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Le degré de Brouwer
Logan Cartau
24 mai 2017
Table des matières
1 Préambule 1
2 Théorie des valeurs regulières 5
3 Variétés à bord 11
4 Le degré modulo 2 18
5 Le degré de Brouwer 25
6 Cohomologie de De Rham et théorie du degré 36
Introduction
Le cadre de ce mémoire est celui des variétés diérentiables de classe C∞,dites lisses. On s'intéresse aux applications entre de telles variétés. Le but dumémoire est de dénir un invariant homotopique pour ces applications, quel'on appelera le degré de Brouwer, et d'en donner des applications.
Les 5 premières sections sont basées sur le classique Topology From theDierentiable Viewpoint ([1]) de John Milnor. En particulier les sections 1-4sont dédiées au développement de la machinerie nécessaire à la compréhensiondu degré de Brouwer, à savoir :
- La section 1 rappelle les notions de base sur les variétés lisses. Le lecteurfamilier avec ces objets peut s'en épargner la lecture sans problème.
- La section 2 introduit aux valeurs régulières, qui jouent un rôle crucialdans toute la suite du texte. On donne en particulier une preuve du théorèmede d'Alembert-Gauss dans cette saveur diérentielle, ainsi que des résultatsquantitatifs importants.
- La section 3 ouvre sur les variétés à bord, qui géneralisent les variétés"classiques". Grâce à un théorème de classication puissant on regarde le rôledu bord de telles variétés, ainsi que des applications diverses, qui culminenten une démonstration du théorème du point xe de Brouwer.
- La section 4 a pour but de familiariser avec la notion d'homotopie etson rôle fondamental (ce qui n'est pas forcément apparent à première vue)dans la théorie des valeurs régulières. On donne deux lemmes importants,ainsi qu'un avant-goût de la section 5 par le biais du degré modulo 2.
- La section 5 introduit les variétés orientables. C'est dans ce cadre qu'ondénit enn le degré de Brouwer. On donne des outils importants pour samanipulation ainsi que de nombreuses applications, par exemple avec le théo-rème de la boule chevelue.
La section 6, basée sur le chapitre 7 de [3], est relativement indépendante.Elle a pour but de redénir le degré, que l'on appelera degré cohomologique,par le biais des formes diérentielles et de la cohomologie de De Rham. On yprésuppose une connaissance des objets en question. Le résultat fondamentalde cette partie est celui selon lequel le degré cohomologique, déni de manièreabstraite, et le degré de Brouwer, déni "naivement", sont les mêmes.
1 Préambule
Sont supposés connus les résultats et méthodes de la topologie générale etdu calcul diérentiel de base.
Le but de cette première partie est de se familiariser avec la notion devariété, en suivant [1] et [2]. De manière informelle, il s'agit d'objets qui"ressemblent" localement à des ouverts de Rn. Ici, "ressembler" signie êtreau moins homéomorphe. On s'intéressera dans ce mémoire au cas où il s'agitde diéomorphismes : ceux-ci donnent à la variété une structure sympathiquesur laquelle on peut faire du calcul diérentiel, et on parlera de variété lisse.
1.1 Vocabulaire diérentiel
Dénition 1.1.1 : Soient U ⊂ Rk et V ⊂ Rl des ouverts, et f : U → Vune application de classe C∞ (rappel : cela veut dire que ses dérivées partiellesde tout ordre existent et sont continues). On dit que f est lisse.
Dénition 1.1.2 : Si f : U → V est une bijection lisse d'inverse lisse, ondit que c'est un diéomorphisme.
On admet les propriétés et théorèmes usuels sur ces objets.
1.2 Variétés
Dénition 1.2.1 : Soit M ⊂ Rk. On dit que M est une variété lisse dedimension m si chaque point x ∈M admet un voisinage U diéomorphe à unouvert V de Rm. On appelera un diéomorphisme g : V → U une paramétri-sation de U , et le diéomorphisme inverse g−1 : U → V une trivialisation, oucarte sur U . En général, le terme carte désignera un tuplet (U, g) d'un ouvertU de la variété et de sa trivialisation g. Un ensemble de cartes trivialisantintégralement la variété prend le nom d'atlas.
Sauf mention explicite du contraire, toutes les variétés rencontrés àpartir de maintenant seront supposées lisses.
1.3 Applications entre variétés
Les variétés étant localement "proches" de Rn, on a envie de géneraliser lesnotions d'applications lisses/diéomorphismes pour des applications dénies
1
sur une variété (et à valeur dans une variété). C'est un exercice formel directmais auquel il faut faire attention.
Dénition 1.3.1 : Soit M une variété lisse de dimension m. Soit f :M → Rk quelconque. On dit que f est lisse si pour tout x ∈M , il existe unvoisinage U de x une carte lisse (U, φ) telle que f φ−1 soit une applicationlisse entre les ouverts φ(U) et Rk.
Dénition 1.3.2 : Soient M,N des variétés lisses de dimensions respec-tives m et n. Soit F : M → N quelconque. On dit que F est lisse si pour toutx ∈ M il existe des voisinage U, V de x et F (x), et des cartes (U, φ), (V, ψ)telles que l'application ψ F φ−1 soit lisse entre les ouverts φ(U) ⊂ Rm etψ(V ) ⊂ Rn
Avec cette dénition, on peut maintenant dire que deux variétés lisses sontdiéomorphes si il existe une telle application F bijective, lisse et d'inverselisse.
1.4 Diérentielle, espace tangent
Il est naturel de s'intéresser à la notion de dérivée/diérentielle pour desapplications entre variétés. Comme précédemment il convient d'être méti-culeux dans la manipulation des objets en essayant de se rammener dès quepossible dans des situations bien connues. On rappelle brièvement le cas clas-sique.
2
Dénition 1.4.1 : Soit f : U → V une application lisse entre deuxouverts de (respectivement) Rk et Rl. Alors la diérentielle dfx : Rk → Rl def au point x selon le vecteur h est donnée par :
dfx(h) = limt→0
f(x+ th)− f(x)
t
Cette application est linéaire en h. Sa représentation matricielle n'est autreque la jacobienne J(i,j)(x) = ( ∂fi
∂xj(x))
Théorème 1.4.2 (Inversion locale classique) : Soit f lisse entre deuxouverts U ⊂ Rk et V ⊂ Rk. Alors si dfx : Rk → Rk est inversible, f est undiéomorphisme entre un voisinage W de x et f(W ).
Pour comprendre le vrai sens de la diérentielle, on introduit la notiond'espace tangent en un point pour une variété. De manière informelle, il s'agitde la meilleure approximation de la variété au voisinage de ce point.
Dénition 1.4.3 : Soit M ⊂ Rk une variété lisse, U ⊂ Rm un ouvertet g : U → M une paramétrisation d'un voisinage g(U) ⊂ M de x tel queg(u) = x pour un certain u ∈ U . On se ramène à une application entre deuxouverts en considérant g comme allant de U dans Rk.Alors la diérentielle dgu : Rm → Rk existe, et on dénit l'espace tangent àM en x comme Im(dgu) = dgu(Rm). On le note TMx.
Remarque 1.4.4 : Cette dénition ne dépend pas du choix de g.
Remarque 1.4.5 : Il est évident qu'un ouvert U de Rn sera toujours unevariété lisse dans Rn (il sut de le munir de l'atlas (Uα, Id|Uα) où
⋃α
Uα = U).
Dans ce cas l'espace tangent sera tout simplement Rn lui-même.Un exemple enrichissant est le groupe linéaire géneral sur R, GLn(R), des
matrices réelles n× n inversibles. On a que
GLn(R) = det−1(R∗)
où det−1 est l'image réciproque de l'application déterminant. Cette applica-tion de Rn2
(avec n2 le nombre d'éléments dans la matrice) dans R, en tantque polynôme à coecients réels, est bien continue. De plus R∗ est un ouvertde R donc det−1(R∗) est un ouvert de de Rn2
. Ainsi GLn(R) est une variétélisse de dimension n2, et son espace tangent en tout point n'est autre queRn2
.
3
Nous sommes désormais en mesure de dénir la diérentielle dans le sensvoulu, c'est à dire comme application linéaire entre espaces tangents.
Dénition 1.4.6 : Soient M ⊂ Rk, N ⊂ Rl deux variétés lisses et f :M → N lisse. Soit x ∈ M . Comme f est lisse, il existe un ouvert W ⊂ Rk
contenant x, et une application lisse F : W → Rl telle que f |W∩M = F . Alorspour tout v ∈ TMx, on pose
dfx(v) = dFx(v)
On considère la diérentielle dfx : TMx → TNf(x) comme une applicationlinéaire entre espaces vectoriels (si f est un diéomorphisme, alors dfx est unisomorphisme). On l'appelle également pushforward de l'espace tangent.
On conclut avec la géneralisation naturelle suivante.
Théorème 1.4.7 (Inversion locale entre variétés) : Soient M , Ndes variétés lisses de même dimension et f : M → N lisse. Soit x ∈ M ,et considérons dfx : TMx → TNf(x). Si dfx est inversible, alors il existe unvoisinage U de x dans M et un voisinage V de f(x) dans N tels que f soitun diéomorphisme entre U et V .
