ECOLE CENTRALE DE LYON

LABORATOIRE DE MECANIQUE

DES FLUIDES

LABORATOIRE DE RECHERCHEAssocié au C. N. R. S.

3. Avenue Guy de Collongue 69130 ECULLY (FRANCE)

THESE

présentée devant

l'ECOLE CENTRALE DE LYON

pour obtenir

le titre de DOCTEUR-INGEN1E'

Spécialité: MECANIQUE

par

Georges KAKOUROS

DEVELOPPEMENT D'UNE METHODE DE CALCUL

DIFFNTIELLEEN VUE DE LA DETERMINATION

DES ECOULEMENTS SECONDAIRES

DANS LES TURBOMACHINES

soutenue le 4 mai 1984 devant la Commission d'examen

Jury : MM J. MATHIEU, Président

K.D. PAPAILIOU

LEBOEUF

KARADIMAS

F. DETANNE

T -Y1--

N° d'ordre : ECL 84-10Année 1984

ROLE CENTWE li LYCENTRE D.INFORMATIJN'

WP. 163 - 6911 CULLY CEiX

FIANCE

C.M. BRAUNERB. DAVIDJ.F. MAITRE

CONRADTHOMAS

Physicochimie des Matériaux

P. CLECHETJ. CURRANN. 3AFFREZ,ICJ. JOSEPHCI. MARTELET3.R. MARTINR. OLlERR. PHILIPPE

TAILLAND

tvtaIlurgie et Physique des Matériaux

P. GUIRALDENQD. TREI-IEUX

COQUILLETD. JUVE (Mme)NGUYEN Du

Electronique

3.3. URGELLP. VIKTOROVITCH

BLANCHETKRAWCZYK

O. BONNAUDJ. BORELJ.P. CHANTE

ECOLE CENTRALE DE LYON

DIRECTEUR A. MOIROUXDIRECTEUR ADJOINT R. RICHE

LISTE DES PERSONNES HABILITEES A DIRIGER DES THESES A L'E.C.L.

MatFé matiques-Informatique-Systèmes

Professeur 2e ClasseProfesseur 2e ClasseProfesseur 2e ClasseMaître Assistant ENS M-St-EtienneMaître Assistant

Professeur 2e ClasseProfesseur AssodéChargée de Recherche au CNRSMaître AssistantMaître AssistantMaître AssistantMaître AssistantMaître Assistant JUT -St-EtienneMaître Assistant

Professeur 1ère ClasseProfesseur 2e ClasseAssistantIngénieur Contr. 3 AAssistant Associé

Professeur 2e Classe (détaché dans l'Industrie)Maître de Recherche au CNRSProfesseur 2e ClasseProfesseur AssociéMaître AssistantDirect. Technique Sté E.F.C.I.S.Maître Assistant

Mécanique des Fluides

J. MATHIEUJ. BATAILLEB. GAYJ.N. GENCE

JEANDELJ.P. SCHON

ALCARAZR. MORELCl. CAMBONG. CHARNAY

Acoustique

(Mlle) G. COMTE-BELLOT Professeur Classe ExceptionnelleM. SUNYACH Professeur IUT-LyonH. ARBEY Maître Assistant

Machines Thermiques

X. LYS Professeur AssociéM. BRUN Professeur 2e ClasseA. 1-IAUPAIS Maître Assistant

Professeur 2e ClasseProfesseur 2e ClasseMaître AssistantMaître Assistant

Professeur 2e ClasseProfesseur 2e ClasseMaître AssistantMaître Assistant

Professeur 2e ClasseProfesseur Lyon IProfesseur 2e ClasseChargé de Recherche au CNRSChargé de Recherche au CNRSMaître AssistantMaître Assistant

Professeur Classe ExceptionnelleProfesseur Lyon IProfesseur Lyon IProfesseur Lyon IProf esseur 2e ClasseProfesseur IUT-St- EtienneMaître AssistantMaître Assistant INSAAttaché de Recherche au CNRSMaître de Recherche au CNRS

Electrotechnique

Ph. AURIOLA. FOGGIAA. NICOLASG. ROJAT

Mécanique des Solides

F. SIDOROFFB. CAMBOUCl. SURRYL. VINCENT

Mécanique des Surfaces

J.M. GEORGESJ. DIMNETJ. SABOTPh. KAPSAT. MATHIAJ.M. MARTINH. MONTES

L'étude présentée ici a été effectuée au Laboratoire de Mécaniquedes Fluides dans le cadre des travaux développés par le Groupe Turbomachines.

Je tiens à remercier Mr le Professeur J. MATHIEU qui a bien voulum'accueillir dans son Laboratoire et qui m'a accordé les facilités pour laréalisation de cette recherche.

J'adresse mes plus sincères remerciements à Mr K.D. PAPAILIOU,Professeur à l'Université Technique Nationale d'Athè ries, qui m'a orienté vers ce

travail de recherche, m'a fait bénéficier de ses vastes connaissances et m'aapporté son soutien moral lors de nombreux entretiens pendant toute cettepériode.

J'exprime ma profonde gratitude à Mr F. LEBOEUF, Maître Assistantà l'E.C.L., qui a assuré la direction de mon travail et qui a mis à ma dispositiontoute sa compétence scientifique et sa présence morale tout au long de cetteétude.

Je remercie vivement Mr G. KARADIMAS, Chef du DépartementAérodynamique de la S.N.E.C.M.A., qui me fait l'honneur de participer au Juryde thèse et pour l'intéret constant qu'il porte à ce travail.

J'adresse également mes remerciements à Mr F. DETANNE,

Ingénieur à 1'ALSTHOME ATLANTIQUE, qui m'honore par sa participation ausein du Jury.

Je suis reconnaissant envers Mme J. CARO qui m'a accordé sonexpérience et a contribué en particulier à la réalisation et présentation desfigures du présent tra vail.

Je suis heureux de remercier Mr G. BOIS ainsi que tous mes collèguesdu groupe Turboma chines qui m'ont accueilli chaleureusement au sein du groupe.

J'adresse également mes remerciements à Mme C. LANCE qui aassuré avec soin, compétence et dévouement le travail dactylographique de cemémoire.

En dernier lieu, le souhaite remercier ma femme pour son aide tantmorale que matérielle, ainsi que mes parents pour leur constant soutien tout aulong de mes recherches en France.

TABLE DES MATIERES

LISTE DES SYMBOLES

CHAPITRE I

INTRODUCTION

1.1. INTRODUCTION GENERALE 3

1.2. MODELES DE CALCUL DES ECOULEMENTS SECONDAIRES 4

1.3. APPROCHE PARABOLIQUE POUR LE CALCUL DES

ECOULEMENTS lo

1.4. PRESENTATION DE LA METHODE ACTUELLE 12

CHAPITRE II

FORMULATION MATHEMATIQUE DU PROBLEME 15

11.1. INTRODUCTION 17

11.2. LES EQUATIONS DE BASE 18

11.2.1. Les équations de Navier-Stokes pour un écoulement

compressible 19

11.2.1.1. Forme vectorielle des équations 19

11.2.1.2. Adimensionnalisation des équations de

Navier-Stokes 19

11.2.1.3. Forme conservative de Navier-Stokes dans

un système cylindrique 21

11.2.1.4. L'hypothèse d'une enthalpie d'arrêt constante 25

11.2.2. Modifications des équations pour un écoulement

incompressible 26

11.2.3. Fermeture turbulente du problème 27

11.2.3.1. Modèle k - 28

11.2.3.2. Modèle de la viscosité turbulente 29

11.2.4. Les équations pour le calcul du plan transversal 33

11.2.4.1. L'équation de la vorticité secondaire 33

11.2.4.2. Détermination du champ de vitesse induit 36

11.3. TRAITEMENT MATHEMATIQUE DES EQUATIONS DE BASE 39

11.3.1. Transformation des équations dans un nouveau système

de coordonnées 39

11.3.2. Intégration des équations dans la direction azimutale 44

11.3.3. Approximation parabolique de l'écoulement moyen 48

11.3.4. Nouvelles expressions des composantes de l'équation

de quantité de mouvement 49

11.3.4.1. Traitement du terme de pression Di 49

11.3.4.2. Utilisation d'une relation cinématique 51

11.4. CONCLUSIONS 54

CHAPITRE III

METHODE NUMERIQUE 55

111.1. INTRODUCTION 57

111.2. DISCRETISATION EN TEMPS - LIN EARISATION PAR

RAPPORT AU TEMPS DES EQUATIONS DANS LE PLAN

LONGITUDINAL 58

111.3. CHOIX DU MAILLAGE - DISCRETISATION SPATIALE DE

L'EQUATION VECTORIELLE 62111.4. ALGORITHME DE LA RESOLUTION 71

111.5. INTRODUCTION DES CONDITIONS AUX LIMITES DANS

L'ALGORITHME DE LA RESOLUTION 73

111.5.1. Ecoulement incompressible 73

111.5.2. Ecoulement compressible 82

111.5.3. Résumé des conditions aux limites utilisées en

pratique dans le présent calcul 85

111.6. ANALYSE DE STABILITE 86

111.6.1. Schémas explicites centrés 86

111.6.2. Schémas explicites décentrés 91

111.6.3. Schémas implicites 94

111.6.4. Schémas paraboliques implicites 98

111.6.5. Stabilité de l'algorithme de la résolution 99

111.6.6. Stabilité de la présente méthode loo111.7. DISCRETISATION SPATIALE - METHODE DE RESOLUTION

DES EQUATIONS DANS LE PLAN TRANSVERSAL 102

111.7.1. L'équation de la vorticité secondaire 102

111.7.2. L'équation de Poisson pour le calcul de s 103

111.8. COUPLAGE DE LA RESOLUTION DANS LE PLAN

TRANSVERSAL - ORGANISATION GENERALE DU CALCUL 110

111.9. CONCLUSIONS 114

CHAPITRE IV

RESULTATS DU CALCUL 115

IV.l. INTRODUCTION libIV.2. PRESENTATION DES RESULTATS OBTENUS 119

CHAPITRE V

CONCLUSIONS 124

BIBLIOGRAPHIE 127

ANNEXE 1 144

ANNEXE 2 157

ANNEXE 3 166

FIGURES

CHAPITRE I

INTRODUCTION

1.1. INTRODUCTION GENERALE

L'écoulement réel dans une turbomachine a un caractère trèscomplexe. Il est instationnaire, visqueux et tridimensionnel. L'outil le plus

approprié afin de décrire ces écoulements est constitué par les équations deNavier Stokes. Celles-ci posent cependant des problèmes lors de leurs

applications à des cas pratiques qui intéressent l'ingénieur. Des modèlesapproximatifs ont ainsi été développés, pour la simplification des équationsinitiales.

Les calculs des turbomachines se sont d'abord orientés vers descalculs non visqueux. Plusieurs méthodes ont été développées pour le calcul del'écoulement dont la plus courante est celle de WU I II qui substitue au problème

tridimensionnel deux problèmes bidimensionnels couplés. Le premier est résolusur une surface de courant dite "méridienne", et le second sur une surface decourant dite "aube à aube". La superposition de deux calculs donne la solutiondite quasi-tridimensionnelle du problème. Ce type de démarche a été utilisé pardifférents auteurs 12,3,41. Une analyse et une critique des méthodes

bidimensionnelles, quasi-tridimensionnelles et tridimensionnelles ont été données

dans la référence 151.

Des considérations visqueuses ont également été utilisées pour lecalcul de l'écoulement dans les turbomachines. Dans ce domaine, le caractèrevisqueux se manifeste près de l'aubage ainsi que près du carter et du moyeu de la

machine. Bien que l'étude des couches visqueuses se développant sur les aubes, àl'aide d'une approche classique de type couche limite, ait été fructueuse, unedémarche similaire n'est pas entièrement possible pour les couches visqueusessituées à proximité du moyeu et du carter. Ces couches ont une nature beaucoupplus complexe et seront désignées dans ce qui suit par le terme d' "écoulementssecondaires". Nous nous proposons dans ce travail de présenter une méthode decalcul des écoulements secondaires. Mais tout d'abord, nous donnons uneprésentation des différents modèles de calcul des écoulements secondaires, ainsique des méthodes numériques utilisées pour les déterminer.

-4-

¡.2. MODELES DE CALCUL DES ECOULEMENTS SECONDAIRES

A) Pour étudier les écoulements secondaires, deux modèles ont étédéveloppés. Ils seront employés simultanément. Le premier modèle, dit de troiszones, se base sur les deux principes suivants:

L'existence d'un écoulement sain qui se définit comme un écoulement nonvisqueux, rotationnel dans lequel on inclut les effets de la viscositéassociés aux aubages uniquement.

L'introduction d'une pseudoçouche limite pariétale près du carter et dumoyeu de la machine, de type couche limite classique, qui traduit les effetsde la viscosité dans ces régions.

Le deuxième modèle décrit les écoulements secondaires et utilisedeux principes:

U associe un caractère privilégié à la direction locale imposée parl'écoulement sain en ce sens que l'évolution de l'écoulement sera étudiéeselon cette direction, ce qui entraînera des conséquences sur la fermetureturbulente. Cette approximation a été utilisée plus ou moins explicitementpar différents auteurs et a été définie clairement par PAPAILIOU 16,71.Dans la suite de ce texte, la composante de la vitesse réelle selon cettedirection privilégiée sera appelée "composante longitudinale" ; lescomposantes selon les directions perpendiculaires seront nommées les"composantes transversales de la vitesse".

Il donne l'hypothèse que le champ transversal de la vitesse est uniquementinduit par la vorticité I2 qui se développe selon la direction S del'écoulement sain.

B) Il est intéressant, à partir d'une étude bibliographique, d'étudierl'utilisation de ces quatre principes dans le développement des méthodes pour lecalcul des écoulements secondaires.

Initialement, les deux principes, qui serviront de base au modèle desécoulements secondaires, ont été utilisés séparément.

Le premier, d'abord utilisé par RAILLY et HOWARD ¡SI, met l'accentsur les effets de la viscosité. Ces auteurs oìt traité la couche limite pariétale ducarter et du moyeu comme une couche limite classique en vue de déterminer lespertes de pression d'arrêt dans ces zones. L'écoulement a été moyennécirconférentiellement; cette opération a fait apparaître des termessupplémentaires dont nous parierons plus loin. Le succès relatif de ce modèle aconduit à l'apparition, dans la même voie, des méthodes plus élaborées telles que

celle de STRATFORD 91, SMITH ¡10,11!, HORLOCK et PERKINS 1121, MELLOR

et WOOD 1131 et DE RUYCK, HIRSCH, KOOL 1141.

Le deuxième principe détermine le champ de vitesse transversal paril a été initié par SQUIRE et WINTER 1151. U traite l'écoulement

secondaire sur une base non visqueuse en utilisant un transport de la vorticitéd'origine visqueuse par un écoulement extérieur (sain). Son objectif était dedéterminer la variation de direction du vecteur de vitesse dans la directionnormale à la paroi. HAWTHORN 16,17! a donné une équation pour la composantelongitudinale de la vorticité associée à un écoulement moyennécirconférentiellement et il a introduit une fonction de courant liée àl'écoulement secondaire induit dans le plan transversal. La détermination deest obtenue grâce à une équation de Poisson résolue en développant la fonctionde courant en série de Fourier. SMITH ¡18! a proposé un modèle légèrementdifférent de celui de HAWTHORN dans la définition de l'écoulement primaire.L'équation de la composante longitudinale de la vorticité pour le calcul desécoulements secondaires a aussi été utilisée par MARRIS 119,20,21!, MARSH 1221

et HORLOCK 1231.

Les travaux théoriques de LAKSHMINARAYANA etHORLOCK 24,25,26,271 ont contribué à la compréhension des écoulementssecondaires dans les turbomachines. L'utilisation d'un repère de FRESNETassocié à la vitesse locale a permis de déterminer le développement de lacomposante longitudinale fl5 de la vorticité liée à la déflexion des lignes decourant ainsi qu'à l'existence d'une composante normale J2Ñ de la vorticité. Uneexpression générale a ainsi été obtenue pour le calcul de (2 dans un écoulement

visqueux, compressible dans une machine tournante. Notons que leur étude metl'accent sur l'importance de la résolutìon successive des deux équations pour lesdeux composantes J25 et f2,4 de la vorticité et a été longtemps considéréecomme référence par divers auteurs.

Pour la plupart des auteurs cités précédemment, utilisant l'équationde transport de fl de base du modèle des écoulements secondaires, les effetsde la viscosité se produisent uniquement par une couche limite avant l'entréedans les aubes. Dans le passage interaube, seuls les gradients de pression jouent lerôle important tandis que l'influence de la viscosité sur les écoulementssecondaires est alors négligeable. Tout récemment, POUAGARE etLAKSHMINARAYANA 1281 ont réalisé une application de cette approcheclassique en introduisant les effets de la viscosité complétés de ceux de larotation et des gradients de la masse volumique sur le développement de ..Q;malgré tout, le traitement de fl reposait toujours sur un calcul approximatifnumérique.

Mentionnons au passage une deuxième origine de la vorticitésecondaire, moins étudiée pour le cas des turbomachines, qui est associée àl'interaction turbulente des tensions de Reynolds. Elle a été étudiée enparticulier par GESSNER 1291 pour l'écoulement dans un coin et elle doit êtreconsidérée comme une conséquence directe de la viscosité et de la turbulence.

La complémentarité des approches de types "couche limite" et"transport de la vorticité secondaire", a conduit au développement des méthodesles utilisant simultanément. Parmi les travaux les plus importants dans cedomaine, nous pouvons isoler ceux de HORLOCK 130,31,32,331, et ceux effectuésau Laboratoire de Mécanique des Fluides de l'Ecole Centrale deLyon 134,35,36,37,38,39,4oj.

C) L'application du modèle de calcul des écoulements secondairesdans le cadre des turbomachines est malgré tout délicate, ce qui nécessite destraitements particuliers. Différents auteurs ont ainsi procédé à des intégrationsdes équations selon des directions appropriées. Dans les nouvelles équations, lesinconnues correspondent à des quantités globales de l'écoulement et les pertesd'informations engendrées par les intégrations successives doivent être restituéespar des hypothèses supplémentaires portant sur ces quantités intégrales.

En plus d'une intégration selon la normale à la paroi, RAILLY etHOWARD 181 ont effectué les premiers une intégration circonférentielle afind'étudier le problème à un niveau plus global. Cette opération est en faitsemblable à celle effectuée par HIRSCH et WARZEE 121 pour un écoulementsain. Elle a conduit à l'apparition d'inconnues supplémentaires et en particulier àcelle des forces d'aubage et des termes dits "de fluctuations spatiales" que

RAILLY et HOWARD ont complètement négligés. Les méthodes qui se sontensuite développées se distinguent par la modélisation de ces nouvelles inconnueset par l'écriture plus ou moins correcte des équations.

Deux approches existent pour le calcul des termes de déficit deforce:

La première approche utilise des formules analytiques qui relientchaque composante du déficit de force à diverses quantités

intégrales. HORLOCK et ses collaborateurs 112,311 ont utilisé uneexpression analytique pour le calcul de la composante

circonférentielle qui a été vérifiée expérimentalement par

PAPAILIOU, FLOT, MATHIEU 1341. La base de cette expression est

la composante azimutale de l'équation intégrale de quantité demouvement, combinée avec considérations sur le profil de vitessetransversale. Pour le calcul de la composante axiale, HORLOCK etMARCH 1301 ont utilisé une relation liant les deux composantes dudéficit de force vérifiée expérimentalement elle aussi 1341. Dans lamême catégorie, DE RUYCK, HIRSCH, KOOL .1141 ont résolu lesdeux composantes de l'équation intégrale de quantité de mouvementsimultanément en utilisant une relation empirique pour modéliser lestermes de déficit de force.

La deuxième approche utilise une relation entre les deux composantesdu déficit de force telle celle utilisée par HORLOCK et MARCH.Cette démarche, en combinant les deux composantes de l'équationintégrale de mouvement selon les directions axiale etcirconférentielle, permet d'obtenir une nouvelle équation où cestermes n'existent pas. Cette approche est plus générale que lapremière. Elle a été tout d'abord suivie par MELLOR et WOOD 1131qui, à la suite de difficultés au niveau de la modélisation de cestermes, ont effectué une deuxième intégration dans la directionaxiale entre l'amont et l'aval des aubes. Cette approche était aussi àla base de la méthode développée à l'Ecole Centrale de Lyon 1341-I 401.

-8

Dans les deux approches mentionnées plus haut, seule la mOdélisationdes termes du déficit de force a été tentée, les termes des fluctuations spatialeset l'écart de pression moyenne entre les écoulements sain et secondaire étantnégligés.

Dans le Laboratoire de Mécanique des Fluides de l'Ecole Centrale deLyon, les recherches se sont orientées vers le développement théorique d'uneméthode de calcul, basée sur l'expérience acquise par des nombreuses mesureseffectuées sur un compresseur axial 141,42,431 et eri grille d'aubes 1441.PAPAILIOU et ses collaborateurs 134,35,361 ont amélioré la méthode deMELLOR et WOOD 1131 que LEBOEUF 151 a utilisée pour le calcul del'écoulement dans un compresseur axial. COMTE 1371 a développé une méthodepour le calcul de l'écoulement dans une grille d'aubes que OHAYON 1381 aaméliorée pour la prise en compte de l'effet du jeu radial. La méthode a étéensuite modifiée en accord avec la formulation de VOUILLARMET 1391. Danscette méthode, les deux modèles de calcul des écoulements secondairesmentionnés précédemment sont utilisés simultanément. Le caractère visqueux del'écoulement est principalement considéré dans la direction longitudinale tandisque le champ de vitesse transversal est considéré comme le résultat de laprésence de la vorticité secondaire. Le premier modèle permet d'aborder leproblème sous une forme parabolique de type couche limite, le deuxième restituele caractère elliptique de l'écoulement dans le plan transersal. Le couplagesuccessif de deux calculs donne la solution du problème. Une des bases de cetteméthode est l'hypothèse de l'existence d'une direction privilégiée, définie parl'écoulement sain local. Dans cette direction, les propriétés de l'écoulementcisaillé sont exprimées à l'aide des lois de similitude au niveau de la composantelongitudinale de la vitesse. Une moyenne circonférentielle des équations a étéeffectuée ; les termes des fluctuations spatiales sont alors apparus exprimant lanon-uniformité azimutale de l'écoulement. Puis l'équation de continuité et dequantité de mouvement ont été exprimées sous une forme décifitaire par rapportà l'écoulement sain local et une intégration dans le sens normal à la paroi a étéeffectuée. Ces deux équations sont résolues simultanément avec l'équation de lavorticité secondaire. La fermeture du problème a été basée sur un ensembled'informations semi-empiriques. Sous cette forme intégro-différentielle laméthode a été appliquée au cas d'un compresseur axial transsonique 1451. Malgréles nombreuses approximations faites afin de l'appliquer dans une machinetournante, elle a donné des résultats en général satisfaisants. Très récemment,LEBOEUF 40! a présenté une étude théorique qui modifie le calcul dans le plan

9-

transversal de cette méthode qui a jusqu'ici utilisé la formule de

LAKSHMINARAYANA et HORLOCK 1251. Dans son travail, l'équation de lavorticité secondaire proposée relie celle-ci non seulement à la déflexion deslignes de courant de l'écoulement sain mais aussi à la variation longitudinale dela valeur RVQ . En outre, une équation pour la composante transversale de lavorticité 0Ñ permet de corriger l'hypothèse restrictive d'un écoulement typecouche limite dans la direction longitudinale et de traiter plus correctement letransfert des informations lors des changements de repère.

Les méthodes de calcul des écoulements secondaires présentéesjusqu'ici résolvent les équations sous une forme intégrale dans la direction de lacouche limite. Les inconnues sont les quantités globales de l'écoulement. Al'usage, ces équations présentent moins de difficultés au niveau numérique queles équations initiales. Pour des raisons que nous détaillerons plus loin, le

développement des méthodes différentielles pour le calcul des écoulementssecondaires dans les turbomachines semble une idée très attirante. Des travauxont été déjà entrepris dans cette voie. ANDERSON j46j, suivant un travail deBRILEY et Mc DONALD 1471, a présenté une analyse pour le calcul d'un

écoulement tridimensionnel, laminaire, visqueux, dans un passage interaube avec

des écoulements secondaires forts. Elle se base sur la décomposition du champ de

vitesse en une composante "visqueuse" et en une "non visqueuse". L'équation dela vorticité secondaire est utilisée pour le calcul d'une vitesse secondaire "nonvisqueuse" qui sert à la correction de la vitesse potentielle. Une équation demouvement parabolisée dans la direction longitudinale, couplée avec uneéquation pour l'énergie et une équation globale de continuité sont utilisées pourla correction visqueuse de la pression et de la vitesse longitudinale. Dans laréférence 1481, BRILEY et Mc DONALD ont étendu ce travail en conservant lesmêmes principes de base. Leur analyse superpose un écoulement primaire quidéfinit une direction prépondérante avec un champ de vitesse secondairetransversal. Plus précisément, la méthode corrige un écoulement primaire nonvisqueux, connu a priori pour prendre en compte les effets visqueux, ceux desécoulements secondaires et de la modification de la pression d'arrêt et l'effet dublocage. Elle a été appliquée pour le calcul des écoulements dans des tuyauxcourbés et le passage interaube. ABDALLAH et HA MED 149,501 ont développéune méthode pour le calcul d'un écoulement tridimensionnel, rotationnel, nonvisqueux, dans un tuyau courbé en suivant l'évolution de la vorticité. Ils calculentla vorticité et la composante longitudinale de la vitesse par une équation de

- lo-

mouvement, et une équation de transport de la vorticité, négligeant les termes

dissipatif s et résolvant les deux équations en utilisant une procédure évolutivedans la direction longitudinale. Les composantes secondaires de la vitesse sontalors déterminées par la résolution simultanée de l'équation de la continuité pour

la partie potentielle de la vitesse et des équations de Poisson pour la partierotationnelle. Des conditions aux limites de type Dirichiet sont utilisées pour ces

deux parties. ARNAL et COUSTEIX 1511, partant d'une conception analogue, ont

envisagé le problème d'un écoulement dans l'angle de deux parois. Leur système

des équations comprend l'équation de quantité de mouvement dans la direction

longitudinale, l'équation de la composante longitudinale de la vorticité et deuxéquations du type Poisson pour le calcul des composantes secondaires de lavitesse au plan transversal.

Les méthodes décrites précédemment ont en commun l'utilisationd'une direction d'évolution particulière pour le calcul. Nous allons détailler cepoint dans le paragraphe suivant.

1.3. APPROCHE PARABOLIQUE POUR LE CALCUL DES ECOULEMENTS

Les schémas paraboliques que nous allons utiliser dans ce travail sontune des approximations les plus utilisées des équations de Navier-Stokes. Ilsrépondent à la demande contemporaine du développement des méthodes simpleset rapides pour le calcul de l'écoulement dans de nombreux cas d'intérêtpratique.

Ces écoulements, dont un cas particulier est par exemple une couchelimite, ont les caractéristiques suivantes:

Les phénomènes de diffusion du mouvement, de la masse et de la chaleur,sont négligeables dans une direction prépondérante.

Le champ de pression statique en aval influence peu les conditions enamont.

Par conséquent, une intégration de l'amont vers l'aval peut êtreutilisée dans la direction de l'écoulement. En résolvant les équations

correspondant, appelées aussi équations de N avier-Stokes Parabolisées (N .S.P.),

une réduction importante du temps de calcul et de la taille nécessaire en

mémoire de l'ordinateur peut être obtenue.

La réduction des équations de Navier-Stokes de type elliptique à type

parabolique a les conséquences suivantes:

Une partie du mécanisme de propagation des perturbations de l'aval vers

l'amont est négligée.

Certaines conditions aux limites (par rapport à un problème elliptique) sontéliminées. Par conséquent, la méthode du traitement parabolique devraitêtre intégrée dans un processus globalement elliptique si les conditions aux

limites avales sont à prendre en compte.

Un grand nombre de chercheurs ont utilisé l'approche parabolique deséquations de Navier-Stokes en suivant différentes méthodes pour leur résolution

numérique 152,53,54,55,56,57,58,59,60,61,62,63,641.

Une étude approfondie sur les problèmes que présente la solution dusystème parabolique a été présentée par RUBIN et LIN 1571. Ils reconnaissent eneffet que les équations N.S.P.., dans le cas d'un écoulement subsonique, ne sont

pas vraiment paraboliques mais elles conservent un caractère faiblementelliptique. Cette ellipticité s'introduit par le terme du gradient axial de lapression dans la composante axiale de l'équation de quantité de mouvement etpar l'interaction avec l'effet de déplacement qui apparaît dans la composantenormale de cette équation. La résolution de ce problème faiblement elliptiquepar une procédure de calcul de l'amont vers l'aval conduit à l'apparition d'une

instabilité ; ce phénomène est généralement nommé "effet de départ"

("departure effect"). Si le terme dp/dx est a priori connu, ou peut être négligé,les équations deviennent purement paraboliques. Si ce terme de pression n'est pasnégligeable, un pas d'intégration vers l'aval minimum existe d'après RUBIN etLIN 1571, au-delà duquel la solution est stable . Ce pas est en effet lié à l'étendue

de la "zone elliptique". PATANKAR et SPALDING 1521 ont traité le problème de

la pression d'une manière différente. Ils ont décomposé le champ de pression en

deux parties dont l'une dans le plan longitudinal et l'autre dans le plan

transversal. La première est issue d'une conservation globale du débit tandis quela deuxième est le résultat de l'utilisation de la continuité locale. Malgré

l'inconsistance de ce découplage du champ de la pression du point de vuephysique, le schéma a donné de bons résultats dans certains cas. PRATAP1 etSPALDING 1531 ont modifié la méthode ci-dessus pour le calcul des écoulements

appelés "partiellement paraboliques". Dans ce cas, des transferts de

- 12 -

perturbations de l'aval en amont par l'intermédiaire de la pression sont permis.La pression est alors calculée comme dans un écoulement elliptique. Descomparaisons entre les résultats des deux méthodes "parabolique" et"partiellement parabolique" ont montré des différences significatives. Enfin,pour le cas d'une couche limite tridimensionnelle développée sur un corps enrotation, AGUILAR 1541 a montré en utilisant la théorie des surfacescaractéristiques que les équations réduites qui décrivent l'écoulement, mêmedans le cas stationnaire, sont clairement paraboliques. Cela est le résultat del'élimination des termes diffusif s axiaux ainsi que du gradient axial de lapression.

