Livre-Premiere S mathématiques 2012/2013

Une anne de Mathmatiques en classe

de Premire S

Freddy Mrit

Anne scolaire 2012-2013

Ce manuel, destination des lves de Premire S, a t en partie ralis partir de la consultationdes ouvrages suivants :

[1] Barra, Raymond, Transmath 1reS, Nathan, 2011.

[2] Brisoux, Franois, Odysse 1reS, Hatier, 2011.

[3] Malaval, Jol, Hyperbole 1reS, Nathan, 2011.

[4] Poncy, Michel, Indice Maths 1reS, Bordas, 2011.

[5] Beltramone, Jean-Paul, Dclic Mathmatiques 1reS, Hachette ducation, 2011.

[6] Le Yaouanq, Marie-Hlne, Mathx 1reS, Didier, 2011.

TABLE DES MATIRES

1 Le second degr - quations et inquations 5I Fonctions polynmes du second degr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

I.1 Forme dveloppe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5I.2 Forme canonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5I.3 Sens de variation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6I.4 Reprsentation graphique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

II Rsolution de lquation du second degr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7II.1 quation du second degr et discriminant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7II.2 Rsolution de lquation du second degr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8II.3 Factorisation dun trinme du second degr - Forme factorise . . . . . . . . . . . 8

III Signe du trinme du second degr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10III.1 Signe de ax2 + bx+ c avec a 6= 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10III.2 Application la rsolution des inquations du second degr . . . . . . . . . . . . 11

IV Tableau rcapitulatif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12V Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2 Gomtrie plane 18I Colinarit de deux vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18II quations dune droite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

II.1 Vecteur directeur dune droite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19II.2 quations cartsiennes dune droite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21II.3 quations cartsiennes et quations rduites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22II.4 quations cartsiennes et paralllisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

III Dcomposition dun vecteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23IV Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3 tude de fonctions 28I Fonctions de rfrence dj connues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

I.1 Sens de variation dune fonction (rappel) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28I.2 Fonctions affines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29I.3 Fonction carr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29I.4 Fonction inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

II Fonction racine carre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30II.1 Sens de variation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31II.2 Reprsentation graphique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31II.3 Ranger les racines carres de deux nombres positifs . . . . . . . . . . . . . . . . . 31II.4 Position relative des courbes dquations y = x, y = x2 et y =

x . . . . . . . . 32

III Fonction valeur absolue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32III.1 Valeur absolue dun nombre rel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32III.2 tude de la fonction valeur absolue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

IV Sens de variation des fonctions associes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34IV.1 Fonction u+ k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34IV.2 Fonction ku . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35IV.3 Fonction

u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

IV.4 Fonction1u

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

V Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

Freddy Mrit, 1reS5 Lyce La Herdrie, 2012-2013

TABLE DES MATIRES 3

4 Statistiques Descriptives 43I Paramtres de position dune srie statistique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

I.1 Moyenne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43I.2 Mdiane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44I.3 Quartiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

II Paramtres de dispersion dune srie statistique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45II.1 tendue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45II.2 cart interquartile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46II.3 Variance et cart-type . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

III Diagramme en bote . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48IV Choisir un rsum dune srie statistique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

IV.1 Le couple (Mdiane ; cart interquartile) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49IV.2 Le couple (Moyenne ; cart type) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49IV.3 Choix du couple dindicateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

V Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

5 Drivation 54I Nombre driv dune fonction f en un nombre rel a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

I.1 Taux daccroissement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54I.2 Nombre driv . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55I.3 Interprtation graphique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

II Tangente une courbe en un point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57III Fonction drive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

III.1 Fonction drive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58III.2 Drives des fonctions usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

IV Drives et oprations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61IV.1 Drive de la somme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61IV.2 Drive du produit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61IV.3 Drive de linverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63IV.4 Drive du quotient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64IV.5 Tableau rcapitulatif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

V Applications de la drivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65V.1 Liens entre le signe de la fonction drive et le sens de variation de la fonction . 65V.2 Extremum dune fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

VI Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

6 Trigonomtrie 78I Cercle trigonomtrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

I.1 Le cercle trigonomtrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78I.2 Le radian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78I.3 Enroulement de la droite numrique relle sur le cercle trigonomtrique . . . . . 80

II Mesures dun angle orient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81II.1 Angle orient de deux vecteurs non nuls . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81II.2 Mesure principale dun angle orient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82II.3 Proprits des angles orients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

III Trigonomtrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85III.1 Cosinus et sinus dun angle orient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85III.2 Angles associs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87III.3 quations trigonomtriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

IV Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90


4 TABLE DES MATIRES

7 Probabilits 94I Variable alatoire et loi de probabilit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

I.1 Variable alatoire discrte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94I.2 Loi de probabilit dune variable alatoire discrte . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

II Paramtres dune loi de probabilit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96II.1 Esprance, variance et cart type dune loi de probabilit . . . . . . . . . . . . . 96II.2 Transformation affine dune variable alatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

III Rptition dexpriences identiques et indpendantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98III.1 Modlisation dune exprience alatoire deux ou trois issues . . . . . . . . . . . 98III.2 Modlisation de la rptition de deux expriences identiques et indpendantes . . 99III.3 Un exemple de variable alatoire associe une telle situation . . . . . . . . . . . 100

IV Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

8 Loi binomiale 110I preuve de Bernoulli - Loi de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110II Schma de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111III Coefficients binomiaux - Triangle de Pascal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112IV Loi binomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

IV.1 Dfinition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114IV.2 Esprance, variance et cart-type . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

V Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117


CHAPITRE 1

LE SECOND DEGR -QUATIONS ETINQUATIONS

Mohammed AlKhwarizmi 1

783 - 850

I Fonctions polynmes du second degrI.1 Forme dveloppe

Dfinition I-1 :Une fonction polynme du second degr (ou de degr 2) est une fonction f dfinie sur R parf(x) = ax2 + bx+ c o a, b et c sont trois nombres rels donns avec a 6= 0.Les rels a, b et c sont appels les coefficients de la fonction f .La forme ax2 + bx+ c est appele la forme dveloppe de la fonction f .Une fonction polynme du second degr est aussi appele fonction trinme du second degr.

Exemples : Si f(x) = 4x2 32x + 68, f est une fonction polynme de degr 2 avec a = 4, b = 32 etc = 68.

Si g(x) = x2 + 3, g est une fonction polynme de degr 2 avec a = 1, b = 0 et c = 3. Si h(x) = (x+1)2+3, h est une fonction polynme du second degr. En effet, en dveloppant,on a h(x) = (x2 + 2x+ 1) + 3 = x2 2x+ 2. Ainsi a = 1, b = 2 et c = 2.

En revanche, si k(x) = (x+1)2x2, k nest pas une fonction polynme de degr 2. En effet,en dveloppant, on a k(x) = 2x + 1 et k(x) ne peut pas scrire sous la forme ax2 + bx + cavec a 6= 0.

Remarque :La forme dveloppe dune fonction trinme du second degr f permet facilement de :

calculer limage de 0 par la fonction f (effectivement, f(0) = c) ; dterminer les antcdents du nombre c par la fonction f (en rsolvant lquation f(x) = cqui est trs simple puisque cest une quation-produit).

I.2 Forme canonique

Proprit I-1 :Pour toute fonction polynme f du second degr dfinie sur R par f(x) = ax2+ bx+ c avec a 6= 0,il existe deux nombres rels et tels que, pour tout rel x, on ait : f(x) = a(x )2 + .La forme a(x )2 + est appele la forme canonique de la fonction trinme f .Les nombres et sont tels que f() = .

1. Mohammed Al Khwarizmi est un mathmaticien, astronome, astrologue et gographe perse. Il dcrit les mthodesde rsolution des quations du premier et du second degr en les sparant en plusieurs cas. Il en fait tat dans son ouvrageKitab al jabr . . . , qui a donn son nom au mot algbre. Il est aussi lorigine du mot algorithme grce son livre Algoritmiqui explique le maniement de la numration indienne.


6 I. FONCTIONS POLYNMES DU SECOND DEGR

Exemple :Soit f la fonction trinme du second degr dfinie sur R par f(x) = 4x2 32x+ 70.En factorisant les deux premiers termes contenant x par 4 (coefficient du terme de degr 2), onobtient : f(x) = 4(x2 8x) + 70.x2 8x peut maintenant tre identifi au dbut du dveloppement de (x 4)2. En effet, grce auxidentits remarquables, on a : (x 4)2 = x2 2 x 4 + 42 = x2 8x+ 16.Ainsi, x2 8x = (x 4)2 16.Par consquent, on a, pour tout x rel, f(x) = 4[(x 4)2 16] + 70.En dveloppant partiellement, on obtient f(x) = 4(x 4)2 64 + 70 = 4(x 4)2 + 6.Lexpression 4(x 4)2 + 6 constitue la forme canonique de la fonction f dfinie parf(x) = 4x2 32x+ 70.

Dmonstration :Soit f la fonction polynme de degr 2 dfinie sur R par f(x) = ax2 + bx+ c avec a 6= 0.Comme a 6= 0, on peut crire, pour tout rel x, f(x) = ax2 + bx+ c = a

x2 + bax

+ c.

Mais x2 + bax peut tre considr comme le dbut du dveloppement de

x+ b2a

2.

En effet

x+ b2a

2= x2 + b

ax+

b2a

2.

On en dduit donc que x2 + bax =

x+ b2a

2

b2a

2.

Il en rsulte que f(x) = ah

x+ b2a

2

b2a

2i

+ c = ah

x+ b2a

2i

b24a

+ c

Ainsi, f(x) = ah

x+ b2a

2i

b24ac4a

.

En posant = b2a

et = b24ac4a

, on obtient bien que f(x) = a(x )2 + .De plus, f() = a( )2 + = a 0 + = .

Remarque :La forme canonique dune fonction trinme est trs utile pour prciser son minimum (ou sonmaximum, suivant le cas) et la valeur en laquelle il est atteint.Dans lexemple prcdent o la fonction f a pour forme canonique f(x) = 4(x 4)2 + 6, on peutaffirmer quelle admet pour minimum 6 en x = 4.En effet, un carr tant toujours positif ou nul, (x 4)2 est minimal et vaut 0 lorsque x = 4. Parconsquent, f(x) > 6, pour tout rel x.Mais, comme f(4) = 6, on a, pour tout rel x, f(x) > f(4), ce qui dmontre que le minimum dela fonction f est 6, atteint pour x = 4.

I.3 Sens de variation

Proprit I-2 : AdmiseSoit f une fonction polynme de degr 2 dfinie sur R par f(x) = ax2 + bx+ c avec a 6= 0.Sa forme canonique est donne par f(x) = a(x )2 + avec = b

2aet = f() = b24ac

4a.