Preuve : Immédiate. En eet il sut d'appliquer le théorème d'inversionlocale classique à ψ F φ−1, avec les conventions de la dénition 1.3.2
4
2 Théorie des valeurs regulières
2.1 Dénition
Dénition 2.1.1 : Soient M et N des variétés lisses de même dimensionet f : M → N lisse. Un point x ∈ M est un point régulier de f si dfx estinversible. On dit que y ∈ N est une valeur regulière si tous les points def−1(y) sont réguliers. Un élement non-régulier est dit critique.
On peut étendre cette dénition au cas où M et N n'ont pas mêmedimension : on regarde alors les points où le rang de la diérentielle n'est pasmaximal.
Dénition 2.1.2 : En eet soientM,N deux variétés lisses (de dimensionrespectivement m et n, avec m ≥ n) et f : M → N lisse. On considèredfx : TMx → TNf(x). L'ensemble C des x ∈ M où rg(dfx) < n (i.e. où fn'est pas une submersion) est l'ensemble des points critiques de f et f(C)est celui des valeurs critiques. De manière analogue, M\C est l'ensemble despoints réguliers, et N\f(C) est celui des valeurs régulières.
Ces deux dénitions coincident bien quandM et N ont même dimension.
2.2 Propriétés
On s'occupera ici du cas où M est compacte (en tant qu'espace topolo-gique), et où M et N ont même dimension. Soit f : M → N et y ∈ N unevaleur régulière.
Proposition 2.2.1 : L'ensemble f−1(y) est ni (possiblement vide).Preuve : L'application f étant lisse (et donc continue), on a que f−1(y)
est un fermé. De plus M est compact donc f−1(y) est compact. On a égale-ment que f−1(y) est discret. En eet supposons le contraire. Soit x ∈ f−1(y),U un voisinage de x et V un voisinage de y tels que f : U → V soit un diéo-morphisme (de tels voisinages existent par le théorème d'inversion locale, carx est un point régulier). Soit maintenant x ∈ f−1(y). Comme f−1(y) n'estpas discret, on a x ∈ U . Cependant f est un diéomorphisme U → V eten particulier une bijection, or on a f(x) = f(x) = y, ce qui nous donne lacontradiction. Ainsi f−1(y) est un ensemble compact discret, et il est doncni.
5
Proposition 2.2.2 : La fonction #f−1(y) : Ω ⊂ N → N qui donne lenombre de points dans f−1(y), où Ω est l'ensemble des valeurs régulières def , est localement constante.
Preuve : On construit explicitement un voisinage de y sur lequel la pro-position est vériée. Posons k = #f−1(y)
Soient [x1, x2, ..., xk] les élements (en nombre ni par ce qui précède) def−1(y). Il existe des voisinages U1, U2, ..., Uk dans M disjoints deux à deuxde chacun de ces points qui sont envoyés diéomorphiquement par f sur desvoisinages V1, V2, ..., Vk de N . Alors le voisinage
V =k⋂i=1
Vi\f(M\k⋃i=1
Ui)
sut. Il s'agit bien d'un ouvert : comme les Vi le sont, alorsk⋂i=1
Vi l'est aussi.
De plus, comme M est compact et que les Ui sont ouverts, M\k⋃i=1
Ui est un
compact et f(M\k⋃i=1
Ui) l'est aussi car f est continue. Au nal V est bien
ouvert en tant qu'ouvert privé d'un compact. Il est non-vide car trivialementy ∈ V .
Montrons désormais que V réponde à nos attentes. Soit y ∈ V une valeurregulière. Alors y appartient à chacun des Vi. En particulier, il existe desx1 ∈ U1, ..., xk ∈ Uk tels que f(xi) = y. Par le théoreme d'inversion locale,
ces xi sont uniques, donc y admet k pré-images dansk⋃i=1
Ui. De plus, par
6
construction, y /∈ f(M\k⋃i=1
Ui), ce qui veut exactement dire que y n'admet
aucune pré-image dans M\k⋃i=1
Ui. Comme
(k⋃i=1
Ui
)∪
(M\
k⋃i=1
Ui
)= M
on a que y admet au total k+ 0 = k pré-images, et #f−1 est bien localementconstante sur V.
2.3 Le théorème fondamental de l'algèbre
Une application surprenante de ces concepts est la preuve diérentielledu théorème fondamental de l'algèbre, que l'on va énoncer :
Théorème 2.3.1 :Tout polynôme non-constant à coecients complexesadmet au moins une racine dans C.
Preuve : On fait l'identication C ' R2 × 0 par
z = (a+ ib) ∈ C z = (a, b, 0) ∈ R2 × 0
Soit P (z) = a0 + a1z + ...+ anzn, avec an non-nul, un polynôme de degré
n.
7
La notation S2 désignera la sphère unité dans R3 :
S2 =
(x1, x2, x3) ∈ R3|x21 + x2
2 + x23 = 1
Considérons tout d'abord la projection stéréographique par le pôle nord(0, 0, 1) :
h+ : S2\ (0, 0, 1) → R2 × 0 ⊂ R3
(x1, x2, x3) 7→ ( x1
1−x3, x2
1−x3, 0)
Il s'agit d'un diéomorphisme, d'inverse :
h−1+ : R2 × 0 → S2\ (0, 0, 1)
z 7→ ( 2a1+a2+b2
, 2b1+a2+b2
, −1+a2+b2
1+a2+b2)
De même, introduisons la projection h− par le pôle sud (0, 0,−1) ainsi queson inverse h−1
− :
h− : S2\ (0, 0, 1) → R2 × 0 ⊂ R3
(x1, x2, x3) 7→ ( x1
1+x3, x2
1+x3, 0)
h−1+ : R2 × 0 → S2\ (0, 0, 1)
z 7→ ( 2a1−(a2+b2)
, 2b1−(a2+b2)
, −1−(a2+b2)1−(a2+b2)
)
L'application polynômiale P : R2 × 0→ R2 × 0 induit l'application :
f : S2 → S2
(x1, x2, x3) 7→
h−1
+ Ph+(x1, x2, x3) (x1, x2, x3) 6= (0, 0, 1)
(0, 0, 1) sinon
On se propose de montrer que f est lisse et ce même dans un voisinage de(0, 0, 1). Pour cela on va introduire une autre application Q : R2×0→ R2×0en posant
Q(z) = h−fh−1− (z) = h−h
−1+ Ph+h
−1− (z)
8
On remarque que h−h−1+ = (h+h
−1− )−1. Calculons alors h−h
−1+ :
h−h−1+ (z) =
(2a
1+a2+b2
1 + −1+a2+b2
1+a2+b2
,2b
1+a2+b2
1 + −1+a2+b2
1+a2+b2
, 0
)
=
(2a
1+a2+b2
2(a2+b2)1+a2+b2
,2b
1+a2+b2
2(a2+b2)1+a2+b2
, 0
)
=
(a
a2 + b2,
b
a2 + b2, 0
)=
z
|z|2
=1
z
De plus, h+h−1− = (h−h
−1+ )−1 = 1
zcar 1
1z
= z.
On a donc
Q(z) =1
P (1z)
Avec P déni comme plus haut :
P (1
z) = a0 +
a1
z+ ...+
anzn
P (1
z) = a0 = +
a1
z+ ...+
anzn
1
P (1z)
=1
a0 + a1
z+ ...+ an
zn
=zn
zn1
a0 + a1
z+ ...+ an
zn
=zn
a0zn + a1zn−1 + ...+ an
Donc Q(z) = zn
a0zn+a1zn−1+...+an. De plus, le dénominateur ne s'annulant pas
en 0, on a que :
lim[z|→0
zn
a0zn + a1zn−1 + ...+ an= 0
9
Donc Q est lisse dans un voisinage de 0. En particulier, comme f = h−1Qh−et que h−(0, 0, 1) = 0, on obtient que f est lisse dans un voisinage de (0, 0, 1).
La projection stéréographique étant un diéomorphisme sur S2\ (0, 0, 1), les points critiques de f s'identient à ceux du polynôme dérivé
P ′(z) = a1 + 2a2z + ...+ nanzn−1
et éventuellement (0, 0, 1). Comme P est non-constant, le polynôme dérivéP ′ n'est pas identiquement nul, et ces points sont alors en nombre ni.
Ainsi, l'ensemble R des valeurs regulières de f sera S2 privé d'un nombreni de points. Il est évident que R est connexe. Comme toute applicationlocalement constante sur un connexe est constante sur le connexe tout entier,on a, par la proposition précédente, que l'application #f−1 est constante surR. De plus elle est non-nulle, car l'image de f n'est pas vide. Ceci revientexactement à dire f que est surjective sur R (chaque valeur regulière admetau moins un antécédent).
De plus, mème les valeurs critiques ont une pré-image (sinon f(S2) neserait pas compact, ce qui est absurde par continuité de f), et f est surjectivesur S2 tout entier. En particulier, le pôle sud (0, 0,−1) admet une pré-image,et P admet au moins une racine.
