le calcul des vibrations movennes et hautes fréquences par ...w3.lmt.ens-cachan.fr/PDFs/RIOU.2004.5.pdf · 5.5.2 L'effet de courbure dans les ... 7.3.3 Densité d'énergie pour les

Prsente par : Herv RIOU

Titre de la thse : Sur le calcul des vibrations movennes et hautes

frquences par la Thorie ~Giationnelle des Rayons Complexes

Soutenue le 9 Mars 2004 1'E.N.S. Cachan, devant le jury compos de :

Monsieur Monsieur Monsieur Monsieur Monsieur Monsieur Monsieur Monsieur

BRICOUT Jean-Nol CLOUTEAU Didier COYETTE Jean-Pierre GRELLIER Jean-Paul JEZEQUEL Louis LADEVEZE Pierre OHAYON Roger ROUCH Philippe

Examinateur Rapporteur Examinateur Examinateur Rapporteur Examinateur Prsident Examinateur

Laboratoire de Mcanique et Technologie ENS Cachan/CNRS/Universit Paris 6

61, avenue du Prsident Wilson, 94235 CACHAN CEDEX, FRANCE www.1mt .ens-cachan. fr

Remerciements

Je remercie Pierre Ladevze pour toutes les connaissances qu'il m'a apportes par son encadrement scientifique, mais je le remercie aussi pour ses qualits humaines. Mes remerciements vont galement Roger Ohayon qui m'a fait l'honneur de prsider mon jury de thse. Je tiens enfin remercier les autres membres de mon jury, Jean Nol Bricout, Jean Pierre Coyette, Jean Paul Grellier, Philippe Rouch, et plus particulirement Didier Clouteau et Louis Jzquel, qui ont accept d'tre rapporteurs de cette thse.

Table des matires 1

Introduction 5

Problme de rfrence et notations 9

Etat de l'art 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1 Les techniques issues des BF 13

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.1 LamthodedesEF 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.2 LesEF adaptatifs 16

. . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.3 La dcomposition de domaine 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.4 Les EF stabiliss 18

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.5 Les EF multichelles 20 3.1.6 La partition de l'unit et les lments finis gnraliss . . . . . 23

. . . . . . . . . . . . . 3.1.7 La Discontinuous Enrichement Method 24 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.8 Les mthodes sans maillage 25

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.9 Les mthodes de rduction 26 . . . . . . . . . . . . . . 3.1.10 La mthode des rigidits dynamiques 27 . . . . . . . . . . . . . . 3.1.1 1 La mthode des lments de frontire 28

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.12 Les mthodes de Trefftz 30 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Les techniques issues des HF 32

. . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1 L'analyse statistique de l'nergie 32 . . . . . . . . . . . . . . 3.2.2 Les mthodes de diffusion de l'nergie 33

. . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.3 L'analyse vibratoire de l'nergie 35 3.2.4 Les mthodes de rayons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.5 Les mthodes de l'enveloppe 37 . . . . . . . . . . . . . . 3.2.6 La mthode des chemins structuraux 38

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.7 Les structures priodiques 38

3.2.8 Les mthodes asymptotiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 3.3 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

La Thorie Variationnelle des Rayons Complexes 41 4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 4.2 Rcriture du problme de rfrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 4.3 Approximation associe la nouvelle formulation . . . . . . . . . . . 46 4.4 Rayons de vibration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 4.5 Le problme discrtis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 4.6 Implmentation numrique : CORAY MF . . . . . . . . . . . . . . . 51 4.7 Convergence de la TVRC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

4.7.1 Quantit d'intrt pour l'erreur de convergence . . . . . . . . 55 4.7.2 Problme trait . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 4.7.3 Solution exacte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 4.7.4 Solution EF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 4.7.5 Solution TVRC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 4.7.6 Comparaison TVRCIFEM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

4.8 Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

Extension de la TVRC aux structures coques 65 5.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 5.2 Equations des coques minces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 5.3 Rayons de vibration pour les structures coques . . . . . . . . . . . . . 69

5.3.1 Cas gnral, coques quelconques . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 5.3.3 Rayons de vibration d'ordre O pour le cylindre . . . . . . . . . 74

5.4 Solution approche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 5.5 Exemples d'application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

5.5.1 Le demi-cylindre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 5.5.2 L'effet de courbure dans les coques . . . . . . . . . . . . . . . 79 5.5.3 Premier exemple sur un assemblage 3-D . . . . . . . . . . . . 80 5.5.4 Deuxime exemple sur un assemblage 3-D . . . . . . . . . . . 84

5.6 Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

Analyse large bande 87 6.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 6.2 Premire approche : discrtisation des variables rapides . . . . . . . . 88

6.2.1 Approximation multi-chelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 6.2.5 Test des diffrentes stratgies sur un exemple simple . . . . . . 94 6.2.6 Test des diffrentes stratgies sur un assemblage de plaques en

3-D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 6.2.7 Comparaison des diffrentes stratgies . . . . . . . . . . . . . 100

6.3 Deuxime approche : dveloppement en sries de Taylor . . . . . . . . 104 6.3.1 Dveloppement en sries de Taylor du problme TVRC . . . . 104 6.3.3 Exemple numrique en 1-D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 6.3.4 Exemple numrique en 2-D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

Table des matires 3

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3.5 Exemple numrique en 3-D 113 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4 Conclusions 119

Ranalyse locale d'une solution SEA 121 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1 Introduction 121

7.2 Etude de la vibration d'une structure par la SEA . . . . . . . . . . . 122 7.3 Etude de la densit d'nergie dans les structures . . . . . . . . . . . . 123

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3.1 Remarques prliminaires 123 7.3.2 Densit d'nergie pour les barres en vibrations HF . . . . . . . 124 7.3.3 Densit d'nergie pour les poutres en flexion en vibrations HF 127 7.3.4 Densit d'nergie pour les plaques en flexion en vibrations HF 130

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4 Ranalyse locale des donnes SEA 136 7.5 Exemples d'application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

7.5.1 Application sur une barre avec une discontinuit de module . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . d'Young 137

7.5.2 Application sur une structure constitue de plaques . . . . . . 138 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.6 Conclusions 141

Conclusions et perspectives 143 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.1 Conclusions 143 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2 Perspectives 144

Bibliographie 147

1. INTRODUCTION

Un enjeu majeur actuel dans le monde industriel est la matrise du comportement vibratoire. Le confort sonore des passagers, les nouvelles lois sur les missions de bruit, la furtivit des structures militaires et la matrise des vibrations sur les quipements embarqus font que la problmatique vibro-acoustique joue un rle prpondrant dans la phase d'laboration et de dimensionnement des structures. C'est, par exemple, le cas dans l'industrie automobile o la ncessit conomique de rduire le poids des voitures a abouti des structures bien plus sujettes aux vibrations. Afin de limiter les essais longs et coteux et d'intgrer des contraintes vibro-acoustiques dans la phase de conception, il est ncessaire de dvelopper des outils prdictifs de simulation numrique performants et fiables. Les codes cornmer- ciaux actuels permettent de traiter le domaine des basses frquences (BF), ainsi que le domaine des hautes frquences (HF). Ils ne permettent pas de rsoudre les problmes dans le domaine des moyennes frquences (MF). Cette problmatique MF appartient pour l'instant au domaine de la recherche.

L'objectif de cette thse est de produire une avance dans cette direction en poursuivant le dveloppement d'une stratgie adapte la problmatique MF : la Thorie Variationnelle des Rayons Complexes.

Dans le domaine des BF, les codes de calcul numrique doivent tre capables de reprsenter une dforme de la structure qui possde quelques oscillations seulement. En effet, la frquence de l'excitation impose est telle que la longueur d'onde des phnomnes vibratoires est de l'ordre de la dimension caractristique de la structure. Par ailleurs, la structure a un comportement qualifi de modal : elle est bien reprsente par quelques modes propres, dont les frquences propres sont distinc- tement spares dans l'espace frquentiel. Les mthodes les plus utilises dans ce domaine de frquence sont bases sur la technique des lments finis (EF) ([Zien- kiewicz (1977)]), qui consiste reprsenter la solution par des polynmes. Cette technique est trs efficace et permet de traiter les structures complexes. D'autres approches plus rcentes permettent de pallier les difficults numriques des EF qui

aboutissent gnralement des problmes ncessitant beaucoup de degrs de libert (ddl). Panni celles-ci, on trouve les lments finis multi-chelles ([Hughes (1995)l) qui permettent de rgulariser les matrices grandes dimensions, ou encore les mthodes d'enrichissement ([Melenk et Babuika (1996)], [Farhat et al. (2001)l) qui permettent d'amliorer l'espace de fonctions dans lequel on recherche une solution approxime.

Dans le domaine des HF, la dforme de la structure est trs oscillante. Une centaine d'oscillations sont prsentes dans une dimension caractristique. La stmc- ture est bien reprsente par son comportement moyen en espace et en frquence. Les grandeurs qui intressent les ingnieurs sont de type nergtique. Les mthodes utilises dans ce domaine de frquence sont trs diffrentes de celles utilises dans les BF. En particulier, l'Analyse Statistique de 1'Energie (SEA) est la plus rpandue ([Lyon et DeJong (1995)l). Cette approche permet de connatre le niveau nergtique vibratoire moyen de chaque sous structure. Peu de codes de calcul existent pour les HF, le plus utilis dans le monde est AutoSEA, bas sur la SEA ([AutoSEA]). Un tel code de calcul, mme s'il permet d'obtenir la rponse moyenne de chaque sous structure en HF, ne permet ni de faire des calculs prdictifs (la SEA, pour donner une solution, doit connatre des facteurs qui doivent tre mesurs), ni de donner une reprsentation locale de la solution. D'autres approches tentent de fournir une description continue de la solution ([Wohlever et Bernhard (1992)], [Nefske et Sung (l989)], [Langley (l992)], [Ichchou et al. (1997)l)

Dans le domaine des MF, la dforme de la structure possde quelques dizaines d'oscillations. Les frquences des modes sont trs proches. La densit modale est trs grande. La rponse est trs sensible aux conditions limites et aux grandeurs matriaux. L'utilisation des mthodes BF conduit des problmes de trs grandes tailles, avec des difficults pour effectuer une rduction modale (plus de 1000 modes propres sont couramment ncessaires) et des difficults d'ordre numrique (dispersion, mauvais conditionnement). L'utilisation des mthodes HF est inadapte car elles fournissent des grandeurs trop globales. De plus, les hypothses sur lesquelles se basent ces approches ne sont plus valides. Les MF apparaissent donc naturelle- ment comme le domaine de frquence non modlis : entre les basses et les hautes frquences. Plus prcisment, nous dfinirons le domaine des MF comme la bande de frquence dans laquelle les techniques BF sont trop coteuses (en place mmoire et en temps de calcul) et les techniques HF inadaptes (volont de connatre plus qu'une moyenne spatiale, et ncessit de dvelopper des outils prdictifs).

