L’ARITHMETISATION DES GRANDEURSnumerisation.irem.univ-mrs.fr/WR/IWR07018/IWR07018.pdf · la géographie et l’économie par exemple), ... collection cinq sur cinq, livre du professeur,

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L’ARITHMETISATION DES GRANDEURS

Evelyne BARBINIrem des Pays de Loire (Nantes)

Centre François Viète et REHSEIS

REPERES - IREM. N° 68 - juillet 2007

travaille pas sur les grandeurs (c’est l’objetd’autres disciplines, comme la physique, la tech-nologie, les sciences de la vie et de la terre oula géographie et l’économie par exemple),mais avec les grandeurs ou à partir d’elles ;ici se situe l’interaction entre les mathéma-tiques et les autres disciplines. Une exception :longueurs, aires ou volumes sont des grandeursappartenant au champ des mathématiques,tandis que la mise en évidence de l’aspectmultidimensionnel des deux dernières cor-respond à un travail sur les grandeurs ». Il exis-terait donc un cas particulier, celui des gran-deurs géométriques, qui appartient bien auchamp des mathématiques. Mais, il est dit enco-re plus loin : « En mathématiques, on travaillenon dans le domaine des grandeurs maisdans celui des nombres ».

Notre propos, dans cet article, est de mon-trer que les grandeurs ont une place néces-saire dans l’enseignement, et ce faisant, nousrésolvons ce semblant de paradoxe : les gran-deurs feraient partie des mathématiques,

En 2001, la revue Repères IREM propo-sait un numéro 44 spécial sur « grandeurs etproportionnalité » motivé particulièrementpar la disparition de la notion de grandeur dansl’enseignement secondaire. Le constat quenous pouvions faire alors et que nous pouvonsfaire toujours aujourd’hui est que le rôle et laplace des grandeurs dans l’enseignement aucollège est confus. Nous en prendrons pourtémoin quelques extraits du texte d’accom-pagnement des programmes du cycle d’orien-tation, tel qu’il figure dans un livre du professeurde 1999. Ce texte s’intitule « Place des gran-deurs dans l’enseignement des mathéma-tiques au collège » 1. Nous y lisons : « Il y ad’ailleurs plusieurs raisons qui rendent indis-pensable, spécialement dans l’enseignementobligatoire, un appui résolu, mais distancié,sur les notions de grandeurs et de mesure. »La mention d’un appui « résolu mais distan-cié » demande des commentaires. En effet, ilest dit plus loin : « En mathématiques, on ne

1 Math 3ème, collection cinq sur cinq, livre du professeur,Hachette, 1999.


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mais les mathématiques ne travailleraientpas dans le domaine des grandeurs.

Pour cela, nous proposons de distinguer,entre ce que nous trouvons massivement dansl’enseignement élémentaire et au collège, à savoirune « numérisation des grandeurs géomé-triques », et ce que nous appelons une « arith-métisation des grandeurs ». En effet, dans l’ensei-gnement élémentaire et au collège, les grandeursgéométriques sont presque toujours associéesà des nombres qui les mesurent. Il s’agit doncd’une numérisation des grandeurs. Tandisque l’arithmétisation des grandeurs est un tra-vail sur les grandeurs, qui consiste à appli-quer les opérations de l’arithmétique auxgrandeurs, en particulier à introduire un seg-ment unité. La numérisation est souventconfondue avec l’arithmétisation des gran-deurs, elle masque ainsi cette dernière etl’empêche d’être effectuée. Or, l’arithmétisa-tion des grandeurs constitue une étape impor-tante dans l’étude des grandeurs géomé-triques, car la signification de beaucoup depropositions géométriques est de caractériserune situation géométrique par une relation arith-métique entre grandeurs. L’habitude de numé-riser les grandeurs peut ainsi constituer unobstacle au raisonnement géométrique aucollège. Nous analysons ces différents pointsà partir d’une étude épistémologique se rap-portant à l’histoire et à partir d’une analysed’extraits de manuels scolaires.

La numérisation de la géométrie : d’un manuel à l’autre à propos de Thalès

La géométrie de l’enseignement élémen-taire est surtout une géométrie numérisée, c’est-à-dire une géométrie avec des données numé-riques (3cm, 5,2 cm, 2 ; 7, 45°, etc.). Ce constatn’est pas satisfaisant. En effet, Marie-Jean-ne Perrin écrivait à ce sujet : « Dans l’ensei-

gnement, les grandeurs géométriques sontassez vite identifiées aux nombres qui lesmesurent. Elles ont même été définies commenombre. Cependant, les recherches que j’aimenées avec R. Douady sur l’enseignement desaires, nous ont convaincues que l’identifica-tion, dès le début de l’apprentissage, de la gran-deur et du nombre amène des confusions chezles élèves. C’est pourquoi, les distinctionsentre ces pôles me paraissent essentiellesdans l’enseignement élémentaire, non pour quel’on demande à l’élève de les distinguer maispour que l’enseignant soit bien au clair sur cesdistinctions et soit toujours conscient duniveau où il se place pour analyser correcte-ment son enseignement et les difficultés quepeuvent rencontrer les élèves. Comment parexemple comprendre la notion d’unité et leschangements d’unité si l’on identifie gran-deur et nombre ? Le mathématicien peut fixerune fois pour toutes l’unité pas le physicienni le professeur de collège. Dans les pro-blèmes, l’élève aura besoin de changer d’unité.Le changement d’unité est une des activitésconstitutives de la grandeur elle-même pourles élèves » 2.