Remarque 2.3.2 : on utilise ici le fait que la composition (plus particu-lièrement la conjugaison) avec un diéomorphisme ne change pas les valeursrégulières. Un simple calcul de jacobienne permet de voir le résultat. En ef-fet soit f un diéomorphisme et g lisse quelconque. Alors, le théorème dedérivation des fonctions composées nous donne :
Jf−1gf (a) = Jf−1(g(f(a)))︸ ︷︷ ︸inversible
Jg(f(a)) Jf (a)︸ ︷︷ ︸inversible
et on a que cette matrice est inversible si et seulement si Jg(f(a)) l'est.Plus généralement, même siM et N n'ont pas même dimension ceci reste
vrai. Cependant à la place de regarder l'inversibilité on s'interésse au rang.Un résultat simple d'algèbre linéaire permet de conclure. En eet soient A,Bdes matrices à coecients rééls quelconques telles que la multiplication ABait un sens (par exemple A ∈ Mn,m(R) et B ∈ Mm,l(R). Supposons de plusque le rang de B soit maximal (c'est à dire que rg(B) = l). Alors :
rg(AB) = rg(A)
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2.4 Résultats de densité
On va maintenant énoncer un résultat quantitatif important sur les va-leurs critiques. Soit f : M → N lisse et C l'ensemble de ses points critiques.
Théorème 2.4.1 (Sard) : La mesure de Lebesgue de f(C) est nulle.
Corollaire 2.4.2 (Brown) : L'ensemble des valeurs régulières de f estdense partout dans N .
On admettra ces résultats. Pour une preuve détaillée on regardera [1, 3].
2.5 Considérations topologiques
On a un cas particulier où l'ensemble des valeurs régulières s'avère avoirune topologie particulièrement sympathique.
Proposition 2.5.1 : Soit f : M → N lisse, avec M et N des variétéslisses de même dimension. On suppose de plus M compacte. Alors pout toutevaleur régulière y ∈ N de f , il existe un voisinage V ⊂ N de y qui ne contientque des valeurs régulières de f .
Preuve : On reprend la construction faite en 2.2.2. On a montré que fest, par exemple, un diéomorphisme U1 → V1 (où V1 est un voisinage de y).En particulier pour tout x ∈ U1, on a que dfx est inversible, ce qui revient àdire que pour tout x ∈ U1, x est un point régulier. Mais ceci veut dire pardénition que pour tout y ∈ V1, y est une valeur régulière. On prend alorsV = V1.
3 Variétés à bord
3.1 Caractérisations supplémentaires des variétés
On énonce un critére simple pour identier des variétés dans le cas pra-tique. Soit f : M → N lisse, avec M,N des variétés lisses et dim(M) = m ≥dim(N) = n. Soit y ∈ N une valeur régulière de f .
Proposition 3.1.1 : L'ensemble f−1(y) ⊂ M est une variété lisse dedimension m− n.
11
Preuve : Soit x ∈ f−1(y). L'application dfx : TMx → TNy est bien dénie.D'après le théorème du rang,
dim(ker(dfx)) + rg(dfx) = dim(TMx) = m
Commerg(dfx) = dim(Im(dfx)) = dim(TNy) = n
on a bien que ker(dfx) est un espace vectoriel de dimension m− n.Si M ⊂ Rk alors il existe une application linéaire L : Rk → Rm−n non-
singulière sur ker(dfx). Les applications f et L induisent
F : M → N × Rm−n
ξ 7→ F (ξ) = (f(ξ), L(ξ))
dont la diérentielle n'est autre que la concaténation des diérentielles pourchaque coordonnée. De plus, comme L est linéaire,
dFx(h) = (dfx(h), dLx(h)) = (dfx(h), L(h))
On a que dFx n'est pas singulière : par construction L ne l'est pas sur ker(dfx),et trivialement dfx ne l'est pas sur TMx\ker(dfx). Par le théorème d'inversionlocale, il existe un voisinage U de x envoyé diéomorphiquement par F surun voisinage V de (f(x), L(x)) = (y, L(x)). De plus,
F (f−1(y)) = (f(f−1(y), L(f−1(y)))
= (y, L(f−1(y)))
= y × Rm−n(∗)
On peut justier plus précisement le passage en (∗). Soit x ∈ f−1(y) : commeL n'est pas singulière si on la restreint à ker(dfx), le rang de L y est maximal(i.e. la dimension de l'image est m−n). En particulier on a que L(f−1(y)) =Rm−n.
Ainsi F envoie diéomorphiquement f−1∩U sur (y×Rm−n)∩V et f−1(y)est une variété lisse de dimension m− n.
Exemple 3.1.2 : La sphère unité Sn dans Rn+1 peut s'écrire commef−1(1), où
f : Rn+1 → R(x1, x2, ..., xn+1) 7→ x2
1 + x22 + ...+ x2
n+1
12
On remarque que f est bien lisse, et que 1 en est valeur régulière. En eet lajacobienne de f en (x1, x2, ..., xn+1) n'est autre que(
2x1 2x2 · · · 2xn+1
)Dans le cas où la variété est de cette forme, on a une expression simple
de l'espace tangent. Soit f comme précédemment, et dfx : TMx → TNf(x)
(f(x) = y). Notons M ′ la variété f−1(y).
Proposition 3.1.3 : TM ′x = ker(dfx)
Preuve : Par dénition, f envoieM ′ sur y. Ainsi la diérentielle dfx envoiel'espace tangent TM ′
x sur 0 , et TM ′x ⊂ ker(dfx). Par le théorème du rang,
on a égalité des dimensions, donc égalité des espaces.
Exemple 3.1.4 : On reprend le cas de la sphère unité de 3.1.2. Alorspour x = (x1, x2, ..., xn+1),
dfx = [2x12x2...2xn+1] = 2[x1x2...xn+1]
Alors
TSnx = ker(dfx) =y = (y1, ..., yn+1) ∈ Rn+1|2(x1y1 + ...+ xn+1yn+1) = 0
Autrement dit,
TSnx =y ∈ Rn+1|〈x, y〉 = 0
= x⊥
ce qui coincide bien avec l'intuition qu'on pourrait en avoir.
3.2 Variétés à bord
On notera Hm le "demi-plan supérieur" :
Hm = (x1, x2, ...xm) ∈ Rm|xm ≥ 0
. Le bord de Hm noté ∂Hm n'est autre que Rm−1 × 0.
Dénition 3.2.1 : Un ensemble X ⊂ Rk est une variété à bord (dedimension m) si tout élement x ∈ X admet un voisinage diéomorphe à unouvert de Hm.
Par analogie (on fait attention à ne pas confondre les notions car ellesne coincident pas) avec les concepts topologiques classiques, on peut faire lesdénitions-propositions suivantes.
13
Dénition 3.2.2 : Le bord ∂X de X est l'ensemble des points envoyéssur ∂Hm par un tel diéomorphisme. Il s'agit d'une variété lisse de dimensionm− 1.
Remarque 3.2.3 : ∂(∂X) = ∅.
Dénition 3.2.4 : L'intérieur Int(X) de X est X\∂X. Il s'agit d'unevariété lisse de dimension m.
Preuve : Il s'agit simplement de faire attentions aux topologies utiliséesquand on parle d'ouverts. Preuve de 3.2.2 : Soit x ∈ ∂X envoyé diéomorphiquement sur y ∈
∂Hm = Rm−1 × 0. Alors, par le théorème d'inversion locale, il existe unvoisinage U ∩ ∂X de x envoyé diéomorphiquement sur un voisinage V ∩Rm−1 × 0 de y. Les ensembles Rm−1 × 0 et Rm−1 étant diéomorphes, on aexactement que ∂X est une variété lisse de dimension m− 1. Preuve de 3.2.4 : Par dénition, aucun point de Int(X) n'est envoyé
sur ∂Hm, et réciproquement. Soit x ∈ Int(x), envoyé sur y ∈ Hm\∂Hm parun diéomorphisme ψ. La séparabilité de Hm nous assure l'existence d'unvoisinage V de y (simplement une boule ouverte B(y, ε) dans Rm telle queB(y, ε) ∩ ∂Hm = ∅) envoyé par ψ−1 sur un voisinage U de x ne contenantaucun élément de ∂X. Ceci revient à dire que Int(X) est une variété lisse dedimension dim(Rm) = m.
On a le résultat suivant (pour une preuve, on pourra se réferer à [2] ou[4]) :
Théorème 3.2.5 (Invariance du bord) : Soient M et N des variétésà bord et f : M → N un diéomorphisme. Alors F (∂M) = ∂N et F serestreint en un diéomorphisme Int(M)→ Int(N).
Comme pour les variétés sans bord, on va maintenant enoncer des critèresd'identication utiles.
14
Proposition 3.2.6 : Soit M une variété lisse sans bord et g : M → Rune application lisse qui admet 0 comme valeur régulière. Alors x|g(x) ≥ 0est une variété lisse avec pour bord g−1(0).
Soit désormais f : X → N lisse, où X est une variété à bord de dimensionm et N une variété lisse de dimension n (avec la convention m > n).
Proposition 3.2.7 : Soit y ∈ N une valeur régulière à la fois pour f etpour f |∂X . Alors f−1(y) est une variété à bord de dimension m−n. De plus,on a que ∂(f−1(y)) = f−1(y) ∩ ∂X.
Esquisse de la preuve : On va simplement donner les grandes idées :• On se ramène en prenant des cartes, sans perte de généralité, au cas où
f : Hm → Rn, et y ∈ Rn régulière. On prend x ∈ f−1(y) et x ∈ ∂Hm, le casx ∈ Int(Hm) étant trivial.• On construit g qui coincide avec f sur un voisinage de x. On montre
que g−1(y) est une variété.• On considère la projection π : g−1(y) → R sur la dernière coordonnée.
On montre que 0 est régulière pour π. La proposition 3.2.6 nous donne alorsque x|π(x) ≥ 0 est une variété de bord π−1(0)• On réecrit ces quantités en fonction de g puis de f , et on conclut.