Le travail prsent ici propose la poursuite d'une mthode adapte aux MF : la Thorie Variationnelle des Rayons Complexes (TVRC). La TVRC a t initie dans [Ladevze (1996)l. C'est une mthode prdictive pour le calcul des vibrations MF. Elle utilise une formulation variationnelle du problme qui autorise les solutions recherches dans chaque sous structure tre indpendantes. En effet, ces solutions ne doivent pas a priori satisfaire les conditions de continuit (en dplacement et en effort) l'interface entre deux sous structures. Ces conditions de continuit sont incorpores dans la formulation variationnelie. Par ailleurs, les solutions approxi- mes dans chaque sous structure sont recherches sous la forme d'une combinaison linaire d'ondes propagatives et vanescentes (appeles rayons de vibration) qui v- rifient l'quation d'quilibre et la relation de comportement. Toutes les directions de

Introduction 7

I propagation des rayons sont prises en compte. Les rayons sont des fonctions deux chelles. L'chelle rapide est calcule analytiquement de manire viter une discrtisation trop fine de la structure. L'chelle lente est calcule numkriquement. Les inconnues sont les amplitudes des rayons. Ces amplitudes tant associes l'chelle lente, une discrtisation grossire suffit pour bien les reprsenter. Ainsi, une bonne solution approxime peut tre obtenue avec un faible nombre d'inconnues. Enfin, quand cela est ncessaire, la mthode extrait de la solution les quantits effectives (moyennes en espace des quantits locales) qui ont un sens physique plus pertinent en MF : l'nergie cintique, l'nergie lastique, le travail dissip, le dplacement efficace, etc.

Cette approche a prouv son efficacit pour des structures 1-D ([Arnaud (2000)]), ainsi que pour des assemblages de structures 2-D ([Rouch (2001)], [Ladevze et al. (2003)], [Rouch et Ladevze (2003)l). Son caractre prdictif, la possibilit de traiter des structures complexes, sa gnralisation en vue d'effectuer des calculs de vibro- acoustique en font une mthode privilgie en vue d'tudier les vibrations MF. Par ailleurs, paralllement aux dveloppements thoriques de cette mthode, un code de calcul appel CORAY MF (COmplex RAYS for Medium Frequency) a t labor au LMT Cachan. Ce logiciel permet d'effectuer un calcul prdictif de vibration moyenne frquence. Le niveau de dveloppement de la TVRC est donc bien au del du stade de faisabilit. Les exemples dj traits auparavant ainsi que ceux prsents dans cette thse montrent la crdibilit de cette mthode, et l'intrt que les industriels peuvent y trouver.

L'objectif de ce travail de thse a t double. Tout d'abord nous voulions pour- suivre le dveloppement de la TVRC afin de lui donner un cadre oprationnel sur les problmatiques les plus gnrales possible. Face aux bons rsultats que la mthode donnait sur les structures plaques, il paraissait naturel de l'tendre aux structures coques. Avec cette extension, le champ d'applications que nous pourrions traiter devenait trs large. Dvelopper une stratgie d'analyse large bande tait galement dans nos priorits. Cela permettait de rduire fortement les calculs lors de la prdiction des fonctions de rponse en frquence sur une bande de frquence. Une part importante du travail effectu au cours de cette thse a t consacre tester ces dveloppements par des exemples numriques, ainsi qu' valuer les cots et performances relativement d'autres mthodes dj existantes. Par ailleurs, nous voulions galement connatre le comportement de la mthode lorsque la frquence augrnen- tait, et l'exploiter dans le cas des hautes frquences. Cela permettait de faire un lien entre la TVRC et les approches HF.

Pour tendre la mthode aux structures coques, il ne suffit pas de considrer les coques localement planes, mais il faut au contraire faire intervenir des rayons courbes. Leur vitesse de propagation dpend de la courbure de la coque, ainsi que de leur direction. Afin de trouver une expression explicite de l'quation de dispersion que ces rayons doivent vrifier (quation d'quilibre et relation de comportement), il est ncessaire de rechercher une solution asymptotique. L'quation de dispersion fait alors apparatre un terme supplmentaire par rapport l'quation concernant les plaques. Les rsultats obtenus dans cette partie consacre aux structures coques ont t prsents dans [Riou et al. (2002)], [Rouch et al. (2002)], [Riou et al. (2003)],

et publis dans [Riou et ai., in press]. L'analyse large bande permet de trouver la solution des quations sur une bande

de frquence, et non plus simplement en une seule frquence. La difficult est le caractre trs chahut des fonctions de rponse en frquence, qui aboutit une discrtisation frquentielle trs fine si l'on veut calculer frquence par frquence la solution. L'criture de la TVRC permet de prendre en charge facilement la dpendance frquentielle rapide de la matrice et du second membre issus de la formulation variationnelle. Tirant profit de cette proprit, la solution que l'on recherche est dcompose en une somme de deux quantits : sa moyenne sur la bande de frquence, et sa partie complmentaire. Une stratgie multi-chelle permet de calculer ces deux quantits, dont on peut extraire les grandeurs effectives sur toute la bande de frquence. Les rsultats obtenus sur l'analyse large bande ont t prsents dans [Ladevze et al. (2002)], [Riou et al. (2003)l et [Riou et al. (2OO3)], et publis dans [Ladevze et al. (2003)l.

Les hautes frquences posent le problme de la dfinition des quantits auxquelles on doit s'intresser. Il est clair que la solution locale n'a plus aucun sens, car elle est trs sensible aux perturbations. Les quantits pertinentes sont celles moyennes sur une longueur d'onde. La prdiction de ces quantits sur des gomtries non acadmiques reste encore un problme non rsolu. L'exploitation de la TVRC dans le domaine des hautes frquences se base sur un calcul SEA. Les donnes l'chelle de la structure issues de ce premier calcul sont utilises comme conditions limites pour le deuxime calcul, effectu par la TVRC, duquel sont extraites les informations l'chelle des sous structures, telles que les densits spatiales d'nergie. Les premiers rsultats obtenus dans cette partie ont t prsents dans [Riou et al. (2003)l.

Tous les dveloppements effectus lors de ce travail de thse ont t implments dans le logiciel CORAY MF. Tous les exemples et illustrations de ce document ont t traits et sont issus de ce logiciel. Initialement dvelopp sous Castern 2000, une nouvelle version de CORAY MF a compltement t reprogramme Sour MATLAB au cours de la thse. Ce logiciel, qui est un code de calcul prdictif pour les vibrations MF, permet de traiter toutes les structures constitues de barres, de poutres, de plaques et de coques. Il permet d'effectuer sur ces structures une analyse large bande, et permet galement d'tendre les rsultats aux hautes frquences.

La rdaction de ce document est organise en cinq chapitres. Le premier chapitre prsente une tude bibliographique des principales approches pour traiter les problmes de vibration. Le second chapitre expose la TVRC, et la compare la m- thode des lments finis. Le troisime chapitre est consacr l'extension de la TVRC aux structures coques. Le quatrime chapitre prsente la stratgie dveloppe pour l'analyse large bande. Enfin le cinquime chapitre rassemble les out ils dvelopps pour l'extension de la TVRC aux HF.

TATIONS

Les notations mathmatiques proposes pour toute la suite du document sont les suivantes : les champs vectoriels sont souligns : a, F , etc. ; les tenseurs du second ordre sont doublement souligns : - g, g, - etc. ; les oprateurs d'ordres suprieurs sont reprsents en gras : K, L, etc. ; en terme de calcul numrique matriciel, les matrices sont entre crochets : [KI, [Ml, etc.

Dans le domaine des vibrations, l'objectif est de pouvoir prdire les quantits dynamiques du systme, savoir le champ de dplacement dans le cas d'une structure, la pression du fluide en acoustique, etc. L'ensemble des quations mathmatiques qui rgissent ces quantits dynamiques pour un solide sont donnes ci-dessous. Elles sont crites dans le cas d'une structure constitue de deux sous structures. L'tude se fait pour un rgime vibratoire entretenu la frquence w. Les quantits dynamiques dpendent du temps via le facteur eu (i = a). Ce facteur est limin dans toutes les quations qui suivent.

Il est important de noter que les quations qui suivent sont souvent crites pour des structures homognes. Cette homognit est valable pour de nombreuses structures. Pour une voiture par exemple, un plafond en acier de 0,5 mm d'paisseur excit une frquence de 2000 Hz sera soumis des vibrations de longueur d'onde 5 cm, soit 100 fois son paisseur. A cette frquence, il y a une trentaine de longueurs d'onde dans cette structure, ce qui correspond bien en rgime MF. Les htrogni- ts qui peuvent exister sur une telle structure sont localises dans les liaisons, dans lesquelles leur taille est de l'ordre de la longueur d'onde.

Soient deux solides R et Ri, de frontires respectives dR et dRi (voir figure 2.1). Leur frontire commune est note r. Les actions de l'environnement sur ces solides sont modlises de trois manires :

- sur une partie alQ (resp. d1R1) de la frontire, les dplacements sont imposs et gaux au champ surfacique % (resp. &)

- sur une partie d2Q (resp. d2R1) de la frontire, les efforts sont imposs et gaux

10 Chapitre 2

FIG. 2.1 - Problme de rfrence.

au champ surfacique & (resp. F',) - sur R (resp. fi), la structure est soumise aux efforts volumiques f, (resp. L) Les inconnues du problme sont les champs de dplacement g et de contrainte

a en tous points de $2 et de 0'. Les ensembles auxquels appartiennent ces champs - - inconnus sont ceux utiliss classiquement en mcanique des milieux continus, savoir les espaces de champs nergie finie ([Hl (R)13 pour les dplacements, [L2 (R)13 pour les contraintes).

Le problme lastique linaire rsoudre s'crit : trouver (g,d x (dl&) - tels que

- quations cinmatiques g=u , sur dlR

1 u = uC, sur dIst1 - (2- 1) u =- sur r -

- quations d'quilibre d i v a + % =-u2* sur R

- -3 div a' + f = sur R' -- - -G!

- relations de comportement a = Kg($ sur R - - a' = P (u>) sur R' - - -

o K = (1 + iq)Ko et KI = (1 + iq1)KL sont les oprateurs de Hooke, p = (1 - k)pO et pl = (1 - id)pL les masses volumiques, (K, q) et (d, ql) les coefficients d'amortissements (qui peuvent dpendre de la frquence) et :($ l'oprateur de dformation, dfini comme la partie symtrique du gradient du champ a.

