La théorie probabiliste - suitel’analyse bayésienne

Opération et systèmes de décisionFaculté des Sciences de l ’administration

MQT-21919 Probabilités et statistique

ExempleExemple

Dans une ville, 55% des travailleurs ont un revenu supérieur à 40 000$. Si un individu de cette ville possède un revenu supérieur à 40 000$, la probabilité qu’il ait fait des études secondaires est de 0,8. S’il ne possède pas un revenu supérieur à 40 000$, la probabilité qu’il ait fait des études secondaires est de seulement 0,2. Déterminer la probabilité qu’un travailleur choisi au hasard dans cette ville ait fait des études secondaires.

Principales formules de probabilité Principales formules de probabilité conditionnelleconditionnelle

4- Formule de Bayes– Souvent, on commence l’analyse probabilité avec des probabilités

initiales ou des probabilités a priori.

– Ensuite, d’un échantillon, un rapport spécial ou un test, on obtient de l’information additionnelle

– Étant donnée cette nouvelle information, on calcule les probabilités révisée ou probabilités a posteriori.

– Le théorème de Bayes fournit les moyens pour mettre à jours les probabilités a priori.

NouvelleNouvelleinformationinformation

NouvelleNouvelleinformationinformation

ApplicationApplicationdu théorèmedu théorème

de Bayesde Bayes

ApplicationApplicationdu théorèmedu théorème

de Bayesde Bayes

ProbabilitésProbabilitésa posterioria posterioriProbabilitésProbabilitésa posterioria posteriori

Probabilités Probabilités a prioria priori

Probabilités Probabilités a prioria priori

Formule de BayesFormule de Bayes Soit A1, A2, A3, … An, une partition de

l’ensemble fondamental telle que P(Aj)>0 j = 1, 2,…n, et soit Ai un événement de cette partition et B un événement quelconque, alors :

)(

)|().( )|(

BP

ABPAPBAP ii

i

Probabilité a priori

Probabilité a posteriori

probabilité conditionnelle

Par la règle d'élimination

FormuleFormule de Bayes de Bayes

Pour trouver la probabilité a posteriori que Ai se réalisera sachant que B est arrivé, on applique la formule de Bayes

Le théorème de Bayes est applicable lorsque les événements pour lesquels nous voulons calculer les probabilités a posteriori sont mutuellement exclusifs et leur union correspond à l’espace échantillon

P A BA B A

A B A A B A A B Aii i

n n

( | )( ) ( | )

( ) ( | ) ( ) ( | ) ... ( ) ( | )

P P

P P P P P P1 1 2 2

P A BA B A

A B A A B A A B Aii i

n n

( | )( ) ( | )

( ) ( | ) ( ) ( | ) ... ( ) ( | )

P P

P P P P P P1 1 2 2

ExempleExemple

Une entreprise manufacturière possède deux fournisseurs différents. Soit A1 l’événement « la pièce reçue du fournisseur 1 » et A2 « la pièce reçue du fournisseur 2 ». Actuellement, 65% des pièces achetées par l’entreprise proviennent du fournisseur 1 et les 35% restant proviennent du fournisseur 2.

Exemple - suiteExemple - suite

La qualité des pièces varie en fonction du fournisseur. Soient B « l’événement la pièce est de bonne qualité » et M « l’événement la pièce est de mauvaise qualité ». Les données historiques révèlent que 98% des pièces du fournisseur 1 sont de bonne qualité et 5% des pièces provenant du fournisseur 2 sont de mauvaise qualité. Sachant qu’une pièce est de mauvaise qualité, quelle est la probabilité qu’elle provienne du fournisseur 1?

Diagramme arborescentDiagramme arborescent

1ère étape 2ème étape

P(A1 B)= P(B|A1) P(A1)P(A1 B)= P(B|A1) P(A1)

P(A2 B) = P(B|A2) P(A2)P(A2 B) = P(B|A2) P(A2)

P(A2 M)=P(M|A2) P(A2)P(A2 M)=P(M|A2) P(A2)

P(A1 M)= P(M|A1) P(A1)P(A1 M)= P(M|A1) P(A1)P(M|A1)P(M|A1)

P(A1)P(A1)

P(A2)P(A2)

P(B|A2)P(B|A2)

P(M|A2)P(M|A2)

P(B|A1)P(B|A1)Probabilités conditionnelles Probabilités jointesProbabilités a priori Probabilités a posteriori

1 11

1 1 2 2

P P

P P P P

( A ) ( B | A )P( A | B )

( A ) ( B | A ) ( A ) ( B | A )

1 1

11 1 2 2

P P

P P P P

( A ) ( B | A )P( A | B )

( A ) ( B | A ) ( A ) ( B | A )

1 11

1 1 2 2

P P

P P P P

( A ) ( M | A )P( A | M )

( A ) ( M | A ) ( A ) ( M | A )

1 1

11 1 2 2

P P

P P P P

( A ) ( M | A )P( A | M )