1.4. PRESENTATION DE LA METHODE ACTUELLE

Le travail cue nous allons présenter a pour but le développementd'une méthode complètement différentielle pour le calcul des écoulementssecondaires. Une telle formulation répond à plusieurs objectifs reliés à unedescription plus fine de l'écoulement. L'application de la méthode intégraledéveloppée à l'Ecole Centrale de Lyon sur une machine tournante a montré salimitation partielle pour décrire certains phénomènes particuliers 145,651. II estpossible de penser que des phénomènes pourraient être abordés pluscorrectement avec une méthode différentielle. Il s'agit en particulier de

l'effet de vrillage des aubages

l'effet du passage de l'écoulement d'un repère fixe à un repère mobile ouvice-versa;

l'effet du cisaillement à la paroi

tous les cas où les effets visqueux ne peuvent être décrits par une loianalytique à travers un profil de vitesse.

Nous avons conservé les idées de base de la méthode intégraleprécédente 136,37,391 qui sont:

i) le traitement d'un écoulement moyenné dans la direction circonférentielle;

- 13 -

ii) l'utilisation de l'équation de la vorticité secondaire pour le calcul du champtransversal.

La démarche principale de cette méthode est présentée ci-après.

En partant des équations de Navier-Stokes sous une forme vectorielle

conservative, écrites dans un système orthogonal cylindrique, tournant à lavitesse constante nous avons transformé ces équations afin de les traiterdans un nouveau domaine de calcul constitué d'un maillage uniforme. A la suitede cette transformation, les dérivées ont été discrétisées dans le nouveaumaillage, alors que les variables iont toujours associées au repère cylindrique.Une intégration azimutale a été ensuite effectuée et la projection des équationsmoyennées selon deux directions particulières est réalisée, ce qui conduit àl'élimination des termes de force d'aubage.

Une des caractéristiques importantes des écoulements secondairesest leur nature elliptique dans le plan transversal. Afin de restituer ce caractère,nous avons remplacé la composante azimutale de l'équation de mouvement parune relation cinématique qui relie la composante transversale de la vitesse avecles composantes de la vitesse dans le repère cylindrique. Cette composante estdéterminée par la résolution d'une équation de Poisson qui introduit l'effetelliptique de la vorticité secondaire, elle-même déjà calculée par une équationde transport.

La direction perpendiculaire au plan transversal est considéréecomme privilégiée et l'écoulement selon celle-ci est déterminé par un schémaparabolique. Le calcul dans cette direction suit une procédure de relaxation dansle temps. LIN et RUBIN 1581 ont trouvé que cette technique introduit un effet derelaxation dépendant du temps et supprimant "l'effet de départ" mentionnéprécédemment. Avec cette procédure, le système des équations conduit à unproblème bien posé à conditions initiales. Les désavantages de cette approchepar rapport à une méthode intégrale se situent dans une augmentation légère dustockage en mémoire de l'ordinateur et un accroissement des temps de calcul parsuite de la relaxation temporelle. Nous avons suivi cette procédure de calcul de

l'amont vers l'aval en relaxant à chaque pas les termes pseudo-instationnairesjusqu'à la convergence qui nous fournit l'approximation stationnaire des

équations. Afin de traiter ces équations, fortement non linéaires, nous avonseffectué une linéarisation par rapport à ce temps fictif (numérique), procédure

-14 -

habituelle lors de la résolution de systèmes d'équations non linéaires. Le couplage

entre le calcul parabolique dans le plan longitudinal et le calcul elliptique dans leplan transversal nous a donné la solution du problème.

Dans les chapitres suivants, nous présentons en détail les équations,la méthode numérique utilisée et les résultats de l'application de cette méthodeau cas pratique. Dans le chapitre II, nous exposons le traitement mathématiquedes équations initiales, qui aboutit à une forme appropriée de ces équations pour

notre problème. Dans le chapitre III, nous présentons la méthode numérique quenous utilisons pour la résolution des équations transformées. La formediscrétisée, l'algorithme de la résolution, l'introduction des conditions aux limitesdans l'algorithme ainsi qu'une analyse de stabilité y sont donnés. Les résultatsd'application de la méthode dans des cas divers sont considérés dans lechapitre IV. Des écoulements bidimensionnels classiques laminaires et turbulents

ainsi que des écoulements se développant en grille d'aube ou dans des machinestournantes sont étudiés. Dans le chapitre V, une critique de la méthodedéveloppée est entreprise sur la base des résultats obtenus. L'efficacité del'algorithme ainsi que ses insuffisances et ses possibilités d'amélioration sontexaminées.

CHAPITRE II

FORMULATION MATHEMATIQUE DU PROBLEME

- 17 -

11.1. INTRODUCTION

Dans cè chapitre, nous allons développer les équations de base pour

un écoulement visqueux, tridimensionnel, compressible ou incompressible dans un

système des coordonnées adapté à notre problème. Les équations initiales sont

les équations de Navier Stokes : l'équation de continuité, les trois composantes

de ltéquation de quantité de mouvement et une équation pour l'énergie interne

d'arrêt. Dans sa forme finale, le système utilisé comportera une équation pour la

vorticité secondaire qui prendra ainsi la place d'une composante de l'équation de

quantité de mouvement.

Nous résumons ici brièvement la procédure que nous avons suivie afin

d'amener nos équations à la forme qui nous a semblée appropriée pour notre cas.

Partant des équations de Navier-Stokes sous une forme vectorielle,

nous les avons projetées sous une forme faiblement conservative dans un repère

curviligne orthogonal cylindrique ( , ) tournant à la vitesse constante

Une moyenne statistique appliquée à ces équations a fait apparaître des

inconnues supplémentaires turbulentes, les tensions de Reynolds. Pour la

fermeture turbulente, nous utilisons une modélisation que nous décrirons en

détail dans le paragraphe (11.2.3). Nous effectuons ensuite une transformation de

notre repère cylindrique en un repère ( ,. L ,) de calcul, a priori quelconque

mais que nous supposerons par la suite lié au maillage utilisé. Cette technique

nous permet d'utiliser des schémas numériques sur un maillage uniforme dans le

plan transformé. Dans ce nouveau système, nous utilisons l'hypothèse d'un

écoulement parabolique selon une direction privilégiée que nous assimilons à

hypothèse qui permettra de négliger certains termes et guidera notre choix pour

une méthode numérique appropriée à la résolution des équations. Une moyenne

massique a été ensuite appliquée dans la direction 1' que nous avons assimilée

avec la direction circonférentielle e . Cette moyenne a fait apparaître des

termes de "fluctuations spatiales" ainsi que le terme de force d'aubage due à la

pression. Pour éliminer le terme de pression qui est inconnu, nous avons projeté

l'équation de quantité de mouvement sur deux directions indépendantes,

proprement choisie, et . L'ensemble des équations fourni par l'équation de

continuité, les deux composantes de l'équation de quantité de mouvement selon

les directions N et et l'équation de l'énergie d'arrêt, forment un système de

base noté système (1) dans la suite. A la place de la troisième composante de

l'équation de mouvement , nous avons utilisé une équation moyennée en 8 , de

transport de la vorticité secondaire i2. Cette équation est choisie, faisant peuintervenir la pression statique et permettant de prendre en compte assezcorrectement les conditions aux limites associées aux aubages, malgré sa formemoyennée en 8 Elle ne contient pas de termes additionnels mais tient comptedu caractère elliptique de l'écoulement dans le plan transversal. L'informationcontenue dans est ensuite transférée dans la Composante transversalemoyenne de la vitesse par le biais d'une variable de transfert '+', . Cettevariable apparaît comme une composante d'une fonction rotationnelle qui estdéterminée en fonction de fl. à l'aide d'une équation de Poisson. L'ensemble deces équations sera nommé système (II) des équations. Le lien entre le systèmed'équations de base (I) et le système annexe (II) est assuré simplement par unerelation cinématique entre les composantes de la vitesse dans les repères(,Ps,O)et(s,B, ).

11.2. LES EQUATIONS DE BASE

Les équations de base, formant deux systèmes d'équations distincts,sont données ci-après:

- l'équation de Continuité

- l'équation de quantité de mouvement (deux composantes);- l'équation pour l'énergie interne d'arrêt;- les équations pour la fermeture turbulente.

Les équations ci-dessus constituent le système (I) qui est écrit sousune forme vectorielle, conservative.

Le système (II) est formé par les équations suivantes

- l'équation pour la vorticité secondaire ..Q.

- l'équation de Poisson pour le calcul de '+

- l'équation reliant la composante transversale moyenne \.v'., de lavitesse à '+15

- 19 -

Dans les paragraphes suivants, nous présentons la forme initiale des

équations que nous allons utiliser et leur traitement mathématique qui permettra

de développer les équations de base présentées dessus.

11.2.1. Les équations de Navier-Stokes pour un écoulement compressible:

11.2.1.1. Forme vectorielle des équations:

Nous donnons la forme conservative des équations de Navier-Stokes,

comme elle a été décrite par PEYRET et VIVIAND 1661.

,P -+ v(FV)= o

- -, -dv(Fvv -)= fe(pE) )

Les variables indépendantes dans ces équations sont la masse

volumique p , le vecteur vitesse V et l'énergie interne d'arrêt E. Pour un fluide

Newtonien, le tenseur des tensions est une fonction linéaire du gradient de

vitesse, ce que nous exprimons par la loi de Newton

(a)(2.2)

t = 2 I + eV (b)

avec ¿eVgradV +(gradV ) le tenseur de taux de déformation.

Les deux coefficients de viscosité se relient par la relation de Stokes:

3-2=° (2.3)

11.2.1.2. AdimensionnalisatiOfl des équations de Navier-Stokes:

Le problème que sous-entend l'adimensionnalisatiOn est

essentiellement numérique. 11 s'agit, lors de la résolution des équations, de

disposer d'une méthode qui fasse évoluer de manière comparable les différentes

variables inconnues. Ceci est lié à l'adimensionnalisatiOn des équations qui doit

conduire à un système bien conditionné.

(2.1)

Cc)

- 20 -

Pour définir les variables adimensionnelles, des valeurscaractéristiques sont construites pour toutes les variables intervenant dans leséquations, basées sur certaines valeurs de référence. La nature du problème quiest envisagé et la méthode numérique utilisée pour la résolution, jouent un rôleimportant dans le choix de ces valeurs. Nous allons nous concentrer dans ce quisuit sur l'adimensionnalisation des équations de Navier-Stokes et sur l'influencede celle-ci sur la méthode numérique que nous utilisons. Nous allons montrercomment le choix des valeurs de référence, en fonction du type de l'écoulementétudié, conduit à un système bien conditionné.

Pour le cas d'une couche limite bidimensionnelle, l'analysedimensionelle des équations de Navier-Stokes montre que le rapport des ordresde grandeur de la composante normale et de la composante axiale de l'équationde quantité de mouvement est de l'ordre de l'épaisseur de la couche limite /LLorsque /L est très petit, les deux composantes sont d'un ordre de grandeurdifférent. Les variables adimensionnelles peuvent alors être définies commesuit

= ) Y = VL c

afin que les deux composantes soient de même ordre de grandeur. Cetteadimensionnalisation est utilisée tant pour une couche limite 1671 que pourl'écoulement dans une conduite 1681.

Un autre facteur qui influence le choix des valeurs de référence estle nombre de Mach M de l'écoulement. Pour un écoulement à un nombre de Machélevé, une vitesse de référence pour l'adimensionnalisation des vitesses peut êtrela vitesse extérieure du son L& =c./yzT0. Pour un écoulementincompressible où M est très petit devant 1, le choix d'une telle vitesse deréférence conduit à l'apparition de problèmes lors de la résolution numérique.Pour que la méthode numérique soit stable et convergente, il faut que les termesdes matrices 3acobiennes de la résolution soient du même ordre de grandeur, cequi n'est pas obtenu si les variables adimensionnelles sont très différentes. Parconséquent, pour un écoulement incompressible, une vitesse caractéristique del'ordre de grandeur des vitesses dans l'écoulement peut être utilisée pourl'adimensionnaljsation. Or, même dans ce cas, des problèmes se présentent si lapression est calculée par la formule (2.9) ou (2.11) car les termes e.cT ou

- 21 -

h=cT adimensionnalisés par U sont beaucoup plus grands que les

termes Nous allons voir dans le chapitre 1V comment ce problème peut être

traité.

Considérons maintenant le choix que nous proposons. Pour la longueur

de référence L, nous avons choisi une longueur caractéristique dans la direction

axiale mais qui est en plus du même ordre de grandeur que l'épaisseur de la

couche limite . Les autres valeurs de référence que nous avons utilisées sont

données ensuite. Comme vitesse U une vitesse extérieure LJ donnée pour un

écoulement incompressible et la vitesse extérieure du son c=/Epour unécoulement compressible. CommPt et une masse volumique p, et une

viscosité qui pour le cas d'un gaz parfait sont fonctions de température d'arrêt

liée à l'écoulement. Toutes les autres valeurs caractéristiques sont dérivées à

partir de ces valeurs de référence. Pour le temps t c'est la valeur Lfu-., pour la

pression p la valeur (pLL')f, pour les tensions de cisaillement la valeur

(F&u),/L, pour les forces f, la valeur (p1LL/L et pour l'énergie E ou l'enthalpie

H la valeur LtÇç . Après l'adimensionnalisation, les formules (2.2) deviennent

i= - Re (2.4)

= Çdiv +

où Re=(upL4-&) un nomore de Reynolds caractéristique.

11.2.1.3. Forme conservative de Navier-Stokes dans un système

cylindrique:

Nous allons écrire les équations (2.1) sous une forme telle qu'elles

soient utilisées aussi bien dans un système cylindrique que cartésien ; ceci

permet de décrire la plupart des cas d'intérêt pratique en turbomachines, bien

que les équations y soient écrites sous une forme faiblement conservative. Lecaractère faiblement conservatif ne semble pas créer de problèmes au niveau

numérique. Les équations analogues obtenues, à partir des mêmes équations

initiales, par VOUILLARMET 1391 dans un système curviligne orthogonal (m,,G)

n'ont pas ce caractère conservatif et elles peuvent présenter plus de difficultés

dans la résolution numérique par une méthode différentielle j691. Dans notre cas,

les équations sont exprimées pour un écoulement non stationnaire dans un repère

relatif tournant, lié aux aubages. Nous les présentons sous une forme

adimensionnelle, vectorielle, et faiblement conservative dans un système

H

cylindrique. Les détails des calculs sont donnés en Annexe i.

ou

P

RFae

o

o

.j ( RFV RGV + -t. R5Re( ¿)

o

F=

o

f3

- 22 -

o

tRR E

o

o

pR 2P'e-2 wp

L)p R c

o

R

(2.5)

(2.6)

VI F?L R G F4+ PF LJ U ? UR 9

(pE+ (F E+p)

o o

o

-

o

TD

- 23 -

Les tensions visqueuses sont données par les formules suivantes:

± j + 2

+

= =L&

, )

(f)R

[(R) (RR)

Les termes visqueux dans l'équation de l'énergie sont

Prk

k 2ePr

=

/

R

R 3e

J

L 'Lt4-

(2.7)

-i- i LR

(2.8)

)

(e) eRRe

-R.

( UL R 2

+ R RR

jB -L

La pression est calculée par une équation de gaz parfait

P - ( -) r ( -

H2

- 24 -

=Ei-

2. 2.-I- L& Th

Z

PP

(2.9)

Dans le terme , la force e regroupe d'une part la force deCoriolis 2WAV!, d'autre part la force centrifuge Ces deuxforces s'exercent par suite de la rotation de la machine. Les forces de gravitésont négligées.

Les termes non conservatifs H et k sont liés au choix d'un repèrecylindrique. Pour un système Cartésien, ils s'annulent. L'équation (2.5) est écritede manière à pouvoir être utilisée aussi bien dans un système cylindrique quedans un système Cartésien. Pour un système cylindrique, il suffit de prendre lecoefficient j = 1. Pour un système Cartésien, nous aurons R = I et le coefficientj = O. On peut voir par les formules (2.7) que le choix de l'un ou de l'autresystème influence aussi la forme des tensions visqueuses. Cette possibilité dechoix entre les deux systèmes par une simple modification de certainscoefficients rend la méthode souple et utilisable, aussi bien dans le cas d'unegrille d'aubes plane que dans le cas d'une machine tournante.

Remarque:

Il est possible, à la place de l'équation pour l'énergie interne d'arrêt,d'utiliser une équation pour l'enthalpie d'arrêt définie par la formule suivante

Si cette formule est introduite dans l'équation pour E, nous obtenons l'équationsuivante:

RFH (Rpu H) + (RH) +(pu9k)=

ç i() +G

J

+ pwZRuL

Re

- 25 -

Nous pouvons remarquer, par rapport à l'équation pour E, que les termes

convectif s ne contiennent plus la pression. Ceci constitue peut être un grand

avantage pour la méthode numérique car les termes de pression P /

disparaissent des matrices JacobienfleS. Cependant, un terme supplémentaire non

stationnaire 2p/t apparaît ici dont le traitement n'est pas évident.

Si à la place de l'enthalpie d'arrêt H nous utilisions la ronthalpie

4 E, nous pourrions obtenir une équation totalement conservative puisque

le terme w2 R entrerait dans les dérivées.

Dans notre méthode,-.nous utilisons en pratique un écoulement à

enthalpie d'arrêt constante; ce qui fait l'objet du paragraphe suivant.

11.2.1.4. L'hypothèse d'une enthalpie d'arrêt constante:

Pour un gaz parfait, avec un rapport y de chaleurs spécifiques

constant, I'enthalpie d'arrêt k définie précédemment, peut s'exprimer par la

formule

(2.10)

Dans un grand nombre de problèmes d'intérêt pratique, on peut

supposer que l'enthalpie d'arrêt est constante si il n'y a pas de transfrt dechaleur 70,711. Dans ce cas, il n'est pas nécessaire de résoudre une éqation

instationnaire pour l'énergie E ou pour l'enthalpie H. La pression est calculée en

fonction de la masse volumique, de la vitesse et de l'enthalpie d'arrêt.

2¼

Y 2 )(2.11)

avec H constante. Cette hypothèse peu restrictive d'une enthalpie totale

constante dans l'écoulement, permet de diminuer le nombre des équations

incluses dans l'équation vectorielle (2.5) et par conséquent de réduire l'effort

numérique exigé, le temps de calcul et la taille en mémoire de l'ordinateur

demandée pour sa résolution.

Nous avons utilisé cette hypothèse de H = constante pour nos calculs.

La pression a été calculée par la formule (2.11).

- 26 -

11.2.2. Modifications des équations pour un écoulement incompressible:

Pour le calcul des écoulements stationnaires, deux sortes deméthodes existent. Celles qui utilisent des équations stationnaires et celles quiutilisent des équations instationnaires où le temps tend vers l'infini. Pour cesdernières, il est demandé que la solution atteigne la solution stationnaire à laconvergence. Par conséquent, il n'est pas nécessaire que la méthode utiliséedécrive correctement l'état transitoire mais seulement la solution finale où l'étatstationnaire a été atteint.

Des problèmes cependant se présentent lors d'un calcul d'unécoulement incompressible avec cette méthode. On peut remarquer grâce àl'équation (2.5) que, pour un tel écoulement, dans la première composante quiexprime l'équation de continuité, le terme instationnaire disparaît puisque lamasse volumique est partout constante. L'intégration de l'équation de continuitédevient alors difficile. Pour traiter ce problème, CHORIN ¡72! a proposé la"méthode de la compressibilité artificielle". L'équation de Continuité estremplacée par une équation de divergence perturbée, qui s'écrit

-i-- VV= (2.12)

où est une constante arbitraire. Cette équation n'a pas de sens physique avantque l'état stationnaire soit atteint. La continuité classique pour un écoulementincompressible O est satisfaite seulement à la convergence. Leparamètre ' doit être choisi de manière à assurer l'existence d'une solutionnumérique stationnaire pour le système des équations de la continuité (2.12) etde quantité de mouvement. La méthode est appelée "méthode de lacompressibilité artificielle" car les équations correspondantes peuvent êtredérivées des équations de Navier-Stokes pour un écoulement compressible avecune équation d'état pp avec constant. L'équation (2.12) tend vers l'équation

O si tend vers zéro, ce qui en pratique se traduit par » I.Cependant, d'après PEYRET et TAYLOR ¡73!, l'utilisation des valeurs trèsgrandes pour le paramètre conduit souvent à l'apparition de difficultésnumériques.

Cette méthode de la compressibilité artificielle pour le calcul d'unécoulement incompressible a été utilisée avec différentes modifications parFORTIN, PEYRET et TEMAM ¡741, STEGER et KUTLER 1751, GANOULIS etTHIRRIOT 1761, DE SAINT-VICTOR et COUSTEIX 77!.

- 27 -

Nous avons suivi cette méthode pour le calcul des écoulements

secondaires incompressibles. Le vecteur des inconnues principales est

4= ( ps,, ' ,u )'. Nous allons expliquer plus bas la signification du

terme , . La forme générale de l'équation vectorielle (2.5) reste la même mais

les termes de la première composante qui exprime la continuité, sont modifiés.

rI1 - F = / J

= jA9J '1

De plus, l'équation pour l'énergie est éliminée.

Avant de présenter quelques problèmes numériques liés au choix des

valeurs de , nous allons expliquer comment nous traitons la pression pour le

calcul des écoulements secondaires incompressibles.

Pour tenir compte de l'effet des écoulements secondaires, nous

séparons la pression statique en deux parties

P (2.13)

La première partie , qui est la plus importante, est associée au champ de

vitesse de l'écoulement sain ou au champ potentiel de vitesse. Elle constitue ne

donnée de notre problème. La deuxième partie est associée à l'eif et

secondaire. Puisque nous étudions l'écoulement avec une méthode parabolisée,

selon la direction longitudinale, nous pouvons supposer que , dépend

principalement de l'écoulement dans le plan transversal. Le calcul de p , par

conséquent, nous donne la correction de la pression statique associée aux

écoulements secondaires.

11.2.3. Fermeture turbulente du problème:

Pour un écoulement turbulent compressibles il est habituel d'appliquer

une moyenne statistique pondérée par la masse 78,79I sur les équations de

mouvement. Cette moyenne fait apparaître les tensions de Reynolds -ptu' qui

sont des inconnues supplémentaires. Une analyse théorique de certaines

approches pour la modélisation de ces termes a été effectuée par GENCE,

JEANDEL et MATHIEU 180L Parmi les nombreux modèles de fermeture

turbulente qui existent, nous avons considéré deux modèles différents. Lepremier est le modèle k -E à deux équations écrit sous une forme adaptée à

notre problème et le deuxième est le modèle simple de la viscosité turbulente.

11.2.3.1. Modèle k- :

Nous présentons ce modèle, utilisé entre autres par HAH etLAKSHMINARAyANA 1811 dans le domaine des turbomachjnes. Ceux-ci en ontproposé trois versions, toutes trois se basant sur l'utilisation des quantités k etE. . La première version comprend deux équations pour le calcul direct de k etde ¿ tandis que les deux autres utilisent les équations de transport pour lestensions de Reynolds. Nous avons choisi la forme simple suivante écrite pour unsystème cylindrique.

Pour l'énergie cinétique turbulente

F-it kR(p k ft k

J

3Rpk +-iR(pk_.)L

-

-f-f(fzLL9k -

- 28 -

-t L k2e

= Z k )

où la viscosité turbulente est donnée par l'expression

= FR(PE)(2.14)

(2.15)

(2.16)

Pour la dissipation turbulente

RpEt G R1J

le terme de production est donné par

,2

- 29 -

+ (.4L (2R R 'G

R k

(--

L)fR J R s /

(2.17)

Pour le terme S dans l'équation (2.2), HAH et LAKSHtvCINARAYANA 1811 ont

proposé deux formes différentes

SI = .P (a) (2.18)

c - (u: ç - k SU ) (L u1 - - k i-) (D)

En utilisant le modèle k - E, nous supposons que, dans les équationsde Navier-Stokes, sous leur forme moyenne statistique, les termes de tensionsregroupent aussi bien les tensions visqueuses que- les tensions turbulentes. Laviscosité totale est égale à la somme de la viscosité laminaire et laviscosité turbulente donnée par l'expression (2.16). Le système formé deséquations de Navier-Stokes moyennées, de la relation (2.16) sur la viscositéturbulente et de deux équations (2.14) et (2.15) pour et E. , est unsystème fermé qui peut être résolu numériquement.

Ce modèle n'a pas fait l'objet d'essais nurriériques dans notre

méthode, ainsi seul le second modèle sera finalement considéré.

11.2.3.2. Modèle de la viscosité turbulente

Nous avons choisi le modèle de CEBECCI-SMYTH 178,82,831 qui est

une extension du modèle de VAN DRIEST ; il s'applique clans des écoulementscompressibles ou incompressibles avec des gradients de pression. Il se base surl'hypothèse classique de Boussinesq qui relie les tensions turDulentes au gradientdu champ de vitesse moyenne. Malgré sa simplicité, ce modèle semble donner des

résultats globalement satisfaisants dans des cas divers I54,Z4,85,86l.

(t )

A2Gs Z

ou N = HHe

E I "2 /Ñ

¡p \2+ f_) L

i-exp(i&&

+= (»( /L'u'w w

Pour les couches limites axisymétriques, CEBECCI et SMJ[TH 1781 ont proposél'expression suivante pour le calcul de la viscosité turbulente

= L R

Rc, dR

- 30 -

Nous décrirons ensuite ses principes de base. La couche limite estséparée en deux régions : une région intérieure et une région extérieure danslesquelles deux expressions différentes pour la viscosité turbiulente sont définies.

1. Région intérieure:

CEBECCI et SMITH 1781 supposent que, dans la région intérieure, laviscosité turbulente cinématique est donnée par la formule

( ) - i x()J2. (2.19)

pour un écoulement bidimensionnel dans un système carrtésien. est uneconstante 1< = 0,4. A est un paramètre qui, pour le cas général d'un écoulementcompressible avec gradient de pression avec transfert de chaleur et de masse, sedéfinit par l'expression suivante

yw

(a) (2.20)

(2.21)

1- (b)

et 1- = Ve U c U

où L R0 -e R j j - - &_ e1A

et R0 le rayon du cylindre.

AGUILAR 1541 a utilisé cette formulation mais avec une extensionpour prendre en compte la rotation du système et la torsion de la couche limite

qui devient tridimensionnelle.

(± ) = (2.23)

avec Z 2 R et L donnée par (2.22).R0

UeRI

Pour le calcul du paramètre A, il a utilisé la formule simple

()

- 31 -

- - z

A = 26 = 26(

où t.A- est la vitesse moyenne extérieure de l'écoulement

o168 si > 5000

ci =.01GB 155 si < 5000

(2.22)

(2.24)

(2.26)

où = .J(R1) v. J0

Pour notre problème, nous employons l'expression d'AGUILAR (2.23)

avec les relations (2.24) et (2.25).

2. Région extérieure

La viscosité turbulente dans cette région est donnée par la relation

suivante:

y2

L ) (2.25)

- 32 -

et 5S [ - exp(_.243'z .296)]

avec R

425

Les quantités intégrales de la couche limite pour un écoulementbidimensionnel sur un système cartésien sont données par les expressionssuivantes:

) d,y l'épaisseur de déplacement (a)L-Le "

y ( \' Ji

Pour calculer ces quantités, pour une couche limite tridimensionnelle

se développant sur un système axisymétrique tournant, AGUILAR a employé lesexpressions

l'épaisseur de mouvement (b) (2.27)

le facteur d'intermittence (c)

J

1/2

Y RdR -R (a)I

I,z4- R.dJ - (D)

(2.28)

Dans notre méthode, nous avons utilisé l'expression (2.26) pour lecalcul de (Vt)e Pour le cas d'un écoulement bidimensionnel, nous avons priscomme la vitesse extérieure axiale u. Pour le cas d'un écoulementtridimensionnel se développant dans le passage interaube, nous avons pris comme

la vitesse extérieure longitudinale \VSe Pour le calcul des quantités intgrales,nous avons employé les formules (2.27), les vitesses longitudinales remplaçant lesvitesses axiales pour un écoulement tridimensionnel.

11.2.4. Les équations pour le calcul du plan transversal:

11.2.4.1. L'équation de la vorticité secondaire:

L'équation qui régit le développement de la vorticité secondaire peutêtre dérivée directement de l'équation vectorielle de la vorticité dans unsystème de coordonnées intrinsèques 1251. Elle nous permet de calculer la

variation de la composante longitudinale moyenne de la vorticité _Q. qui est

responsable du profil de vitesse moyenne \AÇ4 . Son intérêt, pour l'utilisation de

cette équation, est de faire intervenir faiblement la pression statique.

L'équation de la vorticité est obtenue en appliquant l'opérateurrotationnel (V à l'équation vectorielle de quantité de mouvement dans unrepère relatif pour un écoulement stationnaire.

-=

(2.29)

- VA ( /p) - VA( 2A) +où ...C2 VA \J le vecteur de vorticité relative.

Pour dériver l'expression de la vorticité secondiare, nous allonsutiliser un système de coordonnées intrinsèques (c,i-', b) lié à la ligne de courant

de l'écoulement sain. Le vecteur est tangent à la ligne de courant, levecteur i se trouve dans un plan normal à cette ligne et le vecteur b crée avecles deux autres un trièdre direct (système de Fresnet). L'équation pour lacomposante longitudinale de la vorticité fl est le résultat de la projection del'équation pour la vorticité sur la direction . Elle est développée parLAKSHMINARAYANA et HORLOCK 1251.

