projective en 1924),Cartan donne une motivation purement géométrique auxrecherches sur les espaces généralisés : unifier les points de vuede Riemann et de Klein.

« Le mouvement d’idées auquel cette théorie [la relativitégénérale] a donné naissance a conduit, par des généralisations

32 - Cartan (1922e), 61.33 - Ibid., 62.

′ = +∑w w w Wi k kik

i

Wi

ds2


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importantes, à des espaces nouveaux ; […]. Quel rôle la notionde groupe joue-t-elle, ou plutôt doit-elle jouer, dans ce champnouveau de la Géométrie ; est-il possible de faire rentrer dansle cadre, suffisamment élargi, du programme d’Erlangen toutesles géométries nouvelles et une infinité d’autres, c’est ce que jeme propose d’examiner 34. »

Cartan souligne le peu de rapports qu’entretiennent la tradition géo-métrique héritée du programme d’Erlangen de Klein (fondée sur lanotion d’égalité géométrique) et celle introduite par Riemann (fon-dée sur la notion de métrique). L’opinion générale des mathémati-ciens d’alors est que la notion de groupe de transformations, centralepour les géométries de Klein, est étrangère à la géométrie des espa-ces de Riemann. En effet, dans une géométrie de Klein, la transitivitéde l’action du groupe sur l’espace implique une propriété d’homo-généité 35 de celui-ci que ne vérifient pas les espaces de Riemann.Cependant, les espaces de Riemann possèdent une propriété queCartan appelle une « sorte d’homogénéité infinitésimale 36 » ; autre-ment dit, le voisinage infinitésimal d’un point peut être assimilé à unvoisinage euclidien. En chaque point, la simple donnée de la métri-que permet, au moins infinitésimalement, de donner un sens à lanotion de rotation. Par contre, la notion de translation n’a pas desens même infinitésimalement ; en effet, les voisinages infinitési-maux de deux points infiniment proches ne sont pas reliés : certes,on peut considérer chacun d’eux comme un morceau d’espaceeuclidien mais ces morceaux ne sont pas connectés. La donnéeseule de la métrique ne suffit pas à donner un sens à la notion detranslation. Pour cela, il faut pouvoir regarder les morceaux d’espa-ces euclidiens « comme appartenant à un même espace eucli-dien 37 » ce qui ne peut se faire « sans convention nouvelle 38 ».

34 - Cartan (1925a), OC, vol. III-1, 892.35 - Au sens de Cartan, la propriété d’homogénéité signifie que les propriétés de l’espace

« restent inaltérées par une transformation du groupe fondamental ». (Ibid.)Cartan utilise ici « groupe fondamental » dans le sens utilisé par Klein dans le programmed’Erlangen, à savoir le groupe qui en opérant sur l’espace, définit la géométrie. Lorsqu’ilenvisage les espaces généralisés, la notion la plus proche exprimée dans le langage de lathéorie des fibrés développée à partir de la théorie de Cartan par son élève CharlesEhresmann, serait celle de « groupe structural » du fibré principal que l’on considère.

36 - Ibid., 893.37 - Ibid.38 - Ibid. Cartan insiste à plusieurs reprises dans ses travaux pour préciser que la donnée

de la connexion n’est pas déterminée par la métrique. Il est significatif que Cartanreprenne le vocabulaire de Henri Poincaré pour qui le choix d’une géométrie pour


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« Imaginons un espace qui, au voisinage immédiat de chaquepoint, ait tous les caractères de l’espace euclidien. Les habitantsde cet espace sauront, par exemple, repérer les points infinimentvoisins d’un point A au moyen d’un trièdre trirectangle ayant cepoint A pour origine ; mais nous supposerons en outre qu’ils ontune loi leur permettant de repérer, par rapport au trièdre d’origineA, l’autre de A′ ; […]. En définitive, un tel espace sera défini parla loi de repérage mutuel (de nature euclidienne) de deux trièdresd’origines infiniment voisines 39. »

Avec sa théorie du transport parallèle, Levi-Civita avaitproposé en 1917 une solution de ce problème dans le cas par-ticulier des sous-variétés plongées dans un espace euclidien 40 ;Hermann Weyl avait introduit la notion de connexion affinedans une variété semi-riemannienne de manière intrinsèqueen redéfinissant le transport parallèle à partir de la dérivéecovariante 41. La théorie du transport parallèle présente auxyeux de Cartan le défaut de ne pouvoir se généraliser aux géomé-tries conforme et projective. De plus, le caractère très analytiquede cette théorie ne satisfait pas la volonté affirmée de Cartan deprésenter les espaces généralisés de manière géométrique sans« débauche d’indices 42 ». Il ne retient de la théorie de Levi-Civitaque l’idée de raccorder deux morceaux infinitésimalement voi-