( A ) ( M | A ) ( A ) ( M | A )

2 22

1 1 2 2

P P

P P P P

( A ) ( M | A )P( A | M )

( A ) ( M | A ) ( A ) ( M | A )

2 2

21 1 2 2

P P

P P P P

( A ) ( M | A )P( A | M )

( A ) ( M | A ) ( A ) ( M | A )

2 22

1 1 2 2

P P

P P P P

( A ) ( B | A )P( A | B )

( A ) ( B | A ) ( A ) ( B | A )

2 2

21 1 2 2

P P

P P P P

( A ) ( B | A )P( A | B )

( A ) ( B | A ) ( A ) ( B | A )

P(M|A1) = 0,02P(M|A1) = 0,02

P(A1) = 0,65P(A1) = 0,65

P(A2) = 0,35P(A2) = 0,35

P(B|A2) = 0,95P(B|A2) = 0,95

P(M|A2) = 0,05P(M|A2) = 0,05

P(B|A1) = 0,98P(B|A1) = 0,98P(A1 B) = 0,637P(A1 B) = 0,637

P(A2 B) = 0,3325P(A2 B) = 0,3325

P(A2 M) = 0,0175P(A2 M) = 0,0175

P(A1 M) = 0,013P(A1 M) = 0,013

Diagramme arborescentDiagramme arborescent

Probabilités a priori

Probabilités conditionnelles Probabilités jointes

Exemple - suiteExemple - suite

)(

)()|( 1

1 MP

MAPMAP

)|( . )P(A )P(A )(2

1i

2

1i i

ii

AMPMMP

0 65 0 02 0 35 0 05 0 0305 P( M ) ( , * , ) ( , * , ) ,

1

0 013

0 03050,4262

,P( A | M )

,

ExempleExemple

Joe et Arthur ont l’habitude de jouer aux dés (jeu A avec 2 dés) et parfois ils jouent au jeu B qui nécessite 1 seul dé. Le jeu B est utilisé 2 fois plus souvent que le jeu A. Dans les 2 cas, les joueurs doivent lancer le ou les dés. S’ils jouent au jeu A, ils considèrent la somme des valeurs sur les dés. S’ils jouent au jeu B, ils considèrent la valeur sur le dé. À un moment donné on entend Joe qui dit à Arthur qu’il a obtenu 6. Quelle est la probabilité qu’ils jouent au jeu A?

5/17

Un projet de nouveau centre d’achat entrera en compétition avec la boutique L.S. Vêtements. S’il est construit le propriétaire de L.S. Vêtements croit qu’il sera nécessaire de déménager.

Le centre d’achat ne sera construit que si un changement de zonage est apprové par la municipalité. Mais auparavent, le comité de planification doit faire une recommandation au conseil municipal. Posons:– A1 = événement correspondant au changement de zonage approuvé

– A2 = événement correspondant au changement de zonage refusé

Probabilités a priori– jugement subjectif: P(A1) =0,7, P(A2) = 0,3

Exemple: L. S. VêtementsExemple: L. S. Vêtements

Exemple: L. S. VêtementsExemple: L. S. Vêtements

Nouvelle information: Le comité de planification a recommandé de ne pas changer le zonage. – Définissons B l’événement correspondant à une recommandation

négative par le comité de planification.

– Sachant B, est-ce que L. S.Vêtements devrait mettre à jour (réviser) ses probabilités concernant l’acceptation ou le refus de nouveau zonage par le conseil municipal?

– Quelles sont P(A1|B) et P(A2|B) (probabilités a posteriori)

Probabilités conditionnelles:– L’histoire a montré que:

P(B|A1) = 0,2 P(B|A2) = 0,9– 20% des fois, lorsque le changement de zonage avait été approuvé par le conseil municipal, la

recommandation du comité de planification avait été négative; et 90% des fois, lorsque le changement de zonage avait été refusé par le conseil municipal, la recommandation du comité de planification avait été négative

Diagramme arborescent

P(Bc|A1) = .8P(Bc|A1) = .8

P(A1) = .7P(A1) = .7

P(A2) = .3P(A2) = .3P(B|A2) = .9P(B|A2) = .9

P(Bc|A2) = .1P(Bc|A2) = .1

P(B|A1) = .2P(B|A1) = .2 P(A1 B) = .14P(A1 B) = .14

P(A2 B) = .27P(A2 B) = .27

P(A2 Bc) = .03P(A2 Bc) = .03

P(A1 Bc) = .56P(A1 Bc) = .56

Example: L. S. VêtementsExample: L. S. Vêtements

Exemple: L. S. VêtementsExemple: L. S. Vêtements Probabilités a posteriori

Étant donné la décision du comité de planification de ne pas recommander le changement de zonage, on met à jour les probabilités a priori (afin d’obtenir les probabilités a posteriori) comme suit:

P A BA B A

A B A A B A( | )

( ) ( | )( ) ( | ) ( ) ( | )1

1 1

1 1 2 2

P PP P P P

P A BA B A

A B A A B A( | )

( ) ( | )( ) ( | ) ( ) ( | )1

1 1

1 1 2 2

P PP P P P

34,0)9,0)(3,0()2,0)(7,0(

)2,0)(7,0(

34,0

)9,0)(3,0()2,0)(7,0(

)2,0)(7,0(

Exemple: L. S. VêtementsExemple: L. S. Vêtements

Conclusions– La recommendation du comité de planification

est une bonne nouvelle pour L. S. Vêtements. La probabilité a posteriori que la municipalité approve le zonage est 0,34 contre une probabilité a priori de 0,70.

