Limite et continuité - WordPress.com · CHAPITRE 8. LIMITE ET CONTINUITÉ Soient f: I!R et x 0 un élément ou une extrémité de I. fadmet une développement limité à l'ordre

Chapitre 8

Limite et continuité

Sommaire

8.1 Limite et continuité en un point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

8.1.1 Limite �nie en un point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

8.1.2 Continuité en un point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

8.1.3 Développement limité à l'ordre 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

8.1.4 Limite in�nie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

8.1.5 Limite en l'in�ni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

8.2 Limites à gauche et limite à droite - prolongement par continuité . . . . . 68

8.2.1 Limite à gauche et limite à droite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

8.2.2 Prolongement par continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

8.3 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

8.3.1 Di�érentes caractérisations de la limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

8.3.2 Opérations algébriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

8.3.3 Composition des limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

8.3.4 Limites et inégalités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

Ce chapitre est la continuité du chapitre 5 sur les suites réels. Nous allons dé�nir la notion de limite enun point (ou en l'in�ni) d'une fonction puis nous adapterons et compléterons les techniques étudiées pourcalculer la limite d'une suite à celle d'une fonction. Nous parlerons également de continuité en un point,notion en lien étroit avec la limite en un point d'une fonction.

Puisque nous n'étudierons que des propriétés � au voisinage d'un point �, on dira que nous faisons uneétude locale de la fonction. Nous étendrons nos dé�nitions à l'étude globale dans un chapitre futur.

Dans le cas des suites, nous avons dé�ni la limite lorsque n tendait vers +∞. Lorsqu'on travaille avecune fonction réelle, on peut également dé�nir et étudier la limite lorsque la variable tend vers −∞ (cecas n'est pas très di�érent de ce qui se passe en +∞) mais aussi et surtout lorsque la variable tend versune valeur réelle x0. Cette di�érence s'explique par le fait qu'il est possible d'approcher par des réels leréel x0 sans l'atteindre, ce qui n'était pas le cas pour les entiers.

63

CHAPITRE 8. LIMITE ET CONTINUITÉ

Dans ce chapitre, I désigne un intervalle de R, privé éventuellement d'un nombre �ni de points.

Notation 8.1

8.1 Limite et continuité en un point

8.1.1 Limite �nie en un point

Soit f : I → R. Soit x0 un élément ou une extrémité de I. Soit ` un réel. On dit que f admetpour limite ` en x0 si f(x) est aussi proche de ` que l'on veut dès lors que x est assez prochede x0. Mathématiquement, cela s'écrit

∀ε > 0, ∃α > 0 / ∀x ∈ I ∩ [x0 − α, x0 + α], |f(x)− `| < ε.

Dé�nition 8.1 (Limite �nie en un point)

La condition x ∈ I ∩ [x0 − α, x0 + α] signi�e que x ∈ I ET que |x− x0| ≤ α.

Remarque 8.1

Illustration :

Dans les conditions de la dé�nition précédente, on a :

� Si f admet une limite en x0 alors cette limite est unique.On note alors ` = lim

x0

f = limx→x0

f ou f(x) −→x→x0

`

� Si x0 ∈ I alors nécessairement ` = f(x0).

Théorème 8.1 (Unicité de la limite)

Exemple 8.1. Soit f la fonction dé�nie sur R par f(x) = 4x− 1 et x0 = 1. Quand x se rapproche de 1,f(x) se rapproche de 3 (= f(1)).

Exercice 8.1. Montrer que :1) pour tout n ∈ N∗, xn −→

x→00.

2) pour tout x0 ∈ R, |x| −→x→x0

|x0|.

64 Cours ECS1

8.1. LIMITE ET CONTINUITÉ EN UN POINT

8.1.2 Continuité en un point

La notion de continuité d'une fonction est omniprésente en analyse. Elle repose sur la dé�nition précé-dente.

Soient f : I → R et x0 ∈ I. On dit que f est continue en x0 lorsque f admet une limite �nieen x0. Cette limite sera alors nécessairement x0.Finalement, f est continue en x0 si

limx→x0

f(x) = f(x0).