Les propositions géométriques du collè-ge permettent aux élèves d’affirmer des rela-tions entre grandeurs sans qu’elles soientassociées à des nombres. Une géométrie nonnumérisée devrait donc avoir une place impor-tante en collège, la géométrie numérisée pou-vant même créer, nous le verrons, un obs-tacle. Qu’en est-t-il ? Nous avons examiné etcomparé, à titre d’exemples, quelques manuelsde géométrie, et nous constatons que la situa-

2 Marie-Jeanne Perrin Glorian, «Les grandeurs à l’école élémen-taire et au collège», non publié. Voir Perrin-Glorian, M.J., «L’aireet la mesure»,Petit x , n°24, IREM de Grenoble, 1990, pp. 5-36 etPerrin-Glorian, M.J., «Problèmes didactiques liés à l’enseigne-ment des grandeurs. Le cas des aires» in Dorier, J.-L. .& ali Actesde la 11ème école d’été de didactique des mathématiques, Corps,2001, La Pensée sauvage, Grenoble, 2002, p. 299-315.


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tion a beaucoup changé dans les cinquante der-nières années et qu’elle n’est pas tout à faitidentique d’un manuel à l’autre aujourd’hui.Nous avons examiné particulièrement leschapitres consacrés à « la droite des milieux »et à « la propriété de Thalès ».

Dans le Transmath de 4ème, au chapitre« Droite des milieux – Égalité de trois rapports »,nous trouvons, parmi les « exercices d’appli-cation directe », 15 exercices numérisés sur38 et, parmi les « exercices d’approfondisse-ment », 1 exercice numérisé sur 9 pour« apprendre à démontrer » et 8 exercicesnumérisés sur 15 « pour s’entraîner » 3. Dansle Dimathème 3ème, au chapitre « Propriétésde Thalès », il y a 32 exercices numérisés sur32 pour « appliquer le théorème de Thalès »et 16 exercices numérisés sur 18 « pour allerplus loin » 4. Dans ce dernier ouvrage de clas-se de troisième, il s’agit donc d’un presque toutnumérisé, alors que dans le manuel de qua-trième, moins de la moitié des exercices sontnumérisés, et presque aucun pour les exercicesdestinés à l’apprentissage de la démonstration.

Comparons avec deux ouvrages des années1960. Dans le Arithmétique, Algèbre et géométriede la classe de 4ème de Lebossé et Hémery 5,à la leçon « Trapèze – Parallèles équidis-tantes », il y a 0 exercice numérisé sur 13 exer-cices. Si nous examinons tout le manuel, il ya une dizaine d’exercices numérisés sur envi-ron 320 exercices de géométrie. Dans le Arith-métique, Algèbre et géométrie de la classe de3ème des mêmes auteurs 6, à la leçon « Théo-rème de Thalès », il y a 0 exercices numéri-

sés sur 8 et à la leçon « Applications du théo-rème de Thalès », il y a 3 exercices numéri-sés sur 12. Dans ce dernier manuel, les auteursont introduit, dans la première leçon d’algèbreet d’arithmétique, les notions de rapport dedeux nombres et celle de rapport de deuxgrandeurs. La notion de grandeur et les opé-rations sur les grandeurs ont donc une placeimportante dans cet enseignement des mathé-matiques, et la distinction entre nombres etgrandeurs y est manifeste. En effet, définir desopérations sur des grandeurs ne signifie pasque l’on confonde nombre et grandeurs.

L’arithmétisation et la numérisationdes grandeurs géométriques

Le terme de grandeur désigne tout ce quiest susceptible d’augmentation et de dimi-nution. Nous pouvons distinguer deux sortesd’opérations sur les grandeurs géométriques,à savoir les opérations géométriques et les opé-rations arithmétiques. Les opérations géo-métriques sur les grandeurs correspondent àdes constructions de figures. En effet, unefigure de la géométrie est à la fois une formeet une grandeur. La forme peut être une droi-te, un carré, un triangle, un cercle, etc. La gran-deur est une longueur, une aire, ou un volu-me. Les opérations arithmétiques sont l’addition,la soustraction, la multiplication, la division.Ce sont des opérations auxquelles il fautaccorder un sens géométrique pour qu’elless’exercent sur les grandeurs. Il s’agit alors d’unearithmétisation des grandeurs, c’est-à-dired’appliquer les opérations arithmétiques auxgrandeurs, d’assimiler des opérations géo-métriques à des opérations arithmétiques.La question est alors : lesquelles et comment ?La numérisation des grandeurs n’est pas dumême ordre, il s’agit d’associer des nombresaux grandeurs. La question est alors : quelsnombres ?