Alors, les variations de f dpendent du signe de a et sont donnes par les tableaux suivants :

Si a > 0 Si a < 0

x +

f(x)

x +

f(x)

f admet pour minimum en = b2a. f admet pour maximum en = b

2a.


Le second degr - quations et inquations 7

Exemple :Reprenons lexemple prcdent o f est dfinie, pour tout rel x, par f(x) = 4x2 32x+ 70.Le coefficient du terme de degr 2 est a = 4, il est positif, ce qui nous indique le sens de variationde la fonction f .De plus, la forme canonique de f trouve prcdemment est f(x) = 4(x 4)2 + 6.Ainsi, la fonction f admet pour minimum 6 en x = 4. Son tableau de variation est donn par :

x 4 +

f(x)

6

I.4 Reprsentation graphique

Dfinition I-2 :Soit f une fonction polynme du second degr dfinie sur R par f(x) = ax2 + bx+ c avec a 6= 0.Dans un repre orthogonal (O ; I ; J), la courbe reprsentative de la fonction f est appele uneparabole. On dit que cette parabole P a pour quation y = ax2 + bx+ c.On appelle sommet de la parabole le point S de celle-ci qui correspond au maximum ou auminimum de la fonction f (selon le signe de a).Daprs ce qui prcde, ses coordonnes sont S(;) o = b

2aet = f().

La parabole admet un axe de symtrie parallle laxe des ordonnes. Cet axe D a pour quationx = = b

2aet passe par le sommet S de la parabole.

Si a > 0 Si a < 0

x

y

I

J

O

P

D : x =

= f()

= b2a

S(;)

x

y

I

J

O

P

D : x =

= f()

= b2a

S(;)

La parabole P a des branches paraboliques tournes vers le haut .

La parabole P a des branches paraboliques tournes vers le bas .

II Rsolution de lquation du second degr

II.1 quation du second degr et discriminant

Dfinition II-1 :Une quation du second degr, dinconnue x, est une quation qui peut scrire sous la formeax2 + bx+ c = 0 o a, b et c sont trois nombres rels donns, avec a 6= 0.Une solution de cette quation est aussi appele racine du trinme ax2 + bx+ c.

Notons f la fonction polynme du second degr dfinie sur R par f(x) = ax2 + bx + c avec a 6= 0.Daprs la dmonstration de la proprit I-1, la forme canonique de la fonction f est donne parf(x) = a(x )2 + o = b

2aet = b24ac

4a. Le nombre b2 4ac intervient dans la rsolution de

lquation du second degr, on lui donne le nom suivant :


8 II. RSOLUTION DE LQUATION DU SECOND DEGR

Dfinition II-2 :Le nombre rel b2 4ac, not et qui se lit delta , est appel le discriminant du trinmeax2 + bx+ c.

Ainsi, pour tout nombre rel x, f(x) = a(x )2 4a

= a

(x )2 4a2

II.2 Rsolution de lquation du second degr

Remarque :Rsoudre lquation du second degr f(x) = ax2 + bx + c = 0, avec a 6= 0, revient cherchergraphiquement les abscisses des points dintersection (sils existent) de la parabole P reprsentantla fonction f et de laxe des abscisses. Suivant les diffrentes positions de la parabole, il peut doncy avoir soit deux solutions distinctes, soit une solution unique ou soit aucune.

Proprit II-1 :Le nombre de solutions dune quation du second degr ax2 + bx + c = 0 (o a 6= 0) dpend dusigne du discriminant = b2 4ac :

Si > 0, lquation a deux solutions distinctes : x1 = b

2aet x2 =

b+

2a;

Si = 0, lquation a une seule solution : x0 = b2a et on dit que x0 est une racine double ; Si < 0, lquation na pas de solution relle.

Dmonstration :Soit f une fonction polynme du second degr dfinie sur R par f(x) = ax2 + bx+ c avec a 6= 0.Daprs ce qui prcde, lquation f(x) = 0 quivaut a

(x )2 4a2

= 0 o = b2a

et = b2 4ac.

Si > 0, lquation devient a

(x )2

2a

2

= 0. Ainsi, laide dune identit remar-

quable, on obtient : ah

(x ) +2a

i h

(x )2a

i

= 0 qui a deux solutions distinctes :

x1 = 2a

=b

2aet x2 = +

2a

=b+

2a

Si = 0, lquation devient a(x )2 = 0. Elle nadmet quune unique solutionx0 = = b2a .

Si < 0, le quotient 4a2

> 0 et, pour tout nombre rel x, lexpression (x)2 4a2

> 0.

Par consquent, comme a 6= 0, f(x) est le produit de deux facteurs non nuls. Ainsi, lquationna pas de solution relle.

Remarque :Lorsque les nombres rel a et c sont de signes contraires, le discriminant est strictement positifet lquation ax2 + bx+ c = 0 a toujours deux solutions distinctes.

II.3 Factorisation dun trinme du second degr - Forme factoriseLa dmonstration de la proprit II-1 prcdente, nous permet dobtenir le rsultat suivant :

Proprit II-2 :Soit f une fonction polynme du second degr dfinie sur R par f(x) = ax2 + bx+ c avec a 6= 0.Il est possible dobtenir une forme factorise de la fonction f uniquement si le discriminant = b2 4ac est positif ou nul :

Si > 0, alors f(x) = a(x x1)(x x2) avec x1 = b

2aet x2 =

b+

2a;

Si = 0, alors f(x) = a(x x0)2 avec x0 = b2a .Dans le cas o le discriminant est strictement ngatif, une telle factorisation est impossible.



Exemples : Rsoudre dans R lquation 6x2 x 1 = 0.Cest une quation du type ax2 + bx+ c = 0 avec a = 6, b = 1 et c = 1.On ne sait pas la rsoudre de faon vidente donc on calcule le discriminant = b2 4ac = (1)2 4 6 (1) = 1 + 24 = 25.Comme > 0, lquation 6x2 x 1 = 0 admet deux solutions distinctes dans R :

x1 =b

2a=

1 512

= 13et x2 =

b+

2a=

1 + 512

=12.

Lensemble des solutions est donc constitu des deux nombres 13et

12.

On crit alors S =

13;12

.

On a aussi la factorisation suivante : pour tout x rel, 6x2 x 1 = 6

x+13

x 12

.

Rsoudre dans R lquation 3x2 4x+ 43= 0.

Cest une quation du type ax2 + bx+ c = 0 avec a = 3, b = 4 et c = 43.

On calcule le discriminant = b2 4ac = (4)2 4 3 43= 16 16 = 0.

Comme = 0, lquation 3x2 4x+ 43= 0 admet une solution unique dans R :

x0 = b2a = 46

=23.

On crit S =23

.

On a alors la factorisation suivante : pour tout x rel, 3x2 4x+ 43== 3

x 23

2

.

Rsoudre dans R lquation x2 3x+ 4 = 0.Cest une quation du type ax2 + bx+ c = 0 avec a = 1, b = 3 et c = 4.On ne sait pas la rsoudre de faon vidente donc on calcule le discriminant = b2 4ac = (3)2 4 1 4 = 9 16 = 7.Comme < 0, lquation x2 3x+ 4 = 0 nadmet pas de solutions dans R. On crit S = .La factorisation de la fonction polynme du second degr f dfinie par f(x) = x2 3x + 4 estimpossible.

Remarque :Si elle existe, la forme factorise dune fonction f , trinme du second degr, est trs utile pourdterminer les solutions ventuelles de lquation f(x) = 0, cest--dire les abscisses des pointsdintersection de la parabole P reprsentant la fonction f et de laxe des abscisses.La proposition prcdente indique que cette factorisation est uniquement possible si le discriminantdu trinme est positif.

Interprtation graphique :

x

y

I

J

O

P1

y = 6x2 x 1

> 0

1

3

1

2

x

y

I

J

O

P2

y = 3x2 4x+ 43

= 0

2

3

x

y

I

J

O

P3

y = x2 3x+ 4

< 0

Lquation a deux solutions.Lquation a une solution

unique.Lquation na pas de

solution.


10 III. SIGNE DU TRINME DU SECOND DEGR

III Signe du trinme du second degr

Remarque :Chercher le signe du trinme ax2+bx+c, avec a 6= 0, revient graphiquement chercher la positionde la parabole P, dquation y = ax2 + bx+ c, par rapport laxe des abscisses.

III.1 Signe de ax2 + bx + c avec a 6= 0

Proprit III-1 :Soit f une fonction polynme du second degr dfinie sur R par f(x) = ax2 + bx+ c avec a 6= 0. = b2 4ac est le discriminant du trinme f .

Si > 0, alors le trinme f(x) = ax2 + bx+ c sannule en deux valeurs distinctes x1 et x2.On suppose que x1 < x2.Alors, f(x) est du signe oppos celui de a si et seulement si x est compris entre les racinesx1 et x2 (cest--dire pour x ]x1;x2[).Par consquent, f(x) est du signe de a si et seulement si x ];x1[]x2; +[.

Si = 0, alors le trinme f(x) = ax2 + bx+ c sannule en une seule valeur x0 = b2a et il ale mme signe que a pour tous les nombres rels x.

Si < 0, alors le trinme f(x) = ax2 + bx+ c a le mme signe que a pour tous les nombresrels x.

Remarque :On peut retenir cette proprit en disant que ax2+ bx+ c est toujours du signe de a sauf entre lesdeux racines lorsquil y en a (cest--dire lorsque > 0).

Dmonstration :Soit f une fonction polynme du second degr dfinie sur R par f(x) = ax2 + bx+ c avec a 6= 0.

Si > 0 alors f(x) = a(x x1)(x x2), daprs la proprit II-2. Supposons x1 < x2.On construit donc le tableau de signes suivant :

x x1 x2 +(x x1) 0 + +(x x2) 0 +

(x x1)(x x2) + 0 0 +a(x x1)(x x2) signe de a 0 oppos du signe de a 0 signe de a

On a donc tabli le rsultat suivant : f(x) est du signe oppos celui de a si et seulement six ]x1;x2[. Par consquent, f(x) est du signe de a si et seulement si x ];x1[]x2; +[.

Si = 0 alors f(x) = a(x x0)2 avec x0 = b2a , daprs la proprit II-2.Le carr (x x0)2 est strictement positif pour tout x 6= x0 et il sannule en x = x0. Ainsi,f(x) sannule en une seule valeur x0 = b2a et f(x) a le mme signe que a pour tous lesnombres rels x.

Si < 0, la factorisation de f(x) nest pas possible. Utilisons donc la forme canonique dutrinme f vue dans le paragraphe II. On a donc, pour tout rel x, f(x) = a

(x )2 4a2

.

Comme lexpression entre crochets est strictement positive, on en dduit que f(x) a le mmesigne que a pour tous les nombres rels x.



