Physique 3 Vibrations linéaires et ondes mécaniques Leçon n°6 : Systèmes soumis à une force sinusoïdale

Physique 3 Vibrations linéaires et ondes mécaniques

Leçon n°6 :

Systèmes soumis à une force sinusoïdale

Système non-amorti soumis à une force d’excitation sinusoïdale

• Equation du mouvement :

• Solution de l’équation homogène :

• La solution particulière est de la forme :

• En substituant dans l’équation du mouvement, on obtient :

tsinCtcosCtx n2n1h

tcosFkxxm 0

20

mk

FX

tcosXxp

Système non-amorti soumis à une force d’excitation sinusoïdale (Suite)

• La solution complète de notre équation est donc :

• Avec les conditions initiales habituelles, nous avons :

• La solution complète peut se réécrire :

n

022

001

xC,

mk

FxC

tcosmk

FtsinCtcosCtx

20

n2n1

tcosmk

Ftsin

xtcos

mk

Fxtx

20

nn

0n2

00


• L’amplitude X de la solution particulière peut s’exprimer de la manière suivante :

où est la déflection statique de la masse m sous la force F0.

X/st s’appelle le facteur d’amplification car il est le rapport des amplitudes dynamiques et statiques du mouvement.

• Le rapport des amplitudes montre qu’il y’a trois type de réponses.

22

n

st2

0

r1

1

1

1X

mk

FX

k

Fet,r 0

stn


Le facteur d’ amplification dans un système non-amorti soumis à une force sinusoïdale

qui montre trois types de réponses.

22

n

st r1

1

1

1X


Cas n°1 : le dénominateur du rapport est positif et la réponse xp(t) du système est en phase avec la force extérieure appliquée.

,1n

22

n

st r1

1

1

1X

k

F0st


Cas n°2 : le dénominateur du facteur d’amplification est négatif xp(t) et F(t) ont des signes opposés, la réponse du système a un déphasage de 180° avec la force extérieure, de plus lorsque . La réponse d’un système soumis à une force de très haute fréquence est donc nulle.

,1n

0X,n


Cas n°3 : l’amplitude est infinie, cette condition est appelée résonance.

En supposant

en utilisant n et sin t t , on trouve

,1n

2et2 nn

tsintsin2mF

tsinx

tcosx

t2

sin.t2

sin2mF

tsinx

tcosx

tcostcosmF

tsinx

tcosxtx

0

nn

0n0

nn22

n

0

nn

0n0

n22n

0

nn

0n0

tsin2

ttsin

xtcosxtx n

nstn

n

0n0


Cas n°3 (suite) :

montre x(t) croit indéfiniment et linéairement avec le temps

tsin2

ttsin

xtcosxtx n

nst

n

n

0

n0

Réponse d’un système non-amorti soumis à une force

sinusoïdale à la résonance


• Supposons pour simplifier notre discussion que , la réponse se réduit à

• Puisque est petit, sin t varie lentement avec le temps, sa période est grande.• La courbe sin t effectuera plusieurs cycles pendant que celle correspondant à sin(t) en

effectue un seul ; l’amplitude augmentera et s’étendra de manière continue, des battements ont donc lieu avec une période b.

0xx 00

2

tsintsin2mF

tx

0

bnb

22

2

2


En général, l’équation du mouvement peut aussi s’écrire :

Ainsi le mouvement peut être présenté comme la somme de deux courbes en cosinus.

1pour,tcos

1

tcosAtx

et

1pour,tcos

1

tcosAtx

n2

n

stn

n2

n

stn


Mouvement d’un système non-amorti soumis à une force

sinusoïdale lorsque

1bn

1an

Exemple 1 : Pompe supportée par un plateau

Une pompe à eau pesant 68 kg est montée au milieu d’un plateau en acier d’épaisseur e=1,3 cm, largeur ℓ=50 cm et longueur L=2,5 mètres comme le montre la figure. En fonctionnement de la pompe, le plateau subit une force harmonique F(t)=222cos(62,832t) N. Trouver l’amplitude de vibration du plateau.

