Les pressions interstitielles dans les ouvrages hydrauliques et leur s (Contributions th orique et exp rimentale leur tude)

i . - Pressions interstitielles et sous-pressions. Concepts et relations th~oriques.

F. CAMPUS, N. DEHOUSSE, J. HAMOIR c1~

x, y, z; r, % P 6

E

A

U k ,k ' a o

N O T A T I O N S

charge pi6zom6trique. potentiel hydraul ique. coordonn6es . poids sp6cifique de l 'eau. pression. coefficient de press ion intersti- tielle. module d'61asticit6. coefficient de Poisson. poids sp6cifique du mat6riau consid6r6. vitesse. coefficients de perm6abil i t6. p o u r c e n t a g e des vides occup6s par Fair. compressibi l i t6 volum6tr ique de l 'eau. porosit6 volum6tr ique du solide poreux. temps.

S Gxl Gy~ ~Z~ Grs ~

X, Y, Z, R kx, k y, k z E F , Q R~ h

AV P % 7m I H (z)

(z) ex, ez

: invariant des contraintes. : surface de section t ransversale . : contraintes normales. : contraintes tangentielles. : incl inaison de parement . : forces volumiques. : cosinus directeurs . : d6formation. : forces. : r ayon ext6r ieur c y l i n d r e . : hau teur c y l i n d r e . : invar iant des d6formations. : 616ment de volume. : poids. : poids sp6cifique te r res s6ches. : poids sp6cifique terres mouill4es. : g rad ien t pi6zom6trique. �9 fonction de Heaviside. : fonction de Dirac. : vec teurs unit6s.

1. E X I S T E N C E

I n d 6 p e n d a m m e n t des press ions hydros ta t iques agissant sous la fondation d ' u n ouvrage hydrau- l ique (sous-pression), l ' exis tence de press ions darts le corps des ouvrages de r e t enue hydrau l ique est p rouv6e pa r les su in tements d ' e a u qui t raversen t des 6paisseurs cons id6rab les de mat6riaux pour sou rd re ~ l 'aval. Pour les g rands b a r r a g e s de r6servoirs , on collecte ces eaux et on m e s u r e leur d6bit, ce qui constitue une p r e u v e scientifique de ces pressions. Dans les 6cluses construites sans pr6caut ion d '6 tanchement ~ l 'amont, elles se manifestent pa r des jets d ' e a u sortant des ba joyers lors de la v idange et ce parfois jusqu '~ la t6te aval.

(1) Universit~ de Liege, Belgique.

231

V O L . 2 -- N ~ 10 -- 1969 -- M A T I ~ R I A U X ET C O N S T R U C T I O N S

Le p a s s a g e d e l ' e au ~ t r ave r s d e s p o r e s du b4 ton ne peu t se c o n c e v o i r que sous l ' ac t ion d 'un champ d e p r e s s i o n s qu ' i l est convenu d ' a p p e l e r in ters t i t ie l les et qui a p r i o r i est d is t inct d e s p r e s s ions ag issan t sous l ' o u v r a g e et p o u r l e sque l l e s le t e r m e d e sous -p re s s ion est consac r4 .

Le p r4 sen t a r t i c le a p o u r ob je t d e faire appara~t re la relat ion exis tant en t r e c e s d e u x manifes- tat ions dif f4rentes d e l ' e au d e perco la t ion , d e m o n t r e r que les cons t ruc teurs d e b a r r a g e s en b4ton et les g~o techn ic i ens pa r l en t te m ~ m e langage , en ce qui c o n c e r n e le r61e d e l ' e a u dans le co rps d e s ouvrages , et enfin d ' a p p o r t e r une cont r ibut ion e xp4 r ime n ta l e ~ la m e s u r e d e s p r e s s i o n s inter- sti t ielles.

2. S C I ~ M A DE L'r.TUDE DU MODE D'ACTION DES PRESSIONS INTERSTITIELLES

L ' e x a m e n c o m p l e t d e l ' ac t ion des p r e s s i o n s in ters t i t ie l les c o m p o r t e trois ques t i ons fondamen- ta les :

- - La p remi&re c o n c e r n e la v a l e u r d e la p r e s s i o n dans les po re s . I1 est c o u r a m m e n t admis que les 4cou lements dans les b~tons sont r~gis p a r ta loi d e Darcy.

En par tan t d e cet te hypoth~se , il est en p r i n c i p e p o s s i b l e d e d 4 t e r m i n e r la va r i a t ion du poten t ie l h y d r a u ! i q u e dans l ' o u v r a g e cons id4r4 compte tenu o u n o n des ca rac t~r i s t iques d ' i nhomog4n4 i t~ et d e s d i spos i t ions construct ives .

Connaissant la fonction :

~=z+ p Ye

il est simple d'en d~duire la valeur des pressions en tout point.

Dans certains cas, l'6coulement pourra @tre suppos@ en r@gime mais dans d'autres, il y aura obligation de tenir compte d'un mouvement variable en fonction du temps.

-- La deuxi@me question concerne le concept de l'@tat de contrainte dans un corps poreux pour lequel les pressions internes interviennent au titre de forces agissant ~ l'int@rieur du massif @tudi@.

-- La troisi@me question concerne la physique interne des corps poreux. Les canaux d'infil- tration n'occupent qu'une fraction al6atoire de la surface d'une section de r4sistance. Pour connaitre le mode d'action effectif des pressions interstitielles, on est donc forc4 de d@terminer la valeur de la <( porosit@ superficielle >> (diff@rence en pourcentage entre la projection de l'aire totale et la pro- jection de l'aire de solide intercept@e par la section consid6r@e).

On d@signe parfois ce coefficient par le terme << aires effectives de pressions interstitielles )>. Ce dernier probl6me ne peut @tre r@solu que par la voie exp6rimentale car 0 .(coefficient en cause) est une caract@ristique du mat4riau au m@me titre que E, ~, A, (module @lastique, coefficient de Poisson, poids sp@cifique).

Ce sont les trois probl@mes que nous allons @voquer en invitant le lecteur ~ consulter l'excellent o u v r a g e d e Seraf im sur le sujet [1].

232

3. D@-TERMINKTION DE LK VALEUR DES PRESSIONS INTERSTITIELLES

A. F-coulement p e r m a n e n t (mil ieu homog~ne) .

On sait que l ' ~cou lemen t dans les mi l ieux p o r e u x est r~gi p a r la loi de D a r c y

= - - k g r a d

oh -u est la v i t e sse m o y e n n e d e perco la t ion , [ l e po ten t ie l h y d r a u l i q u e ~gal ~ z + P , k le coefficient 7e

d e pe rm~ab i l i t~ et u le po ids sp~ci f ique d e l ' eau .

