L E I B É T O N A R M É

V . J

ET ^ E S APPLICATIONS

B I B L I O T H È Q U E DE L ' I N G É N I E U R - MÉCANICIEN P U B L I É E S O U S L A D I R E C T I O N D E L . B A R B I L L O N

P R O F E S S E U R A L U N I V E R S I T É D E G R E N O B L E , D I R E C T E U R D E L ' I N S T I T U T P O L Y T E C H N I Q U E

LE

B É T Q J k A R M É

ET SKSpTOJICATlONS

G é n é r a l i t é s e t m o d e s de ca lcul .

E x é c u t i o n des t r a v a u x , d é t e r m i n a t i o n des c o n s t r u c t i o n s .

C h a u x e t c i m e n t s .

PAR G. P R U D O N I n g é n i e u r

P R O F E S S E U R A L ' i N S T I T U T P O L Y T E C H N I Q U E D E G R E N O B L E

A V E C L A COLLABORATION D E M M . B O U I L L E T , ANCIEN C H E F DU S E R V I C E T E C H N I Q U E DE LA M VICAT

ET P a u l D U F O U R , I N G É N I E U R A LA MÊME MAISON

P A R I S

A L B I N M I C H E L , É D I T E U R 2 2 , R U E H U Y G H E X S , 2 2

1923

LE BÉTON ARMÉ ET SES APPLICATIONS

AVERTISSEMENT

Dans l'avertissement consacre au dernier ouvrage de M. Prudon, paru dans notre collection de l'Ingénieur-Méca- nicien, nous disions tout. le bien que nous en pensions, et encore nous sentions-nous contraint à quelque réserve, car ce bien aurait pu être considéré par certains esprits chagrins comme s'étendant à l'Institut Polytechnique lui-même (nous sommes orfèvres comme beaucoup d'autres). Cet ouvrage était consacré, nous le rappelons, à la Résistance des matériaux. En plus des théories classiques, très harmonieusement présentées, mais que l'on retrouve à peu près les mêmes dans tous les

' ouvrages qui se respectent, le traité de M. Prudon apportait un • nombre respectable d'éléments nouveaux et d'études originales.

Le nouveau volume, consacré au Béton armé et aux applica- tions de cette nouvelle technique industrielle, ne sera pas moins bienvenu du lecteur.

Il semble inutile, eu égard au caractère spécial du public • auquel s'adresse ce dernier ouvrage, de rappeler, même briève-

ment, de quelle importance est l'emploi du béton armé en matière d'installations hydrauliques nouvelles et plus généralement en matière de travaux publics. La lutte entre la construction métal- lique et la construction en béton armé a été vive depuis quelque vingt ans. Il y a eu pour le béton, comme pour bien d'autres sys- tèmes, des alternatives de victoires et de défaites, alternatives dues aux cours respectifs des matériaux, et aussi, il faut le recon- naître, à quelques accidents retentissants, peut-être grossis, mais qui n'en ont pas moins provoqué une impression défavorable dans les milieux industriels.

Aujourd'hui, la question des emplois respectifs du métal ou du béton armé semble tout à fait stabilisée. Certains ouvrages justi- fient l'un, d'autres nécessitent l'emploi du second mode. Il n'est même pas rare, dans nos pays d'installations hydrauliques, de voir la conduite en ciment, en fin de tracé, prolonger la conduite métal- lique descendant des parties abruptes de la chute. Ainsi se scelle l'union du métal et du béton armé pour le plus grand profit des usagers et des bénéficiaires...

Qu'on nous excuse de nous borner à ce seul exemple de bonne harmonie possible et qu'on nous permette de clore ce bref aver- tissement en rappelant quelques-unes des particularités les plus séduisantes de l'ouvrage .de M. Prudon.

On y trouvera d'abord un aperçu délicat sur la théorie de la continuité et son application aux ouvrages en ciment armé; puis d'intéressants commentaires sur l'interprétation de la Circulaire Ministérielle qui régit l'emploi de ces modes d'œuvrés. Encore à signaler les méthodes de calcul détaillé des silos et des conduites forcées méthodes établies par l'auteur, en collaboration avec - M. Dufour, Chef du Service d'Etudes des Ciments Vicat à Gre- noble.

Mentionnons enfin la partie importante de l'ouvrage consacrée à l'étude et à la fabrication de toutes les sortes de ciments

employés actuellement. Cette partie a été établie également avec la collaboration de M. Bouillet, ancien chef du Service Technique de la même Société des Ciments Vical.

Nous aurions mauvaise grâce à parler trop longuement d'une œuvre dont le lecteur lui-même appréciera bien vite, dès les pre- mières pages, la portée et la puissance. C'est un livre qui doit trou- ver place dans la bibliothèque de tout Ingénieur, livre réellement moderne..C'est un grand mérite. Beaucoup d'ouvrages identiques, au moins de forme, ne sont malheureusement que du vieux neuf.