3 Amiot, M., et ali, Nouveau transmath 4ème, Nathan, Paris, 1998.4 Fourton, J.-L. et ali, Dimathème 3ème, Édition pour le professeur,Didier, Paris, 2003.5 Lebossé, C., et Hémery, C., Arithmétique, algèbre et géométrie4ème, Nathan, Paris, 1962.6 Lebossé, C., et Hémery, C., Arithmétique, algèbre et géométrie3ème, Nathan, Paris, non daté.


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La première construction géométrique àlaquelle nous associons une opération arith-métique est la juxtaposition des figures, quicorrespond l’ajout de nombres entiers. Dansla figure 1 ci-dessous, nous juxtaposons dessegments et des aires.

figure 1

Supposons que nous juxtaposons plu-sieurs fois un segment ou une aire (figure 2).

figure 2

Nous pouvons construire un segment CD,en juxtaposant deux fois le segment AB, et un

A B

B C

A B C

segment DE en juxtaposant trois fois le seg-ment AB. Alors la juxtaposition de CD à DEest égale au segment obtenu par cinq juxta-positions de AB (figure 3).

Nous avons 2 + 3 = 5, nous convenons d’écri-re que CD + DE = CE, et nous écrirons aussique CD = AB + AB ou encore CD = 2 AB. Dela même façon, le retranchement géométriquede deux figures peut être associé à la soustractionde deux nombres entiers.

La comparaison de grandeurs sans numérisation

Beaucoup de propositions géométriquesénoncent des relations d’égalité ou de com-paraison de deux grandeurs. Ces égalités etces comparaisons doivent être établies sansaucunement associer des nombres à des gran-deurs. Les notions d’égalité et de comparai-son de grandeurs ont un sens géométrique. Dansles Éléments d’Euclide, les « notions com-munes » servent à énoncer les axiomes sur l’éga-lité de deux grandeurs. L’égalité de deuxgrandeurs s’obtient par la superposabilité dedeux figures : deux figures superposables ontdes grandeurs égales. La comparaison dedeux grandeurs s’obtient aussi par la com-paraison de deux figures : une figure est plusgrande qu’une figure qu’elle contient. Lespropriétés de l’égalité de deux grandeurs sontdonnées par les « notions communes » suivantes :deux grandeurs égales à une même troisièmesont égales entre elles, si deux figures ont desgrandeurs égales et qu’on leur juxtapose des

A B

C D

D E

C D E

figure 3


9


figures de grandeurs égales, les touts ont desgrandeurs égales, etc.

Nous allons voir comment la juxtapositionet le retranchement géométriques de figurespermettent d’établir l’égalité de grandeursen n’utilisant aucun nombre. Nous nous repor-tons à la proposition 35 du livre I d’Euclidequi énonce que deux parallélogrammes demême base et compris entre les mêmes paral-lèles sont de grandeurs égales. Il faut démon-trer que les parallélogrammes ABCD et EBCFsont égaux en aires (figure 4).

figure 4

Pour cela, Euclide demande de construi-re le segment DE et il montre que les tri-angles ABE et DCF sont égaux. En effet, cesdeux triangles sont tels que AB est égal àCD, AE est égal DF et l’angle EAB est égal àl’angle FDC. Dans la proposition 4, il a étédémontré que deux triangles vérifiant ceségalités sont égaux car superposables. L’éga-lité de AE et DF résulte d’une notion commune,car on ajoute à AD et EF qui sont égaux unemême grandeur DE. L’égalité des angles EABet FDC résulte de la proposition 29 sur les anglesfait par des parallèles et une sécante. Puis Eucli-de retranche géométriquement de ces deux tri-angles égaux le triangle DGE, il obtient alorsdeux quadrilatères ABGD et EGCF d’aireségales, toujours d’après une notion commu-ne sur l’égalité des grandeurs. Enfin, Eucli-de ajoute géométriquement, c’est-à-dire jux-

A

B

ED F

C

G

tapose, à ces deux quadrilatères égaux, letriangle GBC, et il obtient, toujours d’aprèsla notion commune utilisée plus haut, queles deux parallélogrammes ABCD et EBCF sontégaux en aire.

Euclide déduit de cette proposition, à laproposition 37 que deux triangles qui ont lamême base et qui sont entre les mêmes paral-lèles sont égaux en aire. Cette propositionsera l’élément primordial de la démonstrationdu théorème de Pythagore à la proposition 47.Le théorème de Pythagore, rappelons-le, n’estpas un théorème d’arithmétique ou d’algèbre,et il ne nécessite, ni nombre ni identité algé-brique. C’est un théorème de géométrie, pré-cisément un théorème sur des grandeurs, quiénonce que le carré construit sur le carré del’hypoténuse d’un triangle rectangle est égalen aire à la somme géométrique des carréconstruits sur les côtés de l’angle droit dutriangle rectangle. Pour cela, Euclide démontreque le carré construit sur l’hypoténuse est lajuxtaposition de deux rectangles qui sont res-pectivement égaux à l’un des carrés construitsur un côté de l’angle droit du triangle.

