Le ratio réserves prouvées / production annuelle des commodités minérales:

Faits stylisés et micro-fondation

Pierre-Noël GIRAUD, Pierre FLECKINGER, Yosri SAKLY

Les Cahiers de la Chaire / N°80

Le ratio réserves prouvées / production annuelle des commodités minérales.

Faits stylisés et micro-fondation.

Pierre-Noël GIRAUD**, Pierre FLECKINGER***, Yosri SAKLY* * Assistant de recherche, Mines ParisTech ** Professeur d’économie à Mines ParisTech PSL et à UM6P, auteur correspondant : pierrenoel.giraud@minesparistech.fr *** Professeur d’économie à Mines ParisTech PSL : pierre.fleckinger@minesparistech.fr Cette recherche a bénéficié du soutien financier de la Chaire FDD de Dauphine PSL et de la Chaire EIEA de UM6P/Mines ParisTech PSL.

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Résumé

Lacrainted'unepénuriedematièrespremièresminérales,quisontissuesderessourcesnaturellesdites«épuisables», ressurgitpériodiquement. L'indicateurde raretégénéralementutiliséest leratio:RéservesprouvéesmesuréesparleUSGS/productionmondialeannuelle,LeratioR/P.

Oncraintaujourd'huiunepénuriedesmétauxquiserontfortementdemandéesparlatransitionécologiqueeténergétiqueencours:lecuivre,lecobalt,lesmétauxdesterresraresetducoltran.PourtantleratioR/Pducuivre,parexempleestrestéremarquablementstableautourde40ansetcedepuis1950,alorsquelaproductionaétémultipliéepar8,etdonclesréserves.Etceciestvraiàdesdegrésdiversde laplupartdesmétauxainsid'ailleursqueducarbonefossile,pétrolegazetcharbon.Or, lesnombreuxmodèlesqui, à la suiteHotelling,ont intégréunephased'exploration -phasedestinéàdécouvriretévaluerdesréservesavantdepouvoir lesproduire -auseindesmodèlesd’exploitationoptimaled’uneressourceépuisable,neparviennentpasàrendrecomptedecetteapparentestationnaritéduratioR/P.Dans cet article, nousproposonsune famille demodèles très simplesd’explorationminière, ensituationcompétitive,demonopole,deduopoledeCournotetdeduopoledeStackelbergavec2agents qui découvrent des réserves dequalités différentes.Nosmodèles rendent comptede lastationnaritéduratioR/Pdanstouteslesstructuresdemarchéanalysées.

Summary

The fear of a shortage of mineral commodities, produced from natural resources that are said"exhaustible", resurfaces periodically. The scarcity indicator generally used is the ratio: ProvenReservesmeasuredbytheUSGS/AnnualWorldProduction,the«R/P»ratio.

Today, there is a fear of a shortage of metals that will be in great demand by the ongoingecological and energy transition: copper, cobalt, lithium andmanymetals from rare earth andcoltran.

Yet theR/P ratioofcopperhas remainedremarkablystablesince1950,aroundR/P=40years,whiletheproductionhasbeenmultipliedby8,ashasbeenthereserves.Andthisistruetovaryingdegreesofmostmetalsaswellasfossilcarbon,oil,gasandcoal.

However,themanymodelsthat,followingHotelling,haveintegratedanexplorationphasewithinthe optimal exploitationmodels of an exhaustible resource - a phase intended to discover andevaluate reservesbefore they canbeproduced - donot succeed inaccounting for thisapparentstationarityoftheR/Pratio.

In this paper,we propose a family of very simplemodels ofmineral exploration, in competitivemarkets, as well as monopoly, Cournot duopoly and Stackelberg duopoly with 2 agents whodiscoverreservesofdifferentqualities.OurmodelsreportthestationarityoftheR/Pratio inallmarketstructuresanalyzed.

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Introduction

La crainted'unepénuriedematièrespremièresminérales, issuesde ressourcesnaturellesdites«épuisables»,ressurgitpériodiquement.L'indicateurderaretégénéralementutiliséestleratio:RéservesprouvéesmesuréesparleUSGS/productionmondialeannuelle,LeratioR/P.Lorsque ce ratio est d'une vingtained'années et qu’on aunebonne raisonde s'attendre àuneforteaugmentationdelaconsommationetdelaproduction,semanifestentaussitôtdescraintesde pénurie ou à tout le moins de fortes augmentations des prix, malgré le regain de l'effortd'explorationqu'ellesengendrent.Cettecraintes’estexpriméeencorerécemmentenFrancedansunrapportconjointdel'AcadémiedesSciencesetdel'Académiedestechnologies:«Stratégied’utilisationdesressourcesdusous-sol pour la transition énergétique française» (2018). On craint aujourd'hui une pénurie desmétauxquiserontfortementdemandéesparlatransitionécologiqueeténergétiqueencours:lecuivre,lecobalt,lesmétauxdesterresraresetducoltran.Pourtant leratioR/Pducuivreestrestéremarquablementstableautourde40ansetcedepuis1950, quand en pleine guerre de Corée le gouvernement américain s'était t'inquiété d'unepénuriepossible.Pourtantdepuiscettedate,laproductionmondialedecuivredonclesréservesontétémultipliéspar8(voirfigure1ci-dessous).Etceciestvraiàdesdegrésdiversdelaplupartdesmétauxainsid'ailleursqueducarbonefossile,pétrolegazetcharbon(Annexe1).Orlesnombreuxmodèlesqui,àlasuiteHotelling,ontintégréunephased'explorationauseindesmodèlesd’exploitationoptimaled’uneressourceépuisable-phasedestinéàdécouvriretévaluerdes réserves avant de pouvoir les produire - ne parviennent pas à rendre compte de cetteapparentestationnaritéduratioR/P.Dans cet article, nousproposonsune famille demodèles très simplesd’explorationminière, ensituation compétitive, de duopole de Cournot et de duopole de Stackelberg avec 2 agents quidécouvrentdesréservesdequalitésdifférentes.NosmodèlesrendentcomptedelastationnaritéduratioR/Pdanstouteslesstructuresdemarchéanalysée.La sectiondeux résume les faits empiriques concernant l'évolutiondu ratioR/Pet lesprix d'ungrand nombre de commodités minérales. Le détail des données et graphiques fait l'objet del'annexe.Elleproposeégalementunmodèledel’évolutionàlongtermeduprixd’unecommoditéminérale et une interprétation des tendances de prix constatées. La section trois propose unetypologie desmodèles de commoditésminérales et un bref commentaire de la littérature desmodèles d'exploration-production issus de Hotelling. La section quatre expose notre famille demodèlesd’explorationetconclut.

