le cours de topographie chap 1 à 7

Cours de Topographie GC S5 LMD Chapitre 1 Généralités sur la Topographie

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Chapitre 1 Généralités

1.1 Définitions 1.1.1 Topographie

Le mot topographie vient du grec, topos (le lieu) et graphein (décrire). La topographie est l'ensemble des opérations qui permettent la représentation graphique de la configuration du terrain avec tous les détails qui s'y trouvent. 1.1.2 Géodésie

La géodésie est la science qui étudie la forme de la Terre. Par extension, elle regroupe l'ensemble des techniques ayant pour but de déterminer les positions planimétriques et altimétriques d'un certain nombre de points géodésiques et repères de nivellement. 1.1.3 Photogrammétrie

La photogrammétrie est l'ensemble des techniques et méthodes permettant de restituer la géométrie d'un objet à partir d'images aériennes. 1.1.4 Cartographie

La cartographie est l'ensemble des techniques et méthodes permettant d'élaborer des cartes et plans. 1.1.5 Planimétrie

La planimétrie c'est l'exécution et l'exploitation des observations et mesures qui permettent de représenter sur un plan horizontal les détails situés à la surface du sol. 1.1.6 Altimétrie

L'Altimétrie c'est l'exécution et l'exploitation des observations qui conduisent à la représentation du relief du sol. 1.1.7 Le Canevas

C'est l'ensemble des points connus en planimétrie et/ou en altimétrie avec précision.

1.1.8 Le GPS

Le GPS (Global Positioning System), est un ensemble de 24 satellites qui orbite vers 20000 km d'altitude. Ils émettent en permanence des signaux radioélectriques. Au niveau du sol, on emploie des récepteurs des ces signaux. Il faut observer au moins 4 satellites. 1.1.9 Le SIG

Le SIG (Système d'information géographique), c'est l'exploitation des données graphiques par ordinateur. Ces données sont structurées en couches parfaitement superposables. Il permet de gérer à la fois la partie graphique (lieu) et d'autres données s'y rapportant tels nombre d'habitants, etc. 1.2 Formes de la terre 1.2.1 Géoïde

En apparence la terre a la forme d'une sphère. En fait, elle est légèrement déformée par la force centrifuge induite par sa rotation autour de l'axe des pôles. Cette déformation est


2

relativement faible : "tassement" de 11 km au niveau des pôles par rapport à un rayon moyen de 6367 km et "renflement" de 11 km au niveau de l'équateur. Elle a donc l'aspect d'un ellipsoïde de révolution dont le petit axe est l'axe de rotation : l'axe des pôles. La surface des mers et océans au repos recouvrant toute la Terre et sensée être prolongée sous les continents, qui est une surface équipotentielle du champ de pesanteur, est appelée géoïde. Le géoïde est la surface de référence pour la détermination des altitudes, autrement dit la surface de niveau zéro.

1.2.2 Ellipsoïde de Révolution

La surface la plus proche du géoïde est un ellipsoïde de révolution, c'est-à-dire un volume engendré par la rotation d'une ellipse autour d'un des ses deux axes. La terre tournant autour de l'axe des pôles (de demi-longueur b), cette rotation engendre un cercle équatorial de rayon a.

Il n'existe pas un ellipsoïde global unique mais plusieurs ellipsoïdes locaux définis pour chaque pays, chacun adoptant un ellipsoïde le plus proche possible du géoïde local. Ceci explique que les ellipsoïdes diffèrent d'un pays à l'autre. Par exemple pour l'ellipsoïde de Clarke défini en 1880 a pour caractéristiques : Demi-grand axe a=6378,249 km ; Demi-petit axe b=6356,515 km ;

Aplatissement 466,293

1

b

baf

L'ellipsoïde international diffère légèrement de l'ellipsoïde de Clarke. Voir tableau ci-dessous.


3

1.2.3 Coordonnées Géographiques

L’axe de rotation de la terre est l’axe des pôles PP. Le cercle perpendiculaire à l’axe des pôles est l’équateur. La demi-ellipse méridienne passant par les pôles et par un point A est la méridienne de A. Un point sur l’ellipsoïde est repéré par sa longitude et sa latitude (rapportées à la normale (na) à l’ellipsoïde en A). Elles sont définies ci-après.

Longitude () : la longitude d’un lieu A est l’angle dièdre formé par le méridien du lieu avec le méridien origine. Elle est comprise entre 0° et 180° Est ou Ouest. Le méridien origine international est celui de Greenwich (observatoire de la banlieue de Londres).