B A R B I L L I O N .

PREMIÈRE PARTIE

GÉNÉRALITÉS ET MODES DE CALCUL

1

HISTORIQUE DU BÉTON ARME

L'idée de combiner dans les constructions un métal résistant (fer ou acier) avec des matériaux plus légers remonte environ à un siècle.

A cette époque, on employait, surtout en Amérique, les poutres dites armées composées de bois et de fer.

L'idée n'eut d'ailleurs pas de résultats très probants, car le métal ne pouvait empêcher le bois de subir l'altération du temps et l'ensemble ne présentait aucun avantage sur une construction purement en bois. A la même époque on eut l'idée de combiner le métal avec le ciment, et l'idée du ciment armé naquit ainsi.

On ne connaît pas exactement les origines de ce procédé de construc- tion. Toutefois il est certain qu'il est connu depuis fort longtemps et que de menus travaux (cloisons, plafonnages) ont été entrepris à des époques reculées.

Vers 1855, François Coignet, inventeur du béton aggloméré, cons- truisit des ouvrages de grande importance, dans lesquels il incorporait des armatures en fer.

Quelques années plus tard, Joseph Monier eut l'idée de construire des caisses mobiles avec armature métallique, enrobée dans du ciment, puis il étendit ce procédé de construction à des travaux plus importants, ponts en arcs, poutres droites... etc. v

De 1886 à 1896, le ciment armé prit en France un développement considérable. MM. Coignet et Hennebique, qui prirent à cet essor une part considérable, posèrent les premiers jalons de ce mode de construc- tion et M. Coignet présenta en 1894 un mémoire sur le calcul des cons- tructions en ciment, qui devait en 1906 servir de base à l'élaboration de la circulaire ministérielle en vigueur. Depuis cette époque, d'ailleurs, la construction en ciment armé a pris encore plus d'essor et actuellement on édifie par ce procédé des planchers, des toitures, des maisons entières et même des réservoirs, des conduites et des n a v i r e s . -

Au point de vue économique, le ciment armé n'offre pas que des avantages. Le ciment est, il est vrai, peu coûteux, relativement, mais les fers ronds nécessaires, les coffrages, et surtout les frais de main-d'œuvre spécialisée, font que ce mode de construction revient aussi cher, sinon plus parfois, que la construction métallique ou en maçonnerie.

Il a toutefois, sur les autres, l'avantage d'une durée illimitée.

Il

MATÉRIAUX EMPLOYÉS

La construction en ciment armé ne comporte comme matériaux nécessaires que le métal, fer ou acier, employé sous forme de rondes, d'étriers plats, de ligatures et de ciment naturel ou artificiel.

Le choix de ces matériaux, ainsi que leur mise en place sont d'une importance capitale. -

Les matières entrant dans la fabrication d'un béton de ciment sont :

Chaux ou ciment, sable et gravier.

Chaux hydraul ique.

Lorsqu'on calcine au feu des roches naturelles ou des' mélanges de carbonates de chaux et d'argile, on obtient les produits désignés sous le nom de chaux ou ciment suivant la composition chimique. Les chaux s'obtiennent par la cuisson de pierres calcaires naturelles dans des fours spéciaux. Si le produit extrait des fours s'éteint rapidement, se gonfle, tombe en poudre après avoir été mouillé, puis séché, il prend la désigna- tion de chaux éteinte ou grasse, le produit est à rejeter pour tous travaux en ciment armé.

Si le produit sortant des fours s'éteint diflicilement, et n'est pas soluble dans l'eau, on le transporte dans des fours et dans (les blutoirs qui en séparent une poudre fine prenant le nom de chaux hydraulique, les chaux sont plus ou moins hydrauliques suivant leur degré de solubi- lité dans l'eau et la dureté qu'elles y acquièrent.

Ciments.

Les ciments Portland artificiels sont obtenus par cuisson d'un mélange de carbonate de chaux et d'argile dans des fours semblables aux fours à chaux. A la sortie, les roches sont triées.

Celles qui sont parfaitement cuites, sont concassées et réduites en poudre. La durée de prise est considérablement plus longue que pour la chaux.

Ciment de laitier.

A la sortie des hauts fourneaux, certains ciments pouzzolaniques sont immergés, séchés et mélangés avec de la poudre de chaux. Le mélange donne le produit appelé ciment de laitier. Ce ciment peut remplacer les ciments Portland dans toutes les applications.

C i m e n t s p o u z z o l a n e .