Des calculs mécaniques montrent que le plateau en son milieu est assimilé à un ressort de raideur où E est le module d’Young ;

pour l’acier E=20,62x1010N/m² , I est le moment d’inertie de surface où ℓ est la largeur et e l’épaisseur du plateau.

L’amplitude de la réponse du plateau est données par :

Le signe négatif montre le déphasage de 180° entre l’excitation et la réponse.

3L

EI192k

43me12

1I

2

3

810

3

43

10.319,25,2

10154,91062,20192

L

EI192k

cm154,93,112

50I

cm6,0m006,010687,210319,2

222

832,626810319,2

222

mk

FX

55

2520

Exemple 2 : Réponse d’un ensemble masse-ressort soumis à une force harmonique

Soit un système masse-ressort avec k=4000N/m et m=10 kg, la masse subit une force F(t)=400 cos(30t)N. Trouver la réponse totale du système avec les conditions initiales suivantes :

a- b- c-

Solution :

a-

b-

c-

0x;m ,10x 00 m/s01x;0x 00 m/s01x;m ,10x 00

15,1s/rad20m

k

nn

tcosmk

Ftsin

xtcos

mk

Fxtx

20

nn

0n2

00

t30cos08,0t20cos18,0tx0x;m ,10x 00

t30cos08,0t20sin5,0t20cos08,0txm/s01x;0x 00

t30cos08,0t20sin5,0t20cos18,0txm/s01x;m ,10x 00

Exemple 3 : Système masse-ressort attachés à une barre rigide en rotation

Trouver l’équation du mouvement et la réponse stable du système de la figure en rotation autour du pont O pour les valeurs suivantes : k1=k2=5000 N/m, a=0,25 m, b=0,5 m, ℓ=1 m, M=50 kg, m=10 kg, F0=500 N, 104,72 rad/s [1000 rpm (rotations par minute)]

Solution : 222

2220 bkka

2

1V;MJ

2

1T

tsinFbkakMJLL

dt

d;VTL 0

22

21

20ex

tsintp

rad10.5718,8

72,1041503333,35,025,05000

1500

s/rad72,104,mkg3333,31103

1J

m3

1

2m

12

mJ

;MJbkak

F

42222

2220

222

0

220

22

21

0

les équations de cours nous donnent : où

Réponse d’un système amorti soumis à une force sinusoïdale

• L’équation du mouvement est :

• La solution particulière est de forme harmonique, on la suppose de la forme :

où X et dénotent l’amplitude et l’angle de phase de la réponse.

en substituant xp(t) dans l’équation du mouvement, on trouve :

tcosFkxxxm 0

tcosXtxp

tcosFtsintcosmkX 02

Réponse d’un système amorti soumis à une force sinusoïdale (suite)

en utilisant les relations trigonométriques :

en égalant les coefficients des fonctions cos t et sin t :

on trouve :

sintcoscostsintsin

sintsincostcostcos

0cossinmkX

FsincosmkX2

02

2

21

222

0

mkarctget

mk

FX


Représentations graphique et vectorielle de la force sinusoïdale extérieure

et de la réponse du système

(a) Représentation graphique b- Représentation vectorielle


• En opérant les changements de variables :

• Le facteur d’amplification et la phase s’écrivent :n

0st

ncn r,

k

F,

m2,

m

k

2222

1

n

22

n

st r2r1

1

21

1X

2

12

n

n1

r1

r2tg

1

2

tg


Variation de X et de avec le rapport des fréquences r


Les observations suivantes peuvent être faites :

1. Pour =0, il y’a discontinuité à la valeur r=1.

2. L’amortissement réduit le rapport d’amplitude quelque soit la fréquence de la force extérieure.

3. La réduction du rapport d’amplitude est très rapide aux alentours de la résonance.

4. Le rapport d’amplitude maximum a lieu quand

qui est inférieur à la fréquence naturelle du système et à la fréquence des oscillations amorties

2n

2 21ou21r

2na 1

st

XM


5. La valeur maximale de X et sa valeur quand =n

sont données par :

Ces équations sont importantes pour la détermination expérimentale de l’amortissement du système. Si le rapport d’amplitude maximum est mesuré, on peut trouver l’amortissement. De même, si on connaît l’amortissement, on peut estimer l’amplitude maximale de vibration.

