LES SERIES DE FOURIER - INSA Lyon

LES SERIES DE FOURIER COURS / EXERCICES

Auteur de la ressource pédagogique

Gilsinger Jean-Marc

PC / GCU Création : 1994

Publication : 2016

-··;\INSA •• I.YON

LES

t."enne-Jules MAREY 1887

Réimpression

Département Génie Civil et Urbanisme Formation DUT+ 3

Département du 1er cycle Deuxième année

SERIES

J-M GILSINGER © [GILSINGER Jean-marc], [2016], INSA de Lyon, tous droits réservés.

SERIES DE

FOURIER

Merci à Badiaa AZZOUZI

© [GILSINGER Jean-marc], [2016], INSA de Lyon, tous droits réservés.

-2-© [GILSINGER Jean-marc], [2016], INSA de Lyon, tous droits réservés.

SERIES DE FOURIER MODE D'EMPLOI

Cet ouvrage, de formation continue, s'adresse aux étudiants du niveau de deuxième et troisième années d'écoles d'ingénieurs. Il se compose d'un petit film et d'un livre.

Le film présente les résultats fondamentaux ; il les illustre d'exemples visuels ou sonores et montre quelques applications choisies de préférence dans le domaine musical.

Le livre donne un aperçu historique des problèmes à l'origine des séries de Fourier et expose dans les trois premiers chapitres la théorie élémentaire. Certains résultats y sont admis. Le langage géométrique des espaces de Hilbert est esquissé. Il s'avèrera décisif pour résoudre des problèmes avec conditions aux limites par développement en série de fonctions orthogonales sur le modèle des séries de Fourier.

Le chapitre 4, d'analyse mathématique aborde les notions de produit de convolution, de filtre et de suite régularisante à partir desquelles sont démontrés des théorèmes importants (base hilbertienne, théorème de convergence de Dirichlet).

Modélisations physiques, expérimentation d'analyse de Fourier par résonance, remarques de physique musicale puis exercices de difficulté graduée complètent l'exposé mathématique.

Des correspondances film-livre sont indiquées dans le sommaire et vous trouverez en annexe des rappels sur les convergences des séries et les solutions des exercices. Nous espérons que ce document multimédia, conçu pour la formation personnelle vous aidera à maîtriser la technique des séries de Fourier et vous permettra d'entrevoir ses multiples prolongements. Bonne lecture !


http://mediacenter.insa-lyon.fr/videos/?video=MEDIA160307094250153

BIBLIOGRAPHIE quelques ouvrages enrichissants et d'un niveau accessible.

En mathématique

COMBES FERRIER GASQUET-WITOMSKI REINHARD

En physique

Suites et séries (PUF) Mathématique pour la licence (Masson) Analyse de Fourier et applications (Masson) Cours de mathématiques du signal (Dunod université)

GARING SOUTIF

Ondes (Dunod) Vibrations, propagation, diffusion (Dunod université)

En histoire des sciences

BACHELARD Etude sur l'évolution d'un problème de physique, la propagation thermique dans les solides (Vrin)

DIEUDONNE Pour l'honneur de l'esprit humain les mathématiques aujourd'hui (Hachette Pluriel)

FOURIER Théorie analytique de la chaleur (Gabay) ENCYCLOP JEDIA UNIVERSALIS

Articles : (Analyse) harmonique (Espace de) Hilbert (Représentation et approximation des) fonctions

lllSTOIRE des mathématiques-tome 2 Colette (Vuibert- Erpi)

En physique musicale et musique

CHAILLEY Expliquer l'harmonie (Editions d'aujourd'hui) HELMHOLTZ Théorie physiologique de la musique (Gabay) Les INSTRUMENTS de l'orchestre. Biblio pour la science (Belin) SCHAEFFER Traité des objets musicaux (Seuil) Le livre des TECHNIQUES DU SON-tome 1 (Eyrolles)


SOMMAIRE

l· p.7 mn.2

2-p.lO mn.4

p.12 p.13 mn.S

3-p.lS

p.16 p.18

4-p.19 mn.13

p.25 p.29 p.32

5-p.37 p.38 p.44 mn.ll p.SO mn.7

7-p.57 mn.4 p.61 p.65 p.69

8-p.79 mn.S p.93

Un peu d'histoire Le problème des cordes vibrantes

la résolution de d'Alembert et celle de Bernoulli. L'équation de la chaleur et la solution de Fourier.

Calcul des coefficients et conver&ence de la sérje de Foyrier Expression des coefficients. Critère d'Abel et critère de convergence normale. Théorème de Dirichlet. Phénomène de Gibbs (exercice).

Introduction aux Hilbert Produit scalaire et norme de la convergence en moyenne quadratique. Polynôme trigonométrique meilleure approximation de f. Inégalité de Bessel. Hilbert, système total, égalité de Parseval.

Produit de convolution Le filtre RC, produit de convolution, réponse fréquentielle,

réponse impulsionnelle. Suite régularisante, le système (en) est total. Noyau de Poisson et théorème de Dirichlet. Fonction continue de série de Fourier divergente.

Complément de physjqye et mysjqye Equation de propagation des ondes. Energie d'une corde vibrante. Quelques notes sur la gamme. La résonance

Helmholtz et ses résonateurs. Le circuit électrique RLC.

Exercices Calcul de coefficients et convergence de la série obtenue. Equation et propagation de la chaleur. Noyau de Poisson . Déformation d'une membrane avec conditions aux limites. Polynômes de Bernoulli, de Tchebychev.

Annexes Convergences simple et uniforme d'une série de fonctions. Eléments de solution des exercices proposés.



1· UN PEU D'HISTOIRE

Le problème de cordes vibrantes.

Les séries de Fourier ont été introduites vers 1750 (Bernoulli) pour exprimer la solution du problème des cordes vibrantes :

il s'agissait de calculer le petit déplacement transversal y(x,t) d'un point d'une corde de longueur e. attachée à ses

extrémités, (point au temps t, d'abscisse x, ~~"'' t) d'ordonnée y(x,t) ). 1e

L'équation régissant le mouvement est 0

L..;...à2'-y--..;...a_2y _ __.l (c célérité)(*) àt2 = c2 àx2 _

avec les conditions aux limites y (O,t) = 0 et y (t,t) = 0

D'Alembert donnait en 1747 la solution générale sous la forme y (x,t) = f (ct+ x) - f (ct- x)

où fest une fonction périodique de période 2 e, de classe c2. Si la corde est pincée avec la forme y= <p(x) à l'instant t = 0 et lâchée

sans vitesse initiale, fest impaire et égale à~ sur [0, t].

(*) pour l'établissement de l'équation des ondes, voir 5.

Exercice a. Changement de variables

Soit à résoudre l'e.d.p. ~ = c2 ~} (c, célérité), c > 0, y de classe C2

avec les conditions aux limites :y (0, t) = 0 et y re. t) = 0 Onpose{u=x+at a7êb et y(x,t)=Y(u,v) ,

v =x+ bt

Calculer t puis~ en fonction des dérivées partielles de Y.

Donner l'e.d.p. vérifiée par Y. La simplifier en choisissant a et b pour qu'elle se

'd . . O?Y 0 R' d re urse a au ().J = . esou re.

En déduire que les conditions aux limites permettent de trouver la solution générale donnée par d'Alembert. Montrer que les conditions initiales

y (x, 0) = cp (x) et~ (x, 0) = 0 déterminent y impaire et égale à j sur {0, E].


Pour des raisons physiques, Bernoulli proposa en 1753 la solution de l'e.d.p. avec les conditions précédentes sous la forme d'une série de solutions élémentaires harmoniques:

Yn (x,t) = 2 sin nf x . cos n [ct

Ces fonctions Yn (x,t) = sin [ n f(ct + x) J- sin [ n [(ct -x) J correspondent aux fonctions de d'Alembert fn (x) = sin n [x

Cela conduisait à écrire pour la condition initiale

<p (x) = :E 2 bn sin n [ x

y(x,O) = <p (x)

c'est-à-dire de représenter la fonction arbitraire <p comme série de fonctions sinus d'arcs multiples. Vers 1750 cela ne semblait pas possible. ·

L'équation de la chaleur

La question non résolue fut reprise vers 1820 par Fourier, à l'occasion de la résolution de l'équation de la chaleur :

ae a2e (*) at (x,t) =a àx2 (x,t)

qui régit la température 9 d'un point X, au temps t, d'une barre de longueur e maintenue à une température nulle à ses extrémités. On suppose connue, à l'instant t = 0 la température en chaque point x, soit :

e (x,O) = <p (x) -an2~ t

La solution s'exprime par e (x,t) = :E bn sin n [x e e2

et on est de nouveau conduit à écrire

<p (x) = :E bn sin n [x Fourier calcule, par orthogonalité les coefficients (qui portent son nom).

(*)pour l'établissement de l'e.d.p. de la chaleur voir exercice 13.


Exercice b. Séoaration des variables

On cherche des solutions bornées (} (x,t) de l'e.d.p. a;:= a :: , a > 0

de la forme (} (x,t) = X (x). T (t), (solutions stationnaires) qui satisfassent aux conditions aux limites (} (O,t) = (} (e,t) = 0

De l'e.d.p. tirer une égalité entre un rapport de fonctions de x et un rapport de fonctions de t. Ces rapports étant constants (pourquoi ?) résoudre les deux équations différentielles, en ne retenant que les solutions bornées.

Parmi celles-ci déterminer une famille 8n(x,t) de solutions (non identiquement nulles) vérifiant les conditions aux limites.

En supposant que (}(x,t) = 1: bn 8n(x,t) est encore solution (des hypothèses sur la convergence seront nécessaires) montrer que la condition initiale (} (x, 0) = q; (x) donne le développement en série de sinus :

q; (x) = 1: bn sinn~ x

2- CALCUL DES COEFFICIENTS ET CONVERGENCE DE LA SERIE DE FOURIER

2-1 Calcul des coefficients

Soit S (x) la somme d'une série trigonométrique réelle pour les x réels où la série converge

ao oo •

S (x) = 2 + .f (ancos n w x + bn sm n w x)

La fonction S est périodique de période T = 2rrJw (w "# 0)

ao 00 einwx + e-inwx einwx - e-inwx S (x) = 2 + .f (an 2 + bn 2i )

00

On peut adopter la forme complexe S (x) = ~ Cn einwx

ao an - ibn avec co = 2 , Cn = 2 C-n = Cn

Si la convergence de la série est uniforme, comme le terme général est continu la somme S sera une fonction continue. On pourra aussi dans cette hypothèse intégrer la série terme à terme.

C'est le cas par exemple si la série ~ 1 Cn 1 (ou la série ~ (1 an 1 + 1 bn 1) ) est une série numérique convergente. La série de fonctions sera alors normalement convergente, donc uniformément convergente.(voir annexe sur les convergences)


On intègreS (x), plus généralement S (x) e·inwx

dans un intervalle d'amplitude T = ~3t

J.T S (x) dx = iT <L Cp e1J'WX) dx =L Cp J.T eipwx dx 0

. 0 =:T+ :E .,r.,~:c,.T

p"#O ~Jo

et {T S (x) e-inwxdx = ~Cp {T eipwx e-inwx dx = C0.T

Jo P Jo On obtient ainsi les coefficients de Fourier en fonction de la somme S de la série

Cn= 1. {T S (x) e-inwx dx T)o

On en déduit les coefficients an et bn. an= 2 fRe Cn, bn = -2 .Sm Cn

an= 2. {T S (x) cos nrox dx T)o .

bn= 2. {T S (x) sin nrox dx T)o

2-2 Convergence de la série de Fourier

Ainsi, une fonction f périodique (localement intégrable) étant donnée, on peut toujours calculer ses coefficients de Fourier par les formules précédentes et écrire sa série de Fourier.

Mais cette série converge-t-elle et si oui converge-t-elle vers f ? Malgré ce que pensait avoir montré Fourier à partir d'exemples, les

réponses à ces questions ne sont pas toujours favorables, même si f est continue. C'est Dirichlet qui fournira vers 1830 un théorème très important sur la convergence ponctuelle grâce à un nouvel outil : le noyau de convolution.

Convergence de la série

f étant donnée (on la supposera de période T = 1) on calcule sa série de Fourier l: Cn ein2:n:x ou l: (an cos 23t n x + bn sin 23t n x)

On peut examiner la convergence de la série de Fourier avec les critères usuels des séries numériques. Deux d'entre eux s'avèrent très utiles :


Le critère de Riemann On compare la série L 1 cn 1 ou L (1 an 1 + 1 bn 1) avec la série

1 . de Riemann L - qui converge pour a > 1. En cas de convergence de L 1 Cn 1 ,

na la convergence de la série Fourier est normale donc uniforme.

Le critère d'Abel dont une forme usuelle peut être énoncée ainsi: Soit Un (x) = an. Vn (x). Si (an) est une suite de réels positifs, décroissante et ayant une limite

nulle pour n infini et

si les sommes lp*q vk (x)l sont majorées par un nombre M

indépendamment de p, q et x, alors la série de terme général un(x) converge uniformément.

On appliquera ce critère en particulier aux séries : ~ 1 in2n:x ~cos 2n: nx ~sin 2n: nx 1 ~ n e ' ~ n ou ~ n en prenant an = n

et il aura convergence uniforme sur tout intervalle [ e, 1 - e ], e > 0,

(e < ~) mais non sur [0, 1 ] car L~ diverge et on ne peut trouver de majorant

M indépendant de x sur [ 0, 1 ]

l

p+q . 1 1 1 mais ~ e'2n:nx < 1 . 1 :5 1 . 1 = Me sur [E 1 - E ]

p - Stn 3t X Stn 3t E '

de même 1 L cos 2n:nx 1 :5 Me et 1 L sin 2n:nx 1 :5 Me

L , . " sin 2n: nx . 0 . 'f , [ 0 1 ] a sene ~ n converge ausst pour x = mats non um armement sur ,

(voir phénomène de Gibbs)

Convergence vers f

Indépendamment de la convergence on peut admettre (comme résultant des propriétés de l'intégrale de Lebesgue) que la série de Fourier d'une fonction caractérise cette fonction en ce sens que deux fonctions admettant même série de Fourier sont "presque partout" égales et deux fonctions continues, égales.

Il en résulte que si f est continue de coefficients de Fourier (an) et (bn) tels que L (1 an 1 + 1 bn 1) converge alors f est égale à sa série de Fourier et la convergence de la série de f vers f est uniforme (on le montrera précisément en 5)

Si la fonction f est assez régulière on est alors assuré de la convergence de L (1 an 1 + 1 bn 1) , ainsi pour f admettant une dérivée seconde continue.


Exercicec Soit f de période 2 n; de dérivées première et seconde continues,

de coefficients an (j) et bn (j), f de coefficients an (/') et bn (/'), f ' de coefficients an (/'~ et bn (/'~. En intégrant par parties dans les formules donnant les coefficients, montrer que

an (/') = n bn (j) bn (/') = -n an (j) ~ ~~=~~(j) ~~=~~(j)

Montrer que les coefficients de f' continue sont bornés Que peut-on en déduire sur la suite n2 (fan (j} f + Ibn (j} f} ? Montrer que la série de Fourier de f converge normalement.

Pour f !-périodique, Dirichlet exprima par le produit de convolution

f f (t - s) DN (s) ds = f f ( s) DN (t - s) ds la somme SN (t) = ~ Cn ei2""'

avec DN (s) = ~ ei2nns = sin <2~ + l)n:s et montra en 1829 que ~ sm n:s

si fest une fonction monotone, continue par morceaux, 1

SN(t) converge vers 2 [f(t+} + f(t-)]

Enonçons le théorème de Dirichlet (voir 4. Noyau de Poisson et ex. 16)

Si fest une fonction périodique, continue par morceaux, possédant de plus des limites à gauche et à droite en tout point de discontinuité, dérivable par morceaux, à dérivée bornée,

alors la série de Fourier de f converge en tout t vers ! [f (t+) + f (t-)] ;

(vers f (t) en tout point de continuité)

e

Exercice d. Corde de guitare

1) Développer en série de Fourier la fonction cp, impaire, 2tpériodique et égale sur [ 0, e]

4h à cp (x) = kx re -x) avec k = fJ

2) Donner alors la solution du problème de la corde vibrante lâchée sans vitesse intiale avec la forme y= cp (x), à l'aide d'une série.

e 3) Quelle égalité obtient-on (th. de Dirichlet) par la série de cp pour x = 2 ?


2-3 Phénomène de Gibbs

Les sommes partielles d'une série de Fourier sont continues comme sommes (finies) de fonctions continues. Si la série converge uniformément, la "somme" de la série est continue. Lorsqu'une fonction f est discontinue en un point, sa série de Fourier ne peut donc pas converger uniformément vers f. En fait une somme partielle Sn a un comportement oscillant autour du point de discontinuité et l'amplitude des oscillations ne se réduit pas quand le rang n de la somme croît. Ainsi n'approche-t-on pas bien f par sa série de Fourier au voisinage d'un tel point. C'est l'étude de ce phénomène qui est proposée en exercice.

Exercice e. ~

Soitf, impaire, 2Jr-périodique, définie par j(x) = ~ (Jr- x) pour 0 <x~ Jr

1) Dessiner f pour x =1 -.n; 2Jr]. Calculer SFJ, développement de fen série de Fourier.

2) La série converge-t-elle simplement sur [0, Jr 1 ? Converge-t-elle uniformément sur [ e, Jr 1 avec 0 < e <Jr? Peut-elle converger uniformément sur [0, Jr 1 ?

3) Soit la somme partielle Sn (x) = 1; s.in...kx_ 1 k

et soit Mn le premier maximum de Sn sur [0, Jr1 Si Mn =Sn (x,J on va montrer lim Xn= 0

et lim Mn= M > J alors que lim j(x) = J x~O+

, n En écrivant S (x) = fRet 2: zk avec z =eix

n 1 . 2n + 1 . x sm---x- srn-

montrer l'égalité sn (x) = 2 2 2 . x

SlnJ ,

0

Donner le plus petit Xn =1 0, Jr1 solution de sn (x) = 0 . kJr

Jr Q... sm n+ï Mn = n + 1 2.- kJr

1 --Montrer que la valeur Mn =Sn (x,J vérifie

n+1

4) En dé du ire lim Mn = Si ( tr) en posant Si (x) = lx sini dt (Si ( Jr) = 1,85) 0 t

et en interprétant Mn comme somme de Riemann pour l'intégrale donnant Si(tr). Dessiner un "tube" de convergence uniforme et la "bosse irréductible" que présente Sn en Xn.


3- INTRODUCTION AUX HILBERT

3-1 Produit scalaire et norme

Dans ~Tl espace vectoriel des fonctions continues, périodiques de

période T =1 à valeurs dans a:, on considère le sous-espace ~ des polynômes trigonométriques !-périodiques, c'est-à-dire des combinaisons linéaires (finies)

des fonctions en : t'~ ei23t1lt . Un polynôme Pn e ~ peut s'écrire Pn = ~ Pn en . ~

pour un certain N (des coefficients Pn peuvent par ailleurs être nuls).

