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LES NOMBRES ET LE CALCUL NUMERiQUEADDiTiON ET SOUSTRACTiON
Comment manipuler les nombres ?Comment tenir compte des parenthèses ?
Comment effectuer les opérations ?
?...1…-13…( )…+…-……-(-2)…-(5-7)…-2+6…?
COURS … COURS … COURS …
1.UN PEU DE VOCABULAiRE
Les catégories de nombres
0
25
102,37
1,5 = 3,1415…- 0,25
- 13- 3
- 215
- 37
510
les nombres entiers naturels :
les entiers relatifs :
les fractions :
les nombres décimaux :
0… …2… …5… … …10
- 13… …- 3 … …- 2… …0… …2… …5… … …10
- 37 ……
15 ……
510
- 0,25 ……1,5 ……2,37
- 13- 3
Les opérations
addition+
somme
-différence produit
quotient :
___ soustraction
multiplication division
quotient: ou ou ___
division
produitou . ou rienmultiplication
différence–soustraction
somme+addition
RésultatsSymbolesOpérations
.
.
Pourquoi des nombres négatifs ?
- 3 degré en dessous de zéro …… + 15 degré ……le thermomètre :
l’altitude : - 15 m sous le niveau de la mer …… + 4709 m le Mont Blanc
les étages : - 2ème sous-sol ……0 rez-de-chaussée …… + 5ème étage
le compte en banque : en + le crédit comme la paye
en – les débits comme le loyer etc…
Opposé d’un nombre
- 5+ 7 ou 7- 3
+ 5- 73
son opposé
un nombre
additionner+
n u nombrepositif ( + ) revient à
additionner +
additionner +
un nombre négatif ( - ) revient à
soustraire -
- un nombre positif
( + ) revient à soustraire
-soustraire
- un nombre négatif
( - ) revient à additionner
+ soustraire
un signe opératoire + ou -
On est dans la situation
et un nombre positif + ou négatif - entre parenthèses
2. LA REGLE DES SiGNES
Problème : comment supprimer la parenthèse et trouver le bon signe ?
+ ( - 13 )
Autre moyen de retenir :
si les 2 signes sont les mêmes alors résultat +alors résultat -si les 2 signes sont différents
Applications :
+( +5) =
+5 ou 5 +( -2) = - 2 -( +8) = - 8 +7 ou 7 -( -7) =
+ ( + ) ou – ( - )+ ( - ) ou – ( +)
on est dans la situation:
un signe + ou - un nombre un nombre
+ 5 - 13
il n’y a ni ( ), ni , ni
un signe + ou -
3. LA RÈGLE DU THERMOMÈTRE
il faitla temp. diminue de 4°
il fera
+ 3 - 4 = 1
-1 -2
+2 +3
+1 0°
-3
+4
-4
• Les 2 signes sont les mêmes: + et +
pas de problème : + 2 + 3 = + 5
• Les 2 signes sont opposés : + et –
REGLE c’est le devant le 4 qui l’emporte puis il faut soustraire les 2 valeurs 4 - 3 = 1
• Les 2 signes sont opposés : – et +
0°-1-2
+2+3
+1
-3
+4
-4
+1=+3-2
il fera
la temp.augmente de 3°
il fait
c’est le + devant le 3 qui l’emporte
puis il faut soustraire 3 - 2 = 1
ou simplement en commutant – 2 + 3 = + 3 - 2 = + 1
REGLE
• Les 2 signes sont les mêmes : – et –
-1-2
+2+3
+10°
-3
+4
-4
3=-2-1
il ferala temp.diminue de 2°
il fait
le signe est conservé
puis il faut additionner les 2 valeurs 1+2 = 3
REGLE
on est dans la situation + ( 5 - 3 )
4. COMMENT SUPPRIMER DES PARENTHESES ?
2
Problème : comment supprimer les parenthèses ?
d’où la règle à retenir :
en fait il faut supprimer les parenthèsesà condition de changer les signes
5 - ( 3 - 1) = 5 - 3 + 1 = 3
2ème solution : suppression de la parenthèsec’est comme soustrairechaque élément du paquet
5 - 3 - ( - 1 )
puis après application de la règle des signes
5 - 3 + 1 = 3
soustraire un paquet
5 - ( 3 - 1)
1ère solution :priorité à la parenthèse
5 - 2 = 3
d’où la règle à retenir :
en fait il suffit desupprimer les parenthèses
2 + ( 5 - 3 ) = 2 + 5 – 3 = 4
2ème solution : suppression de la parenthèsec’est comme additionnerchaque élément du "paquet«
2 + 5 + ( - 3 )
puis après application de la règle des signes
2 + 5 - 3 = 4
additionner un « paquet » 2 + ( 5 - 3 )
1ère solution :priorité à la parenthèse
2 + 2 = 4
pour additionner une somme entre parenthèses ( c’est-à-dire si la ( ) est précédée d’un + ) il suffit de supprimer les parenthèses pour soustraire une somme entre parenthèses ( c’est-à-dire si la ( ) est précédée d’un signe - ) il faut supprimer les parenthèses à condition de changer les signes
ex + ( + … - … ) + … - …
ex - ( - … + … ) + … - …
Pourquoi supprimer les parenthèses ?