- 33 -

)= 2 p\Ai

(1)

L ( ds ___ fY )JsA'5 --:- /

-./(2) (3)

+ 2cu cs + 2F2'

(4) (5)

(2.30)

- 34 -

Le membre de gauche représente l'évolution de la vorticitésecondaire. Les termes du membre de droite représentent les différentesproductions de la vorticité X2 . Le terme (1) de l'équation (2.30) exprime letransfert d'une partie de la composante transversale ..C2LJ dans la directionlongitudinale à cause de la déflexion y de la ligne de courant dans le plan

Les termes (2) et (4) expriment les effets de la compressibilité del'écoulement. Le terme (3) caractérise les contraintes visqueuses et turbulentes.Une formulation a été récemment proposée par POUAGARE etLAKSHMINARAYANA 1281 pour la prise en compte des effets des tensionsturbulentes pour le calcul de la vorticité secondaire. Le terme (5) caractérise lesforces de Coriolis à cause de la xßtation de la machine et son effet peut êtreimportant 1211.

Nous allons exprimer l'équation (2.30) pour X25 dans un repèreintrinsèque (S,N,B) suivant en cela COMTE ¡371 et VOUILLARMET 1391,(figure 1). La déflexion d y de la ligne de courant est constituée par unedéflexion d4. dans le plan méridien et par une déflexion sur la surface aubeà aube. La composante Q) aussi peut être séparée en deux autres composantes

et . Mais comme nous traitons un écoulement moyennécirconférentiellement, nous prenons en compte seulement la composante -Nrésultat de la couche visqueuse pariétale 1391.

Après les calculs, la forme suivante pour J2 est obtenue

)=2wd 2 I

Co cÑ JP'vV 2'S (2.31)

NJ /

Cette équation sera considérée en l'appliquant aux quantitésmoyennes de l'écoulement. Son caractère est parabolique, mais il devienthyperbolique si les termes de dissipation sont négligés.

LEBOEUF 1401 a proposé une équation pour la composantelongitudinale de la vorticité différente de celle de LAKSHMINARAyANA etHORLOCK 1251. II a projeté l'équation vectorielle de la vorticité dans un repèrecurviligne (S,N,B) associé à l'écoulement sain et il a ensuite appliqué unemoyenne selon la direction circonférentielle G . Les termes d'aubages, lestermes

(f

ccße -f-

5B b )(8R2)

/ \AJ pst

-.35 -

des fluctuations selon G et le terme de pression ont été négligés. L'équationpour la vorticité secondaire obtenue, écrite pour un système curviligne ('»i, , )

lié à la machine tournante à la vitesse , est la suivante:

-2 (4

Sk) * pJp SR)

- __\

k Ñ ) (R + 2 )

js -b

- --f- 2 C (VJ k - vJ +. 2 L) ( -

H()A1 (v2R).Ts

Une équation analogue a été écrite pour la composante

transversale J2 de la vorticité.

Si nous assimilons le repère de Fresnet utilisé par

LAKSHMINARAYANA et HORLOCK au repère lié à l'écoulement sain, unecomparaison entre les deux formes (2.31) et (2.32) proposées pour la vorticitésecondaire peut être effectuée. On voit que, dans l'équation proposée parLEBOEUF, la production de est associée d1une part à la déflexion del'écoulement sain d/5, d'autre part à la variation de RV9 selon la

direction '' tandis que, dans la formulation de LAKSHMINARAYANA et

HORLOCK, la production fl est associée seulement à la déflexion 2cJß,/cJS.

La formulation de LEBOEUF peut trouver son intérêt en particulier dans le casde veines centrifuges, et dans le cas de veines libres d'aubages en général.

2N)(2.32)

- 36 -

11.2.4.2. Détermination du champ de vitesse induit:

Dans ce paragraphe, nous allons exposer la procédure théorique pourle calcul du champ de vitesse moyen transversal. Cette procédure a été utiliséedans la version améliorée de la méthode intégrale déveIoppe à l'Ecole Centralede Lyon 134-401 et elle a été incorporée sans modification dans la méthodedifférentielle que nous développons.

La composante longitudinale moyenne de la vorticité induit un champde vitesse secondaire sur une surface normale aux lignes de courant. Bien que lagéométrie de cette surface soit assez compliquée, nous l'assimilons à un plan afinde ramener notre problème à un problème bidimensionnel.

Dans le cas général de l'étude d'un écoulement tridimensionnel oùnous traitons plusieurs lignes de courant de l'écoulement sain selon la directioncirconférentielle e , nous divisons chacune des composantes de vitesse dans leplan transversal (B,N) en deux parties. Une partie potentielle '4 et une partierotationnelle W. comme suit.

JjJ (a)

- + (b)(2.33)

Par hypothèse, le champ de vitesse transversal peut alors êtreconsidéré comme le résultat d'une superposition d'une rotation et d'un gradientd'un potentiel.

- -C = 4 = )+ 7d?5 '2 (2.34)

La composante longitudinale de la vorticité s'exprimant par larelation

L (k ) (2.35)

25hB 'LA5

- 37 -

les deux composantes de la vitesse dans le plan transversal sont alors données par

les expressions suivantes:

_L 4: L (a)iJ

UN

(2.36)

(b)

En reportant ces relations dans l'expression (2.35) de la composante longitudinale

de la vorticité, nous obtenons

I k

kk Ç k3 h8 )(2.37)

/ h L1'4+

N N )

Si les expressions (2.36) sont introduites dans l'équation de la continuité locale,l'équation suivante est obtenue

I i F5 )( k1

h\

(

k5k8 2

)1-

(

(2.38)

Les deux derniers termes de (2.38) se compensent en général, sauf pour des casfortement compressibles.

L'équation (2.37) permet de calculer la fonction de courant (4 aprèsavoir calculé J2 par (2.31) ou (2.32). Cette équation est de type Poisson et elleest résolue dans un domaine défini par l'intersection de la surface s = constantavec le moyeu, le couvercle et le contour de deux aubes voisines. Les conditionsaux limites sont de type Dirichiet sur . L'équation (238) sert à déterminer lepotentiel 4k.. En connaissant les fonctions 4 et , nous pouvons calculer lescomposantes transversales 'v'J et par les expressions (2.36).

ANDERSON 1461 et BRILEY et Mac DONALD 1471 donnent, pour lecalcul du potentiel 1 , une équation analogue:

LkÑ

L-k (hP 2t'./ ( h

(k9

(k kN

Dans notre cas, nous traitons un écoulement moyenné selon ladirection circonférentielle. Nous assimilons cette moyenne à celle obtenue dansla direction transversale N bien que cette hypothèse ne soit pas rigoureusementvérifiée. Nous pouvons alors supposer que le tourbillon du passage J'2 estcentré au milieu du passage entre deux aubes voisines. Par conséquent, pour unmaillage sur une surface plane, la partie rotationnelle moyenne W() dela composante normale V.IB sera nulle 651. L'effet tourbillonnajre dû à -P5

s'exprime alors seulement par la composante transversale moyenne Si noussupposons aussi que la couche visqueuse selon a une évolution identique pourtoutes les positions azimutales, alors la partie potentielle moyenne \.'../,,

-=

de la composante transversale sera aussi nulle. Dans ce cas, l'effet dublocage est associé seulement à la composante normale visqueuse à laquelle estlié l'épaississement de la couche limite. Pour une méthode différentielle dans leplan longitudinal, cette composante peut être déterminée par l'utilisation d'uneéquation locale de continuité (2.38) ou (2.l.a) ; elle traduit ainsi l'effet dublocage introduit par le déficit de masse dans la direction . Nous avons alorspour le cas d'un écoulement moyenné dans la direction azimutale

,

- 38 -

=0

(2.39)

(2.39)

- 39 -

Dans le cas général d'un écoulement non moyenné selon E) , le

tourbillon sera déplacé vers le coin et la partie tourbillonnaire normale AJBJ ne

sera pas nulle. La partie potentielle transversale "4' ne sera pas nulleégalement et dans ce cas l'effet du blocage est associé à l'action combinée de

deux parties potentielles et "is 1651.

11.3. TRAITEMENT MATHEMATIQUE DES EQUATIONS DE BASE

Nous allons exposer, dans cette partie, le traiitement mathématiquede nos équations, afin de les transformer sous une forme adaptée à l'étude desécoulements secondaires dans une turbomachine. Le traitemfent qui suit est assezlourd et conduit à des équations compliquées. 11 est cependant nécessaire car ilprésente beaucoup d'avantages pour la résolution numériqute des équations ainsi

obtenues. Il permet ainsi:

une discrétisation simple des équations;

une meilleure approche de la fermeture;

un traitement du champ de vitesse moyenrré dans la directionazimutale.

En plus, il conduit à un algorithme performant numériquement car il permet demaintenir l'aspect conservatif des équations.

11.3.1. Transformation des équations dans un nouveau système de

coordonnées:

Nous allons transformer l'espace physique occupé par l'écoulement endomaine de calcul dans lequel une solution par différences finies sera recherchéeà l'aide des équations différentielles développées au paragraphe 11.2.1.

Les équations transformées ont une forme plus ccompliquée que celle

des équations initiales mais elles présentent beaucoup d'avantages. L'avantageprincipal est que, aux limites du domaine, des surfaces complexes dans ledomaine physique peuvent être représentées par des surfaces; rectangulaires dansle domaine transformé. Un autre aspect important de cette transformation estque les points du maillage peuvent se concentrer dans des régions où lesgradients des quantités de l'écoulement changent rapidement.

- 40 -

HINDMAN 1871 a montré que la forme sous laquelle les équationstransformées sont écrites est très importante et peut influencer ledéveloppement d'un algorithme consistant ainsi que le nombre des opérationsnumériques pour l'application de l'algorithme. Ces formes s;ont:

la forme non conservative (F.N.C.) qui peut être représentée par uneéquation générale de type

B(u) _ CCu)=o3x

les formes conservatives qui peuvent être représentées par uneéquation de type

+ c(u) o

Pour ces dernières, différentes formes sont possibles. ILa forme fortementconservative (F.F.R.C.), la forme faiblement conservative (F.F.L.C.) et la formeconservative par permutation cyclique (F.C.P.CJ. HINDMAN 1871 a décritl'erreur induite géométriquement à cause de la difficulté de l'algorithme dans ledomaine transformé à satisfaire certaines conditions de consistance et il aprouvé que la forme F.C.P.C. demande moins d'opérations pour la résolutionnumérique que les trois autres.

VIVIAND 1881 a montré que la forme conser vative d'un systèmed'équations peut être préservée après une transformation de coordonnéesarbitraire et non singulière et dépendante du temps.. Il applique cettetransformation à des équations pour le calcul des écoulements transsoniques,instationnaires autour des objets en mouvement, non uniforme ou se déformant.Dans un tel cas, il est avantageux de se ramener à un domaine de calcul àfrontières fixes par une transformation des coordonnées dépendant du temps.

Cette transformation du domaine physique en un domaine de calcul aété utilisée par plusieurs chercheurs, comme THOMAS et LOMBARD 1691,LAPIDUS 1891, VINOKUR 1901, pour la résolution des équations de Navier-Stokessur des maillages en mouvement, STEGER 175,91,921 pour le calcul desécoulements subsoniques ou supersoniques, avec ou sans onde de choc, KUTLERet alu 1861 pour un écoulement supersonique, HOLST1 193,941 pour desécoulements transsoniques.

- 41 -

Nous allons utiliser cette procédure et transformer le systèmecylindrique (,R,e ) en un nouveau système ,) quelconque qui nouspermettra d'utiliser des schémas numériques plus simples et de mieux ajuster noshypothèses à la physique des phénomènes. L'équation (2.5) devient, après cette

transformation

j H

(2.40)

(2.41)

RFV ± -

Re

oùJ

,-.., f-4v

qui donne plus précisément

j-.

7

pU

pu;U +

pu.9U+

(pEf p) U- t P

o

- 42 -

o+

Z9, 4

pV

puV- v1.p

PURV+ 1.RP

p V + vt p

(pE+p)V- v p

-I-

(2.42)

o

+

o

o2pz O6/

PA+2P(JJRkR_R/Re-pw

+ v- + Rete

1- yip.

f V

R Y

+

+

i', . + eR

V=4Y2L

. e - e)-

. ( R - R )

- 43 -

Dans ces relations, U, V, W sont les vitesses controvariantes dusystème (,'i , ) et sont données par les expressions suivantes:

U + + LA

(2.43)+ 4- V7 L-9

Les métriques de la transformation sont calculées par un

développement en permutation cyclique des termes , R. , ... et

déterminées à partir de ., , Finalement, on obtient la forme

générale suivante pour les métriques

.( RG - E R. - R G)

e- L) Th ( -o- -

. ( - R ) ( - R)(2.44)

= - - t e

etJ-

est le Jacobien de la transformation avec

+ LA

e

(2.44.a)

1

es -

- 44 -

En général, ces métriques ne sont pas connues analytiquement etseront calculées numériquement pour chaque point du maillage.

Les termes visqueux contiennent des dérivées qui doivent êtreexprimées dans le nouveau système. La transformation de ces dérivées del'ancien système au nouveau s'effectue par une permutation cyclique (voirAnnexe 1) et les tensions visqueuses peuvent alors être exprimées dans lenouveau repère.

11.3.2. Intégration des équations dans la direction azimutale:

Nous allons maintenant effectuer une moyenne massique selon ladirection circonférentielle O , que nous assimilerons à la direction ', ce quinous permettra de restreindre notre traitement à un écoulement moyen. Nousdéfinissons une moyenne massique comme suit

1

2 n 6 /Ñ1,r

s

pAdO

Cette procédure est similaire à la moyenne massique temporelleutilisée pour le calcul de la turbulence par FAVRE 79I et par CEBECCI etSMITH 1781. Ces derniers ont exposé ses avantages par rapport à une moyennestatistique ordinaire. Dans notre cas, l'emploi d'une moyenne massique parrapport à une moyenne géométrique comme celle utilisée parVOUILLARMET 1391, se justifie car la masse volumique p intervient dans tousles termes des équations, hors les tensions visqueuses, du fait de l'emploiparticulier d'une forme conservative.

Après avoir décomposé chaque grandeur A en une valeur moyenneet une valeur fluctuante A*

nous effectuons l'intégration azimutale, puis 'ous identifions la directionavec la direction G , ce qui permet de simplifier la formulation finale.L'équation moyennée obtenue ainsi à partir de l'équation (2.40) est la suivante:

bR 6R

- 45 -

+

I I RFRe

Dans l'équation ci-dessus, par souci de simplification, nous avons supprimé les

indices (' ) mais toutes les grandeurs qui apparaissent sont des moyennesspatiales. Les détails de l'intégration sont donnés Annexe 1.

On peut constater que, dans l'équation (2.45), des termes nouveaux D1

et D2 apparaissent par rapport à l'équation initiale (2.40). Le terme D1 exprimela force exercée par l'aubage sur l'écoulement; elle est le résultat de lacontribution simultanée de la pression et des tensions de cisaillement surl'aubage.

Dans le cas d'une zone non aubée, la périodicité impose D1 = 0. Dansune zone aubée, s'il n'y a pas d'injection de fluide dans l'écoulement par les parois

des aubages (U = V= W = 0), ce terme a la forme suivante:

(2.45)

D=D14-D I

4 2r-1J,

f

o

RpG

R GR

-Ret

o

R G I- Zrte+

R 6 te3 f ROz- tee

4

s

o

R.

R pG

-P-Rpe.t

o

R+1- RGZ- t

R G t- + eR

P

-.-s

I

(2.46)

p

La force due à la pression exercée par une face de l'aube sur le fluideenvironnant est alors

___ ( R ) R , j )2n

où j = p côté intrados de l'aubage,

i=s côté extradas de l'aubage.

Cette force est donc normale à la surface de l'aube. Si nous utilisonsl'hypothèse des aubes minces, nous pouvons approcher la force -totale résultantedes forces de pression sur chaque côté par la formule suivante

D=4p2ri

qui est normale à la surface moyenne O,,, de l'aube. Au contraire, la force dueaux tensions de cisaillement Di n'est pas perpendiculaire à la face de l'aubeainsi que la force totale D1.

s-Le terme D2 contient les fluctuations spatiales du type UL Urésultat de la distorsion azimutale de l'écoulement due à la présence des aubes.Ce terme a la forme suivante:

ou D210

D2

D25

D226

C

- 46 -

-'PUp- r - -

v p

J J-i

D25 = _- b(Z3« í

+b(- «L L-

D24 b

- ID(fD

-.'Lk;u+p

i ,- L

-' - -.---.¼ ,&p

(4v«+ P4L

(2.47)

7«4 _'.' -'_ + y + vp vjj

On peut remarquer que ce terme D2 contient des termes dont laforme rappelle celle des tensions turbulentes. Sa structure permet en outre de ledistribuer dans les termes F , et 1951. Dans ce qui suit, nous allonsignorer la contribution de ce terme de fluctuations. Nous pouvons cependantremarquer que sa contriDution peut devenir significative dans quelques casparticuliers. Tout d'abord dans certaines grilles de turbine, comportant une fortedéflexion, pour lesquelles le champ de vitesse secondaire emporte une partiesignificative de la quantité de mouvement; en outre, dans le cas oi desinteractions visqueuses ou turbulentes tridimensionnelles deviennentimportantes 1961. Mais dans ce cas les effets locaux doivent être pris en compteet il est probable qu'un modèle tridimensionnel, même parabolisé, soit préférableà un modèle moyenné.

et

- 48 -

En ce qui concerne la fraction du terme de force d'aubage DL quicontient les tensions, il est possible de la relier à des informations globales issuesde calcul des couches visqueuses sur l'aubage. Ainsi, en première approximation,nous allons utiliser l'hypothèse d'HORLOCK 197! qui suppose

k (2.48)

où W le vecteur de la vitesse relative moyennée selon et k un coefficientrelié au changement de l'entropie moyennée en G , associé aux couchesvisqueuses des aubages.

T5(2.49)

Js -=.s= dO

(2.49 .a)

et le changement de l'entropie de la station i à la station 2 est donnée parl'expression

= s - s1 = C i'1.2

T0

11.3.3. Approximation parabolique de l'écoulement moyen:

La nature de l'écoulement que nous allons étudier satisfait lesconditions déjà décrites dans l'introduction pour l'utilisation d'une approximationparabolique. Nous allons alors négliger les termes diffusifs dans la directionque nous considérons faibles par rapport aux termes diffusifs dans la direction

Les dérivées de deuxième ordre selon ainsi que les dérivées mixtes serontéliminées. Nous n'avons pas, cependant, suivi la théorie d'une couche limiteclassique puisque nous conservons la deuxième équation de mouvement dans ladirection normale et l'hypothèse d'une pression constante dans la couche limiten'est pas a priori utilisée.

(2.49.b)

- 49 -

L'hypothèse d'uTì écoulement parabolique selcn donne un rôleprépondérant à cette direction qui devient privilégiée par rapport aux directions"?L et . Le choix correct de cette direction est donc essentiel si nous voulonsreproduire correctement les effets visqueux de l'écou1ement. La directionlongitudinale S associée à l'écoulement sain local pourrait être définie commetelle.

Après l'élimination des termes diffusifs selon l'équation (2.45)

prend la forme suivante

+A LY D1 (2.50)Re i

11.3.4. Nouvelles expressions des composantes de l'équation de quantité demouvement:

11.3.4.1. Traitement du terme de pression Dip:

L'équation (2.50) contient le terme D1 qui dépend d'une part de laforce de pression exercée par l'aubage sur le fluide D4 , d'atutre part de la forcedue aux tensions de cisaillement sur l'aubage D1 . Nous aillons rechercher uneformulation qui soit exempte du terme D1.

Dans leur méthode intégrale, COMTE 1371 et VOUILLARMET 1381 ontaussi cherché une équation ne contenant pas un terme de déficit de force quitraduit la variation de la force d'aubage à l'intérieur de lLa couche visqueuse.Dans ce but, ils ont utilisé une relation validée par l'expérience 1341 qui relie lacomposante axiale de ce déficit de force à la composante circonférentielle parl'intermédiaire de l'angle de la cambrure moyenne de l'aube Cette relation, quenous présentons plus bas, leur a permis, en combinant deux composantes del'équation de mouvement sous une forme intégrale, d'éliminer le terme du déficit

de force. Une démarche analogue a été suivie par MELLOR et WOOD 1131 et par

HORLOCK 1311.

si

Après la projection selon Ñ l'équation obtenue est la suivarte

, (pu3\1 /

#1'1N L

Re

- 50 -

Nous allons aboutir à un résultat analogue en suivant une procéduremathématique qui ne 'tait appel à aucune hypothèse. Noius projetons les troiscomposantes de l'équation de mouvement selon un vecteur )qui esttangent à la surface moyenne de l'aube. Puisque le vecteur de la force de lapressionD est normale à cette surface, le produit scalaire de celui-ci et duvecteur 4 sera nul et par conséquent

ç p - p ).( RG Ñ Ñ6) _ o (2.51)

L'équation de mouvemet alors projetée selon N ne -comporte plus leterme de force d'aubage qui dépend de la pression. Ceci es-t la généralisation aucas des aubages vrillés de l'expression utilisée par VOUILLARMET pour le déficitde force

- -c' 'equi à notre terminologie pourrait s'exprimer comme suit

R (U PÑ) -4-

f Ña)]

OÙ

+ -

frv N)]

(2.52)

- 4-Cr2»iJ

ÇD Ñ ± DiÑ+ £4t9Ñe)

- 51 -

et LÑ.5 4-

P1- Ñ # N - N9

'1Ñ + ÑFVieÑ

Nous pouvons trouver encore une équation indépendante analogue à

(2.52) en projetant l'équation de mouvement selon une direction i tangente à la

surface moyenne de l'aubage et normale à la direction Ni. Les vecteurs N et

seront déterminés en fonction de la géométrie de l'aubage. La nouvelle équation

selon L a une forme complètement analogue à celle de l'équation (2.52).

11.3.4.2. Utilisation d'une relation cinématique:

Dans le paragraphe 11.3.4.1., nous avons éliminé le terme de force

d'aubage de l'équation de quantité de mouvement. Dans les deux composantes de

cette équation selon et 1, seuls des termes de pression moyenne en G sont

alors conservés. Nous avons décidé d'utiliser une équation de transport de la

vorticité secondaire _(2 qui fait peu intervenir cette pression moyenne. Cette

équation nous permet de déterminer une composante de vitesse normale à

dans le plan ( , à partir de l'utilisation d'une fonction rotationnelle . Pour

le couplage du calcul de l'équation de quantité de mouvement et de l'équation de

la vorticité secondaire, deux voies sont possibles

Soit effectuer une résolution simultanée des systèmes (1) et (11) des

équations, définis dans le paragraphe 11.1. Dans ce cas, nous avons à

résoudre une équation vectorielle qui contient les équations des deux

systèmes.

Soit découpler le calcul des deux systèmes qui seront reliés par une

relation cinématique du type traitée dans le système

(I) des équations principales.

- 52 -

Nous avons décidé de suivre cette deuxième voie. La relationcinématique que nous allons utiliser permet donc le transfert des informationsassociées au caractère elliptique de l'écoulement dans le plan transversal (i3O)(calculé par le système (Il)) sur le champ moyenné selon (calculé par lesystème (I)). Nous allons ensuite présenter l'utilisation de cette relation dans lesystème vectoriel (I).

Dans la couche visqueuse, les composantes longitudinale kf5 ettransversale kJÑ de la vitesse sont liées aux composantes et 'A de lamanière suivante 39I

tf'Js = U. ± Lt9 SI'ljBe

(2.53)

-Lk St U csjSe

On peut en déduire

P ± 0 (2.54)Co5 /3

qui est la relation cinématique que nous allons utiliser. Nous l'introduirons dansla quatrième ligne du terme non conservatif N'1

Après les calculs, nous obtenons la forme finale de notre équationvectorielle qui est la suivante

'6RJ RF JM L ;&Re VL

(2.55)

où

tAl [ k) , kf ''../ o /T

F L F1 F2 O J F

G L c-, / o G lT

Lo / G G o / G Vç

=

F2

F

Cr2 =

VI2 Ñ 3 NR + Ñ

'"2 L .i- \AJ3 LR + L

+ t'J - Ñe

L f L F4 Le

- Ñ + N + G4 Ñ9

Ge, = Cr2 L + G3 L -t- L

Gv 4 Ñ i-

= L f L + Q4 Le

H2 2 N 4 Nt - R( ____ Ñe)

NIe R 'r-J.t-

Ñe)- R ( '2 + 4J

+ Re 4

- .( DiÑ

= +

- 53 -

et

- AJ F =

45 = F55 G5 G5

- R f + )R

+

+av-L 3vL

- ( D4L + 4Z LR f Le )

N-14 = - p-ee - CDS

- 54 -

11.4. CONCLUSIONS

Dans ce chapitre, nous avons présenté les équations initiales et leurtraitement mathématique qui nous a permis d'obtenir deux systèmes des équationsde base pour notre problème.

Le premier système contient les équations dans le plan longitudinal,moyennées selon la direction circonférentielle 9 . L'hypothèse d'un écoulementparabolique dans la direction longitudinale est utilisée. De plus, un traitementspecial de l'équation de quantité de mouvement a conduit à l'élimination duterme inconnu de force de la pression.

Le deuxième système contient les équations pour le calcul desinconnues sur le plan transversal. Des variables moyennées en O sont ici aussiconsidérées.

Les deux systèmes sont liés par une relation cinématique qui assure le

transfert des informations associées au caractère elliptique de l'écoulement dansle plan transversal sur le plan longitudinal.

Dans le chapitre qui suit, la méthode numérique utilisée pour larésolution des équations de base sera exposée.

CHAPITRE III

METHODE NUMERIQUE

- 57 -

111.1. INTRODUCTION

Dans le chapitre précédent, nous avons développé les équations quirégissent l'écoulement secondaire pour les amener à une forme adéquate pournotre cas. Nous avons créé deux systèmes d'équations dont le couplage nousdonnera la solution du problème étudié. Le premier système comprend l'équationvectorielle (2.55) écrite sous une forme faiblement conservative pour un systèmecurviligne ( , Ç), moyennée dans la direction S' et avec une diffusionlongitudinale négligée selon . L'équation de quantité de mouvement estprojetée selon deux directions et proprement choisies. Le deuxième systèmecomprend l'équation pour la vortiçjté secondaire et une équation de type Poissonpour le calcul de la fonction de courant et des vitesses transversales. Dansce chapitre, nous allons préciser le schéma numérique que nous utilisons pour larésolution de ces deux systèmes de équations.

L'équation vectorielle (2.55) dans le plan ( , i..)

bRk/ RF 6RG 1. RC- +jH= ORe V7

est non-linéaire. Pour sa résolution, nous allons suivre une procédure delinéarisation par rapport à un temps fictif utilisée habituellement lors de larésolution de systèmes non-linéaires d'équations différentielles ordinaires 198,991.

Pour effectuer cette linéarisation, nous introduisons tout d'abord un schéma dedifférentiation que nous appliquons à une discrétisation de l'équation en temps,et en calculant au passage les matrices Jacobiennes nécessaires à lalinéarisation.

Un schéma aux différences finies est appliqué sur les dérivéesspatiales pour tous les points intérieurs du maillage. L'équation (3.1) est ainsiremplacée par un système des équations discrétisées qui conduit à une matricetridiagonale par blocs, elle-même traitée à l'aide d'un algorithme adapté. Uneanalyse détaillée des conditions aux limites possibles et de leurs introductionsdans l'algorithme sont données. Enfin, une analyse de la stabilité de la méthodeest donnée.

Nous présentons ensuite le traitement numérique du deuxièmesystème des équations, dans le plan transversal. Pour l'équation de la vorticitésecondaire un schéma simple aux différences finies est uitlisé. Pour l'équation de

(3.1)

Poisson et le calcul des vitesses transversales nous avons utilisé, d'une part ledéveloppement en séries de Fourier dans la direction transversale, d'autre partdes schémas aux différences finies dans la direction normale qui nous donnent unsystème tridiagonal.

Différents schémas de couplage entre les deux systèmes deséquations dans le plan longitudinal et le plan transversal sont enfin proposés etleurs avantages ainsi que leurs inconvénients seront exposés.

1112. DISCRETISATION EN TEMPS - LINEARISATION PAR RAPPORT AUTEMPS DES EQUATIONS DANS LE PLAN LONGITUDINAL

La variable temporelle t est discrétisée comme t = n ¿\± où LIt estle pas dans le temps et = . La dérivée du vecteur desinconnues en temps peut s'écrire sous une forme générale de PADE utilisée parBEAM et WARMING ¡100! comme suit:

kJ

2 tJ

- 58 -

± ( -w--h-) (t) +où L est un opérateur des différences vers le futur,

V est un opérateur des différences vers le passé.

La comlinaison de différentes valeurs des paramètres J et e donnedes schémas des différents ordres d'approximation. Dans notre cas, nous allonsutiliser le schéma implicite trapézoïdal avec e = 1/2 et w = O qui donne desdifférences centrées autour du point temporel n + 1/2 avec deuxième ordred'approximation. En introduisant ces paramètres dans la formule (3.2), nousprenons

(3.2)

(t2) (3.3)

Si cette relation est introduite dans l'équation (3.1), la forme suIvante estobtenue

. ( 6RF1 ± ( bRF2

2('iRG (RG)1k z) Ç òi,/

4 42R\La présence des vecteurs non-linéaires F, G et M ne permet pas une

n 4-4

résolution directe de l'équation (3.4) pour calculer le vecteur inconnu Vi . Nous

procédons alors à une linéarisation de cette équation en utilisant un

développement en séries de Taylor autour d'un nouveau vecteur inconnu noté ici

et définit comme suit

-/(p,p,p,p91pE) / e, E

ou- T

Ceci nous permettra d'obtenir un schéma numérique de la même précisiontemporelle mais qui est en plus linéaire par rapport à

V 4-4

=+

/1

= F1 + 74t +

=G

- 59 -

2

I 6RGY

\ 2V 1

V)

t44-1)

(M4 + N1) (3.4)

+ (±1,'= o

f) + (t2)

cas compressible

cas incompressible

(3.5)

M+ + fn) +

V) 41

G

oi 5ÇJ, 3'' (etc/«' sont les matrices 3acobiennes de la linéarisationtemporelle définies ainsi

L)

- 60 -

= (î_ %) I (x I

et dont le calcul détaillé est donné à l'Annexe 2.