On peut introduire un langage géométrique sur ces espaces de fonctions en définissant un produit scalaire et une norme associée puis la notion de système orthonormal total (plus adaptée en dimension infinie que celle de base) comme le firent Hilbert et Riesz principalement, lors de l'étude des "fonctions propres" de certains opérateurs différentiels linéaires (problème de Sturm-Liouville) et intégraux (Fredholm).

Soit f et g deux fonctions de ~Tl On définit le produit scalaire de f et de g par

<f, g > = [ f (t) g (t) dt

Il vérifie les propriétés du produit scalaire

mais

(1) (2) (3)

< Àl fl + À2 f2. g > = Àl< fi. g > + À2 < f2, g > < f, f > ~ 0 et < f, f > = 0 => f = 0 < g, f > = < f, g >

Pour cette raison < f, g > est appelé produit scalaire hermitien. Nous utiliserons aussi la simple dénomination de produit scalaire.

Exercice f Schwarz Soit un espace vectoriel E sur Œ muni d'un produit scalaire hermitien,

c'est-à-dire vérifiant les axiomes (1), (2) et (3) précédents. Montrer l'inégalité de Schwarz 1<1, g >/ 2 ~ <f, 1 >. < g, g >

On développera T ( Q) = < 1 + Qeie g, 1 + Qew g > . et en choisissant (} = arg <1, g > si <1, g > ;r 0 on exprimera que, pour tout réel ~ T (Q), trinôme en ~ est positif ou nul.


Exerciceg

Montrer que si f e6n n'est pas identiquement nulle sur [0.1] alors f If (t) j2 dt

ne peut être nulle. (Une fonction continue non nulle en un point est non nulle sur tout un intervalle entourant ce point).

On déduit de ce produit scalaire une norme sur ~Tl appelée norme de la convergence en moyenne quadratique (notée Il 112)

On pose Il f 112 = v< f, f > (c'est une généralisation à ~1 de la norme euclidienne)

On a Il f 1~ = <f , f > = f 1 f (t)f dt

Dans ~Tl muni de ce produit scalaire et de cette norme, le système (e0 ) est orthonormal (et donc libre)

En effet pour m ~ n < e,, en>= f.\;,. (m-nlt dt= 0 et <en, en>= 1

Les coefficients de Fourier cn de f e ~Tl s'interprètent en termes de projection orthogonale sur le système (en)

Exercice h. !J?tha.gore Soit E espace vectoriel sur ([, muni d'un produit scalaire hermitien et

de la norme associée. (On dit que E est préhilbertien). Montrer le théorème de Pythagore Si <x, y> = 0 alors Il x +y lf2 = Il x lf2 + Il y lf2 et l'égalité du parallélogramme Il x +y lf2 + Il x -y 112 = 2 (Il x lf2 + Il y lf2J

-15-


3-2 Meilleure approximation. Hilbert

A l'aide de la nonne Il 112 on peut mesurer la distance de deux fonctions de ~Tl d (f, g) = Il f - g 112

Soit fPN l'espace des polynômes trigonométriques engendrés par (en), n = -N à N. On cherche s'il existe un polynôme PN e ~ tel que Il f - PN 112 soit minimum. On a le résultat suivant :

Théorème

Pour f e Gn, le polynôme IN(t) = f Pn ei2xnt le plus proche de f -N

au sens de la nonne 2 existe et est le polynôme projection orthogonale de f sur le sous-espace fPN, c'est-à-dire tel que Pn = Cn(f) = < f, en> pour n = -N à N

preuve

Soit PrN = f Cn (f) en -N

f - PCN est orthogonal à en pour -N ~ n ~ N donc à l'espace fP N engendré par les en (-N ~ n ~ N). En effet < f- PCN, en> = < f, en> - < PCN, en>

= Cn(f) - Cn(f) = 0 En particulier f - PCN est orthogonal à PCN e ~. Comme f = (f- PCN) +PIN on a, par le théorème f-Prw de Pythagore Il f 112 = Il f - PrN 112 + Il PCN 112 o

On en deduit l'inégalité de Bessel li l'rN 112 ~ Il f 112 h. C'est-à-dire ~ 1 c,(f) P < [ 1 f (t) 12 dt '--~-""------

L'inégalité précédente est vérifiée par tout N. On en déduit:

la convergence de la série .L 1 cn(f) P pour f de carré intégrable sur [ 0, 1 ],

et l'inégalité de Bessel ~ 1 c,(f) P < [ 1 f (t) 12 dt

On voit aussi que lim cn (f) = 0 puisque la série converge.

-16-


Revenons à la meilleure approximation de f par un polynôme de ~N pour la norme Il 112 (de la convergence en moyenne quadratique).

Soit Q un polynôme quelconque de ~N·

PCN et Q e ~ espace vectoriel donc PCN - Q e ~N On a f - Q = (f - PCN) + (PCN - Q )

f - PCN est orthogonal à tout vecteur de ~N donc à PCN - Q. Le théorème de.Pythagore donne alors

Il f - Q 112 = Il f - PCN 112 + Il PCN - Q 112 ce qui prouve que Il f - Q 112 ~ Il f - Pm 112, l'égalité étant obtenue pour Q = PCN

Ainsi

Hilbert

d(f, ~N) = inf Il f- Q Il= Il f- Pm Il

Qe~

CQFD

On vient de voir que la projection orthogonale de f e ~Tl sur ~N est la

meilleure approximation polynomiale trigonométrique de f dans ~N·

Le sytème (en) n'engendre que ~ par combinaison linéaires (finies),

mais par limite (pour llll2), peut-on obtenir f e Gr1 ?, précisément,

existe-t-il une suite (PN) de polynômes de ~ telle que lim Il f - PN 112 = 0 ? N~oo

T ,11 réponse est positive, on dit que ~ est dense dans ~Tl pour Il 112 ou encore que le système (en) est total.

Autre question : une suite de Cauchy de ~ pour Il 112 converge-t-elle

dans ~ ? dans un espace plus grand?, autrement dit les espaces sont-ils complets avec 11112? (On rappelle qu'une suite (fn) est de Cauchy si Il fp- fqll est aussi petit que l'on veut pourvu que les rangs pet q soient assez grands).

~Tl n'est pas complet pour Il 112, la limite au sens de Il ll2 d'une suite de

fonctions de ~Tl n'étant pas nécessairement continue. Un espace muni d'un produit scalaire hermitien est dit préhilbertien. S'il

est complet pour la norme associée, c'est un espace de Hilbert.


L2[0,1], espace des fonctions de carré intégrable sur [0,1] (au sens de Lebesgue) est un Hilbert et 11112 est une norme sur L2[0,1] à condition d'identifier des fonctions égales presque partout (on sait que deux fonctions qui diffèrent seulement sur un ensemble de mesure nulle ont des intégrales égales). En théorie de l'intégrale on montre que ~Tl est dense dans L2[0,1], c'est-à-dire qu'on peut approcher, au sens de 11112, à e près, une fonction f de carré intégrable sur [0,1] par une fonction continue sur [0,1] et comme une fonction continue 1- périodique peut être approchée à e près par un polynôme trigonométrique, (voir en 4.2) on a :

lim Il f- ~ Cn (f) . enll~ = lim 1 f (t) - ~ Cn (f) ei2nnt 12 dt= 0 f.l .

N~oo -N N~oo O -N

On dit que le système orthonormal (en) est total dans L2 [0,1] toute fonction fe L2 [0,1] s'exprimant comme limite pour Il 112 de combinaisons linéaires des en.

Comme Il PCNII:f =Il ~ Cn(f). en112 = ~ 1 cn<OI2 (théorème de Pythagore) -N -N

et que l'on a 1 Il f ll2 - Il PCN ll2 1 ~ Il f - PCN ll2

il en résulte Il f ll2 = lim Il PCN 112 N~oo

Soit l'égalité de Parseval Il f Il~ = ~ 1 Cn (f) 12 _oo

qui s'interprète en physique en termes d'énergie comme on va le voir en 5.

L'égalité de Parseval prouve que si les coefficients de Fourier de f sont tous nuls, alors Il f 112 est nulle, soit f nulle presque partout.


4- PRODUIT DE CONVOLUTION

4.1 Filtre et produit de convolution; un exemple

a) L'exemple du filtre RC, l'équation du système

1 1 Le signal d'entrée est la tension e(t), le • IR~ 1 •

ef i.c;J,-c fs signal de sortie la tension s(t) aux bornes du condensateur, i(t) est l'intensité du

• 1 1 • courant traversant le circuit.

On a g_ffi

s(t) = C • i(t) = ~ et e(t) = Ri(t) +qg) (loi d'Ohm)

En éliminant i(t) = C s'(t) on obtient : RC s'(t) + s(t) = e(t)

La résolution de l'équation

s est solution d'une équation différentielle linéaire du premier ordre. On choisit la condition initiale s(O) = 0 si e(t) = 0 pour t ~ 0 (condensateur non chargé).

La solution S(t) de l'équation homogène est S(t) = ke-t/RC

Si s(t) = k(t)e-t/RC alors k(t) = _1_ ft e'tfRC. e('r)dt + k, RC

- 00

en supposant que l'on puisse intégrer t ~ e't/RC.e(t) sur] - oo, t]. (C'est le cas, par exemple, pour un signal d'entrée e(t) borné).

Alors s(t) = ~ ft c't/RC. e(t)dt + ke-t/RC RC

- 00

Si s(O) = 0 avec e(t) = 0 pour t ~ 0 alors k = O.

Finalement

s = <p(e) est donné par s(t) =ft _1_ .e W.e(t)dt RC

- 00

1 On pose h(t) = RC e-t/RC u(t) (avec u(t) fonction échelon, u(t) = 0 pour t < 0,

u(t) = 1 pour t ~ 0).


b) Produit de convolution

On appelle produit de convolution des fonctions h ete et on le note h*e la fonction définie par

(hoe) ( t) = f~ h(t - <) e(t) d<

lorsque cette intégrale généralisée existe.

Le produit est commutatif h*e = e*h Le produit est défini pour h ete de carré intégrale (d'après l'inégalité de Schwarz), pour h et e nuls sur IR- , pour h intégrable et e borné ...

Dans l'exemple du filtre RC, on a bien s = h*e avec 1

h(t) = RC e-t/RC. u(t)

(puisque h(t- 't) = 0 pour 't > t)

c) Filtre linéaire

On caractérise les filtres linéaires par trois propriétés de l'opérateur de convolution parh.

(1) la linéarité h* {ÀI e1 + À2 e2) = ÀI h*e1 + À2 h*e2

(2) l'invariance dans le temps Tto {h*e} = h*Tt0 e

en appelant Tt0 f la fonction translatée tH f{t- ta)

Cela signifie que si le système donne la réponse s(t) à l'entrée e(t), il donne

s(t -ta) pour e(t- ta)

(3) La continuité En munissant les espaces de signaux d'une norme si (en) ~ e alors (h*en) ~ h*e.

Par exemple si h est intégrable sur lR et si on munit f: espace des signaux d'entrée de la norme uniforme,

s(t)= J: h(t-<)e(<)d< donne (s(t) ( ~ sup.(e(<)(. J:(h(t-<)(d<

d'où Ils lloo = sup. 1 s (t} 1 :c; Ile 1 ~ .11 h 1 h


Pour l'invariance

sis{t) = r h(t-t}e(t}dt

la réponse au signal e{'t - t0 ) est :

f~ h (t-t) e(t -lo) dt = f~ h (t-10 - a) e (o) do

= s(t -to)

en posant cr = t - t0

Le filtre RC étudié vérifie toutes ces propriétés. On dit que l'opérateur <p est un filtre s'il vérifie la linéarité, l'invariance dans le temps et la continuité. On dit de plus qu'il est causal s'il vérifie s(t) = 0 pour t < 0 si e(t) = 0 pour t < 0 (le signal réponse ne précède pas le signal entrée). L'exemple étudié est un filtre causal.

d) Réponse fréquentielle (ou harmonique) d'un filtre

On étudie la réponse aux signaux de fréquence v : ev(t) = ei2n:'t

s(t) = f~ ei2xv (t - tl h(t) dt = ei:l><vtJ~ e· "'". h(t) . dt

En appelant h (v) = f~ h (t}e- ""''dt on obtient s(t) = ei2n:vt. h (v)

iOn suppose que h caractérisant le filtre est absolument intégrable sur lR).

h est appelée transformée de Fourier de h.

On voit que la fonction ev est une fonction propre de l'opérateur linéaire <p: ~

<p (ev) = À .ev avec comme valeur propre À= h (v)

1 h (v) 1 est dit gain en amplitude, arg ( h (v) ) déphasage du filtre.

En introduisant l'énergie moyenne du signal E(e,) = f 1 eJt}(2 dt= 1

1 h (v) 12 donne le gain en énergie.


Dans le filtre RC étudié en exemple, on a h(t) = _L e-t/RC . u(t) d'où RC

h {v) = Joo h {t} e-i23tvt dt = loo e-t/RC é23tvt dt = . 1 RC . 1 + t23tVRC

-00 0

1 h {v) 1 = 1 1 + i2JtvRC 1

On voit que le système modifie peu les signaux de basse fréquence, mais ne laisse pas passer ceux de haute fréquence.

Ce filtre est dit passe-bas.

Ainsi un signal bruité (par un signal haute-fréquence) sera-t-il lissé et débruité.

00

e(t;)

,A(t)

Si e(t) = ~ enei23tnvt est un signal périodique développé en série de Fourier, -00

00

s(t) = ~ en h (nv) ei2nnvt est le signal périodique réponse. -00

e ) Une approche de la réponse impulsionnelle

On considère le signal e = Qn défini par : ~" r ..

(

Qn (t) = l.L pour - L ~ 2 n

Qn (t) = 0 ailleurs

t ~ 1 n

-22-

;:


La réponse Sn à ce signal est donné par :

Sn (t} = f~ h (t - < ) Qn h) d< soit

~ l~k ~~ .sn(t) = fn ~ h(t- t)dt = ~ h(o)do =il n

-~ 1 n t-~ n t- n n

h(o)do

.sn(t) donne la valeur moyenne de h sur l'intervalle [ t- ~· t + ~]. Pour une fonction h assez régulière on voit que l'on peut obtenir, en réponse à une impulsion brève, une bonne approche de h. (Pour h continue, la valeur moyenne

de h sur [t- ~· t + ~] tend vers h(t) quand n -7 oo).

h(t) = lim (Qn•h)(t) h est appelée réponse impulsionnelle n-7oo

On est amené à prendre pour (; espace des signaux d'entrée un espace contenant des éléments plus généraux que les fonctions, des distributions, en particulier le Dirac ô. On démontre dans ces conditions que tout filtre est caractérisé par h = <p (ô).

(


Suites régularisantes


4-2 Système (en) total. Suite régularisante trigonométrique (La Vallée Poussin)

Définissons pour ne :f:i* la suite de fonctions Qn !-périodiques par 1

avec rn= J2 cos2n (m)dt

_l 2

a) Cette suite comme celle définie précédemment en 4.1.e vérifie les propriétés:

et pour tout a 1

O<a<2

Qn ~ 0, Jl/2 Qn(t) dt= 1

1/2

lim { Qn(t) dt= 0 n~oo J a.SitJSl/2

Seule la dernière propriété n'est pas évidente. On voit sur le dessin que les valeurs élevées

de Qn (t) s'obtiennent pour t voisin de 0 et que l'intégrale de Qn sur [ a, 1/2 ] (0 < a < 1/2) tend vers 0 quand n ~ oo.

Montrons sup Qn(t) ~ 0 quand n ~ oo, a.StSl/2

f, (b)

Minorons tout d'abord rn. t ~~cos 2n(m) étant décroissante sur [0, 1/2]

pour 0 ~ t ~ ~ ·cos 2n(Jtt) > cos 2n( Jt ~) et

11/2 lo./2 rn=2

0

cos2°(m)dt~2 0

cos2n(Jt~)dt soit

cos 2n(Jtt) cos 2n(Jtt) [ 1 ] Qn(t) = rn ~ et sur a, 2

a cos 2n( Jt ~) Ai . i ( ) d < cos2n(Jta) 1 nst Q t t _ = - qn

aSitlst n a cos 2n( Jt ~) a

cos2(Jta) 1 avec q = <

cos2 ( Jt ~)

-25-

t


b) Si fest une fonction !-périodique continue alors la suite de fonctions

fn = f•Qn définies par (f•Qn)(t) = 1112

f(t • t) Qn(t) dt -1/2

converge uniformément vers f sur [ ·f· t J

En effet sur [ -], ~ J on a, puisque 1112 Qn(t) dt~ 1

-1/2

(f•Qn) (t) - f(t) = 1112 [ f(t - t) - f(t) ] Qn ( t) dt

1/2

f . [ 1 1 ] 'f , . bo , contmue sur - .2· .2 y est uru armement contmue et mee.

Comme f est !-périodique elle est uniformément continue et bornée (par M) sur 1R. 1

Alors V'e > 0 3a < .2 V't 1 tl < a => 1 f(t - t) - f(t) 1 < e

1112

f f On décompose en + 1/2 O<ltka a<ltk1/2

et

l(f•Qn)(t)- f(t)l ~ € { Qn(t) dt+ 2M f Qn(t) dt J O<ltka a<ltk1/2

la première intégrale est ~ 1 et la deuxième est ~~ < 2~ pour n assez grand

d'où l(f•Qn)(t) - f(t)l ~ 2e

c) Si Qn est de classe ~~ sur [ -!· ! J f•Qn est dérivable et (f•Qn)' = f•Q'n.

L'application t ~~ Qn(t- t) f(t) admettant une dérivée t ~~ Q'n(t- t) f(t) continue

d 11/2 11/2 dQn on a dt Qn(t- t) f(t) dt= dt (t -t) f(t) dt

-1/2 -1/2

L . ( ) () cos2n(Jtt) b' d' . bl [ 1 1 J a sutte Qn avec Qn t = rn est ten enva e sur - .2· .2 et même indéfiniment. Alors la suite (fn). fn = f•Qn possède la même propriété. Aussi (fn) est-elle appelée suite régularisée de f et (Qn) suite régularisante.


d) La suite (f n) est un polynôme trigonométrique.