Par le p r i n c i p e d e continuitY, on d4dui t a i s4ment que

--k \ax~ + ~ + az~]

soit - - k A ~ = 0 ou e n c o r e A t ----- 0

si x, y e t z sont les t rois c o o r d o n n ~ e s car t~s iennes .

Dans le cas d e l ' ~cou lemen t pe rmanen t , ~ es t donc u n e fonction h a r m o n i q u e .

Pour r ~ s o u d r e un cas d~ te rmin~ d ' ac t ion d e s p r e s s i o n s interst i t ie l les , la p r e m i e r e chose ~ faire est d e d ~ t e r m i n e r le c h a m p p i~zom~t r ique ~ c o m p t e tenu des condi t ions aux lirnites.

Dans le cas p a r t i c u l i e r d e l ' ~cou lemen t po ten t ie l plan, l '~quat ion ~ ~ tud ie r e s t s implement :

ax-- ~ +-~y~ = , 0

F. C A M P U S - - N. D E H O U S S E - - J. H A H O I R

A titre d ' e x e m p l e on examine le cas du b a r r a g e trian- gulaire pos6 sur un sol impe rm6ab l e et charg6 jusqu ' au sommet (fig. 1).

L 'ouvrage est suppos6 infiniment long.

Les condit ions aux limites sont :

- - le long de AB : [ = c o n s t a n t e = H

- - le long de A C : [ = z a [

- - le l o n g d e B C : z = 0 et u z = - - k . ~ z = 0

si uz est la composante de u se lon l 'axe des z. On v6ri-

fiera a is6ment que la fonction [ = H - - x satisfait aux m

condit ions de contour

a2~ ~2~ et & ~xx2 +~z2 =0.

Z

~ _ ~ ' - - T - - A m

p 0

. . . . . . . rl... Ip= H~'e \P=O,6H~e

FIG. i.

En donnan t d iverses valeurs & [, on obtient une s6rie de droi tes ver t icales qui r ep r6sen ten t le champ pi6zom6tr ique. I1 est s imple d ' e n d6dui re la variation de la p ress ion en chaque point pu i sque

P [ - - z H x - = - - - - z .... les l ieux des points d '6ga le p re s s ion sont des droites parall~les au Ye m pa remen t oblique. D~s lots la variat ion de la p ress ion dans une sect ion telle que DE est l in6aire et ob6it ~ une loi t r iangulai re (fig. 2).

D E F~o. 2.

Ce cas par t icul ier est sp6cia lement s imple : pou r un cas que lconque , il conv i end ra de r6soudre l '6quat ion A[ = 0 en utilisant les m6thodes existantes - - analytiques, g r aph iques ou analogiques. A titre documenta i r e on donne enco re l 'a l lure de la distr ibution de la fonction [ ob t enue dans la section de sym6tr ie d ' u n b a r r a g e a rqu6 et reposant sur un sol i mpe r m6a b l e (fig. 3).

FIo. 3.

Pour les cas de perm6abi l i t6 non homog~ne ou de discontinuit6s, on fera appe l & l ' importante l i t t6rature sur le sujet.

I1 semble b i e n cependan t que le p roc6d6 actuel le plus souple soit celui bas6 sur l ' emploi de la rn6thode des e lements finis & condit ion 6v idemment de d i spose r d ' u n ordinateur .

233

V O L . 2 - - N ~ 1 0 - - t 9 6 9 - - M A T I ~ R I A U X E T C O N S T R U C T I O N S

Pour les 6coulements plans, les proc6d6s analogiques tel que celui employant le papier conduc- teur, sont des plus efficaces (fig. 4).

~7IG. 4.

Les deux exemples pr6c6demment cit6s ne doivent pas faire illusion : la fondation n'est g6n6- ralement pas imperm6able et il faut non seulement 6tudier le champ des pressions dans le corps du barrage mais encore dans le massif de fondation pour obtenir une image r6elle de la r6partition de la pression interstitielle.

Le calcul du potentiel dans la fondation sera d'ailleurs tr~s difficile si l'on souhaite tenir compte de toutes les h6t6rog6n6it6s structurales.

Les figures 5 et 6 illustrent deux cas de percolation au travers d 'un barrage et de la fondation sur laquelle il repose.

ILl 1

FIG. 5. - - Allure g~n~rale des ~quipotentielles et Hgnes de eourant clans un barrage et sa fondatlon (m~me coefficient de permeabilitY).

FIG. 6. - - Allure g~n~rale des ~quipotentielles et llgnes de courant dans un barrage de per- m~abilit~ k, une fondation de perm~abiHt~ k' munie d'tm ~eran ~tanehe (probl~me plan).

234

F. C A M P U S - - N. D E H O U S S E - - J, H A M O I R

B. ~..coulement variable.

Les not ions p r 6 c 6 d e n t e s c o r r e s p o n d e n t ~ un 6cou lement p e r m a n e n t . I1 est 6vident que si l ' 6cou lement est va r i ab le dans le temps, l ' 6qua t ion d e ba se d 6 p e n d du fac teur t e m p s et la fonction n ' es t p lus une fonction ha rmon ique .

En par tan t d e la condi t ion que le vo lume d ' e a u qui en t re dans un c o r p s p o r e u x 6ga le celui qui en sor t p lus l ' eau r e t enue ~ l ' in t~r ieur , Seraf im a montr6 que l ' 6qua t ion r6g i s san t la pe rco la t ion s '6cr i t :

aop.t," ) + Te.v aoP.t~ } ~ k.A[ =iv.ye.[ l--u ) + P,t, [y,([--z) +pat,]2i ~--t

[ aopa,~ : ] 1 - - 2 v ~0

ou e n c o r e

k. Ap y~v~ 1 floPat,, .] ~_ ye V - - ~- Ye l P + P=tm/ (p + pa,m)2t at P q- Patm] E "-~

Ot~ Ye est le po ids sp6ci f ique du l iquide (eau) $ la p r e s s i o n a t m o s p h 6 r i q u e

[~ sa compress ib i l i t6 vo lum6t r ique

ao le p o u r c e n t a g e d e v ides occup6s p a r l ' a i r

v la poros i t6 vo lum6t r ique du so l ide p o r e u x

E le modu le 61astique du mat6r iau (b6ton)

son coefficient d e Poisson

p la p r e s s i o n du l iquide

P~tm la p r e s s i o n a t m o s p h 6 r i q u e

t le t emps

la s o m m e d e s trois contra in tes o r thogona le s dans Ie co rps p o r e u x et k le coefficient de p e r m 6 a - bilit6.

