C. R. Acad. Sci. Paris, t. 333, Série I, p. 279–284, 2001Théorie des groupes/Group Theory(Géométrie/Geometry)

La propriété de Haagerup pour des complexeslocalement symétriques

Sylvain BARRÉ

Université de Bretagne-Sud, 56 000 Vannes, FranceCourriel : Sylvain.Barre@univ-ubs.fr

(Reçu le 2 mai 2001, accepté le 25 juin 2001)

Résumé. On donne un exemple de groupeG qui opère sur un complexe triangulaire admettant unbon système demurs construits grâce à une propriété de symétrie locale. Ce système assurela propriété de Haagerup pourG. Ce résultat peut se généraliser à d’autres complexessymétriques. 2001 Académie des sciences/Éditions scientifiques et médicales ElsevierSAS

Haagerup property for locally symmetric complexes

Abstract. We present a group G which acts on a triangle 2-complex with compact quotient. A propertyof local symmetry of this complex gives rise to a walls system which implies the Haagerupproperty for G. We can generalise for some symmetic complexes. 2001 Académie dessciences/Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS

Abridged English version

We can think of the complex presented in this note as a strange Euclidian building. Its singular link isa quotient of the1-squeleton of the hexagonal tesselation (Figure 2), as well as the more simple sphericalTits building (Figure 1). But, it’s not a building and we prove that the group (which is unique up to a fi-nite bounded index), which acts cocompactly on it, has the Haagerup property (Theorem 1). This propertyis incompatible with property T: groups which act cocompactly on triangle Tits building have property T(see [17]).

In [4], we define a class of2-complexes, negatively curved, related with some idea of tesselation. Wethink of them as “rank3/2” complexes. All the examples of such complexes we know (the example of thisnote is one of them) are locally symmetric in the following sense:

DEFINITION. – A symmetry of a linkL is given by a set of compact convex subsets ofL, namelyL, andan applicationS : L→P(L) which takes values in the set of part ofL, such that: for alla ∈L, a∩A′ = ∅whereA′ =

⋃a′∈S(a) a′ and which isinvolutive: for all a ∈ L and allb ∈ S(a), {a} ∪ S(a) = S(b) ∪ {b}.

Furthermore, the two following axioms have to be true: for alla ∈ L,

Note présentée par Mikhaël GROMOV.

S0764-4442(01)02066-3/FLA 2001 Académie des sciences/Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS. Tous droits réservés 279

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(1) the cone onM := a∪A′ is a convex part in the cone onL;(2) M cuts the linkL in two connected components.

Results of [14] on complexes which admits walls system can be used here because local symmetry withsome isotropy condition implies the existence of a good walls system and finally Haagerup property.

Introduction

Dans une note précédente, A.Zuk [17] montrait que des critères géométriques locaux de complexes dedimension deux pouvaient assurer la propriété T de Kazhdan pour des groupes opérant sur ces complexesde façon cocompacte. En particulier, les exemples de groupes donnés dans [2] et [3] ont cette propriété.Le plus simple des links qui assure cette propriété est celui des immeubles triangulaires les plus simples(localement) à savoir : le graphe d’incidence du plan projectifP 2(F2). Il est bon de penser à ce graphecomme à unecourbe elliptique discrète : quotient du1-squelette du pavage hexagonal du plan euclidien parle plus petit réseau qui laisse un tour de taille supérieur à2π (les arêtes ayant pour longueurπ/3) (figure 1).

L’exemple de complexe que nous développons dans cette note aura pour link une autre courbe elliptiquediscrète (figure 2).

Outre ce premier rapprochement entre complexes distincts du point de vue de la propriété T, il y en aun autre lié au caractère localement symétrique. Les espaces symétriques de type non compact, de rangsupérieur à deux sont caractérisés parmi les variétés à courbure négative ou nulle par le fait qu’ils soientde rang supérieur. De même, les immeubles euclidiens de dimension deux sont caractérisés, parmi lescomplexes à courbure négative ou nulle, par le fait qu’ils soient de rang deux [1]. On parle alors d’analogie

Figure 1. – Le graphe d’incidence deP 2(F2).

Figure 2. – Le linkL du complexe paveur.

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entre espaces symétriques et immeubles : l’analogie se fait via un théorème de rigidité. Mais la propriété desymétrie locale n’est pas bien définie dans les immeubles. Dans [4], nous décrivons une classe de complexespaveurs à courbure négative ou nulle qui ne sont pas de rang deux, mais beaucoup plus que seulement derang un : on parle de rang3/2. Tous les exemples de tels complexes que nous connaissons sont égalementlocalement symétriques en un sens qu’on précisera ici (paragraphe 2). L’exemple que nous décrivons danscette note en fait partie. Il nous semble donc qu’il ne faut plus parler des immeubles euclidiens de dimensiondeux comme des analogues des espaces symétriques, mais seulement comme des analogues des espaces derang supérieur à deux. La notion de symétrie locale, qui n’est pas définie dans les immeubles euclidiensirréductibles, l’est par contre dans d’autres espaces qui ont des propriétés opposées du point de vue de lareprésentation des groupes qui opèrent sur eux.