Tout d'abord on a (f*Qn) (t) = (Qn*f) (t) . En effet

(f*Qn)(t) = f112 f(t-t) Qn(t) dt= J.t -l/

2 f(cr) Qn(t- cr) (-da)

1/2 t +1/2 en posant t - t = a

et comme f et Qn sont !-périodiques = f112 f(o) Qn(t- cr) da= (Qn*f)(t)

1/2

( ) cos2n(Jtt) 1 • . , . 1 , 'od' Qn t = rn est un po ynome tngonometnque -pen 1que

par la formule d'Euler : cos2n(Jtt) =a ( 1 + ei2m ~ e-i

2n:t ) ] n

Qn(t) = ~ 'Yp ei2n:pt et comme (en *f)(t) =f112

f(t) ei2n:n(t-t) dt . 1/2

Conclusion

(Qn*f) (t) = f Yp. < f, ep >. ei2n:pt -n

= < f, en > ei2n:nt

Pour tout ê > 0 on peut approcher uniformément à ê près une fonction f continue !-périodique par un polynôme trigonométrique fn

f1/2

Il f- fn 11 22 = 1 f(t) - fn(t) 12 dt < Il f- fn Il~ < e2

1/2

Comme

on peut écrire lim J 112

,f(t) - f 'Yp < f, ep > ei2n:Pt j2

dt = 0 n~oo -n

- 112

ce qui prouve que le système orthonormal (en) est total dans eTl pour 1111 2· On dit encore que le système (en) est une base hilbertienne. (Attention ! ce n'est pas une base au sens algébrique du terme, une fonction continue n'étant pas obtenue comme combinaison linéaire finie des ep).


Lejeune Dirichlet


4-3 Noyau de Poisson. Théorème de Dirichlet (preuve pour f de classe Cl)

f étant une fonction continue, !-périodique, on forme sa série de Fourier

SFf(t) = ~ Cn ei2nnt ( = ~0 + ~ (an cos 23tnt + bn sin 23tnt))

La série converge-t-elle vers f ? Si fest seulement continue, du Bois-Reymond a montré en 1873 que la série peut diverger en certains points. Nous allons adjoindre comme hypothèse la convergence de la sérieL 1 cn 1 (ou deL (1 an 1 + 1 bn 1 ) ). La série de Fourier est alors normalement convergente et t ~~ SFf (t) est une fonction continue. Un exemple de f vérifiant cette hypothèse supplémentaire est celui d'une fonction continue et continûment dérivable.

Il reste à montrer f(t) = SFf(t) On va faire intervenir

1) une famille régularisée fr= Pr* f avec Pr noyau de Poisson et montrer 2) que fr converge uniformément vers f quand r ~ 1. 3) enfin que fr sous forme de série converge vers SFf quand r ~ 1

1) Soit la famille (Pr)O<r<l définie par :

00

Pr(t) = ~ rlnl ei2Jtnt = 1 - r2 .oo 1 - 2r cos 23tt + r2

Elle vérifie les propriétés d'unité approchée

fl/2

Pr(t) :2:: 0, Pr(t)dt = 1 -1/2

et 'V a, 0 < a < 1/2 , lim { P r(t)dt = 0 r~ 1 J as;ltls;l/2

En effet a) La série trigonométrique Lrlnl en (t) est normalement convergente sur lR

(en t) pour tout r, 0 < r < 1, puisque Il rlnl en Il= sup 1 rlnl ei23tnt 1 = Jnl te lR

terme général d'une série géométrique de raison r < 1. 00 00

On a Pr(t) = 1 + ~ rn ei2nnt + ~ rn é2nnt = 1 + rei2m + re-i~m 1 1 1 -re12m 1 -re·t2ru


C'est-à-dire Pr(t) = Il -l~i~ j2 = 1 - 2r c~~ ~~ + r2

Pr est ainsi une fonction !-périodique, continue et positive.

b) f112 Pr(t)dt = 1. En effet la convergence de la série étant normale,

1/2 on peut l'intégrer terme à terme ; on obtient

fl/2 00 f1!2 00 f1/2

l.dt + ~ rn ei23tnt dt + ~ rn e-i2nnt dt = 1 1/2 -1/2 -l/2

toutes les intégrales étant nulles sauf la première.

c) Pour 0 <a ~ t ~ 1/2 (a fixé) 1 - 2r cos 2m + r2 ~ 1 - 2r cos 2na + r2 = (1 - r)2 + 4r sin2 na> 4r sin2 Jta

1- r2 Pr(t) ~ 4r sin2 Jta et --70

r--+ 1

2) On utilise maintenant la famille de fonctions régularisées fr = f•Pr

définies par fr(t) = f112 f(t - -c) Pr('t) d-c

1/2 Comme au 4-2 fr~ f uniformément sur [0, 1]. Reprenons la démonstration

fr(t) - f(t) = f112

[f(t- 't)- f(t)) Pr('t) d-c puisque f112

Pr('t) d't = 1 1/2 -1/2

f continue sur IR donc sur [- ! . ! J y est uniformément continue et bornée (par M).

Comme f est !-périodique, elle est uniformément continue sur IR et bornée par M. 1

Alors Ve > 0 3ao < 2 Vt V-c 1 't 1 < ao ~ 1 f(t - -c) - f(t) 1 < ë

On décompose f112

[f(t- -c)- f(t) ] Pr('t) d-c en 1 + l -1/2 o:s;ltl:s;CXo a~ltl:s;1/2

et 1 fr(t) - f(t) 1 ~ ë { Pr('t) d't + 2M l Pr('t) d't J O:s;ltl:s;a0 a~ltl:s;1/2

1- r2 soit 1 fr(t) - f(t) 1 ~ ê. 1 + 2M 2r sin2 na0

-JO-© [GILSINGER Jean-marc], [2016], INSA de Lyon, tous droits réservés.

Pour r assez proche de 1 1- r2

2M . 2 < 8 d'où 1 fr(t) - f(t) 1 < 28 2r sm n:ao

3) Donnons l'expression de fr sous forme de série

. On a fr(t) = 1112 Pr(t- 't) f('t) d't soit fr(t) = 1112 i rlnl ei2ltn(t-'t) f('t) d't

-1/2 -1/2 -OO

f continue sur [- ~, ~ J étant bornée par M 1 rlnl ei2Jtn(t-t) f('t) 1 s; Mrlnl

et la série est ainsi normalement convergente. On peut l'intégrer terme à terme,

00 11/2 fr(t) = ~ rlnl ei2ltnt f('t) e-i2ltn't d't

-00 -1/2 on obtient

00

c'est-à-dire fr(t) = ~ rlnl Cn (f) ei2ltnt -00

Montrons enfin : fr(t) ~ SFf(t) quand r ~ 1

00

SFf(t) -fr (t) = ~ (1 - rlnl) Cn (f) ei2ltnt On pose C = ~ lcn(f) 1. -00

Donc pour tout 8 > 0 donné, il existe No et pour n e ~. 1 n 1 > No on a ~ 1 Cn (f) 1 < 8 (reste de la série)

lni>No

Pour No fixé, vérifiant ce qui précède, on peut majorer 00

ISFf(f) -fr (t) 1 s; ~ (1 - rlnl) . 1 en (f) 1 par la somme de 2 termes

~ (1 - rlnl). 1 en (f) 1 < 8 et ~ (1 - rlnl). 1 en (f) 1 < (1 - r) 2 No C lni>No lni~No

(car 1-rn=(1-r)(1+r+r2+ ... +rn-1)<(1-r)No et ~ lcn(f)ls;C) lni>No

finalement 1 SFf(t) - fr(t) 1 < 28 en choisissant r assez proche de 1 pour que (1 - r) 2No c < 8 CQFD

On utilisera le noyau de Poisson dans le problème de la chaleur (exercice 14).


Fonction continue de série de Fourier divergente (complément)

P. du Bois Reymond après avoir essayé de montrer la convergence de la série de Fourier d'une fonction continue finit par chercher et trouver le premier un contreexemple. On va donner la contruction due à Fejer d'une telle fonction à partir des

• .Jl. sin kx sommes parttelles Sn(x) = .1.J -k- de l'exercice de Gibbs

k=l Préliminaire. Nous allons montrer et utiliser le fait que les sommes Sn(x) sont bornées par un nombre M indépendant de x et de n.

Soit x e ]0, :n:[. Il existe Ne :f:i* tel que 1 Nx :s; :n: < (N + 1)x 1 (lR est archimédien)

Pour 1 :s; k :s; N on a 0 :s; kx :s; :n; et 0 :s; si~ kx :s; 1

Alors la somme Sn(x) est bornée par :n; pour n :s; N.

( ) .Jl. sin kx < < N < En effet Sn x = .1.J -k- _ x.n _ x. _ :n; k=l

, .Jl. sin kx Si n > N on decompose la somme Sn : Sn (x) = SN (x) + .1.J -k-

N+l On utilise la transformation d'Abel et la majoration du reste de la série. On rappelle

que si un(x) =an. vn(x) avec an> 0, an~. an~ 0 et si V'N, V'n ~ N + 1

1 t VJ<(x)l < W(x) alors 1 f Uk(x) l < aN+l W(x)

N+l N+l

0 . . 1 ( ) . na tCt an=- et Vn x =sm nx n

1 f sinkxl<-1 _1

N+l k N+1 . sin~ 2

car 1 f sin kx 1 :s; -, .

1 x

1

= W(x) N+l sm 2

sin v 2 =...L >-y :n;· D'autre part si 0 < y < I on a

x :n; 1 :n; Ici 0 <-< - donne-- < - et 2 2 . x x

sm2

1 < (N + 1)x < 1

(N + 1) sin~ donc ISn(x) 1 < :n; + 1 = M pour tout net tout xe ]0, :n:[. CQFD

On pose • .Jl. sin kx

U0 (x) = 2 sm 2nx. .1.J -k-k=l ~ U0 P(x)

la série de somme ~ p=l p2

et on considère

où p ~~ np est une suite croissante que l'on précisera ensuite.

~32-© [GILSINGER Jean-marc], [2016], INSA de Lyon, tous droits réservés.

Unp 1) Il résulte du préliminaire que la série ~ p2 converge normalement

oo supiUn (x)l oo 1 puisque L

2P s; M L p2 1 p 1

oo U (x) Si f(x) = L ~2 , f limite uniforme des sommes partielles continues est une

1 p fonction continue. Unp étant paire et 2n:-périodique il en est de même de f.

2) Cherchons le développement de fen série de Fourier. De l'identité 2 sin 2nx sin kx = cos (2n - k)x - cos (2n + k)x

U ( ) cos nx cos (n + 1)x cos (2n- 1)x cos (2n + 1)x

n x = -n- + n-1 + ··· + 1 - 1 -

on déduit

cos 3nx n

Si la suite (np) est telle que np+ 1 > 3np alors la série de Fourier de f sera simplement :

cos n1x cos (2n1 - l)x cos (2n1 + 1)x n1 + ... + 1 1

cos 3nl x + n1

1 + 22

cos n2 x 1 n2 + ···- 22

cos 3n2 x 1 + ... + p2

cos npx 1._ cos 3npx + ... - 2 + ... n2 np p np

(il n'y a pas de termes cos mx communs à Unp et Unq. p :t:. q)

Un [En effet la série}; ~ convergeant uniformément sur IR vers f, pour trouver

p2 le coefficient am(f) on peut intégrer terme à terme f(x) cos mx sur [O,n:]

am(f) = ;t f(x). cos mx dx = L 2. +·cos mx dx 21:n: oo l:n: Un (x)

0 1 3t 0 p

~ cos (2np- k)x- cos (2np + k) x et comme Unp(x) = 2.1 k

k = l

l:n: 1

2 Unp(x) cos mx dx :t:. 0 seulement si pour un certain~· np s; rn s; 3~, 0 p

rn :t:. 2np (on a par exemple pour rn = 2np - k, 1 s; k s; np. a2np _ k = : 2· f ) ]


3) Montrons que la série de Fourier trouvée peut diverger en O.

Il suffit d'établir que la suite des sommes partielles n'est pas de Cauchy Un

car on remarque que la série de Fourier de f décompose chaque terme -f en une p .

somme de 2np termes, les np premiers positifs pour x = 0, les np suivants négatifs.

Un Prenons donc les np premiers termes de pi :

1_ (cos npX cos (2np-1)x ) 2 + ... + 1 p Op

ce qui donne en x = 0

12 (1._ + ___1_1 + ... + 1) p Op Op-1 1 1

Lorsque Op-7oo 1 + 2 + J + .... + Op - en Op

en np Donc la tranche choisie a une valeur équivalente à 2 p

en Op Il suffit alors de choisir la suite (np) telle que p2 ne tende pas vers O.

Si en Op > p2 soit Op > eP2 alors la série diverge ;

c'est le cas pour np = 3P2 qui vérifie bien de plus np+ 1 > 3np


5- COMPLEMENT DE PHYSIQUE ET MUSIQUE



5-l EQUATION DES CORDES VIBRANTES

y(x,t) est l'ordonnée de Mo au temps t.

On suppose une corde sans raideur, inextensible, de masse linéique f..l, tendue par une tension T dans sa position d'équilibre Ox.

On étudie la vibration transversale du segment MoM1 de la corde.

On suppose qu'on a écarté ce segment de sa position d'équilibre perpendiculairement à Ox.

On suppose que la corde ne vibre pas longitudinalement soit x (t) = O. En projetant les forces appliquées (tensions) au segment MoM1 sur Ox

on obtient - To cos eo + TI cos e1 = 0 d'où 1 To cos eo = TI cos e1 = T 1 Constante

On suppose eo et e 1 petits, T est quasiment la valeur de la tension de la corde qui donc ne varie pas en module.

Par contre sur Oy la courbure de la corde donne un différentiel de tension qui rappelle l'élément MoM1 vers l'axe Ox.

F = rn y donne sur Oy ~...1 T_I_s_in_ e _I _- T_o_ si_n_e_o_=_d_m_ . ....;;p;.;.t2 __ ___,JI (éq. mée.)

et on a tan eo = (~)MO pente de la corde qu'on suppose petite devant 1.

dm= f.J..dx car e (MoMI) = dx ~ 1+(~ ) 2 = dx au 1er ordre

car la corde ne s'allonge pratiquement pas.

TI sin e1- To sin eo = T. (tan el - tan eo) = T.[~ (x + dx)- ~(x)] c32y

Par approximation au 1er ordre on obtient T. ax2 . dx


Ainsi (éq. mée.) devient à2y - ~ T. àx2 . dx- 1-L· dx . àt2

1

~-T ~ d'où l'équation de d'Alembert (1746) .._ __ at_2_-_~_·_a_x_2 _ ___,

Avec ces approximations la vitesse v (ou c) de propagation de .l'onde

(trouvée à l'exercice a) est telle que : v = ~

5-2 ENERGIE TRANSMISE PAR UNE ONDE se propageant le long d'une corde.

A

T

Calculons E énergie totale de la corde en mouvement. E = Ecinétique + Epotentielle

L'énergie cinétique du petit segment MoM1 de corde est donnée par 1

dEcin =2 dm. v2 avec dm= IJ..dx, 1-L masse linéique, Il MoMtll- dx

et v = ~ puisque le mouvement est supposé transversal

d'où dEcin=h (~t dx et Ecin = f H~J dx


Eneq~ie potentielle

On peut supposer qu'en A, la corde passe sur une poulie et est tendue par un poids T. (équivalent à la tension).

Pendant le mouvement, la longueur de la corde supposée non élastique est à l'instant t : e (t) = e + D.t, au repos sa longueur est e.

On peut calculer l'énergie potentielle de la corde en l'égalant au travail de la tension T qui ramènerait la corde à sa position d'équilibre, soit :

alors

d'où

Epot = T. D.t

On a Il MoM1II = ~ 1+(~Y dx = [ 1 + ~(~YJdx car

e (t) = f[1 +~(~)}x et ,;.e = e (t)- e = f ~(~t dx

Epot = T.D.t = re I_ (~)2 dx Jo 2 ax

E = Eoin +EJX't = f }[ T(~)' + ~(~)"]dx En posant

T c2=

!l' c célérité de l'onde sur la corde

~<<1 a x

Pour une corde tendue entre les points fixes 0 et A, E est constante, les puissances entrante et sortante (en 0 et A) étant nulles.

En fait une corde vibrante transmet ses vibrations à l'air sous forme d'émission sonore et de chaleur et E décroît dans le temps. On est ainsi souvent amené à entretenir l'excitation.


CALCUL DE L'ENERGIE

Calcul de En pour une onde sinusoïdale pure (corde attachée en 0 et A)

Yn (x,t) = sin n ~ x (an cos n~ ct + bn sin nf ct)

on a ayn 3t 3t ( 3t • 3t ) a x = n f COS nf X an COS ne Ct + bn Sln ne Ct

~ 3t • 3t ( • 3t '"' 3t ) et at = n e c sm n e x -an sm ne ct + LIJl cos n e ct

d'où En =f f n2 ~ [co.s2 n ~x (•n cos n ~ct+ b0 sinn ~ctf +

+ sin2 n êx (-an sinn êct + bn cos n êctj] dx

En= T_. n2 K?..2 . e_[(an cos+ bn sin)2 +(-an sin+ bn cos}2] 2 e 2

finalement -12I 2 ( 2 2) En - . n an . + bn 4t

On vérifie bien que En est indépendant du temps.

Par une onde décomposée en série de Fourier 00

y (x,t) = ~ Yn (x,t) 1

a a On peut écrire, en supposant que l'on puisse permuter -, -et ~ ax at

E=t fW~;·J • à(a>:ilirnJ]dx= i J)>:~) +a(>:~J]dx


Le système {sin n rr. x, cos m ~x} étant orthogonal t t rn et n entiers e .

pa.-rapport au produit scalaire <f, g > = J. f(x) g(x) dx,

les doubles produits 2 re~. ~. dx et 2 re~. ~. dx sont nuls pour } 0 àx à x } 0 àt àt

m 'i' n si bien que l'on a

00

C'est une traduction de l'égalité de Bessel- Parseval en termes d'énergie: l'énergie totale de la vibration périodique est égale à la somme des

énergies de chaque composante harmonique de cette vibration. On notera que l'oreille est sensible aux énergies acoustiques (et non aux

amplitudes des vibrations).

5-3 COMPARAISON DES SPECTRES SONORES d'une corde pincée (guitare) et d'une corde frappée (piano).

La solution générale pour une corde de longueur €., attachée à ses extrémités est donnée par :

y (x,t) = ~ sinn rr. x [an cos n rr. ct+ bn sinn rr. ct) 1 e. e. e.

les coefficients an et bn étant déterminés par la position initiale et la vitesse

· · · 1 d 1 d ( · · 1 · d azy l azy - · d tmtla e e a cor e votr reso ut10n e. .p. = 2 2

par separation e àx2 . c àt

variables et conditions aux limites y (O,t) =y {t,t) = 0).


GUITARE

On suppose que la corde, écartée en x = xo de sa position d'équilibre d'une hauteur h est lâchée sans vitesse initiale. On note y = f (x) la forme de la corde 't à l'instant t = 0

00

?(

f (x) = ~ an sin n ~ x 1 e

et bn = 0 0

Les coefficients an sont ainsi les coefficients de Fourier de la fonction 2 e - périodique, impaire, valant f sur [ 0, e ]

d'où an = z.. re f (x) sin n JI. x dx e }0 e

w=21t=JI. T e

f étant linéaire par morceaux

ix0 fe f:. an = _h_ • x sin n 3L x dx + 2 0 Xo e .

xo

- _h_ .(x-e) . sinn 31.._ x dx e- x0 e

et en intégrant par parties on obtient

sinn JI. x0 e a - 2 h n - xo ( e - xo) .