Les quations d'quilibre volumique et de relation de comportement peuvent s'associer pour donner une quation ne concernant que les inconnues a et a'. Cette quation prend la forme

L (u) = -% -cd sur R L(d) = -& sur R'

Problme de rfrence et notations 11

Dans le cas de l'lasticit linaire, o l'oprateur de Hooke est dcrit par les coefficients de Lam X et p, il vient

Dans le cas des plaques, des poutres et des barres, un tel oprateur L (a) peut tre dfini. Pour une plaque homogne isotrope, o w reprsente le dplacement hors plan de la surface moyenne, la thorie de Kichhoff induit

L (w) = Eh3

AAw - p h ~ 2 ~ 12(1 - v2)

o E est le module d'Young, v le coefficient de Poisson, h l'paisseur de la plaque et A l'oprateur Laplacien. Pour une poutre droite homogne o w reprsente le dplacement normal la direction de ligne moyenne, la thorie d'Euler Bernoulli induit

d4w L (w) = EI- - psw2w

dx4 o I est l'inertie en flexion de la poutre et S la surface. Pour une barre de traction, homogne, droite, o u reprsente le dplacement longitudinal, on a

d2u L (u) = ES- - psw2u

dx2

3. ETAT DE L'ART

L'objectif de ce chapitre est de faire le point sur un certain nombre de mthodes, appliques dans le monde industriel ou appartenant encore au domaine de la recherche, qui ont t dveloppes ou tendues dans le but de traiter les problmes de vibration. Afin de classer l'originalit et les apports de chacune des mthodes que nous examinons, nous adopterons la classification suivante :

- les technique issues des BF : elles concernent toutes les techniques bases sur les EF, les lments de frontire, les mthodes de Trefftz, ainsi que toutes leurs amliorations

- les techniques issues des HF : ce sont entre autres les approches bases sur la SEA, ainsi les techniques de diffusion de l'nergie.

Les parties de ce chapitre suivent cette classification. Elles n'ont pas pour prtention de dcrire de manire exhaustive l'application et l'utilisation des mthodes dans tous les domaines de la mcanique. La vision que nous avons dveloppe et donc l'tude que nous avons mene est restreinte aux vibrations, notamment aux vibrations MF.

3.1 Les techniques issues des BF

3.1.1 La mthode des EF

La FEM (Finite Element Analysis) est la technique numrique la plus utilise par les ingnieurs, en vue de donner une solution approche d'un groupe d'quations aux drives partielles. Elle s'effectue en deux tapes. La premire tape consiste a trouver une formulation variationnelle (formulation faible) quivalente aux quations locales. La deuxime tape consisk approximer la gomtrie et la solution par des fonctions de forme, qui sont d&& localement sur des sous domaines du domaine entier. Les concepts de base et ks'.'proprits de cette mthode se trouvent dans [Zienkiewicz (1977)], [Bathe (l982)] ;- [Hughes (1987)l.

Prenons par exemple le problme de vibration d'une structure (2.1, 2.2, 2.3, 2.4)

que l'on rappelle ici u = u , sur dlR - diva +L = -w2p- -- - an=& sur d2R -- - a = Kg(-) sur R - - -

sur R

Ce systme d'quations aux drives partielles peut tre exprim sous forme variationnelle (formulation faible) : trouver - E Uad = {- E [Hl (n)13 , % = % sur alR tel que

3

1 a ( i , ~ ) = ( ~ ) V ~ E U L = { - E [H'(R)] , i = Q s u r a 1 R } (3-2)

avec

Dans la technique des EF, les espaces de fonctions Uad et U L sont remplacs par des espaces d'approximations UL et U z , de dimensions finies, et la solution approche uh est celle qui vrifie : trouver ah E UL tel que -

Les espaces d'approximation UL et U z sont issus d'une discrtisation du domaine R en lments Re. Sur chaque lment, des fonctions de base Ne sont construites, et la solution EF est dfinie, sur chaque Re, par une combinaison linaire des fonctions de base :

Les coefficients ui reprsentent les degrs de libert (inconnues nodales). Les fonctions de base sont des polynmes par morceaux. Pour la mthode Galerkin EF, les espaces U",t sont construits sur les mme fonctions de base. Le problme (3.3) prend alors la forme

(-w2 [MI + w [Cl + [KI) = F o [Ml, [Cl et [KI sont les matrices de masse, d'amortissement et de raideur, le vecteur des inconnues nodales, F le vecteur des forces gnralises. Les matrices [Ml, [Cl et [KI sont, la plupart du temps, symtriques et stockage par bande.

Puisque cette mthode approxime la solution sous forme de polynmes par morceaux, il est facile de concevoir que la quantit de polynmes utiliser doit tre grande pour assurer une bonne reprsentation des fonctions trs oscillantes qui apparaissent en vibration. En particulier, on peut montrer qu'une borne majorante de l'erreur E (en norme Hl) commise est ([Ihlenburg et BabuSka (1995)], [Ihlenburg et Babuska (lgg)], [Ihlenburg et al. (1997)l)

Etat de l'art 15

o k est le vecteur d'onde du phnomne vibratoire, Ci et C2 deux constantes, h la taille des lments Ge, p le degr des polynmes des fonctions de forme, et L une dimension caractristique de la structure. Par ailleurs, pour p = 1, l'erreur commise vrifie ([BabuSka e t al. (1995)l)

Le premier terme de la borne majorante est li une erreur d'approximation, qui ca- ractrise la diffrence entre la fonction et son approximation polynmiale. Le second terme est li l'erreur de pollution, qui est la diffrence entre les vecteurs d'onde de la solution exacte et la solution approche. Cette dernire erreur peut s'expliquer travers une tude de dispersion ([Deraemaeker et al. (1999)], [Harari (2001)]), qui montre que les erreurs commisent sur chaque longueur d'onde se cumulent et engendrent un grande erreur globale ([Ihlenburg et BabuSka (1995)], [Gerdes et Ih- lenburg (lggg)]).

En BF, le premier terme est prdominant. Afin de garder un niveau d'erreur constant, il suffit de garder kh constant. La taille des lments est donc lie la longueur d'onde. La plupart du temps, les ingnieurs utilisent un nombre constant d'lments par longueur d'onde, gnralement de 6 10. Ce nombre dpend du problme et de l'erreur que l'on dsire commettre ([Thompson et Pinsky (1994)l). Dans [Barbone et al. (1998)], cette rgle ingnieur est valide pour les grandes longueurs d'onde (donc pour les BF). Pour les longueurs d'onde plus faibles (pour les MF), la rgle devrait rendre constant le terme k (kh)2p, ce qui accrot considrablement la taille du problme traiter.

Une autre manire de limiter l'erreur consiste augmenter le degr p des polynmes d'approximation. Cependant, un ordre p plus grand augmente la largeur de bande des matrices et ncessite un effort de calcul supplmentaire ([Harari et Avraham (1997)], [Semblat et Brioist (2000)l). Par ailleurs, l'ordre p ne peut pas tre trop grand car la mthode EF est vite confronte des problmes numriques ([West et al. (1997)l). Dans la pratique, seuls les polynmes linaires (p = 1) ou quadratiques (p = 2) sont utiliss.

Pour les frquences assez leves, le terme de pollution devient prdominant. La taille h des lments du maillage EF doit alors tre trs petite. Ce modle EF devient trs vite norme. Le temps de calcul et la place mmoire ncessaires pour rsoudre le problme dpasse gnralement les ressources informatiques disponibles actuellement. Par exemple, dans [Nastran], on trouve un calcul de caisse automobile la frquence 500 Hz. Ce calcul a ncessit plus de 1300000 ddls. La structure est dcrite par ses 2500 premiers modes propres, pour lesquels plus de 24 heures de calcul ont t ncessaires. Sachant que les industriels estiment que la zone MF s'tend jusqu' 2000 Hz pour cette structure, le cot d'un modle EF ces frquences est incompatible avec un processus d'optimisation. Ainsi, le domaine d'application de la mthode des E F sous leur forme classique est restreinte aux BF ([Zienkiewicz (20OO)l).

3.1.2 Les EF adaptatifs

Afin de donner une approximation acceptable, les EF ncessitent un bonne discrtisation du problme. Le maillage utiliser dpend du problme. Si l'allure de la solution n'est pas connue l'avance, un premier maillage densit uniforme (tous les lments ont la mme taille) est souvent utilis par les ingnieurs. Cependant, la rponse vibratoire d'une structure peut tre souvent compltement diffrente d'une partie une autre de la structure. Ainsi il est intressant d'avoir un maillage grossier dans les zones o la dynamique est lente, et un maillage plus fin dans celles o la dynamique est rapide. Ainsi, l'approximation sera bonne, sans pour autant avoir une taille de problme norme. Le maillage densit uniforme n'est donc pas toujours le plus adapt.

Les maillages adaptatifs ont t crs afh d'optimiser la taille des lments la dynamique locale. Ces maillages permettent de rechercher la meilleure discrtisation, afin de faire en sorte que l'erreur soit distribue uniformment partout. Pour ce faire, des indicateurs d'erreur a postriori ont t dvelopps pour valuer l'erreur locale. Dans les zones grande erreur, la discrtisation est raffine , soit en divisant les lments en plusieurs (h method), soit en augmentant localement le degr des polynmes (p method), soit par une combinaison des deux (hp method). De tels indicateurs d'erreur ont t dvelopps pour pour les structures ( [Ladevze et Pelle (1 983)], [Ladevze et Pelle (l989)], [Ladevze et Pelle (200 l)]) et pour l'acoustique ([Bouillard et Ihlenburg (lggg)], [James et Hughes (l996)], [Irimie et Bouillard (2001)l). Les lments finis adaptatifs ont t appliqus dans [James et Hughes (1997)], [Bausys et Wiberg (1999)l et [Gerdes et Demkowicz (1996)l.

Concernant l'augmentation locale des degrs des polynmes (p method), les l- ments finis hirarchiques sont souvent utiliss ([Zienkiewicz et Taylor (2000)l). Les matrices l'ordre p peuvent tre rutilises pour calculer les matrices l'ordre p+ 1, ce qui permet d'obtenir un gain en place mmoire et en temps de calcul. Cette approche peut tre dveloppe dans les espaces d'approximations polynmiales classiques, ou dans d'autres espaces, comme par exemple dans les espaces sinusodaux ([Beslin et Nicolas (l997)I).

Bien que cette technique permet de trouver le maillage optimal et le degr d'approximation polynmial optimal par zone, elle ncessite cependant un nombre crois- sant de ddl quand la frquence augmente. Rapidement, pour une frquence suffisamment grande, cette technique ncessite une place mmoire et un temps de calcul incompatibles avec les moyens informatiques actuels. Elle n'est donc pas adapte pour les MF.

3.1.3 La dcomposition de domaine

La dcomposition de domaine est base sur la rsolution d'un gros problme par la rsolution de plusieurs petits problmes. Le cot numrique peut alors tre diminu. L'efficacit de cette approche est d'autant plus grande qu'elle peut utiliser l'architecture parallle des ordinateurs.

