Électrocinétique - Mécanique · 2. La tension d’entrée est sinusoïdale ve(t) = Asinωt. Déterminer la décompo-sition de Fourier du signal de sortie. On rappelle sin(3x) =

Préparation Oral 1

Électrocinétique - Mécanique

1. Écoutes téléphoniques - RP -

Certaines communications téléphoniques sont surveillées, mais ces enregistre-

ments sont perturbés par les systèmes d’acquisition branchés sur le secteur.

Proposez un système permettant d’améliorer la qualité des enregistrements. Ca-

librer ce système.

Exemple de correction d’un enregistrement (fichier avant et après correction) :

2. Distorsion harmonique

Un signal sinusoïdal est appliqué à l’entrée d’un système à caractéristique statique

cubique :

vs = 2ve −2

15v3e (V)

1. Représentez la caractéristique statique du système non-linéaire vs = f(ve).

2. La tension d’entrée est sinusoïdale ve(t) = A sinωt. Déterminer la décompo-

sition de Fourier du signal de sortie.

On rappelle sin (3x) = 3 sinx− 4 sin3 x.

3. Quelle est l’amplitude maximale de la tension d’entrée qui conduit en sortie à

des harmoniques dont l’amplitude est au plus 100 fois plus faible que celle du

fondamental ?

3. Domaines intégrateur et dérivateur

On considère deux filtres dont les fonctions de transfert sont données par :

H1 =1

(

1 + jω

ω1

)(

1 + jω

ω2

) et H2 =

(

jω

ω2

)2

(

1 + jω

ω1

)(

1 + jω

ω2

)

où ω1 = 200π rad · s−1 et ω2 = 105π rad · s−1.

1. De quels types sont ces deux filtres ?

2. Étudier l’existence pour chacun d’eux d’un domaine intégrateur ou dérivateur.

4. Nature d’un filtre BEOS MP PETITES MINES 16

On considère le circuit suivant en régime sinusoïdal.

e(t) C

uc

L r

R

Donner l’expression de la fonction de transfert définie par H =uc

e. L’écrire sous

la forme suivante :

H =1 + jτω

1 + jQω

ω0−

ω2

ω20

en précisant les expressions de τ , ω0 et Q.

Quelle est la nature du filtre ainsi constitué ?

5. Filtrage par un passe-bande

On règle un générateur de basse fréquences pour qu’il délivre un signal "rampe"

de période Ts = 1 ms tel que :

e(t) =2E0t

Tspour −

Ts

26 t 6

Ts

2,

Préparation à l’oral : fiche 1 Saint-Exupery 2017-2018 1

avec E0 = 5 V. On donne la décomposition en série de Fourier de ce signal :

e(t) = E0

∞∑

n=1

(−1)n+1

nπsin(nωst) avec ωs =

2π

Ts

.

1. Expliquer l’absence de terme constant dans cette expression et commenter le

fait que l’amplitude des composantes sinusoïdales soit proportionnelle à1

n.

2. On envoie e(t) dans un filtre de fonction de transfert

H(jω) =

jω

Qωr

1 + jω

Qωr−

ω2

ω2r

,

avec Q = 10 et ωr variable.

Donner une approximation du signal de sortie dans les trois cas :

(a) ωr = 6, 28.103 rad · s−1,

(b) ωr = 3, 14.104 rad · s−1,

(c) ωr = 6, 28.102 rad · s−1.

Indication : Dans un des cas, on peut utiliser un comportement intégrateur

ou dérivateur.

6. Pont électronique

On considère le montage ci-contre. La capacité

C et la résistance r′ sont réglables et réglés de

telle façon qu’on ne mesure aucune différence de

potentiel au niveau du millivoltmètre. On note Z

l’impédance de la branche AB et Z ′ celle de la

branche ED.

r

r'

R

R'

L

C

E

B

A D

e

mV

1. Déterminer UAB en fonction de Z, R′ et e.

2. Déterminer UAE en fonction de Z ′, R et e.

3. Déterminer une relation entre Z, Z ′, R et R′.

4. Déterminer l’impédance L de la bobine en fonction de ω et d’autres para-

mètres.