Latitude () : la latitude de A est l’angle que fait la verticale (na) de A avec le plan de l’équateur. Elle est comprise entre 0 à 90° Nord ou Sud. Les cercles perpendiculaires à la ligne des pôles

PPsont appelés parallèles : ils sont parallèles au plan de l’équateur.

Hauteur ellipsoïdale (h) : à un point Asitué sur la surface de la terre et sur la même verticale que

A, on associera une troisième coordonnée correspondant à la hauteur au dessus de l’ellipsoïde, notée h, mesurée suivant la normale (na).

Cours de Topographie GC S5 LMD Chapitre 2 Systèmes de Projection

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Chapitre 2. Systèmes de projections

2.1 Généralités

L’objectif des projections cartographiques est d’obtenir une représentation plane du modèle ellipsoïdal de la surface de la Terre. L’intérêt majeur réside alors dans les valeurs métriques, beaucoup plus facilement exploitables, en particulier pour les mesures de distance. Mais une projection ne peut jamais se faire sans qu’il y ait de déformations. Pour s’en convaincre, il suffit d’essayer d’aplatir la peau d’une orange ! Néanmoins, par calcul, il est possible de définir le type et les paramètres d’une projection dans le but de minimiser certaines déformations. On choisit alors:

• soit de conserver les surfaces (projections équivalentes)

• soit de conserver localement les angles (projections conformes)

• soit de conserver les distances à partir d’un point donné (projections équidistantes)

• soit d’opter pour une représentation ne conservant ni les angles ni les surfaces (projections dites aphylactiques).

Dans tous les cas, aucune projection ne peut conserver toutes les distances. On introduit alors les notions de module linéaire et d’altération linéaire. Aujourd’hui, la plupart des projections utilisées en géodésie et topographie sont conformes. La cartographie à petite échelle utilise souvent des projections équivalentes. Une autre façon de classer les projections planes est de s’intéresser à leur canevas, c’est-à-dire l’image des méridiens et des parallèles. C’est selon cette approche que nous allons aborder les grandes familles de projection.

2.2 Systèmes de projections planes

2.2.1. Projections coniques Dans ce type de représentation, les images des méridiens sont des demi-droites qui concourent en un point image du pôle et les parallèles des arcs de cercles concentriques autour de ce point. Elles peuvent être réalisées de deux façons :

Tangente Sécante


5

Figure 2.1 Les projections coniques

Figure 2.2 Projection conique conforme de Lambert

Figure 2.3. Projection conique équidistante

Figure 2.4. Projection conique équivalente d’Albers

2.2.2. Projections cylindriques Dans ce type de représentation, l’image des méridiens est un faisceau de droites parallèles, et l’image des parallèles, un faisceau de droite parallèles, orthogonales à l’image des méridiens. Elles peuvent être réalisées de trois façons :

Directe Oblique Transverse

Figure 2.5 Les projections cylindriques


6

Figure 2.6 Projection conforme cylindrique transverse de Mercator (UTM)

Cours de Topographie GC S5 LMD Chapitre 3 Les fautes et les erreurs

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Chapitre 3. Les fautes et les erreurs

Une mesure est entachée d’une certaine erreur, d’une incertitude. Elle provient de divers facteurs : la méthode utilisée, l’instrument employé, l’expérience de l’opérateur, la grandeur mesurée… Différentes notions sont utilisées pour qualifier la qualité de la mesure, et divers moyens existent pour répartir les résidus d’une série de mesure.

3.1. Erreurs et fautes

• La faute : manquement à une norme, aux règles d’une science, d’une technique (Petit Larousse). On parle de faute généralement à propos de l’opérateur, et peut être due à un manque de soin, le non respect des règles de base, le manque d’expérience…

• L’erreur systématique : se répète et se cumule à chaque mesure. Elle est le plus souvent due aux imprécisions de l’instrument (qualité des composants, défauts de réglages…) et aux contraintes de sa mise œuvre. L’influence de ces erreurs peut souvent être évaluée par calcul, et prise en compte dans la détermination finale.