L'addition de certaines matières pouzzolaniques aux ciments hydrau- liques augmente la résistance des mortiers à la décomposition par l'eau dé mer.

En résumé, et au point de vue chimique la grande différence entre la chaux et le ciment est que ce dernier produit contient en proportion variable de l'argile, grâce auquel il possède le procédé de durcir et de se conserver à l'eau.

S a b l e s e t g r a v i e r .

Le sable joue un grand rôle dans la fabrication du mortier et de sa qualité dépend la dureté du béton. Il est sage de laver, avant emploi, le sable provenant des lits de rivière, car il contient toujours des matières organiques ou de la vase qui retardent beaucoup la prise.

Le gravier à employer dans les mortiers doit être autant que possible - à arêtes aiguës et non poreuses. Les déchets de pierres calcaires con-

cassées sont d'excellents graviers.

F a b r i c a t i o n d u b é t o n . — Dopages .

On appelle béton le mélange de pierraille avec un mortier de chaux ou ciment. Les bétons sont d'autant plus résistants qu'ils contiennent plus de ciment.

La compacité du béton augmente avec la grosseur des éléments de pierraille. On emploie généralement les dosages suivants :

. a) Pour les gros travaux, fondations, on peut prendre 2'volumes de pierre pour 1 de mortier, celui-ci étant dosé à 350 kgs de chaux hydrau- lique ou 250 à 308 kgs de ciment, pour un mètre cube de sable.

b) Pour les planchers, cloisons armées on mettra :

300 à 400 kgs de ciment. 0 de sable, 8m3,800 de gravier.

c) Pour la construction des réservoirs, radiers,

400 à 500 kgs de ciment.Portland, 0m3,300 de sable avec une légère partie de gravier.

d) Pour les tuyaux de faible diamètre, moulés sur le chantier d'avance,

600 à 1.000 kgs de ciment à prise rapide, 1 de sable contenant une légère partie de gravier.

Ces chiffres d'ailleurs ne sont donnés qu'à titre d'indication, ils varient à l'infini mais sont toujours spécifiés au cahier des charges. Nous reviendrons plus tard sur l'importante question du gâchage et de la fabrication du mortier de ciment ainsi que sur celle du choix des armatures. Cette question trouvant sa place dans l'étude pratique de l'exécution des travaux.

III

APPLICATION DES THÉORIES

DE LA RÉSISTANCE DES M A T É R I A U X

AU CALCUL DU BÉTON ARMÉ

Les méthodes de calcul pour l'établissement d'une construction en ciment armé sont encore dans la période de tâtonnement.

En ce qui concerne les constructions faites d'un matériau homogène, la résistance des matériaux donne des résultats très voisins de la réalité. Mais ces mêmes calculs, appliqués à une construction hétérogène (fer et métal) ne donnent des résultats que grâce à l'introduction d'un certain nombre d'hypothèses plus ou moips vérifiables. Deux circonstances en particulier rendent imprécis les calculs que l'on peut faire :

1° La résistance du béton varie d'une façon considérable suivant sa qualité, son âge et la façon dont les armatures et ligatures y sont disposées;

.2° Dans une construction en ciment, on cherche (et c'est là un avantage intuitif) à rendre toutes les parties solidaires, par exemple un plancher est encastré sur tout son pourtour dans les parties adjacentes,

de sorte que sa flexion entraîne celle des colonnes, des cloisons et de tout l'ensemble.

Malgré les remarquables travaux faits récemment sur la continuité des constructions en généralisation de la théorie des poutres continues, les calculs, exacts pour l'esprit, deviennent d'une extrême complexité et on s'en tient en général aux procédés classiques qui admettent l'indé- pendance des parties.

Quoiqu'il en soit, jusqu'en 1906, il n'y avait aucun principe de calcul pour le béton armé.

En date- du 20 octobre 1906, une circulaire ministérielle fixait et codifiait les modes de calculs présentés jusqu'alors.

Nous renvoyons aux chapitres suivants cette circulaire et les commen- taires qui doivent l'accompagner. Les principaux reproches que l'on peut lui adresser sont les suivants :

1° Dans les formules qu'elle donne, le choix des notations et des incon- nues n'est pas des plus heureux et les résultats que l'on obtient par des équations du 3° degré sans généralité pourraient l'être avec autant d'exactitude par des procédés purement graphiques et simples;

2° Elle a été établie à une époque, où la plupart des applications modernes du ciment armé n'étaient pas entrées dans le domaine classi- que, et ce sont justement ces applications les plus délicates qui sont laissées dans l'ombre. En ce cas, le constructeur en est réduit à sa propre initiative. Néanmoins, comme cette circulaire fait loi pour tous les calculs de résistance classique, nous en donnerons le texte' intégral et les commentaires qui en rendront l'application plus aisée.