Exemples : Dresser le tableau de signes de la fonction f dfinie sur R par f(x) = 6x2 x 1.f est une fonction polynme du second degr dont ltude du signe nest pas immdiate.On a dj rsolu lquation f(x) = 0 la page 9 et on a montr que le trinme f(x) admettaitdeux racines distinctes : 1

3et 1

2.

La forme factorise du trinme f est donc f(x) = 6(x+ 13)(x 1

2).

Ainsi, comme 6 est strictement positif, le tableau de signes de la fonction f est le suivant :

x 13

12

+f(x) + 0 0 +

Graphiquement, ceci illustre que la parabole P1, reprsentant la fonction f , est situe au-dessusde laxe des abscisses pour les points ayant une abscisse strictement infrieure 1

3ou strictement

suprieure 12. Aussi, pour les points dont labscisse est strictement comprise entre 1

3et 1

2, la

parabole P1 est situe en-dessous de laxe des abscisses.

Dresser le tableau de signes de la fonction g dfinie sur R par g(x) = 3x2 4x+ 43.

Nous avons vu la page 9, que le trinme g(x) admettait une seule racine 23.

Ainsi, sa forme factorise est g(x) = 3(x 23)2.

Par consquent, le nombre 3 tant positif, le tableau de signes de la fonction g est :

x 23

+g(x) + 0 +

Graphiquement, ceci signifie que la parabole P2, reprsentant la fonction g, est situe au-dessusde laxe des abscisses, sauf pour le point dabscisse 2

3qui appartient cet axe.

Dresser le tableau de signes de la fonction h dfinie sur R par h(x) = x2 3x+ 4.Cette fonction trinme admet un discriminant strictement ngatif. En effet, le calcul effectu lapage 9 donne = 7. Ainsi elle nadmet pas de racine et sa factorisation est impossible.Comme le coefficient du terme de degr 2 est gal 1, on peut affirmer que le tableau de signesde la fonction h est :

x +h(x) +

Graphiquement, ceci signifie que la parabole P3, reprsentant la fonction h, est toujours situeau-dessus de laxe des abscisses.

III.2 Application la rsolution des inquations du second degr

Dfinition III-1 :Soient a, b et c trois nombres rels avec a 6= 0.Une inquation du second degr une inconnue x est une inquation qui peut scrire souslune des forme suivantes :

soit ax2 + bx+ c > 0 ; soit ax2 + bx+ c > 0 ; soit ax2 + bx+ c < 0 ; ou soit ax2 + bx+ c 6 0.

Pour rsoudre une telle inquation, on tudie le signe du trinme ax2 + bx+ c comme dcrit pr-cdemment afin de pouvoir dcrire lensemble des solutions S , cest--dire lensemble des valeursde x pour lesquelles lingalit est vraie.


12 IV. TABLEAU RCAPITULATIF

Exemple :Rsoudre dans R linquation 6x2 x 1 > 0.Daprs le tableau de signes tabli prcdemment, on obtient S =];1

3] [1

2; +[

IV Tableau rcapitulatifSoit f une fonction polynme de degr 2 dfinie sur R par f(x) = ax2 + bx + c, avec a 6= 0.

= b2 4ac est le discriminant du trinme f(x). Le tableau suivant prsente les diffrentes situationspossibles, suivant les valeurs des rels a et :

> 0 = 0 < 0

Solutions delquationf(x) = 0 :

Deux solutionsdistinctes

S = {x1;x2} avecx1 = b

2a

et x2 = b+

2a.

Une solution uniqueS = {x0}

avec x0 = b2a .Pas de solution

S = .

Forme factorisede f(x) :

f(x) = a(xx1)(xx2). f(x) = a(x x0)2. La factorisation estimpossible.

a > 0Parabole :

x

y

I

J

O

P

x = b2a

S

x1 x2 x

y

I

J

O

P

x = b2a

x0 = b2a

S

x

y

I

J

O

P

x = b2a

S

Signe def(x) :

x x1 x2 +f(x) + 0 0 +

x x0 +f(x) + 0 +

x +f(x) +

a < 0Parabole :

x

y

I

JO

P

x = b2a

S

x2 x1 x

y

IJ

O

P

x = b2a

x0 = b2a

S x

y

I

J

O

P

x = b2a

S

Signe def(x) :

x x2 x1 +f(x) 0 + 0

x x0 +f(x) 0

x +f(x)



V ExercicesExercice 1 : Rsoudre une quation du second degr

Rsoudre dans R les quations suivantes :1) x

3 + 2 = pi; 2) x2 3 = 0; 3) 27x2 +5 = 0.

Exercice 2 : Construire la courbe reprsentative dune fonction connue

Soit f la fonction dfinie sur R par f(x) = 2x2 + 10x 7.Construire la reprsentation graphique de la fonction f dans un repre orthonorm (O; I;J).

Exercice 3 : Fonctions trinmes et reprsentations graphiques

On a reprsent ci-dessous, dans des repres orthogonaux, trois courbes C1, C2 et C3 dont les quationsrespectives sont les suivantes :

C1 : y = (x+ 2)2 + 3; C2 : y = 12x2 + 2x 1; C3 : y = 4(x 1)(x+ 2).

x

y

O x

y

O x

y

O

Figure a Figue b Figure c1) Associer chaque courbe la figure correspondante, en justifiant le raisonnement.2) Pour chaque graphique, retrouver les graduations du repre en dtaillant la dmarche.

Exercice 4 : Vers la forme canonique du trinme - Algorithme de Al-Khwarizmi

Au dbut du IXe sicle, le mathmaticien perse Muhammad Ibn Musa, surnomm Al-Khwarizmi, proposediffrents algorithmes de rsolution dquations de degr 1 ou 2. Ainsi, il a pos et rsolu gomtrique-ment le problme suivant :

Dterminer un nombre tel que le carr et dix racines gales trente-neuf units.

On peut traduire cet nonc avec notre notation symbolique actuelle de la faon suivante :

Rsoudre lquation x2 + 10x = 39. (E1)

Pour la rsoudre, voici la mthode quil propose :

tape 1 : On suppose que x est positif et on construit un carr de ct de longueur gale x.

tape 2 : On borde ce carr de deux rectangles dont laire est gale 102x. On obtient ainsi 5 comme

autre dimension.

tape 3 : On complte alors la figure pour obtenir un grand carr.

x2x

5x

x2 5xx

x 5

5 255x

x2 5x

tape 1 tape 2 tape 3


14 V. EXERCICES

1) a) En exprimant laire de ce grand carr de deux faons diffrentes, dmontrer que

x2 + 10x = (x+ 5)2 25.

b) En dduire que lquation (E1) propose est quivalente (x+ 5)2 = 64.

c) Dterminer alors la solution positive de lquation (E1).

d) Al-Khwarizmi ne parle pas de lautre solution de cette quation car, pour lui, 64 na quuneracine carre : cest 8. Dterminer lautre solution de lquation (E1).

2) Utiliser la mthode de Al-Khwarizmi, expose prcdemment, pour rsoudre dans R les quationssuivantes :

a) x2 + 12x = 45 ;

b) x2 + 4x 32 = 0.

3) Dans ce qui prcde, on dit que (x+ 5)2 64 est la forme canonique de x2 + 10x 39.Dterminer la forme canonique de chacune des fonctions suivantes :

a) f(x) = x2 + 12x 85; b) g(x) = x2 + 8x 84; c) h(x) = x2 + 14x+ 45.

Exercice 5 : Dterminer le sens de variations dune fonction trinme

Dresser le tableau de variations de chacune des fonctions suivantes, dfinies sur R, en dtaillant leraisonnement :

1) f(x) = x2 + 2x 5 ;2) g(x) = 5x2 9x+ 4 ;3) h(x) = 3x2 + x 1.

Exercice 6 : Dmontrer quune fonction trinme admet un extremum

Soi f la fonction trinme du second degr dfinie sur R par f(x) = 2x2 + 4x 3.Dmontrer quelle admet pour maximum 1 en x = 1.

Exercice 7 : Utiliser la forme la plus adapte dune fonction connue

Soit f la fonction dfinie sur R par f(x) = (x 3)2 (3x 2)2.1) a) Dterminer la forme dveloppe et rduite de f(x).

b) Dterminer une forme factorise de f(x).

c) Dterminer la forme canonique de f(x).2) Choisir la forme la plus adapte de f(x) pour rpondre aux questions suivantes :

a) Calculer f(0),f(54) et f(3

8). Dterminer limage de 1 +

2 par la fonction f .

b) tablir le tableau de variations de la fonction f .

c) Rsoudre lquation f(x) = 0.

d) Dterminer les antcdents ventuels du nombre 5 par la fonction f .

e) tablir le tableau de signe de la fonction f .



Exercice 8 : Un problme daire maximale

On considre un rectangle ABCD dont les dimensions sont AB = 8 et AD = 10. lintrieur de celui-ci, on construit le carr AMNP o M est le point du segment [AB] et P le pointdu segment [AD]. On construit enfin les rectangles hachurs MNRB et NQDP o R est le point dusegment [BC] et P est le point du segment [AD].Dterminer la (ou les) position(s) du pointM pour laquelle (lesquelles) la somme des aires des rectangleshachurs est maximale.

A

B

C

D

M N

R

B

N Q

D

P

Exercice 9 : Rsoudre une quation du second degr sans calcul du discriminant

Rsoudre dans R les quations suivantes :1) 2x2 3x = 0 ; 2) 4x2 12x+ 9 = 0 ; 3) x2 5x+ 6 = 0 ;4) x2 23x+ 3 = 0 ; 5) x2 2x 3 = 0 ; 6) x2 + x+ 9 = 0.

Exercice 10 : Rsoudre une quation du second degr avec calcul du discriminant

Rsoudre dans R les quations suivantes :

1) x2 + 3x 274

= 0 ; 2) x2 3x+ 94= 0 ; 3) 3x2 11 x+ 1 = 0 ;

4) x2 + 2x+ 1 = 0 ; 5) x2 + x+ 1 = 0 ; 6) 12x2 x 1

2= 0.

Exercice 11 : Problme numrique

La somme dun nombre rel et de son inverse est gale 5821

. Dterminer les valeurs de ces deux nombres.

Exercice 12 : Intersections de paraboles

On a trac ci-dessous, dans un repre orthogonal, les deux paraboles P1 et P2 dquations respectivesy = 36x2 + 3x 4 et y = 12x2 + 4x 1.

x

y

O 0, 5

1

A

B

P1

P2

On note A et B leurs points dintersection.Dterminer les valeurs exactes de leurs coordonnes.


16 V. EXERCICES

Exercice 13 : Factoriser un trinme du second degr

Dterminer, lorsque cela est possible, une forme factorise des fonctions trinmes du second degrsuivantes :1) f(x) = 3x2 + 11x 4; 2) g(x) = 8x2 4

3x+

118

; 3) h(x) = 7x2 9x+ 5.

