Les nombres réels au lycée

Observa(onsetperspec(ves

Viviane Durand-Guerrier et Martine Vergnac IREM de Montpellier

Uneétudeenseconde:‐ Méthodeadoptée‐ Résultatsdesentre(ensavecdesenseignantsdelycée.‐ Analysedesques(onnairesseconde.

Aperçudesconcep(onsenterminaleS:‐Classifica(ondesconcep(onsiden(fiées.‐Évolu(onsparrapportàlaseconde.

Perspec(vespourlatransi(on:‐Étatdeslieux.‐LesnombresréelsetleprogrammedeterminaleS.‐Uneobserva(ond’uneséancesurlethéorèmedesvaleursintermédiaires.

Leconstatenseconde

Atraversuneétudedecasmenéedansl’académiedeMontpellier,nousavonstentédedéterminercommentlesélèvesdesecondeinterrogésconcevaientlesnombresréels.

La démarche.•  7entre(ensmenésauprèsd’enseignantsdelycéeenchargedeclassesdesecondeetdeclassesscien(fiques.

•  Analysedesréponsesàunques(onnairedistribuédansleursclassesdeseconde:

8classes,252élèves.

Entretiens Ladispari(onduchapitresurlesensemblesdenombres:Quellesconséquences?

‐Moinsdetravailexplicitesurlesnombres.

‐Lesnombresréelsnesontabordésquelorsdel’introduc(ondesintervallesdanslecadredutravailsurlesfonc(ons.

‐Dispari(onduconceptdenombrera(onnelaulycée.

Entretiens •  ‐«[...]audébutsurlesfonc?ons,...estarrivéelano?ond'intervalledoncj'aicommencéàparlerdesnombres[...]»

•  ‐«[...]ducoupj'aiintroduitlesnota?ons,dansd'autreschapitres;onvadire,unpeuenacte[...]»

•  «[...]maisnon,laprobléma?quera?onnelleadisparu,etducouponn'enparleplus.»

Entretiens Commentlesenseignantsinterviewésperçoivent‐ilslaconcep(onqu’ontleursélèvesdesnombresréels?

‐Lesélèvesneconnaissentquedeuxtypesdenombres:lesen(ersetles«autres».

‐Assimila(ondunombreàsonaffichage surlacalculatrice.

Entretiens •  ‐«...unefrac?onc'estpastrèsclair;ilyenaquelques‐unsquivontdirequec'estunevaleurexactemaispourlaplupartontape2divisépar3,çamet0,66666c'estpareil...».

•  ‐«...maintenantjetrouvequeçaachangétrèsviteaveclesnouveauxprogrammes,jepensequ'ilyenaunepar?equipenseque1/3c'estpasunnombre...1/3c'estunefrac?on...».

Questionnaires seconde AucoursdeceXeétudenousavonsobservéquelesconcep(onsquelesélèvesontdesnombres,étaientliéesàleurécriture.

‐Poureux,unefrac(onesttoujoursunnombredécimalcarellepeuts’écrireavecunevirgule.

‐Uneracinecarréen’estpasunnombreetneledevientquelorsqu’ilestapproximéaveclacalculatrice.

‐Pasdesyntaxeassociéeauxnombresréels:difficultéàlesdéfinir.

Questionnaires seconde

67,9 % Oui

26,6 % non

5,6 % Ne sait pas

5/3 est-il un nombre décimal? Pourplusdedeux(ersdesélèvesinterrogés,5/3n’estpasunnombrera(onnelmaisunnombredécimal:Parmilesnombresra(onnels,ilsnesontpascapablesdedis(nguerceuxquisontdécimauxdesautres.

Celasembleindiquerquelenombren’estpasdis?nguédesonécriture…

Questionnaires seconde

49,6

39,7

10,7

Oui

Non

NR

est‐ilunnombre? Seulementlamoi(édesélèvesinterrogés,considèrentexplicitementqueestunnombre.

Parmieux,un(ersselereprésentecommeundécimal;etunemoi(éneselereprésentepas.

Quandunnombrenepeutpasêtreexpriméparuneécrituredécimale,cen’estpasunnombre…

Questionnaires seconde Alaques(on:«Commentpeuxtudéfinirunnombreréel?»,ilyaeudesréponsesrécurrentestellesque…

Questionnaires seconde CeXedernièreques(onillustrebienlesdifficultésqu’ontlesélèvesdesecondeàexprimercequ’estunnombreréel.Cedésarroipeuts’observernotammentdanslefaitquepresqueun(ersdesélèvesn’apasréponduàceXeques(on.

Nousavonseudesdifficultésàclasserlesréponsestrèsdiversesquiontétéproposéesetquisemblaientexprimerdesconcep(onspersonnellespastoujoursliéesàlaculturescolaire.Onpeutdégagerlestroisprincipauxtypesdeconcep(ons:

‐ Uneconcep(onensembledetouslesnombres:ellecorrespondàunehabitudedutravail,uneapprochepra(quedesnombres.