• L’erreur accidentelle : de valeur et de signe aléatoires, elle peut avoir diverses origines : défaut de calage de l’appareil à la mise en station, erreur de pointé, de lecture, des paramètres extérieurs non maîtrisables (température, hygrométrie…), erreur de réfraction accidentelle…

Sur une série de mesures (cheminement altimétrique, polygonal), l’influence des erreurs systématiques doit être minimisée par la méthode employée. Par contre, il reste les erreurs accidentelles qui sont généralement considérées comme les seules participant aux fermetures. 3.2. Méthodes de compensation Tout protocole de mesure génère des erreurs. Il est capital d’identifier, quantifier et réduire les erreurs systématiques, mais les erreurs accidentelles doivent être réparties sur l’ensemble. Plusieurs méthodes sont possibles, mais partent toutes globalement de l’hypothèse de l’équiprobabilité de chaque source d’erreur accidentelle lors de chaque mesure. Par exemple, sur un cheminement altimétrique, la probabilité de faire une erreur de lecture sur mire est identique qu’il s’agisse de la première ou de la nième dénivelée.

3.2.1. Compensation proportionnelle C’est le mode de compensation le plus simple. Il exploite l’hypothèse d’équiprobabilité au mot : l’erreur globale constatée sur la série de mesures est la résultante des erreurs sur chaque mesure de la série. Par conséquent, la fermeture est répartie sur chaque mesure individuelle. Pour une fermeture f obtenue sur n mesures, la correction à appliquer aux observations est alors donnée par :

[Eq. 3.1]

Elle peut s’avérer tout à fait suffisante pour la répartition de la fermeture d’un nivellement géométrique à portées strictement équidistantes et équivalentes. 3.2.2. Compensation pondérée La compensation pondérée est une amélioration de la compensation proportionnelle. Elle prend en compte, par la pondération des observations, une certaine appréciation de la qualité des mesures. Tout le problème est alors de déterminer le facteur significatif agissant sur cette qualité. De même que précédemment, la correction à appliquer à la jième observation sur n, de facteur de pondération p, est donnée par :

Cours de Topographie GC S5 LMD Chapitre 3 Les fautes et les erreurs

8

[Eq. 3.2]

Dans le cas d’un tour d’horizon, on pourra prendre la distance au point comme facteur de pondération. En effet, en triangulation, le pointé sur des cibles lointaines est souvent bien plus précis que sur des cibles proches. 3.2.3. Compensation par les moindres carrés Les méthodes précédentes s’appliquent dans les cas simples, où les mesures redondantes ne sont que peu ou pas présentes. Dès lors que l’on s’intéresse à un réseau de mesures, engendrant des déterminations multiples d’une même grandeur, il est impératif de pouvoir tirer parti de l’ensemble des observations sans créer de discordances entre elles. Le principe des moindres carrés a pour objectif de minimiser les carrés des écarts entre les observations et la valeur vraie de la grandeur observée. Elle se base exclusivement sur la redondance de mesures. Un calcul abouti par moindres carrés donne accès à la valeur la plus probable de la grandeur mesurée, avec un indicateur de qualité primordial : l’erreur moyenne quadratique (souvent notée emq ; en anglais, rmse, root mean square error). La complexité de la méthode ne nous permet pas de la présenter dans le détail. Nous nous limiterons par conséquent à une expression simplifiée, matricielle. La première étape est de définir des valeurs approchées des inconnues, pour pouvoir écrire la matrice V des écarts avec chaque mesure. Ensuite, l’équation suivante donne les appoints à apporter aux valeurs approchées pour obtenir les valeurs les plus probables, compte tenu des observations réalisées.

[Eq. 3.3]

Ainsi, l’erreur moyenne quadratique du calcul (mq0), également dite réduite à l’unité de poids, est

donné par la relation :

[Eq. 3.4]

avec p le poids de l’observation, v l’écart entre valeurs approchée et observée, n le nombre total d’observations, q le nombre d’observations strictement nécessaires au calcul de l’inconnue.

Module Topographie. 3ème

année Licence Génie Civil. 2011_2012

Chapitre 6 Nivellement indirect Page /2 9

Chapitre 5 Mesures Angulaires (Résumé du cours) 5.1 Les Instruments : Les instruments permettant la mesure des angles horizontaux et verticaux sont les théodolites et les tachéomètres. Le tachéomètre est un théodolite qui possède un procédé de mesure de distance.

5.2 Parties constituantes des Instruments : Lunette = Objectif + réticules + oculaire Cercle horizontal : mesure des angles horizontaux, avec le sens est celui des aiguilles d'une montre Cercle vertical : mesure des angles verticaux, avec le zéro est généralement le zénith mais il peut rarement être le nadir ou même l'horizon. On appelle Cercle gauche (CG) ou cercle droit (CD) la position du cercle vertical par rapport à la lunette. Nivelles : deux types, sphérique et torique. L'alidade : c'est un ensemble mobile autour de l'axe principal vertical, comprenant le cercle vertical, la lunette, la nivelle torique et les dispositifs de lecture.