En introduisant les formules (3.5) dans l'équation (3.4), nous obtenonsl'équation suivante qui est linéaire en

bR?7+ 1fr() +

+ i}Re'vl

+ ±r2. j

(Y+ i1+

où Re5 'RF4 çTG .j '1RG, +Re

est le résidu obtenu à l'étape n. Sa valeur indique la précision atteinte à cetteétape par l'équation (3.1).

Remarques

Si le vecteur W est identique au vecteur des inconnues (cas d'unécoulement bidimensionnel), la matrice 3acobienne est réduite à

la matrice unité I.

La dérivation spatiale dans l'équation (3.6) s'applique tant au matrices3acobiennes qu'au vecteur des inconnues

(3.6)

7 - ¿-E Res

bRzY

L

Re

Dans l'équation (3.6), on peut noter que les coefficients matriciaux.44

des vecteurs /t et /4 sont identiques. Par conséquent, nous pouvons écrirel'équation sous une autre forme plus compacte appelée 'formulation delta" quiutilise comme nouvelle inconnue la variation temporelle =,/l Nous

obtenons alors la forme suivante

R+ f)

- 61 -

(3.7)

e) Il y a une possibilité d'appliquer différentes discrétisations spatialesdans le nombre de droite et dans celui de gauche de l'équation (3.7) en

vue d'améliorer la propriété de convergence de la solution sans quecela perturbe, au moins en pratique, la solution stationnaire.

Re (6R) ± = ±. es

Les avantages de l'équation ci-dessus sous forme delta par rapport à

l'équation (3.6) pour les méthodes implicites ont été étudiés en détail par BEAM

et WARMING 11001. Nous les mentionnons ici brièvement.

A la convergence, l'état stationnaire qui a été atteint

2RG i + =0

est indépendant de la grandeur du pas temprel L ± puisque levecteur variable 0. Pour une méthode à pas fractionnaires, aucontraire, dans certains cas, la solution stationnaire dépend de

Si les conditions aux limites sont de type Dirichiet, elles peuvent être

facilement introduites dans l'algorithme en mettant 41limites = 0.

La forme delta demande moins d'opérations que la forme classique.

L'utilisation de formule de PADE (3.2) pour la différenciation entemps conduit à une dérivation immédiate de l'algorithme à cause dela commutativité des dérivations en temps et en espace.

HL3. CHOIX DU MAILLAGE - DISCRETISATION SPATIALE DE L'EQUATIONVECTORIELLE

¡Dans ce paragraphe, nous allons exposer le type du maillage utilisé et

présenter la discrétisation de l'équation (3.7).

Pour remplacer les dérivées de l'équation (3.7) par des différencesfinies, nous établissons un maillage sur lequel nous allons discrétiser cetteéquation. La précision de la solution calculée dépend souvent du choix dumaillage notamment dans des régions où des gradients importants des inconnues

existent. Dans ces régions, l'utilisation d'un maillage non uniforme, dense, peutaméliorer la solution.

Deux sortes de maillage non uniforme existent pour le calcul descouches limites. ¡Dans la première, le domaine de calcul est divisé en plusieurs

régions avec un maillage uniforme sur chacune mais à pas différents entreelles 541. Dans la deuxième, la densité du maillage évolue continuellement de

manière analogue à l'évolution de la vitesse 87,l0l1.

ROBERTS 1101! a proposé une transformation analytique des

coordonnées qui introduit un maillage non-uniforme. Elle est donnée par laformule suivante

= N+ (N-1)/9e»

- 62 -

cl - - y)cz *(YNY)c. + >"Ñ

(3.8)

Voù Q-2

"N

1Yo-

YN

Yo- l'épaisseur de la région où des gradients forts existent;

N le nombre de points du maillage dans la direction Y.

- 63 -

Si l'équation (3.8) est résolue par rapport à Y, nous trouvoins pour la coordonnée

initiale la relation suivante

RCYÌ) =(#y).LoA +

(3.9)+ i

oùN-i

Nous avons appliqué la formule (3.9) pour générer notre maillage.Différentes valeurs de Y0- ont été testées et l'influence d'un maillage fin prèsde la paroi sur la solution a ainsi été constatée.

Pour la résolution numérique de l'équation (3.7) nous approchons lesdérivées spatiales par des différences finies écrites entre les noeuds du maillage.

L'approximation parabolique utilisée lors de l'écriture des équationsnous permet de réaliser une première discrétisation selon la direction . Nous

obtenons alors une équation portant sur la correction de la solution dans lenouveau plan (i + 1) à constant et dépendant de la solution en (i). Si nousconsidérons l'équation (3.7), écrite autour d'un point (i + 1/2), et nous remplaçons

la dérivée selon par une différence centrée de précision de deuxième ordre,nous obtenons la forme suivante

f2

(3.10)

V'

4= Res.+L

ou =I. 4.

- 64 -

+ rz j

Nous recherchons la solution stationnaire de l'équation (3.10). Dans cecas, le temps ¿E n'a pas le caractère d'un temps physique -comme ce serait lecas pour le traitement d'un écoulement instationnaire- mais il représente un pasde calcul numérique. A la convergence au pas n de ce temps fictif, la solutionstationnaire de notre problème sera . En plus, et par conséquent

= 0. Nous avons déjà noté que l'hypothèse d'un écoulement parabolique dansla direction s'exprime par le f ait que le vecteur des inconnues au point (i + 1)

ne dépend que des valeurs des variaoles au pas précédent (i) déjà calculées. Dansce plan, puisque la solution a convergé, nous avons 0.

Supposons que nous ayons calculé au pas (i + 1) le vecteur entemps n et nous recherchons le vecteur iy'1 =,/t' -/t parl'équation (3.10). Le memore de droite de cette équation est calculé en fonctiondes valeurs du vecteur et caractérise le résidu de l'équation au pastemporel n. Dans le membre de gauche, l'opérateur sera approché

appliqués aux points (i)

Or O et la relation ci-dessus se réduit à

o.-' ¿.. ,,'..-. ¿.4e

LR +J ¿4.4/Re 3r

est un opérateur appliqué au vecteur au point (i + 1/2)

Res - (6RF)Let Lr

( 6RG 1. + jM)YÌ.

linéairement en fonction des opérateurs et..4 4

et (i + I).

2 2

L+

+ jbMi"

- 65 -

En introduisant cette relation dans l'équation (3.10), nous obtenons le schéma

suivant

f

¿ (6R)2

(±j2 2 ;

+.{ RG1 1

- Re 'tRG L RG ± j6M]

2 2 ¿

(3.11)

Cette équation représente le schéma de base de notre calcul. Nousallons ensuite discrétiser les dérivées selon la direction en utilisant des

formules d'approximation qui nous conduisent au traitement d'un système

tridiagonal par blocs pour la résolution duquel des méthodes efficaces existent.

Les dérivées des termes convectif s au point (j) pour le résidu serontapprochées par différences centrées qui font intervenir les variables aux points

(j + 1) et (j - 1). Pour le premier membre de l'équation (3.11), des différencesdécentrées pour ces termes pourront être utilisées. Les termes diffusif s, écritsaux points (j + 1/2) et (j - 1/2), seront approchés par différences centrées qui font

intervenir les variables aux points (j - 1), (j) et (j + 1) Après la discrétisation des

dérivées selon la direction Y de la façon décrite dessus, l'équation (111.1) prend

la forme suivante

j.(b)44,

z

- 66 -

t2 2

± L (6R 4,j44 -2 2

( bR 1: (6 R2 2 1 v1-

(b F= _±.1

L Ç 6R G') i4.4, H - (b2

i (Re. 2.

4

2 R

44,j

6 G: ) -

(6 (b R) , (b RGTM)

2 2

(bG: )L,j4-f ( )i,3-»2

L,e membre de gauche de (3.12) ne contient que des variables aupoint (i + 1) et pour simplification nous allons supprimer l'indice (i + 1). On peutnoter aussi que dans le membre de droite, ce résidu se compose de deux parties.L'une fixe qui comprend les variables au point (i) et ne change pas avec lesitérations; l'autre écrite au point (i + 1) qui varie à chaque itération en temps;nous écrivons par conséquent

'1

= R1 C ì4 1 ) R. (i)

(3.12)

(bM).. i/L) I

2 J

GV)=

- 67 -

L'équation (3.12) est une équation matricielle tridiagonale. Les

détails de l'analyse qui suit sont donnés dans l'Annexe 3.

Les matrices Jacobiennes des termes diffusif s Vj contiennent des

dérivées des variables dans la direction 7 multipliées par les métriques de latransformation. La différence de ces matrices entre les points (j + 1/2) et (j -1/2) peut s'exprimer de la façon suivante

/ - (".. ,Ç ' í

+ ()1V1f .ii

où la partie du terme GV au point (K)

avec ¿ = (11, 0, 1) pour K = (j - 1 j, j + 1) respectivement.

La matrice associée au terme non conservatif contientégalement des dérivées selon ? qui font apparaître les variables aux points (j -

1),(j) et (j + 1). De façon analogue à celle utilisée pour la matrice nous

ecrirons

H=

= f)J4 + +

où c/k)1a partie du terme H au point (K).

(3.13.a)

(3.13.b)

En introduisant les relations (3.13) dans l'équation (3.12) le schéma

suivant est obtenu

f RY'1 + Z.± R".L

2. 2.1

+ ( )J+4 - (6R2 4

(6r'4:4r)4, --(6R($)j -2 Pe

(67)3,2. 2

= - ¿±. Resi

qui après le réarrangement des termes nous donne la forme finale tridiagonalepar blocs au point (j)

E A1 J ¿y + L BJI,J Lc37z= RS (3.15)

où les coefficients matriciaux sont donnés par les formules suivantes

-68-

+ (4)('4Th-4

(6R 7')J44 (6R Ç4, )4jv 2''2

[BJ} z± f (R)1Z 2E

(R-:) (4)j2 2

(3.14)

4-j

(3.16)

Ici) r ( R 9fl)j) (64

J

2 1 4Lv 2 2 j

i[A3 2

Dans certains cas, par suite de problèmes de stabilité numérique dont

nous parlerons dans un prochain paragraphe, nous approcherons la dérivée selon

du terme convectif 9 par une différence décentrée en arrière. Dans ce cas,l'équation discrétisée est légèrement différente de l'équation (3.12) et également

les matrices IAI IBI et ICÌ de l'équation (3.16).

[ A - ' +. '-' i

2 2x Re 2vl 2 J

IBji = ( ?7,)

Z 2 2LvL(3.17)

___i_ +2 2

- 69 -

- r (6R: « (bC )2 1 Re 2i 2

Si nous étudions un écoulement adiabatique à enthalpie d'arrêt

constante et uniforme dans le domaine de calcul, nous utilisons une forme

stationnaire de l'équation de l'enthalpie, et les matrices de résolution AI, BI, ICI

sont de dimensions (4 x 4). Pour le cas d'un écoulement non adiabatique où une

inconnue supplémentaire existe, une forme instationnaire de l'équation pourl'énergie doit être utilisée, et les matrices de résolution sont de

dimension (5 x 5).

Pour chaque point intérieur du maillage de j = 2 à = N - 1, une

équation matricielle de type (3.15) doit être écrite. Pour les points j 1 et j = N

des conditions aux limites seront imposées; nous les décrirons dans la suite. En

regroupant les équations (3.15) pour tous les points intérieurs du maillage de j = 2

et i = N - 1, la forme globale de notre système tridiagonal par blocs pour le pas

(i+1 ) peut être obtenue.

{B2} [c2}

(AS]fbJ fc3]

- 70 -

f B, J (CNJ

4ï2

Z73

-

(3.18)

S3

Après Cette analyse qui nous a donné le schéma de résolution (3.18), nousrécapitulons le processus de calcul que nous allons suivre dans le planlongitudinal ( ,rz ).

- 71 -

La solution au pas (i) pour tous les points du maillage (j) dans la

direction connue, nous cherchons la solution/i44, au pas (i + 1).

Nous supposons pour la première itération =/ . La partie du

résidu à (i + 1) est calculée avec les valeurs et les métriques

calculées à (i+i ).

Le schéma discrétisé (3.18) nous donne un système tridiagonal parblocs à résoudre. A l'itération (n), il faut calculer le vecteurpour tous les points dans la direction "? . La méthode numérique de la

résolution sera exposée plus bas.

Après avoir calculé le vecteur des inconnues pour l'itération

(n+i ) est obtenu par

744,j +

Le résidu est déterminé à partir des nouvelles valeurs

Cette procédure est répétée jusqu'à la convergence où O, qui

nous donne la solution au pas (i+ ) et nous avançons au

prochain pas (i 2) jusqu'à l'extrémité de la zone de calcul.

111.4. ALGORITHME DE LA RESOLUTION

Dans ce paragraphe, la méthode numérique utilisée dans la résolution

de l'équation (3.18) sera exposée. Pour l'inversion de la matrice tridiagonale parblocs de cette équation, nous utiliserons une méthode de récurrence souvent

connue sous le nom d' "algorithme de Thomas". Elle est une technique efficace

d'élimination Gauss dont l'application à des problèmes divers a été donnée parROACI-LE lO2I et YANENKO 11031.

La formule de récurrence pour un point j du maillage est

(3.19)

- 72 -

En introduisant la relation (3.19) écrite au point (j - 1) dansl'équation (3.15), nous obtenons l'équation suivante

([A][ x4] + [B1 )L + [c1JA = - L]qui après sa résolution par rapport à donne

= - ([A]L x1] + L ]) [Cj] LJI(3.20)

+({Jf X] + [ß] )(Rs1 - [A

En comparant les expressions (3.19) et (3.20), nous en déduisons

= -( [A1J[X1 ] + [11)'k3]

3. = (LAJ1[XJ [B)'(Rs-[A] -\fI. ) (3.21)

Les coefficients matriciaux L Xj J et > pour j 2 ne seront pascalculés par les formules de récurrence (3.21) mais directement à partir del'équation (3.15) écrite à j = 2 dans laquelle les conditions aux limites à j 1 sontintroduites.

Les différentes étapes de l'algorithme pour la résolution du

sytème (111.10) sont résumées ci-après.

Nous calculons les coefficients [)1 et '>Ç à j = 2 en utilisantl'équation (3.15) et les conditions aux limites sur la paroi j = 1.

Les coefficients f. >Ç J et avec les formules (3.21) de j = 3 à j = N -

2 ou j = N - 1 sont obtenus. Le choix entre j = N - 1 et j = N - 2

dépend des conditions aux limites sur la frontière extérieure j = N.

- 73 -

Si des conditions Neumann sont utilisées à = N, les L >(] etsont calculés jusqu'à j N - 2. Le vecteur est calculé par unerelation (présentée dans le paragraphe 111.5.1.) résultant de lacombinaison de l'équation matricielle (3.15) écrite à j = N - I où lesconditions aux limites à j = N sont introduites et de la relation derécurrence (3.19) entre 4ç, et Lji. Si des conditions Dirichletsont utilisées à j = N, les coefficients LXJI et Y. sont calculésjusqu'à j = N - 1. Le vecteur est alors calculé directement parla formule (3.19).

Le vecteur est calculé de j = N - 2 à j = 2 en descendant dans lacouche limite de l'extérieur vers la paroi, par la formule derécurrence (3.19).

Cet algorithme de la résolution du système (3.18) est introduit dansl'étape (3) du processus général de la résolution du problème dans le planlongitudinal pour chaque pas (i).

ffl.5 INTRODUCTION DES CONDITIONS AUX LIMITES DANS L'ALGORITHME

DE LA RESOLUTION

Dans ce paragraphe, les conditions aux limites seront présentées ainsique leur introduction dans l'algorithme de résolution. Les conditions utiliséessont issues soit d'un choix arbitraire mais qui est justifié par la physique del'écoulement, soit de l'application directe des équations sur les frontières. Nousexaminons séparément le cas d'un écoulement incompressible et celui d'unécoulement compressible puisque les variables sont un peu différentes dans lesdeux cas.

111.5.1. Ecoulement incompressible:

A) Conditions sur la paroi:

Pour un écoulement visqueux sur une paroi imperméable, la conditionde non-glissement sur la paroi donne u=A-_4= O. Il faut imposer une condition

supplémentaire pour la quatrième variable indépendante qui est la pression.Celle-ci ne peut être choisie arbitrairement mais elle doit satisfaire les

équations de Navier-Stokes sur la paroi. Dans ce paragrapte, un inventaire des

- 74 -

conditions à la paroi pour la pression sera exposé. PULLIAM et STEGER 1911ont donné une expression pour le gradient de la pression dans la directionnormale à la paroi en combinant les trois composantes de l'équation demouvement dans le domaine transformé. Cette expression pour un écoulementtridimensionnel, non visqueux, est la suivante

P(; V?: f V?; ) = R'2 )p

+(vv+vt)p

= - pUf f( R) + V?6 (Q)J

où (n ) est la direction normale à la paroi sur le domaine physique et = ct estla direction sur laquelle la surface est transformée dans le nouveau système.Pour un écoulement visqueux, la même expression a été proposée avec lacondition pour les vitesses controvariantes sur la paroi U = V = W = O. Cetteexpression devient

1D (v) + : )12+ ee )p

(3.23)+ ( ) o

Pour un écoulement moyenné dans la direction '' comme dans notre cas, larelation ci-dessus donne

(3.22)

P (V? + V?)2 = ( V? ) (; V? ) p = o (3.24)

qui est équivalente à la condition suivante

o (3.24.a)

L.

Re 2»i

- 75 -

Les expressions (3.23), et aussi (3.24.a) qui en est déduite, sont une

approximation dans laquelle les termes visqueux des trois composantes de

l'ér'uation de mDuvement ont été négligés. Pour un écoulement de type couche

limite à un nombre de Reynolds élevé, l'approximation (3.24.a) p/v2 = O est

bonne et elle a été souvent utilisée comme condition pour la pression sur la

paroi 59 661.

Une approche plus correcte serait d'utiliser une expression analogue

à (3.23) qui en plus contient les termes visqueux. Pour un système ( , , non

orthogonal aux frontières, l'expression correspondante est assez compliquée.

Nous faisons alors l'hypothèse que-.la direction v est normale à la paroi (et par

conséquent elle est supposée coïncider avec la direction n sur la paroi). Dans ce

cas, nous pouvons utiliser directement la deuxième composante de l'équation de

mouvement écrite sur la paroi pour le calcul du gradient de la pression sur ce

point.

Dans le cas d'un système transformé, cette composante écrite sur la

paroi donne

)±i L(1l F'1 'JPI

\ 22()] 4 D(R)JJJ(R\

(3.25)

La discrétisation du membre de droite de l'expression (3.25) demande l'utilisation

des différences décentrées en amont de précision de premier ordre, pour

l'approximation des dérivées de deuxième ordre dans la direction . Pour un

écoulement à nombre de Reynolds élevé, nous pouvons considérer que les termes

de droite de (3.25) sont faibles et nous retrouvons la relation (3.24a) ap/ai= O.

Une autre possibilité pour calculer la pression sur la paroi est

d'utiliser l'équation de continuité comme elle est écrite dans le

paragraphe (11.2.2.) par la méthode de la compressibilité artificielle

2VL

- 76 -

En appliquant la formule trapézoidale dans l'équation ci-dessus, nous avons

+ i3(6RF)4 (Rc), J_o21

Après avoir introduit les formules

F44 = +

G4 = +

dans cette équation et avoir remplacé ,G1 par ses expressions, nous.obtenons une nouvelle forme de l'équation de continuité qui, écrite sur la paroi,donne une condition pour la pression

zt i 2(bR)3 J

(3.26)

3VL

Cette expression est sous une forme implicite compatible avec la formeimplicite de l'algorithme. Une autre expression simplifiée pour la pression sur laparoi est celle déduite de la continuité mais écrite sous une forme explicite

(6R;) i3 V? 3vL

J

(3.27)

On peut remarquer que la relation explicite (3.27) peut être directement déduitede la relation (3.26) si les deux termes implicites du premier membre sontsupprimés. L'utilisation d'une condition explicite (3.27) pour le calcul de lapression sur la paroi peut conduire à des oscillations fortes et même à ladivergence dans certains cas 166L

s 4 ?ou cx( -z

L e +

où L81 = { D]

- 77 -

Nous avons trouvé jusqu'ici quatre expressions possibles pour le calcul

de la pression sur la paroi, soient (3.24), (3.25), (3.26) et (3.27) en utilisant soitl'équation de mouvement, soit l'équation de continuité sur la paroi. Nous allonsmontrer ensuite corn ment ces conditions peuvent s'introduire dans l'algorithme

qui a été présenté.

i) Gradient de pression nul sur la paroi (équation (3.24)):

En supposant un système orthogonal aux limites et les lignes?

= ct

normales à la paroi, nous avons -i. v = 0 et l'expression (3.24) donne

(3.28)

Pour la discrétisation de la relation (3.28), une formule en trois points

d'approximation au deuxième ordre sera utilisée

=02

et après arrangement des termes

zJ;1 +O(3Zp (3.29)

et O(3

En introduisant l'expression (3.29) dans l'équation matricielle (3.15) et après lecalcul, la relation suivante est obtenue

d = b1 L=2

= C L = 3

- L 23

(3.30)

a<44+ d44 d4a

cKL a2 * d,

cx..3 + cL

c4

d

«22

d3

d

cJ34

ccJX4 + d d4 d43 cJ44

et [c' ={D3]

- 78 -

et afl., b , sont les éléments des matrices A2I, 1B21, IC2 del'équation (3.15).

En résolvant l'équation (3.30) par rapport à ¿ij et en comparant lerésultat avec la formule (111.19) nous pouvons calculer les coefficients L XL J et

[X1 = - [ B f c; J

(3.31)

Gradient de la pression sur la paroi qui prend en compte les termesvisqueux (expression (3.25))

L'utilisation de l'expression (3.25) donne une forme similaire pour[xj et > mais les matrices s'en déduisant sont plus compliquées. Pour ladiscrétisatjon des dérivées de deuxième ordre du membre de droite, nous utilisonsune formule à trois points décentrée vers l'intérieur du domaine, de précision depremier ordre. L'utilisation de cette formule est basée sur l'hypothèse que laprécision globale d'un schéma de deuxième ordre est conservée si desapproximations de premier ordre sont appliquées sur les limites 104I. Après ladiscrétisation, une expression pour la pression sur la paroi est obtenue, du type

= + +

qui, introduite dans l'équation (3.15) et après les calculs, donne les coefficientsde récurrence L)ÇJet >

Pression sur la paroi par la continuité implicite (expression (3.26)):

En utilisant l'expression (3.26), nous obtenons après la discrétisationune formule analogue à (3.32) mais où apparaissent des termes de résidu quidépendent de l'itération précédente.

= 6 zi g ¿:J (3.33)

2 + y Ai + k (Rs4 )

(3.32)

[CJA/3

Si cette expression est introduite dans l'équation (3.15), elle donne

4

= [D2j

- 79 -

et {c' J = [ Dj

/ - [ k(RS,) 21k(s4 ) a3k(Rs, ) kCRS1) J2.

pour i = 2, dcÇe pour i = 3.

Les coefficients de récurrence sont

xj _[&J Lcr'](3.35)

iv) Pression sur la paroi par la continuité explicite (expression (3.27)):

Dans ce cas simplifié du cas précédent, la pression sur la paroi est

donnée par la formule

- k ( RS ). (3.36)

et les coefficients de récurrence par les formules

[xj = - I [c(3.37)

=

(3.34)

d44 ea42. 4-cL d

[DL d2 d ya 4d3 d2

d + c2_ aJcS d4

d4 d42. 'a4+d43 d44

de la pression sont connues. Nouscoefficients de récurrence LXJ etj = N - 1. La formule de récurrence (3.les conditions mentionnées,

B) Conditions sur la frontière extérieure du domaine:

Nous distinguons deux cas de conditions pour la frontière extérieure.Dans le premier, toutes les conditions imposées sont de type Dirichlet tandis que,dans le deuxième, nous traitons simultanément des conditions Dirichiet ainsi quedes conditions Neumann.

i) Conditions Dirichlet:

Dans ce cas, les trois composantes de vitesse ainsi que la distribution

puisque

R )

- 80 -

avons alors = = ¿ ¿= O. Les'Y doivent être calculés jusqu'au point

19) donne alors, après avoir pris en compte

Y4

En connaissant maintenant ¿2I/Ç. et en utilisant la formule (3.19), nous pouvonsen descendant le maillage de j = N - 2 à j 2 calculer les vecteurs pour cespoints.

ii) Combinaison de conditions Dirichiet et conditions Neumann:

Nous imposons des conditions Dirichlet pour les composantes U et--e et pour la pression et une condition Neumann pour la composante normaleU. Cette condition est trouvée à partir de l'équation de continuité écrite au

bord extérieur au point N

4-L4l/,Ñ

En appliquant l'opérateur en temps et tenant compte de ¿U-i 0nous obtenons

+

(3.38)

où

où

kN-a =

- 81 -

Pour la discrétisation de celle-ci, nous utilisons une différence centrée aupoint (r "i) dans la direction , et des différences en trois points en arrière aupoint (N) selon la direction 'l . Après la discrétisation et le réarrangement destermes, il vient

= kN, L' + kÑ2 N- (3.39)

(____ .

3 3 ¿ v1

L (4 Rj ±3 \\3 ¿

-p(f A4[x2] + 1)( RSÑ([A' i yN-. N- /

L AÇ, { D2 I et f a'.] L r- Jkc4 d44

k, C2 c124

K C,, j,4

kC4 d44

L

(3.41)

d ci d4 +

d, d?.z d2 +

ci d32 d33 -

d d4 d4 +

d = pouri=N-2; b pouri=N-1

Dans ce cas, les coefficients de récurrence L > I et > doivent être calculésjusqu'au point j = N - 2. Avec l'expression (3.41), nous calculons le vecteur

et ensuite, en utilisant la formule de récurrence (3.19), nous calculons le

vecteur en descendant le maillage de j = N - 2 à j = 2.

Si l'expression (3.39) est introduite dans l'équation (3.15) écrite au point (N - 1),la forme suivante est obtenue

[A'N, i -L + [B,] Ñ-i = (3.40)

En introduisant celle-ci dans la formule de récurrence (3.19) écrite à j = N - 2,

nous obtenons une expression pour le vecteur

- 82 -

111.5.2. Ecoulement compressible:

A) Conditions sur la paroi

Pour un écoulement compressible visqueux, la condition de non-glissement sur la paroi impose U=L& L&e = O. Il reste deux variables pourlesquelles des conditions doivent être imposées, la masse volumique p etl'énergie interne d'arrêt E. En plus, la pression sur la paroi doit être connue pourle calcul du gradient 3p/ au deuxième point du maillage. Par conséquent, nousdevons calculer la pression sur la paroi même si celle-ci n'est pas une desvariables principales.

La température statique et la pression statique sont obtenues enfonction de la vitesse, de l'énergie et de la masse volumique par les formulessuivan tes

T 1 +(a)

P cv

(3.42)

= ({).fJ

()2P

Une relation entre la pression et l'énergie interne d'arrêt peut être déduite del'expression (3.42.b) écrite sur la paroi avec = = ¿ = O.

= 2E (3.43)( )

où E=Ek=E

Pour le calcul du gradient de la pression, nous pouvons utiliser les expressions(3.24.a) ou (3.25) utilisées pour un écoulement incompressible.

avec o( -z-

- 83 -

i) Gradient de pression nul sur la paroi (équation (3.24)):

Dans ce cas, l'équation (3.43) donne Ef2i= O et en utilisant uneformule à trois points décentrée vers l'intérieur, nous obtenons

aLEz +o<,LE3 (3.44)

où et

Pour une paroi adiabatique, nous avons = 0. Cette relation encombinaison avec la relation (3.24.a) et l'équation d'état d1un gaz parfait donne

p / 'i. = O qui, après la discrétisation avec une formule en trois points,fournit une expression pour ¿1E sur la paroi

ZJ4 - + O3 (3.45)

=----3 3

-J-.,

( oI 4 ± 3 P3

+ + 63A3 + i- y3 ¿'13

En introduisant les expressions (3.44) et (3.45) dans l'équation (3.15)et après les calculs, nous obtenons une relation de même forme que (3.30). Encomparant celle-ci avec la formule de récurrence (3.19), nous trouvons lescoefficients L)Ç J et >"2 qui ont la même forme que (3.3H.

ii) Gradient de pression sur la paroi qui prend compte les termesvisqueux (expression (3.25))

L'utilisation des différences décentrées en aval pour la discrétisationdes dérivées de second ordre de l'équation (3.25) donne la relation

Pour le calcul du membre de gauche de cette relation, l'expression (3.42.b) écritesur la paroi sera utilisée. Après introduction de cette expression dans la relationci-dessus, la discrétisation nous fournit

+ O + D< ¿ + 2 + (3.46)

+ + ¿V3 + 4- ¿ jE + - O

(-3

L

2M

E

- 84 -

Cette expression comprend les deux inconnues et . Une relätion entreLip4 et E1 est encore nécessaire.

Pour une paroi adiabatique avec la condition de non-glissement sur laparoi, la formule (3.42.a) donne

ou en introduisant l'opérateur temporel nous avons

Si nous utilisons une formule de trois points en avant poir la discrétisation del'expression (3.48), nous obtenons

PI 4.P p ii

-( L)3

=0

E -P z

(3.47)

(3.48)

(3.49)

=0Les équations (3.46) et (3.49) forment un système de deux équations

avec deux inconnues Li et . En le résolvant et en introduisant la solutiondans l'équation (3.15), nous obtenons une équation similaire à (3.30) et qui, aprèscalculs, nous permet d'obtenir les coefficients Lx et )Ç qui ont la mêmeforme que ceux de (3.31).