L'énergie En = K n2 a~ décroît en n12

Le son perçu contient peu d'harmoniques. Lorsque la corde de guitare est pincée moins abruptement (sans plectre) la fonction f est plus régulière (voir exercice d où le graphe de f sur [ 0, e ] est un morceau de parabole) les coefficients de Fourier de f ainsi que les énergies correspondantes décroissent plus vite encore et le son est alors presque pur.


PIANO

On suppose que la corde dans sa position d'équilibre à l'instant t = 0 est frappée dans l'intervalle [ xo. xo +a] (a très petit devant e.) par un marteau de largeur a. Il est ainsi communiqué à la portion de corde [ xo. xo + a ] une vitesse v o.

La forme de la corde pour t = 0 correspond à y (x,O) = O.

Par contre la vitesse ~ des points de la corde

vérifie~ (x,O) = g (x)

'Oo -----,.... 1 1

avec g fonction de graphe ci-contre.

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

0 1 1

00

On a alors d'où an= 0

00

et g(x) = 2, n JI. c bn sin n lL x 1 e. e.

Les coefficients n bn X. c sont ainsi les coefficients de Fourier de la fonction e. 2e. · périodique, impaire, valant g sur [ 0, e. ]

d'où nbn x. c = 2. re g (x) sin n x. x dx e. e.Jo e.

g étant nulle en dehors de [ xo. xo + a ]

nbn JI. c = 2.. v0 sin n lt... x dx ixo+a

e. e. xo e.

Comme a est très petit on peut considérer sin n ~ x constant sur

[ xo, xo + a ] et égal à sin n f xo.


On a ainsi: 2 a.vo . 3t

nbn = --sm (n. 0 . xo) 3t.C v

L'énergie En = K n2 b ~ = K1 sin2 npo , varie peu d'où une grande

richesse en harmoniques du son du piano. e e

Pour xo = 7 on empêche la formation d'un noeud de vibration en 7 et ainsi le

7ème harmonique, jugé dissonant. On peut vérifier que E7 (ou h?) est nul.

Enfin, la raideur de la corde n'est plus négligeable pour n assez grand car elle s'oppose à courbure de la corde, courbure plus importante pour un mode de rang élevé, d'où une limitation du nombre des harmoniques.

5-4 QUELQUFS NOTES SUR LA GAMME

Le monocorde.

Les grecs ont les premiers probablement, cherché une théorie de leur musique et c'est à Pythagore au VIe siècle avant J-C que sont attribuées les premières spéculations sur la gamme, à partir du monocorde.

Pythagore associa à des intervalles de corde, des intervalles de la gamme pratiqués par les musiciens grecs. "Ainsi frappant la corde entière, puis la moitié de sa longueur, il trouva que la corde entière sonnait l'octave avec la demi-corde, au 3/4 de la corde il trouva la quarte, aux 2/3 la quinte et ainsi des autres" comme le rapporte Gaudence au rre siècle après J-C.

Le monocorde, considéré comme instrument de science de la musique fut utilisé tout au long du :xre jusqu'au xve siècle dans les monastères pour l'étude de la musique. Il contribua très certainement à la normalisation des rapports de hauteur. Mais même si l'antiquité connaissait le principe des vibrations d'une corde par observation de la lyre, il fallut attendre le début du XVIIIe siècle pour que Joseph Sauveur parvienne à déterminer le nombre exact de vibrations d'un son par l'utilisation du phénomène des battements. Il prouva alors que le rapport des nombres de vibrations définissant un intervalle entre deux sons était l'inverse de celui des longueurs de corde produisant ces sons.


Gamme dite de Pythagore

do ré mi fa sol la si do rapport des 1 9 81 4 3 27 243 2 fréquences 8 64 3 2 16 128

intervalles 9 9 256 9 9 9 256 8 8 243 8 8 8 243

Si le rapport 2 permet seulement de trouver la même note à des octaves différentes, le rapport 3 permet de trouver toutes les notes de la gamme par la suite des quintes successives : quinte ascendante x 3/2 ou quarte descendante x 3/4 pour rester dans l'octave.

< ,, ,z Cj

'" e. at cc: Q

-Ça dièse.

La gamme pythagoricienne possède le ton de rapport 9/8 et le demi-ton de rapport 256/243 légèrement inférieur à la moitié d'un ton

(( 256 )2 9 ) 243 = 1,110 et 8 = 1,125

La quinte et la quarte sont harmoniquement justes, la tierce est un peu grande comme on le verra en la comparant avec la tierce harmonique.

Les philosophes grecs s'arrêtaient après la constitution de la gamme diatonique. On peut construire par le même procédé, au-delà de cette gamme les notes diésées et en-deçà les notes bémolisées.

Toutefois il n'est pas possible par une suite de quintes justes de retrouver une

même note à octaves près puisque(~) n est toujours différent de 2m.

Mais après 12 quintes on obtient l'équivalent de 7 octaves à 1 comma près

1 comma P = (~ ) 2 : 27 = 1,014

(Sir est le rapport de fréquences, 1000 log r donne l'intervalle en savarts,

ainsi une gamme= 1000 log 2 = 301 a, 1 comma P = 5,9 a).

Dans les claviers accordés selon la gamme de Pythagore, probablement en usage jusqu'au XVIe siècle, pour obtenir l'égalité 12 quintes = 7 octaves, on raccourcissait d'un comma une quinte peu usitée (sol# 1, mi b 2) dite "quinte du loup".


Gamme harmonique ou naturelle (ou de Zarlino)

do ré mi fa sol la si do rapport des 1 9 5 4 3 5 15 2 fréquences 8 4 3 2 3 8

intervalle 9 10 16 9 10 9 16 8 9 15 8 9 8 15

Zarlino (1517- 1590) fonde cette gamme sur. trois accords parfaits majeurs obtenus à partir du do. Ainsi un monocorde vibrant sur le mode fondamental dol de fréquence v émet les harmoniques :

2 v soit do2

3 v soit sol2

4 v soit do3

5 v soit mi3

ramené dans l'octave à~ v: sol1

, d l' ' 5 . ramene ans octave a 4 v: m11

On trouve ainsi l'accord parfait: do, sol, mi.

A partir du sol} on trouve l'accord : sol, ré, si 3 1 3 1 9 , 6 1 2 v : so 1 v : so 2 2 v : re3 v : so 3

enfin en divisant la corde en 3 on trouve l'accord :fa, do, la

15 . 2v:s13

4 8 16 20 3 v : fa 1 3 v : fa2 4 v : do3 T v : fa3 3 v : la3

La mise en évidence des accords parfaits à la base de l'harmonie de la musique polyphonique, la simplicité des rapports de fréquences définissant cette gamme puis sa justification physique par Sauveur (1653-1716) firent beaucoup pour le succès au moins théorique de cette gamme. Toutefois elle ne permet pratiquement pas la transposition, cela est dû à l'existence de deux sortes de tons,

l'un majeur de rapport~ (do-ré, fa-sol, la-si) et un mineur de rapport ~O (ré-mi,

sol-la) plus le demi-ton majeur de rapport !~ , ainsi la quinte ré-la n'est pas juste

. d 5/3 4 0 3 1 d'ff' 'bi 0 putsque e rapport 918 = 27 :~; 2 ; . a 1 erence est perceptt e. n peut

remarquer que la tierce de Pythagore valant ~! = 1,265 est plus grande que la

tierce naturelle~ = 1,250. (Une ligne mélodique est transposée si, jouée à une

hauteur différente, elle est reconnue comme identique à elle-même, les hauteurs relatives des notes étant conservées).


Le phénomène des battements

Deux ondes de même amplitude et de fréquences distinctes sont perçues différemment selon que les fréquences sont éloignées ou proches. Si les fréquences sont éloignées, l'oreille reconnaît deux sons.

On a simplement (E) : y(t) = A cos 2Jt Vl t + A cos 2n V2 t

Si les fréquences sont très proches, l'oreille perçoit un son de fréquence moyenne d'amplitude variable, c'est le phénomène des battements. On écrit (E) sous la forme : y (t) = 2 cos (Jt /:iv t) cos 2Jt vmt

amplitude variable Vl +V2

avec vm = --2-

/:iv = Vl- V2 .. Consonance et harmonie

Comme on l'a vu précédemment avec la corde frappée ou pincée, un son de piano ou de guitare par exemple, de fréquence fondamentale VI est composé d'autres sons de fréquence 2v1, 3vl ... etc. et d'amplitude moindre en général. L'ensemble est perçu fusionné en une note timbrée. Cela est vrai de tous les instruments de musique, tuyaux sonores mais aussi membranes vibrantes même si dans ce dernier cas le son est constitué de partiels inharmoniques.

Lorsque plusieurs notes provenant d'instruments distincts sont émises simultanément et qu'elles sont les premiers harmoniques d'une même note appelée basse ou note grave de l'accord, l'ensemble donne une impression de plénitude due à l'ajustement de ces sons à la résonance naturelle et il n'y a pas de phénomène de battements. C'est ainsi qu'Helmholtz a défini la notion de consonance.

Chailley dans "Expliquer l'harmonie" montre d'ailleurs que le langage musical occidental a intégré progressivement dans les accords la suite des harmoniques naturels de la basse.

52' Il

* io • il • ~ • e • ...... .....

A ~ 5 1+ S' ' ; i .9 Ao A..(

f., c:l Q "'c.d'..t do do .Sol do m: $ol s: !.i ... .l do ri. ... : .Va .,(:to~~

Tableau des 11 premiers harmoniques du do


Remarques sur les sons synthétisés

Un auditeur attribue à un son musical trois qualités particulières: la hauteur, l'intensité et le timbre. On a cherché des référents physiques à ces qualités ;

la hauteur est liée à la fréquence du mouvement vibratoire, l'intensité dépend de l'énergie transmise par les vibrations, le timbre est associé à la richesse harmonique, il est ce qui colore le son et

permet de distinguer les instruments qui le produisent.

Fréquence, énergie, richesse harmonique caractérisent un son périodique. On considère un son musical comme périodique dès qu'il dure un court laps de temps et on étudie les grandeurs précédentes en fonction du temps. On peut obtenir ainsi une bonne représentation physique du son dans le trièdre tempsfréquence-intensité.

Le son n'étant perçu périodique que pendant sa phase de maintien, une étude particulière doit être conduite pour les phases d'établissement et d'évanouissement du son. D'ailleurs le timbre musical dépend autant sinon plus des transitoires d'attaque et d'extinction des vibrations que de la composition spectrale.

Par exemple, pour le piano, les sons sont d'autant plus riches d'harmoniques qu'ils sont graves, l'attaque du son due à la frappe de la corde étant plus importante dans les sons aiguës. Au point de vue énergétique les premiers harmoniques d'un son grave ont une importance comparable et le contenu harmonique reste sensiblement le même pendant toute la durée de la note.

Un son sforzando de trompette fait intervenir progressivement un nombre croissant d'harmoniques. De même ceux-ci s'éteignent différentiellement.

Une flûte émet un son pur, c'est-à-dire contenant très peu d'harmoniques. Dans le son de la guitare, si la corde est pincée doucement avec les doigts,

l'attaque est molle mais une résonance importante vient relayer l'impulsion initiale. De plus comme le dit Helmholtz "le son de la plupart des instruments est

d'habitude accompagné de bruits irréguliers caractéristiques, comme le grattement


ou frottement de l'archet dans le violon, le passage de l'air dans la flûte et dans les tuyaux d'orgue, le battement des anches etc. Ces bruits qui nous sont déjà familiers dans la mesure où ils caractérisent les instruments, facilitent matériellement notre pouvoir de les distinguer dans une masse composite de sons" .

Ces phénomènes juxtaposés ou transitoires permettent souvent d'identifier la source sonore. Mais ils n'ont pas de valeur proprement musicale. Comme le souligne Pierre Schaeffer dans son "traité des objets musicaux"

" .... En musique comme en phonétique, les civilisations ont fait un choix instinctif et usuel dans ce qu'elles ont retenu de significatif ..... Quant à la négligence des traits non pertinents, qu'il nous suffise de rappeler ces chocs que le musicien n'entend pas (le bruit de l'attaque, par exemple, dans une note de piano aiguë), alors qu'ils sont "objectivement" plus forts que le son tonique.

D'ailleurs, tant qu'il voit l'instrument en même temps qu'il l'entend, l'auditeur se trouve conditionné et note des différences qui lui paraissent énormes. Mais, si l'on dissimule l'instrument... d'extraordinaires confusions deviennent possibles, démontrant la parenté des sons ou, plus précisément des objets sonores perçus musicalement, à partir de sources qui diffèrent radicalement ... ".


ANALYSE HARMONIQUE PAR RESONANCE

5-5 RESONATEURS D'HELMHOLTZ

Pour analyser un son complexe, Helmholtz utilisa des résonateurs constitués de sphères (ou de cylindres) de verre munies de deux cols diamétralement opposés. Il collait une oreille à une embouchure tandis que l'autre était dirigée vers la source du son. Lorsque l'un des constituants du son avait une fréquence égale à la fréquence propre du résonateur, ce dernier amplifia.it l'harmonique qui était ainsi entendu séparement et persistait après l'arrêt de l'émission de la source. Helmholtz utilisa une série de résonateurs étalonnés et put évaluer les importances relatives des harmoniques ainsi entendus séparément confirmant les travaux de Sauveur en 1701.

hauteur 0 sphère 0 orifice Volume du son en mm en mm endm3

sol1 154 35,5 1,773

utz 130 30,2 1,053

miz 115 30 0,546

Caractéristiques de résonateurs citées par Helmholtz dans physiologique de la musique".

sa "Théorie

CALCULDELAFREQUENCEPROPRE d'un résonateur d'Helmholtz

modèle : analogie mécanique masse-ressort.

1 x 1

'1 1 '

.l 1 1

~

La petite masse d'air contenue dans le tuyau fin vibre sous l'effet de l'excitation. Le volume d'air contenu dans la bouteille joue le rôle d'un ressort plus au moins comprimé.

Nous supposerons que les dimensions du résonateur sont petites par rapport à la longueur de l'onde acoustique et que l'air de la bouteille est comprimé dans son ensemble.


D'autre part le gaz sera supposé parfait et la transformation compressiondécompression adiabatique, (c'est-à-dire sans échange de chaleur) les vibrations sonores étant très rapides comparées à la vitesse de diffusion de la chaleur. (Dans un 2ème temps on pourrait tenir compte de cette vitesse de diffusion).

F=mr donne ici 1 mx" = .6.P. s 1

m = s. e QO avec QO masse volumique

1 P. VY = c 1 en transformation adiabatique d'un gaz parfait donne par différentiation :

.6.P .6. V -+y -=0 Po Vo

Po et .6. V= s.x d'où .6.P = - y. Vo. s.x

et on obtient une équation du type K

x"+-x=O m

avec la raideur K d'un ressort équivalent égale à

la pulsation propre w vérifie

K Po s w2=-=y- --m . Vo. e QO

Aru>lication

Prenons une bouteille de Bordeaux (vide !) Po= 105 Pa, QO = 1,2 kglm3, y= 1,4 pour l'air Vo = 0, 75 e, 0 goulot = 1 ,8 cm, e = 8 cm

dl • f, w 1 ~ Po ou requence v - - - - y - 2n - 2n · V o ·

v~ 112Hz (Lai) (La3 = 440 Hz)

On vérifie que la longueur d'onde /.. = ~ 343

/.. = 112 = 3,06 m est grande par rapport

à la dimension de la bouteille (30 cm) c : vitesse de progation dans l'air c = 343 m/s à 20° C

-51-

Po 'Y· Vo s2


5-6 CIRCUIT ELECTRIQUE rLC

1) Schéma du montage

tiJI 1

La loi d'Ohm donne dl gffi

L dt +r 1 (t) + C = e(t)

t~(~> •

A l'instant t soit 1 (t) intensité du courant traversant le circuit, e(t) la différence de potentiel aux bornes de la bobine et du condensateur montés en série, v(t) la différence de potentiel mesurée aux bornes du condensateur.

dn n(t) avec l(t) = dt , v(t) = ~

La réponse v(t) au signal e(t) vérifie l'équation différentielle linéaire

LC v"(t) + rC v'(t) + v(t) = e(t) (avec des conditions initiales, par exemple

v(O) = v'(O) = 0 si e(t) = 0 pour t:::; 0)

La solution générale de l'équation est somme de la solution générale de l'équation homogène

LC v~ (t) + rC v0 (t) + vo (t) = 0, vo solution propre du système

et d'une solution particulière de l'équation complète LC v~ (t) + rC v~ (t) + Vl (t) = e(t)

que l'on cherche a priori du même type que e(t)

2) Suoposons d'abord la bobine parfaite, de résistance r = 0 .t Il 2

LC v0 (t) + vo(t) = 0 du type v0 + w 0 vo = 0 admet comme solution

vo(t) = 'Y e iwot + ye -iwot (ou v0(t) = a cos w 0 t + f3 sin w 0 t , forme réelle)

1 wo avec wo = -- vo =-

..JLC' 2Jt

Etudions la réponse fréquentielle du système,

soit la réponse v v (t) à ev (t) = &Zn:vt = eiwt (w pulsation, v fréquence)

-52-


En cherchant vv (t) = h(v).ei23tvt

solution de LC v: (t) + Vv (t) = ev(t) on obtient

h (v) [ -LC 4n2 v2 + 1 ] = 1

Si v ;t vo on a

A 1 1 1 h (v) 1 = LC4Jt2 v2- 1

Pour v = vo = k la réponse vvo (t) est du type k.t.ei23tvot d'amplitude 2Jt LC

croissante avec le temps. Il y a résonance.

3) r ;t O. En fait la bobine n'est pas parfaite, elle a une résistance r faible mais non nulle. Il y a dissipation d'énergie, essentiellement sous forme de chaleur dans la résistance. (II y a aussi phénomène d'hystérésis dans la bobine). LC v~ (t) + r Cv~ (t) + vo(t) = 0

vo(t) est de type sinusoïdal amorti

r 1".jL _rr-avec ar = 2L , Wr = 2L 4 C - r2 en supposant r < 2 -\1 C

Cette solution représente le régime transitoire qui devient négligeable quand t est assez grand. Le régime permanent est dû à la vibration forcée, entretenue par e(t).

Au signal d'entrée ev(t) = e iwt avec w = 2Jtv on associe la réponse

vv (t) = h (v). e iwt solution de l'équation différentielle complète:

LC v" + r Cv' +v= e ce qui donne (-LC w 2 + r C iw + 1) h (v) = 1.

En posant h (v) = 1 h (v) l.e_i<p on obtient le gain en amplitude

A 1 1 G(v) = l h (v) l = 1 1 LC 2 . C 1 = -;==~===-

- w + tr w --J (1-LCw2)2 + r2C2 w2 rCw

et le retard de phase <p défini par tang <p = LCw2 _ 1

Le gain en amplitude est maximal pour w = w0 = ...J~c , pulsation propre du

système sans résistance.


