Le Cours de 6eme

7/29/2019 Le Cours de 6eme

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1. LES NOMBRES DECIMAUX 3I. Rappels sur les entiers naturels 3

II. Les nombres dcimaux 4III. Comparaison des nombres dcimaux 6

2. A LA REGLE ET AU COMPAS 7I. Segments, longueurs et milieux 7

II. Le cercle 7III. Report de longueurs et primtres 9IV. Constructions 10

3. THEME DE CONVERGENCE : LECTURE DE GRAPHIQUES 12

4. ADDITION, SOUSTRACTION ET MULTIPLICATION DES DECIMAUX 13I. Addition et soustraction 13

1. Vocabulaire 132. Technique 13

3. Ordres de grandeur 13

4. Proprits 14

5. calculs sur les dures 14

II. Multiplication des dcimaux 151. Vocabulaire ; ordres de grandeur 15

2. Technique 15

III. Proprits de la multiplication 16

5. DROITES ; DEMI-DROITES, POSITION RELATIVE DE 2 DROITES 17I. Droites et demi-droites 171. Les droites 17

2. Les demi-droites 18

II. Position relative de deux droites 181. droites scantes 18

2. droites parallles 19

III. Des figures connatre 20

IV. Des proprits pour justifier, pour dmontrer 21

6. DIVISION EUCLIDIENNE 23I. Multiples et diviseurs dun nombre entier naturel 23II. Reconnatre un multiple de 2, 4, 5, 9 ou 10 23

III. Division euclidienne 24IV. Exemples et preuves en mathmatiques 25

7. LES ANGLES 26I. Dfinitions et notations 26

II. Utilisation du rapporteur 271. mesurer un angle 27

2. Construire un angle 28

III. Bissectrice dun angle 28

8. DIVISION DECIMALE 30I. Dfinitions et notations 30II. Valeurs approches, troncatures, arrondis 30

Programme de 6me en mathmatiques


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9. PERIMETRES ET AIRES 33I. Primtre du cercle 33

II. Aires des figures usuelles 34

10. FRACTIONS35I. Dfinition ; vocabulaire 35II. Ecriture fractionnaire dun quotient 35

III. Reprsentation du quotient sur une droite gradue 36IV. Egalits de quotients 37V. Multiplication dun quotient par un nombre 37

VI. Pourcentages et diagrammes circulaires 39

11. SYMETRIE AXIALE 41I. Axe de symtrie dune figure 41II. Mdiatrice dun segment 41

III. Symtrie axiale. Proprits. 43IV. Figures usuelles. 43V. Constructions. 44

12. PROPORTIONNALITE 45I. Reconnatre la proportionnalit 45

Synthse activit 1 et 2 45II. Raisonner sans quotients 45

1. Premire mthode : passer par lunit 46

2. Deuxime mthode : multiplier une quantit 46

3. Troisime mthode : utiliser le laddition de deux valeurs 46

4. Quatrime mthode : utiliser le coefficient de proportionnalit 46

III. Raisonner avec des quotients 47

1. Premire mthode : multiplier une quantit 472. Deuxime mthode : utiliser le coefficient de proportionnalit 47

13. GEOMETRIE DANS LESPACE 48I. Le paralllpipde rectangle et le cube 48II. Patrons 49

III. Volumes 49

14.


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CCChhhaaapppiiitttrrreee

111 LLLeeesss nnnooommmbbbrrreeesss dddccciiimmmaaauuuxxx

I. Rappels sur les entiers naturels

Activits 1 ; 2 ; 3

Synthse :

a) Notre systme de numration est compos de seulement 10 signes :

Ce sont les CHIFFRES : 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 .

On parle de numration DECIMALE.

A partir de ces dix chiffres, on peut crire tous les nombres entiersnaturels.

Ex : 15 ; 235 ; 325 ; 12587

b) 0 est le plus petit entier naturel

1 est le suivant de 0

2 est le suivant de 1

Tous les entiers naturels ont un suivant.

Si n dsigne nimporte quel entier naturel, son suivant sera n +1.

c) La position des chiffres est importante. Voici le tableau :

Classe des milliards Classe des millions Classe des milliers Classe des units

C D U C D

8

U

0

C

0

D

3

U

7

C

1

D

0

U

9

Pour faciliter la lecture des nombres, on spare les classes par des espaces :

80 037 109

Exemples avec chiffre des et nombre de .