B) Conditions sur la frontière extérieure du domaine

Pour un écoulement compressible, comme dans un écoulementincompressible, nous distinguons deux cas. Dans le premier, des conditionsDirichlet seulement peuvent être imposées tandis qu'au deuxième des conditionsmixtes Neumann et Dirichiet peuvent être utilisées. Pour un écoulementcompressible, la distribution de la masse volumique et de l'énergie d'arrêt ouleurs gradients doivent être donnés sur la frontière extérieure.

Si des conditions Dirichiet sont utilisées pour p , p , , Lk9 et E etcondition Neumann pour sur la frontière extérieure, 'les équations obtenuesont exactement la même forme que celles utilisées dans le cas d'un écoulementincompressible.

- 85 -

ffl.5.3. Résumé des conditions aux limites utilisées en pratique dans leprésent calcul:

Ecoulement incompressible:

Sur la paroi, la condition de non-glissement a été imposéeU Lke = O. Pour la pression, la condition (3.24) d'un gradient nul a été

utilisée pour tous les cas calculés. Cette condition pour un maillage orthogonalsur la paroi conduit à la relatin (3.28)

qui a été introduite dans l'algorithme. Dans le cas d'un écoulement laminaire,bidimensionnel, la relation (3.27) qui donne la variation temporelle de la pressionsur la paroi par la continuité explicite a aussi été testée avec succès.

Sur la frontière extérieure, des conditions Dirichiet ont été donnéespour les composantes L'1 et L'&e de la vitesse et pour la pression p,, . Pour lacomposante normale L de la vitesse, le gradient de sa variation temporelleobtenu par la continuité écrite sur cette frontière a été imposé

R

Ecoulement compressible:

Dans ce cas, nous avons fait l'hypothèse d'une enthalpie d'arrêtconstante, uniforme partout sur le domaine 1-La = CTc. = ct. Par conséquent,

l'équation instationnaire pour l'énergie n'a pas été utilisée.

Sur la paroi, la condition de non-glissement a imposé ==u.,9= O.Pour la pression, la condition (3.28) d'un gradient nul sur la paroi a été choisie.Pour une paroi adiabatique, il s'en déduit

v11

Sur la frontière extérieure, la distribution de -e et de lapression p a été donnée. Pour la composante Ui,. la même condition Neumannque pour un écoulement incompressible a été utilisée. La masse volumique surcette frontière a été calculée par une équation de gaz parfait et elle a étéimposée comme condition Dirichlet.

HI.6. ANALYSE DE STABILITE

Une méthode numérique implicite a été présentée dans lesparagraphes précédents pour la résolution des équations développées. Lesschémas implicites sont théoriquement inconditionnellement stables. Au

contraire, pour les schémas explicites, le pas d'intégration en temps se limite àde petites valeurs par suite de problèmes numériques liés à la stabilité. Dans lapratique, cependant, même pour les schémas implicites, le pas temporel n'est pasillimité et les conditions de stabilité, liant divers paramètres intervenant dans larésolution, peuvent servir d'indicateurs. -

Dans ce paragraphe, une brève référence à la théorie inéaire destabilité sera présentée, ce qui permettra d'évaluer les possibilités et leslimitations de point de vue numérique de la méthode développée. Une analyseclaire de stabilité des différents schémas explicites et implicites a été effectuéepar PEYRET et TAYLOR 1731. Des travaux importants sur l'application de lathéorie de stabilité sur les écoulements visqueux et non-visqueux ont aussi étéréalisés par BEAM et WARMING I100,105,106,107,l08,l091 etMac CORMACK I 110,111,1121. Nous allons en mentionner les principes de base.

111.6.1. Schémas explicites centrés:

i) Cas d'une équation linéaire:

Considérons tout d'abord une équation de convection-diffusionparabolique, monodi mensionnelle et linéaire

- 86 -

où Act et

Si des différences spatiales centrées sont utilisées pour la discrétisation, cetteéquation peut être approchée par le schéma suivant.

- _J_4V2x

- 2Jr¿x2.

(3.50)

=0 (3.51)

L'analyse linéaire de stabilité de type Von Newmann (développement en série deFourier) montre que, pour que le schéma explicite (3.51) soit stable, lesconditions suivantes doivent être satisfaites 173L

avec ¿Xx -

ii) Cas d'une équation non-linéaire:

Examinons maintenant le cas d'une équation monodimensionnelleparabolique non-linéaire du type des équations de Navier--Stokes

kf F(J) »xa

= (3.56.a)

- 87 -

et 2t

+ A C4 - -2x 2y

(3.52)

Nous considérons maintenant une équation linéaire, parabolique etbidimensionnelle

)) 72W = 0 (3.53)

La discrétisation de cette équation par des différences finies centrées dans lesdeux directions donne le schéma

(3.54)

Ce schéma de précision de premier ordre en temps et de deuxième ordre enespace doit satisfaire les conditions suivantes d'après PEYRET et TAYLOR 1731

4),)

((Al IB)Z e¿x2.

(3.55)

et le cas dtune équation hyperboliqe non-linéaire du type des équations d'Euler

4

2Xz

Quand )) est très petit, la solution de (3.56.a) a le même comportement que lasolution de (3.56.b) pour les régions éloignées de limites solides. En général, les

méthodes pour la résolution de (3.56.a) sont des extensions des méthodes pour larésolution de (3.56.b). Une analyse pour la deuxième équation sera donc toutd'abord entreprise.

Equation (3.56.b):

En appliquant la formule trapézoidale autour du point temporel(n + 1/2) sur l'équation (3.56.b), elle devient

-- j ( 'F v) 'FCW)2

) - o

La procédure de linéarisation de la fonction ou du vecteur F, présentée dans leparagraphe (111.2)

4 A(n# w)

appliquée sur l'équation (3.57) et en utilisant une relation explicite

(Ai

donne l'équation ci-dessous

- 88 -

o

()jEn utilisant un schéma aux différences centrées autour du point (i) pour ladiscrétisation spatiale de cete équation, nous obtenons

- ¿± -2x

(3.58)

Ah,, .(FH - F) -L

4-

A - (F - F)]

(3.56.b)

- 89 -

Ce schéma est totalement conservatif de forme analogue à celle sous laquelle

nous avons discrétisé nos équations. L'analyse linéaire de stabilité impose que lacondition suivante soit satisfaite

Dans le cas où l'équation (3.56.b) est vectorielle, BEAM etWARMING IlO5, en considérant la matrice A constante pour pouvoir appliquer la

théorie linéaire de stabilité, ont remplacé l'équation (3.56.b) par un système deséquations

où les valeurs propres de la matrice A. La condition imposée par l'analyse

de stabilité est analogue à (3.59.a)

i

(3.59.a)

(3.59 'b)

Les expressions (3.59.a) et (3.59.b) sont connues sous le nom de critères de

courant - Friedrichs - Lewy (C.F.L.).

Equation (3.56.a):

Pour cette équation parabolique, discrétisée de façon analogue àcelle utilisée pour la discrétisation de l'équation hyperbolique (3.56.b), le pas en

temps imposé par la théorie de stabilité est

Nous examinons maintenant les cas de deux équations analogues aux

équations (3.56.a) et (3.56.b) mais bidimensionnelles.

Pour une équation non-linéaire, hyperbolique, bidimensionnelle

+F(W) + 'G(w) O9x

(3.60)

(3.61)

2 - O

- 90 -

la condition de stabilité est donnée ci-après

iIAL IBJ

où A=dF/iW et

Pour une équation non-linéaire, parabolique, bidimensionnelle

+ _) (363)Ex

l'analyse de stabilité impose, si ¿3 x = ¿1 y

'L

4J) ( AI IBI+c +'\ ¿x ¿:x /

Les équations de Navier-Stokes écrites sous une forme vectorielleadimensionnelle, analogue à l'équation (3.63)

-J - - -J

4- '' ') - O (3.65.a)' YJ

et transformées dans un nouveau système ( , "Z) prennent la forme

Pour cette équation transformée, approchée par un schéma aux différencescentrées, explicite KUTLER, CHACRAVARTHY et LOMBARD 1861 ont choisi lacondition suivante sur le pas en temps

L± L±A,LtB) (3.66)

'

j=o

(3.62)

(3.64)

(3.65.b)

- 91 -

où les pas L ± , L L sont déterminés par le critère C.F.L. sous la forme

FL (t t t. i i) t(3.66.a)

CFL ¿± L4cç( I2Bl, I2B1l,lJ )i

Les valeurs propres des matrices lacobiennes A = et = /sont données par les formules

k+ k, +vk.

23,4 k. + k, y k c ( k,t + k )L

où K les métriques et la vitesse locale du son.

Nous pouvons remarquer que, dans le critère de stabilité (3.66) pourl'équation (3.65.b), les termes dissipatif s n'interviennent pas. Cependant, pourl'équation analogue (3.63), la prise en compte de ces termes conduit à uncritère (3.64) qui est plus strict. Pour un écoulement laminaire, le terme de laviscosité est négligeable mais, pour un écoulement turbulent, il peut êtreimportant et modifier beaucoup la valeur de C.F.L. donnée par l'expression (3.64)

par rapport à celle fournie par (3.66).

111.6.2. Schémas explicites décentrés:

Des schémas explicites aux différences finies centrées pour lestermes convectifs ont été présentés jusqu'ici. Nous avons vu que, pour cesschémas, des pas temporels d'intégration très petits sont imposés par l'analyse destabilité. Pour traiter ce problème, des différences non centrées pour lesdérivées convectives de premier ordre ont été souvent utilisées ; une analyseapprofondie sur la stabilité des schémas décentrés, explicites ou implicites, a étéeffectuée par BEAM et WARMING 1100,105,1081 dont nous allons présenter lesprincipes. Considérons l'équation hyperbolique (3.56.b) écrite sous une forme non-

conservative

2\'J4 A2W o A=

AJ- vir A .I(-EL4 )(E)(C-1)J2X

- 92 -

La direction du décentrement est déterminée par le signe de A et ce choix peutse justifier par la théorie des lignes caractéristiques. La solution générale decette équation est de type .J=W(-At). La forme de la solution exacte resteconstante le long de la ligne caractéristique A±=cf: . Par conséquent, pour unpoint (x,E), l'information vient d'une direction caractérisée par la valeur de A.Alors, si A> O, l'information se propage dans la direction x> O, l'information sepropage dans la direction x < O et nous devons utiliser une différence décentréeen avant.

Si l'équation (3.56.b) est vectorielle, elle peut être remplacée par unsystème d'équations

+ (3.67)

où ç les valeurs propres de la matrice Jacooienne A.

L'analyse de stabilité effectuée par BEAM et WARMING lO8Imontre, pour un schéma décentré en arrière, qu'une condition nécessaire destabilité se traduit par des valeurs propres positives. Au contraire, dans lecas de décentrement en aval, il faut que toutes les valeurs propres 2k,< soientnégatives.

Les deux cas des différences décentrées peuvent être regroupées dansun seul schéma pour discrétiser l'équation parabolique (3.56.a)

-z+)ou E = signe (A). Pour ce schéma, PEYRET et TAYLOR, avec l'analyse en série

de Fourier, ont trouvé la condition suivante

(3.69)2+ iAj.(

(3.68)

Pour -' = 0, le critère (3.69) devient

-: -

ou autrement FL (A1 (3.70)

qui est moins strict que la condition (3.52) d'après PEYRET et TAYLOR 173L

La restriction sur le pas d'intégration peut donc être diminuée avecl'utilisation des schémas non centrés mais la précision de la discrétisatiorispatiale diminue sauf dans le cas d'utilisation des différences non centrées auxtrois points avec précision de deuxième ordre. Or, dans ce cas, les conditions auxlimites doivent être spécialement traitées comme YEE, BEAM etWARMING 1106i le suggèrent.

Pour l'équation bidirnensionnelle (3.53) un schéma décentré analogueà (3.68) est

- vñj

+A f (-).(f4 - - J2Lx I

B {(4-).(4i _) +(i+c8).( -wi)12i y

- o

2i/ +L

)AI + IBI

(3.71)

(3.72)

où = signe (A), signe (B).

La condition de stabilité est

I

i

¿Y

où P la vitesse locale du son qui traduit la contribution de lapression dans l'équation de quantité de mouvement.

111.6.3. Schémas implicites:

La limitation du pas en temps, quelques fois très restrictive,notamment pour des maillages denses pour les schémas explicites, a conduit àl'apparition des schémas implicites. Cependant, tous les schémas implicites nesont pas inconditionnellement stables 1731.

Examinons tout d'abord la discrétisation des équations hyperboliquesde type des équations d'Euler.

a) Cas des équations hyperboliques:

La forme générale d'un schéma implicite pour la discrétisation del'équation linéaire, hyperbolique (3.56.b) est

- 94 -

Mac CORMACK 11101 a utilisé pour la discrétisation des équations de

Navier-Stockes un schéma explicite, décentré avec les conditions de stabilitésuivantes

i:

(3.73)

4:14 (ic) At A2-1¿ (3.74)

2+

21'

2 2+

- 95 -

où &, peut désigner une différence centrée ou décentrée en amont ou en aval.

Si c( ) représente une différence centrée, le schéma ci-dessus estthéoriquement inconditionnellement stable pour o( > 1/2.

Mac CORMACK 11121 a utilisé un schéma implicite décentré enamont ou en aval en fonction du signe de A

( f A - \A/') crLi- ¿ix ¿Xx

(3.75)

où c-=o< (AI . Afin d'assurer une stabilité inconditionnelle, il a choisi pour leparamètre

T--- (i¿H: /

(3.76.a)

BEAM et WARMING 11001 ont testé la stabilité d'un schéma décentré

en amont pour la discrétisation spatiale de l'équation hyperbolique (3.56.b) sousforme vectorielle, pour différentes discrétisations en temps. D'après ces auteurs,ce schéma spatial est conditionnellement stable si la formule trapézoïdaledéfinie dans le paragraphe (111.2) est utilisée pour la discrétisation temporelle. La

condition suivante doit être satisfaite

(F L = L (3.77)¿ix

D'après les mêmes auteurs, une discrétisation en temps de type Euler

implicite (avec les paramètres O = 1 et c- O dans la formule (3.2)) ou de type

à trois points en amont (avec O = i et c. = i dans la formule (3.2)) conduit à un

schéma inconditionnellement stable.

Nous pouvons remarquer que la relation (3.76.a) proposée par

Mac CORMACK, avec la valeur du paramètre o( = 112 (qui signifie que leschéma (3.75) et le résultat d'une discrétisation trapézoïdale en temps), estéquivalent à la condition (3.77) proposée par BEAM et WARMING pour la formule

trapézoïdale.

- 96 -

BEAM et WARMING 11001 ont trouvé que l'utilisation d'une formuletrapézoïdale avec des différences spatiales centrées pour la discrétisation deséquations d'Euler conduit à un schéma dont le facteur d'amplification esttoujours unité. Ce schéma est non-dissipatif et une dissipation additionnelle doit

souvent être ajoutée.

Examinons maintenant la discrétisation implicite des équationsparaboliques de type des équations de Navier-Stokes.

b) Cas des équations paraboliques

Pour l'équation parabolique linéaire (3.56.a) où les termes convectifssont discrétisés de la même façon (schéma (3.75)) que ceux de l'équationhyperbolique (3.56.b), Mac CORMACK 11121 a choisi des valeurs pour leparamètre

¿r 2P ¿XXT[IAÇ ¿X ¿4

Pour la résolution des équations non-linéaires par des méthodesimplicites, des procédures itératives sont nécessaires. Pour les éviter,différentes sortes de linéarisation des équations ont été entreprises. Nous allons

nous concentrer aux travaux de Mac CORMACK 1111,1121 et de BEAM etWARMING 100,104!.

Pour la discrétisation des équations de Navier-Stokes,

Mac CORMACK 1112! a utilisé un schéma décentré analogue à celui utilisé pour

l'équation linéaire (3.56). Ii a redéfini les matrices 3acobiennes de linéarisationdes termes convectif s en fonction des paramètres c liés aux valeurs propresdes matrices initiales

= ( ± C J +2 ¿X Jo (3.78)

(3.76.b)

- 97 -

de sorte que ces nouvelles matrices soient toujours positives. Pour la résolutionde équations résultantes, il a utilisé un schéma de prédicteur-correcteur. Dans leschéma du prédicteur, un décentrement en aval a été réalisé, les valeurs propresde nouvelles matrices étant toutes positives. Dans le schéma du correcteur, undécentrement en amont a été effectué, les valeurs propres étant considéréesavec le signe inversé. Le schéma global conserve la précision du deuxième ordred'un schéma centré. Pour le régions où L L satisfait les conditions

explicites (3.73), les paramètres O s'annulent et le système se réduit à unsystème explicite. On peut remarquer dans cette méthode que les termesvisqueux interviennent dans le premier membre implicite par l'intermédiaire desparamètres , qui ne sont traités que par des dérivées premières ce qui allègeconsidérablement le calcul. Le schéma de discrétisation conduit alors à unsystème bidiagonal par blocs dont la résolution demande moins d'effortnumérique que pour celle d'un système tridiagonal. Cependant, en revanche, lenouveau calcul des matrices Jacobiennes par des matrices de transformationaugmente le poids du calcul notamment quand ces dernières ne sont pasanalytiquement connues.

Le schéma de BEAM et WARMING 11001 pour la discrétisation deséquations de Navier-Stokes, avec des dérivées spatiales mixtes de précisiontemporelle de deuxième ordre, est inconditionnellement stable si les paramètres

et L) sont

e = et + 2w)>4 ou2

Dans le cas où cette précision n'est pas nécessaire, le schéma estinconditionnellement stable si

9-- (3.79.b)

Ce schéma conduit à un système tridiagonal par blocs dont la résolution parl'algorithme de Thomas demande que des conditions de stabilité soient imposées.

Nous en parlerons dans le paragraphe 111.6.5.

U) ... 385 (3.79.a)

- 98 -

111.6.4. Schémas paraboliques implicites:

Une des caractéristiques des schémas paraboliques, comme celuidéveloppé dans le chapitre précédent, est que les informations se propagent dansune direction privilégiée dans un seul sens (de l'amont vers l'aval). Dans chaqueplan, le calcul dépend seulement des variables au plan précédent. Les dérivées depremier ordre sont par conséquent approchées par des différences décentrées enamont dans cette direction. D'après l'analyse de BEAM et WARMING 11081,mentionnée dans le paragraphe 111.6.2, pour que la stabilité d'un te! schéma soitassurée, toutes les valeurs propres de la matrice convective dans la directionlongitudinale doivent être posjjives.

Or, dans le cas du calcul d'un écoulement compressible subsonique parles équations parabolisées de Navier-Stokes

tRe

cette condition n'est pas satisfaite. Les valeurs propres de matrice =

sont

1,z= , ± C (3.80 .a)

On peut remarquer que \4 < 0, ce qui peut être une source des instabilitésnumériques. Pour traiter ce problème, SCHIFF et STEGER 1591 ont imposé lapression dans le calcul du vecteur F et de la matrice . Après cetteopération, ils obtenaient des valeurs propres = > O si > 0.

Pour un écoulement incompressible étudié avec la méthode de lacompressibilité artificielle par SIEGER et KUTLER 1751, les valeurs propres dematrice /-d étaient

(3.80.b)

Si l'analyse de BEAM et WARMING 11001, exposée dans le paragraphe 111.6.3., est

considérée, un schéma avec des différences spatiales centrées n'est pas instable.Cette démarche a été suivie notamment par STEGER et KUTLER 1751. Mais dansle cas où une dérivée décentrée en amont selon est utilisée (comme pour unécoulement parabolique) itexistence d'une valeur propre négative ( 2t1. < 0) peutconduire à l'apparition des instabilités.

-: -

Nous allons voir, dans le paragraphe 111.6.6. comment les problèmesde stabilité mentionnés ci-dessus pour un écoulement compressible ou

incompressible, ont été envisagés dans la présente méthode.

111.6.5. Stabilité de l'algorithme de la résolution:

L'application de la technique de factorisation (3.19)

= X

pour la résolution d'un système tridiagonal comme (3.15)

A1 A,tt4 + B1 At + C1 = RS

impose certaines limitations sur le nombre de Reynolds local lié au pas dumaillage ou sur le pas d'intégration, associées à la dominance diagonale. Ladominance diagonale

IAJ IIC1 (3.81)

et une condition nécessaire pour que le système (3.15) converge 1O2I.

KHOSLA et RUBIN 11131 ont montré que, pour une méthode utilisantcette technique, si les dérivées de premier ordre sont approchées par desdifférences décentrées, la dominance diagonale du système (3.15) est toujoursvérifiée et la technique de récurrence (3.19) est inconditionnellement stable. Sides différences centrées sont utilisées dans la direction de la résolution (R. parexemple) la dominance diagonale est assurée si

R...e. 2. (a)

(3.82)

ou R. et i (b)

- loo -

Si la condition (3.82.a) n'est pas satisfaite, une limitation du pas entemps équivalente est donnée d'après PEYRET et TAYLOR 1731

2(R)2 (3.83)

Si aucune des conditions (3.82) ou (3.83) n'est satisfaite, la procédure (3.19) peutconduire à l'amplification des erreurs numériques lors de la résolution.

Dans le paragraphe qui suit, la combinaison et l'utilisation desdifférentes restrictions dépendant du schéma de la discrétisation et del'algorithme de la résolution de ce travail seront présentées.

111.6.6. Stabilité de la présente méthode:

Nous avons vu dans les paragraphe 111.6.3. et 111.6.4. que desconditions de stabilité sont, dans certains cas, nécessaires, même pour desschémas implicites. Nous allons les répéter ici très brièvement.

Si des dérivées convectives décentrées en amont ou en aval selon unedirection sont utilisées, les valeurs propres de 1a matrice Jacobiennedans cette direction doivent être toutes positives ou toutes négativesrespectivement.

Si une formule trapézoïdale de discrétisation en temps avec desdifférences spatiales décentrées sont utilisées, le critère C.F.L.(relation (3.77)) doit être satisfait. Si une formule Euler implicite ou

à trois points en amont avec des différences spatiales décentrées sontutilisées, le schéma résultant est inconditionnellement stable.

Si une formule de discrétisation en temps quelconque avec desdifférences spatiales centrées sont utilisées, le schéma résultant estinconditionnellement stable. Cependant, ce schéma est dans certainscas non-dissipatif et une viscosité artificielle doit être ajoutée.

Si des différences spatiales mixtes de précision temporelle dedeuxième ordre interviennent dans le schéma discrétisé, larelation (3.79.a) doit être satisfaite pour que le schéma soit

- 101 -

inconditionnellement stable. Si cette précision rest pas nécessaire, larelation (3.79.b) est suffisante pour que le schéma soitinconditionnellement stable.

Dans notre méthode, nous avons calculé le pas e temps ¿ imposé

par les critères explicites (3.73) qui nous ont servi c?indicateurs. Des pastemporels ± beaucoup plus grands sont ensuite testés. Nous avons alorsremarqué l'existence d'un pas optimum pour la convergence dont nous parleronsen détail dans le chapitre IV où les résultats sont exposés.

Un schéma parabolique dans la direction a été utilisé dans Cetteméthode. Nous avons vu dans le paragraphe 111.6.4. que, dans ce cas, toutes lesvaleurs propres de la matrice doivent être positives. Pour un élémentcompressible subsonique, les valeurs propres de de notre schéma ont uneforme analogue à (3.79) mais plus compliquées à cause du fait que nous n'utilisonspas l'équation instationnaire par l'énergie. L'apparition d'une valeur proprenégative peut perturber la solution. Pour la supprimer, nous avons suivi la mêmedémarche que SCHIFF et STEGER 1591 en imposant la pression dans le vecteurF à partir d'un calcul annexe. Pour un écoulement incompressible, les valeurspropres de notre schéma ont une forme analogue à(3.80.b) mais plus compliquéeà cause de transformation des équations. Une valeur propre négative de forme

-v'fi+u' apparaît, dans notre cas. Pour des petites valeurs de la

méthode a donné des résultats sans présenter des instabilités. En augmentantla valeur propre négative devenait plus grande en valeur absolue et desproblèmes de convergence se sont présentés. Nous avons alors utilisé des valeursde très petites, bien inférieures à celles données par la relation

4z ( ++¿x \Re 2

(3.34)

proposée par PEYRET et TAYLOR 1731 pour assurer la stabilité de la méthode decompressibilité artificielle.

Pour la résolution du système tridiagonal (3.18) dans la direction V2nous avons utilisé la méthode de récurrence (3.19). L'algorithme construit permetl'utilisation soit des différences décentrées en amont, soit des différencescentrées dans la direction V? . Dans le premier cas, la dominance diagonale,condition nécessaire pour la stabilité de la méthode, est assurée

inconditionnellement 11131. Or, d'après BEAM et V/ARMING 11001, la

- 102 -

condition (3.77) doit être satisfaite dans ce cas puisque nous utilisons uneformule trapézotdale. Dans le deuxième cas, des limitations sur le pas en tempsne sont pas nécessaires mais la condition (3.82.a) a été utilisée pour assurer ladominance diagonale

¡ PB» -)FA» + 'PC» (3.85)

OU PAJ p. , les rayons spectraux des matrices 1A1 ' ,I Sj 1, Ic1].

111.7. DISCRETISATION SPATIALE - METHODE DE RESOLUTION DESEQUATIONS DANS LE PLAN TRANSVERSAL

Comme nous l'avons mentionné dans le paragraphe 11.2.4.2., la

composante moyenne de la vorticité dans la direction longitudinale induit unchamp de vitesse secondaire dans le plan transversal. Nous allons calculer cesvitesses secondaires en utilisant le système (II) des équations qui se compose de

une équation (2.31) ou (2.32) pour la vorticité secondaire

une équation de Poisson (2.37) pour la fonction de courant

une équation de continuité locale (2.38) pour le potentiel

Nous allons présenter dans ce qui suit la méthode numérique utiliséepour la résolution de chaque équation.

111.7.1. L'équation de la vorticité secondaire:

Nous avons utilisé l'équation simplifiée (2.31) où seulement le termede production de J2 dû à la déflexion de ligne de courant a été conservé

(s )2.Pv/5J

(3.86)

Pour discrétiser l'équation ci-dessus, nous considérons des points intermédiaires

(i 1/2) du maillage dans la direction

lì»_(2 _í'2=2 I.L4',rW z

et après le réarrangement des termes, nous avons

(P/s)1.i-

Toutes les variables au point (i) sont déjà connues. Or les termes (pW5)4 et(pW5),,interve1ant dans le deuxième membre sont inconnus. Ils seront

déterminés par approximations successives.

111.7.2. L'équation de Poisson par le calcul de

Les composantes de la vitesse dans le plan transversal sont obtenues

par les relations (2.36). Pour un écoulement moyenné circonférentiellement, cesrelations se réduisent aux relations suivantes après l'analyse exposée auparagraphe 11.2.4.2.

- 103 -

=k8

Pour la détermination des composantes transversales locales, il fauttout d'abord calculer la fonction de courant par l'équation (2.37). Pour larésolution de celle-ci, nous introduisons la décomposition en série de Fourier de

et de comme celle réalisée par HAWTHORN I16 et OHAYON 138t.

LEBOEUF 96I a distingué deux cas pour Papplication de cettedécomposition dans les turbomachines.

Celui du tourbillon confiné entre deux aubages.Celui du tourbillon dans la zone libre d'aubages.

Dans la zone aubée, la présence de deux parois est simulée enintroduisant un tourbillon image -f25 dans les passages adjacents. Posant

;.44

+ 2 (3.87)(P)'a

I (kP)(3.88)

>K8= (3.89)esor

la fonction impaire fl5(x) selon Xe a été approchée par une série de Fourier

fl5(x9,B) - zku

0ì1 X E L.i,IJ

Dans une zone non-aubée, les conditions de périodicité selon & auxlimites imposent pour une distribution constante de ..(2 selon G

(X9 B) = (ß) (3.91)

Dans le cas où le tourbillon .D n'est pas constant selon G , nouspouvons utiliser la série de Fourier générale

I- - I,

K = I, 3

+ Z bKI'i(krrxe)K , 3,

OÙ = O pour une zone non-aubée,

= 1 pour une zone auDée,

bK = 4 a(s)kri

- 104 -

.Q5 () si (knrX9 ) (3.90)

(3.92)

L'équation de Poisson (2.37), après l'application de certaineshypothèses, prend la forme

2 (k 'S2

B k fl

L'introduction de (3.89) dans celle-ci et l'hypothèse que est constant, donne

( ih

h8 2US ,i (ccos)1 B(3.93)

- 105 -

Pour la résolution de cette équation, nous introduisons un

développement en série de Fourier de "f(9,8) analogue à celui pour

'-P5 = (i-5) 7 2K().CosLfrrT(xe-Lf2)]

Z LPK()i(krrXe) (3.94)

Les deux cas de zone aubée et de celle non-aubée seront examinésséparément dans ce qui suit.

i) Zone aubée:

L'équation (3.93) après l'introduction des formules (3.92) et (3.94)avec = i donne

3 L

2u81

= - k 7 s)51ke)kn

Après les calculs, une expression pour chaque indice k est obtenue,le développement en série de Fourier étant unique

(4. \_h/ (feY

krT

L'équation ci-dessus est de deuxième ordre avec des coefficieents qui

ne dépendent pas de l'inconnue. Pour sa discrétisation, nous allons utiliser unschéma aux différences finies, selon B, similaire à celui utilisé pour

l'équation (2.55). Cette discrétisation conduit à un système tridiagonal pour larésolution duquel l'algorithme de Thomas sera utilisé. Les conditions aux limitessont de type Dirichiet '+ = O pour toutes les parois.

