La proportionnalité

Maze Carine

CPC Marseille 5

Année scolaire 2018 - 2019

Plan de la matinée

Les objectifs poursuivis

Des constats en mathématiques

Travail de groupe : Activité autour de 4

exercices traitant la proportionnalité

L’enseignement de la proportionnalité :

définition, difficulté et quelques réponses

Progressivité des apprentissages

Quelques conseils

Analyse d’une vidéo et analyse de

productions d’élèves

Objectifs de la formation

Approfondir l’enseignement du concept

de proportionnalité.

Définir des éléments de progressivité.

Mieux identifier les différentes

procédures et les difficultés rencontrées.

Mieux aider les élèves à les dépasser.

Tour de table

Sur des post-it de couleurs différentes, faire un

bref retour sur le magistère.

Intérêts

Post it de couleur

jaune….

Limites

Post it de couleur bleue

….

L’important en une diapositive

Proposer des situations faisant référence à

des contextes variés.

Jouer sur la multiplicité des procédures

pour favoriser l’adaptabilité des élèves.

Proposer des situations proportionnelles et

non proportionnelles pour développer un

regard et un esprit critique.

Travailler sur la compréhension (images

mentales) des énoncés.

Favoriser la métacognition (utilisation du

schéma) et l’explicitation (recherche

d’arguments).

Les constats en mathématiques

Bilan du comité scientifique

Un nombre inquiétant d’élèves en

difficulté en mathématique

La qualité de l’enseignement

Ce qui n’est pas enseigné n’est pas

appris

L’enjeu de la maternelle

L’importance de la construction du

nombre

7

Quelques éléments parmi les 21 mesures pour l’enseignement des mathématiques

Les réussites observées viennent d’un

travail collaboratif, d’un travail en

équipe.

Importance de la manipulation

Des élèves en souffrance / rôle de

l’affectivité dans les apprentissages.

Faire en sorte que les nombres soient

les amis des élèves.

Le plaisir par le jeu

Quelques

éléments parmi

les 21 mesures du

plan Villani

Torossian

Des points clefs qui

fonctionnent

Pédagogie explicite

Des étapes d’apprentissages bien identifiées

Les 4 opérations dès le CP

Des stratégies de résolution de problèmes

Une formation initiale intensive

Le développement professionnel du professeur

La verbalisation est centrale : amener et

encourager l’élève a expliquer à voix haute et à

échanger avec ses camarades.

La proportionnalité : un enseignement riche et complexe

Notion dont le temps fort d’apprentissage

se situe à l’articulation entre le CM2 et la

6ème et qui demande du temps.

Notion en lien avec les trois domaines

suivants : « nombres et calcul » ; « espace

et géométrie » et « grandeurs et

mesures ».

La maitrise de cette notion est essentielle

tant pour un usage dans la vie courante

que dans le domaine professionnel.

Ce que dit le B.O. de 2015

Résoudre des problèmes en utilisant des fractions

simples, les nombres décimaux et le calcul.

Proportionnalité : reconnaître et résoudre des problèmes

relevant de la proportionnalité en utilisant une procédure

adaptée.

Résoudre des problèmes impliquant des grandeurs

(géométriques, physiques, économiques) en utilisant des

nombres entiers et des décimaux. Proportionnalité :

identifier une situation de proportionnalité entre deux

grandeurs. Graphiques représentant des variables entre

deux grandeurs.

Reconnaître et utiliser quelques relations géométriques.

Proportionnalité : reproduire une figure en respectant une

échelle. Agrandissement ou réduction de figures.

Mise en situation

Les 4 entrées : réaliser les quatre

problèmes distribués sur feuille.

Identifier les différentes procédures.

Critères de réussite :

- Avoir réalisé les 4 problèmes

- Dans les vingt minutes imparties

S’organiser en petits groupes de 4.