‐ ‐Uneconcep(onréaliste:l’écrituredunombreestliéeàsadénomina(on,elleestdéconnectéeduconceptdunombre.

‐ Touteslesconcep(onsquiiden2fientl’ensembledesnombresréelsàundesessous‐ensemblesouàunepar((onerronéedel’ensembleR

Aperçu des conceptions en Terminale S

Afind’observers’ilyauneévolu(ondesconcep(onsdunombreréeldelasecondeàlaterminaleS,nousavonssoumisàdeuxclassesdeterminaleS(soit55élèves)unques(onnaire,quiaégalementétéproposéàquelquesétudiantsdeLicence.

Mêmesil’échan(llonobservéestmoindrequepourlesélèvesdeseconde,ilpermetdedégagerunpaysagedesconcep(onssurlesnombresàl’entréedel’université.

Aperçu des conceptions en Terminale S Voicilaclassifica(onquenousproposons:

Aperçu des conceptions en Terminale S

Quellesévolu:ons?

‐Ilyabeaucoupmoinsdenonréponses:celasemble signifierquelesélèvesdeterminaleSexprimentplus aisémentleursconcep(onsd’unnombreréel. ‐Lesconcep(ons«Ensembledetouslesnombres»et «réaliste»prévalentmoinsqu’enseconde.

Denouvellesconcep(onsémergent: ‐«Complexesnonimaginaires». ‐«Visiongéométrique»:onpeutpenserquelamanipula(on desgraphiquesenanalysefavoriselaconstruc(ondeceXe concep(on.

Laconcep(on«intervalle»restesolidementancrée probablementparcequ’elleestlaseuleàêtretravailléeexplicitementenpar(culierdanslarésolu(ond’inéqua(ons.

Perspec(vespourlatransi(on

Quelsélémentspeuventfaireobstacleàuneconstruc(ondel’analyseàl’université? ‐Beaucoupd’élèvesnedis(nguentpaslenombredesonécriture. ‐Mêmeparmiceuxquilesécriventformellement,peud’élèves comprennentlesinclusions«successives»dessous‐ensemblesdeR. ‐Lano(ondedensitéleurestcomplètementétrangère.

Lesilencedesprogrammessurlesnombresapourconséquenceunequasi‐absencedetravailsurlesnombresréelsaulycée.

Lesconstruc(onshistoriquesparDedekindetCantordel’ensembleRmontrentquelesconceptsdelimiteetdecon(nuitédansRsontindissociablementliésàlastructuredecorpsordonnécompletdeR.Lesconceptsdelimiteetdecon(nuitémeXentenjeulaconstruc(ondeR«sanssautsnitrous»!

QuelsendroitsdansleprogrammedeterminaleSpourraientpermeUredefaireémergeretévoluerlesconcep?onsdesnombresréels?

Perspec(vespourlatransi(on

Surlessuites:Desac?vitéalgorithmiquessontmenéesdanscecadre.Approxima?onsderéels(π,e,nombred’or,…)

Surlacon(nuité:Con?nuitésurunintervalle,théorèmedesvaleursintermédiaires.

Loiàdensitésurunintervalle:OndéfinitalorsunevariablealéatoireX,fonc?ondeΩdansR,quiassocieàchaqueissueunnombreréeld’unintervalleIdeR.

Perspec(vespourlatransi(onUnepremièreobserva?ond’uneséanceenterminaleSd’introduc?onauthéorèmedesvaleursintermédiaires:

Leproblèmeposé:aetbsontdeuxnombres;soitunefonc?onftellequef(a)<0etf(b)>0.Peut‐ontoujourstrouverunnombrecentreaetbtelquef(c)=0?

Lesconcep(onsexprimées:‐Unefonc(onesttoujoursdéfiniesurRousurunintervalledeR:lanaturedel’ensemblededéfini(ondefn’estpasprésente.‐Unefonc(onn’estdéfiniequesiellepeutêtreexpriméeparuneformuleexplicite.‐Lemotcon2nuémergespontanémentdesdébatsdanslesgroupes.

Perspec(vespourlatransi(on

RestbienpourlesélèvesobservésdansceXeclassel’ensemblesurlequellapropriétédelavaleurintermédiaireestvraie.

Mais:‐lacon(nuitédeRn’estpasques(onnée.‐Pourlamajoritédesgroupesobservés,ilyéquivalenceentrelacon(nuitédelafonc(onetl’existencedesolu(ons.

CommentmeUreenques?oncesdeuxpointsprécédents?

‐proposerdesac(vitésquiamènentdelasecondeàlaterminaleàtravailleravecdesfonc(onsdéfiniesavecunevariablequiestunra(onnelouundécimal.