7. Clôture électrique

Il est rappelé que la résistance d’un fil de longueur l, de section uniforme s et de

résistivité ρ est donnée par la relation R = ρl

s.

On cherche à protéger une vache par une clôture électrique, modélisée par un fil

de longueur L = 500 m, de section s = 2, 0 mm2, et de conductivité σ = 1/ρ =

1, 0.107 S ·m−1.

On met la borne positive d’un générateur de f.é.m U0 au contact du point A, et

dans un premier temps, B n’est relié à rien (voir figure). L’herbe relie régulière-

ment le fil au sol (= équipotentielle), ce qui crée un courant de fuite et rajoute

une conductance gf entre le sol et le fil, par unité de longueur de fil suivant x.

1. La clôture est disposée selon l’axe (Ox). En considérant une portion de fil

[x, x + dx], déterminer le système d’équations différentielles vérifiées par la

tension U(x) et l’intensité i(x) le long du fil.

2. Résoudre ce système différentiel. Déterminer la valeur maximale de gf pour

que le potentiel tout au long du fil ne devienne pas inférieur à 50% du potentiel

en A.


8. Principe simplifié d’un analyseur de spectre analogique

Le schéma fonctionnel d’un analyseur de spectre analogique est représenté sur la

figure précédente. Il comprend :

— un oscillateur commandé en tension (OCT) fournissant un signal vOCT(t)

sinusoïdal dont la fréquence dépend linéairement d’une tension appliquée ;

— un générateur de rampe fournissant le signale en dent de scie vr(t) de

période Trampe qui pilote l’OCT ainsi que le balayage horizontal d’un

oscilloscope ;

— un multiplicateur dont le signal de sortie p(t) est égal au produit des deux

signaux d’entrée multiplié par une constante k ;

— un filtre F2, passe-bande très sélectif, de facteur d’amplification dans sa

bande passante égal à G0, de fréquence centrale F0, dont la bande pas-

sante a une largeur ∆f ;

— un détecteur de crête dont on admettra qu’il fournit une tension égale à

l’amplitude du signal qu’il reçoit ;

— un filtre F1, passe-bas qui élimine les fréquences supérieures à une fré-

quence Fm et qui a un gain égal à 1 dans sa bande passante.

Le signal s(t) à analyser a une fréquence fs.

On suppose que ∆f ≪ fs ≪ Fm < F0, sachant que a ≪ b signifie ici 10a < b.

La fréquence FOCT de l’OCT varie entre F0 et F0 + Fm ; son amplitude a une

valeur constante AOCT. On a de plus : Trampe ≫1

∆f.

1. Quelles sont les fréquences présentes dans les spectres des signaux s(t), sf (t)

et p(t) ?

2. Montrer que le signal a(t) en sortie du détecteur de crête, est non nul seule-

ment si FOCT est proche de certaines fréquences. Quelles sont les valeurs des

maxima par lesquels passe ce signal ?

3. En déduire qu’on observe sur l’écran de l’oscilloscope une série de pics repré-

sentant le spectre de s(t).

9. Modulation d’amplitude

Un signal, que nous supposons d’abord sinusoïdal vm(t) = Vm cosωmt, module la

porteuse vp(t) = Vp cosωpt fournie par un oscillateur sinusoïdal haute fréquence

dont la fréquence d’oscillation fp =ωp

2π, avec fp ≫ fm =

ωm

2π, est particu-

lièrement stable. La modulation s’effectue à l’aide d’un circuit comprenant un

multiplieur de constante multiplicative k et un additionneur.

1. Montrer que le signal modulé peut se mettre sous la forme :

v(t) = Vp[1 +m cos(ωmt)] cos(ωpt),

où m est l’indice de modulation, que l’on précisera.

2. Afin de mesurer l’indice de modulation du signal porteur, on réalise les deux

oscillogrammes représentés ci-après.