Section2.Faitsstylisés:ratiosR/Petévolutionsdesprix.

Evolution du ration R/P et des prix depuis les années 50 Les évolutions, depuis les années 50, du ratio réserves prouvées/ productions annuelles descommoditésminéralessontdonnéesdanslesgraphiquesenannexe1(Sources:donnéesUSGSetUSBureauofMines).Cesgraphiquesdonnent:- LesratioR/P,généralementdepuis1950,avecmoyenneetécarttypeenannées- Lesprixen$constantsetleurrégressionlinéaire- LemultiplicateurdelaproductionPentreladatedeladernièremesureduratioR/P(2015)etdelapremière(généralement1950ou1970)

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On peut constater que le ratio R/P est croissant, décroissant ou irréguliermais il descend trèsrarementendessousde30ans.Leratioprésentesaufexceptionuneinstabilitélimitée,mesuréeparunratioécarttype/moyennemodéré.On remarque aussi qu’il est généralement plus élevé pour les minerais présents en grandsgisement sédimentaires ( fer, bauxite, phosphates) que pour les gisements en filon ou amas(beaucoupdemétauxdenon ferreux).Quantà laproductionannuelle,elleaétémultipliéepardesratiosallantde2à100entreledébutetlafindelapériodedemesureduratioR/P.La cas du cuivre, qui suscite en 2019 des inquiétudes, est très illustratif. De 1950 à 2015, laproductionmondialedecuivreaétémultipliéepar8,lamoyennedesratiosR/Pestde40ansavecunécarttypede7ansetleprixestnettementdécroissant.

Figure1–EvolutionduratioR/PetduprixendollarconstantpourleCuivre

Courbe d’offre à long terme ( reserve availability curve) et évolution des prix L’autrequestionpertinentepourlescommoditésminéralesestcelledelatendanceàlongtermedeleurprix.Latendanceàlongtermeduprixdépenddedeuxfacteurs:i)lapentedela«courbed’offreàlongterme»ou«reserveavailabilitycurve»etdeii)latendancedescoutsd’extraction,déterminée par le progrès technique La « courbe d’offre à long terme » donne: les réservescumuléesenabscisse,lecoutd’extractionmarginaldecesréservesenordonnée.Elleclassedonclesréservesparcoutd’extractioncroissant.

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Figure2Lacourbed’offreàlongtermeetl’évolutionduprixd’équilibredelongtermeSource:(2015)etOllivier.«EconomiedesMatièresPremières».LaDécouverte.Paris.2015L’exempledelacourbed’offreàlongterme(reserveavailabilitycurve),dulithium,autremétalaveclecuivrefaisantl’objetd’inquiétudes,extraitedeYakzicetTliton(2009),estdonnéciaprès.

Figure3–Courbededisponibilitécumuléepourlelithium.YaksicetTilton(2009).Surl’axevertical,lescoûtssontexprimésenUSDparlivredelithium.1lbest0,45359237kg.Dans lecasdu lithium,commetenuducaractèretrèsplatde la«reserveavailabilitycurve», leprixbaisseraprobablementsousl’effetduprogrèstechnique,toujoursvigoureuxdansl’industrieminièrecarlacompétitionypousseàlaréductiondescouts.

Eneffet,aufuretàmesurequel’onparcoutcroissantexploitecesréserves(DanslaFigure2,lademandecumuléesedéplaceversladroite)leprix,égalaucoutdedéveloppementdenouvellesréserves,monte,il«grimpe»lelongdelacourbed’offreàlongterme,c’estl’effetde«rareté»géologique.

