Cours de mathématiques en quatrième - Tous nos cours sur https://www.mathovore.fr/cours-maths

Cours de maths en 4ème

Le cosinus

Cours de mathématiques en quatrième - Tous nos cours sur https://www.mathovore.fr/cours-maths

Cours de maths en 4ème

Le cosinus

Vers le COSINUS d'un ANGLE aigu xOy étant un angle aigu, mène par les points A,B,C,D les perpendiculaires à la demi-droite [Ox). Elles coupent la demi-droite [Ox) respectivement en E,F,G,H.

Mène par les points I,J,K,L les perpendiculaires à la demi-droite [Oy); elles coupent [Oy) en M,N,P,Q.

Après avoir effectué les mesures nécessaires, complète le tableau suivant et calcule les quotients (à 0,01 près):

OA OB OC OD AB AC BD OI OJ OK OL IJ IK JL

OE OF OG OH EF EG FH OM ON OP OQ MN MP NQ

OE OA

OFOB

OG OC

OH OD

EF AB

EG AC

FH BD

OM OI

ON OJ

OPOK

OQ OL

MN IJ

MP IK

NQ JL

Que peux-tu remarquer?

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

LE COSINUS D’UN ANGLE AIGU

- Définition

Étant donné un angle aigu , de mesure α. xOyPar un point A de [Ox), on mène la perpendiculaire au côté [Oy) de l’angle. Cette perpendiculaire coupe [Oy) en H.

On appelle cosinus de l’angle

α

O

x

y

A

H

xOy , noté cos xOy ou cosα , le quotient OHOA

OHcos xOyOA

=

Ce quotient ne dépend pas de la position du point A (même si A est sur le côté [Oy) et H sur [Ox).

Remarque

: cos 1α < car OH OA< (OH est la plus courte distance de O à (AH))

- Utilisation de la calculatrice

Lecture d’un cosinus :

La valeur d’un cosinus est indiquée par la fonction

cos

Exemple :

a calculatrice étant en mode « degré », L50 cos ou cos 50 indique : 0,64278761 qui est une valeur approchée de ce cosinus.

n général, la valeur utilisée est donnée avec trois chiffres après la virgule, soit, pour cet exemple :

Recherche d’un angle dont on connaît le cosinus :

La valeur de l’angle est indiquée par la fonction

Ecos50 0,643° ≈

1cos− ou INV cos ou 2nd cos

Exemple :

La calculatrice étant en mode « degré »,

50°

E F

G

7 cmOn donne

3cosα = les manipulations indiquées ci-dessus (d7

ifférentes selon le modèle de calculatrice)

ication : 64,

Remarques :

C’est le cas où : OH = OA (A et H étant confondus)

C’est le cas où : OH = 0 (H et O étant confondus)

- Cosinus d’un angle du triangle rectangle

donnent l’ind 62306647 On obtient donc :

64,6α ≈ °

cos0 1° = cos90 0° =

En considérant le triangle rectangle OAH vu plus haut, on remarque que OH est un côté de l’angle droit (celui qui

Le cosinus d’un angle d’un triangle rectangle est le quotient du côté adjacent à cet angle et de l’hypoténuse.

est un côté de l’angle α) et que OA est l’hypoténuse.

CosCc AC

B=

CosBc AB

B=

- Utilité du cosinus

Il complète la propriété de Pythagore en permettant le calcul d’un côté ou d’un angle d’un triangle rectangle.

Recherche d’un côté de l’angle droit

EFG est un triangle rectangle en E ; on sait que :

F 50= ° et FG 7 cm= .

EFcos F = FG

EFcos507

° =

EF 7 cos50= × ° EF 4,5 cm≈

A

B

C

25°M N

P

Recherche de l’hypoténuse

MNP est un triangle rectangle en M ; on sait que : N 25= ° et MN 4,5 cm= .

MNcos NNP

=

4,5cos 25NP

° =

4,5NPcos 25

=°

NP 5 cm≈ Recherche d’un angle

ABC est un triangle rectangle en A ; on sait que : AC = 3 cm et

7 cm

C

4 cm

A B

BC = 7 cm. ACcos C =BC

4cos C7

=

C 55≈ °

B 90 C 90 55 35= ° − ≈ ° − ° = ° Par conséquent :

Cos 60°

On considère un triangle ABC équilatéral dont le côté mesure a.

x à 60°

n trouve le cosinus de 60° en calculant, par exemple, le cosinus

B[AH] est une hauteur de ce triangle.