Ecriture en lettres ; rgles dorthographe

a) 80 037 109 se lit quatre-vingts millions, trente sept mille cent neuf

b) MILLE est invariable (pas de s)

c) MILLION et MILLIARD saccordent

Chiffre des dizaines de

millions

Chiffre des units de milleCh des dizaines Ch des units

Faire copierdepuis livre


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Exemple : trois milliards ; sept millions ; un million

d) VINGT et CENT saccordent SAUF si ils sont suivis dun autre nombre.

Exemple : deux cents ; deux cent sept ; quatre vingts ; quatre vingt

trois

Remarque : vingt et cent ne saccordent pas si ils sont employs pour indiquerun rang

Exemple :page deux cent ; numro quatre vingt

Exemples de dcompositions de nombres entiers :

675 = 600 + 70 + 5

675 = (6100) + (710) + (51)

Exercice : Les gteaux Miam sont vendus par paquets de 10.

Combien faut-il de paquets pour que chacun des 675 lves du collges aitun gteau ?

Rponse : 675 = (6710)+5 (67 dizaines plus 5 units)

Il faut commander 68 paquets (67+1).

Le nombre de dizaines est donc 67 alors que le chiffre des dizaines est

7 !!Donner des exemples avec chiffre des et nombre de

II. Les nombres dcimaux1) Fractions dcimales

Activits 4 ; 5

Synthse :

Une fraction dcimale est une fraction ayant un nombre entier aunumrateur et dont le dnominateur est 10, 100, 1000 etc

...

...

ex :2 17 298

; ;1000 100 10

Un nombre dcimal est un nombre qui peut scrire sous forme dunefraction dcimale

Ex : 12,78 est un nombre dcimal car 12,78 =1278

100

De mme 398,7 en est un car 398,7 = .

Une unit = 10 diximes = 100 centimes = 1000 millimes

Donc10 100 1000

1 ...10 100 1000

= = = =

Nombre entier

10 ou 100 ou 1000 ou .


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Le tableau vu pour les nombres entiers se complte avec la partie dcimale :

Partie entire Partie dcimaleCentaine de

mille

Dizaine de

mille

Unit de

mille

Centaine Dizaine Unit Dixime Centime Millime Dix

millime

Cent

millime

millionime

4 9 7 8 0 , 7 0 5

Exemple : pour le nombre 49780,706,

6 est le chiffre des millimes

9 est le chiffre des units de mille

Attention ne pas confondre DIZAINE avec DIXIEME, CENTAINE avec

CENTIEME

2) Diffrentes critures dun nombre dcimal

Activit 6

Synthse :

Un nombre dcimal peut scrire :

En criture dcimale : ex : 12,583

Sous forme dune seule fraction dcimale : ex : 125831000

Comme somme dun nombre entier et de fractions dcimales.

ex :5 8 3

1210 100 1000

+ + +

Dfinition :Sur une demi-droite gradue, un point est repr par un nombre appel

sonabscisse.


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3) Multiplication par 10 ; 100 ; 1000

Activit 7

Synthse :

Multiplier un nombre par 10, 100, 1000 revient dplacer la virgule deun, deux, trois rangs vers la droite. On complte par des zros sincessaire.

Exemples : calculer mentalement

52710= 52,710= 5,2710= 0,52710 =

11,2410 = 11,24100 = 11,241000=

88,5100= 1289,21000= 7,910 000=

Application : convertir une mesure.

III. Comparaison des nombres dcimaux

Dans ce qui suit, a et b dsignent deux nombres :a=b signifie que le nombre a est gal au nombre bab signifie que le nombre a est strictement suprieur au nombre b

ab signifie que le nombre a est infrieur ou gal au nombre bab signifie que le nombre a est suprieur ou gal au nombre b

Utiliser SMAO 6eme en cours (activit jeu faire loral en classe entire)

Ou6

10 Ou 2+

5

10

Ou25

10

Synhse :Comparer deux nombres dcimaux, cest dire sils sont gaux, ou si lun est plus

grand ou plus petit que lautre.

