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Les mouvements sur la Sphère
Définitions: le Grand-Cercle
= intersection d’un plan passant par le centre de la sphère
= intersection d’un plan passant par le centre de la sphère
Définitions: le Grand-Cercle
= intersection d’un cône de révolution dont l’apex est situé au centre de la sphère...
Définitions: le Petit-Cercle
... et/ou d’un plan ne passant pas par le centre de la sphère
Définitions: le Petit-Cercle
Définitions: le Petit-Cercle
... et/ou d’un plan ne passant pas par le centre de la sphère
Définitions: le Repère Géocentrique
La position de tout point P dans le repère géocentrique est définie par:
- r: distance au centre de la Terre rayon moyen de la Terre: 6371 km.
- l: la latitude = angle entre le vecteur position du point et le plan équatorial.
- f: la longitude = angle que fait le grand-cercle passant par P et le pôle nord avec un grand-cercle arbitraire passant par les pôles N et S.
Pôle Nord
0°
90° (E)-90°ou 270°
(r,l,F)
f: compté de 0° (méridien de Greenwich) à 360° vers l’Estl: compté de 0° (Equateur) à +90° vers le nord, et à – 90° vers le sudN.B.: q est la colatitude, comptée de 0° (pôle nord) à 180° (pôle sud)
Quelques outils
Trigonométrie Sphérique
Trigonométrie Sphérique
Trigonométrie Sphérique
Nota: la somme + + a b g est toujours supérieure à 180°
Trigonométrie Sphérique
Formule des sinus:
Trigonométrie Sphérique
Formule des cosinus:
Trigonométrie Sphérique
Aire du triangle sphérique e
Soit par les angles au sommet:
Soit par les longueurs des côtés:
Nota: l’aire e est un angle solide qui s’exprime en stéradian. La surface dans le système métrique S
s’obtient par S = e.r2, où r est le rayon de la sphère.
Trigonométrie Sphérique - Applications
1. Quelle est la distance entre Paris (48° 51’ N, 2° 21’ E) et San Francisco (37° 46’ N, 122° 25’W) ?
2. Quel cap doit prendre un avion après le décollage de Paris pour se rendre à San Francisco ?
3. Ce cap reste-t-il constant tout le long du voyage ?
Trigonométrie Sphérique - Applications
Paris: l1 = 48° 51’ N, F1 = 2° 21’ E San Francisco: l2 = 37° 46’ N, F2 = 122° 25’ W
Trigonométrie Sphérique - Applications
Paris: l1 = 48° 51’ N, F1 = 2° 21’ E San Francisco: l2 = 37° 46’ N, F2 = 122° 25’ W
Trigonométrie Sphérique - Applications
Paris: l1 = 48° 51’ N, F1 = 2° 21’ E San Francisco: l2 = 37° 46’ N, F2 = 122° 25’ W
Trigonométrie Sphérique - Applications
Paris: l1 = 48° 51’ N, F1 = 2° 21’ E San Francisco: l2 = 37° 46’ N, F2 = 122° 25’ W
Trigonométrie Sphérique - Applications
Paris: l1 = 48° 51’ N, F1 = 2° 21’ E San Francisco: l2 = 37° 46’ N, F2 = 122° 25’ W
dd = 80.6° ≈ 8960 km
Formule des cosinus:
Trigonométrie Sphérique - Applications
Paris: l1 = 48° 51’ N, F1 = 2° 21’ E San Francisco: l2 = 37° 46’ N, F2 = 122° 25’ W
dd = 80.6° ≈ 8960 km
Formule des sinus:
Az
Az = 41.2° (W)
Chemin le plus court = arc de grand-cercle = OrthodromieChemin à cap constant = chemin le plus long = Loxodromie
http://fr.wikipedia.org/wiki/Orthodromie
Orthodromie
http://www.sciences.univ-nantes.fr/sites/genevieve_tulloue/Meca/RefTerre/Orthodromie1.html
Loxodromie
http://www.sciences.univ-nantes.fr/sites/genevieve_tulloue/Meca/RefTerre/Orthodromie1.html
Produit Scalaire
r
Produit Scalaire
r
Vecteur position a
Produit Scalaire
r
Vecteur position a
Vecteur position b
Produit Scalaire
r
Vecteur position a
Vecteur position b
Produit scalaire a.b
d’où:
Produit Vectoriel
Vecteur position a
Vecteur position b
Produit vectoriel a L b (ou a x b)
Déplacement sur la sphère
A
BComment décrire un mouvement d’un point A à un point B sur une sphère ?
??
Ce mouvement peut-il être rectiligne ?
Déplacement sur la sphère
A
B
Tout déplacement sur une sphère est une rotation
En aucune manière... il s’agit d’une rotation.
A
B
A
B
Tout déplacement sur une sphère est une rotation
Pôle d’Euler
Angle d’Euler
C’est une rotation eulérienne, du nom de Leonhard Euler (1707-1783), mathématicien suisse.
A
B
Tout déplacement sur une sphère est une rotation
Pôle d’Euler
Angle d’Euler
A
BRemarques:• la rotation d’Euler est une rotation finie• elle décrit le mouvement le plus court de A à B• elle ne permet pas de décrire la trajectoire de A à B
(pour cela, il faut des paramètres de rotation finie intermédiaires...).
??