Exercice 14 : nigme

Lors dune confrence, chaque participant change une poigne de mains avec toutes les autres per-sonnes prsentes. Finalement, on a not quil y avait eu 5151 poignes de mains changes lors de cerassemblement. Dterminer le nombre de personnes ayant assist cette confrence.

Exercice 15 : Dresser le tableau de signes de fonctions connues

Dresser le tableau de signes de chacune des fonctions suivantes, dfinies sur R, en justifiant :1) f(x) = 2x2 5x+ 7 ;2) g(x) = x2 + 6x 9 ;3) h(x) = x2 + pi ;4) k(x) = x2 + 3x+ 2.

Exercice 16 : Rsoudre une inquation du second degr

Rsoudre dans R les inquations suivantes puis vrifier graphiquement laide de la calculatrice ou delordinateur :1) x2 3x+ 6 < 0; 2) x2+3x+2 > 5(x+1); 3) 2

x2 + 3x+ 2 0 ;

b) g(x) < 0 ;

c) f(x) 6 g(x).

2) Retrouver les ensembles de solutions prcdents par le calcul.


CHAPITRE 2

GOMTRIE PLANE

Ren Descartes 1

1596 - 1650Dans lensemble de ce chapitre, le plan est muni dun repre (O; I;J).

I Colinarit de deux vecteurs

Dfinition I-1 :Deux vecteurs non nuls #u et #v sont dits colinaires lorsquils ont la mme direction.Autrement dit, deux vecteurs non nuls

#

AB et#

CD sont colinaires si et seulement si les droites(AB) et (CD) sont parallles.

+

+

+

+

A

B

D

C#v

#u

Remarque :

Par convention, le vecteur nul est colinaire tout vecteur du plan.

Proprit I-1 : Applications de la dfinitionSoient A, B, C et D quatre points deux deux distincts du plan. Les droites (AB) et (CD) sont parallles si et seulement si les vecteurs # AB et # CD sont colinaires.

+

+

+

+

A

B

C

D

Les points A, B et C sont aligns si et seulement si les vecteurs # AB et # AC sont colinaires.

A

B

C

1. Ren Descartes est un mathmaticien, physicien et philosophe franais. Il introduit la gomtrie analytique enremarquant que tout point du plan est dtermin par ses distances algbriques aux axes de coordonnes. Il est lorigine de lanotion dquation dune courbe, relation qui lie les coordonnes des points de celle-ci. Il rationalise galement lutilisationdes lettres en mathmatiques : il choisit celles du dbut de lalphabet pour les quantits connues et celles de la fin delalphabet pour les inconnues.


Gomtrie plane 19

Il est incorrect de dire que deux vecteurs sont parallles . On dit que deux vecteurs ont lamme direction ou quils sont colinaires.Le mot parallle est rserv pour caractriser la position de deux droites ou de deux segmentsmais il nest pas utilis pour les vecteurs.

Proprit I-2 :Deux vecteurs non nuls #u et #v sont colinaires si et seulement si il existe un nombre rel k nonnul tel que #v = k #u .

Remarque :

Dans lgalit #v = k #u , le rel k sappelle le coefficient de colinarit.

Exemple :

Les vecteurs #u (5; 3) et #v (15;9) sont colinaires car #v = 3 #u .

Proprit I-3 : Condition de colinarit de deux vecteursLes vecteurs #u (x; y) et #v (x; y) sont colinaires si et seulement si leurs coordonnes sont propor-tionnelles.Autrement dit, les vecteurs #u (x; y) et #v (x; y) sont colinaires si et seulement si xy yx = 0.

Exemples :

Les vecteurs #u (2;5) et #v (8; 20) sont colinaires. En effet, le tableau 2 85 20 est un tableaude proportionnalit car (2 20) (5) (8) = 0. Les vecteurs #u (3; 4) et #v (5; 2) ne sont pas colinaires. En effet, le tableau 3 5

4 2nest pas

un tableau de proportionnalit car (3) 2 (4 5) = 26 et 26 6= 0.

Dmonstration :Dmontrons que les vecteurs #u (x; y) et #v (x; y) sont colinaires si et seulement si xy yx = 0. Dans le cas o #u (ou #v ) est le vecteur nul, le rsultat est immdiat. Supposons donc que les vecteurs #u et #v sont tous les deux non nuls.Les vecteurs #u et #v sont colinaires :

si et seulement si il existe un nombre rel k non nul tel que #v = k #u ; si et seulement si il existe un nombre k non nul tel que x = kx et y = ky ; si et seulement si les coordonnes (x; y) de #u et (x; y) de #v sont proportionnelles ;

si et seulement si le tableaux x

y yest un tableau de proportionnalit ;

si et seulement si les produits en croix xy et yx sont gaux ; si et seulement si xy yx = 0.

II quations dune droiteII.1 Vecteur directeur dune droite

Dfinition II-1 :Soit D une droite du plan.On appelle vecteur directeur de la droite D tout vecteur non nul #u ayant la mme directionque la droite D .

#u

D


20 II. QUATIONS DUNE DROITE

Remarques :Pour une droite D donne, il existe une infinit de vecteurs directeurs.Le choix de deux points distincts A et B sur la droite D dfinit un vecteur directeur de cettedroite : le vecteur

#

AB.

#

AB

DA

B

Tout vecteur non nul colinaire au vecteur#

AB est aussi un vecteur directeur de la droite D .

#

AB

DA

B

2#

AB

# ABAinsi, les vecteurs # AB ou 2 # AB tracs ci-dessus sont aussi des vecteurs directeurs de la droite D .

On peut ainsi dfinir une droite D par la donne dun point et dun vecteur directeur. En effet, toutedroite passant par un point A fix et ayant la mme direction que celle dun vecteur #u non nul donnest lensemble des points M du plan tels que les vecteurs

#

AM et #u aient la mme direction. On a doncla dfinition suivante :

Dfinition II-2 :Soient A un point et #u un vecteur non nul.Lensemble des points M du plan tels que les vecteurs

#

AM et #u sont colinaires est la droite Dpassant par le point A et dont #u est un vecteur directeur.

#u

D

A M

Proprit II-1 :Soient D et D deux droites de vecteurs directeurs respectifs #u et #v .Les droites D et D sont parallles si et seulement si les vecteurs #u et #v sont colinaires.

Proprit II-2 :Soit D la droite dquation rduite y = mx+ p o m et p sont deux nombres rels.Alors #u (1;m) est un vecteur directeur de D .

x

y

I

J

O

+

+

1

m#u

p

D: y

=mx+p


Gomtrie plane 21

Dmonstration :Soit D la droite dquation rduite y = mx+ p.Les points A(0; p) et B(1;m+ p) sont deux points distincts appartenant cette droite.Donc le vecteur #u =

#

AB est un vecteur directeur de cette mme droiteOr, les coordonnes de

#

AB sont (1 0;m+ p p). Ainsi #u (1;m) est un vecteur directeur de D .

II.2 quations cartsiennes dune droite

Proprit II-3 :Toute droite D du plan admet une quation de la forme ax + by + c = 0 o a, b et c sont troisnombres rels avec a et b non nuls simultanment.Le vecteur #u (b; a) est un vecteur directeur de cette droite D .

Dmonstration :Soit D une droite du plan.Comme nous lavons vu la dfinition II-2, cette droite D peut tre dfinie par la donne dun deses points A(x0; y0) et dun vecteur directeur #u (;).Ainsi, un point M(x; y) appartient la droite D si et seulement si les vecteurs

#

AM et #u sontcolinaires.Or,

#

AM (x x0; y y0) et #u (;).Donc, daprs la condition de colinarit, M(x; y) D si et seulement si (x x0)(y y0) = 0.En dveloppant, on obtient : M(x; y) D si et seulement si x y x0 + y0 = 0.Cette quation peut aussi scrire ax+ by + c = 0, en posant a = , b = et c = x0 + y0On remarque que les rels a et b ne peuvent pas tre nuls simultanment puisque le vecteurdirecteur #u de D nest pas le vecteur nul.De plus, comme = b et = a, le vecteur #u (b; a) est un vecteur directeur de D .

Proprit II-4 : RciproqueSoient a, b et c trois nombres rels avec a et b non nuls simultanment.Lensemble des points M(x; y) du plan dont les coordonnes vrifient la relation ax+ by + c = 0est une droite de vecteur directeur #u (b; a).

Dmonstration :Soient a, b et c trois nombres rels avec (a; b) 6= (0; 0).Notons E lensemble des points M(x; y) du plan dont les coordonnes vrifient lquationax+ by + c = 0. Cette quation peut aussi scrire sous la forme by = ax c.Dmontrons que lensemble E contient au moins un point A(x0; y0) que lon va prciser.

Si b 6= 0 alors on peut choisir A

x0;ax0 c

b

avec x0 un nombre rel quelconque.

Si b = 0 alors, comme a 6= 0, on peut choisir Aca; y0

avec y0 un nombre rel quelconque.

Dans tous les cas, il existe bien un point A(x0; y0) appartenant lensemble E , dont les coordonnesvrifient ax0 + by0 + c = 0.Ainsi, M(x; y) E si et seulement si ax+ by + c = 0.M(x; y) E si et seulement si ax+ by + c = ax0 + by0 + c.M(x; y) E si et seulement si a(x x0) + b(y y0) = 0.Or le vecteur

#

AM a pour coordonnes (x x0; y y0).Donc M(x; y) E si et seulement si # AM(x x0; y y0) et #u (b; a) sont colinaires.Daprs la dfinition II-2, E est la droite passant par le point A(x0; y0) et ayant pour vecteurdirecteur le vecteur #u (b; a).


22 II. QUATIONS DUNE DROITE

Exemple :Soit E lensemble des points M(x; y) du plan dont les coordonnes vrifient la relation2x+ 4y 5 = 0. E est une droite de vecteur directeur #u (4;2).Les vecteurs #v (4; 2) et #w(2; 1) sont aussi des vecteurs directeurs de la droite E puisquils sontcolinaires au vecteur #u .En effet, #v = #u et #w = 1

2#u .

Dfinition II-3 :Soient a, b et c trois nombres rels tels que (a; b) 6= (0; 0).Une quation dune droite D du plan de la forme ax + by + c = 0 est appele une quationcartsienne de la droite D .

Remarque :Une droite admet une infinit dquations cartsiennes. En effet, considrons la droite E prcdentedont une quation cartsienne est 2x+ 4y 5 = 0.Elle admet aussi pour quation cartsienne x 2y + 2, 5 = 0.En fait, toute quation obtenue en multipliant une quation cartsienne dune droite par un nombrerel non nul constitue une autre quation cartsienne de cette mme droite.