Quels sont les modes de l’oscilloscope utilisés pour la réalisation de chacun de

ces oscillogrammes ? Exprimer l’indice de modulation en fonction des tensions

extrêmes V1 = 2 V et V2 = 18 V, et le calculer numériquement.

3. Déterminer le spectre de fréquences du signal modulé v(t) et le représenter.

En déduire, pour ce type de modulation, la largeur du spectre de fréquence

nécessaire à la transmission d’un signal sinusoïdal de fréquence fm.

4. Plus généralement, le signal de modulation occupe une plage de fréquences

[fm1, fm2].

Représenter le spectre de fréquences du signal modulé. En radiodiffusion

fm1 = 300 Hz et fm2 = 4, 5 kHz, quelle est la largeur de la plage de fré-

quences occupée par le signal modulé ? Quel écart minimal de fréquence ∆fmin

doit-il exister entre les fréquences des porteuses des deux émetteurs pour que

leurs émissions ne soient pas mutuellement brouillées ?

10. Filtre numérique passe-haut du premier ordre

Établir la relation de récurrence permettant de calculer sk+1 (signal de sortie)

pour le filtre dont la fonction de transfert est donnée par :

H(j2πf) = G0

jf

fc

1 + jf

fc

.

⋆ Mécanique

11. 2001 - L’Odysée de l’espace - RP -

Dans le film "2001 l’odyssée de l’espace" de Stanley Kubrick, un vaisseau spatial

constitué d’un tore de rayon R tourne autour de son axe Oz avec une vitesse

angulaire ~Ω = ω.~ez constante dans un référentiel galiléen.

À gauche : affiche du film où l’on voit le vaisseau spatial et schéma (à droite) du

vaisseau.

1. Alors qu’ils sont loin de toute planète, les astronautes vivent dans le tore

comme sur Terre : ils sont soumis à une gravité artificielle. Évaluer les valeurs

numériques de R et de ω pour que les astronautes subissent une gravité

artificielle de valeur g = 9, 81 m · s−2, à 10% près entre les pieds et la tête.

2. Dans une des scènes du film, un astronaute (Poole) fait un jogging dans

le tore. Expliquer pourquoi il peut être très fatigant pour Poole de courir

dans la station spatiale (on choisira des valeurs numériques pour illustrer le

raisonnement). Le sens choisi pour faire le footing est-il important ?

12. Chute d’un arbre

On assimile un arbre à une tige longue et homogène de longueur L et de masse

m. On le scie à sa base et l’arbre bascule en tournant autour de son point d’appui

O sur le sol. On suppose que le point d’appui reste fixe et ne glisse pas, et on

repère la position de l’arbre par l’angle θ qu’il fait avec la verticale. À t = 0,

l’arbre fait un angle θ0 = 5 avec la verticale et est immobile.


On donne le moment d’inertie par rapport à son extrémité : J =1

3mL2.

1. Établir l’équation du mouvement de chute de l’arbre.

2. Montrer que, lorsque l’arbre fait un angle θ avec la verticale, sa vitesse angu-

laire vaut

θ =

√

3g

L(cos θ0 − cos θ).

3. En réécrivant cette relation sous la forme

√

3g

Ldt =

dθ√cos θ0 − cos θ

, déter-

miner le temps de chute d’un arbre de 30 m. On prendra g = 10 m · s−2.

On donne l’intégrale suivante, pour θ0 = 5 :

∫

π

2

θ0

dθ√cos θ0 − cos θ

= 5, 1.

13. La physique de la tartine beurrée

Pourquoi les tartines beurrées tombent-elles toujours du côté du beurre (ou pire,

du côté confiture, qui est en général le même que celui du beurre d’ailleurs) ?

On imagine une tartine homogène (longueur 2a,

largeur 2b, épaisseur 2e et masse m) posée sur

une table. Par un geste caractéristique de la mal-

adresse matinale, la tartine est poussée lente-

ment vers le bord de la table. Quand le milieu

de la tartine atteint le bord O, la tartine amorce

une rotation autour de l’arête horizontale (Oy).