3.3 Points xes, rétractions
On s'intéresse aux propriétés des applications lisses sur des variétés àbord. Ces résultats seront alors utilisés pour prouver le théorème du pointxe de Brouwer.
3.3.1 Classication des 1-variétés
Les variétés étant des objets dénis avec relativement peu de contraintes,les classier (à diéomorphisme près) s'avère être une tâche extraordinaire-ment complexe. Cependant pour les dimensions "petites" (0,1,2) il existe desrésultats qui permettent de les lister de manière exhaustive : en dimension0 par exemple, il existe une unique variété connexe, le point. Une variéténon-connexe de dimension 0 n'est autre qu'un ensemble discret de points.Bien entendu cette structure est inintéressante du point de vue diérentieldonc on ne s'y intéressera pas.
On va énoncer sans démontrer le résultat suivant :
15
Théorème 3.3.1.1 : Soit M une variété lisse et connexe de dimension1. Alors M est diéomorphe à S1 ou à un intervalle quelconque des R.
Preuve : Se réferer à [1, Annexe]
Remarque 3.3.1.2 : Si M est compacte, alors l'intervalle en questionsera de la forme [a, b], avec a, b ∈ R.
3.3.2 Rétraction lisse sur le bord
Soit E un espace topologique quelconque et F ⊂ E.
Dénition 3.3.2.1 : On appelle rétraction de E sur F toute application(continue) f : E → F telle que f |F = IdF .
Soit désormais X une variété compacte à bord.
Théorème 3.3.2.2 : Il n'existe pas de rétraction lisse de X sur son bord.Autrement dit, aucune application lisse f : X → ∂X ne peut xer ∂X.
Preuve : Raisonnons par l'absurde en supposant qu'une telle applicationexiste. Soit y ∈ ∂X une valeur régulière de f : c'est donc aussi une valeurrégulière de f |∂X = Id∂X . Par la proposition 3.2.7, f−1(y) est une variété àbord de dimension dim(X)− dim(∂X) = 1. De plus,
∂(f−1(y)) = f−1(y) ∩ ∂X = y
et #∂(f−1(y)) = #(y) = 1. Cependant on a aussi que f−1(y) est compact(car fermé et contenu dans un compact). Le théorème de classication 3.3.1.1nous assure alors que f−1(y) est diéomorphe à une union nie, disjointe decercles S1 et d'intervalles de la forme [a, b]. On a que
∂(S1) = ∅ =⇒ #∂(S1) = 0
et
∂([a, b]) = a, b =⇒ #
(n⋃i=1
[ai, bi]
)≡ 0[2]
Donc, par le théorème 3.2.5, le cardinal du bord de cette union est égal aucardinal du bord de f−1(y) (car il y a un diéomorphisme entre les deux) et
#∂(f−1(y)) ≡ 0[2]
Ce qui contredit le fait que #∂(f−1(y)) = 1.
16
3.3.3 Théorème du point xe de Brouwer
On énonce et démontre successivement les versions faibles et fortes de cefameux théorème.
Lemme 3.3.3.1 : Toute application lisse du disque unité (fermé) danslui-même admet un point xe. Formellement, pour toute g : Dn → Dn lisse,il existe x ∈ Dn tel que g(x) = x.
Preuve : On raisonne par l'absurde en supposant que g n'ait pas de pointxe. Alors pour tout x ∈ Dn, on trace une droite entre x et g(x) (qui parhypothèse sont diérents), et on note f(x) l'intersection de cette droite etSn−1 qui soit plus proche de x que de g(x). Alors f vaut l'identité sur Sn−1.De plus, f : Dn → Sn−1 est une application lisse : en eet on peut eectuerla paramétrisation
f(x) = x+
(〈−x, x− g(x)
||x− g(x)||〉+
√1− 〈x, x〉+ 〈x, x− g(x)
||x− g(x)||〉2)(
x− g(x)
||x− g(x)||
)Ce qui contredit le théorème précédent (car ∂Dn = Sn−1) et conclut lapreuve.
Théorème 3.3.3.2 (Brouwer) : Toute application G : Dn → Dn conti-nue admet un point xe.
Preuve : On eectue un argument classique d'approximation pour se ram-mener au cas précédent. En eet pour tout ε > 0, le théorème de Stone-Weierstrass appliqué à chacune des fonctions coordonnées nous assure l'exis-tence d'un polynôme Q : Rn → Rn tel que pour tout x ∈ Dn,
||Q(x)−G(x)|| < ε
Pour être sûr que l'ensemble d'arrivée du polynôme approximateur soit bienDn, on renormalise Q en posant :
P (x) =Q(x)
1 + ε
Alors on a que P : Dn → Dn, et
||P (x)−G(x)|| ≤ ||P (x)−Q(x)||︸ ︷︷ ︸< ε
+ ||Q(x)−G(x)||︸ ︷︷ ︸< ε
< 2ε
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Raisonnons par l'absurde et supposons que G n'ait pas de point xe sur Dn.Alors l'application ||G(x) − x||, qui est continue (par continuité de G), nes'annule jamais. Elle admet donc un minimum µ > 0 sur le compact Dn. Enchoisissant convenablement ε et P , on a que pour tout x ∈ Dn
||P (x)−G(x)|| < µ
En particulier, ceci nous donne que pour tout x ∈ Dn, P (x) 6= x. Si ça n'étaitpas le cas, alors on aurait un point x0 avec P (x0) = x0 tel que
||P (x0)−G(x0)|| = ||x0 −G(x0)|| < µ
ce qui est absurde car µ est le minimum de l'application ||G(x)− x|| sur Dn.Au nal, on a construit une application P : Dn → Dn lisse mais qui
n'admet pas de point xe, ce qui contredit le lemme précédent.
4 Le degré modulo 2
Dans cette partie nous allons développer les outils nécessaires à la com-préhension de ce que l'on appelera le degré modulo 2 d'une application. Ils'agit d'un invariant homotopique qui nous donne des informations sur uneapplication lisse entre variétés. Dans la section suivante on étendra cette no-tion aux variétés dites orientables pour avoir un outil bien plus n (i.e. àvaleur dans Z et pas dans 0, 1) : il s'agira du degré de Brouwer.
4.1 Homotopie
On va regarder, dans cette partie et la suivante, le rôle primordial duconcept d'homotopie dans la théorie des valeurs régulières.
Dénition 4.1.1 : Soit X une partie quelconque de l'espace euclidienRk, Y une partie quelconque de Rl.
On dit que deux applications lisses f, g : X → Y sont homotopes demanière lisse (notation : f ∼ g) si il existe une application lisse F : X ×[0, 1]→ Y telle que
F (x, 0) = f(x)
etF (x, 1) = g(x)
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Remarque 4.1.2 : L'aspect lisse d'une application f : X → Y entredeux parties X ⊂ Rk et Y ⊂ Rl peut être dénie comme suit : on dit quef est lisse si pour tout x ∈ X il existe un voisinage U ⊂ Rk de x et uneapplication lisse (entre ouverts) f : U → Rl qui coincide avec f sur U ∩X.
On aurait pu dans la section 1 dénir une application lisse entre variétéscomme une simple conséquence de cette dénition là. Cependant la dénitionchoisie est plus intrinsèque aux variétés car elle fait appel aux cartes. Onremarquera que ces deux versions sont (bien heureusement) compatibles entreelles.
Proposition 4.1.3 : La relation d'homotopie lisse est une relation d'équi-valence.
Preuve :
• Réexivité : On a bien f ∼ f , en eet il sut de prendre F (x, t) = f(x)pour tout t ∈ [0, 1]. Comme f est lisse F l'est aussi.• Symétrie : Supposons f ∼ g, et soit F l'homotopie entre f et g. Alors
G(x, t) = F (x, (1− t))
est une homotopie lisse entre g et f . En eet G(x, 0) = F (x, 1) = g(x),G(x, 1) = F (x, 0) = f(x), et G est lisse car F l'est et l'application 1 − t :[0, 1]→ [0, 1] l'est aussi.• Transitivité : Ce point recquiert un peu plus de soin. Supposons f ∼ g
par une homotopie F , et g ∼ h par une homotopie G. Considérons uneapplication lisse (dont nous admettrons l'existence) :
φ : R → R
t 7→
0 t ≤ 1/4
1 t ≥ 3/4
Alors l'application
H : M × [0, 1] → N
(x, t) 7→
F (x, φ(2t)) 0 ≤ t ≤ 1/2
G(x, φ(2t− 1)) 1/2 ≤ t ≤ 1
est une application lisse M × [0, 1] → N , et de plus c'est une homotopieentre f et h : en eet elle vaut f pour tout t ∈ [0, 1/8], et vaut h pour toutt ∈ [7/8, 1].