On appelle Q coefficient de surtension Q cette valeur maximale du gain qui vaut

Q-_1 __ 1- rr- rCwo- r -'V C

Un calcul analogue à celui conduit dans le circuit RC (voir 4.1.) montre que l'on a

0

G(JJ

v(t) = (h * e) (t) avec h(t) - - 2- e·art sin <.Or t u(t) -<.Or C · 2L ·

1 4) On voit que la réponse v(t) privilégie la fréquence vo = Zn: "-iLC ,

fréquence propre du système.

Si le signal d'entrée e(t) est une somme de signaux élémentaires evn(t)

de fréquence respective Vn: e(t) = L Cn ei2:n:vnt la réponse v(t) sera la somme des réponses vn (t) aux en(t) puisque le système différentiel est linéaire.

La réponse à la fréquence Vn sera prépondérante si Vn est proche de la fréquence propre vo du système.

Un signal périodique étant donné, on peut en faisant varier les caractéristiques du système (par exemple la valeur de la capacité) ajuster la fréquence propre vo successivement sur chaque fréquence intervenant dans la composition du signal et trouver ainsi l'amplitude de chaque harmonique.

Si e(t) = L Cn ei2:n:nvt v(t) = L Cn G(nv) ei(2:n:nvt- <pn)

et G(nv) est prGpunùêtant pour nv proche de vo (le déphasage <pest proche de~· Pour r, L, C fixés, le système électrique constitue un filtre sélectionnant une petite bande de fréquences autour de vo.


/

/ 1 -=-

1

~ ~- ·

___ / __ _ ~ - - /

Helmholtz séparant les harmoniques d'un son

EXERCICES



Exercice 1 Soit f : 1R -4 1R, 2Jt périodique, définie par f(x) =ex pour -Jt < x < Jt Calculer les coef. complexes cn du développement de f en série de Fourier

00

(SFf (x) = ~ Cn einx ) -00

Mettre sous forme réelle.

Donner par Dirichlet les valeurs de i; (-1)n 1 1 + n2

Exercice 2 Soit f : 1R -4 1R 2Jt périodique, définie par f(x) = x2 pour -Jt <x< Jt Développer f en série de cosinus.

Donner les valeurs de i; l2

et de i; (-1)2n

1 n 1 n Pour f et g, 2Jt périodiques, on définit le produit scalaire < f, g >par

00

~_.1.__ 1 1 + n2

< f, g > = _L_ fn: f(x) g (x) dx -'Tt 2Jt

-n:

1 1 1

v

Montrer que le système (1, {2 cos nx, {2 sin nx), ne N* est orthonormal. 00

En déduire que si SFf (x) = ~ + ~ (an cos nx + bn sin nx) l'égalité de Parseval 2 1

fn: 00 2 prend la forme _1 J f(x)j2 dx = (~\2 + ~ ~ + bn

2Jt 2 J 1 2 1C

00

Appliquer cette égalité pour trouver la valeur de ~ l4 1 n

Exercice 3 Soit f: 1R -4 lR, 2d périodique, impaire

d valant f(x) =x pour 0 ~x~ 2

d f(x) = d -x pour 2 ~x~ d

Développer f en série de sinus La série converge-t-elle uniformément ? La série dérivée terme à terme converge-t-elle?


Exercice 4 Soit 0 <a< b. Développer en série de Fourier la fonction f: lR ~ lR, paire,

de période 2b, valant f(x) = 0 pour 0 <x< a et f(x) = 1 pour a< x< b Quelle est la somme de la série obtenue pour x= a?, pour x= b?

00

En déduire f sin nn u = ~ - ~ pour 0 < u < 2TC

Quelle est la somme de la série précédente si -2TC < u < 0 ? si u = 0 ? 00

En déduire aussi :r (-1)n-1 sin nu = u.. n 2

pour 0 < u <TC

Exercice 5 Soit a réel non entier et f : lR ~ lR, 2TC périodique valant

f(x) = cos ax sur] -TC, TC [

Calculer son développement en série de Fourier réelle SFf(x) = ~0 + ~ an cos nx

Montrer que la série obtenue converge uniformément sur lR

Montrer l'égalité : ---/El-= 1 + 2 a 2 i (-1)n sm aTC 1 a2 - n2

00

Que vaut~ ~ sin nx pour x e [0, Tt] ? pour x e [Jt, 3TC ] ? 1 n

Donner le développement en série de Fourier de la fonction g: lR ~ lR,

2TC-périodique valant sur [-TC, TC ] g(x) = sin~ - ~

-~~-,-) -!---1 -;f>>-!-r--R--::-1 _t ..... (:l 1

Exercice 6 Le système comporte une diode et

une résistance montées en série. Le signal d'entrée est la tension sinusoïdale

e(t) = E sint Le signal de sortie est l'intensité

i(t) traversant la résistance.

On a i(t) = ~· f(t) avec f(t) = max (0, sin t)

Dessiner la courbe représentative de f. Ecrire sous forme réelle le développement de f en série de Fourier

on calculera ao. a1, b1 puis an et bn pour n > 1. Convergence de la série?

Déduire du développement trouvé les valeurs de i 1 i (-1)n 1 4n2 - 1 ' 1 4n2 - 1


Exercice 7 (On pose 0 ! = 1) Soit les séries de Fourier de terme général réel respectif :

cos nx sin nx Un(x) =-n-'-, Vn(x) = -,- (ne N) . n. Montrer que ces séries convergent normalement sur IR.

00 00

Soit S(x) = L .oos....nx. , T(x) = L sin..nx leur somme. o n! o n!

S et T sont-elles continues ? sont-elles dérivables ? zn

En posant z =eix et en remarquant que n ! = un(x) + i vn(x)

exprimer S et T à l'aide de fonctions usuelles.

Exercice 8 Noyau de Poisson Donner le développement en série entière de z de la fonction de la

variable complexe f(z) = 11

+ z -z

Rayon de convergence de la série obtenue ? En posant z= r ei8 (avec 0::;; r < 1, e réel) déduire de ce qui précède

le développement en série de Fourier du noyau de Poisson : 1 -r2

e H K(r, e) = 1 - 2r cose + r2 (O::;; r < 1)

Que valent les intégrales (3t cos ne de )

0 1 -2r cose + r2

(ne N, 0::;; r < 1)?

th Exercice 9 Soit a > 0 non entier et g : IR ~ IR monotone, continue et dérivable

dans [ -a, a], nulle en dehors de [ -a, a]. 00

On pose G(x) = L g(x + n) n = _oo

1) Montrer que G est définie pour tout x réel, est 1 -périodique. Donner explicitement G et sa représentation graphique sur [-1, 1] pour a= 1,6 et g(x) =x. Montrer dans le cas général que, par morceaux, G est monotone et dérivable et que G est continue en x = O.

2) Soit SFG (x) = L Cm ei2nmx le développement de G en série de Fourier -00

Montrer cm = g (m) en posant

g (rn) = J: g(x) e-;2xmx dx et la formule de Poisson n ~- g(n) = rn*---59-


Exercice JO On considère les fonctions f et F définies sur les réels par :

f(x) = 1 oosx 1 et F(x) = [1 cos tl dt

) f F [ .!.33t] 1 Donner les représentations graphiques de et sur -2 , 2 ,:n: 3:n:

On verra que pour x e L2 ; 2 ] F(x) = 2 - sin x .

2) Quelle est la période de f ? Donner le développement de f en série de Fourier. La série est-elle uniformément convergente? A-t-on SFf(x) = f(x) ? 3) Montrer que l'on peut intégrer terme à terme cette série et que la fonction

2x x 1-) F(x) - -;t admet un développement en série de Fourier de la forme

i bn sin 2nx. Donner bn. Que vaut i (1)P ? 1 0 {4p+1){4p+2){4p+3)

Exercice 11 1) Soit la série de fonctions de terme général un défini par

xn + 1 un (x) = (n + 1) 2n , x réel, n e N

Montrer que la série de terme général u'n (x) converge normalement sur [ -a, a] 00

avec 0 <a< 2. Calculer f(x) = ~ u'n(x) 0

00

En déduire, en justifiant l'opération l'expression de~ un(x) pour xe [-a, a] 0

00 1 Donner la valeur de la somme ~ (n + 1 ) 2n

2) Soit la série trigonométrique de terme général Vn défini par cos (n + 1 ) t ,

Vn (t) = (n + 1 ) 2n , t reel, n e N

Montrer que cette série converge normalement sur lR. 00

On pose S(t) = ~ vn(t). S est-elle continue sur lR ?

3) Peut-on dériver terme à terme cette série sur lR, c'est-à-dire a-t-on 00

S'(t) = ~ v'n(t) pour te lR ? 0

On posez= eit (t réel). Montrer que la série~(~} n converge pour te lR et donner

sa somme f(z).

·60-© [GILSINGER Jean-marc], [2016], INSA de Lyon, tous droits réservés.

Exprimer~ v'n (t) en fonction de f(z) puis en fonction de t sous forme réelle. 0

En déduire S(t) à une constante additive près. Déterminer cette constante grâce à la 1ère question.

lb Exercjce 12 1) Montrer que la série de terme général vn(x) = xn. einx

converge uniformément sur tout intervalle fermé contenu dans] -1,1[. 00

Calculer la somme de la série g(x) = ~ vn(x) n=O

2) 0 'd, 1 , . d , , 1 ( ) xn sin nx 'N' * n cons1 ere a sene e terme genera un x = n , n e .N.

Montrer par le critère d'Abel que cette série converge uniformément pour 1 x 1 ~ 1 et a pour somme une fonction f continue. 3) Montrer que fest dérivable pour 1 x 1 < 1. Calculer sa dérivée f.

x sin x En déduire f(x) = Arc tan 1 _ x cos x

oo sinn Que valent les sommes des séries numériques .f n ,

(-l)n sinn .f n ?

Equation de la chaleur

Modélisation

On étudie la propagation de la chaleur dans une barre rectiligne homogène isolée, la température en un point M (x) au temps t étant e(x, t).

Le débit de chaleur dans la barre se fait en chaque point dans le sens des températures décroissantes. Désignons par S la section de la barre. La quantité de chaleur traversant la section d'abscisse x entre les temps t et t + dt est

ae dQ = -k.S.0x . dt

k est le coefficient constant de conductibilité thermique. Pendant la durée dt, la quantité de chaleur entrée dans la tranche MM1 a pour

ae ae valeur ôQ = -k.S. [0x (x, t) - àx (x +dx, t)]. dt

aze = k.S. àxZ . dx. dt (en négligeant les ordres supérieurs)


L'apport de cette quantité de chaleur ôQ dans le volume S.dx a pour

effet d'élever la température de :. dt (puisqu'il n'y a pas déperdition latérale de

chaleur). En désignant par y la capacité calorifique par unité de volume on a ainsi

a a ôQ =y. S.dx.dt. dt

On obtient en égalant les deux expressions, l'équation de la chaleur

aze aa k ox2 = '( dt soit

k en posant h2 = -

'(

Exercice 13 Propagation de la chaleur dans une boule

Dans l'espace l'équation de propagation est aa . a2a a2a a2a dt = h2. 6.9 avec 6.9 Laplacten = ox2 + ày2 + oz2

On étudie la propagation de la chaleur dans une boule homogène de centre 0 et de rayon R maintenue superficiellement à la température a = 0, la condition initiale étant telle que a ne dépende que de t et de la distance

r = ..J x2 + y2 + z2 à l'origine.

1) Montrer que dans ces conditions l'é uation prend la forme a2a 2 aa 1 ae élr2 + r . or = h2 . at

2) Chercher les solutions qui restent finies pour r = 0, s'annulent pour r = R et sont de la forme 9(r, t) = f(r). g(t) (séparation des variables)

3) Par superposition des solutions précédentes, montrer qu'on peut trouver la solution 9(r, t) satisfaisant à la condition initiale

9(r, 0) = F(r) pour 0~ r~R

avec F(r) donnée, suffisamment régulière et s'annulant pour r = R. Déterminer effectivement cette solution (sous forme de série) pour

F (r) = cos CÎ . ~)


Exercice 14 Problème de la chaleur dans un disque

question préliminaire 1 Donner la solution générale de l'équation différentielle linéaire d'Euler

x2 y"(x) +x y'(x) - k2 y(x) = 0, k > 0 On cherchera des solutions indépendantes du type y = xr.

question préliminaire 2

Soit la fonction fi, 2n-périodique, définie sur [-n:, n] par fi (8) =sin~-~ Donner sa représentation graphique sur [-n, 2n ]. Montrer qu'elle est de classe ~I. Développer fi en série de Fourier.

Problème de la chaleur dans un disque On cherche à l'état permanent, la température v(g, 8) des points d'un

disque de rayon 1, dont les faces sont isolées et tel que son bord est maintenu à la température f(8) pour 0 ~ 8 ~ 2n.

Cela revient à chercher une fonction u(x, y) = v(g, 8), continue, de classe ~2

sur le disque ouvert Do(O, 1) de classe ~I sur le disque fermé D(O, 1) vérifiant t.u = 0 sur Do(0,1)

et u(x, y) = f(8) pour x+ iy = ei9

la fonction f, 2n-périodique, de classe ~I étant donnée. (c'est un problème de Dirichlet). t.u = 0 donne en coordonnées polaires

(E.D.P.)

1) On cherche des solutions de (E.D.P.) à variables séparées v (Q, 8) = P(g). <1>(8)

Montrer que la condition : 2rt est une période de <I> conduit à une équation du type <I>"k + k2 <I>k =O. Que peut-on dire des valeurs possibles de k? Donner ensuite la solution Pk(Q) associée,~ sur le disque.

00

2) On suppose que par superposition v(g, 8) = c + ~ <Pk Pk I

est encore solution de (E.D.P.). On recherche la solution particulière qui vérifie la condition au bord v(1,8) = f(8) Montrer qu'on est amené à écrire le développement de fen série de Fourier. Donner, sous forme de série, la solution v(g,8) dans le cas f(8) =fi (8) (préliminaire 2).

~3-© [GILSINGER Jean-marc], [2016], INSA de Lyon, tous droits réservés.

3) On revient au cas général En exprimant les coefficients de v(g, 8) en fonction de f, montrer que la solution v est définie par

v(Q, 8) = 2~ i: f(a) [ 1 +:f 2Q0 cos n(e- a)] da

( la série de Fourier de f de classe ~1 est normalement convergente) Montrer l'identité

00

1 + ~ 2gn cos n(e- a)= 1 2

1 -(~2 ) 2 o~ g< 1 1 - Q cos - a + Q

(on peut utiliser une série géométrique de raison z= geH9-a) ou ex 8)

d'où 1 f;n;

v(p, 8) = 2;t -:n: K (Q, e -a) f(a) da

produit de convolution avec le noyau de Poisson : K(g e) = 1- Q2

• 1 - 2g cos e + g2 Remarques :On suppose établie l'unicité de la solution du problème de Dirichlet. Pour Q < 1, la formule donne par dérivation sous le signe somme v harmonique. Pour montrer que v(g, e) tend vers f (8) lorsque Q ~ 1 on utilise les propriétés du noyau de Poisson (voir 4.3)

Exercice 15 Déformation d'une membrane

Préliminaire Dessiner la courbe 2n: - périodique, impaire définie pour 0 ~ x ~ n: par

3t . 3t f(x) = ch 2 -ch (x - 2)

Développer fen série de Fourier. On utilisera le résultat suivant (facile à établir) :

J." ch (x -1) sin nx dx = 0 pour n pair, = 1 ::, . ch ~ pour n impair.

La série de Fourier obtenue est-elle continue, dérivable sur IR ?

Problème

On étudie la déformation z(x, y) des points d'une toile carrée de côté e = 3t, tendue sur son cadre et dont un côté est déformé selon la courbe d'équations y= 0 et z= f(x)


1) Séparation des variables

Modélisation

On supposera que la déformation est une fonction z(x, y) de classe G2 sur le carré

0 $ x $ n , 0 $ y $ n vérifiant

(EDP) L_.;;.;a.:....2z_...;;.a.~-2z __ ...J - ax2 + dy2= 0

avec les conditions aux limites :

(CLl) z(O, y) = 0 (CL2) z(n, y) = 0 pour touty, O$y$n

(CL3) z(x, Jt) = 0 (CL4) z(x, 0) = f(x) pour tout x, 0 $ x $ n

On cherche des solutions à variables séparées z(x, y) = X(x). Y(y) de (EDP) vérifiant les conditions (CLl), (CL2) et (CL3) Montrer que (EDP), (CLl) et (CL2) conduisent à

X"(x) +À X(x) = 0 avec À> 0

Quelles sont les valeurs possibles (entières) de À ? Donner ensuite Y(y) vérifiant (EDP) et (CL3) (Y ne dépend que d'une constante arbitraire).

2) Supeqx:>sition des solutions particulières obtenues

On a trouvé précédemment une famille de solutions zn(x, y) On admettra que z(x, y) = ~ f3n zn(x, y) vérifie (EDP) (en cas de convergence)

n z(x, y) vérifie CL 1, 2 et 3 puisque les Zn vérifient tous, ces conditions.

Montrer que "z(x, y) vérifie (CL4) " se traduit par l'égalité f(x) = ~ f3n sh nJt sin nx

n Déduire du préliminaire la valeur de f3n dans le cas

3t 3t f (x) = ch 2 - ch (x - 2 )

Donner explicitement z(x, y) solution sous forme de série. La série obtenue converge-t-elle uniformément sur l'intérieur du carré?


fL:JJ Exercice 16 Théorème de Dirichlet

Soit f: IR ~ a:, 1-périodique, de classe ~1 par morceaux

Cela signifie qu'il existe une subdivision de [0,1] : ao = 0, a1. a2, ... ,ak = 1 telle que sur chaque intervalle fermé' [ aj, ai+l ], 0$ i < k, f peut être prolongée en une fonction de classe ~1 (c'est-à-dire en fonction continue, à dérivée continue sur l'intervalle). Ainsi, en tout x réel, f admet une limite à droite, notée f(x+) et une limite à gauche, notée f(x-) et les limites

1. f (x + t) - f (x+) f (x - t) - f (x-) tm t et lim -t existent,

t~O t~O t>O t>O

notées respectivement f '(x+) et f '(x-).

1) Montrer, par intégration par parties sur chacun des morceaux [ai, ai+I1

le lemme de Riemann-Lebesgue: lim e f(x) sin NJtx dx = 0 N~oo J0

2) Soit DN le noyau de Dirichlet défini par

D ( ) ~ .2 _ sin (2 N + 1) Jtx

N x = LJ et :n:nx = . -N Stn JtX

On note SN la somme partielle de la série de Fourier complexe de f

Montrer

N SN(X) = ~ Cn ei2:n:nx

-N fl/2

avec Cn = f(t) e-i2:n:nx dt

-1/2

SN(x)= f112

f(t) DN(X- t) dt= fl/2 DN (t) f(x- 't) d't

-112 -In En déduire la formule de Dirichlet

SN(x) = f."' [f(x + t) + f(x- t)] DN(t) dl

Montrer en choisissant f copstante sur IR que {112 1

Jo DN(t) dt= 2


3) On pose, pour x fixé 1

fm(x) = 2 [f(x+) + f(x-)] et ( ) _ f(x + t) - f(x+) + f (x - t) - f(x-)

<px t - sin Jtt

!.112

Etablir l'égalité SN(x) - fm(x) = 0

<px(t). sin (2N + l)Jtt dt

Montrer que <px(t) a une limite lorsque t -7 0, t > 0 et que

'Ve>O 3a>O VN i" <px(t). sin (2N +!)nt dt < E

1 Montrer que t 1-7 <px(t) est de classe ~1 par morceaux sur [a, 2],

a> 0 et conclure avec le lemme de Riemann-Lebesgue.

