Logique_propositionnelle

7/30/2019 Logique_propositionnelle

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Logique propositionnelle

Tero Tulenheimo


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Table des matieres

1 Introduction 7

1.1 La logique en tant que partie de la philosophie . . . . . . . . . 7

1.2 Logique dans leducation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.3 Quelques mots sur lhistoire de la logique . . . . . . . . . . . . 9

1.4 La logique et la naissance de la philosophie dite analytique . 11

1.5 Des themes a discuter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.6 Exemples des raisonnements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2 Arguments : des exemples 15

2.1 Lusage de la langue vs. idees philosophiques . . . . . . . . . . 15

2.2 Argument, conclusion, premisse . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.3 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.4 Raisonnements et la verite factuelle . . . . . . . . . . . . . . . 27

3 Tables de verite et verifonctionnalite 29

3.1 En quoi consiste la validite dun argument ? Observations ge-

nerales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.2 Concepts de la logique propositionnelle . . . . . . . . . . . . . 31

3.3 Verifonctionnalite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.4 Les connecteurs et ses tables de verite . . . . . . . . . . . . . . 33

3.4.1 Conjonction | et . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3.4.2 Negation | non . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3.4.3 Disjonction | ou . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3.4.4 Implication materielle | si...alors . . . . . . . . . . . . . 36

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4 Syntaxe : expressions bien formees 39

4.1 Syntaxe de la logique propositionnelle . . . . . . . . . . . . . . 404.2 Exemples des formules et des non-formules . . . . . . . . . . . 41

4.3 Arbre syntaxique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

4.4 La forme dune formule, connecteur principal . . . . . . . . . . 44

4.5 Sous-formule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

4.6 Une note sur la regle (iv) de la syntaxe . . . . . . . . . . . . . 45

4.7 Representation logique des enonces de la langue naturelle . . . 47

5 Semantique 515.1 Situations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

5.2 Signification dune formule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

5.3 Verite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

5.4 Consequence logique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

5.5 Equivalence logique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

5.6 Tautologies, contradictions, formules contingentes . . . . . . . 63

6 Methodes de decision 656.1 Le probleme de tautologicite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

6.2 Le probleme de contradiction . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

6.3 Le probleme de contingence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

6.4 Le probleme de consequence logique . . . . . . . . . . . . . . . 70

6.5 Le probleme de validite dun argument . . . . . . . . . . . . . 71

7 Questions dexpressivite 77

7.1 Questions dinterdefinissabilite . . . . . . . . . . . . . . . . . . 787.2 Conditions de verite : la definition . . . . . . . . . . . . . . . . 79

7.3 Significations des formules, conditions de verite . . . . . . . . 81

7.4 La question de la completude de lexpressivite . . . . . . . . . 82

8 Deduction naturelle 87

8.1 Les deux faces de la deduction naturelle . . . . . . . . . . . . 88

8.2 Regles dintroduction et regles delimination . . . . . . . . . . 89


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8.3 Le concept de derivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

8.4 La notation pour des inferences . . . . . . . . . . . . . . . . . 938.5 Les regles pour . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

8.6 Les regles pour . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

8.7 Les regles pour . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

8.8 Negation dans la deduction naturelle . . . . . . . . . . . . . . 101

8.9 Les regles classiques pour . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102


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Chapitre 1

Introduction

1.1 La logique en tant que partie de la philo-

sophie

La philosphie est une discipline non empirique.

C-a-d, les questions philosophiques ne sont pas repondus en decouvrant

des faits concernant le monde.

Dans presque tous les autres disiplines universitaires, cest precisement

le cas factuel ou comment-sont-les-choses actuellement que nous

interesse et qui sert de point de depart et de critere cruciale de la

reussite de nos theories. (Les mathematiques en fournit une autre ex-

ception.)

Par ex., psychologie, histoire, sociologie, physique, chimie etc. sont des

disciplines empiriques. Leur resultats sont sensitives aux conditions

contingentes.

Dans ces cas, on peut faire des experiences, ou observer la realite (di-

rectement ou indirectement), en esperant dapprendre, dexpliquer et

de clarifier des faits et des evenements contingents.