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Lemme 4.1.4 : Soient f, g : M → N lisses entre variétés lisses de mêmedimension avec f ∼ g. De plus on suppose M compacte et sans bord. Soity ∈ N une valeur régulière pour f et g. Alors
#f−1(y) ≡ #g−1(y)[2]
Preuve : L'énoncé a bien un sens. En eet une telle valeur régulière doitbien exister, par le théorème 2.4.1 (plus précisement le corollaire 2.4.2). Soitalors F : M × [0, 1] → N l'homotopie lisse entre f et g. On va distinguerdeux cas :• Cas 1 : y est valeur régulière de F . Alors F−1(y) est une variété lisse,
compacte (par compacité de M et [0, 1]) de dimension
dim(M) + dim([0, 1])− dim(N) = 1
dont le bord est
∂(F−1(y)) = F−1(y) ∩ ∂(M × [0, 1])
= F−1(y) ∩ (M × 0 ∪M × 1)
= (F−1(y) ∩M × 0) ∪ (F−1(y) ∩M × 1)
= (f−1(y)× 0) ∪ (g−1(y)× 1)
d'où#∂(F−1(y)) = #f−1(y) + #g−1(y)
mais le théorème de classication 3.3.1.1 nous donne que le cardinal du bordd'une variété compacte de dimension 1 sera toujours un nombre pair. Ainsi
#f−1(y) + #g−1(y) = 0[2]
et#f−1(y) ≡ #g−1(y)[2]
• Cas 2 : y n'est pas valeur régulière de F . On a vu que la fonction "cardi-nal de l'image réciproque d'une valeur régulière" était localement constantesur les valeurs régulières. Ceci nous assure l'existence de voisinages V1, V2 ⊂ Nde y tels que :
∀y′ ∈ V1,#f−1(y′) = #f−1(y)
et∀y′ ∈ V2,#g
−1(y′) = #g−1(y)
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On arme que l'intersection V1∩V2 n'est pas vide. Soit alors z ∈ V1∩V2 unevaleur régulière de F (qui existe d'après le théorème 2.4.1). Alors on peut serammener au cas 1 : on a (mod 2)
#f−1(y) = #f−1(z) ≡ #g−1(z) = #g−1(z)
Le résultat suivant peut s'avérer utile.
Proposition 4.1.5 : Soit X une variété lisse et f, g : X → Sp desapplications lisses telles que pour tout x ∈ X, ||f(x) − g(x)|| < 2. Alorsf ∼ g.
Preuve : La condition ||f(x)− g(x)|| < 2 veut exactement dire que pourtout x ∈ X, f(x) et g(x) ne sont pas antipodaux (i.e. diamétralement opposéssur le cercle par rapport à l'origine). En particulier, pour tout t ∈ [0, 1], laquantité
tg(x) + (1− t)f(x)
ne s'annulera jamais : en eet cela reviendrait à ce que le segment paramétrisépar cette expression traverse l'origine, ce qui n'est possible que si f(x) et g(x)sont des points antipodaux. Ainsi l'application
F : X × [0, 1] → Sp
(x, t) 7→ tg(x)+(1−t)f(x)||tg(x)+(1−t)f(x)||
est bien dénie, à valeur dans Sp, et il s'agit d'une homotopie (F (x, 0) = f(x)et F (x, 1) = g(x)). Comme f, g, t, 1− t sont lisses, alors F est lisse et on a lerésultat.
Remarque 4.1.6 : Toute application lisse f : M → Rn est homotope àune constante c ∈ Rn. En eet, l'homotopie
F (x, t) = tf(x) + (1− t)c
convient. Une telle application est dite contractile. Dans ce cas le résultat estintuitivement évident : dans Rn, on a "la place" pour venir se contracter enun point.
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4.2 Isotopie
On reprend les conventions de la partie 4.1.
Dénition 4.2.1 : Soient f, g : X → Y des diéomorphismes. Alors f etg sont isotopes de manière lisse si il existe une homotopie lisse F entre f etg, et que pour tout t ∈ [0, 1] xé,
x 7→ F (x, t)
soit un diéomorphisme entre X et Y .
Lemme 4.2.2 : Soit N une variété lisse et connexe. Soit y, z ∈ Int(N).Alors il existe un diéomorphisme h : N → N isotope de manière lisse àl'identité tel que h(y) = z.
Preuve : Soit tout d'abord une application lisse φ : Rn → R qui soit nulleuniquement en dehors de la boule unité, i.e. telle que
∀x ∈ Rn, ||x|| < 1, φ(x) > 0
et∀x ∈ Rn, ||x|| ≥ 1, φ(x) = 0
(on admet l'existence d'une telle application). Considérons désormais, pourtout vecteur unitaire c de Sn−1, les équations diérentielles (pour i = 1, ..., n) :
dxidt
= ciφ(x1, ..., xn)
Le théorème de Cauchy-Lipschitz nous donne que pour tout x ∈ Rn, ceséquations ont une unique solution x = x(t) dénie sur R tout entier quirépondent à la condition initiale x(0) = x. Pour conserver le langage deschamps de vecteurs, on notera ces solutions x(t) = Ft(x) (avec F pour ot)pour une condition initiale x donnée. Un peu de géométrie diérentielle nousdonne que :
(i) Ft(x) est déni pour tout t ∈ R, x ∈ R et dépend de ces paramétresde manière lisse.
(ii) F0(x) = x (par unicité)(iii) Fs+t(x) = Fs Ft(x) (autrement dit, le champ de vecteur engendré
par les équations diérentielles est autonome) Observation : Ces 3 points
nous donnent que les Ft sont des diéomorphismes Rn → Rn. De plus, en
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faisant varier t, les Ft sont isotopes à l'identité par une isotopie lisse qui xetous les points en dehors de la boule unité. On note enn que par un bonchoix de c et t, le diéomorphisme Ft peut envoyer l'origine sur n'importequel point de la boule unité.
Considérons désormais une variété connexe N . On dénit une relationdéquivalence sur N comme suit : deux points x, y ∈ N seront dits "isotopes"si il existe une isotopie lisse qui envoie l'un sur l'autre. Il s'agit bien d'unerelation déquivalence. Soit y ∈ Int(N) : par dénition il existe un voisinage Ude y dans N qui soit diéomorphe à Rn. Cependant l'observation précédentenous donne l'existence d'un voisinage U ′ de y dans N tel que tout pointdans U ′ soit isotope à y. Ainsi les classes d'isotopie qui partitionnent N sontouvertes : par connexité de N , il ne peut y en avoir qu'une seule, ce quiachève la preuve.
4.3 Le degré modulo 2
Nous sommes désormais en mesure d'énoncer et prouver le résultat sui-vant. Soit f : M → N lisse entre variétés lisses, avecM compacte, sans bord,et N connexe.
Théorème 4.3.1 : Soient y, z ∈ N des valeurs régulières de f . Alors
#f−1(y) ≡ #f−1(z)[2]
Preuve : La démonstration de ce résultat fait appel aux deux lemmesprécédents (4.1.4 (homotopie) et 4.2.2 (isotopie)). Par le lemme d'isotopie4.2.2, il existe un diéomorphisme h : N → N isotope à l'identité tel queh(y) = z. Clairement, z est une valeur régulière de la composition h f . Deplus,
h f ∼ f
En eet, f ∼ Id, d'où hf ∼ Idf = f . Ainsi, d'après le lemme d'homotopie4.1.4,
#(h f)−1(z) ≡ #f−1(z)[2]
De plus, comme h est en particulier une bijection,
(h f)−1(z) = f−1 h−1(z) = f−1(y)
On a donc égalité des cardinaux :
#(h f)−1(z) ≡ #f−1(y)
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et#f−1(y) ≡ #f−1(z)[2]
ce qui achève la preuve.
Dénition 4.3.2 : On appelle cet entier mod 2 le degré modulo 2 de f,et on le note deg2(f).
Proposition 4.3.3 : deg2(f) ne dépend que de la classe d'homotopie def .
Preuve : Soit g homotope à f . Le théorème 2.4.1 (Sard) nous assurel'existence d'un y ∈ N qui soit une valeur régulière à la fois pour f et pourg. Par le lemme d'homotopie,
#f−1(y) ≡ #g−1(y)[2]
Mais par ce qui précède,
deg2(f) ≡ #f−1(y) ≡ #g−1(y) ≡ deg2(g)
Le degré modulo 2 ne dépend donc pas de la valeur régulière choisie, etc'est un invariant homotopique.
Remarque 4.3.4 : Une application constante c : M → M a une dié-rentielle identiquement nulle, donc elle n'admet pas de valeurs régulières. Ona alors deg2(c) = 0.
Remarque 4.3.5 : L'application identité Id : M → M est sa proprediérentielle et tous les points de M sont des valeurs régulières. De plus,deg2(Id) = 1.
Remarque 4.3.6 : En combinant les remarques 4.3.4 et 4.3.5, on obtientque l'application identité n'est pas homotope à une constante, car leurs degrésmodulo 2 sont diérents. Ceci est vrai car notre construction repose sur unevariété M qui est compacte. En eet, on a vu dans la remarque 4.1.6 qu'unetelle homotopie était possible dans le cas où l'application est à valeur dansRn (qui n'est pas compact !).
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5 Le degré de Brouwer
Dans cette partie on va géneraliser le degré modulo 2 en développant unenotion qui permet d'associer un entier à une application lisse entre varié-tés. Il s'agit d'une géneralisation de l'indice pour les courbes dans le plan.Conformément à l'intuition, un tel entier ne changera pas si l'on "déformecontinûment" l'application en question (formellement, si on regarde une ap-plication qui lui est homotope). Cet invariant puissant est un bon outil declassication, et a des applications surprenantes, en géométrie diérentiellepar exemple.