6. Pour quand r=0. Pour la valeur le graphe n’a plus de

maximum. Les courbes décroissent de manière monotone avec les valeurs croissantes de r.

2

1X,

12

1X

nst

2maxst

0dr

dM,

2

1

2

1


7. Pour un système non-amorti, nous retrouvons les équations développées précédemment avec =0 pour r<1 et =180° pour r>1.

8. L’angle de phase dépend des paramètres du systèmes m, , k et de la fréquence de la force d’excitation . ne dépend pas de l’amplitude F0 de la force d’excitation.

9. Quelque soit l’amortissement, l’angle de phase tend vers zéro pour r<<1, est égal à 90° pour r=1 à la résonance, et tend vers 180° pour r >>1.

10. En dessous de la résonance, l’angle de phase croit avec l’accroissement de l’amortissement. Au dessus de la résonance, l’angle de phase décroît avec l’accroissement de l’amortissement.

11. Pour 0<r<1, nous avons 0<<90°.

La réponse et en retard par rapport

à l’excitation. Pour r>1, 90°<<180°,

la réponse est en avance sur l’excitation.

Réponse d’un système amorti soumis à une force sinusoïdale, la solution complète

La solution complète est donnée par x(t)=xh(t)+xp(t), c’est à dire :

où

• X0 et 0 sont déterminés à partir des conditions initiales et de la solution complète.

• X et ont été calculées :

tcosXtcoseXtx 0at

0n

2na 1

n

r

sinXsinXcosXx

cosXcosXx

00a00n0

000

2

1

222st r1

r2tanet

r2r1

1X

Exemple 4 : Réponse totale d’un système

Trouver la réponse totale d’un système à un degré de liberté avec m=10 kg, α=20 N-s/m, k=4000 N/m, x0=0,01 m et sous les conditions suivantes :

a. Une force extérieure F(t)=F0cost agit sur le système avec F0=100 N et =10 rad/s.

b. Les oscillations sont libres F(t)=0.

Solution :

c. A partir de données, on obtient :

0x0

m025,04000

100

k

F;s/rad20

10

4000

m

k 0stn

s/rad974984,1920.05,011;005,0

1040002

20

km22

a0

m5,020

10r

n

Exemple 4 : Réponse totale d’un système (suite 1)

(a) •

•

8140785,35,01

5,005,02tan

r1

r2tan

m03326,05,05,0205,01

025,0

r2r1X

21

21

2/1222222

st

002268,0sinX

814075,3sin1003326,0sin974984,19XcosX2005,00

023186,0cosX997785,003326,0cosX01,0

00

0000

0000

586765,50978176,0cosX

sinXtg

023297,0sinXcosXX

000

000

2/1200

2000

Exemple 4 : Réponse totale d’un système (suite 2)

(b)•

•

X0 et 0 dans les cas (a) et (b) sont très différents.

0x0xet01,0x0x

tcoseXtx

00

0at

0n

'1

'21

0

2'2

2'10

n2

0n0'20

'1

C

CtanetCCX

1

xxCetxC

865984,297494,19

2005,0tan

x

xxtan

010012,0974984,19

01,02005,001,0

x

xxX

1

0a

0n010

2/12

2

2/12

0a

0n200

Exemple 5 : Moteur à quatre cylindres de voiture

Un moteur de voiture à quatre cylindres a pour support un système antichoc composé de trois parties, comme le montre la figure, chacune formée d’un ressort de raideur k et d’un amortisseur visqueux de constante α. Le bloc d’assemblage du moteur pèse 225 kg. Si la force de déséquilibre générée par le moteur est donnée par 900 sin(t) N, concevoir le système antichoc pour que l’amplitude des vibrations soit moins que 0,25 cm. On prendra le rapport d’amortissement : .01,0

c

Exemple 5 : Moteur à quatre cylindres de voiture (suite)