On note θ l’angle entre la tartine et l’horizontale

(voir figure ci-contre avec la tartine géante pour

mieux comprendre).

On donne également le moment d’inertie de la tartine selon (Oy) : J(Oy) =1

3m(a2 + 4e2).

1. À l’aide d’une approche énergétique, exprimer θ en fonction de θ, ainsi que θ

en fonction de θ.

2. Retrouver l’expression de θ en fonction de θ à l’aide d’un théorème de dyna-

mique.

3. La tartine se met à glisser pour un angle θ0 =π

4. À partir de cet instant,

pris comme origine des temps, la tartine quitte la table en un temps très bref

(pas la peine d’essayer de la rattraper, le mal est fait) en conservant la même

orientation θ0 initiale et la même vitesse angulaire.

Quelle est, après avoir quitté la table, la loi d’évolution de zG(t), où G est le

barycentre de la tartine, en supposant que celle-ci ne retouche plus la table ?

4. Déterminer le temps τ pour lequel la tartine touche le sol. On considèrera que

la hauteur h de la table est très supérieure aux dimensions de la tartine et que

la vitesse initiale de la tartine est très faible devant sa vitesse finale.

5. On admet que pendant la phase de vol, la vitesse angulaire de la tartine

reste constante, égale à ω0. Quelle est son expression ? En déduire θ(τ). Faire

l’application numérique pour h = 70 cm.

6. De quel côté tombe la tartine ?

7. Et si un astronaute maladroit faisait tomber sa tartine depuis sa table de

pique-nique sur la lune ? Le problème est-il le même ?

14. Changement d’orbite d’un satellite

On souhaite transférer un satellite depuis une orbite circulaire rasante de rayon

RT autour de la Terre sur son orbite géostationnaire de rayon RG. On fera l’étude

dans le référentiel géocentrique, dans lequel la Terre tourne sur elle-même à la

vitesse angulaire Ω. On néglige les autres interactions que la force de gravitation

entre la Terre et le satellite. On note O le centre de la Terre, MT = 5, 98.1024 kg

sa masse, RT = 6, 37.103 km son rayon, m = 1, 5 t la masse du satellite et G la

constante de gravitation universelle.

1. Établir que la trajectoire du satellite géostationnaire est forcément dans le

plan équatorial.


2. En déduire que les trois orbites appartiennent à un même plan à préciser.

3. Déterminer la vitesse vB du satellite sur son orbite basse avant son transfert

sur son orbite géostationnaire. Donner sa valeur numérique.

4. Exprimer le rayon de la trajectoire géostationnaire. Donner sa valeur numé-

rique. Préciser l’altitude de l’orbite géostationnaire.

5. Calculer la valeur numérique de la vitesse du satellite sur son orbite géosta-

tionnaire.

Le transfert du satellite de son orbite basse à son orbite géostationnaire s’effectue

de la manière suivante : on communique au satellite une brusque variation de

vitesse en un point P de sa trajectoire basse en éjectant des gaz pendant un

intervalle de temps très court dans le sens opposé à la vitesse du satellite. Il suit

alors une orbite elliptique et lorsque sa trajectoire croise la droite OP au point

A, on lui communique un supplément de vitesse pour le stabiliser sur l’orbite

géostationnaire.

6. Établir une relation entre les vitesses aux points A et P et les distances

rA = OA et rP = OP .

7. En utilisant la conservation de l’énergie mécanique sur la trajectoire elliptique,

établir l’expression de l’énergie mécanique en fonction de G, MT , m et a le

demi grand axe de l’ellipse.

Donner la valeur numérique de l’énergie mécanique sur l’ellipse.

8. Établir l’expression de la vitesse du satellite sur la trajectoire elliptique en

fonction de RG, RT , r, G et MT .

9. Donner la valeur de la variation de vitesse qu’il faut imposer en P et en déduire

la variation de l’énergie mécanique en P .

10. Donner la valeur de la variation de vitesse qu’il faut imposer en A et en déduire

la variation de l’énergie mécanique en A.