dans une situation comme la suivante : 5 – ( x – 5 ) pour poursuivre les calculs il faut d’abord supprimer les parenthèses
REGLE
Applications :
5 + ( - 3 - 1 ) = = 1
9 - ( - 5 - 3 ) = = 17
5 - 3 – 1 9 + 5 + 3
5. COMMENT EFFECTUER UNE SOMME ALGEBRiQUE ?
On est dans la situation :
- 5 + ( + 3 ) – ( - 4 ) – ( + 7 ) + ( 2 – 4 ) – ( 1 – 3 )
une suite d’additions et de soustractions avec des nombres + ou – et des ensembles entre parenthèses
Supprimer les ( ) en appliquant la règle des signes
- 5 + ( + 3 ) – ( - 4 ) – ( + 7 ) + ( 2 – 4 ) – ( 1 – 3 )
= - 5 + 3 + 4 – 7 + ( 2 – 4 ) – ( 1 – 3 )
Si c’est demandé, supprimer les ( )contenant des ensembles
= - 5 + 3 + 4 – 7 + 2 – 4 – 1 + 3
Additionner tous les nombres + entre eux et tous les – entre eux
Effectuer le denier calcul en appliquant la règle du thermomètre
= + 3 + 4 + 2 + 3 - 5 – 7 – 4 – 1 = +12 - 17
= - 5
+12 - 17le – du 17 l’emporte la différence des valeurs donne 5
ou
Effectuer les calculs de proche en proche en appliquant la règle du thermomètre
- 5 + 3 + 4 – 7 + 2 – 4 – 1 + 3= - 2 – 3 – 2 + 2
= - 5
EXERCICES … EXERCICES … EXERCICES …
Exercice 1 :
Effectuer les calculs suivants en supprimant d’abord les parenthèses
S1 = 4 - ( - 2 ) + ( - 1 ) - ( - 5 )S2 = 2 - ( - 8 + 2 ) - ( 3 + 1 )S3 = 24 - ( - 10 ) - ( - 3 + 12 )S4 = 12 + ( - 8 – 2 ) - ( - 2,5 + 1,2 – 3 )S5 = - 4 - ( - 6 – 2 ) + ( - 5 ) - ( - 4 + 25 – 6 ) - 8 - ( - 4 ) + ( - 2 )
Exercice 2 :
S1 = 3 - ( - 1 ) + ( - 2 ) - 5S2 = 3 - ( - 5 + 1 ) - ( 3 - 2 )S3 = 30 - ( + 10 ) - ( - 4 + 10 )S4 = 21 + ( - 6 – 1 ) - ( - 5,2 + 2,1 – 3 )S5 = - 6 - ( + 4 – 2 ) - ( - 7 ) - ( - 2 - 18 + 6 ) - 10 - ( - 2 ) - ( + 6 )
Effectuer les calculs suivants en supprimant d’abord les parenthèses
Les réponses : S1 = - 3 S2 = 6 S3 = 14 S4 = 20,1 S5 = -1
Les réponses : S1 = 10 S2 = 4 S3 = 25 S4 = 6,3 S5 = -22
Correction exercice 1 :
S1 = 4 - ( - 2 ) + ( - 1 ) - ( - 5 ) = 4 + 2 – 1 + 5= 11 – 1 = 10
= 2 + 8 – 2 – 3 -1=10 - 6= 4
S3 = 24 - ( - 10 ) - ( - 3 + 12 ) = 24 + 10 + 3 - 12= 37 - 12
= 25
S4 = 12 + ( - 8 – 2 ) - ( - 2,5 + 1,2 – 3 )
S5 = - 4 - ( - 6 – 2 ) + ( - 5 ) - ( - 4 + 25 – 6 ) - 8 - ( - 4 ) + ( - 2 )
= 12 – 8 – 2 + 2,5 – 1,2 + 3= 17,5 – 11,2= 6,3
= - 4 + 6 + 2 – 5 + 4 – 25 + 6 – 8 + 4 - 2= 22 – 44 = - 22
S2 = 2 - ( - 8 + 2 ) - ( 3 + 1 )
Correction exercice 2 :
S1 = 3 - ( - 1 ) + ( - 2 ) - 5 S2 = 3 - ( - 5 + 1 ) - ( 3 - 2 )
S3 = 30 - ( + 10 ) - ( - 4 + 10 ) S4 = 21 + ( - 6 – 1 ) - ( - 5,2 + 2,1 – 3 )
S5 = - 6 - ( + 4 – 2 ) - ( - 7 ) - ( - 2 - 18 + 6 ) - 10 - ( - 2 ) - ( + 6 )
= 3 + 1 – 2 - 5= 4 - 7
= - 3
= 3 + 5 – 1 – 3 + 2= 10 - 4= 6
= 30 – 10 + 4 - 10= 34 - 20= 14
= 21 - 6 - 1 + 5,2 – 2,1 + 3 = 29,2 – 9,1= 20,1
= - 6 – 4 + 2 + 7 + 2 + 18 – 6 – 10 + 2 - 6= 31 - 32
= - 1