5.1 Rappels su l'orientation des espaces vectoriels
Considérons E, un R-espace vectoriel de dimension nie. On dénit unerelation d'équivalence sur l'ensemble des bases de E comme suit : si (ei)i et(e′i)i, avec i = 1, ..., n sont deux bases de E, alors elles sont équivalentes siet seulement si la matrice de passage entre ces deux bases a un déterminantpositif. Cette relation partitionne l'ensemble des bases de E en deux classesd'équivalence.
On appelle orientation sur un espace vectoriel (réel) le choix d'une deces deux classes, et on appelle espace vectoriel orienté un couple (E, e) où Eest un espace vectoriel, et e ≡ [e] est une classe d'équivalence de bases. Ondit que [e] est l'orientation de E. La base canonique dans Rn, par exemple,induit une orientation qu'on appelera orientation canonique sur Rn.
Remarque 5.1.1 : L'ordre des vecteurs dans la base considérée joue unrôle crucial dans l'orientation déterminèe par ladite base.
Dénition 5.1.2 : Considérons (E, e) et (E ′, e′) deux espaces vectorielsorientés de même dimension, et soit f : E → E ′ un isomorphisme. On dit quef préserve l'orientation si f(e) = e′. La cas écheant, on dit que f renversel'orientation.
5.2 Orientation des variétés
La question d'une orientation sur les variétés se pose directement par lebiais des espaces tangents qui ont une structure naturelle d'espace vectoriel(de manière informelle, on veut faire un choix "continu" d'orientation pourchaque espace tangent de la variété).
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Dénition 5.2.1 : Soit M une variété lisse de dimension M . Une orien-tation sur M est un choix continu d'une orientation (au sens de espacesvectoriels) de l'espace tangent TxM pour tout x ∈ M . On dit qu'un choixd'orientation est continu si pour tout x ∈M , il existe U voisinage de x dansM et une carte φ : U → V ⊂ Rm telle que la diérentielle dφ préserve l'orien-tation (au sens des espaces vectoriels) entre TyM et Tφ(y)V = Rm (muni dela base canonique) pour tout y ∈ U .
On peut faire une autre dénition de l'orientation, qui a l'avantage d'êtreuniverselle dans la mesure où elle ne fait appel qu'à la structure lisse de lavariété.
Dénition 5.2.2 : Soit M une variété lisse de dimension m. Soient(Uα, φα), (Uβ, φβ) deux cartes sur M telles que Uα ∩ Uβ 6= ∅. On considérel'application de transition τα,β : φα(Uα ∩ Uβ)→ φβ(Uα ∩ Uβ), avec
τα,β = φβ φ−1α
Il s'agit bien d'un diéomorphisme entre des ouverts de Rm. On dit que lavariété M est orientable s'il existe un atlas (Ui, φi)i sur M tel que toutesles applications de transition de cet atlas aient un jacobien positif en toutpoint : on l'appelle alors atlas positif. Un tel atlas A est dit maximal si on nepeut pas l'agrandir en ajoutant une carte lisse, c'est à dire que si (U, φ) estune carte sur M , alors (U, φ) ∈ A. Si un atlas positif existe, alors on peuttoujours construire un atlas positif maximal en considérant l'union de tousles atlas positifs.
On appelle orientation (lisse) sur la variétéM le choix d'un atlas maximalpositif. La donnée d'une variété lisse et d'un atlas maximal positif constitueune variété lisse orientée. On ommetra fréquemment l'atlas lorsque l'on par-lera de variété orientée.
Dénition 5.2.3 : Soient M et N des variétés lisses orientées de mêmedimension, et soit f : M → N un diéomorphisme. On dit que f préservel'orientation si pour tout x ∈ M , la diérentielle dxf : TMx → TNf(x)
préserve l'orientation (au sens des espaces vectoriels).
5.3 Orientation du bord
Si M est une variété à bord, il convient d'être un peu plus délicats dansle traitement de TMx si x ∈ ∂M .
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Soit donc M une m-variété compacte à bord. Soit x ∈ ∂M , et soit (U, α)une carte locale telle que α(y) = x, pour un y donné. Un vecteur tangentw à M en x s'écrit sous la forme w = dyα(v), où v = (a1, a2, ..., am) est unvecteur de Rm. Le choix de carte n'a pas d'importance (voir [4, III.5.19]). Ondistingue alors trois types de vecteurs tangents à M en x :
(1) L'espace des vecteurs tangents à ∂M qui n'est autre que T (∂M)x ⊂TMx, c'est à dire les vecteurs w = dyα(v) avec am = 0. Comme ∂M est unevariété de dimension m−1 il s'agit d'un espace vectoriel de dimension m−1.Cet hyperplan va scinder l'espace TMx en deux.
(2) Les vecteurs "sortants" de T (∂M)x, c'est à dire les vecteurs w =dyα(v) avec am < 0
(3) Les vecteurs "rentrants" T (∂M)x qui forment l'espace complémentaireà celui du dessus, c'est à dire les vecteurs w = dyα(v) avec am > 0
On peut faire la dénition suivante. Supposons m ≥ 2.
Dénition 5.3.1 (Orientation du bord) : Soit x ∈ ∂M . Soit (v1, v2, ..., vm)une base orientée positivement (i.e. de déterminant > 0) de TMx (en tantqu'espace vectoriel de dimension m) telle que les vecteurs (v2, ..., vm) soienttangents à ∂M et que v1 soit un vecteur "sortant". Alors l'orientation de ∂Mau point x est donnée par la base (v2, ..., vm). Cette convention du "premiervecteur sortant" sera gardée pour le reste du texte.
Remarque 5.3.2 : Si m = 1, l'orientation de ∂M au point x est donnéepar un vecteur vx de TMx : on lui donne l'orientation +1 si le vecteur est"sortant", et −1 si le vecteur est "rentrant".
Exemple 5.3.3 : On peut orienter la sphère unité Sm−1 ⊂ Rm en la
27
considérant comme le bord du disque unité :
∂(Dm) = Sm−1
La gure suivante montre comment orienter S1 considérée comme étant lebord du disque unité D2 ⊂ R2.
Exemple 5.3.4 : Soit M une variété lisse orientée sans bord, et soit I =[0, 1]. Pour tout x ∈ M , la base (v1, ..., vm) donne une orientation de TMx.Considérons la variété produit I ×M . Pour tout t ∈ I, la base (e1, v1, ..., vm)donne une orientation de
T (I ×M)(t,x) = R⊕ TMx
On a de plus que ∂(I ×M) = (0×M) ∪ (1×M). Alors le vecteur (e1, 0) ∈T (∂I ×M)(t,x) est "sortant" si t = 1 et "rentrant" si t = 0. Ainsi les orien-tations induites sur 0×M et 1×M sont opposées.
5.4 Degré d'une application lisse
Nous avons désormais tous les outils nécessaires pour faire la dénitionsuivante.
Dénition 5.4.1 : Soient M et N des n-variétés lisses, sans bord, etorientables. On supposeM compacte et N connexe. Soit également f : M →N une application lisse. Soit x ∈ M un point régulier tel que dfx : TMx →TNf(x) soit un isomorphisme entre espace vectoriels de dimension n. Ondénit le signe sgn de dfx comme étant égal à 1 si dfx préserve l'orientationet −1 sinon. Alors pour toute valeur régulière y ∈ N , on pose :
deg(f ; y) =∑
x∈f−1(y)
sgn(dfx)
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qui est le dégré de Brouwer l'application f au point y. Comme #f−1 estlocalement constante sur les valeurs régulières, alors deg(f ; y) l'est aussi (voir[4, V.4.3])
Le résultat principal qui rend cet outil aussi intéressant est le suivant :deg(f ; y) ne dépend pas de la valeur régulière y choisie. On parlera alorssimplement de deg(f). De plus, le degré est invariant par homotopie lisse.Pour prouver ces résultats on va énoncer et démontrer les lemmes qui suivent.
Lemme 5.4.2 : Supposons que M soit le bord d'une variété compacte etorientable X, et que M soit orientée en tant que bord de X comme on l'a vuprécedemment. Soit f : M → N lisse. Si il existe F : X → N lisse telle queF |M = f , alors deg(f ; y) = 0 pour toute valeur régulière y ∈ N .
Preuve : On va dénommer toutes les orientations que l'on utilise. Consi-dérons donc une orientation π de X qui induise une orientation µ sur lebord M = ∂X avec les conventions de la dénition 5.3.1. Soit y une valeurrégulière de F et de f = F |M . D'après la proposition 3.2.7, F−1(y) est une va-riété à bord de dimension 1, c'est à dire, d'après le théorème de classication3.3.1.1, une réunion d'arcs et de cercles. De plus les cercles sont contenusdans X\M , et les extremités des arcs sont dans M . Soit A un tel arc, etnotons ∂A = a, b. On va montrer dans un premier temps que
sgn(daf) + sgn(dbf ) = 0
Pour tout x ∈ A, d'après la proposition 3.1.3, on a
TxA = ker(dxF )
où dxF : TXx → TNy. De plus pour on peut restreindre cette applicationà n'importe quel sous-espace supplémentaire pour en faire un isomorphismed'espaces vectoriels. Soit donc x ∈ A, et considérons une base
[v1(x), v2(x), ..., vn+1(x)]
de TXx telle que :- v1(x) ∈ TAx et ||v1(x)|| = 1- [v1(x), ..., vn+1(x)] détermine une orientation de X en x, que l'on notera
πx.-[dxF (v2(x)), ..., dxF (vn+1(x))] donne une orientation de N en y, que l'on
notera εy.