II.3 quations cartsiennes et quations rduites

La notion dquation cartsienne dune droite vue en Premire permet de regrouper en une seule lesdeux types dquations de droites vues en Seconde :

les droites non parallles laxe des ordonnes ayant une quation rduite de la forme y = mx+p ; les droites parallles laxe des ordonnes ayant une quation de la forme x = k.

On examine les liens entre ces deux notions dans le tableau suivant :

Cas o b = 0 eta 6= 0

Cas o a = 0 etb 6= 0

Cas o a 6= 0 etb 6= 0 et c = 0

Cas o a 6= 0 etb 6= 0 et c 6= 0

quation

cartsienne

ax+ 0 + c = 0donc x = c

a

0 + by + c = 0donc y = c

b

ax+ by + 0 = 0donc y = a

bx

ax+ by + c = 0donc

y = abx+ c

b

quation rduite

(vue en Seconde)x = constante y = constante

y = mx,m est lecoefficientdirecteur.

y = mx+ p,m est lecoefficient

directeur et p estlordonne lorigine.

Reprsentationgraphique

x

y

I

J

O

x = k

x

y

I

J

O

y = k

x

y

I

J

O

y = mx

x

y

I

J

O

y = mx+ p

Droite parallle laxe desordonnes

Droite parallle laxe desabscisses

Droite passantpar lorigine etnon parallle aux

axes

Autre type dedroite

Ne reprsentepas une fonction

Reprsentations graphiques dune fonction affine


Gomtrie plane 23

II.4 quations cartsiennes et paralllisme

Proprit II-5 :Soient D et D deux droites dquations cartsiennes respectives ax+by+c = 0 et ax+by+c = 0avec (a; b) 6= (0; 0) et (a; b) 6= (0; 0).Les droites D et D sont parallles si et seulement si ab ab = 0.

Dmonstration :Daprs la proprit II-3, un vecteur directeur de D est #u (b; a) et un vecteur directeur de D est#

u(b; a).Ainsi D et D sont parallles si et seulement si #u et

#

u sont colinaires.D et D sont parallles si et seulement si ba a(b) = 0.Donc D et D sont parallles si et seulement si ab ab = 0.

Remarque :Lorsque les droites D et D ont pour quations rduites respectives y = mx+ p et y = mx+ p, lacondition de paralllisme de ces deux droites se simplifie en lgalit de leurs coefficients directeurs(m = m).

III Dcomposition dun vecteur

Proprit III-1 :Soient A, B et C trois points non aligns du plan.Pour tout point M du plan, il existe un unique couple de nombres rels (x; y) tels que

#

AM = x#

AB + y#

AC.

On dit que (A;#

AB;#

AC) constitue un repre du plan et que (x; y) est le couple de coordonnesdu point M (ou aussi du vecteur

#

AM ) dans ce repre.

Exemple :

A

B

C

I

G

Soit ABC un triangle non aplati o I dsigne le milieu du segment [BC] et G le centre de gravitde ce triangle.Comme les points A, B et C ne sont pas aligns, (A;

#

AB;#

AC) constitue un repre du plan.

On va tablir les galits suivantes :#

AI =12

#

AB +12

#

AC et#

AG =13

#

AB +13

#

AC.

Autrement dit, les coordonnes des points I et G dans le repre (A;#

AB;#

AC) sont :

I

12;12

et G13;13

.

En effet, laide de la relation de Chasles, on a : # AB+ # AC = # AI+ # IB+ # AI+ # IC = 2 # AI+ # IB+ # IC.Or, I est le milieu du segment [BC] donc

#

IB +#

IC =#

0 .

Ainsi#

AB +#

AC = 2#

AI et, par consquent,#

AI =12

#

AB +12

#

AC.

Dans le repre (A;#

AB;#

AC), les coordonnes du point I sont donc I

12; 12

.


24 III. DCOMPOSITION DUN VECTEUR

En outre, on sait que le centre de gravit G dun triangle (point dintersection des mdianes) estsitu aux deux tiers des mdianes en partant de chaque sommet.

Autrement dit, on a#

AG =23

#

AI.

Par suite, par ce qui prcde,#

AG =23

12

#

AB +12

#

AC

=13

#

AB +13

#

AC.

Dans le repre (A;#

AB;#

AC), les coordonnes du point G sont donc G

13; 13

.

Dmonstration : Existence de la dcomposition :

A

B

C

M

P

Q

Soient A, B et C trois points non aligns du plan. Soit M un point quelconque du plan.Notons P le point dintersection de la parallle la droite (AC) passant par le point M et de ladroite (AB). On note aussi Q le point dintersection de la parallle la droite (AB) passant parle point M et de la droite (AC).Ainsi APMQ est un paralllogramme donc, daprs la rgle du paralllogramme,

#

AM =#

AP+#

AQ.Les points A, B et P sont aligns donc les vecteurs

#

AB et#

AP sont colinaires. Ainsi, il existe unnombre rel x tel que

#

AP = x#

AB.De mme, les vecteurs

#

AC et#

AQ sont colinaires. Ainsi, il existe un nombre rel y tel que#

AQ = y#

AC.Par consquent,

#

AM =#

AP +#

AQ = x#

AB + y#

AC.Donc, il existe un couple de nombres rels (x; y) tels que

#

AM = x#

AB + y#

AC.

Unicit de la dcomposition :Supposons quil existe deux couples (x; y) et (x; y) tels que

#

AM = x#

AB + y#

AC = x#

AB + y#

AC.

Alors, x#

AB x # AB = y # AC y # AC, cest--dire (x x) # AB = (y y) # AC.Or les points A, B et C ne sont pas aligns donc les vecteurs

#

AB et#

AC ne sont pas colinaires.La seule possibilit est donc que x x = 0 et y y = 0.Donc x = x et y = y, ce qui prouve lunicit de la dcomposition.

Proprit III-2 :Soient #u et #v deux vecteurs non colinaires du plan.Pour tout vecteur #w, il existe un unique couple de nombres rels (x; y) tels que #w = x #u + y #v .Le couple (x; y) est appel le couple de coordonnes du vecteur #w dans la base ( #u ; #v ).

Dmonstration :

Soit A un point du plan et les points B, C et M tels que#

AB = #u ,#

AC = #v et#

AM = #w.On applique alors la proprit III-1 ces quatre points et on admet que le couple (x; y) ne dpendpas du point A choisi.


Gomtrie plane 25

IV Exercices

Exercice 1 : Reconnatre des vecteurs colinaires

Le plan est muni dun repre (O; I;J).

Dans chacun des cas suivants, dterminer si les vecteurs #u et #v sont colinaires.

Dans laffirmative, prciser le nombre rel k tel que #v = k #u :

1) #u233

;722

et #v107;154

;

2) #u (56;75) et #v (2;

2) ;

3) #u (322;1325

) et #v (371; 912).

Exercice 2 : Savoir utiliser la colinarit

Dans un repre (O; I;J) du plan, on considre les points suivants :

A(10; 40), B(50; 45), C(55; 46), D(25; 36) et E(10; a) o a est un nombre rel.1) Dterminer si les points A, B et C sont aligns. Justifier la rponse.2) Dterminer si le quadrilatre ABCD est un trapze. Justifier la rponse.3) Calculer les coordonnes du point E tel que ABCE soit un trapze.

Exercice 3 : Dmontrer lalignement de points

ABC dsigne un triangle.

1) Construire le point D tel que#

AD = 3#

AB 2 # AC.2) Exprimer le vecteurs

#

BC en fonction des vecteurs#

AB et#

AC.3) Exprimer le vecteur

#

BD en fonction des vecteurs#

AB et#

AC.4) En dduire lalignement des points B, C et D.

Exercice 4 : Dmontrer la nature dun quadrilatre

ABC dsigne un triangle.

1) Construire le point M tel que#

AM =12

#

AB +52

#

AC.

2) Construire le point N tel que#

AN = 2#

AB +#

AC.3) Exprimer le vecteurs

#

MN en fonction des vecteurs#

AB et#

AC.4) En dduire la nature du quadrilatre BCMN .

Exercice 5 : Vecteur directeur et alignement


On considre les points A(4; 0), B(2;3), C(2; 1) et E

3; 72

.

Soit #u le vecteur dont les coordonnes sont #u (3; 5).

1) a) Tracer la droite (AC).b) Tracer la droite D passant par le point B et ayant #u comme vecteur directeur.

2) Dterminer si le point E appartient la droite (AC). Justifier la rponse.3) Dmontrer que le point A nappartient pas la droite D .


26 IV. EXERCICES

Exercice 6 : Vecteurs directeurs dune droite


1) a) Tracer la droite D passant par le point A(0; 4) et de vecteur directeur #u (1;2).b) Dterminer lquation rduite de la droite D .

2) Dans chacun des cas suivants, dterminer le coefficient directeur dune droite dont un vecteurdirecteur est le vecteur #v dont les coordonnes sont :

a) #v (2; 4) ; b) #v (3;7) ; c) #v14;2

.

3) La droite D a pour quation y = 56x+ 1.

a) Prciser un vecteur directeur de la droite D .b) En dduire un vecteur directeur de la droite D dont les coordonnes sont des nombres entiers.c) Tracer la droite D .

Exercice 7 : Dterminer une quation cartsienne dune droite


On considre les points A(1; 1), B(2; 3), C(3; 5), E(2; 0, 3) et F

32 52

;2

.

Soit #u le vecteur dfini par #u (3; 2).1) a) Dterminer une quation cartsienne de la droite D1 passant par le point A et ayant le vecteur

#u comme vecteur directeur.b) Dterminer si les points E et F appartiennent la droite D1. Justifier la rponse.

2) Dterminer une quation cartsienne de la droite (BC).3) Dterminer une quation cartsienne de la droite D2 parallle laxe des ordonnes et passant par

le point E.

Exercice 8 : Tracer une droite dont on connat une quation cartsienne


1) On considre la droite D1 dont une quation cartsienne est 3x+ 2y 6 = 0.a) Dterminer un vecteur directeur #u de cette droite.b) Tracer la droite D1 en justifiant.

2) Construire la droite D2 dont une quation cartsienne est 2x+ 5 = 0. Justifier la construction.3) Dterminer les coordonnes du point D, point dintersection des droites D1 et D2, aprs avoir

justifi son existence.

Exercice 9 : Droites et paralllisme

Le plan est muni dun repre (O; I;J).On considre la droite D1 dont une quation cartsienne est 3x y + 12 = 0.Soit A le point dfini par A(5;1). D2 est la droite dont lquation rduite est y = 3x+ 14.1) Dterminer une quation cartsienne de la droite D3 passant par le point A et parallle la

droite D1.2) Dterminer si les droites D3 et D2 sont parallles en justifiant le raisonnement.