A

C

H

60°

60°60°

Les angles du triangle ABC sont égau Ode l’angle B du triangle rectangle ABH.

BHcos BAB

=

122

aa

acos 0

a6 ° = = × on simplifie par a

1cos 602

° =

appel : égalités équivalentes (utiles pour les calculs de ce chapitre)

R

ba aa

bx xx

b= ⇔ = ⇔ =

comme :

3 322

6 2 63

6× = ⇔ = ⇔ =

COSINUS d’un ANGLE AIGU - Mesures de cosinus Le quart de cercle représenté ci-contre est de rayon 1.(1dm). Il s’agit de mesurer les cosinus des angles représentés. Exemple : fOF = 50°

cos 50° = Of1

OfOFOf

==

Il suffit donc de mesurer [Of] pour connaître une valeur approchée du cosinus de 50°.

Tu peux vérifier ces valeurs en utilisant ta calculatrice (cosinus « machine »)

Mesure de l’angle 50°

Mesure du cosinus 0,65

Cosinus « machine » 0,643

- ABC étant un triangle rectangle en A, complète le formulaire puis le tableau numérique :

B + C = . . . . . . . . cos B. . . . . . . . . donc : =AB . . . . . . . . et : . . . . . . . . =BC

. . . . . . cos =+ 22 ACAB C. . . . . . . . . donc : =AC . . . . . . . . et : . . . . . . . . =BC

B 60° 50°

cos B

C 45° 38°

cos C

AB 4 2 8

BC 6 8

AC 15

Exercices 2 On a besoin de calculer les distances BC et AC.

Pour cela, on mesure [AB]. (On trouve : AB = 500 m).

Avec un théodolite, on vise à partir de A les points B et C ; on trouve 70°.

On vise aussi, à partir de B, les points A et C ; on trouve 55°.

On appelle [AH] la hauteur du triangle ABC issue de A

- Calcule l’angle BCA .Quelle est donc la nature du triangle ABC ?

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

- Déduis alors la longueur AC.

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

- Calcule BC après avoir calculé BH.

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

Devoir 1

- Les diagonales d'un rectangle ABCD, de centre I, mesurent 11 cm et font un angle AID de 54°.

a) Démontre que: ADB = 63°.

b) Calcule AD, ABD et AB. Donne les longueurs à 0,1 cm près.

c) Calcule le périmètre et l'aire du rectangle ABCD.

- On considère un cercle de centre I et de rayon 6,5 cm.

[AB] est un diamètre de ce cercle.

M est un point du cercle tel que AM = 6,6 cm.

a) Quelle est la nature du triangle ABM ? Justifie la réponse en énonçant la propriété nécessaire.

b) Calcule BM et les angles du triangle ABM.

Devoir 2

- Construis le triangle ABC tel que : AB = 5 cm ; AC = 13 cm ; IJ = 6 cm.

I étant le milieu de [AB] et J le milieu de [AC].

a) Démontre que le triangle AIJ est rectangle.

b) Calcule BC.

c) Calcule les angles non droits (à 1° près) du triangle ABC.

- Pierre voit un bateau [AB] de 10 m de long sous un angle de 1°:

Le triangle ABP formé par Pierre (P) et le bateau [AB] est rectangle en B.

L’angle est égal à 1°. APB

a) Calcule l’angle BAP .

b) Calcule PA puis PB.

c) À quelle distance Pierre se trouve-t-il du bateau ?

- Un pentagone régulier ABCDE est inscrit dans un cercle de centre O et de rayon 5 cm.

(Fais d'abord au brouillon un schéma à main levée)

a) Démontre que l'angle AOB mesure 72°.Construis alors ce pentagone en utilisant ton rapporteur.

b) Pourquoi le triangle AOB est-il isocèle?

c) H étant le milieu de [AB], calcule BOH puis BH . Calcule enfin AB.