39 - Cartan (1922b), OC, vol. III-1, 616.40 - Tullio Levi-Civita, Nozione di parallelismo in una varietà qualunque e conseguente

specificaciones geometrica della curvatura Riemannina (1917).41 - Pour plus de précisions sur la théorie des connexions affines de Hermann Weyl,

on peut consulter les articles de Scholz (1999, 2001) et le traité de Weyl, Raum,Zeit, Materie (1918).Lorsqu’en 1922, Cartan évoque dans l’analyse de ses travaux la possibilité deconstruire avec sa méthode des espaces généralisés affines, projectifs ou confor-mes, il signale que ceux de Weyl rentrent aussi dans ce cadre :« [Les espaces généralisés de H. Weyl] généralisent dans l’espace euclidien, mais

42 - « Les services éminents qu’a rendus et que rendra encore le Calcul différentiel absolude Ricci et Levi-Civita ne doivent pas nous empêcher d’éviter les calculs trop exclu-sivement formels, où les débauches d’indices masquent une réalité géométrique sou-vent très simple. C’est cette réalité que j’ai cherché à mettre partout en évidence. »(Cartan (1928), VII.)

représenter les phénomènes physiques était conventionnel. L’insistance de Cartan surce point est peut-être motivée par le fait que les premiers exemples de connexions deLevi-Civita ou de Weyl sont des connexions suffisamment particulières pour êtredéterminées par la donnée de la métrique.

en donnant à cet espace pour groupe fondamental celui des similitudes au lieu decelui des déplacements ; les espaces de H. Weyl ont une courbure de rotation etune courbure d’homothétie (celle-ci se confondant avec le champ électromagné-tique), mais ils n’ont pas de torsion. » (Cartan (1922e), 62.)


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sins de la variété : « En fait, ce qu’il y a d’essentiel dans l’idée deM. Levi-Civita, c’est qu’elle donne un moyen pour raccorderentre eux deux petits morceaux infiniment voisins d’une variété,et c’est cette idée de raccord qui est féconde 43. »

Dans ses articles sur les connexions affines, conformes ouprojectives, avant de présenter analytiquement la notion deconnexion, Cartan insiste sur les principes géométriques quisous-tendent son point de vue :

1) Attacher à chaque point d’un « continuum 44 » un espace(affine, conforme ou projectif). Selon les cas, Cartan dénommecet espace espace affine, conforme ou projectif tangent 45.

2) Définir une loi qui permette de relier deux espaces attachésà des points infinitésimalement proches et ainsi, les considérercomme un et un seul espace.

3) Cette loi est techniquement définie en considérant une trans-formation (affine, conforme ou projective) qui applique l’espaceattaché en a sur celui attaché en a′, a et a′ 46 étant deux pointsinfiniment voisins.

Cartan désigne sous le nom d’espace non-holonome l’espaceobtenu en raccordant les espaces tangents et de variété à connexionaffine, conforme ou projective le continuum ainsi géométrisé.

43 - Cartan (1924a), OC, vol. III-1, 825.44 - Cartan oppose à plusieurs reprises le mot espace à celui de continuum : « […] le

premier éveille l’idée d’une organisation géométrique qui n’existe pas (ou quin’existe qu’à un degré rudimentaire) dans le second. » (Cartan (1926), OC, vol. III-2,997.)

45 - Les dimensions du continuum et de l’espace tangent peuvent être différentes : « Onpourrait même généraliser la géométrie différentielle à n dimensions sur un conti-nuum à m ≠ n dimensions […]. » (Cartan, Lettre citée in n. 7.)Même si leurs dimensions sont identiques, les relations entre le continuum et l’espacetangent ne sont pas étudiées par Cartan dans le cadre de sa théorie des connexions.De plus, le terme « tangent » utilisé par Cartan n’exprime rien d’autre que l’idéed’attachement d’un espace en chaque point du continuum. « Ce qui peut induire enerreur, c’est l’expression d’« espace projectif tangent », ce qui est, je vous l’avoueassez mal choisi. […] En tout cas le problème d’établir une correspondance ponc-tuelle déterminée entre l’espace à connexion projective et l’espace projectif tangentne se pose pas ici pour moi ; c’est un problème intéressant mais qui, dans ma théorie,est hors de question. » (Ibid.)Dans ce qui suit, nous utiliserons le terme « tangent » dans le sens utilisé par Cartan.