Production et consommation cumulée: Sc et Dc

Dc(t) p(t)=c(t)

Prix du substitut: ps

Ressources Réserves

Cout de développement des réserves

Dejà produit en t

Sc

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Cependant lacourbed’offreà long termeestenpermanencedéforméepar l’exploration,qui ladéplaceversladroite,etleprogrèstechnique,quiladéplaceverslebas.Sibienqueleprix,sedéplaceen«grimpant»lelongd’unecourbemouvantequipeuts’affaisser.Il évolue de façon impossible à déterminer et, on le constate en annexe 1, différente selon lescommoditésdepuislesannées50.C’est ainsi que le progrès technique l’a emporté sur la raréfaction des ressources à bas coutd’extractionetque

• lesprixbaissentpour:l’antimoine,labauxite,leberylium,lacadmium,lecuivre,l’indium,leplomb,leniobium,l’argent,l’étain,letitane,letungstèneetlezinc;

• Ilsmontentpour:lechrome,legaz,l’or,lepétrole,leplatine,lesélenium,letantale,etletellurium,

• ilssontstablespour: lecobalt, lemagnesium,lemercure, lemolybdène, lenickel,et leplatine.

Section3.Typologiedesmodèlesdecommoditésminérales.

Lesmodèlesdecommoditésminéralespeuventêtreclassésselondeuxaxes:i)Lesdécisionsdesfirmesminièresquisontmodélisées:exploration,constructiondecapacitésdeproduction,usagedecescapacitéspourproduireetii):Letraitementdelaquestionducaractère«épuisable»desressourcesdusoussol.

Les décisions des firmes L'industrieextractivepartd'informationspubliquessurlesressourcesdusous-solfourniesparlesservices géologiques nationaux pour demander des permis d’exploration et de production auxdétenteurs des ressources et apporter sur desmarchés, généralementmondiaux, les produitsstandardisésquesontlescommoditésminéralesEllecomportetroisétapesetsesacteurs,lesfirmesminières,onttroisdécisionsliéesàprendre:

1. ladécisiond'explorerpourconstituerun«portefeuillederéserves»2. ladécisiondeconstruiredes«capacitésdeproduction»c'est-à-dired'équiperdesmines,

avecmoyensdetraitementetd'évacuationduminerai,àpartirduportefeuillederéserve3. ladécisionde«modulerlaproduction»àpartirdescapacitésexistantes

Cesdécisionssontcoordonnées,entrefirmesetauseind'unemêmefirme,parlesystèmedesprixanticipés.Maisilnes'agitpasdesmêmesprixetcesprixnesontpascomparésauxmêmecouts.La firme qui explore compare le cout d'exploration, c’est à dire le cout de découverte d’ungisementaveclavaleuractuelledugisementdécouvert.Leprixquiimporteiciestl'anticipationduprixdemarchéaumomentdel'exploitationdugisementdécouvert.La firmequi construit des capacitésminières a besoin, pour calculer les cash-flow futurs, d'uneanticipationdeprixsurladuréedeviedelamine-desdizainesd’années-etcompareceprixaucoûtdedéveloppementdelanouvellemine.La firmequidécidedutauxd'utilisationdescapacitésdeproductioncompare leprixdemarchédanslesmoisàveniràsoncashflowopérationnel.Les prix sont naturellement liées entre eux, puisqu'il s'agit d'agrégations, sur des horizonsdifférents,dumêmeprix,leprixdemarchéconstatépuisanticipé.

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Les couts sont dans une certaine mesure également liés entre eux, du moins les coûts deconstruction de nouvelles capacités et les cash cost. Les coûts de construction fixes plusimportantssontgénéralementliésàdescashcostplusfaibles.La première distinction à faire entre les modèles concerne donc la où les décisions qu'ilsmodélisent.Nousverronsquedenombreuxmodèlesagrègentdeuxoulestroisdécisionsenuneseule.

L’épuisabilité des ressources minérales La seconde distinction concerne le traitement du caractère «épuisable» des ressourcesminérales.Les réserves sont-elles un stock fini à côté extraction nettement plus faible que le cout deproductiond'unsubstitutabondantéventuellementrenouvelable?Existe-t-ilplutôtuncontinuumde réserves à cout croissant, un gisementunpeumoins richeétantun substitutd'ungisementplus riche, un autre métal étant le substitut d'un métal plus courant, le recyclage étant unsubstitut à la production, une technologie renouvelable un substitut à une technologie puisantdansdesressourcesfinies,etc?Danscecasl’extractionminièrenesedistinguedel'agriculturequeparlefaitqu'onneconnaîtpas-parcequ'onaaucunintérêtàconnaîtreàl'avancecarilencoute de les découvrir - toutes les réserves et que par conséquent on peut à tout instantdécouvrirdesréservesàcoutd’extractioninférieuràcellesquiexistentdéjà.

Laconceptionducaractèreépuisabledes ressourcesminièresest la secondecaractéristiquequipermet de différencier les modèles. On peut les qualifier, respectivement, de conception«abrupte»ou«progressive»del’épuisabilité.