Parmi les fac teurs du s e c o n d m e m b r e d e l '6quat ion g6n6ra le , l ' inf luence la plus forte est ce l le due ~ la p r 6 s e n c e d e l ' a i r :

a o P a t m "cev (p + p~,.)2

On peu t n 6 g l i g e r les au t res t e r m e s et l ' 6qua t ion dev ien t s e m b l a b l e ~ ce l le d e F o u r i e r (conduct ion de chaleur) si l 'on s u p p o s e que l ' e x p r e s s i o n p + Patm ne va r i e pas b e a u c o u p ou si l 'on en p r e n d une va l eu r m o y e n n e :

C 2. Ap = @ 8t

Enfin si l ' 6cou lement est p e r m a n e n t on r e t r o u v e 6v idem- ment

A~ c ' e s t -~-d i re aussi Ap = 0

I1 y a d ' a i l l eu r s d e tr~s fortes chances p o u r que le r 6 g i m e d ' 6 c o u l e m e n t va r i ab le soit le seul r6al is6 : compte tenu d e s pe rm6ab i l i t6 s r6dui tes et d e la fluctuation du n iveau d e la r 6 se r - ve, il s e m b l e b i en que Ie r 6 g i m e p e r m a n e n t pu i s se 6tre consi- d6r6 c o m m e une vue de l ' espr i t . Ce fait peu t d ' a i l l eu r s rev6t i r une i m p o r t a n c e cons ld~ rab l e p o u r le calcul d e s contraintes qui r6su l te ra ien t d e l 'effet de s p r e s s ions inters t i t ie l les , si l 'on songe au fait que le b6ton et la fondat ion ont d e s p e r m 6 a - bili t6s diff~rentes. Ainsi, la fondat ion peu t p a r e x e m p l e se t r ouve r compl~ tement soumise ~ la pe rco la t ion a lors que le b a r r a g e n 'y est pas e n c o r e to ta lement soumis.

C. Remarque.

La r6par t i t ion des p r e s s i o n s dans les b a r r a g e s d 6 p e n d 6v idemmen t d e la p r 6 s e n c e d ' un 6cran d ' 6 t a nc he me n t app l iqu6 sur le p a r e m e n t amont ou d ' un 6cran d e d r a i n a g e p r 6 v u ~ q u e l q u e d is tance ~ l ' in t6 r ieur du b a r r a g e (fig. 7).

"1/I// / / i / / I / V

I/I/ l//ill~l~ ///I/I/I/l// Fzr 7.

235

V O L . I - - N ~ l 0 - - 1 9 6 9 - - M A T I ~ R I A U X E T C O N S T R U C T I O N S

Des d e u x solutions la s e c o n d e est d e loin p r 6 f 4 r a b l e ca r el le p ro t&ge p lus e f f i cacement la zone si tu6e ~ l ' ava l du r i deau d e d r a i n a g e . II n ' e s t pa s d e m&me d ' u n 6c ran i m p e r m 6 a b l e : d e s d6fectuosi t6s m i n e u r e s dans l ' 6c ran le r e n d e n t r a p i d e m e n t p e u efficace. A titre d ' e x e m p l e just if icat if on e x a m i n e r a le champ d e s p r e s s i o n s dans un b a r r a g e muni d ' u n 6cran pe r fo r6 en d e u x e n d r o i t s (fig. 8).

~O rn

1oo ~o~ ~/~ ,~_ ' , ~ - , ~ \ T~' li s:o',~' ~o~ "~.~,"., ~ s

/ / / / / / / / / ] / / / / / / 2 / ? / / ' / / / / / ' / / 2 / 2 / / / .

~quipotentielles et lignes de courant dans

un barrage muni d'un ~cran d'~tanche-

rnent perfor~ en A et ~3

100 rn

! 50

Lignes d'~ga/e pression dans

le ba r rage muni d'un ~cran

d'~tanchernent p e r f o r ~ en A

et I~

FIG. 8.

/ ignes d'~gale p ress ion dans le

barrage ~ans ~tanchement

4. F--TATS DE CONTRAINTES CRI~.F..S PAR LA PRESSION INTERSTITIELLE

A. G~n~ral i t6s .

Des obse rva t ions au m i c r o s c o p e 61ectronique d e la pa t t i e h y d r a t 6 e d ' un c i rnent hydrau l ique , s e m b l e n t conf i rmer l ' hypo th~se d4j~ tr~s r 6 p a n d u e que le ge l de c iment hyd ra t6 es t constitu6 p a r d e longs f i laments qui a s su ren t Ia r6s i s tance d e la pa t e donc du cong lom6ra t & la t ract ion. Dans ces condit ions, pu i sque la r6s i s tance et la d6formabi l i t6 d ' un b6ton d 6 p e n d e n t e s s e n t i e l l e m e n t d e ces l iens, on conclut que c ' e s t l '6tat d e tens ion dans les l iens qu ' i l impor t e d e c o n s i d 6 r e r : c ' e s t ce que l 'on a p p e l l e en m6can ique d e s sols la tens ion effect ive ou in te rg ranu la i re . La p r e s s i o n agissant dans la zone non o c c u p 6 e p a r les l iens agi t donc h la man i~re d ' u n e soll ici tat ion dont il i m p o r t e de ca lculer les efforts su r les liens.

La soll ici tat ion en cause dans une sec t ion q u e l c o n q u e s 'ob t ien t en mult ipl iant l a p r e s s i o n pa r le p o u r c e n t a g e d e sur face p r o j e t 6 e non o c c u p 6 e p a r les l iens (0) et s u r une sur face S, el le vaut 0 Sp.

Sous l ' ac t ion de cet te soll ici tat ion on calcule les contra intes effect ives

s u p p o s 6 e s un i form6ment app l i qu6es su r des sur faces infiniment pet i tes .

Remarquons que si 0 = 0, le b e t o n est compact , compl~ tement d 6 p o u r v u d e p o r e s .

Si au con t ra i re 0 = 1, on se t r ouve en p r 6 s e n c e d e l iaisons i n t e rg ranu la i r e s inexis tantes .