La synthse modale par composants (CMS, Component Mode Synthesis) est

Etat de l'art 17

une technique de sous structuration dynamique introduite dans [Hurty (1965)l. La structure initiale est divise en plusieurs sous structures. Ces dernires sont analyses sparment afin d'en obtenir les modes et les frquences propres. Ces modes propres servent ensuite comme fonctions de base pour la recherche d'une solution approche de la structure initiale. Ils ne correspondent pas aux modes propres de la structure initiale, mais ils servent juste de base pour l'espace d'approximation sur lequel le problme initial va tre projet. Cette procdure rduit de manire considrable la taille du problme. Depuis 1965, diffrentes approches CMS ont t developpes. Elles se distinguent suivant la manire dont on traite les interfaces pour dterminer les modes : interfaces fixes ([Hurty (1965)], [Roy et al. (1968)], [Craig et Hale (1988)]), interfaces libres ([Rubin (1975)], [MacNeal (1971)]), ou mthode hybride mixant les deux ([Craig et Chang (1977)l). Les dtails et comparaisons entre ces approches ont t effectues dans des notes de synthse ([Hintz et (1975)], [Craig (1985)], [Cook et al. (l989)I). Ces mthodes sont galement trs utiles pour l'assemblage de structures avec interfaces non compatibles ([Farhat et Geradin (l994)]). Cependant, mme si ces mthodes permettent de rduire la taille des problmes rsoudre, la qualit de la solution du problme initial dpend fortement du nombre de modes calculs pour chaque sous structure, ainsi que de leur qualit. Mme si leur qualit peut tre estime en utilisant, par exemple, une extension aux problmes de vibration du concept d'erreur en relation de comportement ([Ladevze et Pelle (1983)], [Ladevze et Pelle (1989)], [Coffignal (1993)], [Boisse et Coffignal (1997)l) il ne parait pas raisonnable de calculer au del des 1000 premiers modes propres pour atteindre le domaine des MF.

Une alternative la CMS est la mthode de rduction de Guyan ([Sandberg et al. (2001)l). Cette approche spare les ddls en deux groupes : les matres et les esclaves. Les ddls esclaves sont limins par condensation. En condensation statique, les forces d'inertie des ddls esclaves sont ngliges face aux forces lastique des ddls matres. La prcision de la mthode est alors fortement dpendante du choix matre/esclave.

La mthode FETI (Finite Element Tearing and Interconnecting) a t introduite dans [Farhat et Roux (1991)l. C'est une mthode de dcomposition de domaine base sur la mthode EF. La formulation en dplacement du problme discrtis, dcompos en sous structures, peut se mettre sous la forme d'une minimisation d'une fonctionnelle sous contraintes. Les contraintes correspondent la continuit du d- placement le long des interfaces entre chaque sous structure. La prise en compte de cette contrainte est ralise par des multiplicateurs de Lagrange. Aprs avoir satisfait la stationnarit de la fonctionnelle, on aboutit un problme matriciel liant les inconnues nodales et les multiplicateurs. Dans la mthode FETI, l'inconnue principale est constitue des inter-efforts entre sous structures, ici les multiplicateurs. La condensation (sous structure par sous structure) des inconnues nodales sur les multiplicateurs aboutit un systme matriciel qui permet de rechercher les inter- efforts statiquement admissibles. Un algorithme itratif est utilis pour rsoudre ce systme matriciel (gradient conjugu prconditionn). L'application de la mthode FETI aux vibrations des plaques et des coques est faite dans [Farhat et Mandel (1998)] et [Farhat et al. (1998)l. Son application l'acoustique est faite dans [Ma- goules et al. (2000)], [Farhat et al. (2000)l et [Tezaur et al. (2001)l. Un problme de

couplage solide fluide est illustr dans [Mandel (2002)l. Cette mthode permet de traiter des problmes de grosses tailles, en les divisant. Cependant, elle est base sur la technique des EF. Elle est donc inadapte pour les MF.

La mthode CD (Ce11 Discretization) a t introduite dans [Greenstadt (1982)j. Elle se base sur une dcomposition du domaine initial en sous domaines. Dans chaque sous domaine, la solution est approxime par des fonctions de forme. La continuit de la solution entre chaque sous domaine est assure par collocation. Les ddls associs aux fonctions de forme sont spars en deux groupes : ceux qui interviennent dans les quations l'intrieur des sous-domaines, et ceux qui interviennent dans les quations entre les sous domaines. Ces deux types de ddls sont calculs sparment. L'ensemble des ddls associs l'intrieur peuvent tre calculs sous domaine par sous domaine. L'application de cette mthode aux vibrations a t faite dans [Greenstadt (1999)l. Cependant, l'auteur met une rserve concernant la forte dpendance de la solution au nombre d'interfaces. Par ailleurs ces premiers calculs se basent sur une description EF de la solution dans chaque sous domaine. Elle ne peut donc pas tre adapte aux MF pour le moment. L'utilisation de fonctions spciales pour une meilleure description des phnomnes propagatifs l'intrieur de chaque cellule serait l'tude.

3.1.4 Les EF stabiliss

Rsoudre un problme de vibration par la mthode des EF induit de la dispersion ([Deraemaeker et al. (1999)l). Cette dispersion est lie la forme bilinraire asocie la formulation variationnelle. En effet, en prenant par exemple le cas d'une poutre, cette forme bilinaire s'crit

o (., .), est le produit scalaire sur L2(Q) et Ic = ('g2) - :. Elle induit donc une norme

qui perd sa positivit pour des vecteurs d'onde k trop grands (qui peut se produire pour une frquence trop grande).

Afin de rsoudre ce problme de dispersion, la GLS (Galerkin Least Squares) a t labore. Initie dans [Harari et Hughes (1992)l pour les structures 1-D, elle a t tendue aux problmes 2-D dans [Thompson et Pinsky (l994)I. La mthode rajoute une terme supplmentaire la formulation EF classique (3.3). Ce terme correspond au rsidu de l'quation d'quilibre intrieur L(2) = - f. La formulation prend alors la forme suivante : trouver E Ud tel que

Le terme supplmentaire comprend un paramtre T qui peut tre dtermin de manire ce que la pollution soit minimale. Ceci se fait par une tude de la dispersion

18 Chapitre 3

Etat de l'art 19 ~

sur une squence d'lments du maillage EF. Ce paramtre r est par ailleurs constant par lment. Il peut donc prendre plusieurs valeurs sur tout le maillage. Pour les structures l-D avec un maillage rgulier, le paramtre T optimal est donn dans [Ha- rari et Hughes (1992)] ce qui permet la technique d'tre insensible la dispersion. En 2-D, T optimal est donn dans [Thompson et Pinsky (1994)J. Cette fois-ci, on ne peut pas liminer compltement la dispersion. Cependant, les auteurs montrent le gain numrique obtenu : le nombre d'lments par longueur d'onde peut tre de 6 , contre 10 en EF classique, pour un mme niveau de pollution. Par ailleurs cette mthode permet de rduire fortement la dispersion lorsque l'on cherche approximer une solution qui possde une direction de propagation privilgie. Ce n'est plus le cas pour une solution quelconque sans direction privilgie particulire. Enfin, les dveloppements de cette mthode ne concerne pour le moment que les maillages rguliers, Dans [Oberai et Pinsky (2000)], un terme concernant les sauts sur les frontires entre les lments est rajout : trouver E Uad tel que

o (.) reprsente l'oprateur moyen, et (T, ,) un couple de paramtres dtermins pour que la dispersion soit minimale.

La mthode GGLS (Galerkin Gradient Least Squares) est expose dans [Harari (1997)) Cette approche propose de modifier la formulation EF en y rajoutant un terme qui correspond au gradient du rsidu de l'quation d'quilibre : trouver g E Uad tel que

De la mme manire, r est choisi afin de minimiser la dispersion. Cette mthode semble mieux adapte pour la propagation des ondes dans les milieux lastiques ([Harari et Haharn (1998)l). En effet, dans les structures, plusieurs ondes cohabitent : les ondes longitudinales et les ondes transversales. Obtenir un minimum de dispersion sur un type d'onde en utilisant la GLS induit de la dispersion sur l'autre type d'onde. Dans [Grosh et Pinsky (1998)l et [Grosh (2001)], des exemples de couplage vibro- acoustique, dans lesquels le fluide est discrtis par la GLS et la solide par la GGLS, sont traits.

La QSFEM (Quasi Stabilized Finite Element Method) a t dveloppe dans [BabuSka et al. (1995)l et [BabuSka et Sauter (1997)) Contrairement aux mthodes GLS et GGLS qui stabilisent les EF en agissant directement sur la forme variationnelle, la QSFEM stabilise les EF au niveau des matrices issues de la formulation variationnelle. Cette mthode propose une nouvelle matrice utiliser, qui rempla- cera celle issue de la formulation variationnelle, et qui assure une dispersion nulle pour les problmes l-D, et ceci mme pour les maillages irrguliers. En 2-D, seuls les maillages rguliers ont t traits. La dispersion n'est pas limine compltement, mais elle est minimise pour toutes les directions de propagations possibles des ondes. La nouvelle matrice n'est modifie que pour ses parties lies au domaine intrieur, et pas pour celles lies la frontire.

Mme si ces techniques de rgularisation permettent d'obtenir des rsultats amliors par rapports aux EF classiques, elles restent inadapte pour les MF, car elles utilisent des reprsentations polynrniales de la solution, ce qui conduit des problmes dont la taille les rend inabordables.

3.1.5 Les EF multichelles

La technique des EF multichelles ([Hughes (1995)], [Brezzi et al. (1997)l) consiste dcomposer la solution du problme que l'on rsoud en une somme de deux fonctions : g = a, + &. ZL, est appele variable calculable (indice R pour resolvable) et % est appele variable non calculable (indice U pour unresolvable). IL, est associ une grande chelle en espace, et % une petite chelle. Cette approche cherche prendre en compte l'effet de % sans pour autant la calculer. Elle se dcompose en deux tapes de calcul, qui s'appuient sur deux formulations variationnelles, une lie aux champs virtuels &aR, et l'autre lie aux champs virtuels 6%. La premire tape de calcul consiste exprimer en fonction de 2,. La deuxime tape consiste rinjecter ce rsultat dans l'autre formulation variationnelle, ce qui permet de calculer gR. La taille du maillage EF tant souvent plus grande que la longueur caractristique de la petite chelle, cette technique est parfois appele subgrid. Cette approche permet d'amliorer la solution EF classique, qui ne fournirait que ER. Ce- pendant, puisque u, est calcul en fonction de a,, certaines approximations doivent tre faites.