Arithmétisation et numérisation des grandeurs : le problème de l’irrationalité

Lorsque nous juxtaposons un carré à lui-même, nous obtenons la figure d’un rectangle.Le problème de la duplication du carré consis-te à construire un carré qui ait une aire égaleà celle de ce rectangle (figure 5 ci-après). Il s’agitdonc de transformer (changer la forme) unefigure en une autre de même grandeur.

Dans le dialogue du Ménon, Platon énon-ce ce problème dans un cadre numérique. Eneffet, Socrate pose à un esclave le problèmede trouver un carré double d’un carré de côté


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2 en ces termes : « Essaies de nous dire quelest le côté de ce nouveau carré » (figure 6).L’esclave « dit » 4 puis 3 pour constater àchaque fois que la réponse est numérique-ment incorrecte. L’esclave ne peut pas « dire »la réponse, car le côté du carré est irration-nel (il est alogos, c’est-à-dire qu’il ne peutpas être dit).

figure 6

Socrate modifie alors la question posée endemandant à l’esclave : « Si tu ne peux pas nousle dire exactement, montres-le nous ». Socra-te fait alors une construction géométrique

8

?2

4

qui consiste à juxtaposer géométriquementquatre fois le carré initial, à construire danschacun d’eux une diagonale puis à retran-cher géométriquement de la figure les quatretriangles rectangles du pourtour (figure 7).

Le carré obtenu est bien double du carréinitial en tant que grandeur. Ainsi, ce qui nepeut pas être dit exactement est construitexactement et la numérisation des grandeursa été remplacée par une construction géo-métrique. Ce problème de transformationpose le problème de l’irrationalité en cestermes : dans des situations très simples detransformations de figures, il est impossiblede numériser les grandeurs dans le cadre desnombres rationnels. En revanche, il est pos-sible de construire des figures et de procéderà une arithmétisation des grandeurs sur lesfigures de cette construction, ici de pouvoir affir-mer que le carré obtenu finalement est biendeux fois le carré initial (par ajout et par

figure 5

figure 7


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retranchement de grandeurs et selon lesnotions communes sur l’égalité des gran-deurs).

Le rapport de deux grandeurs et l’identité de rapports de grandeurs

Le rapport de deux grandeurs suppose, dansles Éléments d’Euclide que les deux gran-deurs soient homogènes, elles sont toutesdeux longueurs, aires ou volumes. Le rap-port de deux grandeurs peut être identique àun rapport de deux nombres entiers si lesgrandeurs sont commensurables. On dit qu’unegrandeur AB mesure une grandeur CD si CDs’obtient en juxtaposant un certain nombre(nombre entier) de fois AB. Par exemple, ABest une mesure de CD parce que CD est obte-nu en juxtaposant 5 fois AB (figure 8).

figure 8

Deux grandeurs sont dites commensu-rables quand elles ont une mesure commune.Par exemple, AB et CD ont une mesure com-mune M parce que, avec les notations intro-duites plus haut, AB = 5 M et CD = 2 M (figu-re 9). Dans ce cas, le rapport de AB à CD estcomme le rapport de 5 à 2. Il existe des gran-deurs non commensurables, dites incom-mensurables, comme la diagonale et le côtéd’un carré. Le problème de l’irrationalité estque le rapport de ces deux grandeurs est irra-tionnel (il est alogos : il ne peut être dit).

L’existence de grandeurs incommensu-rables préside, dans la géométrie grecque, àune séparation entre nombre et grandeur,entre arithmétique et géométrie. Dans l’arith-métique, l’unité mesure tous les nombres,tandis que dans la géométrie, il n’y a pas demesure commune à toutes les longueurs. Lenombre est discret, il est finiment divisible,tandis que la grandeur est continue, elle estinfiniment divisible.

Le livre V d’Euclide présente une théoriedes grandeurs, qu’on attribue à Eudoxe, avecune définition de l’identité de deux rapportsde grandeurs. Considérons quatre grandeursA, B, C, D, il s’agit de définir l’identité des rap-ports A : B et C : D. Notons, comme plushaut, mA une grandeur obtenue en juxtapo-sant m fois A. Des équimultiples de A et deC sont notés mA et mC, d’autres équimultiplesde B et D sont notés nB et nD. Il faut que, sion prend ces équimultiples quelconques (avecnos notations, m et n sont quelconques), alorson ait nécessairement l’un des cas suivants :1. mA > nB et mC > nD ; 2. mA = nB et mC = nD ; 3. mA < nB et mC < nD.

Les signes modernes > , < , = , désignent desrelations entre grandeurs et non entre nombres.