Notons aussi que la p r e s s i o n inters t i t ie l le n ' ex i s t e que si un 6cou lemen t peu t se p r o d u i r e c 'es t - ~-d i re si les p o r e s communiquen t : ce qui v ient d ' e t r e dit p o u r les b6tons h y d r a u l i q u e s s ' 6 t end 6vi- d e m m e n t ~ t o u s l e s mat6r iaux. En pa r t i cu l i e r 0 = t c o r r e s p o n d a u c a s des sols n o n coh6rents . Un mat6r iau ~ p o r e s non communiquan t (lave) se c o m p o r t e c o m m e un mat6r iau ~ 0 nul.

B. F.tat p lan de tens ion .

Dans l ' hypo th~se d e l '6tat p l an d e tens ion on sch6mat i se c o m m e suit l ' 6 q u i l i b r e du r ec t ang le 616mentaire (fig. 9).

Les condi t ions d ' 6 q u i l i b r e s ' 6c r iven t :

ax 8z 8x 8z 8x ~z

236

Z

i/~ TXZ +-Eq-"_

f ix

TX2

dE

~Op op + ~, dx

Ex +-~- x dx

+ ~ TZX Tzx ~ dx

X FIG. 9. IL

F. C A M P U S -- N. D E H O U S S E -- J. H A M O I R

\ o 'x I

TZX

/

FIG. 10.

La re la t ion d e compat ibi l i t6 est la suivante :

et les condi t ions d e contour se ron t t radui tes p a r (fig 10) :

c;~cos Z + - % = s i n Z : - - p ( l - - 0 ) cos

% sin ~ + -%=cos ~ = - - p ( 1 - - O ) sin

Des 6quat ions d ' 6 q u i l i b r e et d e compatibi l i t6, on peu t conc lu re que les p r e s s i o n s interst i t ie l les ag i s sen t ~ la man i~re d e forces vo lumiques

X aOp et Z ~Op 8x 8z

condi t ion d e ne faire ag i r ~{ la sur face que Ia p r e s s i o n p(1 - - 0) c o m m e l ' i nd iquen t les re la t ions du contour. C e p e n d a n t le cas pa r t i cu l i e r examin6 est suscep t ib l e d ' u n e p lus g r a n d e simplification. En effet en posant

Z'z = % --0,o TrXZ ~ TXZ

on peu t 6c r i re les 6quat ions d ' 6 q u i l i b r e :

les 6quat ions du contour

8z'~ + 8 f = = 0 8x 8z

~qc;'~ + 8~ '~ = 0 8z 8x

<;'xcos ~ + "dxz sin ~ =--pcos Z # �9

C;z sin ~ + ~zCOS ~ =--p sin Z

l ' 6qua t ion d e compat ibi l i t6 :

~ ~2 [~2p 82p~ {~2p 82p~ = 0 (~ - - I ) { a2p 82p~ @x--- 2 (~'=+ ~'z) + ~ (~ ' . + ~':) = (1 +v) 0 Ij-X-X~ + -~~z 2 ] - - 2 0 \ ~ + -~z~ ] \-~-xx ~ + ~z21.

Or dans le cas pa r t i cu l i e r d ' u n ~cou lemen t pe rmanen t , on a A~ = A p = 0 si b i e n que l '6qua t ion d e compat ib i l i t6 peu t s ' 6 c r i r e :

~2 ~2 ~x~ (<~',< + <,'=J + ~ (<~'x + % J = o

237

V O L . 2 - - N ~ 1 0 - - 1969 - - M A T t ~ R I A U X E T C O N S T R U C T I O N S

Les 6quat ions t r ans form6es (z '~ z 'z ~'~z) sont ce l les qui r e p r6 se n t e n t l '6tat d e tens ion d ' u n c o r p s i m p e r m 6 a b l e et sollicit6 p a r la p r e s s i o n p le long d e sa fronti~re charg6e . L'6tat d e tens ions effect ives peu t donc s ' o b t e n i r p a r les re la t ions

% = ~'x + Op #

% = ~z + Op. ~2 t

~ xz xz

c'est-&-dire qu'il peut 6tre obtenu en 6tudiant d'abord celui du corps suppos6 imperm6able (Z'x *'z ~'xz) et en y superposant apr~s r6solution une traction hydrostatique Op.

C. r.tat p lan de d ~ f o r m a t i o n .

On a r r i ve exac t emen t aux m~mes conclus ions que dans l '6tat p lan d e tens ion ca r seu le l '6quat ion d e compat ib i l i t6 subi t une modif icat ion et s '6cr i t a lors :

a~ a~ op {a~p a~p~

D. R e m a r q u e r e l a t i v e & la f ict ion d e c a l c u l r e p o s a n t sur l 'effet d 'une t rac t ion h y d r o s t a t i q u e .

Cette fiction n ' e s t app l i c ab l e que si les forces vo lumiques ne sont pas d e na tu r e & p r o v o q u e r d e s discontinuit6s. Ainsi dans l ' hypo th~se d e la f igure 11, os il y a dans le mass i f une l igne de dra ins n ' en t ra inan t la p r 6 s e n c e d e p r e s s ions inters t i t ie l les que dans une p a t t i e du b a r r a g e (pa r e x e m p l e ABC), ii y a une discontinui t6 dans les forces vo lumiques du type

X aep i a x '

qui n ' e s t pas a i s6ment to l6 rab le p a r la th6or ie d e l'61asticit& En fair, la fiction e n v i s a g 6 e n ' e s t admis- s ib le que dans la zone ABC mais il impor t e a lors d ' 6 t ab l i r la compat ibi l i t6 d e s d6format ions en t re les d e u x demi-mass i fs ABC et ACD Ie long de AC.

Z

V

-c

B I / l / i / 1 / /

C

D / l l l l i l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l

X

F I G , I I .

Donc dans cet te hypoth~se , il ne p o u r r a 6tre env i sag6 d e s u p p o s e r s i m p l e m e n t le massif i m p e r - m 6 a b l e et d ' y s u p e r p o s e r une t ract ion hydros t a t i que 6ga le & Op.

On exp l i c i t e r a ce t te r e m a r q u e u t t6 r i eu remen t su r un exemple .

E. @..tat t r ip le de t e n s i o n s .

Les 6quat ions fondamenta les d'61asticit6 s ' 6c r iven t a lors :

a-:~. aOp ~ ' ~ ~ + - = ~ x + 0y ~z ~x

238

F. CAMPUS - - N. DEHOUSSE - - J. H A I d O I R

t zx),x + %yky + %z>,, = p ('l--O)kx

off )'x, ky et ),: sont les cosinus directeurs de Ia normale ext6rieure ~ la facette du parement et :

i 1 82 ( zx+zr+z~) vO .Ap ~ 2.0~2P A ~ + 1 +--------v 8x ~ = 1 ~ ' ~x 2

1 8 2 ( ~ + % + % ) = 2.0. ~2p I A~y + i + v ~x ~y 8x~y

La seule conclusion que l'on puisse tirer de l 'examen de ces formules est que les pressions interstitielles agissent ~ la mani~re de forces volumiques.