Exercice 10 : Reconnatre des droites parallles ou scantes

Dans le plan rapport un repre (O; I;J), on considre trois droites dont des quations cartsiennessont les suivantes :D1 : 2x 52y + 3 = 0; D2 : 4x+ 5y + 6 = 0; D3 : 5x 2y + 3 = 0.Dterminer la position relative de ces trois droites en justifiant les rponses.


Gomtrie plane 27

Exercice 11 : nigme : La chasse au trsor

Dterminer les coordonnes exactes de lendroit o est cach le trsor suivant sachant que le repreindiqu est orthonorm et que lunit de longueur choisie est le pas.

Exercice 12 : Droites parallles

ABC dsigne un triangle. Le point M est dfini par 2#

MA+ 3#

MB = 3#

MC.Dmontrer que les droites (AM) et (BC) sont parallles.

Exercice 13 : Dterminer les coordonnes dun point dans un repre

ABC dsigne un triangle. Les points M et N sont dfinis par#

AM = 2#

BC et#

BN = # AC.Dterminer les coordonnes des points M et N dans les repres :1) (A;

#

AB;#

AC) ;2) (C;

#

CB;#

CA).

Exercice 14 : Utiliser une dcomposition de vecteurs pour dmontrer

ABC dsigne un triangle. Les points M et N sont dfinis par#

AM =32

#

AB +#

AC et#

BN =25

#

BC.

1) Construire la figure.2) Dmontrer que les points A, M et N sont aligns.

Exercice 15 : Rsolution de problme

ABC dsigne un triangle rectangle isocle en A.

Les points I et J sont dfinis par#

AI = 2 # AB et # CJ = 34

#

CA.

Le point K est le symtrique du point C par rapport au point B.1) Lire les coordonnes des points de la figure dans le repre (A;

#

AB;#

AC).2) Dmontrer que les droites (AK), (BJ) et (CI) sont concourantes en un point dont on dterminera

les coordonnes.


CHAPITRE 3

TUDE DE FONCTIONS

Karl Weierstrass 1

1815 - 1897

I Fonctions de rfrence dj connues

I.1 Sens de variation dune fonction (rappel)

Dfinition I-1 :Soit f une fonction dfinie sur un intervalle I de R.

f est croissante sur I signifie que, pour tous les nombres u et v de lintervalle I, si u < valors f(u) 6 f(v).

f est dcroissante sur I signifie que, pour tous les nombres u et v de lintervalle I, siu < v alors f(u) > f(v).

f est constante sur I signifie que, pour tous les nombres u et v de lintervalle I,f(u) = f(v).

Remarques : Si, pour tous les nombres u et v de lintervalle I, lingalit u < v implique lingalit strictef(u) < f(v), on dit que f est strictement croissante sur I. De mme, f est strictement dcroissante sur I signifie que, pour tous les nombres u et vde lintervalle I, si u < v alors f(u) > f(v). On peut retenir que :

une fonction croissante conserve lordre (autrement dit, f(u) et f(v) sont dans le mme ordreque u et v) ;

une fonction dcroissante inverse lordre (autrement dit, f(u) et f(v) sont dans lordrecontraire de celui de u et v).

1. Karl Weierstrass est un mathmaticien allemand. Il commence sa carrire comme professeur de lyce puis obtientune chaire de Mathmatiques lUniversit de Berlin en 1864. Surnomm le pre de lanalyse moderne , il est lorigine dune trs grande rigueur dans la formulation des concepts mathmatiques. Un grand nombre de notions danalysesont ainsi enseignes actuellement avec les notations quil a utilises. Ses travaux lont galement conduit construirede nombreuses fonctions jusqualors inconnues. tudiant les nombres rels, il donne une construction arithmtique delensemble R, construction attendue depuis plus de 2000 ans, suite la dcouverte des nombres irrationnels par lesdisciples de Pythagore.


tude de fonctions 29

I.2 Fonctions affines

Dfinition I-2 :On appelle fonction affine une fonction f dfinie sur R par f(x) = ax + b, o a et b sont deuxnombres rels fixs.Cas particuliers :

Lorsque b = 0, la fonction f dfinie par f(x) = ax est une fonction linaire. Lorsque a = 0, la fonction f dfinie par f(x) = b est une fonction constante.

Proprit I-1 :Soit f une fonction affine dfinie sur R par f(x) = ax+ b, o a et b sont deux nombres rels fixs.

Si a > 0 alors f est strictement croissante sur R. Si a < 0 alors f est strictement dcroissante sur R. Si a = 0 alors f est constante sur R.

La reprsentation graphique de la fonction affine f est une droite non parallle laxe des ordonnesdont lquation rduite est y = ax+ b.

I.3 Fonction carr

Dfinition I-3 :

La fonction carr est la fonction f dfinie sur R par f(x) = x2.

Proprit I-2 :La fonction carr f est strictement dcroissante sur ]; 0] et strictement croissante sur [0;+[.Son tableau de variations est donc donn par :

x 0 +

f(x)

0

Dfinition I-4 :Dans un repre orthogonal (O; I;J), la courbe reprsentative de la fonction carr est la paraboleP de sommet O, origine du repre, dquation y = x2.

x

y

I

J

O

P

y = x2


30 II. FONCTION RACINE CARRE

Remarque :Les variations de la fonction carr peuvent se traduire ainsi : Les carrs de deux nombres positifs sont rangs dans le mme ordre que ces deux nombres(autrement dit, pour tous nombres u et v rels positifs, u < v implique que u2 < v2). Les carrs de deux nombres ngatifs sont rangs dans lordre contraire de celui de ces deuxnombres (autrement dit, pour tous nombres u et v rels ngatifs, u < v implique que u2 > v2).

I.4 Fonction inverse

Dfinition I-5 :Lensemble des nombres rels diffrents de 0 est la runion dintervalles ]; 0[]0;+[, on notecet ensemble de faon plus courte par le symbole R.

La fonction inverse est la fonction f dfinie sur R par f(x) =1x.

Proprit I-3 :La fonction inverse f est strictement dcroissante sur ] ; 0[ et elle est galement strictementdcroissante sur ]0;+[.Son tableau de variations est donc donn par :

x 0 +

f(x)

Dfinition I-6 :Dans un repre orthogonal (O; I;J), la courbe reprsentative de la fonction inverse est lhyperbole

H dquation y =1x.

x

y

I

J

O

H

y =1x

Remarque :Les variations de la fonction inverse peuvent se traduire ainsi :Les inverses de deux nombres non nuls de mme signe sont rangs dans lordre contraire decelui de ces deux nombres. Autrement dit, Pour tous nombres u et v rels strictement ngatifs, u < v implique que 1

u> 1

v;

Pour tous nombres u et v rels strictement positifs, u < v implique que 1u> 1

v.

II Fonction racine carreSoit a un nombre rel positif ou nul. La racine carre de a, note

a, est lunique nombre rel

positif dont le carr est gal a.



Ainsi, on peut dfinir la fonction racine carre sur lensemble des nombres rels positifs, not R+.

Dfinition II-1 :

La fonction racine carre est la fonction f dfinie sur R+ = [0;+[ par f(x) = x.

II.1 Sens de variation

Proprit II-1 :La fonction racine carre f est strictement croissante sur [0;+[.

Dmonstration :Pour dmontrer que la fonction racine carre est strictement croissante sur [0;+[, il suffit deprouver que si u et v sont deux nombres positifs tels que 0 6 u < v, alors

u 0, puisque une racine carre est toujours positive ou nulle et v 6= 0.

Comme u v < 0, par la rgle des signes dun quotient, on peut conclure que u vu+

v< 0,

cest--direuv < 0, ce qui quivaut u < v.

Par consquent, les imagesu et

v sont ranges dans le mme ordre que les nombres positifs u

et v. Ainsi, la fonction racine carre est strictement croissante sur [0;+[.

Corollaire II-1 :Le tableau de variations de la fonction racine carre f est donc donn par :

x

f(x)

0 +

00

II.2 Reprsentation graphiquePour la fonction f dfinie sur [0;+[ par f(x) = x, on a le tableau de valeurs suivant :

x 014

1 4 9 16

f(x) 012

1 2 3 4

Dans un repre orthogonal (O; I;J), la courbe reprsentative de la fonction racine carre est donneci-dessous :

x

y

I

J

O

y =x

II.3 Ranger les racines carres de deux nombres positifsLa stricte croissance de la fonction racine carre sur [0;+[ permet dnoncer le rsultat suivant :Proprit II-2 :Les racines carres de deux nombres positifs sont ranges dans le mme ordre que ces deux nombres.Autrement dit, u et v tant deux rels positifs, u < v implique que

u x > x.

Dmonstration : Soit x un nombre rel tel que 0 < x < 1.Daprs la stricte croissance de la fonction racine carre sur [0;+[, on peut affirmer que0 1x soit x > x > 1.

Daprs la stricte croissance de la fonction carre sur [0;+[, on peut donc affirmer que x2 > (x)2cest--dire x2 > x. partir des deux ingalits prcdentes, on peut ainsi conclure que, pour tout x tel que x > 1, ona : x2 > x >

x.

III Fonction valeur absolueIII.1 Valeur absolue dun nombre rel

La valeur absolue dun nombre rel positif est gale ce mme nombre.La valeur absolue dun nombre rel ngatif est gale loppos de ce nombre.Par exemple, la valeur absolue de

5 est gale

5 et la valeur absolue de 3 est gale 3.



Ainsi la valeur absolue dun nombre rel est toujours positive et peut sexprimer ainsi :

Dfinition III-1 :

La valeur absolue dun nombre rel x est le nombre not |x| et dfini par |x| =

x si x > 0x si x 6 0 .

Exemples : |2 pi| = (2 pi) = pi 2 car 2 pi < 0. |10 pi| = 10 pi car 10 pi > 0.

Proprit III-1 : Une valeur absolue est toujours positive ou nulle : Pour tout rel x, |x| > 0. Deux nombres opposs ont la mme valeur absolue : Pour tout rel x, | x| = |x|. La seule valeur absolue nulle est celle de zro : |x| = 0 si et seulement si x = 0. Deux nombres rels ont la mme valeur absolue si et seulement sils sont gaux ou opposs :|x| = |y| si et seulement si x = y ou x = y.

Pour tout nombre rel x,x2 = |x|.

Dmonstration : Les quatre premiers points sont des consquences directes de la dfinition de la valeur absolue. Pour le dernier point, par dfinition de la racine carre,

x2 est le nombre positif dont le carr

vaut x2. Mais, x ne peut tre ce nombre puisque lon ne connat pas son signe.Or, on sait que |x|2 = x2 (que x soit positif ou ngatif) et |x| > 0.Ainsi, lunique nombre positif dont le carr vaut x2 est |x|.Par consquent, pour tout rel x,

x2 = |x|.

Remarque :Sur la droite numrique gradue dunit OI, si M est le point dabscisse x, alors la valeur absoluede x est la distance du point M au point O, savoir la longueur OM .