46 - Cartan suppose que la loi vérifie les hypothèses habituelles de la géométrie différen-tielle (conditions de différentiabilité, de linéarité des composantes, etc.).


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Un exemple : Les espaces à connexion projectivePour définir les espaces à connexion projective, Cartanconsidère une variété numérique et attache à chacun de sespoints un espace projectif muni d’un repère ; chacun de sesrepères définissant un système de coordonnées projectives, lelien entre les espaces attachés à deux points infinitésimalementvoisins « se traduira analytiquement par une transformationhomographique, celle qui permet de passer des coordonnéesd’un point m′ de l’espace projectif attaché au point a′ auxcoordonnées de celui des points m de l’espace projectif attachéen a qui coïncide avec m′ quand on fait le raccord des deuxespaces 47 ».

La donnée des coefficients de cette transformation définit,selon Cartan, la connexion projective. Pour cela, Cartan atta-che en chaque point a de l’espace un espace projectif. Ilregarde ce point a comme faisant partie de l’espace projectif etconsidère dans cet espace projectif un repère constitué de n+1points : . De même, en . La donnée de cesdeux repères définit une transformation projective dont lescomposantes de la connexion projective s’expriment parles formules :

(3)

où et

désignent les repères en a et , deux points infinimentproches. Cartan considère alors deux points, le premier dansl’espace projectif attaché en a, le second dans celui attaché en

. Si les deux points coïncident, les coordonnées respecti-

ves et de ces deux points, lorsque les espacesattachés en a et sont raccordés, vérifient le système suivant :

47 - Cartan (1924a), OC, vol. III-1, 828.

a a a, , ,1 … n a a+ d

w wiij,

d

d

d

nn

nn

a a a a

a a a a

= + +…+= + +…+

…

w w ww w w

00 1

1

10

11

1 11

aa a a an = + +…+

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪ w w wn n n

nn

0 11

a a a a, , , ,1 2 … n ′ = + ′ = + ′ = + … ′ =a a a a a a a a a ad d d n, , , ,1 1 1 2 2 2

+a adn n ′a

a a+ d

xi( ) x dxi i+( )′a


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(4)

Lorsque les deux points a et ne sont plus infiniment proches,on peut, en considérant une courbe joignant a et et en inté-grant le système (4) le long de la courbe, « définir analytique-ment le raccord de proche en proche, le long de la ligneconsidérée, de l’espace projectif attaché au point d’arrivée avecl’espace projectif attaché au point de départ 48 ».

Lorsque l’espace est holonome, c’est-à-dire si la manière de rac-corder les espaces projectifs attachés en a et a′ est définie indé-pendamment du chemin suivi pour aller de a à a′, le système (4)est complètement intégrable. Lorsque l’on intègre le long d’unecourbe fermée, le raccord obtenu est l’identité et les composantes

de la connexion projective vérifient le système d’équationssuivant :

Lorsque l’espace est non-holonome, c’est-à-dire si la manière deraccorder les espaces projectifs attachés en a et a' dépend duchemin suivi pour aller de a en a', le système (4) n’est pas com-plètement intégrable et l’intégration le long d’un contour ferméinfiniment petit permet d’obtenir les équations :

48 - Cartan (1924a), OC, vol. III-1, 834.

dx x x x

dx x xn

n

n

+ + + … + =+ + + … +w w ww w w

00

10 1 0

1 111 1 1

0,

xx

dx x x x

n

n n nnn n

=…

+ + + … + =

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

0

011

,

.w w w

′a′a

w wiij,

w w w w w

w w w

i i kki

k

k n

k

( )′ = ⎡⎣ ⎤⎦ + ⎡⎣ ⎤⎦

( )′ =

=

=

∑00

1

00

,

kkk

k n

i i ik

k

0

1

0 000 0

⎡⎣ ⎤⎦

( )′ = ⎡⎣ ⎤⎦ + ⎡⎣ ⎤⎦

=

=

∑ ,

w w w w w ,,

.

k

k n

ij

ij

ik

ki

k

k n

=

=

=

=

∑

( )′ = ⎡⎣ ⎤⎦ + ⎡⎣ ⎤⎦

1

0

1

w w w w w∑∑

⎧

⎨

⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪


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(5)

Les composantes « révèlent la torsion » de la variété et les

composantes « révèlent la courbure » 49 de celle-ci 50.