Cette définition est utilisée dans la pre-mière proposition du Livre VI d’Euclide pourdémontrer que le rapport des aires de deuxtriangles compris entre les mêmes parallèlesest identique au rapport de leurs bases. Consi-dérons deux triangles ABD et ADC, il faut

A B

C D

M

A B

C D

figure 9


12


démontrer que le rapport des aires ABD :ADC est identique au rapport des longueursBD : BC (figure 10). Dans le cas rationnel, BCet CD sont commensurables et le rapportBC : CD est identique à un rapport de nombresentiers n : m. Dans ce cas, les triangles ABDet ADC sont découpés respectivement en n etm triangles de bases égales, donc d’aireségales d’après la proposition indiquée plus haut.Par conséquent, le rapport des aires :

aire ABD : aire ADC

est identique au rapport n : m. Dans le cas géné-ral, Euclide utilise la définition de l’identitéde rapports du Livre V.

Le rectangle de deux segments et l’opération de multiplication

figure 11

Nous allons examiner maintenant commentla construction du rectangle de deux segments,c’est-à-dire du rectangle dont ces deux segments

A B

CD

sont les côtés, peut être assimilée à l’opérationarithmétique de la multiplication. Examinonsd’abord le cas où les deux segments sont com-mensurables. Si, par exemple, AB et BC ontune mesure commune M, que AB est m fois Met BC est n fois N, alors le rectangle de AB etBC est composé de m fois n carrés construitssur M (figure 11). Dans le cas où les deux seg-ments sont incommensurables, il est impos-sible de tenir le même raisonnement.

Cependant, que les rapports soient des rap-ports de nombres ou de grandeurs, que les rap-ports de grandeurs soient rationnels ou non,nous avons une proposition fondamentale surl’égalité des rapports qui traduit cette égali-té, soit à l’aide de multiplications de nombres,soit à l’aide de rectangles de segments.

Dans le cas de l’égalité des deux rapportsde nombres, nous avons que, si quatre nombresa, b, c, d, sont tels que a : b est identique à c : d alors ad = cb. En effet, nous avons que a : b est identique à ad : bd (proposition arith-métique) et que c : d est identique à cb : db(proposition arithmétique). Par conséquent,ad : bd est identique à cb : db et il en résulteque ad = cb.

Nous obtenons une proposition analoguepour les segments. En effet, en conséquencede la proposition 1 du Livre VI énoncée plushaut, nous avons que le rapport des aires de

A

B CD

A

B CDE F G

figure 10


13


deux rectangles de même hauteur est commele rapport de leurs bases. Ainsi, le rapport desaires de deux rectangles ABCD : BEFC est iden-tique au rapport de deux segments CD : FC(figure 12)

figure 12

De ceci nous pouvons tirer la propositionfondamentale concernant l’égalité de deuxrapports de deux segments. Supposons quequatre segments AB, BC, AD, DE sont tels quele rapport de AB : BC est identique au rapportAD : DE. Suivons la démonstration donnée auLivre VI d’Euclide et construisons les rec-tangles sur les segments considérés (figure 13).

figure 13

Nous avons que le rapport des aires DFHE : FGIH est égal au rapport des segmentsAB : BC. De même le rapport des aires BCGF : FGIH est identique au rapport AD : DE. Nous en tirons (propositions surles rapports de grandeurs) que l’aire DFHEest égale à l’aire BCFG, c’est-à-dire encore, quel’aire du rectangle (AB, DE) est égale à l’airedu rectangle (BC, AD).

A B C

D

E

F G

H I

A B

CD

E

F

De tout ceci, il résulte une assimilation pos-sible entre le rectangle de deux segments etla multiplication de deux nombres, lorsqueles deux segments sont commensurables. Dansle cas général, la proposition fondamentale surl’égalité de deux rapports traduit cette égali-té, pour les nombres, par une égalité de deuxnombres obtenus par multiplication, et pourles grandeurs, par une égalité d’aires de deuxrectangles. Mais, dans tous les cas, la multi-plication de deux grandeurs n’a immédiatementaucun sens géométrique puisque la multipli-cation de deux segments est assimilable à unrectangle et non pas à un segment.

Pour donner un sens géométrique à la mul-tiplication de deux segments, il faut introduireun segment unité. C’est ce que fait Descartesdans La géométrie de 1637. Dès le début deson ouvrage, Descartes introduit une arith-métisation des grandeurs. Il commence par unedéconstruction de la figure géométrique endroites en expliquant que « Tous les pro-blèmes de Géométrie se peuvent facilementréduire à tels termes, qu’il n’est besoin deconnaître la longueur de quelques lignes pourles connaître ». Puis il écrit : « Et commetoute l’arithmétique n’est composée que dequatre ou cinq opérations [...] ainsi n’a-t-on autrechose à faire en Géométrie touchant les lignesqu’on cherche, pour les préparer à être connues,que leur en ajouter d’autres, ou en ôter, etc. ».Il introduit alors un segment unité : « Enayant une, que je nommerai l’unité pour la rap-porter d’autant mieux aux nombres ». L’intro-duction d’un segment unité en géométrie per-met que toutes les opérations arithmétiquesdeviennent des opérations « internes ».