La descendance de Ricardo Ricardo(1817) étendenquelquespagesà l’extractionminièresonmodèledelarentefoncièreagricolecroissanteenraisondesrendementsdécroissantsdel'agriculture.Iltraitelestroisétapesenuneseule:laproductiondemineraietn’envisagepasdesubstitutabondant,maissansdouteaussides rendementsdécroissantsdesminesenAngleterre. Sibienque l’issue, commepour leblé, sera l’importationde fer et de charbon.Mais il ne traitepasde la spécificitéde l'industrieextractive qui est que, contrairement aux terres agricoles, on ne découvre pas nécessairementd'abordlesgisementslesplusrichesLa découverte de réserves à plus bas cout et plus généralement la coexistence de réserve dequalités différentes sont traités des le 19e siècle par les modèles de duopole de Cournot etStackelberg. Ilsmontrentque ledétenteurdes réservesàplusbascoûtd'extractionpeutavoirintérêtàlaisseruneplacedanslemarchéauxdétenteursdesréservesàcoupplusélevé,commele montre l'exemple des producteurs de pétrole du Moyen-Orient. La descendance de cespremiers modèles de théorie des jeux est fertile, avec de nombreux modèles calibrés sur lemarchésenoligopoleaveccoutsdifférenciésetavec frangescompétitives.Cesmodèlestraitentdel'étapedeproduction,confondantconstructiondecapacitéetopérationdecescapacités,carcesontdesmodèlesdepartdemarchéàmoyenterme.Poureuxleconceptderessourceultimeestinopérant.Lesdonnéestechniquesetgéologiquesquiseulesdéterminentlatendanceàlongdesprixsonthorschampdel’analyselaquelleneconcernelespartsdemarchéàl’équilibre.

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Hotelling AvecHotelling(1931)commenceuneautrefamille.Estintroduitelanotiondesubstitutabondant,permettant de définir les réserves «ultimes» comme un stock fixe: le stock dont le coutd’extractionestinférieuraucoutdeproductiondusubstitutabondant,àtechnologiedonnée.Laproblématiquedevientcellede l'exploitation inter temporelleoptimaledece stock, faceàunedemandeélastiqueauprix.Doncducalculdelatrajectoireoptimaledesprixetdelaproduction.Iln’est pas question de traiter ici de l’immense littérature de cette famille,mais d’en relever lesprincipauxtraitscommuns.Dans l'article séminaldeHotelling (1931) les réservesultimes, c'est-à-dire le volumedemineraidontlecoûtd'extractionestinférieuraucoûtd'unsubstitutabondant,sontinitialementconnues.Pyndick (1978) est un des premiers à avoir introduit le stade de l'exploration minière dans lecomportementdesentreprises.Ilaétésuividebiend'autresmodèlesdanslesquelleslesrésultatsde l'exploration minière sont déterministes ou aléatoires. Par exemple: Liu et Sutinen (1982),Lafforgue(2006),GreinenetSemmler(2008),NyambuuetSemmler(2013).Pourunerevue,voirla thèse de Roberto Pougy Ferreira Da Cunha( 2017): «Unconventional oil and natural gassuppliesandthemitigationofclimatechange»Lastructuregénéraledecesmodèlesesttrèsproche.CommechezHotelling,lesréservesultimesontdéfiniescommecellesqu'onpeutextraireàuncout(d'exploration+production)inférieuraucout du substitut abondant. Dans cesmodèles, contrairement à Hotelling, elles sont au départinconnuesoudumoins imparfaitementconnues, cequi introduit commeparamètreexogène lestockinitialconnu.Avantd'extraireleminerai lesentreprisesminièresdoiventl'avoirdécouvert.L'explorationauncoutquel'onsupposegénéralementcroissantaveclevolumedesdécouvertesdéjà faites, àmesure donc qu’on s’approche de la découverte totale des réserves ultimes. Onsupposedoncainsiquel'ondécouvred'abordlesréserveslesplusfacilesàdécouvriretexploiteretqu'on lesexploitebiensûrdanscetordre.Quantaucoutextraction, ilest supposé luiaussicroissant avec le volume des réserves déjà découvertes. La logique est que, plus on a faitd'explorationetdécouvertderéserves,plusonadécouvertderéservesàbascoutetpluslecoutd'extraction augmente. Ces hypothèses reviennent à supposer la courbe d’offre à long termeconnuedanssapenteetsontpointdedépartetprogressivementdécouverte.Danstouscesmodèles,latrajectoiredel'exploration,delaproductionetdesprixestdéterminéepar une optimisation inter-temporelle du profit des firmes en situation de compétition ou demonopole. Dans tous, la forme des trajectoires des découvertes, de la production et des prixdépend crucialement d’une condition initiale: le volume des réserves initialement disponiblespour commencer la production et des deux fonctions de coutà rendements décroissants:explorationetd'extraction.Enraisondecettedépendancedesconditionsinitiales,riendegénéralnepeutdoncêtreditquandest l'évolutionduR/P,quideplus,danscesmodèles,n’est jamaisstationnaire.

Les modèles d’exploration des géologues Danslesannées50,etsanssousdouteinsatisfaitsdesmodèlestrès«théoriques»àleuryeuxdeséconomistes,lesgéologues,àlasuitedeMarionKingHubbert,produisentleurpropremodèle:lemodèledu«picdeproduction».Seloneux,laproductionannuelledetouteressourceminérale,pétrole,gazoumineraisolide,prendlaformed’unecourbeenclochesymétrique,avecunpicdeproduction atteint quand la moitié des réserves ont été exploitées. Ceci pour des raisonspurement géologiques. Il s’agit d’unmodèle d’exploration, fondé sur unmodèle statistiquededécouvertedesgisements.Cen’estpasunmodèleéconomique,carsi lademandes’adapteà la

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productionparlesvariationsdeprix,lesprixn’ontenretouraucuneinfluencesurl’explorationetsurlaproduction,doncsurl’offre.