Dé�nition 8.2 (Continuité en un point)

Exemple 8.2. La fonction f : x 7→ e4x−1x est dé�nie sur R− {0}. Elle est continue en tout point de son

ensemble de dé�nition. En particulier, elle est par exemple continue en 1.

Les fonctions polynomiales, rationnelles, trigonométriques, exponentielle, logarithme, valeurabsolue, x 7→ xa et x 7→ bx pour b > 0 sont continues en tout point de leur intervalle dedé�nition.

Théorème 8.2 (Continuité des fonctions usuelles)

Exercice 8.2. Comment démontrer la continuité en 0 de la fonction valeur absolue ? De quelle nouvellenotion aurions-nous besoin ?

8.1.3 Développement limité à l'ordre 0

La notion de développement limité est très importante en analyse. Elle sert en particulier à lever desformes indéterminées lorsqu'on étudie des limites de fonctions. On peut dé�nir un développement limitéà tout ordre n entier naturel. Pour le moment, voyons ce qu'est un développement limité à l'ordre 0.

Soient f : I → R et x0 un élément ou une extrémité de I. On dit que f admet un développementlimité à l'ordre 0 en x0 lorsqu'il existe un réel ` et une fonction ε : I → R tels que :

i) ∀x ∈ I, f(x) = `+ ε(x).

ii) ε(x) −→x→x0

0.

Dé�nition 8.3 (DL0(x0))

Une telle fonction ε est dite un petit o de 1 car limx→x0

ε(x)1 = 0. Nous avons déjà vu cette idée

dans le chapitre 5.

Remarque 8.2

Exercice 8.3. 1) Montrer que x 7→ (1 + x)2 admet un développement limité à l'ordre 0 en 0.

2) Montrer que x 7→ cos(x) admet un développement limité à l'ordre 0 en 0. Pouvez-vous en déduirequelque chose ?

https://tatianaaudeval.wordpress.com/ 65

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Soient f : I → R et x0 un élément ou une extrémité de I. f admet une développement limitéà l'ordre 0 en x0 si et seulement si f admet une limite �nie en x0.En particulier, si x0 ∈ I, f admet une développement limité en x0 si et seulement si f estcontinue en x0.

Propriété 8.1

8.1.4 Limite in�nie

Nous venons de voir la dé�nition de la limite �nie d'une fonction en un point. Il arrive qu'une telle limitene soit pas �nie.

Soient f : I → R et x0 un élément ou une extrémité de I. On dit que f tend vers +∞ quandx tend vers x0 si f(x) est aussi grand que l'on veut dès lors que x est assez proche de x0.Mathématiquement, cela s'écrit :

∀A ∈ R, ∃α > 0 / ∀x ∈ I et |x− x0| < α, f(x) ≥ A

L'unicité de la limite s'étend à ce cas. On note alors limx→x0

f(x) = +∞ ou f(x) −→x→x0

+∞.

Dé�nition 8.4 (Limite in�nie en un point)

Illustration :

La dé�nition s'adapte parfaitement pour limx→x0

f(x) = −∞.

Remarque 8.3

Exercice 8.4. Montrer que limx→0

ln(|x|) = −∞.

66 Cours ECS1

8.1. LIMITE ET CONTINUITÉ EN UN POINT

Silimx→x0

f(x) = +∞

alors la droite verticale d'équation x = x0 est dite asymptote verticale à Cf (courbe représen-tative de f) en +∞.

Cela reste vrai en remplaçant +∞ par −∞.

Dé�nition 8.5 (Interprétation graphique : asymptote vertciale))

8.1.5 Limite en l'in�ni

Pour terminer de dé�nir les limites d'une fonction, il faut s'intéresser au cas où la variable tend versl'in�ni.

Limite �nie en l'in�ni

Soit ` un nombre réel. On dit que f tend vers ` en +∞ (resp. −∞) si f(x) est aussi procheque l'on veut de ` dès lors que x est su�samment grand (resp. petit).Mathématiquement, cela s'écrit :

∀ε > 0, ∃B > 0 tel que ∀x > B, |f(x)− l| 6 ε

(resp. ∀ε > 0, ∃B < 0 tel que ∀x 6 B, |f(x)− l| 6 ε)

On note cette limite limx→+∞

f(x) = l (resp. limx→−∞

f(x) = l).