Ainsi, la multiplication de deux segmentsest un segment. En effet, étant donnés deuxsegments BD et BC, et AB l’unité, la paral-lèle à AC menée du point D intercepte le pro-


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longement de BC en un point E et BE est leproduit de BD par BC (figure 14). En effet,d’après le théorème de Thalès, le rapport deBD : AB est égal au rapport EB : BC. D’aprèsla proposition fondamentale, nous avons doncque EB est égal au rectangle sur BD et BC.Par conséquent, EB peut être assimilé à la mul-tiplication de deux segments.

figure 14

Descartes montre aussi comment obtenirla racine carrée d’un segment comme un seg-ment. En effet, étant donnés un segment GHet FG l’unité, construisons un demi-cercle dediamètre FH (figure 15) . Le triangle FIH estrectangle, donc le rapport GH : IG est iden-tique au rapport IG :FG. Par conséquent le carrésur IG est égal au rectangle sur GH et FG, doncégal à GH.

figure 15

L’introduction d’un segment unité joue unrôle essentiel dans la géométrie introduitepar Descartes, dans l’arithmétisation desgrandeurs, ainsi que dans la géométrie ana-lytique. Ce rôle est souvent méconnu, aussibien dans les commentaires historiques, quedans l’enseignement des mathématiques.

I

F G H

E

D A B

C

La géométrie comme étude de grandeurs : le théorème de Thalès

Bon nombre de propositions géométriquesconsiste à traduire ou à caractériser une situationgéométrique à l’aide de relations entre grandeurs.

C’est le cas du théorème dit de Thalès, quifait l’objet de la proposition 2 du Livre VId’Euclide.

figure 16

Etant donné un triangle ABC, Euclide démontreque ED est parallèle à BC si et seulement si

A

B C

D E

A

B C

D E

situation

géométrique

relation entre

grandeurs

proposition


15


le rapport AD : BD est identique au rapportAE : EC (figure 16). Si DE est parallèle à BC,Euclide construit BE et DC. D’après la pro-position 1 du Livre 6, le rapport des airesADE : DEB est égal au rapport AD : BD et lerapport des aires ADE : DEC est égal au rap-port AE ; EC. Or les triangles DEB et DECont des aires égales, car ils ont une même baseet ils sont compris entre les mêmes paral-lèles. Par conséquent, le rapport des airesADE : DEB est identique au rapport des airesADE : DEC, il en résulte que AD : BD est iden-tique à AE : EC.

Le théorème de Thalès traduit et carac-térise le parallélisme par une égalité de rap-

ports. Une application très intéressante, pournotre propos, est la division d’un segmentdans un rapport donné sans numérisation. Ellemontre que l’on peut diviser un segment enparties égales sans aucun usage de nombre.Cette application perd tout son sens géomé-trique si les grandeurs géométriques sontnumérisées.

La traduction du parallélisme par deségalités de rapports prend toute sa mesure dansce qu’on appelle parfois le théorème de Tha-lès général, car il ne se limite pas à la figuredu triangle. Le théorème des droites équi-distantes énonce que si des points A, B, C, D,E d’une droite sont tels que AB = BC = CD =DE, et si on mène de ces points des parallèles,alors pour toute sécante à ces parallèles on aA’B’ = B’C’ = C’D’ = D’E’ (figure 17). La démons-tration consiste à mener AB”, BC”, CD” etc.respectivement parallèles à A’B’, B’C’, C’D’,etc. et à utiliser l’égalité des triangles ABB”,BCC”, CDD”, etc. entre eux.

Le théorème de Thalès général est énon-cé par Arnauld dans ses Nouveaux élémentsde géométrie de 1667. Il énonce que si desdroites parallèles sont coupées par deuxsécantes en A, B, C, D, etc. et A’, B’, C’, D’, etc.alors les rapports AB : BC et A’B’ : B’C’ sontidentiques, ainsi que les rapports AC : CD etA’C’ : C’D’ etc. (figure 18). Dans le cas de rap-

parallélisme

identité de rapports

de grandeurs

théorèmede Thalès

A

B

C

D

E

A'

B'

C'

D'

E'

A

B

C

D

E

A'

B'

C'

D'

E'

B''

C''

D''

E''

figure 17


16


ports commensurables, cela s’obtient directementà partir du théorème des droites équidis-tantes. Dans le cas incommensurable, celarésulte du théorème de Thalès dans le triangle.

figure 18

Une autre application du théorème deThalès est énoncée en proposition 3 du LivreVI d’Euclide, il s’agit du théorème de la bis-sectrice qui énonce que AD est une bissectri-ce de l’angle BAC d’un triangle ABC si etseulement si le rapport AB : AC est identiqueau rapport BD : DC (figure 19).