Les jeux à champ moyen Récemment,uneautrevoieaétéexploréeparlemodèledeAchdou,Giraud,Lasry,Lions,(2016).Lemarchéestcompétitifavecuncontinuumdefirmes,cequepermetleformalismedes«jeuxàchampsmoyens»,inventéparLionsetLasry,adoptél’article.Lesfirmesprennentsimultanémentune décision d'exploration-création de capacités ( les deux premières décisions sont doncconjointes) et unedécision concernant le taux d'utilisation de cette capacité.En restreignant lacréationdecapacitéetleurutilisation,unefirmerendplusprobableuneenvoléedesprixetdesprofitssuruneproductionréduite.Enaccroissantsescapacités,ellepeutaugmenterlevolumeetles profits,même quand les prix sont bas. Chaque firme agit en fonction de toutes les autres.Parcequ’iltraitesimultanémentlesdeuxdécisions:construiredescapacitésetlesutiliser,cequiest lecasdans laréalité, lemodèlerendainsicomptedesfluctuationsdesprixdescommoditésminérales: succession de «fly ups» ( flambées des prix) entrecoupés de longues périodes destabilitébassedesprix.Maisiln’estrienditdesréservesproprementdites.

Deux familles Finalementnouspouvonsdistinguer,auseindecesdifférentsfamilles,deuxtypesdemodèlesdecommoditésminérales.Le premier type est forméde la famille deHotelling. Cesmodèles ont en commun la premièreconceptiondel’épuisabilité:unstockfixeinitialementconnuouprogressivementexploré.C’estlaconceptionquenousproposonsdequalifier«d’abrupte».Lerésultatdecesmodèlesestunedynamiquedelarareté,laquelleestbornéeparuneabondanceinfinie.Le second type de modèle adopte la version «progressive» de l'épuisabilité. Elle s’origine enRicardo.Larareténesemanifestequeparl’augmentationprogressiveetlargementimprévisibledescoûtsd'extraction.Onpasseeneffetcontinûmentd'unsubstitutàunautrelégèrementpluscoûteux. Cette tendance, due à la rareté géologique croissante, est combattue par le progrèstechniquequiabaisselescoûtsd’extraction.Decesdeuxtendancesdépendl'évolutiondesprixetiln'yarienàendiredegénéral,carelleestentièrementexogèneetdéterminéepardesfacteursgéologiques ( raréfactiondes réservesàbas coût)et techniques(abaissementdes coûts relatifsd’exploration-extraction.En revanche ce qui peut et doit être modélisé dans cette famille de modèles, ce sont lesphénomènes stationnaires qui ont lieu au sein de l'industrie extractive, afin d’expliquer parexemple:

• lastationnaritéduratioR/P• lepartagedumarchéentredétenteursderéservesàbascouts(supposéesexogènes)en

présenced’unefrangecompétitive• lerégimedesfluctuationsdesprixengendréparlecaractèrealéatoiredelademande

Lapremièrefamilleutiliseleformalismeducontrôleoptimal,ladeuxièmeceuxdelathéoriedesjeux,ycomprisdésormaislesjeuxàchampsmoyens.

Auseindusecondtypedemodèles,celuidesétatsstationnairestraitésparlathéoriedesjeux,labranchequimodéliselespartsdemarchéenoligopoleesttrèsactiveetdonnelieuàdesmodèlesopérationnelsutilisésparlesentreprisesdansleurcomportementstratégique,Azizi(2018).Celle

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quimodéliseà lafois lesdécisionssur lescapacitésetsur leurutilisationpardes jeuxàchampsmoyens,etdonclesfluctuationsdesprixdemarchésestnaissante.

Cetarticleviseàcomblerunmanque,celuid’unmodèle«économique»de lapremièreétape,l’exploration, qui fonderait la stationnarité du ratio R/P dans la rationalité des acteurs del’exploration.

Section4.Lesmodèlesd’exploration

Nous avons présentons une série de modèles très simples partant de l'intuition suivante: lerendementdel'explorationestcontinumentdécroissantaveclatailleduportefeuillederéservesd'une firme. En effet, découvrir des réserves, c'est investir maintenant pour un cash flow quiinterviendra plus tard, à la date d'épuisement de son portefeuille de réserve si elles sonthomogènes.OnconçoitdoncquelamaximisationduprofitconduitàunportefeuilleoptimaletqueleratioR/Ppourraitêtrestationnaire.Danslasuiteonadoptelanotationsuivante:n:périodedetemps.Nn:nombredegisementsendébutdelapérioden.

Dn:demande(égaleàlaproduction)enpérioden.Elleestconstanteouélastiqueauprix.Ce:coûtd’extractionduminerai.Ilestlemêmedanstouslesgisements.Cs : coûtdu substitutabondant :Onsupposequ’ilexisteun substitut,qu’il s’agissed’uneautrecatégorie de gisements dont on connaît l’existence ( car quand on cherche, on ne trouve pastoujoursles«meilleurs»gisementsdecoûtCe)oud’uneautresubstance,dontlecoût,supérieur,estCs>CeonnoteraCs-Ce=u0.r:tauxd’actualisationégalautauxderendementd’unplacementdemêmerisquesurlesmarchésfinanciers.α:coûtdedécouverted’ungisement.