Les espaces à connexionLa manière dont Cartan aborde la question des connexions luipermet de traiter presque indifféremment les cas euclidien,affine, conforme ou projectif. Son point de vue est donc suscep-tible d’être exposé de manière très générale ce qu’il ne manquepas de faire : en fait, à ses yeux, le point le plus important de sathéorie est l’existence, en chaque point de la variété, de trans-formations qui permettent de relier les « espaces tangents ». Demême que dans la théorie de Klein des espaces holonomes, lesnotions de transformation géométrique et de groupe de transfor-mation introduisent un « principe d’unité 51 » dans la théoriedes espaces non-holonomes. Dans sa correspondance avecWeyl, il explique la philosophie de sa méthode :

« […] cet espace projectif tangent ne joue qu’en apparencedans ma théorie le rôle essentiel ; en réalité son rôle est tout àfait accessoire et n’a pour but que de rendre l’exposition plusconcrète et moins abstraite. […] Pour moi un espace àconnexion projective est un support de transformations infinité-simales projectives […] 52. »

49 - Cartan (1923-1925), OC, vol. III-1, 707.50 - Dans le cas affine, les composantes correspondent à une translation et les com-

posantes à une rotation.51 - Cartan (1936), OC, vol. III-2, 1382.52 - Cartan, Lettre citée in n. 7.

W w w w w w

W w

i i i kki

k

k n

= ( )′ − ⎡⎣ ⎤⎦ − ⎡⎣ ⎤⎦

=

=

=

∑00

1

00

0

,

00 0

1

0 0 000

( )′ − ⎡⎣ ⎤⎦

= ( )′ − ⎡⎣

=

=

∑ w w

W w w w

kk

k

k n

i i i

,

⎤⎤⎦ − ⎡⎣ ⎤⎦

= ( )′ − ⎡⎣ ⎤⎦

=

=

∑ w w

W w w w

ik

kk

k n

ij

ij

ij

0

1

0

,

−− ⎡⎣ ⎤⎦

⎧

⎨

⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪

=

=

∑ w wik

ki

k

k n

.1

W i

Wij

Ω i

Ωij


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Ainsi, Cartan définit la notion d’espace à connexion en faisantuniquement référence à celle de transformation :

« Un tel espace [à connexion projective] est défini si l’on asso-cie à tout couple de points infiniment voisins et une transformation infinitésimale projective , dont lesparamètres sont supposés être des formes linéai-res par rapport aux avec des coefficients fonctions arbitrai-res des 53. »

Pour Cartan, la donnée des transformations est pratiquementla seule essentielle. En effet, les espaces dans lesquels opèrentces transformations n’ont pour utilité que de permettre de don-ner une interprétation aux équations de structure (5) que véri-fient les formes en termes de courbure et de torsion desespaces à connexion :

« C’est surtout pour donner une interprétation géométriqueconcrète de ces formes, qui sont liées au produit des transfor-mations infinitésimales attachées aux différents élémentsd’un cycle, que j’ai imaginé un espace projectif auxiliaire danslequel ces différentes transformations sont censées s’exécu-ter par le passage l’un à l’autre de systèmes de référencesuccessifs 54. »

Dans sa lettre adressée à Weyl le 19 décembre 1930 55, Cartaninsiste en précisant que la donnée d’un espace « tangent » enchaque point de l’espace est aussi un moyen de se faire com-prendre des « non-initiés ». Pour lui, la donnée d’un conti-nuum et des « transformations attachées aux couples depoints infiniment voisins » et appartenant à un groupe G suffità définir une « entité géométrique » dans laquelle les opéra-tions de la géométrie différentielle de l’espace holonome asso-cié au groupe G « continuent à avoir en partie un sens » de lamême manière que les opérations de la géométrie différen-tielle euclidienne conservent leur signification en géométrieriemannienne.