La philosophie peut discuter des questions tres specifiques, mais la cri-

tere de la reussite des recherches philosophiques est de caractere concep-

tuelle, non pas factuelle.

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Examples des questions empiriques : Qui est le president de la Fin-

lande ? Quelles regularites determinent le mouvement dun corps enchute libre ? Quels facteurs ont mene au declin de lEmpire romain ?

Non empiriques : En quoi consiste la connaissance ? Est-ce que les

affirmations metaphysiques sont depourvues de sens ?

En labsence des donnees empiriques, quest-ce qui reste pour la philo-

sophie ?

Argumentation

Raisonnements

Inferences

Analyse conceptuelle

Formation des concepts et des definitions

La logique etudie toutes ces activites de facon generale et systematique.

On pose des questions sur ces moyens (argumentation etc.) ce qui

mene a letude de la langue de facon generale.

Une reflexion sur le langage que nous utilisons pour philosopher.

Dans la philosophie du langage et dans la philosophie de la logique,

on discute des phenomenes telles que la signification et les relations

semantiques ainsi que les concepts tels que la verite et la verification.

1.2 Logique dans leducation

Dans lhistoire de leducation, au Moyen Age, le programme introductif

aux universites connu sous le nom de trivium (ou artes triviales) secomposait de la grammaire, la rhetorique et la logique (aussi nommee

la dialectique) :

la grammaire : letude non seulement de lemploi correct de la langue,

mais aussi letude de lusage expressive de la langue (ex. par des

poetes, des historiens).

la rhetorique : lart de la persuasion ; concernee avec les techniques

a la disposition de celui qui parle pour convaincre linterlocuteur en


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ce qui concerne la verite ou la justesse de ce quil dit.

la logique : concernee avec largumentation et les preuves (les de-monstrations). Lemploi de la langue pour produire de la certitude ;

la construction dune conclusion vraie a partir des premisses (hypo-

theses) vraies.

A lheure actuelle, la logique est une partie des etudes en philosophie

standard et bien etablie, notamment grace au developpement liant la

logique et la philosophie au cours de la premiere moitie de XXe siecle.

1.3 Quelques mots sur lhistoire de la logique

Aristote (384 322 av. J.-C.)

Organon (outil, instrument), ses traites sur la logique et les formes

de largumentation :

Categoriae (Categories),

De interpretatione (De linterpretation),

Analytica priora (Premiers Analytiques),

Analytica posteriora (Seconds Analytiques),

Topica (Les Topiques),

De sophisticis elenchis (Les Refutations Sophistiques).

Notamment une theorie des syllogismes, c-a-d letude des relations

entre enonces de formes Tout S est P, Quelque S est P, Aucun

S nest P, Quelque S nest pas P, specifiquement des inferences

logiques portant sur des enonces de ces types.

Lecole megarique (notamment pendant le IVe

siecle av. J.-C.) et lesstoques (notamment pendant le IIIe siecle av. J.-C.).

Chrysippe (c. 280 c. 206 av. J.-C.), stoque

Enonces des formes non pas consideres dans la theorie logique

dAristote : ex. si p alors q, p ou q.

Le Moyen Age :

Pierre Abelard (1079 1142) :

Notamment il fait la distinction entre la force / et le contenu des


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enonces (comme on peut lexprimer en termes courants).

Le meme contenu proposionnel peut etre exprime avec une forcedifferente dans des contextes differents.

Le contenu que Socrate est dans la maison est exprime dans las-

sertion Socrate est dans la maison ; dans linterrogation Est-ce

que Socrate est dans la maison ? ; et dans le vu que Socrate soit

dans la maison !.

En termes de la distinction, il devient possible de clarifier par ex.

des enonces conditionnels : quand on affirme (force assertive) un

enonce conditionnel, ses composantes (lantecedent, le consequent)

ne sont pas, par cela, affirmees.