Tn : période telle que: en n+Tn sont épuisés les gisements Nn, compte tenu de la demandecumuléededenàn+Tn.

Dans tous les modèles qui suivent, on suppose que tous les gisements ont la même taillenormaliséeà1.Comportementdesfirmes:Endébutdechaquepérioden,chaquefirmeconstateNn,connaît lademandefuture(constanteouélastiqueauprix)etsedemandesielledoitexplorerencomparantle coûtαdedécouverte à la valeur actualisée enn d’unnouveau gisement dont la découverterepousse la date Tn. On suppose que l’exploration et l’exploitation se font tels que le derniergisementdécouvertestledernieràêtreexploité.C’estlecassitouslesgisementssontidentiques.De cette façon le gisement ajouté à un portefeuille de N gisements est exploité la N+1 èmepériode.Ceproblèmeadmetunesolutionstationnairesionchoisitunedemandedelaforme:

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c’estàdireunedemandestationnaireàpdonné.Onrecherchedoncunesolutionstationnaireoùleprixp, lademandeDet lenombredegisementsNestconstant.Onnoterapar lasuiteN* leportefeuillederéservesoptimalen fonctionde lastructuredemarché.Une foisN* atteint, lesfirmes se contentent en n de renouveler les gisements exploités en n pour maintenir leportefeuille constant. La stationnarité fait que l’on peut ignorer par la suite dans les notationsl’indicen.

Onseramènealorsaucasduraisonnementsimplifiésuivant:Supposonsquel’explorationpasséedesfirmesaproduitunportefeuilledeNannéesdeproduction.Lavaleuractuelled’unetonnedemineraidansungisementest,selonlaformuledeHotelling:

.

oùdanscecasN=T=duréedevieenannéeduportefeuillederéserve.

Eneffettoutpropriétaired’ungisementpeutsoitledonneràexploitertoutdesuiteetilobtientu,soitattendrel’épuisementenNoùleprixseraCs,celuidusubstitut.Ilobtiendraalors:Cs−Ce.Cesdeuxdécisionsdoiventêtreéquivalentes,d’où:u=valeuractuelle,avecletauxd’actualisationr,de(Cs−Ce)àrecevoirenN.uestdécroissantavecN.Silecoûtdedécouverted’ungisementαestconstant,lesfirmesexplorenttantqueu>α.

Leportefeuilled’équilibre résultantd’une situationconcurrentielleentre firmesminièresestN*,telqueN=N*=>u=α.

Ontraitesuccessivementlesstructuresdemarchéssuivantes:-Marchéconcurrentiel-Monopole-DuopoledeCournotsymétrique(Ce1=Ce2=Ce)-DuopoledeStackelbergasymétrique(Ce1<Ce2)

Modèle 1 : Marché concurrentiel Danscemodèle,leprixest:

.

on suppose que la demande est constante et normalisée à 1. Le volume d’un gisement estégalement normalisé à 1. On exploite donc un gisement par période qui est renouvelé dans lapériodedonc:

.

Lebénéficeuestdéfinicomme:

.

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LenombredegisementsoptimalN*estdéterminéenposant:

u=α

soit:

ontrouve:

.

quicroîtavecu0etdécroitavecαetr.

L’exploration est stationnaire et égale à 1 pour compenser la production et stabiliser leportefeuilleàN*gisements.LeratioR/Pestconstant.

Modèle 2 : Monopole Laconditiond’optimalitédelasectionprécédenten’estvraiepourunmonopoleques’ilexploreune fois pour l’ensemble de l’horizon temporel. Mais non s’il peut explorer chaque année enfonctiondelademande. Enfait, ils’agitdecalculerpourlui lavaleurd’optiondel’exploration:pourquoi explorer aujourd’hui si on peut le reporter au moment où on en a besoin? C’estpourquoi, enpérioden, lemonopolen’apasde raisond’explorerpouruneproductionenn+1,puisqu’onasupposéque l’explorationennpermet laproductiondèsn.Onadoncunesolutionstationnaire N*=1. En d’autre termes, le monopole n’explore pas tant qu’il n’a pas besoin deproduire. Le casdumonopoleestdonc trivial: sans concurrence sur l’accès aux ressources (etsanscomposantestochastiquedelademande),iln’yapasd’intérêtàexplorerenavance:R/P=0.

Modèle 3 : Duopole Cournot symétrique Danscemodèle,onsupposequelademandeestélastiqueauprix.

.

soit:

.

Onnoteq1etq2lesquantitésproduitesrespectivementparlesfirmes1et2.Ellesvérifient:q1+q2=DLeprofitdujoueur1s’écrit:

.soit:

.

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Leprofitdujoueur1estmaximalpour:

.

c’estlacourbederéactionde1:q1(q2)Demêmeontrouve:

.

courbederéactionde2:q2(q1)

Orparsymétrieona:

q1=q2=qdcs.

Soit:

.

etdonc

l’indice"dcs"pourduopoleCournotsymétrique.Doncla"valeur"d’ungisementexploitédanslapériodeest:

.On calcule les portefeuilles optimaux avec la condition dégalisation couts /bénéfices del’exploration marginale. On norme pour simplifier comme dans le cas du concurrentiel : lademandeparpériode2×qdcsestégaleauvolumed’ungisement.OnadoncN1=N2=N.etN=T.AvecT,dated’épuisementcommunedesdeuxportefeuillesdesjoueursdanscecassymétrique.L’optimisationdevient:

oùβpeutsecalculeràpartirdeαconnaissantqdcssoit

β=α×qdcs.