X 80p y DOp et Z 5Op 8x ' 8y 8z

condition de ne faire agir sur les faces charg6es que la pression p (i -- 0).

I1 n'est cependant plus possible d'armuler les seconds membres des 6quations de compatibilit6 en 6coulement permanent.

Ces raisormements sont 6galement applicables en coordonn6es cylin- driques. En particulier dans l 'hypothSse de l'axisym6trie on conclurait

l 'existence de forces volumiques du type.

Z 8 Op et R 8 0p 8z ~r

F~c. 12.

5. ESSAIS POUR LiE Dr. .TERMINATION DE 0

Le coefficient 0 6tant une grandeur physique propre au mat6riau doit 6tre fix6 par un essai particulier.

Plusieurs recherches ont 6t6 raises sur pied pour d6terminer ce coefficient et on trouvera ci- apr~s des r6sultats d 'une r6cente investigation poursuivie ~ l'Universit6 de Liege.

La m6thode la plus classique consiste h mesurer l'allongement d 'un cylindre de mati~re soumis sur sa pSriph6rie cylindrique ~ une pression constante au moyen d 'une chambre (fig. 13).

sortie d'eau ~ la pression ~ r ~ , . r atmosph~rique

, k ~ \ \ 1 \ X A ~

"/ "" ~ extensbm~triques

FIG. 13.

239

V O L . 2 - - N ~ 1 0 - - 1 9 6 9 - - M A T I ~ R I A U X E T C O N S T R U C T I O N S

Dans la sec t ion m6d iane du c y l i n d r e (MM), la sol l ici tat ion est une t ract ion p r a t i q u e m e n t d6finie p a r :

0p E

A pa r t i r d e la v a l e u r du m o d u l e d'61asticit6 (E) et d e la lec ture d e s d6fo rmat ions (~) p a r j a u g e s ex tensom6t r iques , on peu t en d 6 d u i r e 0.

On peu t en effet le m o n t r e r c o m m e suit :

/L Pour d 6 t e r m i n e r l '6tat d e cont ra in te auque l le c y l i n d r e est soumis d e p a r la p r e s s i o n p, il i m p o r t e d ' a b o r d d e connai t re le champ d e p r e s s i o n ~ l ' int6- r i e u r de l ' 6p rouve t t e .

Ce c h a m p est r6gi , en m o u v e m e n t p e r m a n e n t , c o m m e nous l ' avons vu p a r

A~ = 0 ou a p = 0 .

Dans le cas p r6sen t , il est p lus s imple d ' e m p l o y e r les c o o r d o n n 6 e s cy l i nd r iques dans l e sque l l e s Ap = 0 s '6cr i t :

1 ap+e~-p a~,o=0. r" ar ~r 2 + ~z ~

La r6solut ion du lap lac ien fournit la va l eu r d e p en tous points.

D ive r se s m 6 t h o d e s p e u v e n t ~tre e m p l o y 6 e s p o u r ce faire, dont la m~ thode aux d i f fe rences finies e t l ' app l ica t ion du p r o c ~ d 6 d e relaxat ion.

Le r6sultat suivant (en c o u p e t ransversa le ) est atteint, p a r e x e m p l e dans l ' hypo th~se d ' u n e p r e s s i o n d e 10 k g / c m ~ agissant sur un cy l indre d e 60 cent im~tres d e haut et d e 15 cent im~tres d e d iam~t re (1) (fig. 14 et 15).

�9 II

Z

I

E

I!

~ c m I

FIG. t4..

P

10

I I0

I I0

I-- 10

10

l 10

10

I I0

i I0

L 1o

I I0

10

I0

I 10

I0

I I0

I I0

I0

X 10

k S

I 0

9,92

9,90

9,87

J g82

9,76

9,67

9,50

9,21

8~66

7,so

4,60

1,60

L

I ._9`95..

I 9,_94

J

9.93 [

r pra t i c luement - _ _ ~ 2

I 10 9.90

I I

en 9,818

I tous ten 9,8]6

E point.. 9,84

I I

9`81 I

I 9,76

i

i 9,84 9,77 9,72 9,710

I 9,79 9 ,70 9r64 9,62

[ 9'73 9,62 9,54 9,51

I

1 9,6s 9, s o 9, 40 9, as

I

I 9,53 9,33 9,19 9,12

t 9,34 9,06 8,87 8,718

I 9`03 8~6S 8,40 8,30

l 8,$3 8,03 7~ 71 7, 56

I ' 7,70 7,1o 67o 6,s6

I

6,34 573 S,39 5,24 | [

I 4,21 3,92 3,73 3,64

I ]

1. 91 1, 9 3 1 ,88 1, 8,5 -

o oo;

FxG. 15. 7,,5 c m

240

F. CAMPUS - - N. DEHOUSSE - - J. H A M O I R

B. Sur la connaissance de ce champ de press ion, on peut b a s e r le calcul des va leurs des forces vo lumiques

Z 80p et R cOOp COz COr

On peut & pr6sen t d6 t e rmine r la d6formation de la sect ion m6diane de l '6prouvet te .

a) Action des forces rnassiques verticales (fig. 16)

La r6sultante des forces vo lumiques axiales dans la sect ion z = 0 s '6cri t :

fff s = ---~zdV

oop F 2,~r. drdz.

=JO d O COZ

[ coop

F =-- O P~= --P~=o 2=rdr

F = + O P.=0"2r~r 'dr o

Or se lon les r6sultats de t 'analyse pa r la th6or ie de ta relaxation, on a p r a t i quemen t P.=o = constante = p d 'ofl on d6duit

F = Op.-~R# = OpS

La d6formafion de la sect ion mddiane est donc :

__s = OpS = O p _ %

ES ES E

Z

th/2

I

G FIG. 16.

.Re_ 7

b) Action des forces volumiques radiales.

Les calculs montrent que Yon peut p r a t i quemen t admet t re R = - COOp COr

dans la zone centrale .

Nous n6g l ige rons l 'effet de R.

= O, tout au moins

c) Action des press ions du contour [compression 4gale ~ (l--O)p].

L'6tat de contrainte co r r e spondan t & cet te sollicitation est :

% = ~ = - - ( 1 - - O ) . p et % = 0 (fig. 17).