53 - Cartan, Lettre citée in n. 7.54 - Ibid.55 - Élie Cartan, Lettre adressée à Hermann Weyl le 19 décembre 1930 (archives de l’ETH

de Zurich, réf. Hs 91 : 504).

x( ) x dx+( )Tw

w w w1 2, , ,… rdxk

xk

Tw

w i

Tw

Tw

Tw


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Les groupes d’holonomieComme le soulignent Chern et Chevalley 56, un des grandsapports de Cartan à la théorie des groupes de Lie est de s’inté-resser d’abord à la détermination des structures abstraites avantd’examiner leur éventuelle réalisation comme groupes de trans-formations. Les travaux de Cartan concernant les groupes de Lies’inscrivent donc dans le cadre de l’émergence des points devue algébriques de cette théorie 57. Néanmoins, s’il privilégie unpoint de vue que l’on peut qualifier d’abstrait et ne centre doncplus l’étude des groupes continus autour de la notion de groupede transformations, Cartan n’abandonne pas pour autant toutepréoccupation géométrique. Comme on vient de le voir, dès1910, juste après avoir rédigé ses mémoires sur la structure desgroupes infinis 58, il montre comment les équations de structuredans le cas des groupes finis généralisent la théorie du repèremobile de Darboux. Dans ce travail, Cartan met ainsi enlumière le fait que ces équations, dues à Ludwig Maurer 59, tra-duisent que lorsque l’on associe à chaque point d’un espace deKlein un repère et des transformations infinitésimales qui relientchaque repère aux repères infiniment voisins, la composition deces transformations le long d’un contour fermé infiniment petitest égale à l’identité.

Dans un espace non-holonome, la composition de ces transfor-mations n’est plus égale à l’identité et définit un déplacementinfinitésimal. Cette propriété apparaît comme fondamentale dèsles premiers travaux de Cartan sur la théorie des espaces géné-ralisés. En effet, en 1922, il utilise cette propriété pour proposer« une définition géométrique du tenseur d’énergie d’Einstein »en termes de courbure et de torsion.

56 - Chern et Chevalley (1952), 219.57 - Sur cette question, on peut consulter l’ouvrage de Thomas Hawkins, Emergence of the

theory of Lie groups : An essay in the history of mathematics, 1869-1926 (2000).58 - Un groupe continu est qualifié de « fini » lorsque son expression analytique dépend

d’un nombre fini de paramètres. Lorsque le nombre de paramètres est infini, il est dit« infini ». La théorie de Lie concerne essentiellement les groupes finis et ne se géné-ralise pas aux groupes infinis. Dès ses premiers travaux, Cartan propose une concep-tion « abstraite » des groupes continus qui permet de traiter de manière unifiée lesgroupes finis et infinis et de généraliser aux groupes infinis les théorèmes de Lie.

59 - Cartan appelle les équations de structure d’un espace de Klein, les équations de Maurer(voir OC, vol. III-2, 1380). En langage moderne, on peut les voir comme l’image inversepar une jauge de la forme de Maurer-Cartan du groupe (voir Sharpe (1997), 167).


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D’un point de vue géométrique, ne considérer que les transfor-mations associées aux cycles infiniment petits n’est pas suffi-sant car ces transformations ne constituent pas nécessairementune sous-algèbre de Lie de l’algèbre de Lie du groupe fonda-mental de l’espace 60. Cartan généralise la construction en inté-grant le long d’un contour fermé et associe ainsi à tout contourfermé (fini et infiniment petit) un déplacement. Lorsque l’onconsidère l’ensemble des contours finis issus d’un point-base,ces déplacements forment évidemment un groupe. La connais-sance de ce groupe constitue une information sur la géométrieglobale de la variété : dans un premier temps, Cartan montreque lorsque l’on change de point-base, les groupes obtenussont conjugués 61. La définition analytique de ces groupesdépend du choix des repères attachés en chaque point del’espace non holonome ; Cartan en déduit alors qu’en choisis-sant convenablement les repères, on peut avoir « pour chaquepoint A, le même groupe g 62 ».