Soit le problme (3.2) rsoudre : trouver g E Ud tel que

Cette formulation variationnelle est issue du problme (2.5) :

u = u , sur &R - K(u)n = F, sur d2R L&)= f sur R

Au lieu de rechercher une approximation de dans l'espace U& EF classique consti- tu des polynmes par morceaux, l'approximation est recherche dans un espace Utd = U z @ Us, o les espaces complmentaires U s et U s sont associs respectivement aux variables calculables et non calculables. L'approximation peut donc s'crire ah = UR + %. La formulation variationnelle (3.4) devient : trouver = a,+% ~ : $ ~ s t e l q u e

La deuxime quation de (3.5) est rsoluble et permet d'crire

Etat de l'art 2 1

o M est un oprateur linaire ([Brezzi et al. (lgg)]). En rinjectant (3.6) dans la premire quation de (3.5), on obtient la formulation variationnelle qui ne porte que sur gR :

&R, u,) + 4 M (Lu, - f ) '2,) = qu,) VU, E uad, (3.7) (3.7) est la formulation variationnelle de la solution gR que l'on dsire calculer, dans laquelle l'effet de u, est pris en compte. Cet effet se traduit par l'ajout d'un terme supplmentaire dans la formulation. Si jamais la dcomposition est telle que Ud = U2@U,$, cette technique obtient la solution exacte. Dans la pratique, l'espace non calculable comprend les fonctions qui sont nulles sur le bord des lment Re constituants R :

On en dduit une solution de la deuxime quation de (3.5) pour chaque lment Re, ce qui donne ([Brezzi et al. (1997)l) :

Par ailleurs, puisque a@, 2) = (Lu,z) = (u, L*u) (L* adjoint de L), la formulation variationnelle portant sur BR s'crit galement

Si l'oprateur Me est pris gal -71 (coefficient r multipli par l'oprateur identit), on retrouve les mthodes suggres dans [Baiocchi et al. (1993)l et [F'ranca et Farhat (1995)l. Le problme (3.8) peut tre rsolu grce la fonction de Green gi dfinie, pour y E Re, par

Lgi = 6, dans Re gi = O sur doe

de sorte que, pour toute fonction 4, w(y) = gi(x)4(x)dx satisfait 6. Lw = 4 dans Re w = O sur dae

Ainsi.

Le fait de ne choisir dans l'espace U z que des fonctions qui s'annulent sur le bord des lments vite de coupler tous les ddls entre eux. D'un point de vue numrique, la fonction de Green gi est remplace par une approximation polynmiale ([Oberai et Pinsky (1998)l). En 1-D, cette technique donne une solution exacte. En 2-D, l'erreur

d'approximation dpend de l'orientation des ondes. Dans ce cas, l'approximation est videmment mauvaise le long des frontires des lments o la solution approche reste un polynme. Le rsultat serait bien sr largement amlior si les fonctions u, n'taient pas trace nulle sur le bord des lments. Il est toutefois intressant de noter que pour gi = 76(x - xO) on retrouve la GLS, et pour gi = O la mthode Galerkin classique.

Pour le RFB (Residual F'ree Bubbles) faisant intervenir des fonctions ''bubbles" ([Franca et al. (1997)], [F'ranca et Macedo (1998)]), les quations (3.5) sont rsolues lments par lments. En effet, dans ce cas, la solution est recherche sous la forme u = gR + gb E U: @ UZ, o le symbole b dsigne les quantits attaches aux fonc- -

R e tions "bubbles". Ces fonctions gb sont encore des fonctions nulles sur la frontire des lments Re. De la mme manire que prcdemment, la formulation variationnelle est spare en deux parties. Celle qui concerne le problme en gb s'crit, lments par lments : trouver ab E Uz tel que

L'espace des fonctions "bubbles" est choisi de telle manire que (3.9) soit vrifie pour toutes les fonctions test de H i (Re) : trouver gb E H i (Re) tel que

Un oprateur Me peut de nouveau tre construit :

On voit donc que, pour un espace EF U,Rd donn, l'espace des fonctions "bubbles" s'crit

u2i = {M. (L(2R) - f ) ,u, E u2} La mthode utilisant des fonctions "bubbles" ncessite un calcul pour chaque fonction de l'espace EF. Elle est donc coteuse, surtout en dimension 2 et 3. Dans [Cipolla (1999)], un nombre infini de fonctions "bubbles" est ajout l'espace EF classique. La matrice de leur condensation, qui est contitue d'une infinit de matrices, est calcule en faisant un certain nombre d'hypothses simplificatrices. L'ajout de cette quantit infinie de "bubbles" amliore les rsultats.

L'ensemble de ces approches multichelles s'appuie sur une description EF de la solution. Si on veut rendre compte du caractre oscillant des fonctions en MF, il faut soit augmenter la discrtisation du maillage, soit augmenter l'espace d'approximation associ la variable non calcule (Uz ou U;). Dans tous les cas, ces techniques d'approximation deviennent trs coteuses quand la frquence augmente. Elles paraissent donc inadaptes pour les MF. Par ailleurs, un certain bon sens peut nous faire sentir que rajouter des fonctions qui sont nulles sur le bord des lments ne permet pas d'approximer finement la solution en 2-D et 3-D.

3.1.6 La partition de l'unit et les lments finis gnraliss

La PUM (Partition of Unity Method) ([Melenk et BabuBka (1996)l) est une technique dans laquelle une certaine connaissance de la solution va pouvoir tre prise en compte. La PUM utilise un maillage $ couvrant le domaine initial fi. Chaque fij se superpose un peu sur ses voisins. Des nouvelles fonctions vj sont dfinies sur les Rj, et reprsentent soit une partie de la solution (en pointe de fissure par exemple), soit une base de fonctions mieux adaptes que celles des EF classiques. Par ailleurs, d'autres fonctions cpj sont construites sur les aj, de manire ce qu'elles forment sur tout le domaine une partition de l'unit ( x j rp,(x) = 1, Vx E a ) . L'approximation est recherche sous la forme xj a u j . La PUM se base sur la proprit suivante ([Melenk et BabuSka (1996)l) : soit une base de fonctions vj qui approximent u de manire ce que

Ilu - vj l I ,,(%) < 1 0) I IV (u - vdl < 4 8

et soit

approches. Dans [Melenk et BabuSka (1996)], une comparaison a t faite entre la PUM, la GLS, la QSFEM et la FEM pour un problme d'acoustique en 2-D. La PUM a donn des rsultats largement suprieurs en terme de ddls utiliser et de nombre d'oprations effectuer. Cependant, certaines difficults doivent tre notes. La premire est lie l'intgration numrique des nouvelles fonctions introduites : de nouvelles quadratures sont dveloppes pour intgrer les ondes planes dfinies ci-dessus. La deuxime est lie au conditionnement de la matrice laquelle la PUM aboutit, qui est souvent trs mauvais. Pour des frquences un peu leves, la PUM ne peut pas tre utilise cause du conditionnement norme de la matrice de raideur ([Mayer et Mandel (1997)J). Avant de voir cette technique applique aux MF, de nombreux points de robustesse doivent tre rgls.

,

3.1.7 La Discontinuous Enrichement Method

24 Chapitre 3

La Discontinuous Enrichement Method (DEM) a t introduite dans [Farhat et al. (2001)l pour traiter les problmes dans lesquels la solution prsente des gradients importants ou des oscillations rapides. La DEM est une mthode Galerkin EF discontinue, avec multiplicateurs de Lagrange. L'espace classique des lments finis polynmiaux est enrichi par des solutions exactes des quations d'quilibre et de relation de comportement, lments par lments : ah = gEF + gE (exposant E pour enrichment). Ces solutions gE peuvent tre calcules analytiquement. Elles ne sont pas nulles sur le bord des lments, comme en RFB. Ceci permet d'atteindre une meilleure approximation de la solution sur le domaine tout entier, et non plus par lments. Cependant, puisque ces fonctions sont discontinues sur le bord des l- ments, la continuit faible est assure par multiplicateurs de Lagrange, comme dans la mthode FETI. Comme pour la PUM, dans le cadre des vibrations, les fonctions uE correspondent des ondes propagatives. Cependant, pour la PUM, ces ondes - taient multiplies aux fonctions de forme, alors qu'avec la DEM, elles sont ajou- tes. Par consquent, l'enrichement peut tre limin par condensation statique. De plus, la DEM aboutit des matrices bien mieux conditionnes que dans la PUM ([Farhat et al. (2001)], [Farhat et al. (2003)J). Il faut noter que chercher la solution sous la forme d'une somme de fonctions satisfaisant les quations d'quilibre et de relation de comportement, et discontinues sur la frontire, est une technique qui s'insre dans le cadre plus gnral des mthode de Treffz.

La DEM a abouti la construction d'lments nots R - 4 - 1 et R - 8 - 2 ([Farhat et al. (2003)l) : R pour lments rectangulaires, 4 ou 8 pour le nombre d'ondes propagatives prises en compte, et 1 ou 2 pour le nombre de multiplicateurs utiliss par bord. Le nombre de multiplicateurs utiliser est li au nombre d'ondes propagatives l'intrieur des lments, le tout pout satisfaire la condition inf-sup ([Brezzi et Fortin (1991)]). Ces multiplicateurs sont galement des ondes, localises sur la frontire des lments. Les lments R- 8- 2 ont le mme taux de convergence que les lments classiques Q2 polynmiaux, mais ncessitent 6 fois moins de ddls pour obtenir la mme prcision. Ils aboutissent de plus des matrices largeur de bande plus petite.

Mme si des exemples numriques montrent l'efficacit et la robustesse de la

Etat de l'art 25

DEM, elle se base sur une approximation lments par lments de la solution. Le nombre d'lments doit tre assez grand pour avoir une bonne prcision. Par ailleurs, cette approche ne considre que quelques directions d'ondes propagatives, et aucune onde de bord, pourtant ncessaire pour les poutres, les plaques ou encore le couplage vibro-acoustique. Quelques amliorations doivent tre faites pour pouvoir esprer tendre cette mthode aux MF.

3.1.8 Les mthodes sans maillage

Puisque la FEM ncessite un maillage trs fin pour obtenir une dispersion faible, elle est coteuse en temps de calcul . Les mthodes sans maillage permettent de rduire ce temps de calcul lors du prprocessing, car elles ne ncessitent qu'un nuage de points, sans connectivit entre eux.

La EFGM (Element Free Galerkin Method) a t introduite dans [Belytschko et al. (1994)l. Son application aux problmes de vibrations a t ralise dans [Bouillard et Suleau (1998)l et [Suleau et al. (2000)l. Dans cette mthode, le problme est transform en une formulation faible quivalente au problme local initial. Comme pour la mthode Galerkin EF, la solution approche est recherche dans un espace de dimension finie, engendr par des fonctions de forme

o est le vecteur des inconnues nodales, et N(x) le vecteur des fonctions de forme. Ces fonctions de forme sont construites selon la mthode MLSM (Moving Least Squares Method) ([Lancaster et Salkaushaus (1981)l). Cette mthode des moindres carrs coefficients variables permet de dcrire une fonction scalaire u(x) par une approximation polynmiale uh (x) du type

uh (x) = f(x) .a(x)

o P(x) contient les termes polynmiaux ((1, a, y) par exemple pour le degr 1 en 2-D). Les coefficients ~ ( x ) dpendent de la variable d'espace. Si la fonction u(x) est connue en certains points XI, les coefficients ~ ( x ) sont dtermins en minimisant la quantit suivante :

N

o wI(x) est une fonction de poids, non nulle dans un voisinage de XI (appel domaine d'influence). Il en rsulte que les fonctions de forme peuvent s'crire ([Bouillard et . . .