III.2 tude de la fonction valeur absolue

Dfinition III-2 :La fonction valeur absolue est la fonction f dfinie sur R par f(x) = |x|.

Remarque :Par dfinition de la valeur absolue dun nombre, la fonction valeur absolue est une fonction affine par morceaux . En effet,

x ]; 0], f(x) = x ; x [0;+[, f(x) = x.

Sens de variation

Proprit III-2 :La fonction valeur absolue f est strictement dcroissante sur ]; 0] et strictement croissante sur[0;+[.

Dmonstration :Ceci rsulte directement du fait que, sur ]; 0], f est la fonction affine strictement dcroissantedfinie par f(x) = x.De plus, sur [0;+[, f est la fonction affine strictement croissante dfinie par f(x) = x.


34 IV. SENS DE VARIATION DES FONCTIONS ASSOCIES

Corollaire III-2 :Le tableau de variations de la fonction valeur absolue f est donc donn par :

x

f(x)

0 +

00

Reprsentation graphique

Dans un repre orthogonal (O; I;J), la courbe reprsentative de la fonction valeur absolue est larunion des demi-droites donnes ci-dessous :

x

y

I

J

O

y = |x|

xx

MM

| x| = |x|

Proprit III-3 :Dans un repre orthogonal, la courbe reprsentative de la fonction valeur absolue est symtriquepar rapport laxe des ordonnes.

Dmonstration :SoitM(x; |x|) un point de cette courbe reprsentative. On a |x| = |x|, donc le pointM (x; |x|)a la mme ordonne que celle du point M mais une abscisse oppose celle du point M .Ainsi, les deux points M et M sont symtriques par rapport laxe des ordonnes.

IV Sens de variation des fonctions associes

IV.1 Fonction u + k

Dfinition IV-1 :Soit u une fonction dfinie sur un intervalle I de R. Soit k un nombre rel fix.La fonction note u+ k est la fonction dfinie sur I par :

(u+ k)(x) = u(x) + k, pour tout x I.

Exemple :Soit u la fonction carr dfinie sur R par u(x) = x2. Alors, la fonction note u+ 3 est la fonctiondfinie sur R par (u+ 3)(x) = u(x) + 3 = x2 + 3, pour tout nombre rel x.

Proprit IV-1 :Soit u une fonction dfinie sur un intervalle I de R et soit k un nombre rel fix.Les fonctions u et u+ k ont le mme sens de variation sur lintervalle I.



Dmonstration : Supposons que la fonction u soit croissante sur lintervalle I.Soient x1 et x2 deux nombres rels dans lintervalle I tels que x1 6 x2.Comme u est croissante sur I, on a u(x1) 6 u(x2). En ajoutant le nombre k aux deux membresde lingalit, on obtient u(x1) + k 6 u(x2) + k, cest --dire (u+ k)(x1) 6 (u+ k)(x2).Ainsi, la fonction u+ k est croissante sur lintervalle I.

Supposons que la fonction u soit dcroissante sur lintervalle I.Soient x1 et x2 deux nombres rels dans lintervalle I tels que x1 6 x2.Comme u est dcroissante sur I, on a u(x1) > u(x2). En ajoutant le nombre k aux deuxmembres de lingalit, on obtient u(x1)+k > u(x2)+k, cest --dire (u+k)(x1) > (u+k)(x2).Ainsi, la fonction u+ k est dcroissante sur lintervalle I.

Proprit IV-2 :Le plan est muni dun repre (O;

#

i ;#

j ).Soit u une fonction dfinie sur un intervalle I de R et soit k un nombre rel fix.La courbe reprsentative de la fonction u+k est limage de la courbe reprsentative de la fonctionu par une translation de vecteur k

#

j .

Dmonstration :

x

y

#

j#

iO

C

C M

M

k#

j

x

u(x)

u(x) + k

On appelle C la courbe de la fonction u et C la courbe de la fonction u+ k.Soit x un nombre appartenant lintervalle I.Le point M(x;u(x)) est un point de la courbe C . De plus, le point M (x;u(x) + k) appartient la courbe C car (u+ k)(x) = u(x) + k ; il a aussi la mme abscisse que le point M .Le vecteur

#

MM a pour coordonnes (0; k) et le pointM est limage du pointM par la translationde vecteur k

#

j .Ce raisonnement est valable quel que soit le rel x dans I, cest--dire pour tout point M de lacourbe C .Ainsi la courbe C est obtenue partir de la courbe C par la translation de vecteur k

#

j .

IV.2 Fonction ku

Dfinition IV-2 :Soit u une fonction dfinie sur un intervalle I de R. Soit k un nombre rel fix.La fonction note ku est la fonction dfinie sur I par :

(ku)(x) = k u(x), pour tout x I.



Exemple :Soit u la fonction carr dfinie sur R par u(x) = x2. Alors, la fonction note 2u est la fonctiondfinie sur R par (2u)(x) = 2 u(x) = 2x2, pour tout nombre rel x.

Proprit IV-3 :Soit u une fonction dfinie sur un intervalle I de R et soit k un nombre rel non nul fix. Si k > 0, alors les fonctions u et ku ont le mme sens de variation sur lintervalle I. Si k < 0, alors les fonctions u et ku ont des sens de variation contraires sur lintervalle I.

Dmonstration :Supposons, par exemple, que la fonction u soit dcroissante sur lintervalle I et que k soit stricte-ment positif.Soient x1 et x2 deux nombres rels dans lintervalle I tels que x1 6 x2.Comme u est dcroissante sur I, on a u(x1) > u(x2).En multipliant les deux membres de lingalit par le nombre k > 0, on obtient ku(x1) > ku(x2),cest --dire (ku)(x1) > (ku)(x2).Ainsi, la fonction ku est dcroissante sur lintervalle I.La dmonstration est similaire dans les trois autres cas (selon le sens de variation de u et le signede k).

Exemple :Comme la fonction racine carre est strictement croissante sur [0;+[, laide de la propritprcdente, on peut affirmer que la fonction x 7 2x est strictement dcroissante sur [0;+[car 2 < 0.

Proprit IV-4 :Le plan est muni dun repre orthogonal (O;

#

i ;#

j ).Soit u une fonction dfinie sur un intervalle I de R et soit k un nombre rel non nul fix.La courbe reprsentative de la fonction ku sobtient en multipliant par k lordonne y de chaquepoint de la courbe de la fonction u.

Exemples :

x

y

I

J

O

y = x2

y = 3x2

y = 34x2

x

y

I

J

O

y = x2

y = x2

Les fonctions u, v et w sontdfinies sur R par u(x) = x2,

v(x) = 3x2 et w(x) = 34x2.

Lorsque k = 1, les courbesreprsentatives de u et de usont symtriques par rapport laxe des abscisses.



IV.3 Fonction

u

Dfinition IV-3 :Soit u une fonction dfinie sur un intervalle I de R telle que, pour tout nombre rel x de linter-valle I, u(x) > 0.La fonction racine carre de u, note

u, est la fonction dfinie sur I par :

(u)(x) =

u(x), pour tout x I.

Exemple :Soit u la fonction dfinie sur R par u(x) = x2 + 3. Pour tout rel x, on a bien u(x) > 0.Alors, la fonction note

u est la fonction dfinie sur R par (

u)(x) =

u(x) =x2 + 3, pour

tout nombre rel x.

Proprit IV-5 :Soit u une fonction dfinie sur un intervalle I de R telle que, pour tout nombre rel x de linter-valle I, u(x) > 0.Les fonctions u et

u ont le mme sens de variation sur lintervalle I.

Dmonstration : Supposons que la fonction u soit croissante sur lintervalle I et valeurs positives.Soient x1 et x2 deux nombres rels dans lintervalle I tels que x1 6 x2.Comme u est croissante et valeurs positives sur I, on a : 0 6 u(x1) 6 u(x2).La fonction racine carre tant croissante sur [0;+[, on obtient

u(x1) 6

u(x2), cest--dire (

u)(x1) 6 (

u)(x2).

Ainsi, la fonctionu est croissante sur lintervalle I.

Supposons que la fonction u soit dcroissante sur lintervalle I et valeurs positives.Soient x1 et x2 deux nombres rels dans lintervalle I tels que x1 6 x2.Comme u est dcroissante et valeurs positives sur I, on a : u(x1) > u(x2) > 0.La fonction racine carre tant croissante sur [0;+[, on obtient

u(x1) >

u(x2), cest--dire (

u)(x1) > (

u)(x2).

Ainsi, la fonctionu est dcroissante sur lintervalle I.

IV.4 Fonction1

u

Dfinition IV-4 :Soit u une fonction dfinie sur un intervalle I de R telle que, pour tout nombre rel x de linter-valle I, u(x) 6= 0.La fonction inverse de u, note

1

u, est la fonction dfinie sur I par :

1u

(x) =1

u(x), pour tout x I.



Exemple :Soit u la fonction dfinie sur R par u(x) = x2 + 3. Pour tout rel x, on a bien u(x) 6= 0.Alors, la fonction note

1uest la fonction dfinie sur R par

1u

(x) =1

u(x)=

1x2 + 3

, pour tout

nombre rel x.

Proprit IV-6 : Soit u une fonction dfinie sur un intervalle I de R telle que, pour tout nombre rel x delintervalle I, u(x) > 0.

Les fonctions u et1

uont des sens de variation contraires sur lintervalle I.

Soit u une fonction dfinie sur un intervalle I de R telle que, pour tout nombre rel x delintervalle I, u(x) < 0.

Les fonctions u et1

uont des sens de variation contraires sur lintervalle I.

Dans cette proprit, il est impratif que la fonction u garde un signe constant sur lintervalle Isinon on ne peut pas conclure.

Dmonstration :Supposons, par exemple, que la fonction u soit dcroissante sur lintervalle I et telle que u(x) > 0,pour tout rel x de I.Soient x1 et x2 deux nombres rels dans lintervalle I tels que x1 6 x2.Comme u est dcroissante sur I, on a u(x1) > u(x2) > 0, puisque u est valeurs strictementpositives.

La fonction inverse tant dcroissante sur ]0;+[, on obtient 1u(x1)

61

u(x2), cest--dire

1u

(x1) 61u

(x2).

Ainsi, la fonction1uest croissante sur lintervalle I.

La dmonstration est similaire dans les trois autres cas (selon le sens de variation de u et le signede u(x)).

Dans chaque cas, la fonction1ua le sens de variation contraire celui de la fonction u sur linter-

valle I.

Remarque :Soient u et v deux fonctions dfinies sur un mme intervalle I.On dfinit sur lintervalle I la fonction somme de u et de v que lon note u + v par(u+ v)(x) = u(x) + v(x), pour tout x appartenant I.De mme, on dfinit sur lintervalle I la fonction produit de u et de v que lon note u v par(u v)(x) = u(x) v(x), pour tout x appartenant I.La somme de deux fonctions ayant le mme sens de variation sur un intervalle I est une fonctionpossdant le sens de variation commun ces deux fonctions sur lintervalle I.