« Plus généralement, à tout espace non-holonome de groupefondamental G est associé un sous-groupe g de G qui est songroupe d’holonomie et qui ne se réduit à la transformation iden-tique que si l’espace est parfaitement holonome.Le groupe d’holonomie d’un espace mesure en quelque sorte ledegré de non holonomie de cet espace, de même que le groupede Galois d’une équation algébrique mesure en quelque sorte ledegré d’irrationalité des racines de cette équation 63. »

En 1926, Cartan consacre un article de synthèse à la notion de grou-pes d’holonomie des espace généralisés 64. Un des premiers résul-tats généraux concernant ces groupes est un théorème de réductiondu groupe fondamental qui montre que le groupe d’holonomiecontient l’essentiel de la géométrie des espaces non-holonomes :

« Si l’espace non holonome E à groupe fondamental G admet legroupe d’holonomie g, on peut choisir en chacun de ses points unrepère normal tel que la connexion de l’espace soit analytique-ment la même que celle d’un espace à groupe fondamental g 65. »

60 - Cartan (1923-1925), OC, vol. III-2, 922.61 - Cartan utilise le terme « homologue » en vigueur à l’époque.62 - Cartan (1926), OC, vol. III-2, 1000.63 - Cartan (1925a), OC, vol. III-1, 897.64 - Cartan (1926), OC, vol. III-2, 997-1038.65 - Ibid., 1000.


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En outre, la notion de groupe d’holonomie permet à Cartan deréunir dans le même cadre théorique des espaces sans torsionla théorie du parallélisme de Levi-Civita 66, ainsi que les espa-ces de Weyl ou d’Eddington. Il note d’abord que si les transfor-mations infinitésimales associées aux contours infiniment petitssont toutes nulles, le groupe d’holonomie se réduit à l’identitéet l’espace est holonome. Par contre, si ces transformationslaissent seulement invariant le point-base (ou ne comportentpas de translation dans le cas affine), l’espace est défini sanstorsion.

Le problème consistant à déterminer le groupe d’holonomied’un espace non holonome à groupe fondamental G se réduitalors à l’examen de tous les types de sous-groupes de G. Pourénoncer cette propriété, Cartan utilise de nouveau l’analogieavec la théorie de Galois :

« Dans la théorie des équations algébriques, on sait qu’ilexiste toujours des équations algébriques admettant un groupede Galois donné à l’avance. Il existe toujours d’une manièreanalogue des espaces holonomes à groupe fondamental Gadmettant pour groupe d’holonomie un sous-groupe donné deG 67. »

Le problème devient plus délicat lorsque l’on impose unecondition supplémentaire : ainsi, Cartan détermine et classe enfonction de leur groupe d’holonomie les espaces riemannienssans torsion en dimension 2 et 3. Le choix d’étudier plus parti-culièrement les espaces riemanniens sans torsion se justifie dufait que la connexion de Levi-Civita de ces variétés est caracté-risée par l’absence de torsion et qu’elle est définie de manièreunique par la seule donnée de métrique. Cette connexion adonc un caractère intrinsèque souligné à de nombreuses repri-ses par Cartan. Il définit dans ses articles sur les variétés àconnexion conforme et sur les variétés à connexion projective 68

la notion de connexion normale de manière analogue : parmiles connexions compatibles avec la donnée des directions

66 - Cartan précise que l’absence de torsion dans le cas riemannien caractérise le parallé-lisme de Levi-Civita (Cartan (1925a), OC, vol. III-1, 898).

67 - Ibid., 899.68 - Cartan (1923), OC, vol. III-1, 747-797 et (1924a), OC, vol. III-1, 825-861.


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isotropes dans le cas conforme et avec celle des géodésiquesdans le cas projectif, il en existe une unique pour laquelle « latransformation infinitésimale associée à un cycle arbitraired’origine A non seulement laisse invariant le point A, mais estencore du second ordre en ce point 69 ». Elles ont donc aussi ence sens un caractère intrinsèque. Cartan étudie les groupesd’holonomie des espaces conformes normaux en dimension 3et ceux des plans projectifs normaux.

Enfin, la notion de groupe d’holonomie permet alors à Cartande proposer dans le cadre de ses espaces généralisés un prin-cipe de subordination des géométries initié par Klein dans lecadre des espaces holonomes :

« D’une manière générale tout espace holonome à groupe fonda-mental G peut être regardé comme un espace holonome à groupefondamental G′ si G′ est un sous-groupe de G.Existe-t-il quelque chose d’analogue pour les espaces non holo-nomes ? La réponse à cette question est facile et à peu prèsévidente :Pour qu’un espace non holonome à groupe fondamental Gpuisse être regardé comme un espace non holonome à groupefondamental G′, il faut et il suffit que son groupe d’holonomie gsoit G′ ou un sous-groupe de G′ 70. »

Pour obtenir ces résultats, Cartan utilise sa classification desgroupes de Lie et suppose donc que les groupes d’holonomiesont des groupes continus, ce qui suppose que la variété estsimplement connexe. L’importance de la topologie de la variétén’échappe pas à Cartan qui consacre à cette question une noteet la fin de son article de synthèse 71. Il exhibe des exemplessimples, comme celui du cylindre, dans lesquels le grouped’holonomie n’est plus continu 72.