Réaliser les 4 problèmes

suivants

Des procédures variées

Problèmes classiques

Plusieurs procédures de résolution

Propriétés des fonctions

linéaires

Passage par le Plus Petit Commun Multiple ou

PPCM : (2x3x5 = 30)

2kg à 3€ 30kg à 45€

5kg à 7€ 30kg à 42€

3kg à 4€ 30kg à 40€

donc le plus cher

donc le moins cher

Avantage : travail uniquement sur les entiers naturels

Retour à l’unité

2kg à 3€ 1kg à 1.50€ le résultat est un décimal

5kg à 7€ 1kg à 1.40€ le résultat est un décimal

3kg à 4€ 1kg à 1.33€ le résultat est un rationnel (le développement décimal se répète)

Nécessite la connaissance des décimaux et de la notion de nombre

arrondi.

donc le plus cher

donc le moins cher

La méthode graphique

Les tableaux

Pour faire 12 meringues, il faut 4 blancs

d’œuf et 240 g de sucre. On prévoit de

servir 3 meringues par personne.

a) Combien faut-il d’œufs et de sucre

pour 12 personnes ? 6 personnes ? 18

personnes ?

b) Il ne reste que 1,200 kg de sucre.

Combien de personnes pourra-t-on

servir ?

Utilise un tableau pour répondre.

• Plusieurs procédures de résolution

Propriétés des fonctions

linéaires

personnes 1 4 12 6 18 20

meringues 3 12 36 18 54 60

œufs 4 12 6 18 20

sucre en g 240 720 360 1080 1200

- d’abord, trouver le 4 en utilisant l’indication de l’énoncé

- trouver (par 12 x 3) le 36 puis par (36 : 2 ou par 12 +

12/2) le 18

- trouver (en utilisant 12 + 6 ou bien 6x3) le 54

Retour à l’unitépersonnes 1 4 12 6 18 20

meringues 3 12 36 18 54 60

œufs 4 12 6 18 20

sucre en g 240 720 360 1080 1200

1 personne 3 meringues 1 œuf 60g de sucre

Série de multiplications ensuite pour les premières colonnes

Division par 60 pour trouver la dernière

le graphique

Pour trouver le nombre de meringues en fonction

des personnes.

Les homothéties

a = 6 mm

b = 10 mm

c = 8 mm

d = 20 mm

e = 16 mm

f = 6mm

A = 15 mm

B = 25 mm

C = 20 mm

D = 50 mm

E = 35 mm

F = 15 mm

• Plusieurs procédures de résolution pour ces

problèmes d’agrandissement ou de réduction

de figures géométriques

Propriétés des fonctions

linéaires

e = a+b donc si f(a) = A = 15 et f(b) = B = 25

alors f(e) = E = 40 et non 35

donc Patrick s’est trompé pour E qui aurait dû être de 40 mm

a = 6 mm

b = 10 mm

c = 8 mm

d = 20 mm

e = 16 mm

f = 6 mm

A = 15 mm

B = 25 mm

C = 20 mm

D = 50 mm

E = 35 mm

F = 15 mm

Retour à l’unité

b = 10, f(b) = B = 25

donc le coefficient de proportionnalité = 25/10 = 2.5.

Chaque mesure aurait dû être multipliée par 2.5

X 2.5

6 15

10 25

8 20

20 50

16 40 et non 35

6 15

le graphique

on trace f(x) = 2.5x

(ou bien on place les 5 points

et on s’aperçoit alors qu’ils sont tous

sur un droite passant par l’origine sauf 1).

L’image de 16 se trouve

sur le graphe en remontant

à la verticale jusqu’à la droite.

On devrait arriver à 40.

16 ; 40

en réalité

Les graphiques

• Plusieurs procédures de résolution

Propriétés des fonctions

linéaires

Voiture bleue :

f(160) = f(100) + f(60)

f(60) = 3f(20) etc…,

ça marche tout le temps

Voiture rouge :

f(20) = f(40)/2 = 15 minutes

f(190) = 135 et f(130) + f(40) + f(20) = 105 + 30 +

15 = 150

La propriété n’étant pas vérifiée, l’application

n’est pas linéaire.

Retour à l’unité

Voiture bleue :

20 km en 15 minutes donnent 7.5 minutes pour 10 km ce qui donne

60 km en 45 minutes (6 fois 7.5 minutes)

100 km en 75 minutes (10 fois 7.5 minutes)

160 km en 120 minutes (16 fois 7.5 minutes

En l’occurrence ici à la base (10)

Voiture rouge :

40 km en 30 minutes donnent 7.5 minutes pour 10 km ce qui donne

90 km en 67.5 minutes et non 75 minutes

le graphique

Cette méthode, demandée ici dans l’énoncé, permet de trouver

que pour la voiture bleue, la distance est proportionnelle à la

durée puisque le graphe est une droite passant par l’origine.

Définition

On dit que deux mesures sont

proportionnelles lorsque l’on peut

passer de l’une à l’autre en

multipliant ou en divisant par une

même constante non nulle.