26 Chapitre 3

Les fonctions de forme N(X) forment une partition de l'unit (CE, &(x) = 1, Vx E fi), ce qui peut faire voir la EFGM comme un cas particulier de la PUM. La rgularit de la solution, qui correspond la rgularit la plus dfavorable entre P(x) et w(x), est souvent bien plus grande qu'en EF. Les fonctions de forme ne valent pas 1 aux noeuds. Les conditions de Dirichlet sont donc souvent prises en compte par des multiplicateurs de Lagrange.

La EFGM a t compare d'autre techniques, telles que la FEM, la GLS, la QSFEM et la RFB dans [Suleau et al. (2000)l. Cette tude montre que la EFGM possde une dispersion trs faible, quasiment de l'ordre de la QSFEM. Pour une discrtisation donne, elle donne donc de bien meilleurs rsultats que la FEM. Par ailleurs, la base polynmiale peut tre remplace par une base sinusodale, ce qui limine la dispersion dans certaines directions de propagation des ondes.

Cependant, la EFGM reste base sur une discrtisation nodale de la solution. Pour bien reprsenter la solution avec une base polynrniale, la distance entre les noeuds doit tre faible, ce qui enlve toute efficacit de cette mthode en MF. L'utilisation de la base sinusodale ne s'est faite qu'avec certaines directions de propagations des ondes pour le moment, et sans onde de bord. Cette mthode ncessite encore quelques amliorations pour tre tendue aux MF.

3.1.9 Les mthodes de rduction

L'utilisation de la FEM sur des problmatiques MF aboutit des problmes de grandes dimensions. En effet, la reprsentation polynmiale d'une fonction fortement oscillante ncessite un grand nombre de ddls. Pourtant la FEM est trs apprcie car elle permet de prendre en compte des gomtries complexes. L'utilisation d'un espace mieux adapt pour projeter la formulation variationnelle parat tre une approche pertinente : on garde le caractre gnral des EF, tout en diminuant la taille du problme. La base de modes propres n'est pas efficace en MF, car le nombre de modes prendre en compte est trop grand. D'autres espaces de projection doivent tre dvelopps.

L'oprateur de l'nergie relatif une bande de frquence B a t developp dans [Soize (1982)l et [Soize (1998)], et est dfini par

o [T(u)] = [-u2 [Ml + iw [Cl + [KI]-' ([Ml, [Cl et [KI matrices de masse, amortissement et raideur), et Re la partie relle. Cet oprateur symtrique, dfini et positif a une reprsentation mcanique trs forte : si eB(uf) reprsente l'nergie du dplacement uf (rponse de la structure soumise la force f ) sur la bande de frquences B, on a

E B ( U ~ ) = (iE~1f, f ) ~ 1 Par ailleurs, si on note Al 2 Ag 2 - . . 2 A, l'ensemble des valeurs propres de [EB] (toutes strictement positives) et el, e2,. - - , en leurs vecteurs propres correspondants,

Etat de l'art 27

on a la proprit

o uh est la solution EF, et uh, la solution obtenue par projection du modle EF sur sur l'espace engendr par les N premiers vecteurs propres ei. Projeter un modle EF sur l'espace des N premiers modes propres de [EB] permet donc de trouver une trs bonne approximation, d'autant plus que les valeurs propres de [EB] dcroissent trs rapidement vers O. En effet, les valeurs propres (toutes positives) vrifient

La mthode a t teste avec succs sur des exemples de vibro-acoustiques ([Soize (1998)], [Soize (1999)l). Elle peut tre couple la thorie des structures floues ([Soize (1986)l) qui permet de prendre en compte la complexit structurale d'un systme mcanique par une approche probabiliste. Une synthse est donne dans [Ohayon et Soize (1998)l. Cependant, mme si cette approche permet de rduire considrablement le nombre de ddls, elle repose sur une description EF du modle. Si le maillage n'est pas assez fin, les modes propres de l'oprateur d'nergie ne possderont pas assez de richesse pour redonner l'nergie de la solution relle.

Une autre mthode de rduction modale a t dveloppe dans [Morand (1992)l et [Mercier (l993)I. Elle permet de connatre le niveau maximum de l'nergie vibratoire. Un oprateur d'excitabilit E(u) est dfini par

La quantit C, E(u,), o u, est un mode propre, est stable pour une lgre mo- dification de la matrice de raideur. Cette proprit est intressante car la solution MF est trs sensible aux moindres perturbations (incertitudes sur la gomtrie, les matriaux, etc.). L'nergie vibratoire maximum est gale Ca E(u,), et se produit pour une certaine dforme qui peut tre calcule par les modes propres. Projeter la solution sur les modes propres propres qui maximisent l'oprateur d'excitabilit est donc pertinent. Cependant, cette approche ncessite le calcul de plusieurs centaines de modes propres pour n'en garder que les meilleurs, ce qui parat trs coteux en MF.

3.1.10 La mthode des rigidits dynamiques

Cette technique utilise des solutions analytiques ou quasi analytiques de structures simples pour fabriquer les matrices de raideur qui, une fois assembles, donnent la raideur de la structure entire. Pour une sous structure simple, la solution en d- placement sur les noeuds de la frontire peut tre relie aux forces gnralises sur ces noeuds ([Finnveden (1994)], [Casimir et Duforet (1997)], [Fleuret et Duforet (1997)l

et [Ahmida et Arruda (2001)l). En raccordant ces solutions au niveau des interfaces entre sous structures, on peut obtenir la solution sur le domaine entier ([Doyle (1997)], [Lee et al. (2000)l). Aucune discrtisation des sous structures n'est ncessaire, grce l'utilisation des solutions analytiques. La seule discrtisation ncessaire est lie la typologie de l'assemblage des sous structures simples. L'assemblage, sous structures par sous structures, permet, aprs vrification des conditions limites, de trouver une approximation d'une excellente prcision, mme pour les trs hautes frquences. Certains industriels (Direction des Constructions Navales) utilisent des logiciels bass sur cette approche. La limite de cette technique concerne bien videmment le champ d'application. La connaissance de la solution analytique est trs rare et se limite aux structures simples. La recherche des matrices de raideur pour des structures plus complexes ncessite la rsolution de problmes difficiles, et ceci pour un grand nombre de frquences, ce qui s'avre impossible dans la pratique.

Une approche similaire est dveloppe dans [Langley (1991)l pour les poutres. Cette technique dcompose la solution sous la forme d'ondes propagatives et vanescentes. Les onde vanescentes (qui sont localises sur le bord des structures) sont limines du calcul par condensation de leur effet sur les conditions limites. Les seules inconnues sont les amplitudes des ondes propagatives qui doivent vrifier ces nouvelles conditions limites. Aucune discrtisation fine des sous structures n'est n- cessaire. La taille du problme rsoudre dpend de la typologie de l'assemblage des poutres. Cette approche ne peut pas tre tendue aux structures complexes, comme l'admet l'auteur.

3.1.11 La mthode des lments de frontire

La BENI (Boundary Element Method) se base sur une formulation intgrale de la frontire du domaine tudi. Cette formulation tablit un lien entre le champ l'intrieur du domaine et les quantits sur le bord. Elle est utilise pour dterminer dans un premier temps la rpartition de la solution sur la frontire, ce qui permet d'en dduire dans un deuxime temps la solution dans tout le domaine. Les concepts de base de la BEM peuvent tre trouvs dans [Banerjee et Buttefield (1981)l et dans [Ciskowski et Brebbia (1991)l.

Considrons un problme d'acoustique o la pression p vrifie l'quation de Helm- holtz

~ p + k2p = O

La pression sur la frontire peut tre exprime sous la forme ([Ciskowski et Brebbia

o x et y sont des points de la frontire du domaine, note I', et G(x, y) la fonction de Green qui vrifie, dans l'espace d dimensions, les quations

Etat de l'art 29

La deuxime quation est la condition de radiation de Sommerfeld. Pour les applications 2-D, cette fonction vaut iHo(kr) o r est la distance entre x et y , et Ho la fonction de Hankel de premire espce d'ordre 0. Pour les applications 3-D, elle

&kr

vaut -. L'quation (3.10) peut tre intgre numriquement en discrtisant la 47rr

frontire en lments, sur chacun desquels la pression, ainsi que sa drive, vont tre approxime par des fonctions de forme

L'quation (3.10) permet d'crire n vrification des conditions limites

i=l

quations liant les 2n inconnues de (3.11). La

permet d'crire les n autres quations. Les 2n quations forment un systme dont la rsolution fournit la solution (3.11).

Les avantages de la BEM par rapport aux EF sont : (1) vu que seule la frontire du domaine doit tre discrtise, la taille du problme est rduite de manire drastique (2) la discrtisation des gradients de pression se fait indpendemment de celle de la pression. Puisque la fonction de Green est connue analytiquement, la BEM donne une approximation des gradients aussi prcise et rgulire que l'est la pression (3) la BEM peut facilement prendre en compte les domaines non borns en espace.

Cependant, la BEM prsente galement quelques inconvnients, parmi lesquels : (1) l'quation (3.10) relie les inconnues de certains points aux inconnues de tous les points de la frontire. La matrice obtenue est donc pleine. Elle est de plus non symtrique, car la formulation ne l'est pas. Il en rsulte une perte d'efficacit de la mthode lors de l'inversion du systme matriciel. Il est possible d'utiliser une formulation symtrique du problme par l'intermdiaire de mthodes BEM variationnelles ([Pierce et Wu (1983)], [Sirtori et al. (1992)], [Bonnet (1995)]), mais leur utilisation ncessite le calcul non trivial d'intgrales doubles de surface. (2) le calcul des coefficients de la matrice est toujours trs dlicat effectuer, puisqu'il faut prendre en compte la fonction de Green, notamment en x = y o il y a une singularit (3) puisque la fonction de Green est complexe, la matrice obtenue est complexe (4) puisque la fonction de Green dpend de la frquence ( travers le vecteur d'onde k), la matrice obtenue dpend de la frquence, de manire complexe. Une approche modale ne peut donc pas tre dveloppe (5 ) le problme vibro-acoustique n'admet pas de solution unique dans le domaine extrieur quand la frquence d'excitation concide avec une frquence propre du problme intrieur.

Il existe de nombreuses variantes qui permettent de rduire les problmes numriques rencontrs, comme la rsolution des singularits ([Rizzo et al. (1985)],[Wu et Ginsberg (1998)l) ou la rsolution itrative de matrices pleines ([Makarov et Och- mann (1998)l). La BEM a t tendue pour les structures priodiques ([Clouteau

30 Chapitre 3

et al. (2000)l). Cependant, de nombreux auteurs ([De Langre (1989)], [De Langre (1990)], [De Langre (1991)], [Harari et Hughes (1992)l) montrent que pour le calcul de poutre, plaque ou vibro-acoustique, les performances de la BEM sont comparables celles de la FEM, et que de nombreuses amliorations doivent tre faites pour que la BEM devienne une voie alternative.