Pour cela : On compare dabord les parties entires Si elles sont gales, on compare les chiffres des diximes , Si ils sont gaux, on compare les chiffres des centimes,

etc


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222 AAA lllaaa rrrgggllleee eeettt aaauuu cccooommmpppaaasss

I. Segments, longueurs et milieux

Activits 1 et 2

II. Le cercleActivit 3

Synthse :

Dfinition :Un segment est une ligne droite dlimite par deux points.

Un segment est constitu dune infinit de points.

Le segments dextrmits A et B se note [AB] (crochets obligatoires !)

La longueur du segment [AB] se note AB (sans crochets !!)

Dfinition :Le milieu M du segment [AB] est le point : qui appartient au segment qui est gale distance des 2 extrmits.

En langage mathmatique, cela scrit :

M [AB]

AM = MB]

Le symbole se lit appartient

A

B

M

On utilise des CODAGES pour

indiquer les longueurs gales sur une

figure

Synthse :

Dfinition : Soit A un point et R un nombre positif.

Le cercle de centre A et de rayon R est lensemble des points situs la distanceR du point A.

Tous les points du cercle sont donc situs la mme distance du centre.

Un cercle est constitu dune infinit de points.

Le disque de centre A et de rayon R est lensemble des points dont ladistance au point A est infrieure ou gale R

A

B


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A

Vocabulaire connatre :

RAYON /DIAMETRE

CORDE

ARC DE CERCLE

cercle disque

A

Le segment [AC] est un rayon du cercle.

Le rayon dsigne aussi la longueur AC

Le segment [DE] est un diamtre du cercle.

Le diamtre dsigne aussi la longueur DE

Diamtre = rayon 2

Le segment [CE] est une corde du cercle.

Une corde est un segment reliant deux

points quelconques du cercle.

Remarque : un diamtre est donc une corde particulire

Un arc de cercle est une portion de cercle.

Larc de cercle dextrmits C et E se noteCE ou CE

.

Arc

CE

Arc CE


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III. Report de longueurs et primtres

Activits 4, 5

Synthse :

Le compas peut aussi servir reporter des longueurs.

Dfinition : un polygone est une ligne brise ferme.Un polygone a donc plusieurs cts.

Un polygone qui a 3 cts sappelle un TRIANGLEUn polygone qui a 4 cts sappelle un QUADRILATERE

Un polygone qui a 5 cts sappelle un PENTAGONE

Un polygone qui a 6 cts sappelle un HEXAGONE(info prof : Un polygone qui a 11 cts sappelle unHENDECAGONEUn polygone qui a 12 cts sappelle unDODECAGONE

Un polygone qui a 13 cts sappelle un TRISKAIDECAGONE)

VOCABULAIRE A CONNAITRE : OPPOSES.

Exemples : A et C sont deux sommets opposs. [AB] et [CD] sont deux cts

opposs.

CONSECUTIFS (veut dire qui se suivent .Exemples : A et B sont deux sommets conscutifs. [AB] et [BC] sont deux cts

conscutifs.

DIAGONALE. Une diagonale est un segment joignant 2 sommets nonconscutifs. Exemple : [AC] et [BD] sont des diagonales

Un ct

Un sommet

Dfinition :

Le primtre dune figure est la longueur de son contour.

Ce quadrilatre se nomme ABCD

(ou BCDA ou..)Rgle : on donne les noms dessommets en tournant (dans le sens

que lon veut).

A

B C

D


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IV. Constructions

Activits 6, 7 et 8

Dfinition : un triangle isocle est un triangle qui a deux cts de mme

longueur

Vocabulaire :

Programme de construction :

Trace un segment [IK] de longueur 2,3 cm.Trace un arc de cercle de centreK, derayon 5 cm puis un arc de cercle de centreI, de rayon 5 cm. AppelleJ lun des 2points dintersection de ces arcs.

Trace les segments [JK] et [JI].

La base

Le sommet rinci al

On dit que le triangle

DEF est isocle en F

Synthse :

Un triangle quelconque


Trace un segment [GH] de longueur 5 cm. Traceun arc de cercle de centreG, de rayon 2,7 cmpuis un arc de cercle de centreH, de rayon 4,4m. AppelleF lun des 2 points dintersection dees arcs.Trace les segments [FG] et [FH].


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Remarques : Un triangle quilatral est un triangle isocle particulier

Un triangle quilatral es trois fois isocle.