On montre dans cette Note, sur un exemple, que cette symétrie locale donne naturellement un systèmede murs (elle est en partie inspirée par ces murs). Dans [9], il est montré que la propriété de Haagerup esttoujours héritée, dans les exemples connus, de l’existence de murs (par exemple pourSO(n,1) etSU(n,1)).Pour certains complexes paveurs (mais pas tous), on connaissait déjà des systèmes de murs parce qu’ilsfaisaient partie d’une autre classe de complexes (les complexes pairsvoir [14]). Dans ces cas, la symétriedonne de nouveaux systèmes de murs.

Dans une première partie, on décrit explicitement notre exemple de complexe. Ensuite, on donnera unedéfinition de la notion de complexe localement symétrique et on en donnera des exemples. Enfin, on décrirale système de murs pour notre exemple et on montrera qu’il assure, grâce aux résultats de F. Haglund,F. Paulin et A. Valette, que le groupe de complexe paveur associé est a-T menable (i.e. vérifie la propriétéde Haagerup).

1. Description du complexe paveur triangulaire

Nous allons décrire un complexe polyédralP de dimension deux dont les faces maximales sont destriangles équilatéraux tous isométriques. Ce complexe n’a qu’un seul sommet et le link en ce sommet estla courbe elliptique discrèteL décrite dans l’introduction (figure 2). Nous étiquetons les neuf faces de cecomplexe par les trois lettres A, B, C et par les six chiffres 1, 2, 3, 4, 5 et 6. À une face correspondent troisarêtes du link (les trois angles de la face) reliées via les arêtes du complexe. Ces dernières sont représentéespar des flèches sur le dessin ci-après (figure 3) qui détermine donc entièrement notre complexe.

Il faut noter la propriété essentielle du linkL : deux arêtes adjacentes sont toujours contenues dans uncycle de longueur2π. C’est cette propriété locale, associée à une holonomie triviale autour des faces (cequi est réalisé dans l’exemple que nous décrivons), qui assure que ce complexe est un complexe paveur(voir [4]).

Figure 3. – Le polyèdreP .

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2. Symétrie locale

Dans une variété riemannienne, l’application exponentielle permet de définir une symétrie locale et ondit alors qu’un espace est localement symétrique lorsque cette symétrie est une isométrie locale. Pourdes complexes singuliers, la symétrie locale ne sera pas définie comme un automorphisme du linkL toutentier, mais seulement sur un ensemble de parties du link. Commençons par décrire une telle applicationsur l’exemple de cette note avant de donner une définition générale, et enfin d’autres exemples. NotonsL l’ensemble des arêtes (segments fermés) deL, et P(L) l’ensemble des parties deL. On définit uneapplicationS : L→P(L) qui à toute arêtea ∈ L associe{a′, a′′} ∈ P(L) tel quea′ et a′′ soient les deuxarêtesles plus éloignées dea (elles sont à distanceπ dea et à distanceπ l’une de l’autre) (figure 4).

Donnons maintenant la définition générale d’une symétrie sur un linkL quelconque.Soit x un point d’un complexe polyédral à faces euclidiennes. Les arêtes du link ont pour longueur la

mesure angulaire. On appellera symétrie enx la donnée d’un ensembleL de parties fermées connexesdu link L en x et d’une application symétrieS : L → P(L) telle que, pour touta ∈ L, a ∩ A′ = ∅ oùA′ =

⋃a′∈S(a) a′ et qui soitinvolutive :

∀a ∈L, ∀b ∈ S(a), {a} ∪ S(a) = S(b)∪ {b}.

De plus, les deux axiomes suivants doivent être vérifiés : pour touta ∈ L ,(1) le cône surM := a∪A′ est un convexe du cône surL ;(2) M sépare le linkL en deux composantes connexes.

Faire le cône sur un link est l’opération qui redonne le voisinage d’un sommet à partir de son link. Lepremier axiome signifie que les composantes connexes deM ⊂ L sont toutes convexes et à distances� πles unes des autres. L’exemple le plus trivial se rencontre dans le cas oùx est un point régulier. Alors le linkL enx est un cercle de longueur2π et on peut prendreL = L et, pour touta ∈ L, S(a) = {−a}, le pointapposé àa. Quandx est un point intérieur à une arête du complexe, le linkL est composé dek � 3 arêtes

Figure 4. – L’applicationS.

Figure 5. – L’applicationS dans divers exemples.