(3.95)

(9.ccsg ) kax f z

ih

L'équation (3.95) écrite sur un point (j) du maillage devient

- 106 -

L

Lib.J _I/2

B. -J

(kn)1T1. = 4(c.Co)2 J JrT J

ou = - ='J

et les métriques h8 sont calculées aux points (j . 1/2)

etJ 2..

= (B)4 - (B)

h3+2 +-

2

Après le réarrangement des termes, l'équation (3.96) prend la formeci-après

A 4. c P. =J j+4

(3.96)

(3.97)

ou

xJ.

h -

K Bk,,

4krr J

Pour le calcul de à chaque point (j) du maillage, le formules derécurrence ont été utilisées

9)fr. Y.14-t

ci+ A X3

k

- 107 -

,

h (kn)k B

>'F-AP

i B +A

Après le calcul du coefficient la fonction de courantpeut être déterminée par la formule (3.94) avec = i

=

Dans notre cas, nous étudions un écoulement moyenné en G . Nous calculons lafonction y-VB) moyennée selon e

(B) Lf4 i(X) dXe(3.100)

(3.99)

:1 (3.98)

h.J 4-

La relation (3.88.a) en supposant que k ne change pas dans ladirection , devient avec la formule de Leibniz

et puisque 4S = O sur toutes les limites

L -Ñ - 2B(65)

Si un schéma aux différences centrées pour chaque point (j) est utilisé pour ladiscrétisatin de relation (3.101) nous avons

- 108 -

L

(2B - 2nb 25 )

L (6 - ((8 - ( j-1

(3.101)

(3.102)

Pour la détermination de la composante moyenné v-i il faut d'abordcalculer le potentiel moyen . Dans la pratique, pour un écoulement moyennéselon G il n'est pas nécessaire d'utiliser l'équation (2.38) pour le calcul deDans ce cas, LEBOEUF 96! a montré que peut être directement calculée parune équation de continuité locale

bRpVJ 2Q(B)(3.103)

a(B) /6RdBo

Notons que, dans ce cas, pour notre problème, la composante normale W5 (quicoincide avec Lk, ) est en fait donnée par la résolution de notre systèmeprincipal (I).

ii) Zone non-aubée:

L'équation (3.93) après l'introduction des formules (3.92) et (3.94)avec = O donne pour chaque indice k Itexpression suivante

/ L ) Çkri)

b B-

Cette équation en combinaison avec la relation (3.91) nous donne

O(. Q.(B) et aoLaconditionsurlaparoiest 'R (e,=c) 4 (=)

et l'équation (3.104) impose () o Iço

puisque v' I(O

Nous pouvons alors écrire EY et (3.104) donne

= -_Q50(B)

=

- 109 -

-f- W»B=c)

(3.104)

(3.105)

- 110-

111.8. COUPLAGE DE LA RESOLUTION DANS LE PLAN LONGITUDINAL AVEC

CELLE DANS LE PLAN TRANSVERSAL - ORGANISATION GENERALE

DU CALCUL

Nous avons vu jusqu'ici la méthode numérique que nous avons utilisée

pour la résolution des équations traitant le problème dans le plan longitudinal(paragraphes 111.3. et 111.4.) ainsi que celle utilisée pour la résolution deséquations relatives dans le plan transversal (paragraphe 111.7). Dans le présentparagraphe, les différentes possibilités de coupler ces deux calculs de façoncohérente seront présentées.

Le problème global se pose de la manière suivante. En connaissant lefacteur de blocage b dans le passage interaube, la géométrie des aubages, larépartition extérieure de la vitesse moyenne selon e (module et angle) et l'étatde la couche visqueuse tridimensionnelle à l'entrée du domaine de calcul, il fautcalculer les couches visqueuses pariétales se développant dans ce domaine. Nous

présentons la méthode de la résolution pour un pas de calcul.

Supposons que toutes les quantités de l'écoulement sont connues à une

station de calcul (i). Connaissant l'évolution des quantités de l'écoulement àl'extérieur de la couche visqueuse, nous devons les déterminer à la station (i + 1).

Deux démarches sont possibles.

i) Dans la première, nous découplons la résolution du calcul dans lesplans longitudinal et transversal. La vorticité secondaire _C2 est

calculée au plan (i + 1) par l'équation (3.87) où les quantités à (i) sontdéjà connues. En connaissant la composante X25 la fonction decourant moyenne 4-?5(B) peut être calculée par l'équation (3.100) etensuite la composante transversale moyenne de la vitesse WÇ/B) parl'équation (3.102). Nous introduisons cette composante dans l'équation

matricielle (3.18) par la relation cinématique et nous résolvons

l'équation avec la méthode itérative présentée dans le

paragraphe 111.3. Pendant les itérations dans le plan longitudinal, les

variables fl5(B) et () restent constantes. A la convergence dela solution au plan longitudinal, nous obtenons p (ou p ), '-

et 'A au plan (i + 1). Ces valeurs sont utilisées pour

déterminer de nouveau ( ) et (B) qui sont

réintroduites dans l'équation (3.18) jusqu'à la convergence deaprès quelques itérations du calcul sur le plan transversal. Ces étapessont illustrées dans l'organigramme du schéma 1.

Cette démarche est celle que nous avons utilisée pour obtenir lesrésultats présentés dans le chapitre IV.

ii) Dans la deuxième, un couplage plus fort entre le calcul dans le planlongitudinal et celui dans le plan transversal peut être réalisé. Leséquations pour , et WN sont introduites dans l'équationmatricielle (3.18). Dans chaque itération, un nouveau vecteur globaldes inconnues

,c=

est calculé. Les étapes de cette démarche, qui n'a pas été testée enpratique, sont illustrées dans l'organigramme du schéma 2.

- 112-

Schéma i Organigramme du calcul de la première démarche.

- 113-

Schéma 2 : Organigramme du calcul de la deuxière démarche.

- 114-

111.9. CONCLUSIONS

Dans ce chapitre, la méthode numérique rpour la résolution deséquations dans le plan longitudinal ainsi que dans le iplan transversal a été

exposée.

Nous avons présenté le schéma implicite de discrétisation deséquations du système (I), qui a conduit à l'apparition d'un système tridiagonal parblocs. Pour sa résolution, une procédure de factorisation (algorithme de Thomas)

a été utilisée. Différentes conditions aux limites adaptées au problème ont étéexaminées. L'analyse de stabilité-effectuée ensuite a fourni des conditions quidoivent être imposées afin que la stabilité de la méthode soit assurée. Cesconditions émanent d'une part du schéma parabolique impticite de discrétisation,d'autre part de l'algorithme de la résolution. Ainsi, lles possibilités et leslimitations de la présente méthode ont pu être distinguées

La méthode numérique pour la résoluticn des équations du

système (II) a été aussi exposée.

Enfin, nous avons présenté le couplage utiläsé pour lier les deuxsystèmes des équations de oase. Nous avons vu que ce couplage, qui s'effectueseulement par l'intermédiaire d'une relation cinématique, peut être remplacé parun couplage plus fort qui pourrait peut-être donner de meilleurs résultats. Dansce cas, les deux systèmes des équations peuvent être Templacés par un seulsystème où toutes les équations seront simultanément résolues. Cependant, cedeuxième cas n'a pas fait l'objet des essais numériques.

Dans le chapitre qui suit, nous allons présenter les résultats obtenuspar la méthode présentée pour divers cas d'intérêt pratique.

CHAPITRE IV

RESULTATS DU CALCUL

IV.1. INTRODUCTION

Nous présentons dans ce chapitre les résultats obtenus avec laméthode développée dans les chapitres II et III.

Nous distinguons deux cas. Dans le premier, la méthode de la"compressibilité artificielle" a été utilisée pour le calcul des écoulementsincompressibles, nommée dans ce qui suit "version incompressible" duprogramme. L'apparition des problèmes avec cette version, nous a conduit àutiliser la méthode écrite pour un écoulement compressible, nommée "versioncorn pressible".

Avant de présenter les résultats obtenus pour divers cas étudiés, nousmentionnons en bref certaines difficultés apparues au niveau numérique lors dela résolution des équations.

a) Version incompressible:

Dans la méthode de la compressibilité artificielle (paragraphe 11.2.2),

nous avons divisé le champ de pression en deux parties

P Pcp+ Pv

en supposant que la première est associée à l'écoulement sain tandis que ladeuxième aux écoulements secondaires et aux effets visqueux. La première estune donnée pour notre calcul. La deuxième est une des inconnues principales et sacorrection temporelle à chaque itération donne une nouvelle valeur de p et de p.

-116-

Pv

4 I

En plus, pour des raisons de stabilité, le gradient axial (ou longitudinal) de lapression a été assimilé à celui de la partie potentielle

=

- 117-

Des difficultés sont apparues lors du calcul de , liées au choix duparamètre ß . L'utilisation des grandes valeurs pour , comme cela a étérecommandé par STEGER et KUTLER 1751 créant des problèmes numériques.Pour assurer la stabilité et la convergence de l'algorithme, nous avons été obligésd'utiliser des valeurs pour de l'ordre de i- et 10-6. Or ces valeursconduisent à supprimer pratiquement l'évolution de p . Le problème similaireapparaît dans le travail de SAINT VICTOR et COUSTEIX 1771 qui utilisent

10-5. Une solution éventuelle à ce problème, que nous n'avons pascependant utilisée, est de faire évoluer pendant le calcul en fonction del'évolution du résidu. Ainsi, en initialisant avec des valeurs faibles pour afin

d'assurer la stabilité, nous les auguientons lors de la résolution pour arriver à laconvergence à des valeurs supérieures à l'unité théoriquement indiquées.

b) Version compressible:

A cause des problèmes apparus en utilisant la méthode de lacompressibilité artificielle, nous avons décidé d'utiliser les équations écrites pourun écoulement compressible.

Cependant, des difficultés ont été rencontrées au cours du calcul desécoulements incompressibles. Tout d'abord les différences importantes entre leterme cT0 et le terme d'énergie cinétique V/2. conduisent à des matricesmal conditionnées. Ceci fournit de fortes évolutions pour la masse volumique etla pression dans la couche limite qui ne sont pas justifiées par le caractèreincompressible de l'écoulement étudié. Nous avons alors décidé d'imposer lapression constante dans la couche visqueuse donnée par la condition imposée à lafrontière extérieure. Cette hypothèse est souvent utilisée pour le calcul desécoulements supersoniques dans les régions près des limites solides. Dans unetelle région, le nombre de Mach est f aible (l'écoulement devient subsonique) et lapression est imposée constante à partir de la valeur qu'elle a à la frontière desrégions supersonique et subsonique 59l. Dans ce cas, la résolution du systèmematriciel (3.18), en ce qui concerne la première composante, devient simplement

une procédure de minimisation d'une fonctionnelle mais qui, à la convergence, nedonnera pas une solution qui satisfasse la Continuité (résidu minimum mais non

nul). Si alors la pression statique est imposée dans la couche limite pendant lecalcul, il serait justifié de supprimer l'équation de continuité du système (3.18).

Les détails spécifiques ainsi que les résultats obtenus pour chaque

cas étudié sont présentés dans le paragraphe qui suit.

La méthode développée (version incompressible ou versioncompressible) est utilisée pour le calcul de l'écoulement dans les cas suivants

Ecoulement bidimensionnel laminaire.

Ecoulement bidimensionnel turbulent sans gradient de pression

extérieur.

Ecoulement bidimensionnel turbulent décéléré.

Ecoulement dans une grille d'aubes de turbine.

Ecoulement dans une grille d'aubes de compresseur.

Ecoulement dans un compresseur axial.

Les conditions aux limites pour tous les cas étudiés étaient similaires.

Comme conditions à l'entrée, nous avons considéré les prof ils des composantes de

la vitesse (fournis par l'expérience correspondant) et la distribution de la pression

et de la masse volumique. Sur la paroi, la condition de non-glissement a étéimposée pour la vitesse Dans la même région, une conditionNeumann a été utilisée pour la pression p/ o et la masse

volumique 3p/=O. Au bord extérieur du domaine de calcul, des conditionsDirichlet ont été données pour la pression, la masse volumique et les

composantes axiales et circonférentielles de la vitesse et une condition Neumann

sur la composante normale de la vitesse.

Pour les cas de l'écoulement dans un passage interaube (cas (d), (e),

(f)), toutes les données ont été considérées moyennées en azimut. Pour les cas

(a), (b), (c) et (d) des écoulements incompressibles, les deux versions

"incompressible" et "compressible" (avec la pression constante dans la couchelimite) ont été utilisées. Les résultats étaient analogues.

- 119-

IV.2. PRESENTATION DES RESULTATS OBTENUS

Cas test d'un écoulement bidimensionnel laminaire sur une plaqueplane:

Le maillage utilisé selon la direction R était constitué par deuxrégions uniformes à pas différents chacune: R1 .000285 m et

R2 =.000414m.

A part les conditions aux limites citées précédemment, une condition

différente sur la paroi pour la pression a été ici en plus testée.- Dans celle-ci lapression a été calculée par une équation de continuité explicite(relation (3.27)) écrite à la paroi.

Les résultats obtenus sont comparés avec ceux de BLASIUS 11141dans les figures 2 et 3. L'utilisation des deux conditions différentes sur lapression p, n'influence pas les résultats pour la composante axiale de lavitesse (figure 2). Cependant, des résultats légèrement différents près de la paroiont été obtenus pour la composante LL . Ceux donnés par la relation (3.27)satisfont mieux la Continuité dans Cette région (figure 3).

Un test sur l'efficacité de l'algorithme a été aussi effectué. Enutilisant les critères explicites de stabilité (3.73) adaptés à ce problème, nousavons calculé un temps = 104. Ensuite différents pas en tempsA± > L±ex ont été testés pour le schéma implicite. Nous pouvons voir

(figure 4) qu'il existe un temps limite (dans ce cas 10-2) au-delàduquel le nombre des itérations pour arriver à un certain niveau de convergenceaugmente avec ultérieurement des problèmes de stabilité.

Ecoulement bidimensionnel turbulent sans gradient de pressionextérieure:

Une partie du maillage non uniforme, selon R utilisé, est présentéedans la figure 5.

Nous avons utilisé les mesures de WIEGHARDT 11151 pour imposer lesconditions aux limites. La station 4 (position axiale = .487 m) de son

expérience était considérée comme première station de calcul.

- 120 -

Les résultats obtenus, comparés avec les résultats expérimentaux de

WIEGHARDT dans les figures 6-9, présentent un bonaccord.

c) Ecoulement bidirnensionflel turbulent décéléré:

Une partie du maillage utilisé, non-uniforme dans la direction R, est

présentée dans la figure 10.

Les mesures de SAMUEL et JOUBERT L1l6 ont été utilisées pour

choisir les conditions aux limites. La station Ti (position axiale 1.04 m) de

leur expérience était considérée comme l'entrée au domaine de calcul.

Les résultats obtenus sont comparés avec les résultats expérimentaux

de SAMUEL et JOUBERT dans les figures 11-14. Un léger désaccord sur les

profils axiaux près de la paroi peut être remarqué (figure ii). Cela peut être dû

au calcul des tensions turbulentes dans cette région. Celles-ci calculées par le

modèle de CEBECCI-SMITH présentent un écart assez important avec les

mesures (figure 15).

d) Grille d'aube de turbine:

La grille d'aube est présentée dans la figure 16. Elle a été utilisée

expérimentalement à I'E.C.L. par ONVANI 11171. Les aubes forment un angle de

calage 2. = - 41° 30' par rapport à la direction axiale . La longueur de la

corde est C = .163 m, le pas entre les aubes = .141 m et la hauteur

= .28 m. Le domaine de calcul est défini par l'intrados et l'extrados de deux

aubes voisines, la quatrième et l'onzième fentes des mesures et la paroi

inférieure et la demi-hauteur h /2. de la grille.

Le maillage utilisé dans le système physique ( 3, R. ) est présenté

dans la figure 17. Les positions des stations de calcul coincident avec celles des

fentes des mesures. Les dimensions du maillage étaient 8 x 42.

Deux tests ont été réalisés pour le calcul de la composante

transversale de la vitesse.

- 121 -

Dans le premier, une seule itération a été effectuée pour le calcul de\4,4 (une itération sur la boucle générale (a) du schéma 1) avec les valeurs

initiales des variables dans chaque station. Les effets visqueux sur la paroi ontété négligés dans le calcul au plan transversal. Avec le prof il de J4 ainsiobtenu, les inconnues du plan longitudinal ont été calculées (22 itérations sur laboucle (b) du schéma 1 jusqu'à la convergence). Les résultats comparés avecl'expérience d'ONVANI sont présentés dans les figures 18-24. Des petitesanomalies sur les prof ils calculés des composantes axiale etlongitudinale peuvent être remarquées très près de la paroi. En plus, le prof ilde composante transversale t'v', présente un écart important près de la paroi parrapport aux mesures. Ces écarts peuvent être justifiés par le fait que nous avonsnégligé les effets visqueux dans le calcul du plan transversal.

Dans le deuxième calcul, trois itérations ont été effectuées pour lecalcul de (trois itérations sur la boucle (a) du schéma 1). En plus, unraccordement de ce profil a été effectué près de la paroi au point

y' .0005 m. Les résultats obtenus sont comparés avec les mesures dans lesfigures 25-31. Les petites anomalies près de la paroi pour les prof ils axiaux etlongitudinaux sont amorties et le profil transversal s'approche plus des mesuresque dans le test précédent.

e) Grille d'aube de compresseur:

La grille étudiée est présentée dans la figure 32. Elle a été étudiéeexpérimentalement à l'E.C.L. et à I'O.N.E.R.A. I11S. Les aubes forment un anglede calage = - 35.24° par rapport à la direction axiale . La longueur de lacorde est c = .079 m, le pas entre les aubes .048 m et la hauteur k = .1 m.Le domaine de calcul est défini par l'intrados et l'extrados de deux aubes voisines,la première et la huitième fentes des mesures, la paroi inférieure et la demi-hauteur de la grille.

Le maillage utilisé dans le plan ( R ) est présenté dans lafigure 33. Les stations de calcul, choisies à distances égales selon , sontlégèrement décalées par rapport aux fentes des mesures positionnées à distancesdifférentes. Les dimensions du maillage sont 8 x 42.

L'écoulement dans la grille était compressible. Le nombre de Mach àl'entrée (Fente 1) était Nl = .82 à la sortie (Fente 8) et Nl = .57.

-.122 -

Les résultats du calcul obtenus dans chaque station sont comparésavec les mesures effectuées à la fente la plus proche de cette station dans lesfigures 34-40. Des anomalies sur les profils des composantes axiales etlongitudinales peuvent être remarquées près de la paroi. Deux raisons nous

semblent possibles. La première est le calcul de la viscosité turbulente dans larégion intérieure par notre modèle qui ne prend bien en compte les diversparamètres de cet écoulement particulier. En effet des phénomènes de coin ontété remarqués pendant les mesures mais le modèle que nous utilisons n'est pasbien adapté à ce cas. La deuxième raison tient dans le calcul du plan transversal.Pour calculer nous ne prenons en compte les effets visqueux que par unraccordement du profil de W,, plus ou moins arbitraire. Or, le choix du point deraccordement peut influencer le calcul de (A , et vs./,, très près de la paroi.Les résultats présentés ici sont obtenus avec )= .001 =(h/2) /50.

Nous pouvons aussi remarquer un écart relativement important entrele calcul et l'expérience pour la composante transversale %.AJÑ de la vitesse. Cela

peut s'expliquer par le fait que nous avons considéré la vorticité secondaire i2étant nul à l'entrée du domaine de calcul, ce qui produit = O au premier plan.

Or, les mesures de l'état de la couche visqueuse à l'amont de la grille ont montréque la couche limite n'était pas collatérale en amont de la grille comme nousl'avons supposé.

f) Compresseur axial :

Le compresseur axial étudié théoriquement et expérimentalement àI'E.C.L. par LEBOEUF 1961 est présenté dans la figure 41.

Avec notre méthode, nous avons d'abord calculé l'écoulement dans laroue mobile du compresseur en considérant un système relatif tournant à lavitesse constante w

- .123 -

Roue mobile compresseur:

Le domaine du calcul est défini par la position axiale = .693 peuaprès le bord d'attaque ( .69 1) et le plan 5, l'intrados et l'extradas de deuxaubes voisines et la demi-hauteur à l'entrée et le moyeu de la roue mobile. Lemaillage utilisé est présenté dans la figure 42. Les stations 11 et 18 du calculcorrespondent aux plans 4 et 5 (figure 41) respectivement. Les dimensions dumaillage sont 18 x 42. Le nombre de Mach au plan 3 étant M = 77 et celui auplan 5 étant M =49.

Nous avons d'abord effectué un calcul avec vitesse de rotationconstante (Q = 1109.2 sec-1 et en introduisant un gradient normal de la pressiondonné par la résolution d'un écoulement sain correspondant à l'écoulement réelque nous étudions. Ce calcul a présenté un décollement au voisinage du bord defuite de la roue (plan 4). LEBOEUF Il 191 a rencontré la même difficulté quand il

calculait l'écoulement dans la roue avec sa méthode intégrale. Il a réussi à éviterce problème lorsqu'il a introduit une équation d'itération avec l'écoulement sainlocale.

Nous avons ensuite effectué un calcul en supprimant les forces deCoriolis et centrifuges; ce qui a éliminé tous les problèmes précédents. Lesrésultats ainsi obtenus sont présentés dans les figures 43_I4, pour les plans 4 et 5.

CHAPITRE V

CONCLUSIONS

- 125 -

Nous avons développé une méthode différentielle pour le calcul del'écoulement visqueux dans le passage interaube d'une turbomachine.

Le principe d'une décomposition de l'écoulement en une partie saineet une partie visqueuse dite secondaire a été adopté. Une démarche paraboliqueau niveau des équations de Navier-Stokes a été utilisée pour le calcul del'écoulement visqueux de l'amont vers l'aval. Ces équations moyennées

circonférentiellement et projetées selon deux directions particulières, ce quiévite l'introduction des forces d'aubages, ont formé le premier systèmed'équations de base. La partie du champ de vitesse dans des directions normalesde l'écoulement sain est déduite comme une conséquence d'un champ devorticité. Une formulation (fl,'1-') utilisée pour la détermination du champtransversal de la vitesse a permis de constituer le deuxième système d'équations.Le couplage entre les deux systèmes d'équations a été réalisé à l'aide d'unerelation cinématique simple.

Les deux systèmes ont été ensuite résolus dans un domaine de calculdéfini par les frontières du domaine physique. Le domaine du calcul est obtenupar une transformation générale qui préserve le caractère conservatif deséquations et permet d'utiliser des schémas numériques sur un maillage uniforme.

Pour la résolution numérique du premier système non-linéaired'équations dans le plan longitudinal, nous avons suivi une procédure delinéarisation en introduisant les matrices 3acobiennes de cette linéarisation. Unschéma aux différences finies appliqué sur les dérivées spatiales des équations aconduit à un système tridiagonal par blocs. Celui-ci a été traité d'un algorithmede factorisation adapté. Les conditions aux limites choisies de façon à êtrecompatibles avec la physique de l'écoulement ont été introduites implicitementdans l'algorithme de la résolution.

Le deuxième système d'équations a été résolu en utilisant undéveloppement en série de Fourier et un algorithme de factorisation.

La méthode a été appliquée au calcul des écoulements

bidimensionnels, turbulents et au calcul des écoulements secondaires dansdifférents cas de turbomachines. Les résultats obtenus ont montré un accordsatisfaisant avec les résultats expérimentaux. Cependant, des améliorations

- 126 -

peuvent être apportées à la méthode afin d'éviter certaines hypothèses utiliséesdans le calcul et éliminer des difficultés au niveau numérique présentées lors dela résolution.

Une amélioration possible du calcul des écoulements subsoniques avec

cette méthode serait de traiter simultanément une équation d'interaction avecl'écoulement sain (LEBOEUF 11191). L'équation de continuité pourrait aussi être

remplacée par une équation de Poisson pour le calcul de la pression d'unécoulement potentiel correspondant à notre écoulement réel (ALKALAI 11201).L'interaction forte entre l'écoulement sain et l'écoulement secondaire nouspermettrait de mieux calculer 1coulement en supprimant l'hypothèse d'ungradient normal de pression imposé a priori.

Une autre amélioration importante serait de remplacer les deuxsystèmes d'équations de base par un seul comme il a été exprimé dansl'organigramme du Schéma 2 (chapitre III). Dans ce cas, le couplage du calculdans le plan longitudinal avec celui du plan transversal serait plus fort et letransfert des informations d'un plan à l'autre meilleur. Ce couplage fort peutnéanmoins présenter plus de difficultés au niveau numérique, ce qui n'a pas étéenvisagé ici.

BIBLIOGRAPHIE

BIBLIOGRAPHIE

Ill WUC.H.,

A general theory of three-dimensional flow in subsonic and supersonicturbomachines of axial, radial and mixed flow types.

NACA TN-2604, 1952.

121 HIRSCH Ch., WARZEE G.,

An integrated quasi-3D finite element calculation program forturbomachinery flows".A.S.M.E. paper 78-GT-56.

131 KATSANIS Th., Mc NALLY W.D.,

Fortran program for calculating velocities and streamlines on thehub-shroud Mid-channel flow surface of an axial or mixed flowturbo machine.

NASA TND-7343, 1973.

¡4! DAVIS W.R., MILLAR D.A.3.,

A comparison of the matrix and streamline curvature methods ofaxial flow turbomachinery analysis, from a user's point of view.A.S.M.E. paper 74-WA-GT-4.

151 LEBOEUF F.,

Etude expérimentale et théorique de l'écoulement dans une

turbomachine axiale transsonique.Thèse de Docteur-Ingénieur, Lyon I, juillet 197g.

6l PAPAILIOU K.D.,

A contribution to the calculation of secondary flows in an axial flowcompressor.

6th International Symposium of Air Breathing Engines (ISABE), Paris,

juin 1983.

- 128 -

171 LAMBROPOULOS L., KTENIDIS P., PAPAILIOU K.D.,

Boundary layer development on rotating bodies of revolution.AGARD specialists' meeeting on the "viscosity effects inturbomachines", Denmark, June 1983.

181 RAILLY J.W., HOWARD J.G.,

Velocity profile development in axial flow compressors.Journal of Mechanical Engineering Science, vol. 4, 1962.

191 STRATFORD B.S.,

The use of boundary layer techniques to calculate blockage from theannulus boundary layer in a compressor.

A.S.M.E. paper 67-WA/GT-7.

1101 SMITH L.H.,

Casing boundary layers in multistage axial flow compressors.Brown Boyen Symposium of Flow Research in Blading, Elsevier, 1969.

liii SMITH L.I-L,

The radial-equilibrium equation of turbomachinery.

Trans. A.S.M.E. Journal of Engineering for Power, January 1966.

1121 HORLOCK J.H., PERKINS H.J.,

Annulus wall boundary layer in turbomachines.

AGARD AG 185, 1974.

1131 MELLOR G.L., WOOD G.M.,

An axial end-wall boundary layer theory.

Trans. A.S.M.E., Journal of Basic Engineering, 3une 1971.

1141 DE RUYCK J., HIRSCH C., KOOL P.,

An axial compressor end-wall boundary layer calculation method.A.S.M.E. paper 78-GT-81.

1151 SQUIRE H.B., WINTER K.G.,

The secondary flow in a cascade of aerofoils in a non-uniform stream.Journal of Aero-Sciences 18, April 1951.

- 129 -

1161 HAWTHORNE W.R.,

Rotational flow through cascades: the components of vorticity.Part I, Quart. Journal of Mechanical and Applied Mathematics,vol. V, VIII-3, 1955.

1171 HAWTHORNE W.R.,

Secondary circulation in fluid flow.Proc. Roy-Society, Série A, vol. 206, October 1950.

1181 SMITH L.H.,

Secondary flow in axial-flow turbomachinery.

Trans. A.S.M.E., vol. 77, 7, October 1955.

1191 MARRIS A.W.,

Generation of secondary vorticity in a stratified fluid.

Journal of Fluid Mechanics, vol. 20, 1964.

1201 MARRIS A.W.,

The generation of secondary vorticity in an incompressible fluid.

Trans. A.S.M.E., Journal of Applied Mechanics, December 1963.

1211 MARRIS A.W.,

Secondary flows in an incompressible fluid of vorticity density in arotating reference frame.Trans. A.S.M.E., Journal of Basic Engineering, June 1966.

1221 MARSH H.,

Secondary flow in cascades. The effect of compressibility.ARC, Report and Memoranda n° 3778. University of Durham,

January 1975.

1231 HORLOCK 3.H.,

Annulus wall boundary layers in axial compressors stages.

Trans. A.S.M.E., Journal of Basic Engineering, March 1963.

1241 HORLOCK 3.H., LAKSHMINARAYANA B.,

Secondary flows: theory, experiment and application in

turbomachinery aerodynamics.

Annual Review of Journal of Fluid Mechanics, vol. 5, 1973.

- 130 -

1251 LAKSHMINARAYANA B., HORLOCK J.H.,

Generalised expressions for secondary vor ticity using intrinsec

coordinates.:Journal of Fluid Mechanics, vol. 59-1, 1973.

1261 LAKSHMINARAYANA B., HORLOCK :J.H.,

Effect of shear flows on the outlet angle in axial compressorcascades - Methods of prediction and correlation with experiments.Journal of Basic Engineering, March 1967.

1271 LAKSHMINARAYANA., HORLOCK 1H.,

Review: Secondary Flows and losses in cascades and axial-flowturbomachines.

International Journal of Mechanical Sciences, viol. 5, 1963.

1281 POUAGARE M., LAKSHMINARAYANA B.,

Development of secondary flow and vortic:ity in curved ducts,

cascades, and rotors, including effects of viscosity and rotation.Journal of Fluids Engineering, vol. 104, Decemt»er 1982.

1291 GESSNER F.B.,

The origin of secondary flow in turbulent flow adong a corner.

Journal of Fluid Mechanics, vol. 58-1, 1973.

1301 HORLOCK J.H., MARSH H.,

Flow models for turbomachines.