Ex. les composantes Socrate est dans la cuisine et Socrate est

dans la maison de lenonce conditionnel Si Socrate est dans la

cuisine, alors Socrate est dans la maison naffirment ni que Socrate

est dans la cuisine, ni quil est dans la maison meme si ces

memes formes des expressions peuvent etre employees, dans des

autres contextes, pour exprimer des affirmations.

Le XIVe siecle : notamment Guillaume dOckham (c. 1287 1347),

Jean Buridan (avant 1300 apres 1358 mais avant 1361).

Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 1716) : lidee dun langage artifi-

ciel capable de sert dune ideographie generale pour representer des

concepts (characteristica universalis) avec un calcul associe (calculus

ratiocinator). Cet dernier mecaniserait les inferences logiques ; les dis-

putes scientifiques pourraient etre resolues en termes des calculations.

Fin du XIXe siecle, debut de XX siecle :

Ecole algebrique de la logique : George Boole, Charles Sanders Peirce,

Ernst Schroder, John Venn.

Logicisme : Gottlob Frege, Bertrand Russell, Ludwig Wittgenstein

(premiere periode).

Ecole mathematique (ou axiomatique) de la logique : Richard Dede-

kind, Giuseppe Peano, David Hilbert, Arend Heyting, Ernst Zermelo.

XX siecle :


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Approche metatheorique : en particulier Kurt Godel (1906 1978),

Alfred Tarski (1901 1983). Questions de calculabilite : Godel, Emil Post, Alonzo Church, Ste-

phen Kleene, Alan Turing, Andre Markov.

1.4 La logique et la naissance de la philoso-

phie dite analytique

Reflexion sur la langue utilisee en philosophie.

Example (Russell, 1872 1970, On denoting 1905) :

Le roi actuel de la France est chauve.

Enoncer cette phrase, est-ce que cela nous engage a admettre que lex-

pression le roi de France designe / a un referent ? (Cf. lenonce Louis

est chauve.)

Ou enoncer la phrase

La montagne dor nexiste pas,

est-ce que cela signifie nier lexistence dun objet, a savoir lobjet designe

par lexpression la montaigne dor ? Mais sil y a un tel objet, cet

objet existe, non ? Ou est-ce quil faut admettre quil y a des objets

non existants? Cette conclusion aurait des repercussions ontologiques

remarquables. (Alexius Meinong, 1853 1920, un philosophe autrichien,

est en effet connu davoir defendu une telle idee.)

Comment eviter une telle conclusion ? Il faut regarder de pres les signi-

fications de ces phrases dessayer a les analyser logiquement.

Ainsi Russell propose que les phrases nont pas en realite la forme

sujetpredicat comme par ex.

Louis est chauve,

ou la forme dune phrase niant lexistence dun objet, comme

Louis nexiste pas,

mais ils doivent etre analyses de facon contextuelle suivante :

Il existe exactement une personne telle que cette personne


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est un roi actuel de la France, et cette personne est chauve,

et

Il existe exactement un objet tel que cet objet est une mon-

tagne dor, et cet objet nexiste pas,

respectivement.

Ainsi Russell propose que les descriptions definies telles que le roi

actuel de la France et la montagne dor ne designent aucun objet

en soi ; en revanche, ces expressions sont significatifs (possedent un

sens) seulement dans un contexte dune phrase entiere qui explicitement

affirme lexistence dun unique objet qui satisfait la description.

Les considerations qui semblaient, a premiere vue, nous forcer a accep-

ter des objets non existants nont pas cette effet ; on peut argumenter

que lanalyse de notre langue revele que les descriptions definies ne

comportent pas comme noms propres ou comme autres expressions de-

signant un objet.

Lanalyse logique nous a sauve dune conclusion ontologique peu croyable

(selon laquelle il y a des objets qui nexistent pas).

La morale : la forme grammaticale des items de notre langue peut

creer des illusions qui peuvent etre evitees quand on fait attention a la

structure logique de nos enonces.

Ludwig Wittgenstein, 1889 1951, Tractatus logico-philosophicus, 1921 :

Toute philosophie est critique du langage (4.0031).