69 - Cartan (1926), OC, vol III-2, 1005.Cartan poursuit en précisant qu’« être du second ordre » signifie « que les coefficientsde cette transformation infinitésimale s’annulent tous au point, ainsi que leurs déri-vées partielles du premier ordre ».

70 - Cartan (1925a), OC, vol. III-1, 902.71 - Cartan (1925c), OC, vol. III-1, 919-920 et (1926), OC, vol. III-2, 1037-1038.72 - Cartan utilise aussi la notion de groupe d’holonomie dans sa présentation de la

géométrie des groupes de transformations et son interprétation des travaux deOswald Veblen. Ces théories dépassent le cadre de cet article et feront l’objetd’articles ultérieurs.


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ConclusionLa notion d’holonomie sert à Cartan de contexte théoriquepour fusionner sa théorie des groupes continus, la traditionfrançaise de géométrie différentielle (théorie du repère mobilede Darboux) et les récents résultats de l’analyse tensorielle(calcul différentiel absolu de Levi-Civita). En comparant leséquations obtenues en considérant les mouvements infini-tésimaux des « espaces tangents » avec la formule de Maurer,il peut donner une interprétation géométrique des notions detorsion et de courbure, unifiant ainsi les traditions géométri-ques initiées par Riemann et Klein. Cette interprétation setraduit en terme de groupe : avec la notion de groupe d’holo-nomie, Cartan se dote d’un instrument lui permettant de géné-raliser à la géométrie des espaces non holonomes le programmed’Erlangen de Klein.

Bibliographie

Maks A. Akivis, Boris A. RosenfeldÉlie Cartan (1869-1951) (Providence : American Mathematical Society,1993).

Paul AppellTraité de mécanique rationnelle, 2e édition entièrement refondue, vol. 1(Paris : Gauthier-Villars, 1902).

Élie CartanŒuvres complètes, 6 vol. (Paris : Gauthier-Villars, 1952-1955).Selecta : Jubilé scientifique de M. Élie Cartan (Paris : Gauthier-Villars,1939) [ouvrage d’hommage à Cartan].

1910 — La structure des groupes de transformations continus et la théorie dutrièdre mobile, Bulletin des sciences mathématiques, 34 (1910), 250-284(OC, vol III-1, 145-178).

1922a — Sur une définition géométrique du tenseur d’énergie d’Einstein,Comptes rendus de l’Académie des sciences, t. 174 (1922), 437-439(OC, vol. III-1, 613-615).

1922b — Sur une généralisation de la notion de courbure de Riemann et lesespaces à torsion, Comptes rendus de l’Académie des sciences, t. 174(1922), 593-595 (OC, vol. III-1, 616-618).

1922c — Sur les équations de structure des espaces généralisés et l’expressionanalytique du tenseur d’Einstein, Comptes rendus de l’Académie dessciences, t. 174 (1922), 1104 (OC, vol. III-1, 625-627).

1922d — Sur les équations de la gravitation d’Einstein, Journal demathématiques pures et appliquées, 1 (1922), 141-203 (OC, vol. III-1,549-611).


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1922e — Exposé de ses travaux (1922), Archives de l’Académie des sciencesde Paris, dossier personnel d’Élie Cartan.

1923 — Les espaces à connexion conforme, Annales de la Société polonaisede mathématiques, 2 (1923), 171-221 (OC, vol. III-1, 747-797).

1923-1925 — Sur les variétés à connexion affine et la théorie de la relativitégénéralisée, Annales de l’École normale, t. 40 (1923), 325-412 (OC,vol. III-1, 659-746) ; t. 41 (1924), 1-15 (OC, vol. III-1, 799-823) ; t. 42(1925), 17-88 (OC, vol. III-2, 921-995).

1924a — Sur les variétés à connexion projective, Bulletin de la Société mathé-matique de France, 52 (1924), 205-241 (OC, vol. III-1, 825-861).

1924b — Les récentes généralisations de la notion d’espace, Bulletin dessciences mathématiques, 48 (1924), 294-320 (OC, vol. III-1, 863-889).