Cependant, si les fonctions u et v nont pas le mme sens de variation sur lintervalle I, alors onne peut rien dire a priori sur le sens de variation de la fonction somme u+ v.En outre, il nexiste pas non plus de proprit gnrale donnant le sens de variation du produit dedeux fonctions partir du sens de variation de celles-ci.



V ExercicesExercice 1 : Comparer des nombres en utilisant les fonctions usuelles

Dans chacun des cas suivants, comparer les nombres donns sans les calculer mais en justifiant leraisonnement :1) (

7 4)2 et (7 3)2 ; 2) 1

pi 4 et1

pi 5 ; 3)17 2 et

17 3 ;

4) 111

2

et 0, 01 ; 5)pi + 2 et

5 ; 6) 3

5 et 2

11.

Exercice 2 : Rsolution graphique dinquations

laide de la courbe reprsentative de la fonction racine carre, rsoudre les inquations suivantes :1)

x < 3 ;

2) 3x+ 1 > 2.

Exercice 3 : Ensemble de dfinition

Soit f la fonction dfinie par f(x) =x2 + 5x+ 6.

1) Le nombre 52admet-il une image par la fonction f ? Justifier.

2) Dterminer lensemble de dfinition Df de la fonction f .

Exercice 4 : Utiliser le sens de variation de la fonction racine carre

Dmontrer que, pour tout nombre rel x appartenant [0;+[, on a : x2 + 1 > 2x.Exercice 5 : Productions dlves

Un professeur demander ses lves de rsoudre dans R linquation1x6 2.

Il a relev les trois copies ci-dessous.1) Corriger les erreurs commises par ces trois lves en annotant leurs copies ;2) Proposer une rsolution exacte de linquation propose.

Simon :1x

6 2 quivaut 1x

62xx

, c'est--dire

1 6 2x, d'o x >12. Donc lensemble de

solution est

12;+

.

Julie :

La fonction inverse est dcroissante,

donc

1x

6 2 quivaut x >12. Donc len-

semble de solution est

12;+

.

David :1x6 2 quivaut 2 1

x> 0,

c'est--dire

2x 1x

> 0.

x

x

2x 12x 1x

0 12

+

0 + 0 +

0 +

+ 0 0 +

Donc S =]; 0] 12;+

.


40 V. EXERCICES

Exercice 6 : Comparer deux nombres

On se propose de comparer les nombres A = 1,000 000 2 et B =1,000 000 4.

1) a) laide de la calculatrice, prciser la valeur affiche pour le nombre B.b) Vrifier quil existe un nombre rel strictement positif a tel que A = 1 +

a

2et B =

1 + a.

2) On dsigne par f et g les fonctions dfinies sur ]0;+[ par f(x) = 1 + x2et g(x) =

1 + x.

a) Pour tout nombre rel x appartenant ]0;+[, comparer (f(x))2 et (g(x))2.b) En dduire que, pour tout nombre rel x de ]0;+[, g(x) < f(x).

3) a) laide de la question prcdente, dterminer si les nombres A et B sont gaux. Sils ne lesont pas, dterminer lequel des deux est le plus grand.

b) Expliquer le rsultat donn par la calculatrice.c) Vrifier la conclusion avec le logiciel de calcul formel Xcas.

Exercice 7 : Sens de variation dune fonction

Soit f la fonction dfinie sur [0;+[ par f(x) = 3x x.Dmontrer que la fonction f est strictement dcroissante sur [0;+[.

Exercice 8 : Position relative de deux courbes

1) Justifier que, pour tout rel x strictement ngatif, on a1x< x2.

2) laide de la calculatrice, mettre une conjecture concernant la position relative de lhyperbole

dquation y =1xet de la parabole dquation y = x2, pour x strictement positif.

3) Dmontrer la conjecture prcdente, soit en utilisant les variations des fonctions carr et inverse,

soit en tudiant le signe de la diffrence x2 1x, pour x strictement positif.

Exercice 9 : nigme : Optimisation

Dans un repre orthonorm (O; I;J), on appelle C la courbe reprsentative de la fonction racine carre.On considre le point fixe A dfini par ses coordonnes A(2; 0).M dsigne un point variable situ sur la courbe C .

x

y

I

J

O

C

A

M

Dterminer la position du point M de la courbe C qui est le plus proche du point A. On donnera larponse en donnant les coordonnes du point solution.Remarque : Toute trace de recherche, mme incomplte, ou dinitiative, mme non fructueuse, sera priseen compte.

Exercice 10 : Comparer des nombres

Dans chacun des cas suivants, comparer les nombres donns sans les calculer mais en justifiant leraisonnement :1)

pi 3 ; pi 3 et (pi 3)2 ;

2)

pi

3;pi

3et

pi

3

2

.



Exercice 11 : Comparer des nombres

On considre le nombre A = 3 22.1) Calculer (

2 1)2. En dduire la valeur de A.

2) Calculer A2.3) Sans calculatrice, comparer les nombres rels

2 1 ; 3 22 et 17 122.

Exercice 12 : Valeur absolue

Dterminer les valeurs absolues des nombres suivants : 67 ; (1)2011 ; 103 ; 103.

Exercice 13 : Valeur absolue

laide des variations de la fonction valeur absolue, prciser quel intervalle appartient |x| lorsque :1) x [0; 5[ ; 2) x [3;1] ; 3) x [2; 7].

Exercice 14 : Rsolution d(in)quations - Valeur absolue

1) Rsoudre dans R les quations suivantes :a) |x| = 3 ; b) |x| = 1 ; c) |x| = pi.

2) Rsoudre graphiquement les inquations suivantes :a) |x| 6 4 ; b) |x| > 5 ; c) |x| < 1.

Exercice 15 : Sens de variation des fonctions associes

Aprs avoir prcis leurs ensembles de dfinition, dresser le tableau de variation des fonctions suivantesen justifiant :

1) f(x) = x2 +38; 2) g(x) = |x| 2 ; 3) h(x) = 3 +x ; 4) u(x) = 1 5x

x.


Aprs avoir prcis leurs ensembles de dfinition, dresser le tableau de variation des fonctions suivantesen justifiant :

1) f(x) = 3x2 ; 2) g(x) = pi|x| ; 3) h(x) =2 1x

; 4) u(x) =2x.

Exercice 17 : Reconnatre les courbes des fonctions associes

Ci-dessous, on a trac en bleu, dans un repre orthonorm (O;#

i ;#

j ), la courbe C dune fonction udfinie sur lintervalle [4; 4].On a galement trac les courbes reprsentatives des fonctions

32u, u+ 2 et 1

2u.

Associer les courbes C1, C2 et C3 aux trois fonctions prcdentes.

x

y

#

j#

iO

C

C1

C2

C3


42 V. EXERCICES


On donne ci-dessous le tableau de variation dune fonction u dfinie sur lintervalle [7; 4] :

x

u(x)

7 5 1 444

33

1212

00

En dduire le tableau de variation de la fonction f dfinie sur [7; 4] par f(x) =

u(x).

Exercice 19 : Dterminer les variations dune fonction

Soit f la fonction dfinie sur ]3;+[ par f(x) = 2x 3 + 4.

Dterminer le sens de variation de la fonction f sur ]3;+[ en utilisant le sens de variation des fonctionsassocies.

Exercice 20 : Dterminer les variations dune fonction

Dresser le tableau de variation de chacune des fonctions suivantes en justifiant la rponse :

1) f(x) =1x2

sur ]0;+[ ; 2) g(x) =

|x| sur R ;3) h(x) =

23 x sur ]3;+[ ; 4) u(x) =

x+ 2 sur ]; 2].


CHAPITRE 4

STATISTIQUESDESCRIPTIVES

Adrien-MarieLegendre 1

1752 - 1833

Le rle des statistiques descriptives est de prsenter une masse de donnes sous une forme lisible.Puis, si cela est possible, celle-ci est rsume laide de diffrents nombres caractristiques (appelsaussi paramtres) tels que la mdiane, la moyenne, et bien dautres . . .

Dans tout ce chapitre, les sries tudies sont des sries statistiques dont le caractre est quantitatif.Pour dfinir les notions tudies, on considre la srie statistique expose dans le tableau suivant :

Valeurs x1 x2 xpEffectif n1 n2 np

I Paramtres de position dune srie statistiqueLes paramtres de position (ou indicateurs de tendance centrale) dune srie statistique sont des

valeurs numriques qui rsument la srie en caractrisant lordre de grandeur des observations. Ilssexpriment dans la mme unit que ces dernires.

I.1 Moyenne

Dfinition I-1 :La moyenne dune srie statistique est le nombre, not x, dfini par :

x =n1x1 + n2x2 + + npxp

N

o N est leffectif total dfini par N = n1 + n2 + + np.

1. Adrien-Marie Legendre est un mathmaticien franais. Il est professeur de Mathmatiques lcole militaire deParis puis lcole normale suprieure. Il est galement membre de la Commission internationale qui fait adopter le systmemtrique. Parmi ses nombreux travaux, il expose, dans un trait sur les orbites des comtes, la mthode dajustement ditedes moindres carrs. Cette mthode, utilise dans le cadre des statistiques deux variables, permet dapprocher aumieux un nuage de points par une droite, en minimisant la somme des carrs des carts entre les points du nuage et ceuxde la droite. Ses travaux traitent galement de la mcanique, de la thorie des nombres,. . . Dans son livre lments degomtrie, il dmontre lirrationalit de pi2, ce qui tablit celle de pi par une dmonstration bien plus simple que celle deLambert. Cet ouvrage, publi en 1794, reste un ouvrage de rfrence pendant prs dun sicle. Il y reprend les lments,uvre majeure dEuclide, en leur donnant un nouvel ordonnancement et simplifie de nombreuses propositions. Ce livreaura un cho norme dans les pays anglophones, puisque sa traduction connaitra une trentaine dditions.


44 I. PARAMTRES DE POSITION DUNE SRIE STATISTIQUE

Remarque :Pour crire des sommes dont le nombre de termes est lev ou inconnu, on peut utiliser une notation

nouvelle. Ainsi, on crit : x =1N

pX

i=1

nixi avec N =pX

i=1

ni = n1 + n2 + + np.

Le symboleP

se lit sigma et lcriturepX

i=1

nixi se lit somme de i = 1 p de nixi .

Elle indique quil faut additionner tous les termes situs droite du signe sigma , de i = 1

jusqu i = p. Ainsi,pX

i=1

nixi est gale n1x1 + n2x2 + + npxp.

Ex

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Livre-Premiere S mathématiques 2012/2013