11. Déterminer la durée de ce transfert.

15. Pendule à fil

Un point matériel M de masse m est relié à un point fixe O par l’intermédiaire

d’un fil inextensible et sans masse de longueur ℓ. On appelle θ(t) l’angle orienté

entre la verticale et la direction du fil. On travaillera en coordonnées polaires

À partir de sa position d’équilibre on lui impose latéralement, de façon à initier

un mouvement circulaire dans le plan vertical, une vitesse initiale d’intensité

v0 =√3gℓ. On travaille ainsi hors du domaine des "petites oscillations".

On pourra poser ω0 =√

g/ℓ.

1. Appliquer la relation fondamentale de la dynamique au point M dans une

position quelconque définie par θ.

2. Projeter la relation obtenue sur ~uθ et en multipliant par θ et en intégrant

l’équation obtenue pour θ(t), donner la vitesse angulaire θ en fonction de θ.

Pour quelles valeurs de θ la vitesse angulaire s’annule-t-elle ?

3. Écrire la période du pendule (pour des grandes oscillations) en fonction de

l’amplitude θ0 des oscillations sous la forme d’une intégrale, que l’on ne cher-

chera pas à calculer.

4. Exprimer la tension du fil ~T . Pour quelles valeurs de θ s’annule-t-elle ? Quelle

en est la conséquence ?

5. Quel est alors qualitativement le mouvement décrit par la masse ?

16. Système à ressorts

Un point matériel M de masse m glisse sans frottement

sur un axe horizontal (Ox). Ce point est lié à un ressort

de longueur à vide ℓ0, de raideur k, accroché à un point

H tel que OH = h0 < ℓ0.

À l’instant initial on lâche le point matériel M sans vi-

tesse à partir d’une position proche de la position d’équi-

libre.

1. Faire un bilan des forces exercées sur le point M . On écrira l’expression de la

tension du ressort en fonction de k, x, ℓ et ℓ0.


2. Établir l’équation différentielle du mouvement de M sur (Ox). Pour cela, on

projette la tension le long de l’axe (Ox), et on se ramène à une unique variable

x(t).

3. Déterminer la ou les position(s) d’équilibre de la masse.

4. L’équation obtenue est-elle linéaire ? En connait-on une solution ?

5. À quelle condition les oscillations autour des positions d’équilibre xeq autres

que x = 0 sont-elles harmoniques ? Donner alors l’expression de la pulsation

propre ω0 des oscillations. On pourra poser l’écart à l’équilibre ε(t) = x(t)−xeq, et utiliser un développement limité.

17. Entraînement par frottements

Une barre de masse m1 est placée sur une planche de masse m2, et l’ensemble

repose sans frottement sur un plan horizontal (figure suivante). Le facteur de

frottement entre la barre et la planche est noté µ. On exerce sur la planche une

force horizontale F dont l’intensité croît linéairement avec le temps F = αt, α

étant une constante.

1. Écrire les équations différentielles du mouvement de la barre et de la planche.

2. Quelles sont les accélérations de la barre et de la planche durant la phase de

non-glissement ? Déterminer l’instant t0 à partir duquel la barre glisse sur la

planche.

3. Quelles sont les accélérations de la barre et de la planche durant la phase de

glissement ?

18. Rouleau de papier toilette

On considère le rouleau de papier toilette de la figure ci-

contre. On appelle ℓ la longueur des tiges supposées sans

masse attachées sur l’axe du tube de rayon Rtube = r

et de masse mtube = M sur lequel est enroulé le pa-

pier de masse mpapier = m. Le rouleau a un rayon total

Rpapier = R. On notera f le coefficient de frottement

entre le mur et le papier.

F

ℓ

r

R

1. Déterminer la condition sur la force F pour que le rouleau ne tourne pas.

2. Déterminer la condition sur ℓ pour que la feuille se détache sans faire rouler

le rouleau sachant que la feuille se détache pour F ≥ 2, 0N .

3. Cette condition reste-t-elle valable pour toute l’utilisation du rouleau ?

Données : R = 6 cm, r = 2, 5 cm, f = 0.5, g = 10 m · s−2, m+M = 100 g.