I1 en r6sulte une d6formation :

,, 1 [ % _ _ , , (<~r + <~<)]

i [2v(i--~Jp]

d) La d4forrnation totale de la section rn4diane

est ainsi

= ' " P ( 2 v - - 2 v 6 + 6 ) t.,

/ / \

/

\

lo Fro. 17.

- - (~ -e )p

\

D&s lors si l 'on connait p e t q u e l 'on m e s u r e E et v auxil iairement , la va l eu r de % fixe 0 et on a:

, 0 = l~2~v

241

V O L . 2 - - N ~ t 0 - - t 9 6 9 - - M A T I ~ R I A U X E T C O N S T R U C T I O N S

e) On mont re ra i t aussi que :

% = P (0 + '~ - - 2 ', 0 - - I) = ~,

et on doit aussi avo i r :

i [E'Z,+l_v] 0 i--2----~, p

f) Si l 'on d6s igne p a r ~ la s o m m e invar ian te des trois di latat ions :

= r + % + , , = P ( 1 - - 2 ~,) ( 3 0 - - 2 )

on a aussi

I E. ~ 2] o +

Donc si, on conna~t, d ' un essa i p r6a lab le , E et v, et si on d i s p o s e d e s m e s u r e s d e % et ~r, on p o u r r a ca lcu le r 0 p a r n ' i m p o r t e l aque l l e des trois formules p r 6 c 6 d e n t e s .

g) L ' e x p 6 r i e n c e qui v ient d ' 6 t r e d6cr i te imp l ique un a l l ongemen t axial d e l ' 6 p r o u v e t t e qui est su scep t i b l e d e p r o v o q u e r sa rup tu re .

Pour l '6vi ter , il s ' i nd ique donc d e c o m p r i m e r au p r 6 a l a b l e l ' 6p rouve t t e sous une c h a r g e connue. Au l ieu d ' e n r e g i s t r e r des a l longemen t s d e l ' 6prouve t te , on m e s u r e r a donc d e s r6duc t ions d e son raccourc i s sement .

h) On a indiqu6 p r 6 c 6 d e m m e n t que p lus ieurs r e c h e r c h e s avaient d6j~ 6t6 ra i ses su r p i e d p o u r d 6 t e r m i n e r les coefficients de p r e s s i o n s interst i t iel les.

Parmi les e x p 6 r i m e n t a t e u r s qui se sont p r 6 o c c u p 6 s d e cet te quest ion, il conv ien t d e ci ter sp6- c ia lement Le l i avsky et Serafim.

Chez ces d e u x exp6r imen ta t eu r s , le p r i n c i p e d e s essais et de s a p p a r e i l s 6tait le m~me.

Lel iavsky d6 te rmina i t 8 p a r la rup tu re d e l ' 6p rouve t t e : il en r6sultai t qu ' i l ob tena i t d e s va l eu r s d e 0 g 6 n 6 r a l e m e n t 41ev6es, vois ines de 1.

Serafim a sur tout op6 r6 avec d e l ' azote e t a m e s u r 6 les d6format ions p a r d e s j a u g e s d i spos6es suivant les seu le s g6n6ra t r i ce s des cyl indres .

6. R A P P E L R E L A T I F / i U PROC@.D@. EMPLOY@. E N 1VIECB.NIQUE D E S S O L S P O U R LE C A L C U L D E L ' A C T I O N D E L ' E K U SUR LES P A R T I C U L E S S O L I D E S

D ' U N M A S S I F D E T E R R E

F a v r e et Mul ler ont p r o p o s 6 en 1938 le p r o c 6 d 6 r a p p e l 6 c i -apr~s p o u r le ca lcu l d e l 'act ion d e l ' e au sur les pa r t i cu l e s so l ides d e s massifs de t e r r e [2].

A. T e r r e s s ~ c h e s o u n o r m a l e m e n t h u m i d e s s a n s n i v e a u l i b r e .

Un vo lume A v e s t soumis ~ son po ids ver t ica l

= - - A V . C l - - v ) . - : = . ~= FIG. 18.

si west la porosit6 en volume et Ys le poids sp6cifique absolu (fig. 18)

Dans un massif en 6quilibre, cette force P verticale est exactement 6quilibr6e par une force verticale Q = --P r6sultant des r6actions du massif sur le volume AV.

B. T e r r e s s u b m e r g ~ e s l i q u i d e s a u r e p o s ( n i v e a u l i b r e d e l a n a p p e h o r i z o n t a l e ) . ( F i g . 19) .

-fi = - A v

"S = pouss6e d'Archim~de = AV(l--v)Te.~ez avec 7e le poids sp6cifique du liquide. Fro. ~9.

, s

- , , 4 b

P

242

F. C A M P U S - - N . D E H O U S S E - - J. H A M O I R

Si bien que R = P~-S = -- AV(l--v)(y=--ye ). $z

= -- ~v[v=--vj. e:

o~h y., est le poids sp6cifique des terres mouill4es.

C. Terres s u b m e r g 6 e s l iquide en m o u v e m e n t .

a) Efforts agissant sur une part icule d'eau [AV.v] (fig.20).

Z

p - d p p /p+dp FIG. 2o.

Les forces qui agissent sur Ia part icule d ' eau doivent 6tre en 6qui l ibre . On suppose que les te rmes d'acc616ration sont nuls ce qui est p ra t iquement le cas. Les trois forces sont alors :

~. .->

I= = poids = --AV. v. Ye.ez

ff= = effort agissant sur la part icule AV. v e t r6sultant du champ des press ions ; ii est normal la surface d '4ga le p ress ion du milieu poreux ; son sens est celui des p ress ions d4croissantes et son

intensit6 (fig. 21).

- - AV.v. g rad p

/ \ dn FIG. 21

. .-_)

III= = la r6sultante des efforts tangentiels d6ve lopp6s par le sol ide pour s ' o p p o s e r au m o u v e m e n t de filtration. Le m o u v e m e n t est laminaire et cette r6sultante est p ropor t ionne l l e ~ la vitesse.

On peut 6cr i re ' ~ e "--> - - ~ V . v . - ~ .u

o~ u est la vitesse, k une constante;

Ye ~ est la force pa r unit6 de volume. si ~-

Ces trois forces sont des vecteurs et on a :

I= § ~ + III= -- 0

soit encore :

'Ye -~ - - A V . v. Te g rad z - - AV. v. g rad p - - A V , v -~ u = 0

g rad z 6tant un vec teur pa r a l l~ l e ~ l 'axe des z et ayant la va leur unit6.