Activit 9

Dfinition : un triangle quilatral est un triangle qui a ses trois cts de

mme longueur


Trace un segment [NL] de longueur 4,2 cm.Trace un arc de cercle de centreN, de rayon

4,2 cm puis un arc de cercle de centreL, derayon 4,25 cm. AppelleM lun des 2 pointsdintersection de ces arcs.Trace les segments [MN] et [ML].

Dfinitions :

un losange est un quadrilatre qui a ses quatre cts de mme longueur.

Un cerf volant est un quadrilatre qui a 2 cts conscutifs de mme longueur et les

deux autres cts de mme longueur.


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333TTThhhmmmeee dddeee cccooonnnvvveeerrrgggeeennnccceee :::

llleeeccctttuuurrreee dddeee gggrrraaappphhhiiiqqquuueeesss

En relation avec lHistoire Go et la SVT

Cours non dvoil ici


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CCChhhaaapppiii tttrrreee

444 AAAddddddiiitttiiiooonnn,,, sssooouuussstttrrraaaccctttiiiooonnn eeetttmmmuuullltttiiipppllliiicccaaatttiiiooonnn dddeeesss

dddccciiimmmaaauuuxxxI. Addition et soustraction

1. VocabulaireActivit 1

2. TechniqueActivit 2

Pour lexplication des retenues, voir lactivit 2.

3. Ordres de grandeurActivits 3 et 4

Synthse :

Pour poser une addition ou une soustraction, on aligne les virgules.

977,

8205,3+

8182,4

822,31

7532,9-

3299,3

Synthse :

Un ordre de grandeur permet de contrler le rsultat dun calcul (pos ou fait la

calculatrice)

Synthse :

24 + 35 = 59

termes somme

termes diffrence

30 est la diffrence de 2 termes : 37,2 et 7,2.

On dit quon a soustrait, retranch 7,2 37,2

59 est la somme de 2 termes : 24 et 35

On dit uon a ajout (ou additionn) 35 24.

37,2 7,2 = 30


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4. PropritsActivit 5

Rgles de calcul mental :

Pour ajouter 9 : on ajoute 10 et on retranche 1Pour ajouter 19 : on ajoute 20 et on retranche 1etc.

Pour soustraire 9 : on soustrait 10 et on ajoute 1Pour soustraire 19 : on soustrait 20 et on ajoute 1

etc.

5. calculs sur les duresActivit 6

Synthse :

Dans une somme, on peut changer lordre des termes :

Ex : 3,5 + 4 + 6,5 = 3,5 + 6,5 + 4

Dans une somme, on peut regrouper des termesEx : A = 3,5 + 4 + 6,5

A = 3,5 + 6,5 + 4

A = (3,5 + 6,5) + 4

A = 10 + 4

A = 14

Ces proprits sont utilises pour calculer astucieusement (donc

rapidement) une expression.

Attention : ces rgles ne sont pas valables pour les soustractions

Ex = 7 3 = 4 mais 3 7 = ??? on ne sait pas encore le calculer

Synthse :

Pour les dures, on travail en systme sexagsimal (60) :

1 heure = 60 minutes

1 minute = 60 secondes

Pour additionner des dures : on additionne sparment les secondes,les minutes et les heures, puis si ncessaire on convertit.


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Ex :

II. Multiplication des dcimaux

1. Vocabulaire ; ordres de grandeur

Activits 1, 2 et 3

2. TechniqueActivit 4

5 h 34 min 39 s

+ 2 h 59 min 48 s

7 h 93 min 87 s

87 s = 1 min 27 s

donc 7 h 93 min 87 s = 7h 94 min 27 s

94 min = 1 h 34 mindonc 7 h 93 min 87 s = 7h 94 min 27 s =

8h 34 min 27 s

Pour soustraire des dures, il est plus simple de passer par un schma

linaire.

Ex : soustraire 5 h 30 min 2h 50 min :2h 50 min 3h 5 h 5h 30 min

10 min 2h 1h 30 min+ + = 3 h 40 min

Synthse : Vocabulaire

2,9 7 = 20, 3

Ordres de grandeurPour obtenir un ordre de grandeur dun produit, on multiplie les ordres de grandeur

de chacun des facteursUn ordre de grandeur permet de contrler le rsultat dun calcul.