Dé�nition 8.6 (Limites �nies en l'in�ni)

Illustration :

Si limx→+∞ f(x) = `, alors y = ` est asymptote horizontale à Cf au voisinage de +∞.

Cela reste valable en remplaçant +∞ par −∞.

Dé�nition 8.7 (Interprétation graphique : asymptote horizontale)




Limite in�nie en l'in�ni

On dit que f tend vers +∞ (resp. −∞ ) en +∞ si f(x) est aussi grand que l'on veut dès quex est su�samment grand (resp. petit).On peut traduire ceci mathématiquement par :

∀A ∈ R, ∃B > 0 tel que ∀x > B, f(x) > A.

(resp. ∀A ∈ R ,∃B < 0 tel que ∀x 6 B, f(x) > A).

On note cette limite limx→+∞

f(x) = +∞ (resp. limx→−∞

f(x) = +∞).

Dé�nition 8.8 (Limites in�nies en l'in�ni)

Illustration :

Exercice 8.5. limx→−∞

ln(|x|) = +∞.

Certaines fonctions n'ont pas de limite en l'in�ni. C'est le cas, par exemple, de la fonction sinx.

Remarque 8.4

8.2 Limites à gauche et limite à droite - prolongement parcontinuité

8.2.1 Limite à gauche et limite à droite

Soit f : I 7→ R et x0 un élément ou une extrémité de I.

� Lorsqu'on considère la limite quand x tend vers x0 sous la contrainte x < x0 (c'est-à-direx s'approche de x0 par sa gauche), on parle de limite à gauche de f en x0 et on notelimx→<x0

f(x) ou limx→x−0

f(x).

� On dé�nit de même la limite à droite de f en x0, lorsque x s'approche de x0 par sadroite c'est-à-dire sous la contrainte x > x0 : on la note lim

x→>x0

f(x) ou limx→x+

0

f(x).

Dé�nition 8.9

68 Cours ECS1

8.2. LIMITES À GAUCHE ET LIMITE À DROITE - PROLONGEMENT PAR CONTINUITÉ

Si f admet une limite à droite (resp. à gauche), cette limite est unique. On parle donc bien dela limite dans la dé�nition précédente.

Remarque 8.5

�La notion de limite à gauche (resp. à droite) n'a de sens que s'il est possibled'arriver vers x0 sous la contrainte x < x0 (resp. sous la contrainte x > x0) enrestant dans l'intervalle I, c'est à dire si I∩]−∞, x0[ 6= ∅ (resp. I∩]x0,+∞[6= ∅).

Remarque 8.6

Exemple 8.3. Ca n'a pas de sens de chercher la limite à gauche de 0 de la fonction ln.

Exercice 8.6. Etudier les limites à gauche et à droite en 0 de de la fonction inverse.

Soit f : I → R et ` un élément de R̄. Alors, si x0 6= I, on a équivalence entre :

1. f admet ` pour limite en x02. f admet ` pour limite à gauche et pour limite à droite en x0.

Et dans ce cas, limx→x0

f(x) = limx→<x0

f(x) = limx→>x0

f(x).

Propriété 8.2 (Lien avec la limite)

Exemple 8.4. La fonction x 7→ 1x admet +∞ pour limite à droite en 0 et −∞ pour limite à gauche en

0. Elle n'admet donc pas de limite en 0.

Exercice 8.7. La fonction partie entière admet-elle une limite en 1 ?

Exercice 8.8. Soit f dé�nie par f(x) = x pour x > 1 et par f(x) = 2x2 − 1 pour x < 1. Etudier leslimites à gauche et à droite de f en 1. f possède t-elle une limite en 1 ?

Soit f : I → R. Alors, si x0 ∈ I, on a équivalence entre :

1. f est continue en x0.

2. f admet f(x0) pour limite à gauche et à droite en x0.

Et dans ce cas, limx→x0

f(x) = limx→<x0

f(x) = limx→>x0

f(x).

Propriété 8.3 (Lien avec la continuité)

On peut parler de continuité à gauche et de continuité à droite.

Remarque 8.7

Exemple 8.5. La fonction f = 1R+ est discontinue en 0 car sa limite à gauche vaut 1 et sa limite àdroite vaut 0. Comme f(0) = 0, la fonction est continue à droite mais pas à gauche.