Dans ce chapitre et le suivant, nous ne traiterons que le calcul des constructions hétérogènes mené, on peut dire, en marge des calculs correspondants de la classique « résistance des matériaux ».

A). Hypothèses fondamentales.

On admet, comme on le fait à propos des maçonneries, que la

résistance du béton de ciment à l'extension est négligeable ( le ^ de la rupture à l'écrasement si on la fait intervenir).

28 La résistance à la compression est prise égale aux 100 de la résistance

à la rupture donnée par le tableau ci-contre :

Avec un dosage fixe de 400 litres de sable pour 800 litres de gravier on obtient:

Pour une quantité Résistance à l'écrasement de ciment portland au bout de

28 jours 90 jours

250 kgs 107 kgs c ' 2 160 400 » 120 1) 180

1 600 « 133 » 200

La résistance varie donc énormément suivant le dosage. Le coefficient d'élasticité E, du béton est assez mal défini. On admet toutefois qu'il est le même à l'extension qu'à la compression,

tant qu'il n'est pas fendillé naturellement. Le coefficient d'élasticité E, du béton est à celui Ea des armatures

métalliques dans un rapport qui n'est pas constant puisque tout dépend du dosage.

On admet toutefois que varie entre 12 et 15, 13 est une

très bonne valeur à prendre en cas d'indécision. Au cisaillement, la résistance du béton est très faible. Si on veut la

faire intervenir, il faut la prendre égale à celle à l'extension ( ^ de la résistance à la compression).

L'adhérence du béton au métal peut être prise égale à l'adhérence du béton sur lui-même, c'est-à-dire à la résistance au cisaillement.

Enfin si une construction en béton est soumise à des efforts brusques ou alternés, la circulaire prescrit de réduire de 20 % les taux de travail adoptés.

En résistance des matériaux, on réduit de 50 0/0' mais ici le taux de travail très faible que l'on admet permet cette réduction.

B). Méthode de calcul suivie.

Tous les principes de la résistance des matériaux sont appliqués au calcul des pièces en béton armé; en particulier, le principe de Bernouilli ou de conservation des tranches.

On admet que les armatures longitudinales se dilatent de la même

façon que le béton, de sorte que chaque section conserve sa forme et sa résistance.

Une section d'une pièce composée de béton et d'armatures longitu- dinales sera considérée comme une section homogène, à cette seule diffé- rence que la partie de béton qui est tendue (flexion) sera négligée.

La section des armatures, pour lesquelles le coëfficient d'élasticité Ea est m fois plus élevé que pour le béton., joue le même rôle dans les calculs qu'une section de béton m fois plus grande. Si ^ est la section des armatures en coupe transversale, cette section w équivalente à une section de béton m (section amplifiée) disposée au même point. -Ceci dit, nous allons étudier toutes les déformations simples, considérées en résistance des matériaux et voir ce que.deviennent les formules classiques dans chaque cas.

IV

EXTENSION, COMPRESSION, FLAMBAGE

A). Extens ion simple.

Prenons (figure 1) une forme quelconque de section, Soit Q la section totale et w celle des armatures en acier. La section en béton est L2 — w, celle des armatures amplifiées est : m et la section fictive en

Fig. 1.

béton équivalente à la section vraie est :

Ω = Ω — ω + = -)- (m — 1) w.

On appelle pourcentage de métal de rapport

et en faisant intervenir cette quantité, il

vient : Ω Ω [1 (m - 1) F].

L'effort d'extension appliqué à la pièce étant P, on doit avoir :

Re étant le taux de travail à l'extension pris égal au du taux de travail, à la compression.

Si l'on veut éviter la fissuration du béton qui s'allonge avec les armatures on est obligé d'appliquer la formule :

qui permet de calculer F, si Ω est fixé d'avance. Pratiquement, la fissuration du béton n'a aucun inconvénient dans

beaucoup de pièces tendues, et alors il est logique de négliger complète- ment le béton et de calculer la section w d'armature par la formule

p w = — (R étant le taux de l'acier). R

La section Q de béton doit être alors juste suffisante pour enrober les armatures.

Remarque. — On ne peut toutefois prendre £2 trop petit car il faut que les armatures soient enrobées dans le ciment, c'est-à-dire noyées d'au moins 2 centimètres dans la masse, ceci pour éviter la mise à nu des armatures et surtout pour permettre le pilonnage du béton entre les vides. Pour la même raison les armatures doivent être écartées entre elles d'au moins 4 centimètres. Ces considérations fixent la valeur minima de u.

Exemple numérique. — Calculer une pièce de béton, armée longi- tudinalement, devant supporter un effort d'extension de 20.000 kilos.