Le but de la philosophie est la clarification logique des pensees. La

philosophie nest pas une theorie mais une activite. Une uvre phi-

losophique se compose essentiellement declaircissements. Le resultatde la philosophie nest pas de produire des propositions philoso-

phiques , mais de rendre claires les propositions (4.112).

Lanalyse logique des positions philosophiques peut demontrer que telle

et telle position nest pas simplement fausse ou non defendable mais

depourvu de sens.

Cette idee est basee sur une theorie specifique de signification baseee

sur le concept de verification. On critique notamment la metaphysique


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traditionnelle. Limites de la langue ; essayer de depasser ces limites est

une source des enonces depourvus de sens. Une autre source sont lesenonces qui ne peuvent pas etre verifies meme en principe (la premiere

source est un cas special de cette seconde source) ; et une troisieme sont

les enonces grammaticalement non bien formes.

1.5 Des themes a discuter

Le cours traite de la logique dite propositionnelle

Le concept de proposition ou le contenu dun enonce ; ce dont on peut

dire quil est vrai ou faux (la verite et la faussete peuvent etre attribues

aux propositions).

Connecteur propositionnels employes pour produire des nouveaux enon-

ces a partir des enonces deja disponibles : (par ex.) et, ou, non,

si ...alors.

On discute des concepts tels que raisonnement valide, raisonnement

non valide, verite, signification.

1.6 Exemples des raisonnements

Exemple 1. Platon : Euthydeme.

Euthydeme : Dis-moi, as-tu un chien ?

Ctesippe : Oui, repondit Ctesippe, et fort mechant.

Euthydeme : A-t-il des petits ?

Ctesippe : Oui, et qui sont aussi mechants que lui. Euthydeme : Nest-ce pas le chien qui est leur pere ?

Ctesippe : Oui, je lai vu de mes propres yeux, lorsquil couvrit la

chienne.

Euthydeme : Ce chien nest-il pas a toi ?

Ctesippe : Oui.

Euthydeme : Le chien est pere, et a toi, il est donc ton pere : ainsi te

voila frere de ses petits.


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Soit Medor le chien en question. Donc :

(1) Medor est un chien.

(2) Medor est un pere.

(3) Medor est a Ctesippe

(autrement dit : Ctesippe possede Medor).

Pris ensemble (1) et (3) impliquent :

(4) Medor est un chien de Ctesippe

(autrement dit : Medor est un chien possede par Ctesippe).

Ce qui Euthydeme propose est que par analogie, (2) et (3) impliquent

(5) Medor est un pere de Ctesippe

(ou, afin de respecter la grammaire, le pere).

Tandis que (2) et (3), pris ensemble, en effet impliquent

(6) Medor est un pere possede par Ctesippe,

cet enonce ne peut pas etre paraphrase par Medor est un pere de Ctesippe

bien que Medor est un chien de Ctesippe est paraphrase par Medor est

un chien possede par Ctesippe.Largument fallacieux dEuthydeme est base sur une ambigute du genitif :

ton chien = un chien possede par toi; ton pere = un pere possede par toi.

Exemple 2. Paradoxe sorite (formule par les philosophes grecs de lecole

megarique).

Est-ce quun grain isole constitue un tas ?

Non.

Est-ce que deux grains, pris ensemble, constituent un tas. Non.

Generalement, est-ce que lajout dun grain a un non-tas peut constituer

un tas ?

Non.

Tot ou tard il faut admettre quon a accumule un tas. Comment etablir

une ligne de demarcation ?


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Chapitre 2

Arguments : des exemples

2.1 Lusage de la langue vs. idees philoso-

phiques

On avait discute des consequences ontologiques apparentes de lusage

des descriptions definies. Prenons un autre exemple des idees philoso-

phiques suggerees dune certaine maniere demployer la langue. De lautre cote du miroir, chapitre VII par Lewis Carroll.

Il y en a exactement quatre mille deux sent sept, declara le Roi en se

reportant a son carnet. Je nai pas pu envoyer tous les chevaux, parce

quil men faut deux pour la partie dechecs. Et je nai pas non plus

envoye les deux Messagers qui sont partis a la ville. Regarde donc sur

la route si lun ou lautre ne revient pas. Eh bien, que vois-tu?