Exercice 8.9. 1) Que dire de la continuité de 1{0} en 0 ?2) Que dire de la continuité en 1 de la fonction f dé�nie par f(x) = x− 1 si x < 1 et f(x) = ln(x) si

x ≥ 1 ?




8.2.2 Prolongement par continuité

Puisque la continuité est une propriété très intéressante, lorsqu'une fonction n'est pas continue, il estcourant de créer une autre fonction à partir de la première mais qui est continue. C'est ce qu'on appellele prolongement par continuité.

Soient I un intervalle contenant le point x0 et f : I\{x0} → R.Si f admet une limite �nie ` ∈ R en x0 alors la fonction f̃ dé�nie par

f̃(x) =

{f(x) si x ∈ I\{x0}` si x = x0

est continue en x0. On l'appelle prolongement par continuité de f en x0.

Dé�nition 8.10 (Prolongement par continuité)

On fait souvent l'abus de notation f̃ = f .

Remarque 8.8

Exemple 8.6. La fonction f : x 7→ x ln(x) se prolonge par continuité en 0 en posant f(0) = 0.

Exercice 8.10. Peut-on prolonger les fonctions suivantes par continuité ?a) Pour α > 0, f : x 7→ xα = eα ln(x) en 0 ?

b) f : x 7→ sin(x)x si x < 0 et f(x) = 1− 1

ln(x) en 0 ?

c) f dé�nies sur R∗ par f(x) = x|x| en 0 ?

8.3 Propriétés

8.3.1 Di�érentes caractérisations de la limite

Puisque nous étudions des limites de fonctions diverses et variées, il est intéressant d'avoir di�érentescaractérisations de la limite. En e�et, cela nous laisse le choix d'utiliser la plus adaptée dans notre cas.

Soient : I 7→ R et x0 un élément ou une extrémité de I.

� Si ` ∈ R, on a

f(x) −→x→x0

f(x) = ` ⇔ f(x)− ` −→x→x0

0 ⇔ |f(x)− `| −→x→x0

0.

� Si ` ∈ R̄ et x0 ∈ R, on a

f(x) −→x→x0

` ⇔ f(x0 + h) −→h→0

`.

Propriété 8.4 (Caractérisations diverses)

Soient f : I → R et x0 un élément ou une extrémité de I (x0 ∈ R̄) et l ∈ R̄. Si f a pour limite` en x0 alors (f(un))n a pour limite `.

Propriété 8.5 (Caractérisation séquentielle)

70 Cours ECS1

8.3. PROPRIÉTÉS

Cette propriété sert souvent pour montrer par l'absurde qu'une fonction n'a pas de limite enx0.

Remarque 8.9

Exercice 8.11. 1) La fonction f dé�nie sur ]0; +∞[ par f(x) = sin(1x

)admet-elle une limite en 0 ?

2) Soit f la fonction dé�nie sur R par f = 1R\Q. Montrer que la fonction f n'est continue en aucunpoint de R.

8.3.2 Opérations algébriques

Comme pour les suites dans le chapitre précédent, nous allons rappeler comment se comporte les limitespar opérations. Commençons par étendre la notion de limite par valeurs inférieures et supérieures auxfonctions.

Depuis le début du chapitre, nous étudions ce qu'il se passe pour des fonctions au voisinage d'un point(étude locale). Lorsque nous étudions les suites, être au voisinage de +∞ signi�ait juste que n étaittrès grand (plus grand qu'un certain rang N). Voyons comment généraliser proprement cette notion devoisinage d'un point x0.

� On appelle voisinage du réel x tout intervalle de la forme [x− α, x+ α] avec α > 0.� On appelle voisinage de +∞ (resp. −∞) tout intervalle de la forme [A,+∞[ (resp.

]−∞, A]) avec A ∈ R.

Dé�nition 8.11 (Voisinage d'un point)

Soient f : I → R et x0 ∈ R̄ un élément ou une extrémité de I. On dit que f véri�e une propriétéau voisinage de x0 dès lors qu'il existe un voisinage V de x0 tel que f véri�e la propriété surI ∩ V .

Dé�nition 8.12 (Propriété vraie au voisinage d'un point)

Exercice 8.12. Que signi�e par exemple f majorée par 3 au voisinage de 1 ?