LeportefeuilleoptimaldegisementsN*est:

.

IlaugmenteavecudcsdoncavecCs-Ceetildiminueavecβ,doncavecαainsiqu’avecr.L’explorationcompenseexactementlaproductionetleratioR/Peststationnaire.

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Modèle 4 : Duopole Stackelberg asymétrique Ons’intéressemaintenantaucasduduopoleStackelbergasymétrique,ausensoùlesdeuxjoueurssontdifférents.Danscemodèle,lesdeuxjoueursenconcurrenceàlaStackelbergontdescoûtsmarginauxdifférentsCe1etCe2telsqueCe1<Ce2<Cs.1estdoncleaderet2suiveur.Onsupposetoujoursquelademandeestélastiqueauprix.

.

soit:

.

Onnotetoujoursq1etq2lesdeuxquantitésproduitesrespectivementparlesjoueurs1et2.Ellesvérifientq1+q2=D.Lejoueur1vamaximisersonprofitenconnaissantlacourbederéactionde2.Leprofitdujoueur2s’écrit:

.

soit.

Lacourbederéactionde2estdonc:

.

Onmaximisedonc:

.

avecq2ainsicalculée,sionremplaceq2enΠ1,ontrouve:

.

Ceprofitestmaximalpour:

.lacourbederéactiondonne:

.

Onremarquequeq1esttoujourspositifétantdonnéque2×Ce1<Cs+Ce2parhypothèse(Ce1<Ce2< Cs) et plus grand que la quantité produite en Cournot. Par contre pour que le joueur 2produise,ilfautquelescoûtsmarginauxvérifient:

.

Doncontrouve:

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.

L’indice"dsa"pour:duopoleStackelbergasymétrique.

La"valeur"d’ungisementexploitédanslapériodeestrespectivementpourlesdeuxjoueurs:

.

et

.On calcule les portefeuilles optimaux avec la condition dégalisation couts /bénéfices del’explorationmarginale.Onnormepoursimplifiercommedanslecasdumarchéconcurrentiel:lesquantités produites par période q1et q2 sont égales respectivement au volume d’un gisementdétenupar1et2.Onadonc:

N1=T1.

et

N2=T2.

L’optimisationdevient:

.

et:

.

oùβ1etβ2peuventsecalculeràpartirdeαconnaissantq1etq2soit:

β1=α×q1.

Et:

β2=α×q2.OntrouvelesportefeuillesoptimauxdegisementsN1*etN2*égauxrespectivementà:

.

et:

.

Lesportefeuillesoptimaux,commedanslescasprécédents,augmententaveclesécartsCs–Ceetdiminuentavecαetr.L’explorationcompenselaproductionetstabiliseleportefeuilledechaquejoueuràN1*etN2*gisements.

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Constatons donc que le comportement rationnel des firmes en matière de «décisions»d’exploration, conduit à la stationnarité du ratio R/P dans différentes structures demarché. Leportefeuille optimal est nul dans le cas du monopole, maximal dans le cas concurrentiel,intermédiaireenduopole.

Danstouslescas,leportefeuilleoptimal:

• augmentequandaugmenteCs–Ce, l’écartentre lecoutdusubstitutabondantet lecoutd’extraction

• diminuequandaugmententlecoutd’explorationαetletauxd’actualisationr.

CelaouvreàuneinterprétationdesniveauxetdesvariationsdesratiosR/Pprésentésenannexe.

Une hypothèse doit d’abord être relachée: celle qu’une dépense d’explorationα conduit à ladécouverte d’un seul gisement, de taille toujours identique. Il n’en est pas ainsi en réalité.Comme rappelé ci dessus en commentaire de l’annexe, on remarque que le ratio R/P estgénéralement plus élevé pour les minerais présents en grands gisement sédimentaires ( fer,bauxite, phosphates) que pour les gisements en filon ou amas (beaucoup de métaux de nonferreux).C’estquedansleurcas,uneseulecampagned’explorationpeutconduireàladécouvertedetrèsgrandsgisements,dont lesréservesàellesseulesreprésententdesdizainesd’annéesdeproduction.C’estmoinslecasavecd’autrestypesdegisementspluspetits,concernantd’autressubstances.

Endehorsde ceparamètregéologiqueetaléatoire, les varaitiondes ratiosR/P s’expliqueraientdoncparl’évolution:

• desanticipationssurlecoutdusubstitutabondantCs,affectéesparleprogrèstechnique• descoutsd’exploration:α• dutauxderentabilitéattendudansl’industrieextractive:r

Testercemodèleestunepistederecherchepraticablesi lesdonnéestechniquesetgéologiquespeuventêtrerassemblées.