ExExExEx : un ordre de grandeur de 2,9: un ordre de grandeur de 2,9: un ordre de grandeur de 2,9: un ordre de grandeur de 2,9 7 est par exemple7 est par exemple7 est par exemple7 est par exemple : 3: 3: 3: 3 7 = 21.7 = 21.7 = 21.7 = 21.

facteurs produit

20,3 est le produit de 2 facteurs : 2,9 et 7

On dit uon a multipli 2,9 et 7

Une multiplication nagrandit pas toujours !!!Ex : 1250,01 = 1,25 (qui est infrieur 125 !)


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Remarque : Les ordres de grandeur permettent de vrifier la position de la virgule.

Ex : 14,594,5105=50

III. Proprits de la multiplication

Rgles de calcul mental :

Il est impratif de bien connatre ses tables de multiplications Multiplication par 10, 100, 1000 : dj vu (ch I)

Connatre la table de 25 : 0 ; 25 ; 50 ; 75 ; 100 ; 125 . et savoir calculerastucieusement

Exemples : 425 =

40,25 =

41,25 =

Synthse :Savoir poser une multiplication de 2 dcimaux.

Il ny a pas obligation daligner les virgules !

954,1

54,

5927.6385

5565,6

2 chiffres aprs la virgule

1 chiffre aprs la virgule

2+1=3 chiffres aprs la virgule

Dans un produit, on peut changer lordre des facteurs :

Ex : 2,5 0,3 4 = 4 2,5 0,3

Dans un produit, on peut regrouper des facteurs

Ex : A = 2,5 0,3 4

A = 4 2,5 0,3

A = (4 2,5) 0,3

A = 10 0,3

A = 3

Ces proprits sont utilises pour calculer astucieusement (donc

rapidement) une expression.


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CCChhhaaapppiii tttrrreee

555DDDrrroooiiittteeesss ;;; dddeeemmmiii---dddrrroooiiittteeesss,,,PPPooosssiiitttiiiooonnn rrreeelllaaatttiiivvveee dddeee 222

dddrrroooiiittteeesssI. Droites et demi-droites

1. Les droitesActivit 1

Synthse :a) Une ligne droite se trace la rgle.

Pour nommer une droite, on peut : Utiliser une lettre

On utilise souvent la lettre dou ( delta ) : lettre grecque

Remarque : parfois, lorsquil y a plusieurs droites, on utilise des indices

(exemple : d1 ; d2 ; d3 ; 1 ; 2 etc )

ou parfois aussi des apostrophes (exemple d de lit d prime ,d se lit d seconde )

Utiliser deux lettres

On utilise souvent les lettres de lafin de lalphabet

Utiliser les noms de 2 points sur la droite

d

La droite d

x

y

La droite (xy)

Une DROITE est un objet gomtrique constitu dune infinit de points : on la

reprsente par une ligne droite, mais il faut se souvenir quune droite est illimite.


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Il existe une seule droite passant par les pointsA et B, on la note la droite (AB)

b)

c) Le signe se lit appartient

A(d) signifie

que le point A

appartient la

droite (d).

De mme,

B(d)

2. Les demi-droites

Notations :

II. Position relative de deux droites

1. droites scantesActivit 2

(d)BA

A

BC

A

B

Dfinition : des points (au moins 3) sont aligns si ils sont sur une mme droite

Une DEMI - DROITE est un une portion de droite dlimite par un point.

A

x La demi-droite [Ax) dorigine A

BC

La demi-droite [BC) dorigine B passant par C


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Dfinition : deux droites SECANTES sont deux droites qui nontquun seul point commun.

Les droites (d1) et (d2) sont SECANTES en A.

A est leur POINT dINTERSECTION

A (d1) et A (d2)

(se dit pour 2 droites)

Le symbole se lit appartient .

CAS PARTICULIER :

2. droites paralllesactivit 3

Les droites (d) , (d) et (d) sont CONCOURANTES en B.

B est leur POINT DE CONCOURS(se dit pour 3 droites et plus)

B (d) , B (d) et B (d)(d)

B (d)

(d)

Les droites (d) et () sont PERPENDICULAIRES

Notation :

(d) ()

On code la figure avec le signe(d) ()

Dfinition :

deux droites PARALLELES sont deux droites qui ne sont pas scantes

Les droites () et () sont PARALLELES.

Notation :

() // ()()

()


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CAS PARTICULIER :

III. Des figures connatreActivit 4

(1) (2)

Les droites(1) et (2) sont CONFONDUES

Dfinition 1 : un triangle rectangle est un triangle qui a deux ctser endiculaires.