Vers le COSINUS d'un ANGLE aigu xOy étant un angle aigu, mène par les points A,B,C,D les perpendiculaires à la demi-droite [Ox). Elles coupent la demi-droite [Ox) respectivement en E,F,G,H.

Mène par les points I,J,K,L les perpendiculaires à la demi-droite [Oy); elles coupent [Oy) en M,N,P,Q.

Après avoir effectué les mesures nécessaires, complète le tableau suivant et calcule les quotients (à 0,01 près):

OA OB OC OD AB AC BD OI OJ OK OL IJ IK JL

E FG

H

M

N

P

Q

3,1 4,95 8,4 11,5 1,85 5,3 6,6 2,8 5 9,2 11,7 2,2 6,4 6,7 OE OF OG OH EF EG FH OM ON OP OQ MN MP NQ 2,8 4,5 7,65 1 0,45 1,7 4,85 5,95 2,5 4,5 8,3 10,6 2 5,8 6,1

OE OA

OFOB

OG OC

OH OD

EF AB

EG AC

FH BD

OM OI

ON OJ

OPOK

OQ OL

MN IJ

MP IK

NQ JL

0,90 0,91 0,91 0,91 0,92 0,92 0,90 0,89 0,90 0,90 0,91 0,91 0,91 0,91

- Que peux-tu remarquer?

ients obtenus sont très voisins. En vérité, ils sont égaux et ne dépendent que de l’angle

mbre:

Les quot xOy . Ce nombre est appelé le cosinus de l’angle de 25°.

cos 25 0,906307787° ≈ La calculatrice donne une valeur approchée de ce no

COSINUS d’un ANGLE AIGU

- Mesures de cosinus Le quart de cercle représenté ci-contre est de rayon 1.(1dm). Il s’agit de mesurer les cosinus des angles représentés. Exemple : fOF = 50°

cos 50° = Of1

OfOFOf

==

Il suffit donc de mesurer [Of] pour connaître une valeur approchée du cosinus de 50°.

Tu peux vérifier ces valeurs en utilisant ta calculatrice (cosinus « machine »)

Mesure de l’angle 0° 10° 20° 30° 40° 50° 60° 70° 80° 90°

Mesure du cosinus 1 0,98 0,94 0,86 0,77 0,65 0,5 0,34 0,17 0

Cosinus « machine » 1 0,985 0,940 0,866 0,766 0,643 0,5 0,342 0,174 0

- ABC étant un triangle rectangle en A, complète le formulaire puis le tableau numérique :

B + C = 90° cos B ABAC

= donc : BC BAB cos= et : AB

BBC

cos=

2 22AB AC BC+ = cos C ACBC

= donc : BC CAC cos= et : AC

CBC

cos=

B 60° 45° 50° 52° 61,9°

cos B 0,5 0,707 0,643 0,616 0,471

C 30° 45° 40° 38° 28,1°

cos C 0,866 0,707 0,766 0,788 0,882

AB 4 2 3,86 4,93 8

BC 8 2,83 6 8 17

AC 6,93 2 4,6 6,3 15

Exercices 2

On a besoin de calculer les distances BC et AC.

0 m).

C ; on trouve 70°.

- Calcule l’angle

H

Pour cela, on mesure [AB]. (On trouve : AB = 50

Avec un théodolite, on vise à partir de A les points B et

On vise aussi, à partir de B, les points A et C ; on trouve 55°.

On appelle [AH] la hauteur du triangle ABC issue de A

BCA .Quelle est donc la nature du triangle ABC ?

La somme des angles d’un triangle est égale à 180°:

( ) ( )BCA 180 BAC CBA 180 70 55 180 125 55= °− + = °− °+ ° = °− ° = °

Le triangle ABC a deux angles égaux à 55° ; il est donc isocèle de base [BC].

Le trian côtés égaux

- Déduis alors la longueur AC.

gle ABC est isocèle ; il a donc deux

AC AB 500 m= =

- Calcule BC après avoir calculé BH.

Dans le triangle ABH, rectangle en H :

BHcos B = AB

soit : BH ABcos B 500 cos 25 287 m= = × ° ≈ H est le milieu de [BC] puisque la hauteur [AH] est l’axe de symétrie du triangle isocèle ABC. BC 2BH 2 287 574 m= ≈ × =