Cette constante, dans le cas où l’on

multiplie, est appelée « coefficient

de proportionnalité ».

Difficultés à enseigner

La proportionnalité est un sujet vaste et

compliqué à enseigner.

L’intérêt : permet de résoudre nombre de

problèmes.

Proportionnalité : nombreuses approches

et nombreuses propriétés

Des procédures variées

Construire progressivement le sens de

cette notion essentielle pour apprendre

progressivement à résoudre des

problèmes.

Progression

Des repères de progressions

CP/CE1 : Résoudre des problèmes en « fois plus,

fois moins » ; Lecture de tableaux ; résolution de

problèmes utilisant l’addition et la multiplication.

CE2 : Situations de proportionnalité (résolution

par linéarité) ; réalisation de tableaux de

proportionnalité.

Début du cycle 3 : travailler sur les propriétés

additives et multiplicatives (principe de linéarité)

; reconnaitre une situation de proportionnalité.

Dès le CM1 : amener le procédé dit du « retour à

l’unité ».

Introduction de la règle de trois.

Exercices avec choix de la méthode.

Application à des problèmes de la vie courante.

Cas particulier de la règle de

trois

Supprimée dans le BO de 1995, elle

réapparait en 2008 pour à nouveau

disparaître en 2015.

La règle de trois est très souvent

confondue avec le produit en croix.

Même si l’on peut envisager une sorte de

progression dans les procédés énoncés

précédemment, on ne peut considérer des

procédures comme étant plus expertes que

d’autres.

S’appuyer sur les petits

fondamentaux

Découvrir la proportionnalité avec 3 petits films animés.

Typologie des problèmes

Typologie

Problèmes avec

recherche d’une

quatrième

proportionnelle

Problèmes de

reconnaissance ou non de

situation de

proportionnalité

Problèmes de comparaison.

Problèmes de

pourcentages, d’échelle,

d’agrandissement /

réduction.

Quelques points d’appui

Une variable didactique : le choix des

nombres utilisés et les rapports que les

nombres entretiennent entre eux.

La difficulté varie et s’intensifie avec les

grands nombres ou les nombres à

virgule.

L’utilisation des grands nombres

implique l’utilisation de nouveaux

procédés.

Le contrat didactique

Il est important de proposer aux

élèves des situations qui ne sont

pas toutes des situations de

proportionnalité afin de garder

l’élève vigilant quant à sa réflexion,

à ses choix dans les procédures à

utiliser.

La difficulté des heuristiques

Comprendre que le fait qu’il y ait

des augmentations ou des

diminutions n’induit pas forcément

comme action une addition ou une

soustraction.

Vidéo

Canopé séance de proportionnalité

htpps://www.reseau-

canope.fr/bsd/sequence.aspx?bloc=570932

file://localhost/htpps/::www.reseau-

canope.fr:bsd:sequence.aspx%3Fbloc=570932

La proportionnalité et les intelligences multiples.

https://www.youtube.com/watch?v=QIbQkWy9l0I

/htpps/::www.reseau-canope.fr:bsd:sequence.aspx?bloc=570932https://www.youtube.com/watch?v=QIbQkWy9l0I

Quelques conseils

Laisser un temps pour anticiper les

réponses

Si besoin, donner un temps pour valider

par la manipulation.

Importance de la pédagogie explicite et

du travail sur la compréhension.

Importance du rôle et du regard de

l’enseignant pour repérer les réponses

erronées, pour les mettre en débat et

autoriser ainsi les élèves à les dépasser.

Mais aussi

Les temps de recherche en classe

L’activité des élèves

La participation des élèves

Le sens.

Propositions de sites

Site IREM de Caen en Normandie

propose un jeu pour travailler en ligne la

proportionnalité. 3 niveaux de difficulté /

Des situations en lien avec la vie réelle.

Les petits films d’animation des

« fondamentaux » sur la proportionnalité.

Bibliographie

Arnaud Simard « Proportionnalité en CM2

et en 6ème ».

Nathalie Daval « Proportionnalité et

didactique »

BO de novembre 2015

Le nombre au cycle 3 apprentissages

numériques, ressources pour faire la

classe, Scéren, septembre 2012

Apprentissages numériques et résolution

de problèmes, Hatier Ermel, CM2, cycle

3, 2012.

Merci pour votre attention !!Très bon après-midi à tous !!

Au plaisir de vous retrouver l’année prochaine !!