M

N

P

Le triangle MNP est rectangle en M.HYPOTENUSE

Dfinition 2 : un paralllogramme est un quadrilatre qui a ses cts paralllesdeux deux.

F

E

H

G

Dfinition 3: un rectangle est un quadrilatre qui a 4 angles droits.

I

K

L

J


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IV. Des proprits pour justifier, pour dmontrer

En mathmatiques, une proprit est une rgle savoir par cur, qui aide faire des

preuves, des dmonstrations

Dfinition 4: un carr est un quadrilatre qui a 4 angles droits et ses 4 cts de mme

longueur.

A

D

C

B

Proprit 1 :Il existe une seule droite passant par un point donn et perpendiculaire unedroite donne.

A

()

(d)

() est LA droite passant par A et

perpendiculaire (d).

Proprit 2 (ou axiome dEuclide):

Il existe une seule droite passant par un point donn et parallle une droitedonne.

A

(d)

()() est LA droite passant par A et

parallle (d).


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Activit 5

Activit 6

Activit 7

Proprit 3 :SI deux droites sont perpendiculaires une mme troisime droite, ALORS ces

deux droites sont (forcment) parallles.

(d)

()

()

Si() (d)

() (d) alors () // ()

Proprit 4 :

SI deux droites sont parallles, ALORS toute droite perpendiculaire lune est

(forcment) perpendiculaire lautre.

Si() // ()

(d) () alors (d) ()(d)

()

()

Proprit 5 :SI deux droites sont parallles une troisime droite, ALORS ces deux droites

sont (forcment) parallles entre elles.

Si() // (d)

() // (d) alors () // ()

()()(d)


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666 DDDiiivvviiisssiiiooonnn eeeuuucccllliiidddiiieeennnnnneee

I. Multiples et diviseurs dun nombre entier naturel

Activit 1

II. Reconnatre un multiple de 2, 4, 5, 9 ou 10

Activit 2

Synthse :

1. Soit a un nombre entier. Les MULTIPLES dea sont :

a 0 ; a 1 ; a 2 ; a 3 ; a 4 ; a 5 ; a 6 ; etc

Ex : les multiples de 7 : 0 ; 7 ; 14 ; 21 ; 28 ; 35 ; 42 ; 49 ; 56 ; 63 ; 70 ;

77 etc

2. On dit quun nombre est DIVISIBLE par a si cest un multiple de a

Ex : 21 est divisible par 3 car 21 est un multiple de 3 : 21 = 3 7

3 et 7 sont des DIVISEURS DE 21

0 a

Synthse :

1. Un nombre multiple de 2 sappelle un NOMBRE PAIR

Cest un nombre entier dont le chiffre des units est 0 ou 2 ou 4 ou 6 ou 8.

Ex : 1378 est divisible par 2 car le chiffre des units est 8

2. Un nombre multiple de 3 se reconnat la somme de ses chiffres qui est

multiple de 3

Ex : 13512 est divisible par 3 car 1+3+5+1+2 = 12 est multiple de 3

nombre divisible par 2



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III. Division euclidienne

Activit 3

3. Un nombre multiple de 4 se reconnat au nombre form de ses 2 derniers chiffres qui

Ex : 13512 est divisible par 4 car 12 est multiple de 4

4. Un nombre multiple de 5 se reconnat son chiffre des units qui doit tre 0 ou 5

Ex : 135 est divisible par 5 car son chiffre des units est 5.

5. Un nombre multiple de 9 se reconnat la somme de ses chiffres qui est multiple de 9

Ex : 81135 est divisible par 9 car 8+1+1+3+5=18 qui est multiple de 9.

6. Un nombre multiple de 10 se reconnat son chiffre des units qui est 0

Ex : 8110 est divisible par 10 car son chiffre des units est 0.



doit tre un multi le de 4.


Synthse :

Soient a et b deux nombres entiers. Effectuer la division euclidienne dea parb

cest trouver les nombres entiers q etr tels que

a = (bq) +r et r


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Remarque : lorsque le reste de la division est 0 :

IV. Exemples et preuves en mathmatiques

Activit 4

Plusieurs exemples ne suffisent pas prouver quune phrase est vraie

Il peut tre utile de chercher plusieurs exemples pour mieux comprendre ou deviner un

rsultat.