Si AD est la bissectrice de BAC, on mènela parallèle EC à AD, alors le triangle EAC

A

B CD

E

A

B CD

A

B

C

D

E

A'

B'

C'

D'

E'

est isocèle et AE = AC (figure 20). D’après lethéorème de Thalès, AB : AE est identique àBD : DC. Par conséquent, AB : AC est iden-tique à BD : DC.

Ce théorème se présente également commeune traduction ou caractérisation d’une situa-tion géométrique en termes de relations de gran-deurs.

La dialectique situation géométrique -grandeur : l’exercice 30 du Lebossé &Hémery (classe de 3ème)

La traduction d’une situation géomé-trique en termes de relation de grandeursfonctionne dans les deux sens. Ainsi, par unou plusieurs allers-retours, nous pouvonsobtenir et démontrer des résultats géomé-triques. C’est ce que propose l’exercice del’encadré suivant, inspiré de l’exercice 30 dela leçon sur les « applications du théorème deThalès » du manuel Lebossé et Hémery de laclasse de 3ème des années 1960.

On part de la situation géométrique (figu-re 21) et on la traduit en termes de relations

figure 19

figure 20

bissectrice dans

un triangle

identité de rapports

de grandeurs

théorème


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géométriques. Puisque AD et BF sont paral-lèles on obtient d’après le théorème de Tha-lès l’identité des rapports OD : OA et OB : OF,et puisque le triangle OAB est isocèle, on a l’éga-

lité OA 2 = OE . OF. A partir de ces relations,on peut faire un calcul de grandeurs, c’est-à-dire utiliser l’arithmétisation des grandeurs,et obtenir l’identité des raisons BE : BF et AE : AF. Ceci se traduit, d’après la proposi-tion plus haut, par une situation géométrique,à savoir que AB est bissectrice du triangle EBF.

figure 21

La dialectique entre situation géomé-trique et relations entre grandeurs permet de

O

AB

DE

F

déduire une situation géométrique d’uneautre. Cet exercice est bien une applicationdu théorème de Thalès, il donne sa pleinesignification géométrique au théorème deThalès.

Le théorème de Thalèset le théorème des trois rapports

Dans le manuel de 3ème de Lebossé etHémery, le théorème de Thalès est énoncé ainsi :

figure 22

si des parallèles sont coupées par deux sécantes(aux points A, B, C, D, et A’, B’, C’, D’) alorsle rapport A’B’ : AB est identique au rapportA’C’ : AC’, le rapport A’D’ : AD est identique

A

B

C

D

A'

B'

C'

D'

situation géométriqueAD et BF sont

parallèlesle triangle OAB

est isocèle

relations entregrandeurs

OD : OA :: OB : OF

OA 2 = OE . OF

traduction

situation géométrique

AE est bissectricede EBF

calcul degrandeurs

BE : BF :: AE : AF

traduction

Soit un triangle isocèle OAB de base AB. Onmène les hauteurs AD et BE et la perpen-diculaire de B à OB qui coupe OA en F.

1° Comparer les rapports OD : OA et OB : OF et démontrer la relation

OA 2 = OE . OF .

2° Comparer BE : BF et AE : AF. Que repré-sente BA pour l’angle EBF ?


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au rapport B’C’ : BC, etc. (figure 22). Ce théo-rème est démontré dans le cas rationnel, parapplication du théorème des droites équidis-tantes.

Cet énoncé a l’avantage de bien mettreen évidence la signification du théorème deThalès comme traduction du parallélismeen termes d’identités de rapports. De plus,la formulation permet de comprendre etd’écrire les identités de rapports : le rap-port entre un segment de l’une des sécantesà son homologue dans l’autre sécante esttoujours identique.

Dans la plupart des manuels d’aujourd’hui,et dans les programmes, on appelle théorèmede Thalès un autre théorème, qui n’a pas lamême signification (celui de traduction duparallélisme). Il s’agit de ce que certainsauteurs appellent plus justement, le théorè-me des trois rapports. Ce théorème énonce quesi ABC est un triangle et si DE est parallèleà BC, alors les trois rapports AB : AD, AE :EC et DE : BC sont identiques, et récipro-quement (figure 23).

figure 23

Ce théorème est une conséquence duthéorème de Thalès. Euclide démontre dansla proposition IV du Livre VI des Éléments,que deux triangles équiangles (c’est-à-direqui ont leurs angles égaux) ont leurs côtés homo-logues proportionnels. Nous pouvons adapter

sa démonstration générale au cas du théorè-me des trois rapports. Menons EF parallèleà AB. D’après le théorème de Thalès, puisqueDE est parallèle à BC, les rapports AD : ABet AE : AC sont identiques, puisque EF est paral-lèle à AB, les rapports AE : AC et BF : BC sontidentiques. Le quadrilatère DEFB est unparallélogramme, donc DE est égal BF. Parconséquent, les rapports AD : AB, AE : AC etDE : BC sont identiques.

La signification du théorème des troisrapports concerne les triangles semblables. Ildit que pour que des triangles soient semblablesil faut et il suffit qu’ils aient les mêmes angles.Nous rappelons que des figures rectilignessont semblables lorsque elles ont leurs angleségaux et leurs côtés homologues proportion-nels. Dans le théorème des trois rapports, lestriangles ADE et ABC sont semblables parcequ’ils ont des angles égaux et réciproque-ment.