La reprsentation d'une solution MF oscillante par des fonctions de forme polynmiale n'est pas adapte. Certains auteurs ont essay d'amliorer la base de fonctions de forme, en choisissant une base d'onde propagative ([De La Bourdonnaye (1994)], [Perrey-Debain et al. (2003)], [Perrey-Debain et al., in press]). Ils montrent que l'on peut obtenir un gain de prcision d'un facteur 8. Le nombre d'lments par longueur d'onde peut passer de 8 2. Cependant, les matrices obtenues sont trs mal conditionnes. Par ailleurs, ils n'utilisent pas les ondes de bord et ne prennent pas en compte toutes les directions de propagation.

3.1.12 Les mthodes de Trefftz

L'utilisation de polynmes pour reprsenter la solution n'est pas adapte pour les problmes de vibration. En effet, le nombre de polynmes prendre en compte pour reprsenter une fonction sinusodale est lev. De plus, les polynmes ne vrifient pas l'quation d'quilibre l'intrieur du domaine considr. En 1926, Treffz a propos une mthode pour faire face ces inconvnients. La solution est recherche dans un espace de fonctions qui vrifient exactement la fois l'quation d'quilibre et la relation de comportement. Seules les conditions limites restent tre vrifies. Celles-ci peuvent tre exprimes grce la collocation, aux moindres carrs, ou une formulation variationnelle. Le compltude de l'espace de Treffz joue un rle majeur dans ces approches (on parle de T-compltude, T pour Treffz). Cette compltude a t tudie dans [Gourgeon et Herrera (1981)], [Herrera et Gourgeon (1982)] et [Herrera (1984)], et l'utilisation de ces fonctions a t faite dans [Cheung et al. (1989)], [Cheung et al. (1991)], [Jin et al. (1993)l. Des approches hybrides peuvent mixer la mthode de Trefftz dans une partie de l'espace, et la FEM dans une autre partie ([Barbone et ai. (1998)l).

L'avantage principal de cette technique rside dans le fait que l'erreur n'existe que sur la frontire. Seul un calcul sur la frontire doit tre fait, et les modles obtenus sont de petite taille. Cependant, ses limitations sont principalement lies aux fonctions de base utilises. Certaines fonctions, dont la compltude thorique est assure, ne conviennent pas pour un analyse numrique, car elles aboutissent des matrices trs mal conditionnes. Ce manque de robustesse est la raison principale pour laquelle ces techniques sont peu utilises.

La sous structuration du domaine tudi et la recherche de solutions par sous structures en adoptant l'approche de Trefftz lments par lments a gnr les approches T-elements ([Jirousek et Wroblewski (1 996)], [Monk et Wang (1 999)], [Qin (2000)l) dont la PUM et la DEM peuvent faire partie. Les solutions approches satisfont les quations d'quilibre intrieur sous structures par sous structures. Les conditions de transmission entre sous structures et les conditions limites sont vrifies en moyenne par des intgrales sur les bords. D'autres fonctions peuvent tre rajoutes

,Etat de l'art 31

dans l'espace d'approximation (comme le sont les polynmes dans la PUM) pour amliorer le conditionnement de la matrice. La condensation des fonctions TrefFtz sur ces fonctions rajoutes aboutit des techniques hybrides d'lments finis amliors. Des rsultats concernant les T-lments peuvent tre trouvs dans [Stojek (1998)], [Teixeira de F'reitas (1999)], [Monk et Wang (1999)], [Harari et al. (1999)], [Harari et ai. (2001)l. L'utilisation de cette technique a certains avantages sur la FEM : (1) puisque l'erreur n'existe que sur la frontire des sous structures, la taille du problme est petite (2) les gomtries complexes peuvent tre prises en compte, en les structurant (3) les problmes lis aux singularits des efforts ponctuels sont rsolus en injectant dans l'espace d'approximation une fonction adapte, et ne ncessitent par consquent aucun raffinement de maillage.

Une autre approche a t dveloppe dans [Desmet et al. (2001)] et [Desmet et al. (2002)] : la WBT (Wave Based Technique). Cette approche permet de traiter les problmes de vibro-acoustique en se basant sur une approche de type Trefftz. Contrairement aux T-lments, la structure n'est pas discrtise. La solution est exprime sous la forme d'une combinaison linaire de solutions exactes des quations d'quilibre intrieur. Par exemple pour l'quation d'Helmholtz en acoustique 2-D, la pression est recherche sous la forme

(3.12) o L, et Ly reprsentent les dimensions du plus petit rectangle englobant la structure. La somme infinie doit tre tronque pour une implmentation numrique, et l'indice maximum est choisit par considration mcanique ou mathmatique (critre li la bonne convergence d'une srie de Fourier). Les conditions de continuit entre sous structures ainsi que les conditions limites sont vrifies grce aux moindres carrs ou grce une formulation variationnelle. Le choix des-fonctions de forme particulires prsentes dans (3.12) (qui forment un espace complet pour les structures convexes) amliore grandement le conditionnement des matrices gnralement lev avec les mthodes de 'II.efftz. De nombreux travaux ont tendus la mthode l'acoustique 2-D ([Desmet et al. (2001)]), l'acoustique 3-D ([Desmet et al. (2002)]), aux milieux acoustiques infinis ([Pluymers et al. (2002)]), ainsi qu'aux problmes de vibro-acoustique ([Desmet et al. (2002)], [Hepberger et al. (2002)l). Cet te approche conduit des problmes de petite taille, o la solution et ses drives ont la mme r- gularit. La matrice obtenue est pleine et complexe, et ne peut pas tre dcompose en sous matrices indpendantes de la frquence, comme pour la FEM. Par ailleurs, les intgrations sur le bord des domaines se font de manire numrique, ce qui cote cher en MF. Enfin, mme si la recherche de la solution repose sur un fondement m- canique trs fort (existence d'ondes propagatives et d'ondes vanescentes de bord), toutes les directions des ondes ne sont pas prises en compte. Les amplitudes des ondes sont calcules de manire discrte (seules certaines directions de propagation sont prises en compte) et non continue, ce qui empche cette mthode d'tre tendue au domaine de HF, puisque le conditionnement de la matrice y devient trs mauvais ([Langley (1997)l).

3.2 Les techniques issues des HF Les techniques HF ont t dveloppes pour trouver une solution aux quations

de vibrations lorsque la longueur d'onde est trs petite, en comparaison avec la dimension caractristique de la structure. Dans la communaut HF, il est gnralement accept qu'une description prcise de la solution n'est pas possible (car elle ncessiterait un trop grand nombre de ddls) et n'a aucun sens physique (car la solution est trs sensi ble aux conditions limites, ainsi qu'aux paramtres gomtriques et matriaux). Concernant le nombre de ddls prendre en compte avec la FEM, un simple calcul sur une plaque carre, en aluminium, de 2 mm d'paisseur et de 1 m de ct nous montre que, en utilisant 10 lments par longueur d'onde et 6 ddls par noeuds, la solution ncessite 32 f ddls (f frquence), ce qui donne plus de 30000 ddls 1000Hz pour cette gomtrie lmentaire. Les approches HF essaient donc plutt de calculer les grandeurs nergtiques, grande longueur de variation.

3.2.1 L'analyse statistique de l'nergie

La SEA (Statistical Energy Analysis) a t dveloppe dans [Lyon et Maidanik (1962)l. La thorie et des exemples de son application peuvent tre trouvs dans [Lyon et DeJong (1995)l. La mthode s'attache prdire les niveaux vibratoires dans les diffrentes parties de la structure. Pour cela, la structure est divise en sous structures, entre lesquelles se fait un change d'nergie. Le point de dpart est d'crire un bilan de puissance pour la structure i :

P& = Pd,, + C pLp i

o cnj est la puissance injecte dans la sous structure i par les forces extrieures, P;,, la puissance dissipe ( travers les amortissements) et P" la puissance trans-

-p mise de la sous structure i l'ensemble des sous structures g avec lesquelles elle est en contact. Cette quation, ecrite en moyenne temporelle, est dduite d'un bilan de puissance et est donc exacte. Avec un modle d'amortissement hystrtique, la puissance dissipe devient

Etat de l'art 33

les sous structures i et j est proportionnel la diffrence d'nergie par mode dans chaque sous structure. La justification de cette formule a permis de connatre les champs d'application o la SEA est valide ou non ([Remington et Manning (1975)], [Woodhouse 1981 (1981)], [Langley (1989)], [Mace (1996)], [Mace (1994)l). Le calcul ou la mesure du coefficient qj, dont l'expression explicite n'est disponible que pour des gomtries trs particulires, a gnr beaucoup de travaux ([Simmons (1991)], [Hugin (1998)], [Maxit et Guyader (2001)], [Maxit et Guyader (2001)], [Hopkins (2002)]), et fait que cette mthode n'est pas prdictive.

Si toutes les quations sont prises en compte, et si la puissance injecte enj peut tre calcule, l'ensemble forme un systme d'quations dont la rsolution permet de calculer l'nergie des sous structures Ei. Une fois calcules, elles permettent de connatre les niveaux d'acclrations, de contraintes et de pressions acoustiques dans les sous structures ([Norton (1989)l). La puissance P&, peut tre estime par la puissance injecte dans une sous structure de dimension infinie, pour laquelle la solution exacte est connue. Par exemple, la puissance injecte par une force F dans une structure i peut tre dcrite par ([Cremer et al. (1973)l)

o Mi est la masse de cette sous structure. Cette puissance correspond galement celle injecte dans la sous structure, moyenne en frquence et en position spatiale d'excitation.

La SEA a t intgre dans quelques logiciels ([AutoSEA], [LMS SEADS], etc.). Elle va dans le sens d'une analyse globale de la structure car elle permet de calculer les niveaux d'nergie de chaque sous structure, un cot numrique trs rduit. Des approches hybrides ([Langley (1999)l) permettent de la coupler d'autres approches pour traiter les zones de la structure dans lesquelles la SEA n'est pas valable. Ce- pendant, elle ne peut pas tre extensible aux MF pour les raisons suivantes : (1) les hypothses sur lesquelles elle se base ne sont pas forcment vrifies en MF, notamment la ncessit d'avoir une grande densit modale, et l'hypothse (3.13) (2) la ncessit de connatre les coefficients de perte par couplage en fait une mthode non prdictive (3) seules les informations moyennes sont accessibles, alors que les rpartitions locales sont recherches en MF.