Penser que quelque chose est vrai sappelle faire une CONJECTURE

Mais ce rsultat doit ensuite tre PROUVE souvent laide de proprits apprises dansla leon.Parfois on ne peut pas faire la preuve en cours car il faudrait connatre des proprits qui

seront abordes dans des classes suprieures.

55 11

5

55-

0

55 = 5 11 + 0

Le reste est nul, donc 11 est un diviseur de55

Ou : 55 est divisible par 5

Un seul exemple suffit pour prouver quune phrase est fausse (cela sappelle un CONTRE

EXEMPLE .


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777 LLLeeesss aaannngggllleeesss

I. Dfinitions et notations

Ici, le sommet de langle est le point B.

Ses cts sont les demi-droites [BA) et [BC).

Cet angle se note : ABC ouaCBA

Lunit de mesure dun angle est le DEGRE ()

Attention : la mesure dun angle ne dpend pas de la longueur de ses cts

A

C

B

Dfinition : Un angle est une ouverture limite par

deux demi-droites de mme ori ine .

Nom du sommet au milieu

Angleaigu

Angledroit

gale 180

Angleplat

comprise entre90et 180

Angleobtus

infrieure 90

gale 90


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Exemple :

Complter le tableau ci-dessous :

ANGLES

NOMSTYPES

SOMMETCOTES

II. Utilisation du rapporteur

1. mesurer un angle

Activit avec instrumenpoche puis activits 2 et 3

Par exemple, ces 2

angles ont la

mme mesure

B

A

E

D

C

12

3


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1 : On place le centre du rapporteur sur le sommet de langle.

2 : Le 0 du rapporteur repose sur un ct de langle : la demi-

droite [BC)

3 : La mesure de langle se lit sur lautre extrmit de langle : lademi-droite [BA)

On lit sur le rapporteur 38.

On crit ABC = 38

Faire les activits 2 et 3

2. Construire un angle

Activit 4

III. Bissectrice dun angleActivit 5

Construction au compas :

Mthode:Construire un angle de mesure 32.

1 : On commence partracer une demi-droite

2 : Petite marque des 32laide du rapporteur

3 : Relier lamarque et lesommet de

langle.

32

Dfinition : La bissectrice dun angle est la droite qui partage cet

angle en 2 angles adjacents et de mme mesure.


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Mthode:

1 : arcs de cercle de centre O et de mme rayon

2 : arcs de cercle de centres A et B et de mme rayon

3 : relier O et C

O

B y

x

A

C


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888DDDiiivvviiisssiiiooonnn dddccciiimmmaaallleee

I. Dfinitions et notationsActivits 1 et 2

II. Valeurs approches, troncatures, arrondisActivit 3

VALEURS APPROCHEES

Prenons le nombre 14,52638842

Valeur approche lunit : -par dfaut: 14,52638842 14

-par excs : 14,52638842 15

Synthse :

Soient a et b deux nombres entiers. Effectuer la division dcimale dea parb cestchercher le nombre q tel que

a =bq

il y a 3 cas possibles : le quotient q peut tre :

Un nombre entierExemple :

Un nombre dcimal non entier

Exemple :

Un nombre non dcimalExemple :

005,21 02

526,

05

0010

81 6

3

0

000006,1 11

4...54541,

05

06

05

06

05

6..

14 1514,52638842

Par dfaut Par excs


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Valeur approche au 10me

: -par dfaut: 14,52638842 14,5

-par excs : 14,52638842 14,6

Valeur approche au 100me

:-par dfaut: 14,52638842 14,52

-par excs : 14,52638842 14,53

ARRONDISPrenons toujours le nombre 14,52638842

Arrondi lunit : 14,52638842 15

Arrondi au 10me

: 14,52638842 14,5

Arrondi au 100me

: 14,52638842 14,53

Larrondi est soit la valeur approche par dfaut, soit la valeur approche par excs (celledes deux qui est la plus proche)

14,5 14,614,52638842

14,52 14,5314,52638842

La valeur approche par DEFAUT sappelle aussi TRONCATURE

14 1514,52638842

Le plus proche

14,5 14,614,52638842

Le plus proche

14,52 14,5314,52638842

Le plus proche


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Calcul mental

Diviser un nombre par 10, 100, 1000 revient dplacer la virgule de un,deux, trois rangs vers la gauche. On complte par des zros si ncessaire.