M = 225 kg, F(t) = 900 sin(t) N, =0,01

On va prendre Xmax=0,125<0,25 cm (valeur maximale autorisée)

ressorts en parallèle k=12,006 × 106 N/m

m/N100018,3610125,00001,0101,02

900k

k

F

10125,012

1X

6

2eqeq

0st

2

2stmax

m/s.N412,6363

où'd

m/s.N824,1272225100018,36201,0mk2;mk2

eq

6eqeq

eq

eq

c

eq

Exemple 6 : Amortissement d’une tige mince

Une tige mince de masse m peut être soutenue d’une des deux manières montrées sur la figure. Déterminer l’arrangement qui résultera en une réponse permanente réduite de la barre sous l’effet d’une force harmonique F(t)=F0sint, appliquée au milieu de la barre. On prendra k=5000N/m, ℓ = 1m, α = 1000 N.s/m, m = 10kg, F0=100N, =1000 rpm=104,72 rad/s ;

22

0 m.kg33,33

mI

Exemple 6 : Amortissement d’une tige mince (suite)Pour une équation du mouvement linéaire :

Nous avions

Pour un système en rotation, nous avons le même type de solution.

a. On prendra autour de O : M0=0

b.

αℓ2 105 ; kℓ2 5 × 103 ; I2 104

; l’arrangement (a) est le plus désirable.

tcosFkxxxm 0

tsin2

Fk

16

9ItsinF

24

3

4

3kI 022

000

2

12/1

2222

0

mktanet

mk

FX

2/12

2220

2

0

b022

0

000

169

Ik

2

F

tsin2

Fk

16

9I

tsinF24

3

4

3kI0M

ab 9

16

Bande passante, gain

• Pour des faibles valeurs de l’amortissement, <0,05, on peut prendre

ce rapport est appelé « facteur de qualité » ou « coefficient de surtension » du système par analogie avec les circuits électriques.

• Les points R1 et R2 qui correspondent à une amplification de sont appelés « points de demi-puissance ». A ces points, l’amplitude maximale a diminué d’un facteur 21/2. Le carré de l’amplitude, donc la puissance a diminué de moitié.

Q2

1XX

nstmaxst

2/12

Q

Bande passante, gain (suite)

• Pour trouver les positions de R1 et R2 :

Solution :• Pour les petites valeur de :

•

08142rr

22

1

2

Q

r2r1

1 2224

222

12

n

nn

12

2n2

122

12

21

22

12

Q2

1Q

22

4RR

21Rr;21Rr2

2

122

22

2

n

121

21

2222

2221 1221r;1221r

Bande passante, gain (suite)

Courbe d’une réponse harmonique montrant les points

de demi-puissance et la bande passante

Bande passante, gain (Suite)

• La différence entre les pulsations associées aux points R1 et R2 est appelées bande passante du système.

• Pour trouver les valeurs de R1 et R2, on prend pour obtenir :

La détermination des points de demi-puissance R1 et R2 donc des pulsations 1 et 2 permet de trouver le coefficient de surtension Q.

• En général lorsque l’on injecte à l’entrée d’un système une puissance Pe et que l’on récupère une puissance Ps, on caractérise le gain par .

On utilise en général le décibel (dB) et l’on écrit comme la puissance est

proportionnelle au carré de l’amplitude, on peut écrire

la bande passante de la figure est

On l’appelle aussi la bande passante à 3 dB.

12

n

2

1Q

2

QX

st

e

sBel P

PlogG

e

sdB P

Plog10G

st

dB

Xlog20G

dB33,0102log102log20GdB

La notation complexe, réponse d’un système amorti avec F(t)=F0ejt

• En notation complexe

• Dans la réalité puisque F(t) = F0 cost est la partie réelle de F0eit, on prendra la partie réelle de x(t).