Soient f : I → R et x0 un élément ou une extrémité de I. Soit ` un réel. On dit que f tend vers` en x0 par valeurs supérieures (resp. inférieures) lorsque f tend vers ` en x0 et qu'au voisinagede x0, f(x) > ` (resp. f(x) < `).Mathématiquement, cela s'écrit :

i) limx→x0

f(x) = `

ii) ∃β > 0 /, ∀x ∈ (I ∩ [x0 − β;x0 + β])\{x0}, f(x) > ` (resp. f(x) < `).On note alors lim

x→x0

f(x) = `+ (resp. limx→x0

f(x) = `−).

Dé�nition 8.13

Voyons maintenant comment se comportent les limites par opérations (on notera qu'on obtient les mêmesFI que dans le cas des suites).




Soient f et g deux fonctions dé�nies sur I admettant des limites en x0 (x0 étant un élémentou une extrémité de I donc x0 ∈ R̄) et λ ∈ R. On a alors :

Limite de (λf) en x0 :

λ \ lim f −∞ ` ∈ R +∞λ < 0 +∞ λ` −∞λ = 0 0 0 0λ > 0 −∞ λ` +∞

Limite de f + g en x0 :

lim g \ lim f −∞ ` ∈ R +∞−∞ −∞ −∞ FI`′ ∈ R −∞ `+ `′ +∞+∞ FI +∞ +∞

Limite de f × g en x0 :

lim f \ lim g −∞ ` < 0 ` = 0 ` > 0 +∞−∞ +∞ +∞ FI −∞ −∞`′ < 0 +∞ ``′ 0 ``′ −∞`′ = 0 FI 0 0 0 FI`′ > 0 −∞ ``′ 0 ``′ +∞+∞ −∞ −∞ FI +∞ +∞

Limite de ( 1g ) en x0 (on suppose g(x) 6= 0 au voisinage de x0) :

lim g −∞ 0− ` ∈ R∗ 0+ +∞lim 1/g 0− −∞ 1/` +∞ 0+

Limite de f/g en x0 (on suppose g(x) 6= 0 au voisinage de x0) :

lim g \ lim f −∞ ` < 0 ` = 0 ` > 0 +∞−∞ FI 0+ 0 0− FI`′ < 0 +∞ `/l′ 0 `/l′ −∞

0− +∞ ∞ FI −∞ −∞0+ −∞ −∞ FI +∞ +∞

`′ > 0 −∞ `/l′ 0 `/l′ +∞+∞ FI 0− 0 0+ FI

Théorème 8.3

Soient f et g deux fonctions de I dans R, x0 ∈ I et λ ∈ R.Si f et g sont continues en x0 alors, dès lors qu'elles sont bien dé�nies, les fonctions f + g, λf ,f × g, 1/f et f/g sont continues en x0.

Corollaire 1 (Opérations et continuité en un point)

72 Cours ECS1

8.3. PROPRIÉTÉS

Comme pour le Chapitre 5, le cours peut permettre de lever directement les formes indéterminées. C'estle cas des croissances comparées ou du nombre dérivé.

� limx→+∞

ln(x)x = 0

� limx→0

x ln(x) = 0

� limx→−∞

xex = 0

� limx→+∞

ex)x = +∞.

Propriété 8.6 (Croissances comparées)

Comme nous l'avons déjà vu, ces croissances comparées se généralisent lorsqu'il y a des puis-sances strictement positives aux numérateurs et aux dénominateurs.

Remarque 8.10

� limx→0

ln(1+x)x = 1

� limx→0

ex−1x = 1

� limx→0

sin(x)x = 1

Propriété 8.7 (Nombre dérivé)

Les méthodes étudiées pour lever les formes indéterminées avec les suites peuvent égalementfonctionner avec les fonctions.

Remarque 8.11

Lorsqu'on chercher la limite d'une fonction en x0 ∈ R̄, on commence par essayer de concluredirectement grâce aux opérations élémentaires sur les limites. Si on est dans le cas d'une formeindéterminée, on essaie de la lever en utilisant les méthodes des suites, c'est à dire en :

� utilisant directement le cours (croissance comparée ou nombre dérivé).� e�ectuant un changement de variable pour se ramener à une limite connue (croissancecomparée ou nombre dérivée).