Exemples : calculer mentalement

527 10= 52,710= 5,2710= 0,52710 =

11,2410 = 11,24100 = 11,241000=

88,5100= 1289,21000= 7,910 000=


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CChhaaapppiitttrrreee

999 PPPrrriiimmmtttrrreeesss eeettt aaaiiirrreeesss

I. Primtre du cercleActivit Excel

Anecdote : une posie pour retenir quelques dcimales de : Que jaime faire apprendre un nombre utile aux sages .

Remarque : pour le calcul mental, on retiendra que le primtre dun cercle est environ 3fois plus grand que son diamtre

Applications :

1) Calcule le primtre dun cercle de diamtre 4 cm. Arrondis le rsultat au diximeP = d

P = 4

P 12,6 Le primtre du cercle mesure environ 12,6 cm

Synthse :

Soit Cun cercle de centre O et de diamtre d.La mesure du primtre de ce cercle est

Ou encore puisque diamtre = rayon 2 :

Le nombre ( pi )

est la lettre grecque correspondant notre p . Elle dsigne le nombre par lequel

il faut multiplier le diamtre pour obtenir le primtre du cercle.

nest pas un nombre entier, ni un nombre dcimal, ni un quotient !Encadrement : 3,14


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2) Calcule le primtre dun cercle de rayon 2,5 m en prenant 3,14 comme valeur de

P = d

P 2 3,14 2,5

P 15,7 Le primtre du cercle mesure environ 15,7 m

II. Aires des figures usuellesActivits 1 , 2 , 3 , 4

Synthse1. 1 mm est laire dun carr de 1 mm de ct

1 cm est laire dun carr de 1 cm de ct

1 m est laire dun carr de 1 m de ct

2. Le carr

Aire =c c =c

Primtre = 4 c

3. Le rectangle

Aire =L l

Primtre = 2 (L + l)

4. Le triangle rectangle

Aire =2

L l

Cest la moiti de laire du rectangle

5. Pour calculer les aires de figures plus complexes, on additionne ou on

soustrait des aires de ces figures de base.

6. Attention : deux figures peuvent avoir la mme aire sans avoir le mmeprimtre !!

7. Changements dunits daire :On a vu que 1 cm = 100 mm

km hm dam m dm cm mm

ha a

Pour les terrains (champs, jardins ) on utilise comme unit lHECTARE :1 ha = 1 hm (grand comme un carr de 100m sur 100 m)

Autre unit : lARE (moins utilise)

1 a = 1 dam (grand comme un carr de 10 m sur 10 m)

c

l

L

L

l


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CChhaaapppiitttrrreee

111000 FFFrrraaaccctttiiiooonnnsss

I. Dfinition ; vocabulaireActivit 1

Fractions particulires :

1

2se lit un demi

1

3 se lit un tiers

1

4se lit un quart

II. Ecriture fractionnaire dun quotientActivits 2 et 3

Synthse :3

5se lit trois cinquimes

6

5se lit six cinquimes

Si a et b sont deux nombres ENTIERS, alorsa

best une fraction.

a sappelle le numrateur de la fraction et b le dnominateur.

Synthse :1

2est un nombre.

Cest le nombre qui multipli par 2 donne 1. 2 1

2= 1

mais aussi 2 0,5 = 1

1

3est un nombre.


3= 1

1

3na pas dcriture dcimale car le reste de la division de 1 par 3 nest pas 0.

Donc 0,5 est lcriture

dcimale de1

2


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Exercice : Que peux-tu dire des nombres1 3 11

; ;7 5 4

?

III. Reprsentation du quotient sur une droite gradue

Activit 4

2

3est un nombre.


3= 2

2

3na pas dcriture dcimale car le reste de la division de 2 par 3 nest pas 0.

Retenir :Il revient au mme de :

Prendre1

5

de 4 units

Prendre 4 fois1

5de lunit.

Autrement dit :1 1 1 1 1 4

45 5 5 5 5 5 = + + + =

Synthse :

Placer7

3sur une droite gradue

On commence par placer lorigine O, et le point I ( la graduation 1)

La division euclidienne de 7 par 3 donne 7 = 2 3 + 1 donc 2

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Le Cours de 6eme