En prenant pour l'acier R = 1 0 , on aura :

On prendra des fers ronds de 4 c m de section (valeur maxima admise) et il faudra 5 armatures dont 4 seront placées en carré et une au centre. Le côté du carré sera pris à 10 centimètres pour laisser des intervalles assez larges pour le pilonnage.

Le diamètre des armatures étant de 3, 5 centi- mètres et si l'enrobement est de 1 cm 5 la section de

Fig. 2.

b é t o n d e v r a ê t r e u n c a r r é a y a n t p o u r cô t é 10 + 3 , 5 3 = 17 c e n t i - m è t r e s .

La s e c t i o n t o t a l e s e r a i t a i n s i de 17 cm2 e t le p o u r c e n t a g e

La section fictive de béton deviendra :

Q = 2 8 9 [1 + (15. — 1) . 0 . 0 6 ] = 4 1 5 c m 2 .

Le travail du béton à l'extension sera :

Il ne pourra naturellement pas supporter cet effort et se fendillera. Toutefois la pièce ne périra pas puisque les armatures seules suffisent.

B). Compression simple.

1° , Pièce courte a rmée longi tudina lement .

Dans ce ca s tout le béton intervient dans la résistance de la pièce et la section fictive Ω est donnée par :

est le taux de travail du béton que l'on peut prendre égal à 40 on 50 kg. cm2. De cette équation on tire F, si Q est fixé.

Exemple. — Calculer un pilier court, devant supporter 20 tonnes à section carrée, 20 em2.

On a ici en prenant R = 40 :

la section d'armatures sera donc :

ω = 400 X 0-018 = 7,2 cm2.

p

Si dans un calcul on trouve que Q est plus grand que —, F devient

négatif, c'est-à-dire que les armatures peuvent être supprimées sans inconvénient.

2° Pièce fret tée

Si les armatures longitudinales sont renforcées au moyen de liga- tures circulaires, ou roulées en hélice autour des premières, on obtient

\

une pièce dite frettée. La résistance à l'écrasement est considérablement augmentée du fait que le gonflement transversal de la pièce est gêné par les frettes. On a comparé les pièces en béton frottées à des enveloppes cylindriques pleine d'un fluide sur lequel s'exerçait la pression au moyen d'un pisto-n (fig. 3). Le béton jouant le rôle du fluide et le frettage celui de l'enveloppe. En fait il est difficile d'assimiler le béton à un fluide, même quand il est écrasé et pulvérisé. La com- paraison est d'autant moins heureuse que l'on peut cons- tater par le calcul qu'un récipient cylindrique du genre

- cité employé comme colonne supporterait une charge moitié de celle que pourrait supporter le métal employé. En effet, la pression développée sur le piston est :

Fig. 3.

et l'épaisseur e du métal serait :

La-section de métal serait au lieu de , si on envisa-

geait l'écrasement seul du métal. En fait le béton et son frettage constotient un tout d'autant plus résistant que les frettes sont plus intimement liées à la masse, c'est-à-dire plus rapprochées. De nombreuses expériences et une théorie ont été présentées par M. Considère, ingénieur des Ponts et Chaussées, et ses travaux ont conduit à adopter la formule ci-dessous, indiquée dans la circulaire ministérielle.

La résistance du béton fretté à l'écrasement R est donnée par la formule :

Dans cette formule, V' est le volume occupé entre deux sections par les armatures ou frettes, V le volume de la pièce entre les deux sections et 2 un coefficient qui a les valeurs suivantes :

Si l écartement des frettes est égal à la plus petite largeur de la section, α — 8 ;

Si cet écartement est trois fois plus petit, a = 15; Si le frettage est fait en hélice, a varie de 15, si le pas est les 2 o de

la plus petite dimension de la section à 30 pour un pas égal au 1/5 de cette dimension.

En aucun cas, d'ailleurs, la limite de travail d'une pièce frettée ne 6

pourra dépasser les ^ de la résistance à l'écrasement.

Exemple de calcul de pièces frettées.

1° — Quelle charge peut supporter un prisme fretté à section carrée 20 X 20, l'écartement des armatures longitudinales étant de 15 centi-

Fig. 4.

mètres, les frettes étant faites de 5 tours de fil de 6 m/m et espacées de 10 centimètres '(fig. 4), .

On aura ici en appelant V le volume com- pris entre les plans de 2 frettes successives : V = 400 X 10 = 4.000 cm3.

Ici on pourra prendre α = 12, et on aura :

D'autre part, si les armatures longitudinales ont un diamètre de 10 m /m, la section d'arma-

7C

tures longitudinales est 4 >< — = 3,14 cm2. Le

3 14 pourcentage F = = 0,008 et la section fic-

tive de béton est Qf = 400 (1 + 14 0.008) = 400 (1,112) = 445 cm2.