!hl !hl Exercice 17 Convergence de Césaro

Préliminaire . ( . . ( ) . . * U1 + U2 + ... +Un A toute sut te réelle un) on associe la suite u* n défime par u n = n

Montrer que U1 + U2 + ... +UN UN+1 + ... +Un

Si Un -7 0 alors u*n -7 O. On écrira u*n = n + n

Si un -7 u alors u*n -7 u (si 1 Uk 1 < e pour k > N ) Si un -7 oo alors u*n -7 oo

Si (un) est croissante et si u* n -7 u alors un -7 u Donner un exemple où (un) n'a pas de limite et où (u* n) en a une.

Problème Soit la série trigonométrique de terme général

cos nx un(x) =--2 - ne N* x e IR

n ' '

1) Montrer que la série est normalement convergente sur IR 00

On pose f(x) = ~ cos2nx . Montrer que f est paire, 23t-périodique et continue. 1 n

On étudiera ainsi f seulement sur [ 0, 3t ].

2) a- Etablir en utilisant une série géométrique complexe les égalités . nx . (n + 1) x . (2n + 1) x

n sm 2 sm 2 n sm 2 1 ~ sin kx = et ~ cos kx = - -2 1 .x 1 2.x

sm 2 sm 2


b- En utilisant a - et la transformation d'Abel :

n+p n+p-1 ~ ak Vk = l.: (ak - ak+Ü Vk + an+p Vn+p- an+1 Vn n+1 n+1

avec Vk =f Vi 1

montrer

'

Y ulc(x)l ~ ~ sur [a, n:] avec 0 <a< n: n+1 n stn .a.

2 · oo

En déduire la convergence uniforme de l.: u'n (x) sur [a, n: ] et la 1

dérivabilité de f sur [a, n: ], pour tout a> 0 donc sur ] 0, n: ].

3) a- Sur [a, n: ], 0 <a< n:, on considère f'(x) comme la limite de la suite (cr*n(x))

associée à la suite de terme crn(x) = f u'k(x). 1

En utilisant 2) a- montrer que la dérivée de cr*n(x) vérifie

[-n cr*n(x) ]'=('in.~: -~ J + .... +(sin (2~ r)x- ~ J 2 Stn 2 2 Stn2

b- Déduire de l'égalité . nx . (n + 2 )x

Jl. . 2k + 1 Sin 2 Stn 2 2.J sm--x= 1 2 . x

sin-2

. nx . n+2

que cr*n(x) a pour dérivée 1 Stn 2stn - 2-x

cr*n(x) '= 2-2n sin2 ~

En déduire que f admet une dérivée seconde constante égale à! sur ]0, n: ].

Pourquoi n'utilise-t-on pas directement la suite crn(x) ?

4) Déduire de ce qui précède la forme polynominale de f(x) sur [0, n: ]. On utilisera pour cela : ·

la valeur de l'intégrale L" f(x) dx , la valeur de f '(n)

et on tiendra compte de la continuité de fen O.

x2 n: n:2 oo 1 (On obtiendra f(x) = 4 - 2 x + 6 ) . Que vaut :t n2 ?


b Exercice 18 Polynômes de Bernoulli

Soit (Qp) la suite de fonctions de IR dans IR, périodiques de période 1, définie sur [0,1 [ par :

1 Q1(X) =X -2

Q'p(x) = Qp-1(x) pour peN*

f Qp(x)dx=O

00

On note SFQp(x) = ao(Qp) + ~ [an(Qp) cos 2Jtnx + bn(Qp) sin 2Jtnx] n=1

la somme de la série de Fourier de Qp. 1) Donner explicitement les expressions polynominales de Q2(x) et Q3(x) pour xe [0,1[. Vérifier que Q2(x) et Q3(x) sont continues sur IR.

Si Q2(X) = C2 + rx Q1 (t) dt sur ]0,1[, que vaut C2? }112

2) Calculer les coefficients de Fourier bn(n ~ 1) de la fonction impaire Q1.

On montrera qu'ils sont de la forme*, k < 0 à préciser.

La série de Fourier de Q1 converge-t-elle vers Q1 sur ]0, 1 [ ? sur [0, 1 [ ? De quel critère résulte la convergence uniforme de SFQ1 sur tout intervalle

1 le= [e, 1 - e] avec 0 < e < 2?

3) Montrer que la série de somme C2 + :i r bnsin 2Jtnt dt n = 1 }1/2

converge normalement sur [0, 1]. Obtient-on ainsi SFQ2(x) ? L'égalité Q2(x) = SFQ2(x) est-elle réalisée sur le? sur [0, 1] ?

oo (-1)n Que vaut ao(Q2)? En déduire la valeur de ~ - 2-.

n= 1 n Peut-on déduire SFQ3(x) en intégrant terme à terme sur [0, x], pour x dans [0, 1] le développement précédent ?

00 1 4) On pose s(p) = n~1 nP pour p > 1

Déduire de ce qui précède la valeur exacte de s(2).

N 1 On veut calculer s(3) à 10-3 près à l'aide de la somme partielle SN= ~ n3.

n=1


Montrer en comparant série et intégrale généralisée que le reste 00

R ~ 1 . ' _h_P'' h N = N-; 1

nJ est maJore par Nq. rectser et q.

En déduire un rang N à partir duquel on a certainement 1 ~(3) - ~N 1 < 10-3 5) Que vaut ao(Qp) ? Donner après justifications les développements en série de Fourier de Qzp et Q2p+1·

00

Etablir l'identité: pour x e [0, 1] ~ n=1

En déduire la valeur exacte de ~(4).

cos 2n:nx 1 n:4 n4 = 90 -

thJ thJ Exercice 19 Polynômes de Tchebychev

x4- 2x3 + x2 3

Soit 1= [-1, 1] et ~(I) l'espace des fonctions continues sur 1, à valeurs réelles. On appelle Tn le polynôme de Tchebychev défini par sa fonction polynomiale associée: pour xe 1 Tn(x} =cos [n Arc cosx] ne :f::l.

1) a- Montrer que, pour n ~ 1 1 T n+ 1 (x) + T n-1 (x) = 2x. T n (x) 1 (R)

Calculer To, T1. Tz, T3, T 4· Déduire de (R) que T n est un polynôme de degré n. Calculer Tn(l), Tn(-1) et donner le coefficient de xn dans Tn(x).

b- Déterminer les racines de Tn et montrer qu'elles sont toutes réelles et appartiennent à 1. Montrer que la fonction T n atteint sur 1 ses extremums locaux en (n + 1) points que l'on déterminera. Tracer sur 1 les graphes de Tz, T3, T 4.

2) a- Pour f et g e ~(1) on définit le produit scalaire< f, g >par

< f, g > = f1 f(x) g(x) dx ~ -1

Montrer que l'intégrale a un sens et que (f, g) 1--7 < f, g > est bien une forme bilinéaire, symétrique, définie, positive. (en particulier< f, f > ~ 0 et < f, f > = 0 => f = 0) On associera sur ~(1) à ce produit scalaire la norme notée llllt par Il f lit = ;/< f, f >

b-En effectuant le changement de variable x= cos 8 dans l'intégrale, on montrera que le système (T n) est orthogonal pour ce produit scalaire. Calculer Il T n lit.


c- On effectue le même changement de variable x = cos9 dans l'équation différentielle

(ED) 1 (1-x2) y"(x) -x y'(x) + n2 y(x) = 0

On posera y(x) = %(9) et on calculera %''(9). En déduire la solution générale de (ED) sur ]-1, 1[.

3) Sur ~ (I) on dispose de la norme de la convergence uniforme notée Il lloo définie par Il f lloo = sup 1 f(x) 1

x el T

On désigne par tn le polynôme 2n~l pour n ;::: 1 , to = To

(le coef. de xn dans tn(x) est 1, on dit qu'il est normalisé). On désigne par i?n l'espace des polynômes de degré au plus net par Qn l'ensemble des polynômes normalisés de degré n. Montrer que pour n e N*

1 Il tn lloo = 1/2n-1 et qu'il n'existe pas de polynômes qn e Qn tels que llqn lloo < 2n-l .

On pourra pour cela observer le nombre de racines de tn - qn dans 1.

En déduire 1 inf Il qn lloo = 2!-1 1 _qo e Qn -

4) a- f e ~(1) et (n + 1) points distincts (xk)k = o à n étant donnés, montrer qu'il

existe un et un seul polynôme qu'on notera Ln e i?n vérifiant Ln(Xk) = f (xk) pour k = 0 à n.

Ln est appelé polynôme d'interpolation de faux points (xk), k = 0 à n.

b-On pose TI(x) =(x -xo)(x- xt) ........ (x- xn) Tie Qn+l· On suppose que fest (n + 1) fois continûment dérivable sur 1. On considère la fonction <p définie sur 1 par <p(t) = f(t) - Ln(t) - cTI(t) où Ln est le polynôme d'interpolation de f aux points (xk), k = 0 à n et c une constante déterminée par la condition <p(x) = 0 pour un point x e 1- u{xk}k = o à n.

En utilisant (plusieurs fois) le théorème de Rolle, montrer qu'il existe Ç e ] -1,1 [ tel que <p(n+l) (Ç) =O.

f(n+l) (!;) En déduire: Vx e [-1, 1] 3 se] -1,1 [ f(x) -ln(x) = TI(x). (n + 1) !

et Il f-Ln lloo::;; (n} 1) ! Il f(n+l)lloo.ll TI lloo


5) a- Soit f indéfiniment dérivable surI. Montrer que l'on peut trouver une suite de polynômes d'interpolation (Ln)

Il f(n+l) lloo tels que l'on ait, pour tout n, la majoration Il f - Ln lloo ~ 2n (n + 1)!

En déduire une condition suffisante sur Il f(n+l) lloo pour que f

indéfiniment dérivable soit limite uniforme dans ~(I) d'une suite de polynômes

d'interpolation. Donner un exemple de f vérifiant cette condition.

b- Soit f indéfiniment dérivable surI, tel que Il f(n) lloo~ Kn! rn avec r < 2. Montrer que l'on peut trouver (ap)p = o à n tels que

f(x) = p~O ap Tp(x) + Rn(x) avec Il Rn lloo ~ Kt(~Y (Kt constante)

(on décomposera Ln polynôme d'interpolation de faux points (xk) zéros de Tn+l sur la base des polynômes de Tchebychev). Montrer que les ap sont solutions du système linéaire

n f(xk) = ~ ap T p(Xk) k = 0 à n

p=O (SL)

On pose x= cos 9 et f [cos9] = cp(9). Que devient (SL) ?

M e 2k + 1 3t ontrer que pour k = "'fl+l· 2 on a

si Sp,q = k ~ 0

cos p9k cos q9k So,o = n + 1,

Sp,q = 0 (p ;t q)

n+1 Sp,p =-

2- (p ;t 0),

En déduire ap = +2

1 i cp(9k) cos p9k pour p ;t O. Donner ao. n k=O

En posant cp(9) = ~ ap cos p9, montrer que l'expression de ap approche 0

l'intégrale donnant ap coefficient de Fourier de cp.

Exemple numérique. Soit f(x) =ln (e +x) pour xe [-1,1] Calculer L4 polynôme d'interpolation de faux points (xk) zéros de Ts

en calculant préalablement les (ap). p = 0 à 4. Donner un majorant de Il R4 Il. Ecrire le développement en série entière de f(x) pour x e I.

..4. f(p) (0) Si f(x) = ~ -p-,- xP + Q4 (x) = P 4 (x) + Q4 (x)

p=O . Donner P 4 et un majorant de IIQ4 lloo. (Les coefficients de P 4 et L4 seront calculés à lQ-4 près).


Exercice 20 Fonction continue presque-périodique

On note Gffi l'espace vectoriel sur Œ des fonctions continues, bornées de lR dans Œ, muni de la convergence uniforme Il lloo :

pour fe Gffi llflloo = sup lf(t)l te lR

Préliminaire Soit ev: t 1-7 eiât'\t la fonction de la variable réelle t, de "fréquence" réelle v. Soit Vl ~ 0 et vz ~ v1. Résoudre ev1 (t) = 1.

Montrer que le système {ev1• ev2} est libre dans Gffi. On suppose de plus v1/v2 non rationnel. Montrer que f = ev1 + ev2 ne peut être périodique.

1) Montrer que la famille { e"k}, k = 1 à n, où les 'Vk sont des réels tous distincts est une famille libre. (On pourra dériver la fonction t 1-7 ~ai evi(t) ). On considère E(v1, v2, ... ,vn) espace vectoriel sur Œ engendré par cette famille.

Si P e E(v1, vz, ... ,vn) on a P = i Ck e"k avec Ck e Œ. k=l

Pour (3 réel, montrer l'existence du nombre complexe !-!13 (P) défini par

!-!13 (P) = lim 2~ {X P(t) e-2in:l3t dt x~oo J.x

On établira d'abord la proposition pour P = e"k et on montrera ensuite que l'application !-!13 : E (v1, v2, ... ,vn) -7 Œ est linéaire. On appelle spectre de P et on note Sp(P) l'ensemble des (3 tels que !-!13 (P) ~ O. Pour P e E(v1, v2, ... ,vn), dans quel ensemble fini est inclus Sp(P) ?

Lorsque Vk = k.v avec v~ 0 et P e E(v, 2v, ... ,nv) comment obtient-on avec !-!13les coefficients de Fourier de P ? Quel peut être l'intérêt d'utiliser !-!13 ?

2) Pour Pet Q e E(v1, ... ,vn) montrer que lim 2~ JX P(t) Q(t) dt existe. X~oo -X

On note <P, Q> cette limite. Montrer que (P, Q) 1-7 <P, Q> est un produit scalaire hermitien sur E(v1, ... ,vn) pour lequel la famille { evk}, k = 1 à n est orthonormale

(on définit la norme Il llz par IIPII2 = ~ <P, P> )

Si P = f Ck evk a-t-on IIPI~ = f_ lckl2 ? k=l k=l


3) Soit E l'espace sur Œ engendré par les {ev}veJR. E est de dimension infinie mais tout élément P de E est une combinaison linéaire (finie) de vecteurs ev donc appartient à un espace E (v1, v2, ... ,vn) défini précédemment

l-l(3 est ainsi défini sur E et Sp (P) est un ensemble fini. On munit E de la norme de la convergence uniforme.

Montrer que l-l(3 est continue de E dans Œ, c'est-à-dire montrer que si (Pn) suite d'élément de E converge uniformément vers 0, alors (j..t(3 (Pn)) suite de nombres complexes converge vers O.

4) Soit F = E l'adhérence de E dans Gffi pour la convergence uniforme, autrement

dit l'espace constitué par les limites uniformes dans Gffi de suites de polynômes "trigonométriques" Pn. F sera appelé espace des fonctions continues presque-périodiques.

00

Montrer que pour (cn)neN: suite complexe telle que~ lcn 1 converge et

00

( Vn) suite réelle quelconque, f = ~ Cn evn appartient à F.

f est dite développée en série de Fourier généralisée.

On veut maintenant établir qu'on peut prolonger 1-l : E --) Œ en une application linéaire (uniformément) continue ii ; F --) Œ • Montrer que si une suite (Qn) cE converge uniformément vers ge F alors !-l(3(Qn)

a une limite dans Œ et que cette limite ne dépend pas de la suite (Qn) convergeant vers g (on montrera que la suite (j..t(3(Qn)) est de Cauchy) Montrer la continuité (uniforme) de ii.

5) En utilisant l'inégalité

ii(3(f)- 2~ Jx f(t) e-i2n:(3t dt s li:i(3(f) ·j..tf3(P)I + -X

+ l-lf3(P)- 2~ Jx P(t) e-i2n:(3t dt + 2~ Jx (P(t) - f(t)) e-i2n:(3t dt -X X

-74-


montrer que l'on peut définir ~f)(f) pour f e F par lim 2~ JX f(t) e-i2Jtf)t dt X~oo -X

De la continuité de ~f3 déduire que si la suite (Pn) cE converge uniformément vers fe F alors Sp(f) c v Sp(Pn)

neN Le spectre de f e F étant ainsi dénombrable, il existera une suite de réels (vn) et une suite <en) de complexes telles que f = L Cn evno la série étant uniformément convergente.

-75-


-76-


ANNEXES



LES MODES DE CONVERGENCE DES SÉRIES DE FONCTIONS

1· LA CONVERGENCE SIMPLE (ou point par point)

Soit E et F des espaces vectoriels normés complets et soit I c E. En pratique E et F seront IR ou a: et I un intervalle de IR ou un disque de a:.

On dit qu'une suite de fonctions Sn : I -7 F converge simplement sur I vers S: I -7 F lorsque, pour tout xe I, la suite numérique Sn(x) converge vers S(x) c'est-à-dire

I;;;;;;.;;_'V_x_e_I_'V_e_>_0_3_N_x_,e_'V_n_>_N __ I S-n-(x-)--S_(_x_) -1 <-e......,

Ainsi, pour un point fixé et une précision e donnée, on peut trouver un rang (qui dépend a priori de x et de e) à partir duquel Sn (x) est proche de sa limite S(x) à e près. Pour déterminer le domaine de convergence simple d'une série de fonctions de terme général un. on étudie la nature de la série numérique de terme général un (x) selon les valeurs de x, en utilisant les critères usuels des séries numériques.

Continuité

La convergence simple permet de définir la fonction S sur le domaine de convergence simple de Sn mais elle ne conserve pas en général la continuité de Sn.

Exemple

Soit pour xe IR+= E un(x) = xn La suite (un) n e N converge pour x e [ 0, 1 ], pour xe [ 0, 1 [ lim un(x) = 0

pour x= 1

pour x> 1

lim un(l) = 1 n~oo

un(x) -7 00

Le domaine de convergence simple c IR+ de la suite (un) est [ 0, 1 ]. La fonction u définie surI= [ 0, 1] par u(x) = 0 pour 0 s; x< 1 et u(l) = 1 est la limite simple de la suite un sur [0, 1 ] . Cette fonction u n'est pas continue en x = 1 alors que les fonctions un le sont.