Nous savons bien que c’est en pensant àla similitude des triangles que l’on peut écri-re correctement les identités de rapports quien découlent, puisque l’on écrit que le rapportentre un côté et son homologue dans l’autretriangle est toujours identique. Ainsi, si l’ona la signification des théorèmes, qu’il s’agis-se du théorème de Thalès dans le triangle ou

A

B C

D E

F

A

B C

D E

triangles équiangles

identité des rapports des

côtés homologues

théorème destrois rapports


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le théorème sur les triangles semblables, onne peut pas se tromper dans l’écriture des rap-ports et de leurs identités. Ces écritures sontsoutenues par une pensée.

Il n’en est rien de tel dans les programmeset les manuels actuels. Aussi les élèves setrompent. C’est tellement fatal, que les auteursprévoient ces erreurs. Nous pouvons lire dansle Dimathème de 3ème la mise en garde sui-vante (figure 24).

figure 24

D’après le théorème de Thalès, les rapportsde AN : DN et AM : 2 sont identiques. D’aprèsle théorème des trois rapports, les rapports AN : AD et 3 : 5 sont identiques. Les élèves,comme les programmes et les manuels, ontconfondus les deux théorèmes. Cette erreurse perpétue dans le temps et se retrouvre demanière importante chez les étudiants delicence de mathématiques. Espérons qu’ilsne la feront plus une fois devenus ensei-gnants.

Aujourd’hui les applications typiques etfort nombreuses du théorème consistent àtrouver un segment en connaissant troisautres. De plus, ces segments sont numérisés.Le théorème dit de Thalès devient donc un théo-rème sur les nombres : trouver un nombre enconnaissant trois. Par exemple, c’est le cas deshuit exercices pour « appliquer le théorème deThalès » donnés dans le Dimathème de 3ème.Dans les exercices pour « utiliser le théorème

A

N M

D E3

2

5

AN

2=

3

5

de Thalès dans les problèmes », il s’agit d’uti-liser la réciproque, c’est-à-dire d’obtenir despropriétés géométriques de figures qui sonttoutes numérisées. La signification géométriquedu théorème est du coup grandement absen-te des manuels.

Conclusion

La signification de bien des propositionsgéométriques est de traduire des situations géo-métriques par des relations entre grandeursgéométriques. C’est le cas du théorème deThalès. C’est aussi le cas du théorème dePythagore, qui traduit la situation du trianglerectangle (ou l’égalité d’un angle d’un triangleà un droit) par l’égalité de l’aire d’un carré, lecarré construit sur l’hypoténuse, et de lasomme géométrique (juxtaposition) des airesdes carrés construits sur les côtés de l’angledroit. Le théorème de Pythagore est un théo-rème de géométrie, sur des grandeurs géo-métriques. J’ai été donc très étonnée le jouroù une stagiaire de l’IUFM de Créteil m’aannoncé qu’elle ne pouvait pas traiter du théo-rème de Pythagore parce qu’elle n’avait pas com-mencé l’algèbre. Ici encore, c’est la numérisationéchevelée des grandeurs qui est au départ decette confusion. En effet, les côtés du triangleétant dénommés par des lettres, qui seraientremplacées par des données numériques, le théo-rème de Pythagore devenait un théorèmed’algèbre (une identité algébrique ?).

C’est au bénéfice de la signification de cequi est enseigné que les grandeurs et leurarithmétisation doivent avoir leur place dansl’enseignement. Il n’est pas nécessaire pourcela d’une théorie des grandeurs, mais d’uneutilisation des grandeurs. L’arithmétisationdes grandeurs doit mettre en évidence l’impor-tance du segment unité dans la géométrie, quiest le grand oublié de la géométrie analy-

C’EST FAUX !


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tique enseignée dans les collèges et au-delà.Le segment unité n’est pas le 1 de l’arithmé-tique, mais c’est un objet géométrique quipermet d’écrire, par exemple, les équations decourbes.

Ces réflexions sur l’enseignement se fon-dent sur une analyse des programmes, desmanuels et des pratiques d’enseignement.Mais elles s’appuient aussi sur une lecture his-

torique des textes mathématiques. La lectu-re des textes anciens est tout à fait enrichis-sante pour l’enseignement, en particulier,lorsqu’il s’agit de l’enseignement des notionspérennes, des notions élémentaires du collè-ge et de lycée. À condition, bien sûr, de faireune lecture des textes anciens qui ne soit pastéléologique, de ne pas faire une lecture quitrouverait dans les textes de Descartes lesnombres réels du XIXème siècle.

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Documents

L’ARITHMETISATION DES GRANDEURSnumerisation.irem.univ-mrs.fr/WR/IWR07018/IWR07018.pdf · la géographie et l’économie par exemple), ... collection cinq sur cinq, livre du professeur,