243

V O L . 2 - - N ~ 1 0 - - 1 9 6 9 - - M A T I ' ~ R I A U X E T C O N S T R U C T I O N S

Remarquons que l 'on r e t r o u v e

Cette formule vec to r i e l l e est p lus connue sous la fo rme :

3=-kr

I b

\

b) Efforts agissant sur une particule [AV(1--v)] (fig. 22)

p-dp i p i I

,, t ,p+dp I r FIG. 22.

C e s e f f o r t s s o n t l e s s u i v a n t s :

I \ = p o i d s ~ - - A m - - v ) ~,.% --> ->

II b = e f f o r t d f i a u c h a m p d e p r e s s i o n : - - A V ( 1 - - v ) g r a d p = II a x - -

~b = ~ v . v . ) . ~

= - aV.v.,Ce.i" = - - ~ ,

1 - - v

V

Le d e m i e r effort ~tant i n v e r s e et 4gal ~ l 'effort d e f rot tement e n v i s a g 6 c i - a v a n t

T,e s chema d 'ac t ion d e ces composan t e s est donc le suivant : (fig. 23).

La compos i t ion d e ces trois efforts d o n n e le r4sultat de lafigure 24. _,_ / . A v ( , _ v ) Ys.~z= C

, ,

= Za " 17v ou 17. a obe/t aut6ang/e AV.v.][~'-,.~ = nTb v des forces .de

l'al/nea a : I

~" X _ A V . V . r e . 7 " , - , ,

f-.- ,o;t plus simplement: I / .l~a

/ / = -v Vre7 ( Y s - r e ; g F r 23. ~ - - A v ( Ym-re ) ~'z

- AV.r e . 7" F,G. 24.

Ainsi, p a r unit4 d e volume, la soll ici tat ion d u e ~ l 'effet d e l ' eau en m o u v e m e n t et ~ la g rav i t4 est la r4sul tante d e d e u x forces

- - a) une fo rce ver t i ca le ~ga le ~ Y m - Y,

- - b) une force d i r i g~e dans le sens d e l ' ~ceu lemen t et ~ g a l e ~ y,I.

244

F. C A M P U S - - N . D E H O U S S E - - J. H A M O I R

7. UNICIT~- DES DEUX PROCI~D~..S RAPPEL]~S CI-AVANT (forces voturniques - - syst@me de Favre et Muller)

Ainsi q u ' o n vient de le voir la m@thode de Favre et Muller fait appara i t re la sollicitation ci- aprbs pa r unit@ de volume : (fig. 25).

�9 FiG. 25. La mTthode des forces volumiques, envisag@e pour un massif de coefficient de press ions inter-

stitielles @gal & 0 c o r r e s p o n d au croquis de la f igure 26.

z

[-

z-= _ a e_.____.~p az

~'x'xx-_ eep~ ax ex

o = - [(1 - v ) "G s + v u ~z

=-u ~z

La r@sultante vectoriel le de X et Z s 'Tcrit :

x

FIG. 26.

( ~o~ + ez - - ~ - ' z ]

= - - g r a d ( 0 p ) = - - 0 g r a d p s i 0 est constant.

Puisque p = ( ~ - z).ye, on peut & f i r e :

R' = - - 0ye g rad (~--z) ->

= - - 0y~ g rad ~ + 0y~ e=

et ainsi R' est la r@sultante de deux forces vo lumiques : une forcey ~0 dirig@e vers le haut et une force 0y~I dirig@e dans te sens de l '@coulement (fig. 27).

Z

( i~e~ - e ) p -,. e ~

ez

x FIG. 27.

On constate ais@ment en comparant les f igures 25 et 27 qu 'e l les d e v i e n n e n t iden t iques si l 'on admet e = 1.

245

V O L . 2 - - N ~ ! 0 - - 1 9 6 9 - - M A T I ~ R I A U X E T C O N S T R U C T I O N S

Dans ce cas, la p ress ion sur le pa remen t amont s 'annule et la sollicitation n ' e s t t ransmise qu'& l ' int6rieur du massif : cette attitude est bien connue des g6otechniciens et en par t icul ier de ceux d ' en t r e eux p r6occup6s pa r l '6 tude de la stabilit6 des talus.

8. A P P L I C A T I O N DU C O N C E P T DE FORCES VOLUMIQUES AU CALCUL D'UNE SECTION DE BARRAGE i% GRAVITY. ~..QUIP~.. D ' U N D R A I N

Soit & examiner l'effet de la press ion hydros ta t ique dans un ba r r age tidangulaire muni d 'un 6cran de d ra inage dispos6 selon la l igne BD (fig. 28).

z D

/

x " FIG. 28 .

On d6s igne pa r 0 b le coefficient de press ion interstitielle de la zone dans laquel le la percolat ion a effectivement lieu (zone BCD).

L'effet de la press ion hydrosta t ique est celui cr66 pa r la press ion (1 - - 0 b) P app l iqu6e au parement amont et des forces volumiques

X 80bP ~ObP ~x et 7. ~z (fig. 29).

( i- Oh)'

BOb p a z ",'-.

Y

D

FIG. 29.

246

F. C A M P U S - - N. D E H O U S S E - - J. H A M O I R

L' in t6gra t ion des forces vo lumiques hor izonta les en t re le p a r e m e n t amont et la l igne DC donne

f DC ~ObP .dx.dz = O b " P a,nont " dz arnont ~X

(contribution A)

L'int6gration des forces volumiques verticales dans le triangle DCD' donne

f amont ~Obp .dx.dz = dx. O b " P amont

D r a i n - - ~ Z

�9 (contr ibut ion B)

L ' in t6gra t ion d e s forces vo lumiques ve r t i ca les dans le t r i ang le D'BC d o n n e :

lamont = Ob (Pz=O -- Pamont) dx ~Obp dx dz . ~=o ~z

= Ob.p(z=o).dx- Ob.Pamont.dx

(contr ibut ions B et C)

On peu t r a s s e m b l e r tous ces r6sultats sur un sch6ma r6sum6 en faisan! g l i s s e r tous l~s vec t eu r s sur l eur s u p p o r t ce qui ne c h a n g e r i en & l ' 6qu i l ib re g6n6ra l (fig. 30).

~7 D

( 1 - (9 b ")Pamont

8b.Pamont (Contribution A)

D

eb.Pamont (Contribution B)

(1-eb ).Pamont

ebPz=O C ~ (Contribution .....

i / Gb.Pamon f (Contribution A)

Ob.p amont ( Contribution B )

F1c. 30.