Si l'on cherche le domaine de convergence simple de la série de terme général un. N

ce domaine est [0, 1 [et la sommeS est définie par S(x) = lim ~ xn = _!_ N~oo n=O 1- x


Intégration

Si la suite (un) converge simplement vers u sur 1, on n'a pas nécessairement

lim lb un(x) dx = lb u(x) dx pour a et be 1 n~oo a a

Exemple Soit un défini sur lR + par (pour n e :N *)

1 un (x) = n2x pour 0 ~ x ~ ~

n

1 2 un(x) = 2 n- n2x pour-< x<-n- -n

2 un (x) = 0 pour x ~ ~

0

un est continue et linéaire affine par morceaux. Le domaine de convergence simple est lR + et la limite simple u est la fonction nulle. En effet un(O) = 0 d'où lim un(O) = u(O) = 0,

et pour xo > 0 il existe N tel que ~ ~ xo. Alors si n ~ N un (xo) = 0

donc lim un(xo) = 0

Or f Un (x) dx = 1 pour totit n e N* (aire du triangle) alors que f u(x) dx = 0

Pour ces raisons on cherche un mode de convergence plus fort, mais qui conserve la continuité et permette l'intégation.

2- LA CONVERGENCE UNIFORME (par rapport à x)

On dit qu'une suite de fonctions Sn : 1 ~ F converge uniformément sur Du c 1 vers S : Du ~ F lorsque

1 't>'ë > 0 3 Ne 'lin> N \>'xe Du 1 Sn(x) - S(x)l < ê

c'est-à-dire si pour une précision quelconque ë donnée, on peut trouver un rang N (qui dépend a priori de la précision) à partir duquel Sn (x) est proche de S(x) à ë

près, et ce pour tout point x de Du. Le rang N est ainsi indépendant de x.


Si l'on trace le graphe de S sur Du. on voit que Sn ~ S uniformément sur Du si pour E donné, le graphe de Sn est situé, à partir d'un certain rang dans le tube d'axe, le graphe de S et de rayon e.

La convergence uniforme entraine évidemment la convergence simple.

Nonne de la convergence uniforme

S(.,.l-+ a.

S(.,.)

~( .. )-.t.

0

Sur l'espace ffi ([a, b ], F) des fonctions sur [a, b ], à valeur bornées

dans F (IR ou Œ) on peut définir Il fIl= sup 1 f(x) 1 a:5x:5b

ll est facile de vérifier que Il ll[a,b] est une norme sur ffi. On l'appelle norme de la convergence uniforme sur [a, b] (on la notera simplement Il Il) On peut traduire la convergence uniforme sur [a, b ] de la série de fonctions de terme général un. de somme partielle Sn et de reste Rn à l'ordre n, par

Ve >0 3N Vn>N

ffi Ua. b 1. F) est complet

L'espace F = IR ou Œ étant complet, ffi ([a, b ] , F) muni de la norme uniforme est

complet, ce qui signifie que toute suite de fonctions de ffi de Cauchy converge

dans ffi uniformément.

Soit (Sn) une suite de Cauchy de fonctions bornées, c'est-à-dire vérifiant (Cauchy):

'Ve > 0 3N Vn > N 'Vp > 0 Il Sn+p -Sn Il = sup a:5x:5b

ll est clair que pour x fixé, la suite (Sn (x)) est de Cauchy dans F, puisque pour n > N et p > 0 1 Sn+p(x)- Sn(x) 1$ E

F(=IR ou Œ) étant complet, cette suite (Sn(x)) a une limite quand n ~ oo

Notons S(x) = lim Sn(x) n~oo

S est ainsi définie comme limite simple de la suite de fonctions (Sn).


Il reste à montrer que S est bornée et que Sn converge vers S uniformément. Passons à la limite pour p infini dans (Cauchy) :

'<te > 0 3N '<ln> N '<tp > 0 'Tl xe [a, b] 1 Sn+p(x) - Sn(x) 1::;; e

on obtient '<te > 0 3N '<ln> N 'Tl xe [a, b] 1 S(x) - Sn(x) 1::;; e

donc 'Tl xe [a, b] 1 S(x) 1 < 1 Sn(x) 1 + e et comme Sn est bornée sup 1 S(x) 1 ::;; Il Sn Il + e donc S est bornée. Enfin '<te > 0 3N '<ln> N 'Tl xe [a, b] 1 S(x) - Sn(x) 1::;; e est la définition de la convergence uniforme de Sn vers S sur [ a, b ] .

Continuité

La limite uniforme sur [ a. b 1 d'une suite de fonctions continues sur [ a. b 1 est elle-même continue sur [ a, b 1.

Cette propriété de conservation de la continuité par limite uniforme est importante et très utilisée. On en redonne dans ce qui suit la démonstration.

0

,,~,

~,+~ ~+t.~~f~ ~~v ..J.-.i~-{

1 1 1 1

~E- : 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

Puisque fn converge uniformément vers f, pour tout e, il existe un rang N à partir duquel le graphe de fn est dans le tube de rayon e, d'axe le graphe de f.

Soit une fonction fno (no> N) de graphe dans le tube. La continuité de cette fonction fno

o.. ?<o ?(. b va être utilisée. On décompose f(x) - f(xo) en

f(x)- f(xo) = f(x)- f00 (x) + f00 (x)- f00(xo) + f00 (xo)- f(xo) ....____. ----~ ------conv. uniforme continuité de f00 conv. uniforme

Par la convergence uniforme on voit que, pour no > N 'Tl xe [a, b] 1 f(x) - fn0(x) 1< e et 1 f(xo) - fn0(xo) 1 < e

Or on peut rendre la quantité intermédiaire 1 f00 (x) - f00 (xo) 1 inférieure à e pourvu que x soit suffisamment voisin de xo puisque fno est continue, soit pour e > 0 3a '<lx 1 x - xo 1 <a=> 1 fn0 (x)- fn0 (xo) 1 < e

alors '<te> 0 3a > 0 (le a de f00) '<lx e [a, b] 1 x - xo 1 <a=> 1 f(x) - f(xo) 1 ::;; 1 f(x) - fn0(x) 1 + 1 fn0(x) - fn0(xo) 1 + 1 fn0(xo) - f(xo) 1 < 3 c et 3 e est arbitrairement petit.


Remarque On ne peut faire le même raisonnement si la convergence est simple car alors on ne peut trouver un rang no indépendant de x tel que 1 f(x) - fn 0(x) 1 < e et donc utiliser la continuité d'une fonction fno fixée.

0ffi est complet

L'espace 0ffi est complet, toute suite (fn) de Cauchy de 0ffi c ffi converge

uniformément dans ffi. Comme les éléments fn de la suite sont continus, la limite f

de la suite qui existe dans ffi est continue, fe 0ffi.

Intégration terme à terme

On considère une série de fonctions de terme général un continu sur [ a, b ], n

de somme partielle Sn = L uk et on la suppose uniformément convergente 0

sur [a, b ), de sommeS = ~ uk. Alors n~~ f Sn (t) dt = f S (t) dt

On peut a;ns; permuter Jet ~

Montrons que f (S(x) - S0 (x)) dx tend vers 0 quand n--> ~

(b (S(x)- Sn(x)) dx ~ Jb sup 1 S(x)- Sn(x) 1 dx =(b-a). Il S- Sn Il [ a, b] Ja a~x~b

a Le résultat découle de lim IlS- Sn Il= 0 et de (b-a) fini (intervalle borné) .

n-7oo

00

Si S(x) = I un(x) pour xe [a, b ], un continue sur [a, b] et si la convergence 0

de la série est uniforme sur [ a, b ] ,

alors f S(t) dt= i[ U0 (x)- U0 (a)) , pour a et xe [a, b]

où Un désigne une primitive de un. et la convergence de la série de terme général [ Un(x) - Un(a) ] est uniforme sur [a, b]


Exemple 00

Soit S(x) = L ~ 0 2n

d'où S (x)= 1 _l_ cos x

fRe ___l_ = ____.2..___ IX - t::

1 _L >L- cos x 2 4

La convergence est uniforme sur IR puisque 00

sup 1 Rn (x) 1 = sup L ~ ~ L _L = _L ~ 0 x e IR n+ 1 2k n+ 1 2k 2n n ~ oo

On peut intégrer terme à terme sur ( 0, x], on obtient

1 - l_ cos t 00

2 dt= I s.in...nx 5_- cos t 0 n.2n J

x

0 4

d 1 , . d sin nx

et la convergence e a sene e t.g. - 2n n. d'après le théorème (ici, sur IR tout entier).

Dérivation terme à terme

est uniforme sur tout intervalle borné

Il n'existe pas à proprement parler de théorème de dérivation terme à terme en ce sens qu'une série même uniformément convergente peut donner une série dérivée terme à terme divergente, comme le montre l'exemple suivant :

( ) sin (2n x)

Un X = 2n

00

Il Rn Il = Il L uk Il = L _L = _L ~ 0 n+1 n+1 2k 2n n ~ oo

mais u'n(x) =cos (2n x) ne tend pas vers 0 quand n ~ oo et donc la série de terme général u'n (x) diverge.

On utilise le théorème d'intégration terme à terme sous la forme :

Soit une série de fonctions de terme général Un de classe el sur [ a, b ]. On suppose que la série converge en au moins un point de [ a, b ]. Si la série de terme général u'n converge uniformément sur [ a, b ] alors la série de terme général un converge aussi uniformément sur [ a, b ], et si S est sa somme alors S est dérivable et S'= L u'n·

On applique le théorème précédent en remplaçant (Un. u0 ) par (un, u'n).


Il est à noter que l'hypothèse forte de convergence uniforme concerne la série des dérivées L u'n et non la sérieL un. On doit néanmoins supposer la convergence ponctuelle de la série L un sinon la propriété est fausse.

Exemple

Soit pour x~ 0 et n e 'N:* 1

u (x)=--n n+x La série de terme général un (x) diverge (sur 1R +) d'après le critère de Riemann,

mais u'n(x) = (n 2x )2 et la série L u'n converge uniformément sur lR+.

Il R'n Il = sup 1 Ï 1 1 = Ï _1_ reste de série numérique x~ 0 n+1 (k + x)2 n+1 k 2

convergente.

Par contre la série de terme général vn(x) = n! x - ~ - n(n-: x)

converge et v'n (x) d= u[~ (x). On pleut :crire dans ce cas

- I -x - I -l sur 1R + dx 1 n (n +x) - 1 (n + x)2

3- Comment établir la convergence uniforme d'une série de fonctions ?

On peut le faire directement dans certains cas

On peut posséder une expression simple de la somme et du reste à l'ordre n comme dans l'exemple de la série géométrique :

pour x :;t; 1

pour lxi< 1

1 xn + 1 -- - 1 + x+ ... + xn + --1-x- 1-x S(x) = Sn(x) + Rn(x)

Ainsi la convergence de cette série est uniforme sur tout intervalle [ -a, a ] ,0 < a <1 puisque sup 1 xn+1j = an+1 ~ 0 (0 <a< 1)

-a ~ x ~ a 1 - x 1 - a n ~ oo

Dans le cas des séries entières, le développement de Taylor avec le reste de Lagrange permet d'obtenir (pour les fonctions usuelles) une expression du reste que l'on peut majorer


Ainsi

ex ~ x: Jèl+l eS x avec 0 <9 < 1 = 1+x+ 2 !+ ..... + + nJ_ (n + 1) ! ---S(x) = Sn (x) + Rn (x)

La série de terme général un (x) = ~ converge simplement sur IR. n. Utilisons le critère usuel de d'Alembert.

1 un+l (x) 1 1 un (x) 1

lxi n+1 ~

n~oo

0<1 d'où convergence

On montre ensuite la convergence uniforme vers ex de la série de terme général

un(x) = ~ sur tout intervalle [-a, a] par une majoration du reste n.

sup -as; x s; a

1 Rn(x) 1 = sup IJèl+ll eex s; an+l ea -as; x s; a (n + 1) ! (n + 1) !

an+l et ce majorant tend vers 0 puisque (n + 1) ! est le t.g. d'une série convergente

Mais il existe des propriétés du terme général de la série de fonctions qui assurent la convergence uniforme. Les deux cas usuels sont la convergence normale et la convergence uniforme d'Abel (cette dernière essentiellement pour les séries de Fourier).

CONVERGENCE NORMALE surI de la série de terme général un : I ~ F c'est la convergence de la série numéri ue de terme général

Il un llr = sup 1 un(x) 1 xe!

Comme l'espace ffi (I, F) est complet, on peut, pour montrer que la convergence normale entraîne la convergence uniforme, appliquer le critère de Cauchy à la suite des sommes partielles. On veut montrer V E > 0 3N Vn > N Vp > 0 Il Sn+p- Sn llr < E

Or Il Sn+p- Sn llr = sup 1 nt uk(x) 1 s; ni,p sup 1 uk(x) 1 = ni,p Il uk llr xe I n+l n+l xe I n+l

et cette dernière quantité tend vers 0 quand n ~ oo puisque la série ~ Il un llr converge (la suite des sommes partielles des Il Uk llr est de Cauchy).


Exemples:

sin nx un=~

lsin nxl 1 1 Il Un Il = sup 2n = 2n et ~ 2n converge

cos nx lcos nxl 1 1 pour n '# 0, un = -oz- Il un Il = sup nZ = nZ et ~ nZ converge

CONVERGENCE UNIFORME D'ABEL

On considère des fonctions de ffi (I, F), c'est-à-dire des fonctions f deI

intervalle de IR dans F = IR ou a:, bornées pour la norme uniforme sur I : Il fIl= sup 1 f(x)l

x el On a vu que ffi (I, F) est complet pour cette norme.

Soit une série de fonctions de terme général un e ffi (1, F) telle que

un(x) = Ctn· v0 (x) avec Vn e ffi(I, F) on suppose

1) Ctn& lR+, suite (a0 ) décroissante de limite 0

2) 3M > 0 Vn Vp Il nip vk Il= supl rip vk(x) 1 $ M xe

Alors :E un converge uniformément suri et Il Rn Il = Il i uk Il $ M. an+ 1

~ Montrons que la suite (Sn) des sommes partielles des un est de Cauchy pour la norme uniforme surI, c'est-à-dire vérifie VE>Û 3N Vn>N \t'peN IISn+p -Snii<E

On a 1 Sn+p(x) -Sn (x) 1 = 1 Ctn+1 Vn+1 (x) + Ctn+2 Vn+2(X) + ..... +etn+p Vn+p(x)l

n+q Exprimons cette quantité en fonction des Vn+q = ~ Vk (qe N*)

n+1 IISn+p - Snll = lletn+1 Vn+1+ Ctn+2 (Vn+2- Vn+Ü + ... +etn+p (Vn+p - Vn+p-ÜII

= 11Vn+1 (etn+1- Ctn+z> + .... + Vn+p-1· (etn+p-1- Ctn+p) + Ctn+p· Vn+pll


On a 'V q Il V n+q_ll ::::; M d'après l'hypothèse 2). On en déduit Il Sn+p- Sn Il::::; M tl an+1- an+21 + .... + 1 an+p-1 -an+p 1 + 1 an+p 1] an> 0 et la suite (an) est décroissante donc

Il Sn+p - Sn Il ::::; M (Un+1 - an+2 + .... + an+p-1 -an+p + an+p) = M an+1 . Enfin comme an+1 ~ 0 quand n ~ 00, Il Sn+p- Sn Il ~ 0 quand n ~ oo

ce qui prouve la convergence unifonne de la série de tenne général un. En passant à la limite pour p infini dans la majoration: Il Sn+p- Sn Il::::; M. a~+l On obtient Il Rn Il = IlS - Sn Il ::::; M. an+1

Exemple d'application

Pour n e N* soit un(x) = ~. einwx (w et x réels, w -:1- 0, T= 7: ) an=~' Vn(x) = einwx

Montrons que la 2ème condition est remplie sur Ia = [a, 7: -a J avec 0 < a < ~

ln+ p ik l 1 . 1 - eHp+1)wx 1 2 ~ e wx = ernwx. . ::::; . n 1 _ e1wx 11 _ e1wx1

Or sur Ia 1 eiwx - 1 1 = 12i sin w2x eiwx/2 1 = 2 sin ~x ~ 2 sin ~a> 0

rip eikwx j::::; M = . lwa d'où sup

Nota

Xe la SinT

On ne peut montrer la convergence unifonne sur [o. 2Jt] puisque la série (1)

diverge en 0 (}: ~ - en n) On ne peut non plus espérer montrer la convergence

unifonne sur l'intervalle ouvert ] 0, : [ comme on va le voir en complément.

Toutefois, la convergence uniforme sur tout intervalle Ia. a > 0 suffit pour

entraîner la continuité de la somme sur I = ] 0, ~ [ car la continuité est une

propriété locale.

En effet, pour établir la continuité de la somme en xo e ] 0, 2Jt [, il suffit (ù

d'étudier le comportement de la fonction dans un petit intervalle ] xo - ê, xo + ê [

entourant xo. Comme l'intervalle I = ] 0, : [ est ouvert on peut trouver ê tel que


[xo - E, xo + E ] c I. Alors il existe la tel que ] xo - E, xo + E [ c la c l et la convergence uniforme de la série sur la et la continuité des sommes partielles entraîneront la continuité de la somme en xo.

Complément

Soit une série de fonctions de terme général un : [a, b] -7 F (n e N, F = IR ou Œ) On suppose:

1) l'uniforme convergence de la série vers S sur ] a, b [ 2) la continuité des fonctions un sur [ a, b]

Alors 00 00

les séries~ un(a) et~ un(b) convergent 0 0

la série converge uniformément sur [ a, b] et

lim S(x) = ~ u0 (a) [ lim S(x) = ~ un(b)] x-7a 0 x-7b 0

~ On utilise la continuité des sommes partielles Sn sur [ a, b] ISn+p(a) - Sn(a) 1 = lim 1 Sn+p(x) - Sn(x) l$ sup ISn+p(x) - Sn(x) 1

x-7a xe] a,b [ xe]a,b[

Comme Il Sn+p - Sn Il] a, b ( -7 0 (convergence uniforme de la série sur] a, b [) la suite (Sn(a)) est de Cauchy donc converge dans F complet et

00

lim Sn (a) = ~ un (a) n-7oo u

On peut définir S prolongement de S à [ a, b ] par 00 00

S(x) = S(x) pour x e ] a, b[. S(a) = ~ un (a), 0

S(b) = ~ Un(b). 0

La convergence de la série est uniforme sur [ a, b ]

sup a$x$b

ISn+p(a) - Sn(a) 1 $ Il Sn+p- Sn Il] a, b ( ISn+p(x) - Sn(x) 1 $ Il Sn+p - Sn Il] a, b (

Ce qui donne Il Sn+p - Sn Il[ a, b] = Il Sn+p- Sn Il] a, b ( En particulier pour p infini IlS - Sn Il [ a, b ] = Il S - Sn Il] a, b (

donc

S limite uniforme sur [ a, b ] de Sn continue sur [ a, b ] est continue, en particulier en a et en b.