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de longueurπ qui relient deux sommets. On choisit alors pour ensembleL, l’ensemble des milieux desarêtes deL et, pour touta ∈L, S(a) = {b∈ L, b = a}. Donnons encore deux autres exemples significatifs(figure 5) :

Exemple 1. – Prenons pour linkL, le 1-squelette d’un cube où les arêtes ont pour longueurπ/2 et pourensembleL, l’ensemble des milieux des arêtes. On choisit alors∀a ∈ L, S(a) = {a′, a′′, a′′′}, oùa′ désignele milieu du côté opposé àa, eta′′, a′′′ les deux milieux à distanceπ dea eta′.

Exemple 2. – Prenons pour linkL le 1-squelette d’un tétraèdre où les arêtes ont pour longueur2π/3 etpour ensembleL, l’ensemble des arêtes union l’ensemble des milieux des arêtes. On choisit alors, siA estune arête,S(A) = {b} où b est le milieu de l’arête opposée àA ; et sia est un milieu,S(a) = {B} où Best l’arête qui est opposée au pointa.

Contre-exemple. – Il est intéressant de regarder le cas des immeubles euclidiens. L’axiome (1) et le faitque par deux points quelconques dans un link passe toujours un cycle de longueur2π, interdisent pourL lechoix de composantes autres que des points (à moins queL ne soit formé que d’une seule composante). Onvérifie alors facilement dans le cas de la figure 1, que dans ces deux éventualités, l’axiome (2) de séparationne peut pas être satisfait.

3. La propriété de Haagerup

Nous allons décrire un système de murs pour notre complexe paveur triangulaire. Il s’agit d’un passaged’une symétrie locale à une symétrie globale. Ce passage est assuré par une compatibilité entre les diversesapplications symétrie en chacun des sommets. C’est cette compatibilité qui est évidente dans le cas descomplexes pairs pour des applications symétries définies uniquement aux milieux des arêtes.

À toute faceF deP , on associe un convexe deP qui le sépare en deux composantes connexes : à l’angleau sommetS de la faceF correspond une arêtea du link au sommetS. À cette arête, on associe, via lasymétrie, deux arêtesa′ et a′′ qui appartiennent respectivement aux facesF ′ et F ′′ du complexeP (voirfigures 4 et 6). Ainsi, à une faceF , on associe six faces (deux collées à chacun de ses sommets). De mêmeà chacune de ces faces sont associées d’autres faces, et ainsi de suite. La réunion de toutes ces faces est unepartie convexeC(F ) de P (la convexité est assurée par l’axiome (1) de la symétrie). Enfin, l’axiome (2)assure que ce convexe sépare globalementP en deux composantes.

THÉORÈME 1. –Le groupe G = Aut(P ) possède la propriété de Haagerup.

Figure 6. – Un mur dansP .

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Démonstration. – PuisqueP est un complexe paveur,G opère proprement surP et à stabilisateurs finis(voir [4]). Pour toute faceF , le convexeC(F ) détermine trois classes de sommets dansP : S1 et S2 lesensembles de sommets de chacune des deux composantes deP \ C(F ) ; et S3 l’ensemble des sommetsdeC(F ). À toute faceF , on associe donc deux partitions de l’ensemble des sommets :{S1; S2 ∪ S3} et{S2; S1 ∪S3}. Le système de murs ainsi créé est bienG-invariant. SoientA etB deux sommets deP etγla géodésique qui les relie. Il est clair qu’il existe une faceF telle queC(F ) ∩ γ = ∅ et telle queC(F ) necontienne pas à la foisA etB (on note (*) cette propriété d’isotropie). Ainsi, l’ensemble des murs séparantA deB est non vide. De plus il est fini car pour qu’un convexeC(F ) détermine une partition qui sépareAdeB, il faut qu’il rencontreγ. De tels convexes sont en nombre fini car déterminés par une quelconque deleur face. Finalement, on voit donc qu’on peut appliquer les résultats de [14] sur les espaces à murs pourconclure au théorème.✷

Pour conclure cette Note, on donne une définition qui traduit une idée de l’analogie entre variétéslocalement symétriques de rang inférieur (< 2) et complexes de dimension deux du même nom.

DÉFINITION 3.1. – On dit qu’un complexe polyédralP est localement symétrique s’il possède en toutpoint une application symétrie. De plus, on dira queP est symétrique si les décompositions en deuxcomposantes déterminées localement par les applications symétries sont compatibles.

Le théorème 1, énoncé pour l’exemple que nous avons décrit en détail, se généralise avec la mêmepreuve aux complexes symétriques, pourvu qu’ils soient suffisamment isotropes pour que la propriété (*)soit satisfaite.

Remerciements. Je remercie les membres du laboratoire de mathématiques de l’Université de Bretagne-Sud etparticulièrement Christian Blanchet et Gaël Meigniez pour leur écoute et leurs conseils. Merci aussi à Frédéric Paulinet à Frédéric Haglund pour leurs remarques.

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