Personne, repondit Alice.

Moi, je voudrais bien avoir des yeux comme les tiens, dit le Roidune voix chagrine. Etre capable de voir Personne ! Et a une si grande

distance, par-dessus la marche ! Tout ce que je peux faire, moi, cest de

voir les gens qui existent reellement.

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Quest-ce que la metaphysique [Was ist Metaphysik ?], Heidegger :

Cest le neant lui-meme qui neantit / Das Nichts selbst nichtet

Au moins du point de vue superficiel, on a reifie ici labsence de

lexistence.

Quest-ce quil y a dans le frigo ? > Le repas que jai prepare hier.

Quest-ce quil y a dans le frigo ? > Rien. > Le rien est dans le frigo.

Il y a quelque chose > Il nest pas le cas que rien nexiste. > Le rien

nexiste pas.

Compris comme une partie dun discours descriptif, lusage de le

rien est certainement depourvu du sens. Dautre part, on peut

argumenter quil y a des autres manieres demployer la langue, et

que notamment quand on essaye dexprimer ce qui nest pas expri-

mable dans un simple discours despriptive on est peut etre justifie

a employer les mots de facon litteralement depourvu du sens. Cf.

la distinction dire / montrer de Wittgenstein (Tractatus) ;

le dernier represente une maniere dessayer dexprimer ce qui neststricto sensu pas exprimable du aux limitations fondamentales du

langage ; cela mene a lusage des expressions de facon metaphorique

ou non litterale.

2.2 Argument, conclusion, premisse

Cest un des buts principaux de la logique detudier des raisonnements,notamment de largumentation.

Essayons de comprendre quels sont les facteurs qui rendent un argument

valide ou non valide. En quoi consiste la validite ou non validite dun

argumentation ? On va approcher cette question en considerant des

exemples.

Mais dabord, voila des concepts basiques lies aux arguments. On va

comprendre mieux leur contenu specifique plus tard, mais il est utile de


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les mentionner deja.

Argument : Une suite denonces (ou de phrases). Premisses : Les enonces qui expriment toute information pertinente

disponible des le debut sont appeles premisses de largument. Ils

sont des hypotheses qui peuvent etre librement employes dans largu-

ment. Ces hypotheses peuvent etre factuellement vraies ou fausses ;

il ny a pas de telle restriction que les hypotheses dun argument

doivent etre vraies. Effectivement, meme un argument valide peut

tres bien avoir des premisses fausses.

Conclusion : Lenonce quon a voulu atteindre par largument. Si

un argument est concu comme une suite P , Q , . . . , C des enonces, la

conclusion est le dernier enonce C de cette suite.

En plus de sa conclusion et ses premisses, il y a en general des autres

enonces dans un argument. Typiquement ces enonces sont introduits

sur la base des premisses et les resultats des inferences anterieures.

Dans des arguments non valides on peut bien sur avoir nimporte

quels enonces aussi des enonces qui nont rien a voir avec les

premisses. Par ex. : premisse : Socrate est un philosophe; donc : il

pleut.

Valide : Un argument est valide si la verite des premisses guarantit

la verite de la conclusion. C-a-d, si dans toutes les situations ou

les premisses sont vraies (factuelles ou non), la conclusion est vraie

aussi. Dans un argument valide, la conclusion herite la verite

des premisses le raisonnement preserve la verite : si par hasard

les premisses sont vraies, la validite de largument guarantit que laconclusion est vraie aussi.

Consequence logique : Si C est la conclusion dun argument valide

dont les premisses sont P , Q , . . ., on dit que C est une consequence

logique de lensemble des premisses P , Q , . . ..

Non valide : Un argument est non valide sil nest pas valide, c-a-d si

la verite des premisses ne guarantit pas la verite de la conclusion. Cela


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veut dire quil y a des situations ou la conclusion est fausse malgre

le fait que les premisses sont vraies. On peut dire que ce sont dessituations qui refutent la validite de largument (ou demontrent

sa non-validite).