ELEMENTS DE SOLUTIONS



Exercice a é)2Y é)2Y d2Y

(a2- c2). é)u2 + 2 (ab- c2). au av+ (b2- c2). àv2 = 0

d'où la solution générale y= F(x +ct) + G(x- ct) Les conditions aux limites donnent pour tout ct G(-ct) = -F(ct) et F(ct + e) = F(ct- e) Les conditions initiales donnent F paire et 2 F'(x) = q>'(x)

Exercice b X"(x) 1 T(t) , , X(x) = a· T(t) = k (le 1er rapport ne depend que de x, le 2eme que de t)

T(t) = Â.eakt avec k ~ 0, X(x) =A cos wx + B sin wx avec k = -w2

Les conditions aux limites imposent A= 0 et wE. =mt, ne N*, si on veut obtenir des solutions non identiquement nulles.

Par superposition la condition initiale donne q>(x) = ~ bn sinn~ x ce qui est

le développement en série de Fourier de q;, 2e-périodique, impaire, prolongement

de q> définie sur [0, n Exercice c

Pour lf"(t)l ~ M sur [0, 2rc] 1 (2;r;

l(an(f")l = ;t Jo f"(t) cos nt dt~ 2M

Soit un= 1 an(f) 1 + 1 bn(f) 1, un ~:.la série de t.g. un converge (critère de

Riemann). La convergence de la série t.g. an (f) cos nx + bn (f) sin nx est normale (donc uniforme).

Exercice d

bn =~ J: kx (e-x) sinn ê x dx d'où

oo sin (2p + 1) ~ x 32h {,.

SF<p(x) = rc3 ~ (2p + 1)3

32h 00

1 y(x, t) = rc3 .f (2p + 1)3 · sin (2p + 1) ~x. cos (2p + 1) ~ct

SF<p (; ) = h donne (-1)P rc3

~ (2p + 1)3 = 32

00


Exercice e Gibbs n sin kx .

SFf(x) = ~ -k- · Convergence stmple sur 1R. 1

La convergence est uniforme sur [e, n] par Abel car 1 f sin kxl $ sin 1

E12 mais non sur [0, n] puisque la fonction limite est discontinue en x= O.

S' ( ) 0 . 2n + 1 . x 1 1 . 0 1 . , 'f' n x = pour sm - 2- x = sm 2 et e p us petit x > so ut10n ven te

2n + 1 x . 3t x---n+1 - 2-x = Jt- 2 smt

M,. .. uhe de c,o,.,.tA"\3!lNIC(.

""';~orrne.

/ ~r()rht Je. Sn

On interprète Sn (xn) comme somme de Riemann ~ (Xi+l - xj) f(Xi+Ü

pour l'équipartage de [0, n] : Xi+l -Xi= n: 1 . sin x

et la fonction f: f(x) = -- · x 0 l., o( ~ Jt-X

Sn (xn) ~ 1,85 alors que lim - 2- = 1,57 x~O

Exercice f Le carré scalaire T(Q) est positif. Si < f, g > :;t: 0 on pose e = arg < f, g > T(Q) = Q2 < g, g > + 2Q k f, g > 1 + < f, f >

et on obtient de discriminant négatif ou nul.

Exercice g Si f continue vérifie f(xo) = c :;t: 0 pour xo e [ 0, 1 ], il existe un intervalle

c2 I C [ 0, 1 ] de longueur €-(I) non nulle sur lequel lf(x) 12 > 2 ·

Alors f 1 f(t) l'dt, ~2 e(l) * 0

Exercice b Il X+ y 112 =<X+ y, X+ y>= Il X 112 +Il y 112 +<X, y>+< X, y>


Exercice 1

(-l)n shJt Cn= l-in ·----;c: SFf( ) = sh Jt (l 2 i (-l}n [cos nx _ n sin nxJ]

x Jt + 1 1 + n2 1 + n2

SFf(O) = 1 et SFf(Jt) =ch Jt donnent les résultats.

Exercice 2

Jt2 oo (-l}n oo 1 Jt2 oo (-l)n Jt2 oo 1 Jt4 SFf (x) = T + 4 F 02 cos nx ; F n2 = 6 ; F 02 = - 12 ; F n4 = 90

Exercice 3

4d oo (-l)P [ Jt ] SFf (x) = Jt2 .f (2p + 1)2 sin (2p + 1) d x ; la série converge normalement.

La série dérivée converge sur IR, uniformément sur [ -~ + e, ~- e J par Abel.

Exercice 4

-.·---' '

-0. 0 o.

Exercice 5

.b

. a b - a 2 oo Sin nJt b Jt

SFf (x) = ---r- - - ~ · cos n -b x u Jt 1 n

SFf (a) = ~ et 2 Jt ~ = u donne le résultat

SFf (b) = 1 et Jt ~ = u donne le résultat

sin aJt 2a . oo SFf (x) = --+ -Sin aJt ~

aJt Jt 1 La convergence est normale. SFf (0) = 1 donne l'égalité.

(-l}n a2- n2cos nx

On peut intégrer terme à terme ; on obtient

pour X e [ ... , 3 ... 1 sin a(x -2Jt) sin aJt ( 2 ) + ~ an . -. ,. a = ~ · x - Jt f -;; Sin nx

SF (x)=~ i (-l}n . sin nx g n: 1 1- 4n2 n


Exercice 6

1 1 . 2 00

cos 2kt SFf(t) = ;t + 2 Stn t - ;t :r 4k2 - 1

/. série normalement convergente vers f

3t SFf (O) = 0 et SFf (2) = 1

donnent les résultats.

Exercice 7

1 00

1 Il un Il = Il vn Il = 1 et '5: -, = e d'où convergence normale. n. 0 n.

Pour n;::: p Il un(p) Il = Il vn(p) Il= (n _1p)! · Set T sont indéfiniment dérivables

(S + iT) (x) =ecos x. cos (sin x) + i ecos x. sin (sin x)

Exercice 8

f(z) = 1 + 2z + ... + 2 zn+ ... d'où K(r,e) = 1 + 2r cos e + ... + 2 rn cos ne + ...

On a ainsi an(K) = 1_ {1t (1 - r2

} cos ne de= 2rn 3t J 0 1 - 2r cose + r2

Exercice 9

g(x + n) = 0 pour 1 x + n 1 > a donc en fait la somme est finie.

On note E(a) la partie entière de a. Soit a= min [a- E(a), E (a+ 1) -a]

E(a) Si -a< x< a, G(x) = '5: g(x + n)

-Ë\a) et G est ainsi continue en x= O.

1

il 00 11 Cm= ~ g(x + n) e-i21tmx dx= ~ g(x + n) e-i21tmx dx

0 ~00 0 (somme finie)

en posant x + n = y Cm = ~ n f

n+l foo n g(y) e-i21tmy dy= _oo g(y) e-i21tmy dy

SFG (O) = G(O) donne Poisson -96-© [GILSINGER Jean-marc], [2016], INSA de Lyon, tous droits réservés.

Exercice JO

SFf(x) = ~ + .1 i (-l)n+1 cos 2n x 3'C 3'C 1 4n2 - 1

SFf = f car f est continue et la série normalement convergente. On peut intégrer

' F( ) 2x 3'C d 1 d 1 , · ' · terme a terme. x - 3t pour x = 4 onne a somme e a sene numenque.

Exercice 11

Il U: Il =(~y, f(x) = ~. }: un(x) = 2en 2 - 2en (2 -x) 1-2

' 1 Il v n Il = 2n • on peut dériver s terme à terme, s (t) = 2 en 2 - en (5 - 4 cos t)

Exercice 12

vn(x) =zn avec z =x eix d'où g(x) = 1 _!eix

2 1}: wn(x)l ~Il _x eixl et x ~~ Il -x eixl continue ne s'annule pas sur [-1, 1]

• sin x + x cos x - x2 . }: un(x) (1 - x cos x)2 + x2 sin2 x '

Exercice 13

Avec cp(r) = r f(r) ~ 1 Km. cp(r) = h2 . g(t) =ete

3'C2 et ete== -n2 R2 , ne N*

00

Par superposition la condition initiale donne r.F(r) = :r Bn sin nlt ~ développement de Fourier de (ji, 2R- périodique, impaire, prolongement

de ~ définie sur [0, R] d'où Bn = ~ L R rF(r) sin nx ~ dr,

d l' 1 B - 2R (-J)n-1

ans exemp e n 2 · - 3'C ( n2- ~ ) 2


Exercice 14 1 oo (-1)n-1

SFf1 (x) = 2Jt .f n (n2 _ 11 4) sin nx

P" P' .!." Q2 p + Q p = -t = ete et ete = k2, k entier

00

par superposition

1 JJ'C 1 JJ'C Comme Ak = ;t f(a) cos ka da et Bk = ;t f(a) sin ka da -Jt -Jt

on remplace dans v(Q, 8), Ak et Bk par leurs intégrales et on permute intégrale et somme, la série étant normalement convergente, on obtient le résultat avec l'identité du noyau de Poisson.

Exercjce 15

4 Jt oo sin (2n + 1) x SFf(x) = ;t ch 2 t: (2n + 1) [1 + (2n + 1)2] ' cette série et la série des dérivées convergent normalement À= n2, n e N*. Les solutions de l'e.d.p. qui vérifient les trois premières conditions aux limites sont du type zn(x, y) = l3n sin nx. sh n(Jt- y)

En superposant on obtient avec (CIA) 2 f.J'C l3n sh nJt = ;t 0

f (x) sin nx dx

Exercjce 16 1) Si fest de classe 01 sur [a, b], on a

f f(x) sin Nnx dx = [ -f(x) cos ;.xx l> f f(x) cosN~ro< dx

f et f' continues sur [a, b) étant bornées f f(x) sin Nnx dx ~ rfx (Il f Il+ Il r Il)

N !.1 !.1 N 2) SN(x) = ~ ei2Jtn.x f(t) e-i2Jtnt dt= f(t) ~ ei2Jtn(x-t) dx. -N 0 0 -N

f1/2 lx-l/2 f(t) DN (x - t) dt= - f(x- 't) DN ('t) d't et f et DN sont !-périodiques.

1/2 x+l/2

3) (t) = f(x + t)- f(x+) + f (x- t)- f(x·). -.-t _ f'(x+)- f'(x-) ( O) <px t Stn Jtt ~ Jt · t >

t-+0


Exercice 17

ê 1 uN+ 1 + ... + Un 1 ê n - N ë Préliminaire Ve > 0 3N Vn > N lunl < 2 alors n < 2 · -n- < 2

U1 + U2 + ... +UN et d'autre part ~ 0, N fixé quand n ~ oo n

Problème

2) Tn = ± eikx = eix 11

- e~ = si~ n;;~2 ei(n+1)x/2 1 -e~ mn

n n . kx et on a T n = ~ cos kx + i ~ sm

1 1

ln+p , 1 . 2 2 ~ u k :s; sup 1~ sm kxl. n + 1 :s; (n + 1) s'n a/2 pour xe [a, n] ce qui prouve n+1 k x 1

' n que la suite On=~ u'k est de Cauchy pour la convergence uniforme sur [a;n]

1 . _a sin kx n sin kx

3) -na*n(x) =sm x+~ -k-+ ... + ~ k 1 1

2 n d'où [-na*n(x)]' =cos x+~ cos kx + ... + ~ cos kx et on applique 2a)

1 1 * ( )' _l _l_ ( ) ( ) _sin nx/2 sin (n + 2)x/2

a n x - 2 - 2n gn x avec gn x - sin2 x/2 1

et Il gn ll[a, Jt] :s; sin2 a/2

Donc a*'n ~ 1/2 uniformément sur [a, n]. (La suite a'n ne converge pas) 1 x2

4) De f"(x) = 2 sur] 0, n] on tire f(x) = 4 + ax + b sur ]0, n]

J." f(x) dx = 0 et f'(n) = 0 donnent

Exercice 18 x2 - x 1

1)Q2(X)=-2-+12 '

et

2) bn = ~~ · La convergence est uniforme sur Ie d'après le critère d'Abel.

3) On peut intégrer SFQ1 sur Ie et on obtient Q2 = SFQ2 sur Ie. On peut prolonger l'égalité sur [0, 1] car Q2 et SFQ2 sont continues.

SFQ2(x) = i c~s ~Jt~ ·La convergence de la série est normale sur [0, 1] 1 Jt n

et on peut intégrer terme à terme, on obtient SFQ3.


1 {N+1 dx 4) x 1--? x-3 étant décroissante, (N + 1)3 ~ }N x3

Si N > 22 on est sûr d'avoir la précision 10-3

d'où {oo dx 1

RN ~ )N x3 = 2N2

oo 1 cos 2Jtnx 5) Q2p(x) = 2 .f (-1)p- (2Jtn)2p

oo 1 sin 2Jtnx et Q2p+I(x) = 2 .f (-l)p- (2Jtn)2p+1

Exercice 19

1) T3(x) = 4x3- 3x, T4(x) = 8x4- 8x2 + 1, coef. de xn de Tn = 2n-1 (n;;::: 1)

Les n zéros de T n sont : Xk = cos (;n + k ~) avec k variant de 0 à n-1

et entre 2 zéros consécutifs, T n continu admet un extremum local. Or les extremums valant ± 1 sont obtenus pour cos ne = ± 1 soit aux

kJt (n + 1) valeurs Xk = COS n , 0 ~ k ~ n.

2) <Tn, Tp > = [ cos na cos pa da, liT ni~=~ pour n # 0, IIToll~ = •

3) Tn(x) =cos ne, sup ITn(x)l = 1 d'où sup ITn(x) l = 112n-1

Si p = tn- qn p e ~n-1 puisque tn et qn sont normalisés. Or pour 0 ~ k ~ n

p (cos k: )= 2~-1 Tn (cos k:)- qn(cos k: )= ~~}~- qn(cos k:) Comme on suppose Il qnll < 2~_ 1 , p (cos k: ) a le signe de (-1)k donc p change

n fois de signe sur [-1, 1] et p étant continu admet n zéros distincts ce qui est impossible si p, de degré n - 1 n'est pas identiquement nul.

4) Ln est le polynôme d'interpolation de Lagrange. <p s'annule en (n + 2) points distincts de [0, 1], les (xk) k = 0 à n et x vérifiant cfl(x) = f(x) - Ln(x). D'après le th. de Rolle, entre 2 zéros consécutifs de <p, <p' s'annule donc <p' s'annule en (n + 1) points, <p" en n points .. <p(n+ 1) en un point 1.;. On obtient <p(n+ 1) (1.;) = 0 = f(n+ 1) (1.;) - c (n + 1) ! puisque Ln (n+ 1) = 0

5) Prenons pour Ln le polynôme d'interpolation de f aux points de Tchebychev (2k + 1) 3t

Xk =cos 2n + 2 , 0 ~ k ~ n, alors IT(x) =(x- xo) ... (x- xn) = tn+l(x)

puisque Il et tn+ 1 ont même degré, mêmes racines et sont normalisés. 1 llf(n+l)ll

Alors lltn+111 = 2n et llf - Lnll ~ 2n (n + 1) !


f 1. . d . d 1 • . 1. llf(n+l)ll 0 est mute e cette swte e po ynomes st n~oo 2n (n + 1) ! =

Par exemple pour f(x) = e2x llf(n+l)ll = e2. 2n+l Soit Ln le polynôme d'interpolation de faux points (xk) zéros de Tn+l·

f(n+l) (s) on a f(x) = Ln(x) + tn+l (x). (n + 1) !

1

tn+ 1 (x) f(n+ 1) (s) 1 1 Ln de degré n se décompose sur to, t1, ... , tn et sup (n +1)1 S (2a)n

Les (xk) étant zéros de tn+l on a f(xk) = Ln(xk) n

(SL) devient cp(8k) = ~ ap cos pek p=O

L'expression de ap est une somme de Riemann relative à l'intégrale donnant le coefficient de Fourier ap pour un équipartage de [ 0, 3t ] en n+ 1 intervalles.

Exercice 20

Préliminaire \ft ev1 (t + T) + ev2 (t + T) = ev1 (t) + ev2(t)

donne ev1 (t). (ei2n:VI'- 1) + ev2(t) (ei2n:v2T- 1) = 0 et l'indépendance de ev1 et ev2 entraîne v1T = p et v1T = q avec pet q entiers

1) Pour P = eVk 2~ lx P(t) é2n:f3t dt = 2~ lx ei2n: (Vk-f3)t dt -X -X

= 1 si Vk = 13 sin [2Jt (vk - (3) X]

= 2Jt (Vk -l3) X sinon Pour P périodique llkv (P) = Ck et la formule ne nécessite pas la connaissance de la période.

2) Le théorème de Pythagore donne IIPII~

3) l!lf3(Pn)l = lim 2~ lx Pn(t) é 2n:f3t dt S lim 2~ lx sup IPn(t)l dt= IIPnll X~oo -X X~oo -X

N 4) f = ~ Cn evn est limite uniforme de la suite des polynômes PN = ~ en evn

0 0 (la convergence de la série étant normale) Si (Qn) ~ g uniformément (!l(3(Qn)) est de Cauchy dans a: puisque l!lf3(Qn) - !lf3(Qm)l S IIQn- Qmll. On définit ~(3(g) par lim !l(3(Qn)

n~oo


Montrons que si f e F est telle que llfll < E alors 1 ilf3 (f) 1 < E

il existe une suite (Pn) cE telle que llf- Pnll < ~ 1 1

alors IIPnll ~ IIPn- fil+ llfll < ;;- + E et lj.!f3(Pn) 1 ~ IIPnll ~ ;;- + E

Comme on a par définition de ilf3 : ilf3(f) = Iim jlf3(Pn) pour Pn ~ f n~oo

en passant à la limite dans l'inégalité (pour n infini) on obtient 1ilf3(f)l ~ E

5) Soit fe F 3 P e E Il f- Pli<~ alors lil(3(f) - !lf3(P)I = 1ilf3 (f- P)l ~f

Un tel PeE étant choisi, comme !lf3(P) = Iim 2~ JX P(t) e-i2:n:f3t dt X~oo -X

3Xo V'X > Xo . !lf3(P) - 2~ Jx P(t) e-i2:n:f3t dt < ~ ; -X

enfin 2~ Jx (P(t) - f(t)) e-i2:n:f3t dt ~ 2~ Jx dt. IIP- fil<~· -X -X

Soit (Pn) une suite de E convergeant uniformément vers fe F. Si ilf3(f) ~ 0 3N V'n > N jlf3(Pn) ~O. Alors f3 e Sp (Pn) pour n > N


Cet ouvrage, de formation continue, s'adresse aux étudiants du niveau de deuxième et troisième années d'écoles d'ingénieurs. Il se compose d'un petit film et d'un livre.

Le film présente les résultats fondamentaux ; il les illustre d'exemples visuels ou sonores et montre quelques applications choisies de préférence dans le domaine musical.

Le livre donne un aperçu historique des problèmes à l'origine des séries de Fourier et expose la théorie élémentaire. Le langage géométrique des espaces de Hilbert est esquissé. Sont également abordées les notions de produit de convolution, de filtre et de suite régularisante. Modélisations physiques, puis exercices d'application complètent l'exposé mathématique.

Institut National des Sciences Appliquées de Lyon 20 avenue Albert Einstein 69621 VILLEURBANNE Cedex


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LES SERIES DE FOURIER - INSA Lyon