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Conclusions

Danscepapier,nousavonsobservéquepourungrandnombredecommoditésminérales,leratioR/Pestcroissant,décroissantouirrégulier,maisqu’ildescendtrèsrarementendessousde30ans.Ilprésentesaufexceptionunratioécarttype/moyennemodéré.LalittératureéconomiqueissuedeRicardoetdeHotelling,commelesmodèlesplusrécentsutilisantlathéoriedesjeuxàchampsmoyens,nepermettentpasderendrecomptedelastationnaritédeceratio.Nousproposonsdel’expliquerparlastratégied’explorationdesagents.Pourl‘analyser,nousavonsélaborédesmodèlessimplesdethéoriedesjeuxquifondentdanslarationalitédesdécisionsd’explorationdesfirmeslescausesdelastationnaritéduratioR/P.Danscesmodèles,toutagentsedemandes’ildoitexplorerencomparant:i)lecoûtdedécouverteàii)la valeur actuelled’unnouveaugisementdont ladécouverte repousse ladated’épuisementdeson portefeuille. Cela conduit à une stationnarité du ratio R/P dans toutes les structures demarché.Nousavonsdeplus introduitsdesagentshétérogène,possédantdesgisementsdecoutd’extraction différents et ainsi introduit des rentes ricardiennes dans lemodèle. En duopole deStackelberg,l’explorationetl’extractioncontinuentsurlesdeuxtypesdegisements,sousréserved’une différence pas trop grande des couts d’extraction. C’est ce que l’on constate dans lesstructuresdemarchédecetype,commel’extractiondupétrolebrut.

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Références(àcompléterparlenomdesrevues)

[1] Achdou, Yves, Giraud, Pierre-Noel, Lasry, Jean-Michel,Lions, Pierre-Louis, A Long-TermMathematical Model for Mining Industries, Applied Mathematics & Optimization,December2016,Volume74,Issue3,pp579–618

[2] Azizi,Jamal,(2018),Managementofnon-renewableresources:Marketequilibrium,socio-economic impactsandpotentialchannelsofresourcecurse-AnapplicationtoPhosphateRock. PhD Thesis Mines ParisTech PSL, Hall: https://pastel.archives-ouvertes.fr/tel-02171236/document

[3] FerreiraDaCunha,RobertoPougy (2017): Unconventionaloilandnaturalgas suppliesandthemitigationofclimatechangePhDThesis.CIRED2017

[4] Giraud,P.-N.etOlliver,T.EconomiedesmatièresPremières?Ladécouverte,Cll.Repères,2015

[5] Greiner,A.,Semmeler,W.Aneconomicmodelofoilexplorationandextraction,(2008).

[6] Hotelling,Harold,TheEconomicsofExhaustibleRessources,JPEApril1931

[7] Lafforgue, G. Croissance durable, ressource épuisable et effort optimal d’exploration,(2006).

[8] Ledvina, A. Sircar, R. Oligopoly Games under Asymmetric Costs and an Application toEnergyProduction,(2012).

[9] Liu,P.T.,Sutinen,J.G.Onthebehaviorofoptimalexplorationandextractionratesfornon-renewableresourcestocks,(1982).

[10] Nyambuu,U., Semmler,W.Trends in the extraction of non-renewable resources :thecaseoffossilenergy,(2013).

[11] Pyndick,R. TheOptimalExplorationandProductionofNonrenewableResources,(1978).

[12] RicardoD.Desprincipesdel'économiepolitiqueetdel'impôt.(1817)

[13] Yaksic,A.,Tilton,J.E.Usingthecumulativeavailabilitycurvetoassessthethreatofmineraldepletion,(2009).

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Tabledesmatières

Introduction................................................................................................................................3

Section2.Faitsstylisés:ratiosR/Petévolutionsdesprix............................................................3EvolutiondurationR/Petdesprixdepuislesannées50.......................................................................3Courbed’offreàlongterme(reserveavailabilitycurve)etévolutiondesprix......................................4

Section3.Typologiedesmodèlesdecommoditésminérales......................................................6Lesdécisionsdesfirmes........................................................................................................................6L’épuisabilitédesressourcesminérales.................................................................................................7LadescendancedeRicardo...................................................................................................................7Hotelling...............................................................................................................................................8Lesmodèlesd’explorationdesgéologues.............................................................................................8Lesjeuxàchampmoyen.......................................................................................................................9Deuxfamilles........................................................................................................................................9

Section4.Lesmodèlesd’exploration.........................................................................................10Modèle1:Marchéconcurrentiel........................................................................................................11Modèle2:Monopole..........................................................................................................................12Modèle3:DuopoleCournotsymétrique.............................................................................................12Modèle4:DuopoleStackelbergasymétrique.....................................................................................14

Conclusions................................................................................................................................17

Références(àcompléterparlesrevues)....................................................................................18

Tabledesmatières.....................................................................................................................19

Annexe1...................................................................................................................................20

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Annexe1

Lesgraphiquessuivantsdonnentparsubstanceminérale:

• leratioentrelaproductionenfindepériodeetendébutdepériode:Pfin/Pdeb• lesratiosR/P,plotésauxannéesdisponibles• leurmoyenneetécarttype• lesprixendollarsaméricainsconstants• latendancelinéairedesprix

LesdonnéessonttiréesdesbasesdeUSGSetUSBM

Onconstateque,danslaplupartdescas,leprogrèstechniquel’aemportésurl’accroissementdescoûts du à la raréfaction des « meilleures » réserves et que la tendance des prix est doncdécroissante.

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Figure10–L’évolutionduratioR/Petduprixendollarconstantpourl’Or

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