La charge que pourra supporter la pièce sera P = 52 X 445 = 23.140 kgs.

2° — Calculer un frettage en hélice suscep- tible de faire supporter à une colonne de 20 X 20

une charge de 30T. Les armatures longitudinales étant les mêmes que dans le cas précédent.

La section fictive étant la même que plus haut, on a : ' -

D'où l'équation :

α dépend de l'écartement des spires. Admettons % = 2o (valeur moyenne) il vient :

1 Prenons comme pas le - de la longueur de la

20 section : il vient (fig. 5 e = — = 4. o

En considérant la portion de pièce comprise en t r e r sections distantes d'un pas, on a :

V = 400 e = 1600 cm3 V = 0.023 V = 39 cm

En appelant w la section du fil qui forme le frettage, on a très sensiblement V' = 4 l = 6U w = 39,

d'où :

Le diamètre du fil est :

Fig. ô.

C). Compression et flambage.

Si la longueur de la pièce dépasse 24 fois la plus courte dimension de. la section, le calcul au flambage s'impose, comme on le fait d'ailleurs en résistance des matériaux.

On utilise pour ce calcul la formule classique de Rankine-Resal. En appelant r le rayon de giration minimum de la section que nous

calculerons plus tard, L la longueur de la pièce,

On a :

1 Le facteur K = 1, si les extrémités sont libres et si elles sont

encastrées.

De cette équation on peut tirer Q en se fixant la forme de la section, l'emplacement et le pourcentage F des armatures.

On utilise d'ailleurs presque toujours le béton fretté et en ce cas R devient Ré, défini au chapitre précédent.

D) C i s a i l l e m e n t e t t o r s i o n .

En principe on ne fait jamais travailler de pièces en béton au cisail- lement ou à la torsion. Les armatures deviennent inutiles et le béton ne

résiste pas à ces déformations. Le seul cisaillement que l'on peut ren- contrer est celui mis en jeu par les efforts tranchants en flexion. Nous en parlerons plus tard.

v

FLEXION S I M P L E

Déterminat ion de l 'axe n e u t r e dans le cas

d 'une section pleine rec tangula i re .

Par analogie avec la théorie de la flexion appliquée aux pièces homo- gènes, une section hétérogène composée de béton et d'armatures travaille, . partie en tension, partie en compression.

La ligne intermédiaire ou axe neutre ne supporte aucun effort, soit donc (fig. 6) αβ cet axe neutre.

Au-dessus le béton est comprimé, en dessous il est tendu et ne joue aucun rôle puisqu'on néglige sa résistance.

Les armatures dans la région comprimée sont théoriquement inu- tiles, mais leur utilité apparaîtra plus tard. Supposons donc les arma- tures placés symétriquement. D'après la théorie de la flexion, la résul- tante des actions moléculaires dans la partie comprimée équilibre la

résultante des actions dans la partie tendue et les moments sta- tiques, par rapport à αβ de ces deux parties, doivent être égaux.

Appelons ω la section totale d'arma- tures, la section d'armatures tendues am-

plifiée est de même pour celles qui sont

comprimées. Le moment statique de la partie tendue qui se réduit aux armatures est : -

Pour la partie comprimée, ce moment est : -

Fig. 6.

D'où l'équation qui exprime l'égalité des moments :

d'où :

d'où l'équation finale :

Cette équation qui détermine l'axe neutre montre que celui-ci est indépendant de l'enrobement des armatures lorsqu'elles sont symé- triques.

Pour m = 0 F = 1, ce qui revient au cas d'une section homo- 'gène de métal on aurait

Il est logique au point de vue conception de ne pas placer d'arma-

Fig. 7.

tures dans la région comprimée où le béton suffit et de réserver le métal à la région tendue.

On a, dans ce cas (fig. 7) l'équation - - plus simple

Si e est faible, on peut le négliger. En appelant encore F le pourcen- tage, on a :

w = ab F - l'où :

Pour m = 15, il vient :

On pourrait chercher à quelle condition l'axe neutre tombe au milieu, ce qui répartit rationnellement les efforts; il faudrait pour cela que :

Ce pourcentage est facile à réaliser, mais la nécessité de disposer des armatures de compression rejette cette question dans le domaine théo- rique. - -

Déterminat ion de l 'axe n e u t r e dans une section en T.

Soit (fig. 8) w ia section d'armatures tendues, w' la section d'arma- tures comprimées, x la distance de L'axe neutre à la semelle. On a pour les momènts statiques des parties supérieures et inférieures :

et : m — dl — e — x)

D'où :

Fig. 8.