De ce sch6ma on peu t conc lure que pou r Ie calcul des con t ra in tes su r l ' a s s i se AB, on peu t consi - d 6 r e r en p r e m i e r e app rox ima t ion le b a r r a g e c o m m e i m p e r m 6 a b l e et s u p p o s e r la p r e s s i o n h y d r o - s ta t ique a p p l i q u 6 e sans r6duct ion au p a r e m e n t amont & condi t ion d e ten i r compte en plus d ' un dia- g r a m m e de forces r e p r 6 s e n t 6 p a r Ob.p(z=o ) et app l iqu6 sur le seul t rongon BC.

C 'es t sous l 'effet d e ces d e u x sollicitations (p ress ion h y d r o s t a t i q u e + d i a g r a m m e des forces en l ignes) qu ' i l convient d e ca lcu le r les contra in tes dans la sec t ion BA.

247

VOk.!2 - - N ~ t 0 - - | 9 6 9 - - M A T ~ R I A U X E T C O N S T R U C T I O N S

9. D ] ~ T E R M I N A T I O N DE L ~ SOUS-PI~ESSION (PI~ESSION SOUS LA SURFACE D'ASSISE D'b'N B~c~RJ[GE)

A PARTIR DES COEFFICIENTS DE PRESSIONS INTERSTITIELLES

DANS LE BI~TON ET LA FONDATION

I1 est possible de montrer que la sous-pression n'est qu 'une manifestation particuli~re de l'effet des pressions interstitielles au droit d 'une solution de continuit6.

Pour le faire apparaitre, on consid~re un barrage dont le mat6riau constitutif poss~de un coeffi- cient de pressions interstitielles 6gal & ~b reposant sur une fondation suppos6e homog~ne et de coefficient de pressions interstitielles 6gal & 0, (fig. 31).

jLZ

"x

I ~176176 ~r Fzc. 31.

Sous l'effet de l 'eau de percolation, apparaissent dans le barrage des forces volumiques

et dans la fondation

Zb DObP az

Xb 80hP 8x

Z, 80,p az

Xr ~OrP ~x

Dans l 'hypoth~se d 'une fondation horizontale on peut 6crire d 'une mani~re g6n6rale :

Z a0p et X a0p ~z ~x

& condition de donner & 0 l 'expression plus g6n6rale ci-apr~s :

o = H(z)O b + H(--z)O,

o~ H(z) est la fonction d'Heaviside. L'introduction de 0 dans Z donne la relation

soit :

Z a = - - az [O~.H(z)--OrH(--z)].p

Z = [--O~T-l(z)+8,~l(--z)] 81~ a [H(z).O~+H(--z)O,lsoit: �9 y~ -p.~

Z = ZA + Zs

- - Le terme ZA correspond & des forces volumiques calcul6es & partir de 8~ dans le barrage et 0, dans la fondation comme indiqu6 pr6c6demment.

248

F. C A M P U S - - N . I D E H O U S S E - - J. H A M O I R

- - Le te rme ZB est un te rme addi t ionnel :

Zs = - ob.p~(z) + Or.p~(--Z)

= - - p [ o b . ~(z)--o,. ~C--zJ] o~ ~(z) est la fonction de Dirac.

Cette de rn i~ re relat ion est l ' express ion d ' u n effet concentr6 dans un champ de forces volumiques .

Pour faire appara i t re cet effet, il suffit d ' i n t6g re r :

f+oo [ f+ o f+oo ] ZB.dzdx = - - e b. p .a (z )dz + 8,. p . S ( - - z )d z dx - - 0 0 - - G O - - 0 0

= [-- Ob.p~=o+ O,..p~=o ] dx

= pz=0[O,--Ob] dx

Ii s'agit donc d'une ligne de ,forces agissant dans le joint, dirig6e vers le haut et dont l'intensit6 est fournie par

(0 , - -%) .Pcz=o~

rl

' I / I I I I I I / / / /

t 2

X

I / / / / / / / / / ~,L

( e r - eb ) 'P (z= O)

FIG. 32.

On peut r6 sumer comme indiqu6 & la figure 33 les forces & cons id6 re r pou r le calcul d ' u n ouvrage hydraul ique.

(1-6)b) p

(1- @r)p

lL - aer p

az l l l l " " (Or - 8b ) Pz 0 "//////////

L

- aerp

a•

Fic. 33.

249

Or . Pc,=o) '

La sous -p re s s ion a p p a r a i t donc l o g i q u e m e n t c o m m e due ~ la d i f f4rence d e s coeff ic ients d e p r e s - s ions interst i t ie l les dans les mat6r iaux en contact.

En fonction d e ce qui a 6t6 mont r6 au p a r a g r a p h e 8 on peut , sans nu i re ~ la s ta t ique du syst~me, le s u p p o s e r sollicit6 c o m m e ind iqu6 ~ la f igure 34 o~ la sous -p re s s ion est 6 v i d e m m e n t r a m e n 6 e ~ :

V

p -

L

(I- Or) p

Ill rlrfTT t l t\ er.P(z=O)

I z

: I i I I I I

-a(~rP V///////////////////// l l I l l l @z ~~ ((~r-(~b).p(z=O)

- a(~r p ax

V O L . 2 -- N ~ 10 -- 1 9 6 9 -- M A T I ~ R I A U X ET C O N S T R U C T I O N S

FIG. 34.

Les d e u x m6 thodes d e calcul son app l i cab les .

Ainsi, la sous -p re s s ion d 6 p e n d d e s disposit i fs d ' 6 t anchemen t env i sag6s qui in f luencent Pcz=0) et d e la na ture des mat6r iaux en contact qui fixent D r et 0 b (*).

(*) L a d e u x i b m e p a r t i e d e c e t t e 4 r u d e p a r a l t r a d a n s l e n o 12 d e r M a t 6 r i a u x e t C o n s t r u c t i o n s }} ( n o v e m b r e - d 6 c e m b r e 1969).

R I ~ F I ~ R E N C E S

[1] J . LAGnnrrA-SERAFIM. N ,4 s u b p r e s s a o n a s bar-

r a g e n s . P u b l i c a t i o n n ~ 55. L a b o r a t o i r e N a t i o n a l de G6nie Civi l , L i s b o n n e , 1954.

[2] E r d b a u k u r s E . T . H . 1938. - - S a m m l u n g der Vor t r / i ge h e r a u s g e g e b e n y o n I n s t i t u t f i ir E r d - b a u f o r s c h u n g de r E.T. I - I . , Z u r i c h .

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