29
On a alors que le champ de vecteurs v1(x)x∈A donne une orientation deA. De plus, d'après la proposition 3.2.7, on a que
TXa = TAa ⊕ TMa
etTXb = TAb ⊕ TMb
donc v1(a) et v1(b) sont des vecteurs tangents à X. Sans perte de géneralitéon suppose que v1(a) soit sortant. Alors v1(b) est rentrant et
[v2(a), ..., vn+1(a)]
et[v2(b), ..., vn+1(b)]
déterminent des orientations que l'on notera respectivement µa et µb. D'aprèsla dénition 5.3.1 (la convention du premier vecteur sortant), les orientationsµa et µb sont contraires. De plus, comme
daf = daF |TMa
etdbf = dbF |TMb
on a que daf envoie l'orientation µa sur l'orientation εa et dbf envoie l'orien-tation µb sur l'orientation εb. Cependant les orientations εa et εb sont lesmêmes, alors que µa et µb sont opposées. On a donc forcément que
sgn(daf) = −sgn(dbf)
et le résultat suit.Notons maintenant A1, ..., Ak tous les tels arcs de F−1(y). On a ∂Ai =
ai, bi, et pour tout i, v1(bi) sera sortant et v1(ai) sera rentrant. En sommantsur tous ces arcs, et par ce qui précède, on a
deg(f ; y) =k∑i=1
sgn(dfai) +k∑i=1
sgn(dfbi) = 0
Considérons maintenant le cas de y0 ∈ N qui soit une valeur régulière pourf mais pas pour F . L'application deg(f ; y) est constante sur un voisinage Ude y0, donc
deg(f ; y0) = deg(f ; y)
30
En choisissant une valeur régulière y de F dans U (qui existe d'après lethéorème 2.4.1) on peut se rammener au premier cas, et
deg(f ; y0) = deg(f ; y) = 0
ce qui achève la preuve.
Supposons désormais f ∼ g, et soit F : [0, 1]×M → N l'homotopie lisseentre f et g.
Lemme 5.4.3 : Pour toute valeur régulière y ∈ N de f et g, on a
deg(g; y) = deg(f ; y)
Preuve : Considérons la variété (à bord) produit [0, 1]×M . Alors
∂([0, 1]×M) = (0×M) ∪ (1×M)
Posons h = F |∂([0,1]×M). On remarque que h|M×0 = f , et que h|M×1 = g. Enparticulier, le lemme 5.4.2 nous donne que deg(h, y) = 0. De plus, on a déjàvu en 5.3.4 que l'orientation induite sur le bord de [0, 1] ×M est telle que1×M et 0×M aient des orientations opposées. On a alors
deg(h, y) = deg(f, y)− deg(g, y) = 0
et le résultat suit
Théorème 5.4.4 : L'entier deg(f ; y) ne dépend pas du choix de la valeurrégulière y.
Preuve : On raisonne comme dans la section 4 : soient y, z deux valeursrégulières pour f : M → N . Alors il existe un diéomorphisme h : N → Nisotope à l'identité tel que h(y) = z. Comme l'identité préserve l'orientation,par le lemme précédent h doit la préserver aussi. En particulier il n'inuencepas le degré :
deg(f ; y) = deg(h f ;h(y))
Cependant on a f ∼ h f et h(y) = z donc par le lemme précédent
deg(h f ; z) = deg(f ; z)
Ainsi,deg(f ; y) = deg(f ; z)
31
et on a le résultat.
Ceci implique en outre le résultat suivant.
Théorème 5.4.5 : Si f ∼ g, alors deg(f) = deg(g).
Preuve : Par le lemme qui précède, si f ∼ g, on a deg(g; y) = deg(f ; y)pour toute valeur régulière commune y. Mais le théorème précédent nousdonne que deg(f ; y) et deg(g; y) ne dépendent pas de y, d'où deg(g) = deg(f).
L'indépendance vis-à-vis du choix de valeur régulière rend la manipulationdu degré bien plus souple. On a par exemple le résultat suivant.
Proposition 5.4.6 : deg(g f) = deg(g)deg(f)
Preuve : Notons que l'application sgn est multiplicative : en eet elle nedépend que du jacobien, et le déterminant est lui-même multiplicatif. On aalors
deg(g f) =∑
x∈f−1g−1(y)
sgn(d(g f)x)
=∑
x∈f−1g−1(y)
sgn(dgf(x) dfx)
=∑
x∈f−1g−1(y)
sgn(dgf(x))sgn(dfx)
=∑
z∈g−1(y)
∑x∈f−1(z)
sgn(dgf(x))sgn(dfx)
=∑
z∈g−1(y)
∑x∈f−1(z)
sgn(dgz)sgn(dfx)
=∑
z∈g−1(y)
sgn(dgz)∑
x∈f−1(z)
sgn(dfx)
= deg(g)deg(f)
Le passage entre les deux dernières lignes étant bien sûr dû au fait que ledegré ne dépend pas de la valeur régulière choisie.
Remarque 5.4.7 : Un diéomorphisme f : M → N aura toujours degré+1 ou −1 (car c'est une bijection), en fonction de si il préserve ou change
32
l'orientation. En particulier ceci implique qu'un diéomorphisme d'une va-riété lisse et sans bord qui change l'orientation ne peut pas être lissementhomotope à l'identité (car le degré est invariant par homotopie, et +1 6= −1).
Exemple 5.4.8 : La réexion ri : Sn → Sn donnée par
ri(x1, ..., xn+1) = (x1, ...− xi, ..., xn+1)
est un diéomorphisme de degré −1.
Exemple 5.4.9 : L'application antipodale a : Sn → Sn donnée par
(x1, ..., xn+1) 7→ (−x1, ...,−xn+1)
peut-être réecrite comme la composition de n+ 1 réexions ri. En eet
r1 ... rn+1(x1, ..., xn+1) = (−x1, ...,−xn+1)
En particulier, la proposition 5.4.6 nous donne que
deg(a) =n+1∏i=1
deg(ri) = (−1)n+1
On a alors le résultat suivant.
Proposition 5.4.10 : Si n est un entier pair, alors l'application antipo-dale a : Sn → Sn n'est pas homotope à l'identité.
Preuve : Si n est pair, alors deg(a) = (−1)2k+1 = −1, mais deg(Id) = 1.Le degré étant invariant par homotopie on a le résultat.
Le jeu sur l'application antipodale/points antipodaux s'avère être d'unegrande richesse. On a par exemple le théorème du point xe suivant (on peutfaire le lien avec le théorème de Brouwer entre Dn et lui-même).
Théorème 5.4.11 : Soit f : Sn → Sn une application lisse. Si deg(f) 6=(−1)n+1, alors f admet un point xe.
Preuve : On va montrer la contraposée. Supposons alors que f n'admettepas de point xe. Notons a l'application antipodale a : Sn → Sn. D'après laproposition 4.1.5, on a f ∼ a car pour tout x ∈ Sn,
||f(x)− a(x)|| = ||f(x)− (−x)|| < 2
33
En eet si ça n'était pas le cas, il existerait un x0 ∈ Sn tel que
||f(x0)− (−x0)|| = 2
ce qui revient à dire que f(x0) = x0 car seul les points antipodaux ont cettepropritété : ceci contredit l'hypothèse selon laquelle f n'a pas de point xe.Ainsi f et a sont homotopes. En particulier
deg(f) = deg(a) = (−1)n+1
On a également la proposition suivante. La démonstration est particuliè-rement enrichissante.
Proposition 5.4.12 : Soit f : Sn → Sn une application lisse de degréimpair. Alors f envoie une paire de points antipodaux sur une autre paire depoints antipodaux, autrement dit il existe x ∈ Sn tel que f(x) = −f(−x).
Preuve : On montre la contraposée. Supposons qu'aucune paire antipodalesoit envoyée sur une autre paire antipodale, i.e. f(x) 6= −f(−x) pour toutx ∈ Sn. Clairement
||f(x)− f(−x)|| < 2
et on a déjà vu en 4.1.5 que ceci impliquait l'existence d'une homotopie lisseentre f(x) et f(−x) de la forme
F (x, t) =tf(x) + (1− t)f(−x)
||tf(x) + (1− t)f(−x)||On remarque de plus que en t = 1/2, on a
F (x, 1/2) =f(x) + f(−x)
||f(x) + f(−x)||= g(x)
Soit y une valeur régulière de g. Par symétrie, si x ∈ g−1(y), alors −x ∈g−1(y). Ainsi les points réguliers de g viennent par paires. On a alors que
deg(g; y) =∑
x∈g−1(y)
sgn(dgx) ≡ 0[2]
En eet le cardinal de g−1(y) sera pair, et sommer un nombre pair de +1 etde −1 donnera un nombre pair, d'où deg(g) ≡ 0[2]. En particulier, comme
f(x) ∼ g(x) ∼ f(−x)
, on a deg(f) = deg(g), et f est de degré pair.
34
5.5 Théorème de la boule chevelue
Comme application directe de cette théorie on va démontrer une versionplus faible du théorème de la boule chevelue, qui stipule que Sn admet unchamp lisse de vecteurs tangents, non-nuls, si et seulement si n est impair (lerésultat classique suppose le champ seulement continu).