En appelant Q la section totale d'armatures, on a : Ω = ω + w'

et :

On tire de cette équation :

Si la valeur trouvée p o u r négative, cela signifie que l'axe neutre tombe dans la semelle. On a alors, pour déterminer x l'équation :

ou

qui donne également pour x une seule valeur acceptable.

Ici encore, on peut supprimer les armatures comprimées, ce qui revient à faire w' = 0 et il vient :

On voit, par ces deux exemples pourtant simples, combien le principe de la détermination de l'axe neutre, dans le cas d'une section quelconque, peut conduire à des résultats compliqués.

Il sera alors préférable de déterminer l'axe neutre graphiquement par le procédé ci-dessous, qui n'est qu'une application de tracés classiques.

Déte rmina t ion g raph ique de l 'axe neutre .

Considérons, pour fixer, les idées le cas d'une section polygonale (fig. 9), l'axe neutre tombe au-dessus de la ligne médiane a priori.

Fig. 9.

Divisons la partie comprimée en surfaces élémentaires et au centre de gravité de chacune de ces surfaces appliquons une force horizon- tale égale h cette surface mesurée avec une unité quelconque. Les arma- tures correspondent à une force mw (section amplifiée).

Du côté tendu, seules les armatures amplifiées comptent. Prenons ensuite 2 pôles o et o' symétriques et traçons un double

funiculaire des forces de compression et de tension. Les 2 funiculaires qui ont le même côté vertical de départ se cou-

pent en I. Le moment statique de la partie supérieure est p XIH, Celui de la partie tendue est le même. Donc le point 1 est sur l'axe neutre et il le détermine.

' Ce tracé rapide et général s'applique à des cas où le calcul serait des plus compliqués.

Déterminat ion du moment d ' inert ie d'une section.

Les calculs de résistance à la flexion nécessitent, comme on le sait, la détermination des moments d'inertie ; elle peut se faire par le calcul ou graphiquement.

Calcul du moment d ' iner t ie d 'une section rec tangula i re à a rmatures symétriques.

Soit (fig. 10) une section rectangulaire a X b etw la section totale d'armatures.

L'axe neutre est déterminé et à une distance d du parement supérieur. Le moment d'inertie par rapport à ap

est égal à la somme des moments des différentes parties, ce qui donne :

Fig. 10.

Cette formule donne le moment d'inertie de la section convertie en béton.

Moment d' inertie d'une section en T.

Soit (fig. 11) une section en T à armatures quelconques. Soit αβ l'axe neutre et il sa distance au parement supérieur. On a ici pour le moment d'inertie :

Soit :

On peut, par analogie, calculer le moment d'inertie d'une section quelconque, mais les résultats sont des plus longs.

Fig. 11.

Le procédé graphique, extrêmement général, est en même temps beaucoup plus rapide. Il n'est toutefois pas admis aux termes .de la circulaire.

Déterminat ion g raph ique du moment d'inertie.

Considérons (fig. 12) une section quelconque, polygonale par exemple. Nous refaisons le même tracé que celui qui a servi à déter- miner l'axe neutre. L'axe neutre passe par 1.

Nous mesurons les longueurs interceptées au droit de IH par les côtés prolongés du funiculaire 2 à 2.

En portant ces longueurs l' 2' 3f 4 au droit des charges horizon- tales fictives dont elles représentent les moments, et en traçant un 2e funiculaire de ces forces avec une distance d, nous obtenons en LM le moment d'inertie de la partie supérieure comprimée.

En utilisant un 2e funiculaire à pôle symétrique o', pour la partie tendue, nous obtenons en JM' le moment d'inertie de la partie ; tendue.

Le moment de la section est donc I = p d (I M + I M'), le tracé sert encore à autre chose. Si nous prolongeons les côtés extrêmes des deux derniers funiculaires, ils coupent le côté vertical de départ commun en 2 points X et Y, qui représentent la position du point d'application de

là résultante des efforts élastiques développés dans la section, en X pour- les efforts décompression et en Y pour les efforts de tension.

En effet, les forces fictives 1' 2' 3' qui interviennent dans le 2e funi- culaire représentent les moments, par rapports à αβ des surfaces élémen- taires. Ce sont donc des efforts de la forme y y étant la distance corres- «

Fig. 12.

pondante, à l axe neutre. Donc le point X d'application de la résultante des forces y est bien le centre des efforts élastiques de compression. Même résultat pour Y.

Les actions élastiques appliquées en X, et en Y constituent un couple (couple élastique) qui équilibre le moment fléchissant.

Nous nous servirons de cette propriété dans les calculs.

Formule d ' équa r ris sage.

Appelons v la distance de la fibre la plus éloignée à l'axe neutre.

La formule classique à la f lexion e s t applicable.