19. Boulon sur une tige filetée

Une tige filetée (T) peut tourner sans frotte-

ments autour de l’axe vertical (Oz) à la vitesse

angulaire Ω(t). On note J son moment d’inertie

par rapport à cet axe, a son pas de vis, et h sa

hauteur.

Un boulon (B) de masse m et de moment d’iner-

tie j par rapport à (Oz) peut descendre en tour-

nant le long de la tige filetée sans frottements à

la vitesse angulaire ω(t).

À l’état initial, le boulon est lâché en haut de

la tige sans vitesse initiale alors que la tige est

immobile. On souhaite déterminer l’état cinéma-

tique du système lorsque le boulon atteint le bas

de la tige.

z

h

Boulon

Tige filetée

O

1. Dénombrer les variables cinématiques du problème.


2. Déterminer un jeu suffisant d’équations mécaniques décrivant l’évolution du

système.

3. Déterminer l’état cinématique du système lorsque (B) atteint le bas de la tige.

20. Mouvement d’une règle

Quel est le mouvement d’une règle initiale-

ment en équilibre sur deux doigts lorsqu’on rap-

proche ces derniers horizontalement, à vitesse

constante, l’un vers l’autre depuis les extrémi-

tés ?

⋆ Éléments de réponse

1. Écoutes téléphoniques - RP -

Quel fréquence parasite souhaite-t-on enlever ? Quel type de filtre est adapté ?

2. Distorsion harmonique

2. vs = 2A(1 −A2

20) sinωt+

A3

30sin (3ωt)

3. A <

√

60

103= 0, 76 V.

3. Domaines intégrateur et dérivateur

1. Filtre 1 : passe-bas d’ordre 2 ; Filtre 2 : passe-haut d’ordre 2

2. Séparer les domaines : ω ≪ ω1 ; ω1 ≪ ω ≪ ω2 et ω2 ≪ ω.

4. Nature d’un filtre BEOS MP PETITES MINES 16

ω0 =

√

r +R

R

1√LC

; τ =L

r +R; Q = (L+ rRC)

√

LC

rR+R2

5. Filtrage par un passe-bande

1. La valeur moyenne est nulle, et les fortes discontinuités assurent la présence

d’harmoniques de rang élevé, en accord avec une décroissance lente (en 1/n)

des amplitudes des composantes spectrales.

2. Comparer ωs à ωr pour savoir quelles composantes sont éliminées du signal

de sortie.

6. Pont électronique

3. ZZ ′ = RR′,

4. L =r

r′Cω2.


7. Clôture électrique

1.

dU

dx= −

ρ

si(x)

di

dx= −gfU(x)

.

2. gf <(argcosh(2))2σs

L2= 140 S ·m−1.

8. Principe simplifié d’un analyseur de spectre analogique

1. Le spectre de s(t) contient les fréquences multiples de fs inférieures à la

fréquence de coupure de F1 : 0, fs, 2fs, . . ., Nfs. Le spectre de p(t) contient

les fréquences FOCT, FOCT+ fs, FOCT +2fs, . . ., FOCT +Nfs ainsi que les

fréquences FOCT − fs, FOCT − 2fs, . . ., FOCT −Nfs.

2. le signal est maximum aux instants où FOCT = F0−nfs, et ces maxima sont

proportionnels aux amplitude des harmoniques concernées.

3. La base de temps de l’oscilloscope étant donnée par la même rampe que la

variation de fréquence, la synchronisation est parfaite : on observe le spectre

de s(t).

9. Modulation d’amplitude

1. v(t) = vp(t) + kvp(t)vm(t) ; m = kVm.

2. m =V2 − V1

V2 + V1= 0, 8.

3. Le spectre contient les fréquences fp, fp − fm et fp + fm

10. Filtre numérique passe-haut du premier ordre

sk+1 = (1− 2πfcTe)sk +G0(ek+1 − ek)

11. 2001 - L’Odysée de l’espace - RP -

Penser aux forces d’inertie

12. Chute d’un arbre

1.1

3mL2θ = mg

L

2sin θ.