1925a — La théorie des groupes et les recherches récentes de géométrie dif-férentielle (Conférence faite au congrès international des mathémati-ciens, Toronto, 1924), L’Enseignement mathématique, 24 (1925), 1-18 ;Proceedings of the international Congress of mathematicians held inToronto, t. 1 (1928), 85-94 (OC, vol. III-1, 891-904).

1925b — La Géométrie des espaces de Riemann (Paris : Gauthier-Villars,1925), fasc. IX du « Mémorial des sciences mathématiques ».

1925c — Les groupes d’holonomie des espaces généralisés et l’Analysis situs,Compte rendu de la 49e session (Grenoble, 1925) de l’Association fran-çaise pour l’avancement des sciences (Paris : Masson, 1926), 47-49 (OC,vol. III-1, 919-920).

1926 — Les groupes d’holonomie des espaces généralisés, Acta mathematica,48 (1926), 1-42 (OC, vol. III-2, 997-1038).

1927 — La théorie des groupes de transformations et la géométrie, L’Enseigne-ment mathématique, 26 (1927), 200-225 (OC, vol. I-2, 841-866).

1928 — Leçons sur la théorie des espaces de Riemann (Paris : Gauthier-Villars, 1928) ; cité ici d’après la 2e éd., de 1946.

1930 — Notice historique sur la notion de parallélisme absolu, MathematischeAnnalen, t. 102 (1930), 698-706 (OC, vol. III-2, 1121-1129).

1931 — Notice sur ses travaux scientifiques (rédigée en 1931), in Selecta, op.cit. supra, 15-112 (OC, vol. I-1, 1-98).

1936 — Le rôle de la théorie des groupes de Lie dans l’évolution de la géo-métrie moderne, Comptes rendus du congrès international des mathéma-ticiens d’Oslo (Oslo : A. W. Broggers Boktrykkeri, 1936), vol. I, 92-103(OC, vol. III-2, 1373-1384).

1937a — Leçons sur la théorie des espaces à connexions projectives (Paris :Gauthier-Villars, 1937).

1937b — La théorie des groupes finis et continus et la géométrie différentielle(Paris : Gauthier-Villars, 1937).

Shiing-Shen Chern, Claude ChevalleyÉlie Cartan and his mathematical work, Bulletin of the American Mathe-matical Society, t. 58 (1952), 217-250.

Thomas HawkinsEmergence of the theory of Lie groups : An essay in the history ofmathematics, 1869-1926 (New York - Berlin - Heidelberg : Springer,2000).


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Heinrich HertzDie Prinzipien der Mekanik in neuen Zusammenhange dargestellt(Leipzig : J. A. Barth, 1894) ; Gesammelte Werke, vol. 3 (Leipzig :A. Barth, 1910) ; cité d’après la trad. angl. The Principles of mechanicspresented in a new form (New York : Dover, 1956).

Tullio Levi-CivitaNozione di parallelismo in una varietà qualunque e conseguente speci-ficaciones geometrica della curvatura Riemannina, Rendiconti del cir-colo matematico di Palermo, t. 42 (1917), 173-205.

Erhard Scholz1994 — Hermann Weyl’s contribution to geometry, 1917-1923, in

Chikara Sasaki, Sugiura Mitsuo, Joseph W. Dauben (eds.), TheIntersection of history and mathematics (Basel : Birkhäuser, 1994), 203-229.

1999 — Weyl and the theory of connections, in Jeremy Gray (ed.), TheSymbolic universe, geometry and physics, 1890-1930 (Oxford : OxfordUniversity Press, 1999), 260-284.

2001 — Weyls Infinitesimalgeometrie, in Erhard Scholz (ed.), Hermann Weyl’sRaum-Zeit-Materie and a general introduction to his scientific work(Basel : Birkhäuser, 2001), 48-104.

Richard W. SharpeDifferential geometry : Cartan’s generalization of Klein’s Erlangen pro-gram (New York - Berlin - Heidelberg : Springer-Verlag, 1997).

Hermann Weyl1918 — Raum, Zeit, Materie (Berlin : J. Springer, 1918) ; 4e éd. (1919) ; trad.

franç. d’après la 4e éd. : Temps, espace, matière (Paris : Blanchard,1922).

1938 — Cartan on groups and differential geometry, Bulletin of the AmericanMathematical Society, 34 (1938), 598-601 ; Gesammelte Abhandlungen,4, 592-595.


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La notion d'holonomie chez Élie Cartan