Journal of Mechanical Engineering Science, vol. 13-5, 1971.

1311 MARSH H., HORLOCK J.H.,

Wall boundary layers in turbomachines.

Journal of Mechanical Engineering Science, vol. 14-6, 1972.

1321 HORLOCK 1H.,

Cross flows in bounded three-dimensional turbulent boundary layers.

Journal of Mechanical Engineering Science, voL 15-4, 1973.

- 131 -

1331 HORLOCK 3.H., HOADLEY D.,

Calculation of the annulus wall boundary layers in axial flowturbomachines.Aeroresearch Council, Current paper 1196, 1972.

1341 PAPAILIOU K.D., FLOT R., MATHIEU J.,

Secondary flow in compressor bladings.

A.S.M.E. paper 76-GT-57.

1351 COMTE A., OHAYON G., PAPAILIOU K.D.,

A method for the calculation of the wall layers inside the passage ofa compressor cascade with and without tip clearance.Journal of Engineering for Power, vol. 104, July 1982.

1361 LEBOEUF F., COMTE A., PAPAILIOU K.D.,

Calculations concerning the secondary flows in compressor bladings -Secondary flows in turbomachines.

AGARD CP-214, March 1977.

1371 COMTE A.,

Calcul des écoulements secondaires à l'intérieur du canal d'une grilled'aubes.

Thèse de Docteur-Ingénieur, Lyon I, juillet 1978.

1381 OHAYON G.,

Contribution à l'étude des écoulements secondaires dans les

compresseurs axiaux, avec effets du jeu radial.Thèse de Doctorat 3ème cycle, Lyon I, juillet 1979.

1391 VOUILLARMET A.,

Contribution à l'étude et à la compréhension de l'écoulement visqueuxdans un compresseur centrifuge.

Thèse de Docteur-Ingénieur, Lyon I, octobre 1979.

1401 LEBOEUF F., NAVIERE H.,

Etudes expérimentales et théoriques des couches visqueuses

pariétales dans un compresseur mono-étage transsonique.

AGARD CP-351, Denmark, June 1983.

- 132 -

1411 BOIS G., LEBOEUF F., COMTE A., PAPAILIOU K.D.,

Experimental study of the behaviour of secondary flows in a transoniccompressor.AGARD Conference on Secondary Flows, The Hague, March 1977.

1421 LEBOEUF F., BARIO F., BOIS G., PAPAILIOU K.D.,

Experimental study and theoretical prediction of secondary flows in atransonic axial flow compressor.A.S.M.E. paper 82-GT-14.

1431 BARIO F., LEBOEUF F. PAPAILIOU K.D.,

Calculation concerning the secondary flows in compressor blading.AGARD CP-214, La Haye, 1977.

1441 FLOT R.,

Contribution à l'étude des écoulements secondaires dans lescompresseurs axiaux.

Thèse de Docteur-Ingénieur, Université Lyon I, 1975.

1451 LEBOEUF F., NAVIERE F-1., CARO 3.,

Ecoulements secondaires dans les turbomachines. Analyse

expérimentale et théorique de l'écoulement dans le compresseur.Rapport Métraflu, juin 1981.

1461 ANDERSON O.L.,

Derivation and evaluation of an approximate analysis for threedimensional viscous subsonic flow with large secondary velocities.NASA CR.-159430, 1978.

1471 BRILEY W.R., Mc DONALD H.,

An approximate analysis for three-dimensional viscous subsonic flowswith large secondary velocities.

SRA Report R 78-300001-4, March 1978.

1481 BRILEY W.R., Mc DONALD H.,

Analysis and computation of viscous subsonic primary and secondaryflows.

AIAA paper 79-1453.

- 133 -

1491 ABDALLAI-! S., HAMED A.,

Inviscid solution for the secondary flow in curved ducts.AIAA Journal, vol. 19-8, August 1981.

1501 ABDALLAH S., HAMED A.,

The elliptic solution of the secondary flow problem.Trans. A.S.M.E., Journal of Engineering for Power, vol. 105,July 1983.

151! ARNAL D., COUSTEIX J.,

Ecoulement subsonique dans l'angle de deux parois.

La Recherche Aérospatiale, n° 2, Mars-Avril 1981.

1521 PATANKAR S.V., SPALDING D.B.,

A calculation procedure for heat, mass and momentum transfer inthree-dimensional parabolic flows.

International Journal of Heat Mass Transfer, voL 15, 1972.

1531 PRATAP V.5., SPALDING D.B.,

Fluid flow and heat transfer in three-dimensional duct flows.

International Journal of Heat Mass Transfer, vol. 19, 1976.

1541 AGUILAR F.,

A numerical analysis of turbulent flow along an abruptly rotatedcylinder.

Ph. D. Thesis, Virginia Polytechnic Institute and State University,December 1975.

1551 RUDMAN S., RUBIN S.G.,

Hypersonic viscous flow over stender bodies having sharp leadingedges.

AIAA Journal, vol. 10-6, 1968.

156! LIN A., RUBIN S.G.,

Three-dimensional supersonic viscous flow over a cone at incidence.AIAA Journal, vol. 20-11, November 1982.

- 134 -

1571 RUBIN S.G., LIN A.,

Marching with the parabolized Navier-Stokes equations.Israel Journal of Technology, vol. 18, 1980.

1581 LIN A., RUBIN S.G.,

A numerical model for supersonic viscous flow over a stender reentryvehicle.

AIAA paper 79-0205.

1591 SCHIFF L.B., STEGERJ.L.,

Numerical simulation of steady supersonic viscous flow.AIAA Journal, vol. 18-12, December 1980.

1601 LUBARD S.C., I-JELL! WELL W.S.,

An implicit method for three-dimensional viscous flow withapplication to cones at angle of attack.Journal of Computer and Fluids, vol. 3, 1975.

1611 SPRADLEY L.W., STALNAKER J.F.,

A quasi-parabolic technique for computation of three-dimensionalviscous flows.

AIAA paper 81-0113 (AIAA 19th Aerospace Sciences Meeting),January 1981.

1621 Mc DONALD H., BRILEY W.R.,

Three-dimensional supersonic flow of a viscous or inviscid gas.Journal of Computational Physics, vol. 19, 1975.

1631 BRILEY W.R.,

Numerical method for predicting three-dimensional steady viscousflow in ducts.

Journal of Computational Physics, vol. 14, 1974.

1641 ROBERTS D.W., FORESTER C.K.,

Parabolic procedure for flows in ducts with arbitrary cross sections.AIAA Journal, vol. 17-1, January 1979.

- 135 -

1651 KAKOUROS G.,

Contribution à l'étude des écoulements secondaires dans un

compresseur axial.Rapport de D.E.A., Lyon 1, octobre 1981.

1661 PEYRET R., VIVIAND H.,

Computation of viscous compressible flows based on the Navier-

Stokes equations.AGARD AG-212, September 1975.

1671 RAUDKIVI A.J., CALLANDER R.A.,

Advanced fluid mechanics - An introduction.

Edward Arnold Ltd, London, 1975.

1681 CARLSON G.A., HORNBECK R.W.,

A numerical solution for laminar entrance flow in a square duct.

Trans. A.S.M.E., Journal of Applied Mechanics, March 1973.

1691 THOMAS P.D., LOMBARD C.K..,

Geometric conservation law and its application to flow computation

on moving grids.

AIAA Journal, vol. 17-10, October 1979.

1701 BROCHET J.,

Calcul numérique d'écoulements internes tridimensionnels

tr an Ss oniqu es.

La Recherche Aérospatiale, n° 5, septembre-Octobre 1980.

1711 BRILEY W.R., Mc DONALD H.,

Solution of the multidimensional compressible Navier-Stokes

equations by a generalized implicit method.Journal of Computational Physics, vol. 24, 1977.

1721 CHORIN A.J.,

A numerical method for solving incompressible viscous flow

problems.Journal of Computational Physics, vol. 2, 1967.

- 136 -

1731 PEYRET R., TAYLOR T.D.,

Computational methods for fluid flow.Springer-Verlag, New York, 1983.

1741 FORTIN M., PEYRET R., TEMAM R.,

Résolution numérique des équations de Navier-Stokes pour un fluideincompressible.

journal de Mécanique, vol. 10-3, septembre 1971.

1751 STEGER iL., KUTLER P.,

Implicit finite-difference procedures for the computation of vortexwakes.

AIAA journal, vol. 15-4, April 1977.

1761 GANOULIS i, THIRRIOT C.,

Numerical simulation of laminar separated flows betweenperiodically varied walls.

Lecture Notes in Physics, vol. 59, Springer Verlag, New York, 1976

(5th Conference on Numerical Methods in Fluid Dynamics).

1771 De SAINT VICTOR X., COUSTEIX J.,

Calcul du mélange tridimensionnel d'un sillage et d'une couche limitese développant dans des plans orthogonaux.

Rapport O.N.E.R.A, n° 58/2259 AND, Août 1983.

1781 CEBECI T., SMITH A.M.O.,

Analysis of turbulent boundary layers.

Academic Press, New York 1974.

1791 FAVRE A. et alu,

La turbulence en mécanique des fluides.

Gauthier-Villars, 1976.

1801 GENCE iN., 3EANDEL D., MATHIEIJ J.,

Réflexions sur quelques approches de la turbulence.

E.D.F., Bulletin de la Direction des Etudes et Recherches, Série A,n° 2, 1979.

-137 -

81! NAH C., LAKSHMINARAYANA B.,

Prediction of two and three-dimensional asymmetrical turbulentwakes, including curvature and rotation effects.

AIAA Journal, vol. 18-10, October 1980.

182! CEBECI T., SMITH A.M.O.,

A finite-difference method for calculating compressible laminar and

turbulent boundary layers.

Trans. A.S.M.E., Journal of Basic Engineering, September 1970.

1831 CEBECI T.,

Calculation of compressible turbulent boundary layers with heat and

mass transfer.

AIAA Journal, vol. 9-6, June 1971.

184! CEBECI T., SMITH A.M.O.,

A finite-difference solution of the incompressible turbulent

boundary-layer equations by an eddy viscosity concept.

Proceedings "Computation of Turbulent Boundary Layers. AFOSR-IFP-Stanford Conference, vol. 1, 1968.

1851 BALDWIN B.S., LOMAS H.,

Thin layer approximation and algebraic model for separated turbulent

flows.

AIAA paper 78-257 (AIAA 16th Aerospace Sciences Meeting),

January 1978.

¡86! KUTLER P., CHAKRAVARTHY S.R., LOMBARD C.K.,

Supersonic flow over ablated nosetips using an unsteady implicitnumerical procedure.

AIAA paper 78-213 (AIAA 16th Aerospace Sciences Meeting),

January 1978.

187! HINDMAN R.G.,

Generalized coordinate forms of governing fluid equations andassociated geometrically induced errors.

AIAA Journal, vol. 20-10, October 1982.

- 138 -

ISSt VIVIAND J-L,

Formes conservatives des équations de la dynamique des gaz.La Recherche Aérospatiale, n° 1, 1974.

1891 LAPIDUS A.,

A detached shock calculation by second-order finite differences.Journal of Computational Physics, vol. 2, November 1967.

1901 VINOKUR M.,

Conservation equations of gas-dynamics in curvilinear coordinatesystems.

Journal of Computational Physics, vol. 14, February 1974.

1911 PULLIAM T.H., STEGER J.L.,

Implicit finite difference simulation of three-dimensionalcompressible flow.

AIAA Journal, vol. 18-2, February 1980.

1921 STEGER J.L.,

Implicit finite-difference simulation of flow about arbitrary two-dimensional geometries.

AIAA Journal, vol. 16-7, July 1978.

1931 HOLST T.L.,

Implicit algorithm for the conservative transonic full-potentialequation using an arbitrary mesh.

AIAA Journal, vol. 17, n° io, 1979.

1941 HOLST T.L.,

Fast conservative algorithm for solving the transonic full-potentialequation.

AIAA Journal, vol. 18, no 12, 1980.

1951 LEBOEUF F.,

Turbomachines.

Cours dispensé en troisième année de l'Ecole Centrale de Lyon, 1983-1984.

-139 -

1961 LEBOEUF F.,

Contribution théorique et expérimentale à l'étude des écoulementssecondaires dans un compresseur axial transsonique.

Thèse de Docteur d'Etat ès Sciences, Lyon I, juin 1984.

1971 HORLOCK J.H.,

On entropy production in adiabatic flow in turbomachines.

Trans. A.S.M.E., Journal of Basic Engineering, 1973.

1981 ISAAKSON E., KELLER H.B.,

Analysis of numerical methods.

John Wiley and Sons, New York, 1966.

1991 LAPIDUS L., SEINFELD J.i-i.,

Numerical solution of ordinary differential equations.

Academic Press, New York, 1971.

11001 BEAM R.M., WARMING R.F.,

An implicit finite-difference algorithm for hyperbolic systems inconservation-law form.

Journal of Computational Physics, vol. 22, 1976.

11011 ROBERTS G.O.,

Computational meshes for boundary layer problems.

Lecture Notes in Physics, Springer Verlag, New York, 1971

(2nd Conference on Numerical Methods in Fluid Dynamics).

11021 ROACHE P.G.,

Computational fluid dynamics.

Hermosa Publishers, Albuquerque, 1972.

11031 YANENKO N.N.,

The method of fractional steps.

Springer-Verlag, New York, 1971.

11041 BEAM R.M., WARMING R.F.,

An implicit factored scheme for the compressible Navier-Stokesequations.

AIAA Journal, vol. 16-4, April 1978.

- 140 -

11051 WARMING R.F., BEAM R.M.,

Upwind second-order difference schemes and applications in unsteadyaerodynamic flows.Proceedings of the AIAA 2nd Computational Fluid DynamicsConference, June 1975.

11061 YEE H.C., BEAM R.M., WARMING R.F.,,

Boundary approximations for implicit schemes for one-dimensionalinviscid equation of gasdynamics.

AIAA Journal, vol. 20-9, September 1982.

11071 WARMING R.F., HYETT BJ.,

The modified equation approach to the stability and accuracy analysisof finite-difference methods.

Journal of Computational Physics, vol. 14, 1974.

11081 STEGER J.L., WARMING R.F.,

Flux vector splitting of the inviscid gas-dynamic equations withapplication to finite-difference methods.Journal of Computational Physics, vol. 40, 1981..

11091 BEAM R.M.,, WARMING R.F., YEE H.C.,

Stability analysis of numerical boundary coriditions and implicit-difference approximations for hyperbolic equations.Journal of Computational Physics, vol. 48, 1982..

11101 Mc CORMACK R.W.,

The effect of viscosity in hypervelocity impact cratering.AIAA paper 69-354 (AIAA Hypervelocity Impact Conference), April-May 1969.

11111 Mc CORMACK R.W.,

An efficient explicit-implicit-characteristic method for solving thecompressible Navier-Stokes equations.

- 141 -

11121 Mc CORMACK R.W.,

A numerical method for solving the equations of compressible viscous

flow.

AIAA Journal, vol. 20-9, September 1982.

11131 KHOSLA P.K., RUBIN S.G.,

A diagonally dominant second-order accurate implicit scheme.

Computers and Fluids, vol. 2, Pergamon Press, 1974.

11141 SCHLICHTING H.,

Boundary layer theory.

Ed. Mc GRA W-HILL, 1979.

11151 Proceedings: Computation of turbulent boundary layer - 1968,

AFOSR-IFP-STANFORD Conference, vol. II, p. 98.

j 1161 SAMUEL A.E., JOUBERT P.N.,

A boundary layer developing in an increasingly adverse pressuregradient.

Journal of Fluid Mechanics, vol. 66, part 3, 1974.

11171 ONVANI A.,

Etude expérimentale des écoulements secondaires en grille d'aubes de

turbine en absence et en présence d'injections discrètes à la paroi.

Thèse de Troisième Cycle, Lyon I, septembre 1983.

1118! CARO J., LEBOEUF F.,

Ecoulements secondaires dans une grille d'aubes de compresseur, en

écoulement compressible, couche limite épaisse à l'amont.

Rapport Métraflu, 1979.

11191 LEBOEUF F.,

Communication privée.

11201 ALKALAI K.,

Etude théorique d'écoulements bidimensionnels et tridimensionnels

potentiels avec termes sources rotationnels. Application aux

turbomachines.

Thèse de Docteur-Ingénieur, E.C.L., décembre 1983.

- 142 -

11211 HARLAFTIS S.,Etudes expérimentale et théorique de l'interaction forte des couches

visqueuses pariétales dans une turbomachine.

Thèse de Docteur-Ingénieur, E.C.L., mai 1984.

- 143 -

ANNEXES

avec

ANNEXE i

DEVELOPPEMENT DE LA FORME FINALE DES EQUATIONS

1. LES EQUATIONS INITIALES

Les équations de départ sont les équations de continuité, de quantitéde mouvement et d'énergie interne d'arrêt, sous une forme Conservative,différentielle, décrite par PEYRET et VIVIAND I66

(p)

- 144 -

+ dtv

-* * -(FE) +dtv(pEV -

Pour un fluide Newtonien, le tenseur des tensions est une fonctionlinéaire du gradient de vitesse (loi de Newton)

= cItvV I -dÇ'V- '..t-

de PV = 'rcd V + (rcAci V) = le tenseur du taux de déformation.

Les équations (A.1.l) peuvent décrire l'écoulement compressible dansun système absolu ainsi que celui dans un système relatif. Pour un systèmetournant à la vitesse c.) , la vitesse V dans (A.l.l) est la vitesse relative

- - -.

V = V b uJ 'Ç

(A.1.2)

+ div ) o

H

et la force fe dans (A.l.l) regroupe d'une part la force de Coriolis -2p4 ,

., -.. z id'autre part la force centrifuge -pt..i(c.C)w pQ(w R /2). Ces deux forcesstexercent par suite de la rotation du système. Les forces des gravités sontnégligées.

Nous allons exprimer les équations (AI.l) sous une forme

adimensionnelle, vectorielle et faiblement conservative dans un systèmecylindrique. Elles s'écrivent:

RF

P

pE

Pt.AR

o.

o

Q

RQ

o

D

ae

R

F

(FE- p)L

o

ZR

T .î

-. 115 -

o

PRLp4tp

Lt6

(E+p)u

o

o

pR-2 wpu

Wp R 'R

o

(A.1.4)

L f RFV+ i j) 4-

(A.l.3)

o

o

_pUeZ_F

(e) -7 - - .1 L. 4- RLGR- R6 LR '

(f) (Ru)

-3--

-.146 -

Les tensions visqueuses sont données par les foemules suivantes:

Z- (RL)+ 2(RA.R2e J

+22

+2R.

= v-( Ue

I(A.1.5)

UeJ 2,L

R

= eL + kPr

Les termes visqueux dans l'équation de l'énergie sont:

L kPv-

{R 2E?

frk(

2R-

R \4

(A.1.6)

13R=Pr

k- e

RF&..

R 9 3R.

- 147 -

Nous considérons que l'équation (A.1.3) est écrite sous Une formemoyenne statistique. Les termes des tensions alors dans les expressions (A.1.4)regroupent aussi bien les tensions visqueuses que les tensions turbulentes. Cecipeut être exprimé en considérant que la viscosité 1.A dans les formules (A.1.6)est la somme d'une viscosité laminaire A.e et d'une viscosité turbulente(dont la méthode de calcul est donnée dans le paragraphe 1L2.3).

La pression est calculée par une équation de gaz parfait

(A.1.7)

Pour un écoulement incompressible, si nous utilisons la méthode de lacompressibilité artificielle, la composante (a) de l'équation (A.l.1) peut êtreremplacée par l'équation

- =0 (A.1.8)

2. TRANSFORMATIoN DES E'UATIONS DANS UN NOUVEAU SYSTEMEDES COORDONNEES

Nous allons transformer le système cylindrique ( , R , e ) en unnouveau système ( ., Z

, ') quelconque. L'équation (A.1.3) devient après latransformation

(A.1.9)

.1 2RRI 'Ev

ou

=t.

P

Pu3,

PUe

F12

o

- 148 -

o

4- * vis ?:

v$ Z9 f V Z + L6 Z

+ 'l-R9 + VeZ9G

vl + vl +

pU

pu;U + P

(pEf p)U- t P

v

pV

puVt V1lrF

ptARV + p

+ v1 P

b.l

e 5$

- etR.9

+ KR -«e

o. tee7-p p-2 RpcR

pti -- 2 PLRLAR

p R2 L4.

o

(A.1.1O)

; -cs, + +--

4 4

4 RZeR +

#ReeI

pW

ptA/ ç'; ZT +

o

P.

pR» ÑF: ' Za 4. R tRI

pu9 \i'J* 8p - Z0, 4- Ze

(o)

(c)

(d)

(f)

- 149 -

Dans ces expressions U , V, J sont les vitesses contravariantes dusystème ( , , ) données par (2.43). La forme générale des métriques et duJacobien de la, transformation est donnée par les formules (2.44) et (2.44.a)respectivement.

La transformation des dérivées de l'ancien système ( , , 9 ) au

nouveau ( ,1 , ), s'effectuant par une permutation cyclique, nous donne laforme des tensions dans le nouveau système

/L) +2f(---)+

(a)e j

RL

kk=L()2(fl ckL)2)7f

(R ±T e( + í) -RL

(e)

(+2) I e(+2) ((-0G \PJVL R.

(P)7 2-& 3.f + ç

(A.1.l1)

- 150 -

oi le nouveau vecteur des inconnues est défini comme suit

ç , ; j, )T (, P,P,FU9,PE)T/

Les termes visqueux f dans l'équation de l'énergie prennent aprèsla transformation une forme assez compliquée. Puisque finalement nous

n'utiliserons pas cette équation, nous ne présentons pas cette nouvelle forme de19L ici.

3. INTEGRATION DES EQUATIONS DANS LA DIRECTION AZIMUTALE

Nous allons effectuer une moyenne massique selon la directioncircoriférentielle & que nous assimilons à la direction . A cause de lapériodicité de l'écoulement, les équations seront intégrées seulement entrel'intrados d'une aube et I'extrados de l'aube voisine.

Nous définissons une moyenne massique dans la directioncirconférentielle comme suit

ou

b ± le facteur de blocage dû aux aubes;

+ l'épaisseur tangentielle des aubes

le pas de l'aubage;

indices pour côtés extrados et iritrados de l'aubage respectivement.

5 5

pA L

P

-r

2nRR,

(A. 1.12)

- 151 -

La valeur moyenne du gradient de la quantité (p A ) peut êtreexprimée en utilisant la formule de Leibnitz

(pAs_PAr )

pA L.a(,j_ (pA5_6 zrr6

pA5 2rtb %et

F 2 (A.1.13)

Après avoir décomposé chaque grandeur A en une valeur moyenneet une valeur fluctuante A*

e-'

(A.1.14)

nous effectuons l'intégration azimutale en utilisant les expressions (A.1.13) et enassimilant la direction avec la direction . L'équation (A.l.9) devient aprèsl'intégration

(A.1.15)

Dans ce qui suit, nous allons supprimer les indices (') entenant compte que toutes les grandeurs qui apparaissent sont des moyennesspatiales.

+ rv 4-D2

Le terme D. dans l'équation (A.l.15) exprime la force exercée par

l'aubage sur l'écoulement. Cette force est le résultat de la contributionsimultanée de la pression et des tensions de cisaillement sur l'aubage. Pour unezone aubée avec = = = O sur les parois des aubages, elle a la forme

suivante

D D4 b =-J_.p '. 2n

2n/

- 152 -

o

Re,

-F'- R

o

Rt+ 9Rtrat+

& Re,;- tee4-

ej/

Pr

s

La force de la pression exercée par une surface de l'aube sur le fluide

environnant est

-F

o

R pG

RpG

-P-Rpe.

1p 211

Cette force est normale à la surface moyenne 6L de l'aube.

P.

I

o

RQt+ RZrteR t . et-zRG te3 + RZø,teeRE 4

(A.l.16)

avec j=p ou

et elle est normale à la surface de l'aube. En utilisant l'hypothèse des aubesminces, la force totale résultante des forces sur chaque côté peut être exprimée

par la formule

(A. 1.17)

ou

D22

D25= -

D24_ b

[b.Ç)u+F

-1.( LV' + L

-- s. --Ur

+b(- u;LA; _p--

(L;u'+ p._L)pr e

- 153 -

Le terme D dans Péquation (A.1.15) contient les fluctuationsspatiales du type ULL qui expriment la non-uniformite de l'ecoulement dans ladirection azimutale. Ce terme a la forme

( / D23 D2 D25)T (A.1.18)

(A.1.18.a)

-% -%« U par_L.. pp L) + pL)'.fF E 0 + PfF4'

I.'$r4 -'

2-LLp.P

..- i PG - (2.47)

Rc

- 154 -

Dans ce qui suit, nous allons ignorer la contribution de ce terme desfluctuations.

Nous allons utiliser l'approche parabolique pour le calcul de

l'écoulement que nous étudions. Pour cela, nous allons négliger les termesdiffusif s dans la direction . Les dérivées de deuxième ordre selon ainsi que

les dérivées mixtes seront alors éliminées. Après l'élimination des termesdiffusifs selon l'équation (A.1.15) devient

.4-26 L + D (A.1.19)i

4. NOUVELLES EXPRESSIONS DES COMPOSANTES DE L'EQUATION DE

QUANTITE DE MOUVEMENT

L'équation (A.1.19) contient le terme D dépendant de la force depression D4 et de la force de cisaillement . Nous cherchons uneformulation qui ne contienne le terme . Puisqué le vecteur de la force de lapression est normale à la surface de l'aube, le produit scalaire de celui-ci avec unvecteur tangent à cette surface sera nul.

(s Pr). (Ra!Ñ RÑ--N) o (A.1 .20)

Nous projetons alors les trois composantes de l'équation de

mouvement selon deux vecteurs tJ)et (L,L,.,L9)tangents à lasurface de l'aube. Les deux composantes résultantes ne contiennent pas leterme

A la place de la troisième équation de mouvement, nous utilisons uneéquation cinématique reliant les composantes de vitesse au système ( , R , ) à

celles du système ( S , Ñ , B)

- + AQ = o (A.1.21)

Après la projection selon NJ et L et l'introduction de larelation (A.1.21), l'équation (A.1..19) devient

ou

et

''3R 6RF.+ 6Ç +.bM=Á 'RÇVJ

t92

kí =

F2=

F L F1

o

F3

=

155 -

T,Er , o, F]T

-. o

T

I / C.) /

F1 , G = G1

FgF5 G5

Ñz

'2 L .- J3 LR L6

+ -Ñe- LR - F4 L6

+ Ñr. +G Ñ0

& L 4 L. -+ L

Gv ?rv Ñ. # Ñ i- G-,4 NJe

= L L *Cv4 Le

(A.1.22)

(A.1.23)

(A.1.23.a)

- 156 -

- R ( +'?tUØ

)R (vL +

.( DitJ 4- £stRÑ

- R( +:4

2

.4-'L3 3Lk

Pe VL

= Lp.+M,Le

- R.'L

)i.L.

( D4 L + b4 L + 4Ze Le

= tB pU Lte_ P/p4

je_;;,

)

a)

ANNEXE 2

CALCUL DES MATRICES JACOBIENNES POUR LA LINEARISATION

Nous allons calculer les matrices Jacobiennes 7, /, '% etA? de la procédure de linéarisation (définie par les formules (3.5)) des vecteurs

F ,G , G., et t-1 de itéquation finale (A.l.22).

Puisque les vecteurs W, F , G , G., et H sont cies fonctions linéairesdes vecteurs , , , , et i données par les formules (A.l.23.a), lesmatrices Jacobiennes associées aux W , F , G , G., et '-1 seront aussi desfonctions linéaires des matrices associées aux W , F, G, G., et H . Nousprésentons ensuite le calcul détaillé de ces matrices.

a) Calcul de la matrice Jacobienne

Il est

k'1 W, =

= 4 -- NJ9 = - NJv\ 4 NJ9 )

J3 L(A.2.l)

k'4 o

et les éléments de la matrice

= = oti

=0 Ñ.

L

o/

I :::/cz_23

/ 3 = L /

Ni8

(A.2.2)

J.

j=4Ct)4

b) Calcul de la matrice

Il est

-

F =1

+

KR

Ker

+

it;, +?

R}

+ L.P

- 158 -

J

J

=0

(A.2.4)

sou

) pour

K L(L,L,Le ) pour .=3

Les éléments de la matrice sont

C 1- R) +(A.2.3)

.[¿

K )J

1-

f

1

f

= k'5 [2

P+

}

+ KR {

40

4fo (í)4

P

-.,où K=N pour C2

-KL pour i=3

Les éléments de la matrice son t

i.

=0

- 159 -

-f-

K

/ V1 (A.2.6)

c) Calcul de la matrice G /3:

Il est

= = ç : + Vj)

2+ i-

(A.2.5)

4-

4

G oV4

{

I

f2

1X

2 V; 4.

P

P

ij

I

- 160 -

¿1 - K3I247+%R

2/L.r.4-4

I

I

.() #2.()jP

fIPt V 4 2

P

ç

{R () () I +

E' LP- p-/,

iE Ujv() f-3J

F'L

+ 2

d) Calcul de la matrice Ç)G,1 /Dt:

Il est

= vI = O

k3 4. K + e G(A.2.7)

.v7.