‐U(liserl’algorithmiquepourconstruiredesencadrements d’irra(onnelspardessuitesdera(onnels.

Perspec(vespourlatransi(onUnedeuxièmeobserva(ond’uneséanceenterminaleSfaisantsuiteàlaprécédente.

Leproblèmeposé:

Soitflafonc?ondéfiniesurRparf(x)=x3‐7.1.Montrerenappliquantlethéorèmeénoncéquel’équa?onf(x)=0admetunesolu?onuniquecdans]1;2[.Quelleestlanaturedelasolu?oncobtenue2.ProposeruneméthodequipermeUededéterminerunencadrementdecavecuneamplitude«aussipe?tequel’onveut»?

Lesconcep(onsexpriméesetlespra(quesproduites:

‐Lemotnaturedunombren’estpascomprisparlesélèves.‐Pourunegrandemajoritédesélèves,cétaitunnombredécimal.‐ Leprocédédichotomiquen’estpasspontanémentmobilisé.‐ L’habitudedemanipulerlesracinescubiquesdanslaclassedephysiquerendladeuxièmeques(onsansobjetpourlesélèves.‐ Lamajoritédesélèvesassocientl’ensembleRàl’axedesabscisses,maisl’iden(fica(onàceluidesordonnéesn’estpasimmédiate.

En guise de conclusion provisoire…LesconnaissancesdesélèvessurlesnombressontuniquementopératoiresetneleurpermeXentpasd’accéderàlacompréhensiondesnombresréels.‐Desac(vitéssurlesregistresd’écritured’unnombrepourraientaideràdissocierlanaturedunombredesonécriture.‐ L’accentdanslesprogrammesestmissurlarésolu(ondeproblèmes:celadevraitinciteràtravailleravecdesvariablesquisoientdesen(ers,desdécimauxoudesra(onnels.

‐ Uneconstruc(onduconceptdenombreréelpeutêtreamorcéeaulycéemaisellenepeutsefairequedanslelongtermeetnepeutfairel’économiedemomentsd’ins(tu(onnalisa(on.Laconnaissanceopératoirenepeutêtredétachéedesaconceptualisa(on.‐ Lesac(vitésquifavorisentceXeconstruc(onsontcomplètementlaisséesàlachargedesenseignants.Ilestàcraindreque,sansuneincita(ondel’ins(tu(on,lescontrainteshorairesetleshétérogénéitésdesparcoursnedissuadentdenombreuxenseignantsdelesproposer.

En guise de conclusion provisoire…

Les observa(ons empiriques meXent en évidence des difficultés récurrentesdansl’appropria(onparlesétudiantsdesconceptsfondamentauxdel’analyse.DansleurstravauxderechercheBloch&Ghedamsi(2005)ontmisenévidencedesraisons liéesauxdifférencesentre letravailenanalysedans lesecondaireetdanslesupérieur.

Au moment de la transi(on lycée ‐ post bac, on passe d’un travail de typealgébrique en analyse, reposant sur une approche intui(ve du con(nu (lesnombres réels sont tous les nombres qu’on connaît sauf les complexes) à unpoint de vue théorique (axioma?que) sans prise en compte explicite deschangementsconceptuelsquecelareprésente.

En guise de conclusion provisoire…

Onpeutfairel’hypothèsequelesétudiantsquineconstruisentpasdemanièreadéquatelasignifica(ondesnombresréelsendébutdeforma(onrisquentderencontrer des difficultés dans l’appren(ssage des concepts de l’analyse, ceciétant étroitement relié aux difficultés déjà bien repérées en analyse à latransi(onLycée‐Université(Chellougui,2003,Bloch&Ghedamsi,2005).

Onpeutégalementfaire l’hypothèseque lafragilitédesconnaissancessur lesliensentreaspectspra(quesetaspectsthéoriquesenAnalyseauradeseffetssurl’applica(ondesou(lsdel’Analyseàd’autresdomaines.

Etpourtant,certainsélèvessontintéressés…

Ques(onposéeparunélèvedeterminaleSspécialitémathéma(quesenmai2013:

«Sionchoisitunnombreauhasarddansl’intervalle[0;1],quelleestlaprobabilitéd’obtenirunnombrera?onnel?»

«‐AUends,regarde,là,onaditf(a)inférieurà0,f(b)supérieurà0;donc,silacourbeestcon?nue,ellevanécessairement,...Onpeutfairecequ'onveut,...onpeutfairelecheminqu'onveut,vousêtesd'accordqu'elleestobligéedepasserpar0.‐Oui‐Ellepassed'untrucnéga?fàuntrucposi?f;voilà,enfait,t'asdeuxpointsettusaisquetafonc?onc'estuneligne;ben,lafonc?on,sic'estunelignequirelielesdeuxpointstupourrasluifairefairelescheminsquetuveux...ça,...ça,commelàilyalabarredes0,elleestobligéedepasserparlabarredes0»

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