On rappelle qu'un champ lisse de vecteurs tangents sur une variétéM estune application lisse v : M → Rk qui à chaque x ∈ M associe un élementv(x) ∈ TMx. On a déjà décrit en exemple TMx si M = Sn. Dans ce cas, quiest celui qui nous intéresse, cette condition équivaut donc à
∀x ∈ Sn, 〈v(x), x〉 = 0
Si v(x) est non-nul pour tout x ∈ Sn, on peut supposer, sans perte de géné-ralité que
〈v(x), v(x)〉 = ||v(x)||2 = 1
En eet on aurait toujours pu se rammener à un champ de vecteurs v(x) =v(x)||v(x)|| qui répondrait également aux hypothèses.
Considérons alors v comme étant une application lisse Sn → Sn. On posel'application
F : Sn × [0, π] → Sn
(x, θ) 7→ xcos(θ) + v(x)sinθ
Clairement, F (x, 0) = x et F (x, π) = 1. De plus,
〈F (x, θ), F (x, θ)〉 = 〈xcos(θ) + v(x)sinθ, xcos(θ) + v(x)sinθ〉= 〈xcos(θ), xcosθ〉+ 2〈v(x)sin(θ), xcos(θ)〉+ 〈v(x)sin(θ), v(x)sin(θ)〉= ||xcos(θ)||2︸ ︷︷ ︸
= ||cos(θ)2|| car x ∈ Sn
+ 2〈v(x)sin(θ), xcos(θ)〉︸ ︷︷ ︸= 0 car 〈v(x), x〉 = 0
+ ||v(x)sin(θ)||2︸ ︷︷ ︸= ||sin(θ)||2 car ||v(x)|| = 1
= ||cos(θ)||2 + ||sin(θ)||2
= 1
On a donc construit une homotopie entre l'application antipodale a : Sn →Sn et l'identité. Cependant nous avons vu (Proposition 5.4.10) que pour npair ceci était impossible, donc un tel champ de vecteurs v ne peut pas exister.
Réciproquement si n = 2k−1 est impair, on peut expliciter un tel champde vecteurs. En eet, pour x = (x1, ...x2k),
v(x1, ..., x2k) = (x2,−x1, x4,−x3, ..., x2k,−x2k−1)
35
répond bien à nos attentes. On vérie sans peine que
〈v(x), x〉 = x2x1 − x1x2 + x3x4 − x4x3 + ...+ x2kx2k−1 − x2k−1x2k
= 0
et que, comme (x1, ..., x2k) ∈ Sn,
〈v(x), v(x)〉 =2k∑i=1
x2i
= 1
Ce qui achève la preuve.
6 Cohomologie de De Rham et théorie du degré
On peut dénir dans le langage des formes diérentielles une autre versiondu degré, qui s'exprime en tant que facteur de "renormalisation" de l'intégraled'une forme
∫Yα par rapport l'intégrale du pullback de ladite forme
∫Xf ∗α,
où f : X → Y est lisse. En fait, ces deux dénitions sont équivalentes : c'estce que l'on va montrer dans cette partie.
Sont supposées connues les notions de base sur les formes diéren-tielles et les théorèmes associés (ex : Stokes).
6.1 Espaces de De Rham
On utilisera les notations suivantes dans toute la suite. Pour une variétélisse X, :
- Ωk(X) est l'espace vectoriel des formes diérentielles de degré k sur X- F k(X) est l'espace vectoriel des formes fermées de degré k- Ek(X) est l'espace vectoriel des formes exactes de degré k
Dénition 6.1.1 : On appelle le quotient
Hk(X) = F k(X)/Ek(X)
le k-ième espace de cohomologie (de De Rham) de X.
Remarque 6.1.2 : Si X est compacte , les Hk(X) sont de dimensionnie. La preuve requiert des notions plus techniques (on pourra se référer à[5]).
36
6.2 Résultats d'intégration
Les résultats suivants, que l'on admettra pour la plupart, vont s'avéreressentiels par la suite. On trouvera les preuves dans [3, 7.3-7.4].
Théorème 6.2.1 : Soit une forme α ∈ Ωn(Rn) à support compact. Pourque α admette une primitive (i.e. α est exacte) à support compact, il faut etsut que ∫
Rnα = 0
Lemme 6.2.2 : Soit U un ouvert quelconque d'une variété orientée X.Alors il existe une forme σ ∈ Ωn(X), avec supp(σ) ⊂ U , et telle que∫
X
σ = 1
Théorème 6.2.3 : Soit X une variété lisse compacte, connexe et orientéede dimension n. Alors α ∈ Ωn(X) est exacte si et seulement si∫
X
α = 0
Théorème 6.2.4 : Soit X une variété lisse compacte, connexe et orientéede dimension n. Alors après avoir xé une orientation sur X, l'applicationΩn(X)→ R
α 7→∫X
α
induit par passage au quotient un isomorphisme entre Hn(X) et R. En par-ticulier, Hn(X) est de dimension 1.
Preuve : On va montrer l'isomorphisme. Le théorème de Stokes nousdonne que α 7→
∫Xα passe au quotient. Le lemme 6.2.2 nous dit que cette
application est surjective : chaque élement λ de R est l'intégrale d'une telleforme (à facteur multiplicateur λ près). Enn, si
∫Xα =
∫Xβ, alors∫
X
(α− β) = 0
et le théorème 6.2.3 nous donne que α−β est exacte. Par passage au quotienton a [α− β] = [0], i.e. [α] = [β] d'où l'injectivité.
37
Proposition 6.2.5 : On garde les hypothèses de 6.2.4. Soit σ ∈ Ωn(X),et on suppose que supp(σ) soit inclus dans un ouvert d'une des cartes de X,avec de plus
∫Xσ = 1. Alors il existe β ∈ Ωn−1(X) et t ∈ R tels que
α− tσ = dβ
De plus,
t =
∫x
α
6.3 Degré d'une application
Pour des formes f, g ∈ Ωn(X), on remarque que :
(g f)∗ = f ∗ g∗
etf ∗ d = d f ∗
On peut alors énoncer la
Proposition 6.3.1 :Soient X, Y, Z des variétés lisses et f : X → Y ,g : Y → Z des applications lisses. Alors pour tout k ∈ N, le pullback
f ∗ : Ωk(Y )→ Ωk(X)
envoie F k(Y ) sur F k(X), Ek(Y ) sur Ek(X), et passe au quotient en uneapplication linéaire
hk(f) : Hk(Y )→ Hk(X)
De plus,hk(g f) = hk(f) hk(g)
Remarque 6.3.2 : Si f est un diéomorphisme, hk est un isomorphisme.
On a alors la dénition/proposition suivante :
Proposition 6.3.3 (Degré d'une application) : Soient X, Y des va-riétés lisses compactes, connexes et orientées de même dimension n. Soit
38
f : X → Y une application lisse. Alors il existe un réel que l'on noteradeg(f), et tel que
∀α ∈ Ωn(Y ),
∫X
f ∗α = deg(f)
∫Y
α
On appelle deg(f) le degré de l'application f
Preuve : Choisissons une forme σ ∈ Ωn(Y ) telle que∫Yσ = 1. On sait
dáprès 6.2.5 qu'il existe β ∈ Ωn−1(Y ) telle que
α−(∫
Y
α
)σ = dβ
Alors en prenant le pullback f ∗
f ∗α−(∫
Y
α
)f ∗σ = f ∗(dβ) = d(f ∗β)
Puis en intégrant ∫X
f ∗α =
(∫Y
α
)(∫X
f ∗α
)et
deg(f) =
∫X
f ∗α
On se propose de démontrer le résultat fondamental suivant :
Théorème 6.3.4 (Équivalence des degrés) : Le degré de Brouwerdéni en 5.4.1 et le degré cohomologique déni en 6.3.3 sont les mêmes.
Preuve : On reprend encore une fois la construction de 2.2.2. Soit y unevaleur régulière de f : alors #f−1(y) est ni, i.e. f−1(y) = x1, x2, ..., xk etil existe un voisinage V de y tel que
f−1(V ) = ∪ki=1Ui
où les Ui sont des voisinages deux à deux disjoints des xi. On a également quef |Ui est un diéomorphisme sur V . Considérons alors une forme σ ∈ Ωn(Y )(avec n = dim(Y )), avec supp(σ) ∈ V , et telle que∫
Y
σ =
∫V
σ = 1
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Une telle forme existe par 6.2.2. On remarque maintenant que
deg(f) =
∫X
f ∗σ =k∑i=1
∫Ui
f ∗σ
Mais ∫Ui
f ∗σ = ±∫V
σ = ±1
en fonction de si f |Ui préserve ou renverse l'orientation. Dans le cas où yn'appartient pas à f(X), on refait la preuve avec σ telle que supp(σ) ⊂(V \f(X)), et dans ce cas f ∗σ = 0.
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Références
[1] John Milnor, Topology from the Dierentiable Viewpoint, Princeton Uni-versity Press, Princeton, New Jersey, Revised Edition, 1997
[2] John M. Lee, Introduction to Smooth Manifolds , Springer, GraduateTexts in Mathematics, Second Edition, 2013
[3] Jacques Lafontaine, Introduction aux variétés diérentielles, EDPSciences, Collection Grenobles Sciences, Nouvelle Édition, 2010
[4] Jean-Yves Le Dimet, Géométrie et topologie diérentielles, Vuibert, 2008
[5] Raoul Bott, Loring W. Tu, Dierential Forms in Algebraic Topology,Springer, 1982
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