}

j =()4= Q

±L

I

f.

f[ (-

(1

- 161 -

& t J_

(;1 ;--; l/

+

\ Pt

(t\

+ V2R \ p22(

J

(A.2.8)

= - j[I \Ì \1

i+ IÎ

2\ . tt".i. P ,/t i' J S \ 2. 2

C.ì1G ¿:1t 4 Rt m1

Les 1éments de la matrice sontV

t1' O i 4 (4) 4

z

g';L J (

avec

=2

H3 -

= o j=L(Ù4

f) Calcul de la matrice '2)k1/'t:

Il est

t'11= 1=CD

= + - 3 f (A.2.9)

( P

- 162 -

9VL4Ka

{

L)(Rp

J

.(: c4 - + Ke [4 )

14 = - t.UA -c,s

'2'? /+ R

Kk

7 9

p I

Les éléments de la matrice A? sont

-R

+

IR

¿

.

i;

R.(

i ((4) 4

f

13 -

¿ '- (R= - - __ ___

L L. [.&. r i___+ j L ?&

t-41 (Z

;5 \ i iK FL ii

2'F3 'KR +1-

2 j

4- ____2' /( 2 L 2:V( i

2' v ) K R ' Ke

Re 2' +

}

(A.2.1O)

R. . 4-

+VL 2/IL

ÇW 2kR 2'

2"i.

j. ZR JI

f

[

fe 2wRP

+3 +

R 24 '1R j j

+'l j

=f 2 2R }

_ __ i iiR. L

I =

o i

=L #3 2

RF

Dans toutes les expressions pour les matrices 3acobiennes écritesjusqu'ici, nous distinguons deux cas

i) Compressible avec:

/ -i(cT0

-r-I z

= A --t-,i:4 X

ii) Incompressible avec:

-'=10

- 165 -

2

2

(A.2.1l)

+C c T0

ANNEXE 3

CALCUL DES MATRICES DE LA RESOLUTION

Nous allons calculer les matrices [A7, Jet { C1 j du système

tridiagonal par blocs (3.18) pour chaque point (j) du maillage.

En partant de l'équation discrétisée (3.12) écrite au point (j), nousallons réarranger les termes de façon à ce qu'elie prenne la forme (3.15). Lesmatrices LA J, L BJ, Lc1 1 dans (3.15) contiennent les inconnues aux points(j-i ) , (j) (541) respectivement.

Dans l'équation (3.12), les matrices lacobiennes 4-set i' fontapparaître les inconnues au point (j). La dérivée (//? ) fait apparaître levecteur des inconnues aux points (j # 'i ) et q -i ) pour un schéma centré et auxpoints Cj) et (j-i) pour un schéma décentré en arrière. La dérivée ¡i )et la matrice font intervenir le vecteur des inconnues aux points (j-i), Cj )

et (j #1). Nous allons examiner en détail la distribution des différents termes à

ces points pour les deux dernières.

Dérivée (ÇY/., /Z ):

Elle est divisée en trois parties

3 / 2

vL

(j-ji) C1(j) c7..,CíH)

En utilisant les expressions (A.2.8) et en développant les dérivées selon , nous

pouvons définir les éléments des matrices '/, f et

(A.3.l)

)( =

± ç

vl)R j..41

( ?+ (\

p "i4J

f

*

(Vij )j4,

(_K1s-,z

-. 167 -

R

'-I +V2/' )_4

( \

{t )jj J-tI -1 J

VLj V( I R \

Lz

C-

Vi(Z (;)f;

\'j_i - 2

2( 9v1) +

(VlQY)

R /j4ç

(\ (R%4. P \(. r2 .

-p ;V1J4

f+-j4.4f

Zt /5-i

R

J

+2e. -I--I J-i

ß ?5t /4i/

ivc )4' (( _fv = o

('

2

+

+ f

C

KR)

+ t

k-J J4'L

/j_tI

f

- 168 -

- 'L(2 + : ). + () jf( (2z4vz ),

ç 'S'&ií4 /

ff4j

.ç; 'A' 14+4) R

+ (_K) (12\.. ;: J-"

(2vLvz.)Ç R

I f(KR)

(\ (p)

R )j',zj /J

(K (2

2 + ___2

2 )}

J

J-II

fe c;)j"a + (K )j4,t} )J.

f vi I ()(_

144

j*14_i 4.t., I

j

2"J44

f J

(,jA)44 [V1Q. .(_.-.;

+ /4 ) II 'j4(I

I J4 1.

Rj4i,j Rj*d,I (

+\ P. /j+4I

E{

- 169 -

(R \)

2 ''j*i

(j )j.4Ç ,

(iR3441

2

Les autres elements

= 2(1)4 , des matrices

calculés de façon analogue.

En plus il est

44

4 F )l

tI )i+1

(Kic,)' ('4 )pour

et peuvent être

- 170 -

Matrice

Elle est divisée en trois parties:

(j) 4(j4) (j) + CJi)

En utilisant les expressions (A.2.lO), les éléments des matrices et

c,4 peuvent être définies.

En utilisant les formules trouvées dans cette annexe, nous pouvons

calculer les coefficients matriciaux LA 7, [] et L (j 7 du système (3.18). Ils

sont donnés par les expressions (3.16) ou (3.17).

FIGURES

N

yFigure 1. Systèmes des coordonneés et (S,F4,B)

iqne tc cori raiit

ext è rie u r e

y.

7.

6.

5.

.4 .5

Figure 2. Composante axiale

..1 .2 .6 .7 .6 9 I.

1.

5..

4.

1.

o. .2

Blasius

Calcul i ( p par continuité )

Calcul 2 ( dp/dy O)

Figure 3. composante normale

6 8

$ ¡ô'

-J¿o

-z40

o 50 loo 150

Figure 4.

ZooI i -

onoo3O8 oo

Pu AlF3O1 O3 XU1

AR -J (5/

50)Figure 5. AILLA

OO25

000'l'l

Ui UREF

O 800

ODGOO

O D 0O

02OO

ou

EXPO 1IECHAROT

ouo,1 00'1 O 02

+ EXP WI

1TER=2

1TER=.

ITER=G

U / UREF

OBOO

O 600

O /400

O 200

OD

U iUREF

0 800

O 600

EXPO LJIECHARDT

(c)

/0/400

O p200

t'Jo

On OO1 OOi OO2 OO2 fl

O

EXPO LJIEHARDT , X'10O8'

(d)

Figure 6 (contin.)

OO1 001 OO2

+ EXP 141G

1TER=20

1TER='O

1TE=G0

+ EXP WI

ITER=2

1TER=

ITER=G

UiUREF

00800

0600

001.00

0200

0g

110900

t500r-ç- 01.8

C

EXPO L!ÏEIHAROT , X='1023"1

(e)

Figure 6. (contiri.)

0011 002 002 El

061. 0080 O 96 X( N)

EXP JtG

1rER2o1rERo

ERGO

290O

200

2500

2300

21100

+

+ --

+ EXP JI+

CALCJL

+

-

DLX( nil

EXPD IJIElHAROT EPAISSU DEPLACE!1 OLX

THXU1I1

20 '100

'1900

00

'1500

t 300

1.'100 +

EXPO LAJIECHAROT , EPAISS0 I1OUUEMENT0 THX

Figure 8

EXP0 IECHARDT , FACTEUR DE FORflE H12

H'12± EXP 1

CALCUL

'1G00 r

1500r

+ +

'100 - ± + ------

1300

t2000DG 0080 0096 X(fl)

'JC

+

+

00800r- 0.8 006 080 0086 X(fl)V-

C

+ EXE .J1

CALCUL

Figure lo.

0O81

00030

000r1

1q03VAILLA Pn S B9 (3 50)

1. O 11 XU1)Y

El JO

U, UEXI

00800

00600

0 /400

0200

00

UIUEXT

00800

00G00

0/400

0200

(a)

EXP0 SAM0-JOUB0

4---

(b)FinuI'Q 11

EXPO SAr10-JOUB0

4--

I.'Ua

cl 002 004

± * * +-

+ EXP S-CALCUL

+ EXP S-CALCUL

o 002 000/4

r-

U.'UEXÎ

0800

0600+11

0n00

00200

00

002 0D0

DLX(flfl

000o

0000

5000

30000

00

EXPO SA10-JOU90 , X=2038

(c)

Figure 11. (contin.)

.4-

+ APS-CALCUL

EXPO SA11JOUBD.. EPAISSO DEPLACENO DL)

0S0 'lo'lO 130 150 1.a0 190 210 23O X(N)

+ EXP S-CALCUL

THX(fl

G 000

4000

2000

H112

10550

1500

110450

EXP0 SAM0-JOUB0 EPAISSO MOUUEHENT0 THX

Figure 13

±

EXPO SAM0-JOUB0 , FACTEUR 0E FORME H'12

0D90 11110 1130 1150 t0 '190 20 230 X()

+ --------------------- + +

00 tAiO 1130 11DSO 110 110 21.0 230 XU1)

+ EXP S-

C. A L CUL

+ EXP S-

CALCUi-

A350

Ai300

A

p250

Ai200

+

Figure 15.

C')

o

1.800

1.600

1.400

1.200

1.000

0.800

0.600

0.400

0.200

0.0.

-J

-;t

-;t

I

It

t

t

r»1

+

s

t'

+

\

+

+

t'

'e'e

'tt'

'e +t'

t'

t''e

t''e

+

t's

's

+

'S

'S

+ EXP S-- - - - CM.CUe_

0.20 0.40 0.60 0.80 T,DELÎ

0.800

0.600

+'r

s +0.400

\0.200

S'

-s

OC')

0. 0.20 0.40 0.60 0.80 TiDELI

(a)

EXP. SAr1-JOUB., TENS, REYNOLDS, X=1.?9

LJ1XU2 x

UIXU2 x105

1.800

1.600

1.400

1.200

1.000

EXP. SAI1-JOUB., TENS. REYNOLDS,

It+ EXP S-

- - - - CM.CUI..It- 'i.(Jt

\- \\

+ \+

o

(c)

Figure 15. (contin.)

c)

(111U2 x

1.800

1.600

1.00

1.200

1.000

0.800

0.600

0.400

0.200

0

0.

EXP. SAr1-JUUB.

\

+ +

TENS. AETNDL.DS

+ +

+

+

X=2.38

+

\\

+ s-

- - - - CALCUL

0.20 0.40 0.60 0.80 TiDELI

F1.

Figure 16. Grille turbine

F13

-00009O«I4 O18

vfrTLLprr flJI I L ïuL ULLLL

/\ r)')Uoi

RBÍÑ (8 YiL

Q7TJ

2)

O D 019

ñ n')'J o JU

o

'4o

ri,s

'15 000

10 000

f

(a)

UZ FENTE 5

LiS FENTE 5ri/s

(b)Fiaur

+ EXP

CALCUL

'.3

o

25000

200000

15000

'10000

5000

OD

b

L

+ EXP

CALCUL

O OO2 OO 006 OO8 OD'1O O12 11

5OOO

'.3OD

OO2 OO OO6 O08 O'1O O12 ri'.3

ri/s

l 000

00

'lOOOQ

-2000

-300O

0o00

50O0

G0000

-,a000

- Bp000

o

o

0E

-400O

-5O0O

-GOOO

-,000o

8000

-QJ0no Jo

o

1P (,i-4r \

JN FENTE 5

++ +++±+ + ±.__±___+___*____+_______

002 001. 006 008 OaIO O'12 ri

BE FENTE 5

++ ++±

++

++

S

0O2 00 000G 008 01O O12 N

+ ExpCALCUL

EXP

CALCU

nco

11/s

25000

20000

i5. 000

10000

5000

nco Lia(_'3 f'C)

11/s

(a)

150000

100000

5000

iJS FENTE

002

IZ FENTE

0a0 000G 008 0'10 0i2 11

n rn' mi nnc nnn nmO LioLi( JD'J'+ UOLIQ LioLiO

O

+ E(F- .- - - CALCUL.

+ EXPC C CL

ri/s

'10000

09

000

-2000

-3000

1+000

-5000

-G000

..000

-80000

oa:,

t'Q u0

Q

DED

- 13000

-'11+000

-15000

-1G0000

Aj '7 000

18000

-'ISDOOD

-20000

- 2t000

t'Q Jo

Q

Cc)

+

(d)

JN FENTE B

BE FENTE B

-v

0002

+

0001+ 0 0G 008

-E

09'lO

±

+ EXP

cALCUL

002 001+ 090G 0008 O 10 012 ri

+ + +

Il/s

OD

C) 0 002 0006 008 O«i0 02

25000

200000

15000 r

10000

5000 -

(a)

(b)

iJS FENTE i

±

+ EP-. L/\LCUL

UZ FENTE i

+ EAP

+ + ± + ± + __-_-___±_ + * - LL.CUL+_ -

-

15 000

100000

5 000

002 00 006 0008 010 0l2 n

rì,s

000

00

-10000

-2000

-3000

-tD 000

-5000

-G0 000

--0000

-8000

-oJø

NO Jo

O

DEC a

-23000

200O

25a 000

2G0 000

2000-28000

29000

- 30O000

-3t000

- 32000

33000

3000

tJN FENTE '1

1-

-t-J

(c)

-+1

35000 +

-3G0000N

O 002OO

+ + +++

BE FENTE

+

+ +

(d)Ficiure 20. (contin.)

002 00 000b 008 0'10 02 fl

001, 00G 0h08 0010 fl

+ tXPCALCUL

+ xpCALCUL

n/s

150000

10 n 000

500O

OD

n,s

25 000

20000

'15 000

100000

500O

r'wC'.)

yf

(a)

0O2 OO 006 0h08 Oa'lO O'12 11

(b)

JZ FENTE 8

+ + _± + + +± - -

OO2 0O 000G 0008 O'1O O'12 fl

L.JS FENTE 8

+ EJPCALCUL

+ EXP

CALCUL

ri,s

10OO

OD

'1O00

-2000

- 30O0

D000

5D000

-60000

-.DOOO

-80OO

-4 QJoC')O-4C)

LJN FENTE B

BE FENTE BBEG0

330O0 E

340000

35O00 - + ++36000 +

-3000 + /380O0-

-39O00 - +r¿0D000 -

41000 fr

-420OO-43000C -

44o000 -4.

-450000-J

-4G000 +- D000

- 8D 000

-4S000- 500000-5100D-52000

002 00

Figure 21. (contin.)

O 0G 008 O1O ( 1')J0 J_

+ EXPCALCUL

+ EXP

CALCUL

OD OO 02 O 0G 008 O 10 012 n

'J

C)

11/s

(1Unc'a

OO2 OO ODOG OO8 O'1O 012

150000

100000

50O0

ri,s

250O0

200000

l5000

10000

5000

Figure 22.

JZ FENTE S

± --

--

y

LJS FENTE S

- +EXP

+ _+ _4.. .+ +-*-.___-+ CALCUL

002 O04 0OG 0008 010 0l2 11

- EXL. PL. L

ri/s

10000

00

-1000

-2000

-3000

-tD 000

53000

-50000

-3000

-8000

00000

+

LiN FENTE S

BE FENTE SDECO

-450Q0-b0000 -

-000 +48000 ±/---.S0000 + //

-5000O --510000 --52000 -

-533000 -r-500O ,

5530005GaO00

5O000 L.5Q 000

+Gu300u -013 -623000 -

-G3000 --6(000 -

-G5000 -

- 6630000 002

+

Fiqure 22. (contin.

+

0002 000 0005 0008 010 012 M

+++

-s-

0 0 0006 0008 02 ri

(a)

JZ FENTE JOri/s

+CACUL

++ ±+ _____--+----- + + +-1- '

+_

15 000

H-

'10000

5000

00

00 002 0O 006 008 0'10 0'1Z 11

LJS FENTE '1011/s

+ EXP

CALCUL

250O0

20000

'15000

10000

50O0

VO

o 002 00 000G 008 010 012 11

o

BE FENTE 10DEC

-5000E- 52000

53000 - +-5000 - + ±5500O +,/___-5G0000

+ + + +/5I0000 ±"- /58000

-

-5S000 - iGOD000 I

..ID000 i'

-G20OC-G300004O0O L

G50000 -+8GO00 -

61O000 --G80000 -

-6S0000

i0000-1'L000

-12000002 00'$ 006 0008 010 02 fl

o

002 00'$ 006 008 010 012 M

Figure 23. (contin.)

fl/s

1 000

00

a 000

-2000

-3000

-'$0000

-50O0

-G0000

-10000

-6Q00

-9000

1+

I

L.JN FENTE '10

+

+ _t___±__+// +/+, .

t-/

± + +

11/s

15O00 +i_ti- --- -

'10 D 000

5D000

OD

ri/s

25O00

20OOO

150000

100000

5000

-'4 nVo

C'.) no Vo-4o

(a)

(b)

JZ FENTE 'Il

LJS FENTE -1-1

+ EXP

CALCUL

EXP- CALCUL

002 00 000G O08 0'1O 012 11

O 02 O 04 OOG OO8 O '10 012 ri

1OOO

100O

-200O

-30O0

6SOOO

'0DOOO

flD00Oi200O

- 3D0O0-'z

i'.."C'.)C) 3D-.4o

flLIUL D

-55D000-5600050 000

-58O00- 5S0000-GOD000

Ct 000G20 000

63D000G0000

-65000Gb0O0

-0Û1)

(c)

Cd)

Figure 24. (coritiri.)

LJN FENTE -l'i

+± +EXP

.CALCUL

BE FENTE '11

±

-1-

+

++ +-----+.--

+

O 0G 0008

+-+______ +

+

0010 0D12 ri

+ EXPCtLCUL

OD 02 O O 0G 008 O IO O12 ri

rigs

'150000

0 0000

50000

00

JZ FENTE 5

Figure 25.

002 00 000G 008 0'10 Qi2

+ EXPCAL CUL

woo

ri,s

'10000

00

- '1000

-20O0

-3000

-4000

-5000

-G0000

-8000

-9000OD

¡p

!JN FENTE 5

+± +++++ ++++

0O2 00 000G 008 0'10 0'12 n

+ EXP

CALCUL

DE

-4D000

5000

-6O00

-00OO

-8000

Q

wO tjoO

(c)

Cd)

Figure 25. (contin.)

BE FENTE 5

+ EXPCALCUL

ri's

25000

20000

'15 p000

'10000

5 000

(

(a)

l/Z FENTE G

w

[AiS FENTE 8

(b)

Figure 26.

002 0nO 006 008 010 012 11

002 00 0h06 008 00 '10 00 '12

+ EXPCALCUL

+ EXPCALCUL

11/s

15000

'10000

5000

"70g

CDo'zo

ri,s

'10000

0

-'10000

-2000

- 3000

-'0000

-5i3000

-60000

-ß000

- SO000

o(.0C) Un

C)

DE

- '13000

-'14000

-'15000

-'1G000

-'fl0000

'1SOOOO

- '19000

-20000

-2t000

co nC) tinC)

:1

IN FENTE 6

(c)

BE FENTE 6

002 0o01 00G 008 On'1O 0'12 fi

++ +±

+ ++ +±

- +--

(d)

Figure 26. (contin.)

0a02 0O O0G 0O8 0'10 O'12 fi

+ EXPCALCUL

+ EXP

CALCUL

+

+

w

o

11/s

5000

10 0O0

5000

:- *+,--

+ /1-7

002 O0 00G

JZ FENTE '1

Figure 2.7.

ODOB 0'10 012 11

+ EXP

- CALCUL

ri/s

'in 000

On

000

-2O0O

3n 000

-4OOO

-5OOO

-G000

000

8O0O

-4 0.Jnt'o Un

o

(c)

LJN FENTE

(1 n.')U n

BE FENTE

On O.

(d)Figure 27. (contin.)

O 0G O 08 O 'iO On '12

nEi'ULUn -

- 23000

24000+ +±+ ±

+25OOO

26n000

2ì00028n000 -

28n000 -

30n000 -

31O00

32n000

33OOO

34n000

- 35OOO +

36n000On 0n02 OaOs OOG O08 On'iO On'12

+ EXP

C.ALCUL

+ EXP

CALCUL

Il/s

25 000

20 000

5000

10 000

5000

(a)

L,JS FENTE 8

002 0a0 ODOG 0D08 0gi10 0D12o-'so

(b)

Figure 28.

+ EXPCALCUL

000

-t 000

-2000

-30O0

-4000

-5000

-G0 000

- .0000

-8000

Q'Jar'Un

o

- ¿4000/5000

-4G000-c:h000

-8000- 49D000

- 50000- 5t000

c_o

o Ja'.7o

[JN FENTE 8

Figure 28. (contin.)

002 0Ø0 00G 008 0'10 02

EXP

CALCJL

BE FENTE 8DE

33000 + EXP- 34000 CALCUL.

35000 + ±+-3G0000 +

-3000i800033000

-40000

±,'+1f

-

- 4t000 i- '.2000 -

_iI43 n 000

fl/s

'15a000

"10a 000

50O0

OD

r

JZ FENTE S

OD 0a02 OO O0 OO8 Oa'lO Oa'12 ri

+ EXPCALCUL

ri/s

25OOO

20 a 000

"15 a 000

'lOa000

5OOO

'.4Ja

woo

Ficiiirp 2Q

JS FENTE S

+ EXPCALCUL

O 02 O 0 O a 0G O a 08 O a "10 O0 '12

ri/s -

p000

-

_D00o-

-2000 +/

-3000 .7

-4000

50O0

-b000

_10000

-8000

S 000

On

DL)- 45 000

-G000000

-1.8000-sn00050000- 5t000

-52000-5300O- 5000-55000- 5600O-5000-58000-5S0000

- G0000

- 6'1000

- G2000

- B3000

- 6000650O0uuD

(OO Un

cL

(c)

- -1t

J

tAiN FENTE 9

+1

1

±+±//

OLLO2 00 006 008 010 O12 H

BE FENTE 9

d)

Figure 29. (contin.

+ EXPCALCUL

+ EXPCAL.CU..

O 02 0 006 008 0'1O 0 2 Í.î

cao

ri/s

'15000

1OOOO

5OOO

OD

ri/s

25000j.

20000

'15000 -

'10000 -

50000 -

r'\Jo

caO02 0O 000C OO8 O'1O O'12

o

1+

JZ FENTE 10

OO2 O0 000G ODOB O'1O 0'12

LiS FENTE 'io

Figure 30.

+ EXPCALCUL

+ EXPCALCUL

ri/s

'10000

-'1000

200O

-3O00

-4O00

-50O0

-G0000

-D000

-8000

Q

Ao UD

o

+

(c)

z

IA!N FENTE '10

±

+/ + ± + - -±-./ + + + +/+1

002 00 006 008 0'10 0'12 ri

BE FENTE '10

+

+/ ++++/ + + + + ++,'/

002 00 006 008 0'10

(d)

Figure 30. (contin.)

+ EXPCALCUL

+ EXPCALCUL

DEG

5t000-52000- 53000- 5000-55000-5G0000- 500058000

- 58000-GOQ000- S'1DOOO

- G2000-830O08000

-65D000-GG0000-sr0000 4

- G8000- G9000- 70000- ,10000

(oO UD'4O

oo

11/s

15 000

50000

00

11/s

250000

20 000

'15 000

i0 000

50000

¶.Jg

(oC) Jg

o

UZ FENTE '1-1

0002

LJS FENTE 'LI

+ + ± + + ___±___±.

Figure 31.

0001+ 00 0 0008 0 '10 012

002 001+ 000G 008 0'10 0'12 11

+ EXPCALCUL

+ EXPCALCUL

ri,s

10000

00

000

-2000

-3000

4000

-5000

-G000

r000

8000

-o-Do Ja

o

DED-55000-5G0005L000- 58000- 59000- b0000- G1000-G2000-63000- 6i000

65a 000

000- 68000-69000-,0D000

000

-2000-3000

w nO'-Jo

i+.

(c)

LJN FENTE 'l'i

+1

+

BE FENTE fi

+

++

±±++

(d)

Figure 31. (contin..)

+

+

-t-

+ EXP

C.AL.CUL

+ EXPALCU.

002 O O OG 008 00'iO O '12

O 02 00 0 000G 008 JO L O '12

32. ßr\le coprSeFigure

0000

OO18

onoo1.

Figure 33.

ooOoVP\L

OO2

J'\.L I3

o 04 OOOB

LURES' D (8 2)LU

X(i1)

ri,s

80O00

000

000

20000

'1000O0

80000

U%JaLOci Un

ci

/

1

UZ STATION 2

//t

+±

+ EXP

+ .CALCUL.

,JS STATION 2

+ EXP2G0000

C. A L. CU L..

+ /240000

22O000- -V'

2000Q0 -

80000 -

-ti

'1G0000-

'11+00000 - j

120000

l00000LO

00'1 002 003 001+ 11cio

FigUre 34.

001 002 003 001

ri,s±

ri/s

000

'100000

5 000

OD

- 5OOO

10000

-150000

W (1oo

o

DEC0

_OD000

-42O00\\

- D00O

COwO Un

(c)

JN STATION 2

BE STATION 2

Cd)

Figure 34. (contin.)

+ EXP

CALCUL

+ EXP

CALCUL

0 01 0002 O 03 oDOL

\\

'S'S-.-

± + ++ + +

+

+ ++ +

N'S

180n 000

16O00O

'140D 000

120 000

100 000

80 000

Cnco OJaCD

Wo

coCDoo

ri/s

260 Q000

21.0000

220 000

200000

180 p000

'1600000

000

120000

'lOODOOO

OD

- ,1

JZ STATION 3

///4

kIS STATION 3

////

Figure 35.

00'1 OO2 003 OO N

ODO1 OO2

+4-

003 OO ri

+ EXPCALCUL

+ EXP

CALCUL

+ ;---; + -1+

ri/s

It

,10D000 -

5nOOO t \\+\

00

- 5O00

-'1O0O0

- '15000

-20O00

'15000

0E

-32000

- 3000

- 3G0000

- 38000

- 40000

.19W

'joo

Cc)

iN STATION 3

BE STATION 3

\ +N

NN

00'1 002 003 004 ri

+ ++

00 0'1

++

+±

002 003

± -H-

+ EXPcALCUL..

+ EXP

CALCUL.

ri/s

1.80e 000

'1GO 000

'14O00O

120000

100 000

8O 000

IJUDwOO

ri/s

2GO 0000

20OOO

220e 000

200 0O0

'180 p000

'1S000O

11.0000

'1200OO

iU.JD(DOci

//

//i

UZ STATION 4

LJS STATION 4

/

Figure 36.

+ /r

//,//

p

± _±__L_-- *+

00 002 003 0O4 n

+ EXP-+_ CALCUL

+ EXPCALCUL

00'1 OO2 003 O0 M

Il/s

15000

00 000

50000

00

- 5000

- 10no00

-P150000

w nUo

'-so

DE

- 2000

- 2G000

- 28000

- 30000

-32000

-34000

-3G000

- 38000

«z Jñ(Dw no'-Jo

LIN STATION ¿.

BE STATION

+ +

\

+

00 002

Figure 36. (contin.)

+

003 00 Il

+ EXP

C.ALCUL

+ EXP

cALcUL

000300 0 002 0

± +

± +

rigs

'180e 000

'160 O000

'1400000

'1200000

'1000000

80000

CfIULJO

CD

C

JZ STATION 5

//

*

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Figure 39. (contin.)

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CALCUL

+ EXP

CALCUL

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1JN STATION 8

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+

t

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+

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CALCUL

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CALCUL

CALCUL

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(c)

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CALCUL

THESES DE L'ÁCADEMIE DE LYON : ECOLE CENTRALE DL LYON

kOM KAKOUROS.',t p:.L$.Icn du o d. jeune (ill., ]. .. ¿chrent)

rinc... Georges

3TUL

Développement d'une méthode de calcul différentielle en vue de la détermination desécoulements secondaires dans les turbomachines.

D D D

4 Mai 1984

DAFt d, SOWîJ.A.;C?

Nu.n.ro d'ordre : ECL84-1 O

DOZ7flJR- DOORAT DOCTORAT de1NEPIEIJR DETAT 3e Spci1itt Mécanique

r U

Ce travail porte sur l'étude et sur le développement d'une méthode différentiellepour le calcul de l'écoulement visqueux dans le passage interaube d'une turbornachine.Le principe d'une décomposition de l'écoulement en une partie saine et une partievisqueuse dite secondaire a été adopté. En ce qui concerne l'écoulement secondaire,la partie du champ de vitesse dans des directions normales de l'écoulement sain, estdéduite comme une conséquence d'un champ de vorticité. Une formulation ( fl , N' )utilisée pour la détermination du champ transversal de la vitesse permet de constituerle premier système d'équations. Une démarche parabolique au niveau des équations deNavierStokes a été utilisée pour le calcul de l-'écoulementvísqueux de l'amont versl'aval. Ces équations moyennées en azimut et projetées selon deux directions particu-lières, ce qui évite l'introduction des forces d'aubages, ont formé le deuxième systèmed'équations. Le couplage entre les deux systèmes d'équations a été réalisé à l'aided'une relation cinématique. Un schéma aux différences finies a été appliqué pour ladiscrétisation des équations mentionnées. Le système tridiagonal qui apparait a étérésolu par une procédure de factorisation.

La méthode estappliquée au calcul de l'écoulement turbulent bidimensionnel et dansdes grilles d'aubes de turbine et de compresseur et dans un compresseur axial. Lescomparaisons avec les résultats expérimentaux sont très encourageantes et montrentl'intérêt d'une formulation totalement différentielle, en vue de la prise en compte dephénomènes particuliers, tels les passages de repères fixes à mobiles et les évolutionsde l'écoulement sain selon le rayon.

PtOT-CL.CS

L...I,oratore (e) de xechecha

Laboratoire de Mécanique des Fluides - Ecole Centrale de Lyon

Darcteur de recherche. : J. MATHIEU, Professeur Titulaire

Ir;..d,nt dc ji.t-y J. MATHIEU

C....t,o,.j t ion du urw ( fl t)ADATT TrTT r'

Cote b.1.U. - LyoL: T 50/210/19 et bi.

) AT LiRE

DOCT.d L)KIV.

dernière page de la thèse

AUTORISATION DE SOUTENANCE

Vu les dispositions de l'article 3 de l'arrêté du 16 avril 1974,

Vu le rapport de présentation de Messieurs J. MATHIEU

LEBOEUF

K.D. PAPAILIOU

KARADIMAS

F. DETANNE

M. KAKOUROS Georges

est autorisé à présenter une soutenance de thèse pour l'obtention du titre deDOCTEUR INGENIEUR, Spécialité Mécanique.

Fait à Ecully, le 12 avril 1984

Le Directeu /E.C.L.

ROUX

ECL LYON

005819