• On suppose xp(t)=Xeit, en substituant :

• En utilisant

• La solution permanente est :

ti0eFkxxxm

22222222

2

020

mki

mk

mkF

imk

FX

:x

ytanetyxAavecAeiyx 22i

2

1i2/1

2222

0

mktan;e

mk

FX

ti

2/1222

0p e

mk

Ftx

Représentation vectorielle complexe d’un mouvement harmonique

• ti0eFkxxxm

1eetxtxtx

ieetxtxtxitxXetxii

p2

pp

2/i2/ipppp

tip

Etude des oscillations par analogie électromécanique

•

•

•

tcosVc

qqRqLtcosFkxxxm 00

c

1k;R;Lm;ix;qx

tcosVtcosF

idtc

1

c

qdtxkkx

RiqRxdt

diLqL

dt

xdmxm

00

Etude des oscillations par analogie électromécanique

Pour des systèmes mécaniques et électriques amortis-forcés :•

•

tcosVc

qRqqLtcosFkxxxm

tcosVqRq

L

q

L

dt

dtcosFx

x

L

x

L

dt

d

WWLVTLc

q

2

1qWkx

2

1xV

Li2

1iWxm

2

1xT

00

00

EH

2

E2

2H

2

2

1

E

V

E

VQ

XXQ

1;Lc

1;

L2

R1;

m

k;

m2

tcosBtcosAeqtcosXtcoseXtx

nn

nn

0

c

max0

c

stmaxst

2na

2nn

2na

2nn

0at

0at

0

Exemple 7 : Oscillations libre d’un circuit électriqueSoit un circuit électrique composé d’un générateur de f e m constante E, d’une résistance fixe r = 50, d’un condensateur de capacité C = 1425 nF, d’une résistance variable R, d’une bobine de self L et d’un inverseur. Les bornes du condensateur sont reliées à l’entrée d’un oscilloscope.

1. Montrez que =rC a la dimension d’un temps. Calculez .2. L’inverseur est fermé sur la position 1, on charge le condensateur. Quelles est par rapport à sa

valeur maximale qM, la charge q au bout d’un temps t= , puis au bout de t=10 ?

3. Le condensateur est ainsi chargé, on place l’inverseur sur ma position 2 après avoir réglé la résistance R de façon que sur l’écran de l’oscilloscope, la courbe se présente sous la forme d’une sinusoïdale amortie telle que donnée sur la figure. En faisant l’approximation que les périodes Tn et Ta sont de valeur pratiquement égales, déterminer à partir du graphe les valeurs de l’inductance et du décrément logarithmique . En déduire la valeur de R. Quelle valeur Rc et R permet d’avoir le régime critique?

4. Déterminer la constante de temps (pour l’amplitude). Que représente l’inverse du décrément logarithmique .

Exemple 7 : Oscillations libre d’un circuit électrique (suite)

Solution :

1.

[rI²t] et [q²/c] sont des énergies donc a la dimension d’un temps :

=50×1425.10-9 71,25s

2.

3.

•

tc

q

trIt

tI

CtrIrC;rC

2

2

222

MMM

M

t

M

qq999,010qetq632,0q

CEqavece1qtqEc

qqr

n2

ann

0a

n0

202

2200

0n2t

0

1,LC

1,

L2

Ravec

0qoùqq1

qQavec

t1eQtq0c

qqRqL n

Exemple 7 : Oscillations libre d’un circuit électrique (suite)

Solution :

à partir du graphe :

Régime critique pour

4.

Périodes pour que l’amplitude décroit de 1/e de sa valeur initiale.

a

n00a

t

a

n

M0

tgavectcosEec

tqtu

CE0Cuqq0qavec

n

nnan5nn

an

0

TT146,05,2

18,5ln

5

1V5,2uetV18,5u

mH10Ls750T2

T

9,3Rs6,194

10.750

146,0

L2

R 16n

5,16710.750

210.102L2R

L2

R1

6

3

ncnc

pseudodenombreT

1T,ms14,5

1

aan

n

Exemple 8 : Circuit RLC série soumis à une tension sinusoïdale

Un circuit RLC en série est soumis à une tension sinusoïdale E(t)=E0sin t. en faisant varier la pulsation , on note qu’il se produit une résonance pour la tension aux bornes de la capacité inconnue C. Sachant que : VCMax=60V ; E0=3V ; R=75 ; L=0,8 mH

1.Déterminez le coefficient de surtension Q

2.Evaluez la capacité C et la fréquence propre fn du circuit

3.Donnez la bande passante f (à -3 dB) et ses limites f1 et f2

4.Donnez approximativement en dB, l’atténuation par rapport au courant I(fn) lorsque la fréquence de la source diffère de f0 de 4 kHz.