2. Écrire l’intégrale première du mouvement

3. ∆t = 5, 1 s.

13. La physique de la tartine beurrée

1. θ2 =6ge(1 − cos θ)

a2 + 4e2

2. θ =3ge

a2 + 4e2sin θ

3. zG(t) ≃ −1

2gt2

4. τ =

√

2h

g

5. ω0 =

√

6ge(1 − cos(π/4))

a2 + 4e2

6. θ(τ) = ω0τ +π

4= 3, 3 rad = 190 : il y a de la confiture plein le tapis !

14. Changement d’orbite d’un satellite

1. Le mouvement se fait dans un plan contenant le centre de la Terre, et per-

pendiculaire à son axe de rotation propre.

2. Les trois mouvements sont coplanaires, donc équatoriaux.

3. vB =

√

GMT

RT

= 7, 91.103 m · s−1.

4. RG =3

√

GMTT2

4π2= 42, 2.103 km ; h = RG −RT = 35, 8.103 km

5. vG =

√

GMT

RG= 3, 07.103 m · s−1.

6. Le raccordement tangentiel de la trajectoire elliptique aux trajectoires circu-

laire se fait au périgée P et à l’apogée P . La conservation du moment cinétique

entre ces deux points donne C = rAvA = rP vP .


7. Em = −GmMT

2a= −1, 23.1010 J.

8. v =

√

2GMT

(

1

r−

1

RG +RT

)

9. ∆vP =

√

2GMT

(

1

RT

−1

RG +RT

)

−√

GMT

RT

= 2, 50.103 m · s−1 ;

∆EmP = −GmMT

(

1

RG +RT−

1

2RT

)

= −3, 46.1010 J

10. ∆vA =

√

GMT

RG

−

√

2GMT

(

1

RG

−1

RG +RT

)

= 1, 50.103 m · s−1 ;

∆EmA = −GmMT

(

1

2RA−

1

RG +RT

)

= −5, 23.1010 J

11. τ =T

2=

1

2π

√

(RG +RT )3

2GMT

= 5 h14 min.

15. Pendule à fil

1. θ = −g sin θ/ℓ

2. θ = ± arccos (−1/2).

3. θ = arccos (−1/3), le fil se détend.

16. Système à ressorts

2. mx = −k(

1− ℓ0/√

x2 + h20

)

x.

3. x = ±√

ℓ20 − h20 et x = 0.

4. ε(t) ≪ xeq et ω20 = (k/m)(xeq/ℓ0)

2.

17. Entraînement par frottements

1. m1a1 = T , m2a2 = F − T , T < µm1g ou T = µm1g si glissement.

2. a1 = a2 =αt

m1 +m2; t0 =

µg(m1 +m2)

α.

3. a1 = µg, a2 =αt− µm1g

m2.

18. Rouleau de papier toilette

1. Fmax =(m+M)g

1

f tanα− 2

.

2. ℓ ≤ R

√

f2

[

2 +(m+M)g

Ffeuille

]2

+ 1 = 9.6 cm

19. Boulon sur une tige filetée

1. pour le boulon : ω(t) et z(t), pour la tige : Ω(t).

2. conservation du moment cinétique et de l’énergie mécanique de l’ensemble

tige+boulon, relation entre la vitesse angulaire et verticale du boulon connais-

sant le pas de vis de la tige.

3. ϕF =2πh

a

(

1 +j

J

) ; ωF =

√

√

√

√

√

2mgh

j +ma2

4π2

(

1 +j

J

) ; ΩF = −j

JωF .

20. Mouvement d’une règle

x1 = v0t et x2 = L− v0t tant que t < t1 =L

4v0

(

1−µ

f

)

, Il existe une infinité

d’oscillations avant que les deux appuis se rejoignent.


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Électrocinétique - Mécanique · 2. La tension d’entrée est sinusoïdale ve(t) = Asinωt. Déterminer la décompo-sition de Fourier du signal de sortie. On rappelle sin(3x) =