Cosinus directeurs
a = angle avec l’axe Xb = angle avec l’axe Yg = angle avec l’axe Z
Cosinus directeurs
a = angle avec l’axe Xb = angle avec l’axe Yg = angle avec l’axe Z
Cosinus directeurs
a = angle avec l’axe Xb = angle avec l’axe Yg = angle avec l’axe Z
Changement de repère
Rotation du repère (X,Y,Z) => (X’,Y’,Z’)
Changement de repère
Rotation du repère (X,Y,Z) => (X’,Y’,Z’)
l11 = cosinus directeur de l’axe X’ avec l’axe Xl12 = " " " Yl13 = " " " Z
O xyz
x’ l11
l12
l13
Que l’on peut réécrire:
lij=cosaij
Changement de repère
Rotation du repère (X,Y,Z) => (X’,Y’,Z’)
l11 = cosinus directeur de l’axe X’ avec l’axe Xl12 = " " " Yl13 = " " " Z
l21 = cosinus directeur de l’axe Y’ avec l’axe Xl22 = " " " Yl23 = " " " Z
O xyz
x’ l11
l12
l13
y’ l21
l22
l23
Que l’on peut réécrire:
lij=cosaij
Changement de repère
Rotation du repère (X,Y,Z) => (X’,Y’,Z’)
l11 = cosinus directeur de l’axe X’ avec l’axe Xl12 = " " " Yl13 = " " " Z
l21 = cosinus directeur de l’axe Y’ avec l’axe Xl22 = " " " Yl23 = " " " Z
l31 = cosinus directeur de l’axe Z’ avec l’axe Xl32 = " " " Yl33 = " " " Z
O xyz
x’ l11
l12
l13
y’ l21
l22
l23
z’ l31
l32
l33
Que l’on peut réécrire:
lij=cosaij
Changement de repère
Rotation du repère (X,Y,Z) => (X’,Y’,Z’)Rotation du repère (X,Y,Z) => (X’,Y’,Z’)
l11 = cosinus directeur de l’axe X’ avec l’axe Xl12 = " " " Yl13 = " " " Z
l21 = cosinus directeur de l’axe Y’ avec l’axe Xl22 = " " " Yl23 = " " " Z
l31 = cosinus directeur de l’axe Z’ avec l’axe Xl32 = " " " Yl33 = " " " Z
O xyz
x’ l11
l12
l13
y’ l21
l22
l23
z’ l31
l32
l33
Que l’on peut réécrire:
C’est la matrice de transformation [TM]
Changement de repère
Le point P, de coordonnées (x,y,z) dans l’ancien repère (X,Y,Z) aura pourcoordonnées (x’,y’,z’) dans le nouveau repère (X’,Y’,Z’):
ou:
P(x’,y’,z’) = [TM] * P(x,y,z)
ou:
Changement de repère
On retrouve les coordonnées d’origine (x,y,z) de P dans l’ancien repère (X,Y,Z) à partir des coordonnées (x’,y’,z’) dans le nouveau repère (X’,Y’,Z’) à l’aide de la matrice transposée:
P(x,y,z) = [TM]T * P(x’,y’,z’)
et:
À noter:
Rotation 2D
Rotation 3D
Rajoutons une 3ème dimension, sans changer la rotation de P à P’
Rotation 3D – règle du trièdre direct
Rajoutons une 3ème dimension, sans changer la rotation de P à P’
Rotation 3D
Rz(q) est donc la matrice de rotation autour de l’axe Z
Rajoutons une 3ème dimension, sans changer la rotation de P à P’
à 3 dimensions, les matrices de rotations suivantes correspondent à des rotations autour des axes X,Y et Z (respectivement) :
Rx( )q tourne l'axe Y vers l'axe Z, Ry( )q tourne l'axe Z vers l'axe X et Rz( )q tourne l'axe X vers l'axe Y.
Rotation 3D
Rotation Eulérienne
Le tenseur (ou matrice) de rotation eulérienne se calcule en 3 étapes
q
Rotation Eulérienne
Le tenseur (ou matrice) de rotation eulérienne se calcule en 3 étapes
- étape 1:Etablir un nouveau repère (X’,Y’,Z’) avec:
- Z’ aligné sur le Pôle d’Euler- X’ sur le même méridien et orthogonal à Z’- Y’ formant un trièdre direct avec (X’,Z’)
Dans ce repère, le point P a pour coordonnées:
P(x’,y’,z’) = [TM] * P(x,y,z)
ou:
q
Rotation Eulérienne
Le tenseur (ou matrice) de rotation eulérienne se calcule en 3 étapes
- étape 2:
Effectuer la "rotation 2D" autour de Z’ en utilisant Rz(q):
à ce stade, le point P’ a pour coordonnées dans le repère (X’,Y’,Z’):
P’(x",y",z") = Rz(q) * [TM] * P(x,y,z)
ou:
q
Rotation Eulérienne
Le tenseur (ou matrice) de rotation eulérienne se calcule en 3 étapes
- étape 3:
Revenir au repère Géocentrique (X,Y,Z) en multipliant P’(x",y",z") par la matrice de transformation transposée:
P’(x’’’,y’’’,z’’’) = [TM]T * Rz( ) q * [TM] * P(x,y,z)
Soit:
q
Rotation Eulérienne
Le tenseur (ou matrice) de rotation eulérienne est le produit de 3 tenseurs:
[TM]T Rz( ) q [TM]
Rotation Eulérienne
125 Ma
Ce sont ces rotations qui sont à la base des reconstructions dans le passé...
... le stade suivant étant de déterminer les paramètres de rotation ... !!