5.3 Le Double retournement dans les Mesures des Angles Horizontaux : Le double retournement consiste à faire un demi-tour simultané de la lunette et de l'alidade. Cette technique permet d'éliminer certaines erreurs systématiques et de limiter les fautes de lecture. En appelant HZ (CG) l'angle horizontal, cercle à gauche et HZ (CD) l'angle horizontal, cercle à droite. On a

200)()( CGZCDZ HH et,

grHsi

HHV CDZ

CDZCGZ

moyenZ 2002

200)(

)()(

grHsi

HHV CDZ

CDZCGZ

moyenZ 2002

400200)(

)()(

5.4 Le Double retournement dans les Mesures des Angles verticaux : Comme pour les angles horizontaux, le double retournement consiste à faire un demi-tour simultané de la lunette et de l'alidade. Cette technique permet d'éliminer certaines erreurs systématiques et de limiter les fautes de lecture. En appelant V(CG) l'angle vertical, cercle à gauche et V(CD) l'angle vertical, cercle à droite. On a

CGCD VV 400 et,

2

400 CDCGmoyen

VVV

5.5 Mesure directe des distances : Par une chaîne ou roulette de 10, 20, 30, ou 50 m.

5.6 Mesure électronique des distances : Un distancemètre laser EDM (EDM : electronic distance measurement) est intégré dans la station Leica. La distance est déterminée au moyen d'un faisceau laser rouge visible qui sort coaxialement de l'objectif de lunette et se dirige vers le réflecteur.

5.7 Mesure indirecte des distances (stadimétrie) :

a) Lunette horizontale

Distance Horizontale entre l'instrument et le point visé = 100*infsup ll




b) Lunette inclinée

Vi 100 ; infsup lll ; ill cos

Pour une station, Di est donné directement.

Pour un théodolite: illDi cos*100*100

illDi cos*100*infsup

iDD ih cos* ou illDh

2

infsup cos*100*

Dh

Di

V

i

ht

Dh

tg i

i

L i

nf

L n

iv =

hv

L s

up

A

ZA

ZB

5.8 Relation de Pythagore généralisée :

(ABC) étant un triangle quelconque. La relation

de Pythagore généralisée s'écrit comme suit :

cos2222 bccba

cos2222 accab

cos2222 abbac

B

A

Ca

c b




5.9 Exemple de calcul de l'angle moyen :

a) Angle horizontal moyen Points HZ (CG) (gr) HZ (CD) (gr) HZ (moy) (gr)

A 112.65 312.61 312.63

B 353.34 153.30 353.32

C 78.28 278.24 78.26

b) Angle vertical moyen

Points V(CG) (gr) V(CD) (gr) V(moy) (gr)

A 89.10 311.10 89.00

B 124.65 275.37 124.64

C 75.37 324.65 75.36




Dh

V

i

Zénith

ls

lm

li

A

B

ZA

ht

Plan de référence

hv

Z

ZB

Di

Dhtgi

Chapitre 6 : Nivellement Indirect Résumé du cours et Exercices

corrigés

……………………………………………………

…………………………………………………………….

Résumé du Cours

.

De la figure ci-dessus on peut tirer les formules suivantes :

itgDhhAltZAltAlt hvtAAB

Avec A : Point stationné d'altitude connue AltA. ht = hauteur des tourillons (lunette) ; hv = lecture du fil

niveleur (pour le théodolite) ou hauteur du réflecteur (pour le tachéomètre et station topo)

i : angle de site Vi 100 et V : angle vertical zénithal

Di : distance inclinée mesurée directement par le tachéomètre ou calculée par stadimétrie :


Dh : distance horizontale calculée par : iDD ih cos* ou

illDh

2

infsup cos*100*

………………………………………………………………………………………………………………

Exercices d'application




Exercice 5 Nivellement indirect

Un opérateur stationne le point A et vise M et N. Alt A = 75,421 m. Les distances inclinées sont mesurées

par tachéométrie de précision DiAM=73,201 m, DiAN=64,306 m. La hauteur réflecteur hv = 1,20 m. La

hauteur des tourillons de l'instrument ht = 1,50 m. Les angles verticaux VAM = 99,3268 gr, VAN = 113,0265

gr.

On demande de calculer les distances horizontales DhAM et DhAN. Puis de calculer les altitudes des points M

et N, AltM et AltN.