3.2.2 Les mthodes de diffusion de l'nergie

Afin de prdire les quantits locales, une approche initie dans [Belov et Ryback (1975)], [Belov et al. (1977)l et [Buvailo et Ionov (1980)l permet de dcrire de manire continue les variables nergtiques. Cette technique est une extension de la SEA. L'inconnue principale est la densit d'nergie e. L'approche se base sur une hypothse de proportionnalit entre le flux d'nergie et le gradient de la densit d'nergie.

o c, est la vitesse de groupe. Un bilan de puissance

conduit une quation de diffusion portant sur la densit d'nergie, qui est analogue celle trouve en thermique

Cette approche a t applique des structures 1-D ([Bulitskaya et al. (1983)], [Nefske et Sung (1989)], [Wohlever et Bernhard (1992)l) o l'hypothse (3.14) est valide et des structures 2-D, pour lesquelles la justification de cette hypothse est plus dlicate ([Bouthier et Bernhard (1992)], [Langley (1995)l). L'analogie avec la diffusion thermique possde quelques problmes ([Langley (1995)], [Carcaterra et Sestieri (1995)], [Le Bot (1998)], [Carcaterra et Adamo (lggg)], [Ichchou et al. (2001)]), parmi lesquels une dcroissance de la solution prdite en 5 (r distance la source), alors que la dcroissance relle est en ! pour les structures 2-D. Par ailleurs le traitement des conditions de continuit entre les sous structures reste dlicat. Si les structures 1-D sont bien maitrises ([Lase et al. (1996)]), l'application au couplage entre 2 structures en 2-D reste problmatique ([Langley (1995)l). Enfin, mme si pour les structures poutres et plaques la relation (3.14) existe, il n'est pas du tout vident qu'elle soit valable ailleurs ([Ladevze (1995)l).

L'approche conduite dans [Le Bot (1998)l , [Le Bot (1998)], [Cotoni et al. (2001)l et [Le Bot (2002)] tudie le transfert de l'nergie dans une structure d'une manire analogue l'approche dveloppe dans la BEM. Elle considre l'change d'nergie porte par des ondes propagatives, supposes non correlles. La solution peut alors tre recherche en champ direct et en champ rflchi. Le champ direct est reprsent par une propagation d'onde depuis le point d'excitation. Le champ rflchi, induit par la rflexion des ondes sur le bord de la structure, est reprsent par une propagation depuis des sources (appeles sources secondaires) localises sur les bords. Ces bords sont alors discrtiss en lments, sur chacun desquels est place une source secondaire, dont l'amplitude reprsente l'inconnue du problme dterminer. La propagation d'une onde d'une source secondaire une autre est gre par des relations linaires entre les amplitudes des sources, faisant intervenir la position relative de ces sources, ainsi que des coefficients de rflexion et de transmission. L'ensemble forme un systme matriciel dont la rsolution fournit les amplitudes, partir desquelles on peut reconstuire la densit ou le flux d'nergie. Cette approche semble donner de bons rsultats sur des problmes de vibro-acoustique 2-D, et sur des assemblages de plaques. Cependant, elle se base sur des coefficients de rflexion et de transmission entre sous structures. Mme si l'utilisation d'un principe dit de localisation permet de justifier que ces coefficients ne dpendent que de la gomtrie locale en haute frquence, leur utilisation n'est pas a priori valable en MF o ils peuvent dpendre de la gomtrie globale.

3.2.3 L'analyse vibratoire de l'nergie

La WIA (Wave Intensity Analysis) reprsente la solution d'un problme de vibration sous la forme d'ondes propagatives alatoires ([Langley (1992)l). Le champ d'ondes n'est plus suppos diffus comme en SEA, mais directionnel : chaque onde est associe une amplitude. Seules les ondes propagatives sont prises en compte, sous la forme

2a

u (XI = lz0 u ( 0 ) e ~ ~ ~ ) ~ d 6 o -(O) reprsente le vecteur d'onde de l'onde se propageant suivant la direction O. En supposant que les ondes sont dcorrelles, l'nergie peut alors tre exprime par

L'nergie e(:, 8) est homognise en espace, et dveloppe en srie de Fourier en 8 :

Un bilan de puissance par sous structure et la vrification des conditions limites (en terme de puissance) permet de connatre les amplitudes ep. Sur une frontire entre deux sous structures, les conditions de continuit doivent tre gres par des coefficients de couplage (coefficients de transmission et de rflexion), car aucune onde de bord n'est prise en compte.

Mme si l'application de cette technique aux assemblages de plaques est encou- rageante, elle reste limite par la description nergtique du milieu. Ne pas prendre en compte les ondes de bord et raisonner en terme de puissance oblige utiliser les coefficients de transmission et de rflexion entre deux sous structures, qui ne sont pas toujours connus, et dont la valeur peut dpendre d'autres sous structures places ailleurs dans l'assemblage. De plus, le fait d'homogniser l'nergie rend sa description spatiale impossible.

3.2.4 Les mthodes de rayons

La rponse d'une structure vibrante peut tre dcrite par le concept de modes propres, ou par le concept de rayons vibratoires ([Langley (1997)l). Un certain nombre de mthodes se basent sur ce concept de rayons vibratoires. Analogues aux techniques d'optique gomtrique, elles tudient les rayons, un un, et essaient de caractriser la manire dont ils se propagent, se rflchissent et se transmettent entre les sous structures.

La RTM (Ray Tracing Method) est une approche issue de l'optique gomtrique, et a t utilise pour l'acoustique des pices ([Schroeder (1973)], [Krokstadt (1968)l). L'extension aux plaques a t faite dans [Chae et Ih (2001)l. Elle consiste suivre les rayons de vibrations le long de leur parcours. Au dpart, ils portent tous la mme nergie, et sont distribus de manire isotrope dans l'espace autour de la source

36 Chapitre 3

d'excitation ponctuelle. Ils forment un rseau de cne dont le sommet est le point d'excitation, rpartis rgulirement dans l'espace. Le dplacement hors plan u(g, w) de la plaque est recherch sous la forme

o udi, est le dplacement induit directement par l'excitation, et C,, u,, ,n (g, w) le dplacement induit par les rflexions successives. Dans le cas d'un plaque excite par une force ponctuelle F ([Cremer et al. (1973)]), on a

o D est la rigidit en flexion de la plaque. Dans le cas d'ondes dcorrelles, la densit moyenne d'nergie eB(g) sur une bande de frquence B = [wo - Aw, wo + Aw] vrifie

o edi, (:, wo) est la densit moyenne d'nergie induite par udir (:, W) et G, f,,(g, wo) celle induite par ~ef,n(:, w). Lors d'une rflexion, les lois de Snell-Descartes sont utilises pour calculer les angles de rflexion, les coefficients de rflexion et les coefficients de transmission. Les rayons sont suivis jusqu' ce que leur amplitude soit suffisamment petite, grce l'amortissement hystrtique. Ils ont alors parcourus une distance rli, qui est utilise pour choisir la largeur angulaire des rayons. En effet, afin que les lois de Snell Descartes puissent tre appliques, la largeur du cne de rayon, qui grossit au fur et mesure que le rayon avance, doit tre plus petite que la longueur d'onde des phnommes vibratoires tudis. Contrairement la WIA, cette approche permet de connatre la rpartition spatiale de l'nergie, mais un cot numrique trs lev (gnration de tous les rayons, tude de la propagation de chacun et sauvegarde de la solution pour chaque rayon afin de rassembler les rsultats pour la solution finale). Cependant, elle reste base sur une formulation en nergie, ce qui ncessite la connaissance des coefficients de transmission et de rflexion. Cet te mthode n'est, encore une fois, pas prdictive.

La mthode des sources images est applique pour analyser le comportement d'une cavit acoustique ferme ([Allen et Berkley (1979)l). Elle tire profit de l'optique gomtrique, en appliquant les lois de Snell-Descartes aux rayons acoustiques. Les rayons rflchis sur une paroi peuvent tre considrs comme des rayons provenant d'une source secondaire place symtriquement par rapport la paroi. Dans le cadre de l'acoustique 3-D isotrope, une source ponctuelle positionne xo met une onde de pression sous la forme

e i ( w t - k ( ~ - ~ ) ) P(Z) =

4412 - GII o [la-%) I I est la distance la source. Si l'onde rencontre une paroi rigide, la condition de vitesse nulle peut tre satisfaite par une source image place symtriquement

Etat de l'art 37

par rapport la paroi. La pression devient

o 1 ) - - -,)II est la distance la source image. Pour une salle paralllpipdique de dimensions (Lx, Lp, Lz) dont un des coins se situe en 2 = Q, chaque source image engendre une autre, et la pression obtenue s'crit alors

o z, est un des 8 vecteurs obtenus par permutation des singes f : (f xo f go, f xo) , et %,, = 2(l.Lx,m.Ly,n.Lz). Une solution approche est obtenue en tronquant les sommes infinies. L'absorption au niveau des parois peut galement tre prise en compte par l'intermdiaire de coefficients d'absorption chaque rflexion. Cette approche marche bien pour les hautes frquences et pour des gomtries tr simples, mais il parait difficile de l'tendre aux MF et aux structures complexes.

3.2.5 Les mthodes de l'enveloppe

Face l'incapacit de la FEM reprsenter les fonctions oscillantes, certaines approches s'attachent prdire leur enveloppe, qui est une quantit variations lentes dans l'espace. Aprs avoir obtenu les quations que satisfait l'enveloppe, elles utilisent la FEM pour les rsoudre, et en donner une approximation numrique.

La Wave Enveloppe dveloppe dans [Bettess et Chadwick (1995)] et dans [Chad- wick et Bettess (1997)] dcompose le potentiel 4, solution de l'quation de Helmholtz, sous la forme 4 = Ae". L'enveloppe A et la phase p ont des variations spatiales trs lentes, alors que le potentiel 4 est fortement oscillant. A b de vrifier l'quation de Helmholtz, ces nouvelles quantits doivent vrifier

A partir d'une phase initiale PO, cette approche construit de manire itrative la solution, en recherchant successivement une amplitude vrifiant (3.15), puis en re- construisant la phase. (3.15) est rsolue par la FEM, qui est adapte ici vu les faibles variations de la phase. Cependant, cette rsolution ncessite de connatre les conditions limites, et aucune indication n'est fournie sur la manire dont elles sont traites pour un couplage entre sous structure.

La CEDA (Complex Enveloppe Displacement Analysis) introduite dans [Car- caterra et Sestieri (1997)] est galement une mthode qui utilise l'enveloppe %(%) du dplacement w(x). Cette enveloppe est calcule en appliquant w(x) l'oprateur E(. ) = (I( . ) + iH(.)) eWikox, o I(.) et H(.) sont respectivement l'identit et la transformation de Hilbert, et ko le vecteur d'onde de la solution. Concrtement, cet

oprateur revient, dans l'espace des vecteurs d'ondes, translater la partie positive de la transforme de Fourier de la solution de k~ O (d'o la flche vers la gauche pour la notation de l'enveloppe). L'application de E(.) sur l'quation d'quilibre et sur les conditions permet de trouver les quations que doit vrifier l'enveloppe %(x). Cette variable tant associe des vecteurs d'onde faible, elle a une variation spatiale trs lente, ce qui permet une approximation numrique valable. Contrairement aux mthodes nergtiques, l'oprateur E(.) est galement appliqu aux excitations, ce qui donne une puissance injecte exacte (et non approche sur une structure infinie). Cependant, comme le disent les auteurs, les quations portant sur %(x) sont trs compliques, et de nombreuses techniques d'aproximations son

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