Prenons par exemple une section en T (fig. 13). Nous avons calculé I

Le travai l moléculaire v varie linéairement avec v. Si nous traçons une droite passant par le point 1 au droit de l'axe

neutre et faisant avec la verticale xy un coefficient angulaire y nous aurons en AB le travail du béton tendu. Le travail des armatures

tendues sera : m X CD. Celui du béton comprimé est EF, etc. En général les armatures résistent toujours si le béton résiste, car m

rapport des coefficients d'élasticité des deux matières est plus petit que

Fig. 13. Fig. - 14.

le rapport des taux de travail admissibles pour fer et béton. Au point de vue fer il y a toute sécurité. Donc il suffit que EF < Ré (résistance du béton à l'écrasement).

L'utilisation de la formule d'équarrissage classique, pour- fixer les dimensions d'une section, ne peut se faire que par tâtonnements.

- Toutefois, dans un avant-calcul, approché on peut opérer de la façon suivante :

Considérons par exemple (fig. 14) une section en T. Dans la partie tendue seules les armatures comptent. La résultante des efforts élastiques de tension est appliquée en G même.

Du côté comprimé, le centre de pression G' des actions élastiques peut se placer, par intuition, au voisinage des armatures décompression. Le couple élastique a pour bras de levier GG', et en appelant R le travail unitaire des armatures, on a : Rw GG' — M, M étant le moment fléchissant. En posant GG' = g, on en tire :

Les efforts élastiques varient linéairement, on en tire pour le travail - du béton comprimé.

Le tout revient donc à déterminer G'. On peut le faire graphiquement ainsi qu'il a été vu au paragraphe précédent, par intuition, ou même immé- diatement si la section est rectangulaire et sans armatures comprimées.

Exemple. — Calculer une pou t re pleine r ec t angu la i r e à a r m a t u r e s tendues devant suppor t e r un moment m a x i m u m

de 10.000 klgm. (R=700 klg cm2 pour le fer).

On doit avoir :

Fixons (fig. 15) la largeur à 15 cm.

-. Avec un pourcentage de :0 l'axe neutre est au milieu; soit a la

hauteur. Le centre des compressions est G',

à une distance ^ du parement supérieur. (Résultante d'efforts croissant linéairement de jusqu'en haut.

La distance g est donc g — 6

D'où l'équation :

On a :

Fig. 15.

Cette hauteur étant exagérée nous augmenterons b. Prenons par - exemple & = 30 cm, il viendra :

et :

On pourrait conserver ces dimensions.

Le calcul peut naturellement se mener de toute autre façon; en 1 particulier, on peut agir sur le pourcentage, ce qui entraîne naturellement

Fig. 16.

chaque fois un déplacement de l'axe neutre. Exemple (fig. 16). Fixons-nous comme '

dimensions extérieures de la pièce deman- - dée : 30 X 40.

Supposons en première approximation que le centre de pression G n'est pas changé. Sa distance au parement supérieur est : . -

On a donc :

46.6 le pourcentage 0,038 est acceptable, on peut prendre 6 armatures

de 7 cm2, 75 de section, ayant 3 cm, 15 de d.iamètre. La distance x de l'axe neutre se Lire de l'équation :

Le travail du béton comprimé est :

Cette valeur est tout à fait exagérée. En ce cas, il faut se résoudre à - placer des armatures de compression, ce qui fera remonter l'axe neutre

et diminuera par suite (et par le fait que le moment augmente) le travail du béton.

Plaçons donc (fig. 17) 3 armatures de compression semblables aux

armatures de tension. La section d'armature comprimée sera de 23 cm, 3.

La position de Taxe neutre est donnée par l'équation :

soit :

Fig. 17.

Le moment d'inertie de la section est :

Le travail du béton est :

Cette valeur est tout à fait acceptable. Le travail des armatures est :

AUTRE EXEMPLE — C a l c u l e r u n e p o u t r e en T p o u v a n t s u p p o r t e r u n m o m e n t m a x i m u m de 5 . 0 0 0 Km.

On peut admettre (fig. 18) en première approximation que le centre des compressions tombe au milieu de la semelle à laquelle nous donne- rons une épaisseur de 10 cm., la nervure ayant 30 de haut.

CouverturePage de titreAVERTISSEMENTPREMIÈRE PARTIE - GÉNÉRALITÉS ET MODES DE CALCULI - HISTORIQUE DU BÉTON ARMEIl - MATÉRIAUX EMPLOYÉSIII - APPLICATION DES THÉORIES DE LA RÉSISTANCE DES MATÉRIAUX AU CALCUL DU BÉTON ARMÉIV - EXTENSION, COMPRESSION, FLAMBAGEV - FLEXION SIMPLE