Un opérateur stationne le point A et vise B et C. Alt A = 120,635 m. Il fait les lectures suivantes avec le

théodolite. On demande de compléter le carnet de nivellement indirect et de calculer les altitudes des points

B et C, AltB et AltC.

Station Pts visés V (gr) Lecture

sur mire

i (gr) hv (m) Dh (m)

A

ht = 1,52 m

Alt A = 120,635 m

B

98,2674 2,882

2,520

2,158

C

107,3629 1,904

1,560

1,216

…………………………………………………………………………………………………………………

Solutions


On utilise les formules :

Vi 100


illDh

2

infsup cos*100*


mVDiDD AMiAMiAMh 197,73673,0cos201,733268,99100cos201,73100coscos

mVDiDD ANiANiANh 964,620265,13cos306,640265,113100cos306,64100coscos

mtgitgDhhAltZAltAlt hvtAAM 495,76673,0197,7320,150,1421,75

mtgitgDhhAltZAltAlt hvtAAN 654,620265,13964,6220,150,1421,75





On utilise les formules :

Vi 100


illDh

2

infsup cos*100*


Station Pts visés V (gr) Lecture

sur mire

i (gr) hv (m) lsup - linf Dh (m)

A

ht = 1,52 m

Alt A = 120,635 m

B 98,2674

2,882

2,520

2,158

1,733 2,520 0,724 72,346

C 107,3629

1,904

1,560

1,216

-7,3629 1,560 0,688 67,884

mtgitgDhhAltZAltAlt hvtAAB 604,121733,1346,72520,252,1635,120

mtgitgDhhAltZAltAlt hvtAAC 709,1123629,7884,67560,152,1635,120



Chapitre 7 Gisements Coordonnées Surfaces Page /2 15

Chapitre 7 Gisements Coordonnées Surfaces

7.1 Définition du gisement:

Le gisement est l'angle compris entre l'axe des Y (Nord) et une droite. Cet angle est mesuré dans le sens de rotation des aiguilles d'une montre de 0 à 400 grades. Exemple :

GAB

GA

C

A

B

D C

E

GAD

GAE

Y

NORD

X

7.2 Calcul du gisement et de la distance d'un segment AB : Si les coordonnées X et Y de 2 points A et B sont connus, on peut alors calculer le gisement GAB et la distance horizontale DAB. Les formules de calcul sont comme suit :

22

ABABAB YYXXD

ABAB

ABAB

YYD

XXG arctan*2

A

B

Y

NORD

X

GAB

Y

Y

X

7.3 Calcul des coordonnées d'un point B : Le problème inverse se présente comme suit, on connaît le gisement GAB et la distance horizontale DAB. Alors si l'on connaît les coordonnées du point A, on peut calculer les coordonnées du point B. Les formules de calcul sont les suivantes :

ABABAB

ABABAB

GDYY

GDXX

cos

sin

7.4 Calcul de la surface d'un polygone :

La surface S du polygone est la somme algébrique des surfaces de tous les triangles.




01 seul triangle : sin2 21llS

Un nombre n de triangles :

nnllllllllS sin............sinsinsin2 1343232121

X

Y1

2

3

45

n

l1

l2

l3

l4l5

lnan

a1

a2

a3

a4

7.5 Rappel de la relation des triangles : On rappelle que dans un triangle ABC quelconque la somme des angles est égale à 200 grades.

gradesCBA 200

. Et la relation entre les côtés et les angles du triangle est comme suit :

c

C

b

B

a

A

sinˆsinˆsin

B

A

Ca

c b

7.6 Définition de la transmission de gisement : Soit la polygonale suivante ABCDE, dont A, B, C, D, E sont des stations (figure 1).

A

GAB

BD

C

Y

E

Figure 1.

GAB : gisement de AB ;

, , sont des angles orientés (sens aiguille d'une montre). L'angle b est obtenu comme suit : le topographe

stationne le point B, vise d'abord le point A, lit un angle A

puis tourne la lunette dans le sens des aiguilles d'une

montre, vise le point C et lit l'angle C

. AC

.

Alors, connaissant le gisement GAB on peut déterminer les gisements suivants :

200 ABBC GG ; 200 BCCD GG ; 200 CDDE GG




Exemple de Calcul : Calculer les gisements GBC, GCD, GDE avec les données suivantes (figure 2) :

A

BD

C

Y

50 gr

290 gr

130 gr40 gr

E

Figure 2.

Réponse : GBC = 50 + 290 – 200 = 140 gr GCD = 140 + 130 – 200 = 70 gr GDE = 70 + (400-40) – 200 = 70 + 360 -200 = 230 gr

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