5.Trouvez la puissance que la source doit fournir au circuit pour y entretenir des oscillations dont l’amplitude maximale de l’intensité du courant est de I0=30 mA.

Exemple 8 : Circuit RLC série soumis à une tension sinusoïdale (suite)

Solution : VCMax=60V ; E0=3V ; R=75 ; L=0,8 mH

1.

2.

3.

4. f = f n(f)’, nous sommes dans une bande à l’intérieur de la bande à -3 DB.

5.

20E

VQ

0

maxc

Hz59,29810.5,35510.8,028,6

1

LC2

1f

LC

1

pF5,3557540

10.8,04L

R

4C

L2

R

LCL2

R;

2

1Q

123nn

22

3

2

2

n

Hz30620

1159,298f;Hz29

20

1159,298f

21ffet21ff;Hz15ff

fQ

21

n2n1n

dB5,2

I

Ilog20I

00

.mW75,3330752

1RI

2

1P 22

0

Exemple 9 : Réponse totale d’un système forcé non amorti

En utilisant MATLAB, faire le graphe de la réponse d’un système masse-ressort soumis à une force harmonique pour les données suivantes :

Solution :

La réponse du système est donnée par l’équation :

que l’on réécrit sous la forme :

s/m1,0x,m1,0x,N)t30cos(100)t(F,m/N2000k,kg5m 00

tcosmk

Ftsin

xtcos

mk

Fxtx

20

nn

0n2

00

s/rad30;s/rad20m

k;20

5

100

m

Ffoù

tcosf

tcosf

xtsinx

tx

n0

0

22n

n22n

0n

n

0

Exemple 9 : Réponse totale d’un système forcé non amorti (suite 1)

Programme MATLAB donnant la réponse :% Ex3.11

F0 = 100 ;

wn = 20 ;

m = 5 ;

w = 30 ;

x0 = 0.1 ;

x0_dot = 0.1;

f_0 = FO/m;

for i = 1: 101

t(i) = 2 * (i-1)/100;

x(i) = x0_dot*«in(wn*t(i))/wn + (x0 - f_0/(wn^2 – w^2)) * cos

(wn*t(i)).. + f_0/ (wn^2 - w^2)*cos(w*t(i)));

end

plot (t, x);

xlabel ( ‘t’);

ylabel (‘x(t)');

title (‘Ex3.11’)

Exemple 9 : Réponse totale d’un système forcé non amorti (suite 2)

Exemple 10 : Réponse permanente d’un système forcé avec amortissement visqueux

Développer un programme à utilisation générale pour trouver la solution particulière d’un système avec amortissement visqueux soumis à une force harmonique F0cos ou F0sint. utiliser le graphe de la réponse avec les données suivantes :

m=5 kg , α=20 N-s/m, k=500 N/m, F0=250N, =40 rad/, n=40 et ic=0

Données :

xm = masse

Xc = constante d’amortissement

Xk = raideur du ressort

F0 = amplitude

Om = fréquence de la force extérieure

N = nombre de pas dans un cycle où la réponse est calculée

I c = 1 pour une fonction de la force de type cosinus ; 0 pour une fonction de la force type sinus.

Le programme donne les résultats suivant : et donne les graphes de

en fonction du temps.

ix,ix,ix,i

xetx,x

Exemple 10 : Réponse permanente d’un système forcé avec amortissement visqueux (suite 1)

Programme

Exemple 10 : Réponse permanente d’un système forcé avec amortissement visqueux (suite 2)

Documents

Physique 3 Vibrations linéaires et ondes mécaniques Leçon n°6 : Systèmes soumis à une force sinusoïdale