ExempleExemple

Supposons que 75% d’une population soit vaccinée contre une certaine maladie. La probabilité d’attraper cette maladie est de 0,1 si on est vacciné et 0,8 si on n’est pas vacciné. Une personne est choisie au hasard de la population. Quelle est la probabilité pour qu’elle

a) soit vaccinée et ait la maladie? 3/40

b) ait la maladie? 11/40

c) soit vaccinée si elle a la maladie? 3/11

d) soit vaccinée si elle n’a pas la maladie? 27/29

e) ne soit pas vaccinée si elle a la maladie? 8/11

f) ne soit pas vaccinée si elle n’a pas la maladie? 2/29

Probabilités conditionnelles: quelques Probabilités conditionnelles: quelques règles de calculrègles de calcul

P(AB|C)=P(A|C)+P(B|C)- P(A B|C) P(A’|C)=1-P(A|C) P(AB’|C)=P(A|C)-P(A B|C)

ExempleExempleUn joueur achète un billet lui permettant de participer à un jeu constitué d'une section à gratter suivi d'une loterie. Il gratte une case sur le billet. Il peut alors gagner 100 $ avec une probabilité de 0,2  ou bien ne rien gagner. On note G l'événement : « le joueur gagne dans la section à gratter ». Il participe ensuite à une loterie avec le même billet (qu'il ait gagné ou non dans la section à gratter). Il peut alors gagner 100 $, 200 $ ou rien. On note par :

L100 l'événement : « le joueur gagne 100 $ à la loterie »; L200 l'événement : « le joueur gagne 200 $ à la loterie »; P l'événement : « le joueur ne gagne rien à la loterie ».

Les conditions du jeu sont telles que :– Si le joueur n'a rien gagné au grattage, la probabilité qu'il gagne 100 $ à la loterie est 0,15 et la

probabilité qu'il gagne 200 $ est 0,08. Dans l’autre cas, c’est-à-dire lorsque le joueur gagne au grattage, la probabilité qu’il gagne 100 $ à la loterie est cinq fois la probabilité qu’il gagne 200 $. Finalement, les habitués à ce jeu du hasard estiment que la probabilité de gagner 100 $ à la loterie (qu'ils aient gagné ou non au grattage) est 0,2.

Calculer la probabilité pour que le joueur gagne 100 $ à la loterie, sachant qu'il a gagné dans la section à gratter; .4

Calculer la probabilité pour que le joueur ne gagne rien à la loterie; .72 Sachant que le joueur a gagné 200 $ à loterie, calculer la probabilité qu’il n’a rien gagné

dans la section à gratter. .8

ExempleExemple

Au jeu de la roulette comprenant 12 cases, chaque joueur mise en déposant des jetons sur ces 12 cases portant chacune un numéro (1 à 12). À chaque tour de roulette, la roue indique un gagnant parmi ces 12 numéros. Une participation au jeu comprend 2 tours successifs de roulette. Après le premier tour, les joueurs peuvent modifier le nombre de jetons placés sur les cases. Un joueur place ses jetons sur des cases distinctes indépendamment des autres joueurs; donc, il n'est pas exclu que l'un ou l'autre des jetons d'un joueur soit sur une même case qu'un des jetons d'un autre joueur. Considérons les stratégies des deux joueurs.

SA : La stratégie du joueur A est de placer 4 jetons pour le premier tour; s'il gagne, il doublera le nombre de jetons. Sinon, il réduira de moitié le nombre de jetons pour le second tour.

SB : La stratégie du joueur B est identique à celle de A pour le premier tour. Pour le second, il réduira de moitié le nombre de jetons s'il gagne au premier tour, mais il doublera le nombre de jetons s'il ne gagne pas lors du premier tour.

Exemple - suiteExemple - suite

Formuler une expérience aléatoire adéquate et présenter l'ensemble fondamental, en indiquant le nombre de résultats, dans la modélisation de chacune des situations suivantes :– la stratégie du joueur A;

– la stratégie du joueur B;

– les stratégies des deux joueurs à la fois.

Calculer la probabilité que :– le joueur A gagne au moins une fois à un des deux tours; 4/9

– le joueur B gagne seulement à un des deux tours; 13/18

– les deux joueurs ne gagnent jamais. 10/81