� factorisant par le terme dominant.� utilisant de la quantité conjuguée.

Attention aux puissances lorsque x apparaît en haut et en bas : on pense à la forme exponen-

tielle !

Méthode 8.2 (Recherche d'une limite)

Exercice 8.13. Trouver les limites suivantes :

1)√1+x−1x en 0

2) e3x

5x2 en 0 et en =∞3) x10e−0,1x ln(x)3 en +∞

4) ln(x)− ln(2x) en +∞5)√x2 + 1− x en +∞

6) −x2+1

x3+4 en −∞




7) xex+1 en +∞.

8) x+x2√x+x3 en +∞

9) x ln(1 + 1

x

)en +∞.

10) x1

ln(x)2 en 0.11) x3+1

x+1 en −1.

Cette liste de méthode n'est bien entendu par exhaustive. Voici encore quelques outils qui peuvent per-mettent de conclure dans des cas particuliers.

8.3.3 Composition des limites

Soient f : I → R, J ⊂ R tel que f(I) ⊂ J , g : J → R et x0 ∈ R̄ une extrémité ou un élémentde I.Si f a pour limite a ∈ R̄ en x0 et si g a une limite b ∈ R̄ en a alors g ◦ f admet b pour limiteen x0.Autrement dit, lim

x→x0

g(f(x)) = limX→a

g(X) = b.

Théorème 8.4 (Limite et composition)

Soient f : I → R, J ⊂ R tel que f(I) ⊂ J , g : J → R et x0 ∈ I. Si f est continue en x0 et gcontinue en f(x0) alors g ◦ f est continue en x0.

Corollaire 2 (Continuité en composition)

Exercice 8.14. 1) Quelle est la limite de ln(8x2 − 5) lorsque x tend vers +∞ ?

2) Montrer que limx→0

1−cos(x)x2 = 1

2 .

8.3.4 Limites et inégalités

Voyons maintenant les théorèmes liant limite et inégalités (ce sont des généralisations de ce qu'on a déjàvu pour les suites dans le Chapitre 5).

Soient f et g deux fonctions dé�nies sur I et x0 ∈ R̄ un élément ou une extrémité de I. Si fet g ont des limites �nies en x0 et si, au voisinage de x0, f ≤ g, alors

limx→x0

f ≤ limx→x0

g.

Théorème 8.5 (Passage à la limite dans les inégalités)

Les remarques que nous avions faites pour les suites tiennent toujours :

� il faut d'abord avoir montré que f et g admettent des limites en x0 pour appliquer cethéorème.

� le passage à la limite fait perdre les inégalités fortes (c'est à dire que si f < g au voisinagede de x0, la conclusion reste lim

x→x0

f ≤ limx→x0

g.)

Remarque 8.12

74 Cours ECS1

8.3. PROPRIÉTÉS

�Ce théorème est vrai en particulier pour g la fonction constante.Que dit alors le théorème dans ce cas là ?

Remarque 8.13

Soient f , g et h trois fonctions dé�nies sur I et x0 ∈ R̄ un élément ou une extrémité de I. Si fet g admettent ` ∈ R comme limite �nie en x0, et si, au voisinage de x0, on a f ≤ h ≤ g, alorsh admet également ` comme limite en x0.

Théorème 8.6 (Encadrement)

Soient f et g deux fonctions dé�nies sur I et x0 ∈ R̄ un élément ou une extrémité de I. Si, auvoisinage de x0, f ≤ g et si f(x) −→

x→x0

+∞ alors g(x) −→x→x0

+∞.

Sous les mêmes hypothèses mais si g(x) −→x→x0

−∞, alors f(x) −→x→x0

−∞.

Théorème 8.7 (Comparaison)

Les deux théorèmes précédents donnent l'existence de la limite ainsi que sa valeur. Il n'est doncpas utile dans ce cas de démontrer d'abord l'existence d'une limite.

Remarque 8.14

Exercice 8.15. Quelles sont les limites des fonctions suivantes en les points mentionnés ?1) f(x) = xb 1xc en 0.2) g(x) = b 1xc en 0+.3) h(x) = x sin

(1x

)en 0.



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