2.3 Exemples

Exemple 1

1. Jean travaille ou Marie travaille.

2. Marie ne travaille pas.

3. Donc : Jean travaille.

Comparez largument dExemple 1 avec :

Exemple 2

1. Jean est un philosophe ou Marie est un philosophe.

2. Marie nest pas un philosophe.3. Donc : Jean est un philosophe.

Comparez les arguments des Exemples 1 et 2 avec :

Exemple 3

1. Nietzsche est un philosophe ou Chirac est un philosophe.

2. Chirac nest pas un philosophe.

3. Donc : Nietzsche est un philosophe.

On note que les arguments de tous les exemples 1, 2 et 3 sont valides. No-

tez bien quil est absolument non pertinent quelles personnes sont designees

par les noms Jean et Marie , et quelles proprietes ou activites sont

attribuees a ces personnes. En ce qui concerne largument dExemple 3

comme il est bien specifie qui sont les referents des noms Nietzsche et

Chirac on peut notez que ses premisses sont vraies. Sa conclusion est


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egalement vraie (comme il faut etant donne que largument est valide est les

premisses sont vraies). Maintenant, comparez les arguments des Exemples 1,2 et 3 avec largument suivant :

Exemple 4

1. Chirac est un philosophe ou Nietzsche est un philosophe.

2. Nietzsche nest pas un philosophe.

3. Donc : Chirac est un philosophe.

On avait observe que les identites des personnes mentionnes dans les

arguments des Exemples 1,2,3 ne sont pas pertinentes pour la validite de

ces arguments. Donc on peut en particulier remplacer, dans largument de

lExemple 2, Jean par nimporte quel nom propre et Marie par nim-

porte quel nom propre tout en preservant la validite. Ainsi, il sensuit que

largument ci-dessus est valide (parce quon lobtient en remplacant dans cet

argument-ci Jean par Chirac et Marie par Nietzsche ). En effet

cet argument est valide, tandis quune de ses premisses est fausse (a savoir

la premisse 2). Mais ce qui conte pour la validite dun argument est que dans

toutes les circonstances ou les premisses sont vraies, aussi la conclusion

est vraie. Cela nexige pas que les premisses soient factuellement vraies ! Dans

cet exemple particulier non seulement une des premisses est fausse, mais ega-

lement la conclusion est fausse. Dautre part, on peut tres bien avoir un

argument dont la conclusion est vraie mais pas tous les premisses sont vraies.

Voila en est un exemple :

Exemple 5

1. Schopenhauer est un philosophe ou Nietzsche est un philosophe.

2. Nietzsche nest pas un philosophe.

3. Donc : Schopenhauer est un philosophe.

Largument ici est valide est la conclusion est vraie. Dautre part, cela

nest pas un bon argument pour cette conclusion, precisement parce que la


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premisse 2 ne tient pas. Un argument nous engage a accepter la conclusion

seulement de facon relative : etant donne quon accepte les premisses. Ici onnest pas oblige daccepter la premisse 2, notamment parce quil est fausse.

Les Exemples 4 et 5 illustrent que la verite des premisses nest pas une

condition necessaire pour la validite dun argument. LExemple 5 illustre

que dailleurs la verite de la conclusion ne lest pas. (Ce qui est impossible,

dautre part, est que les premisses dun argument valide seraient vraies et au

meme temps sa conclusion serait fausse.)

Continuons avec les modifications des arguments. Jusquici toutes les

changements quon a effectue ont resulte en un argument valide. Rempla-

cons maintenant ou dans largument valide


2. Jean ne travaille pas.

3. Donc : Marie travaille.

par si :

Exemple 6

1. Jean travaille si Marie travaille.

2. Jean ne travaille pas.

3. Donc : Marie travaille.

Cet argument nest pas valide. Pourquoi ? Il suffit de demontrer quil existe

une situation ou les deux premisses sont vraies mais la conclusion est fausse.

Pensons a nimporte quelle situation dans laquelle les premisses sont vraies. Si

dans cette situation Marie travaillait, par premisse 1 aussi Jean travaillierait.Mais cela est impossible par premisse 2. Il sensuit que Marie ne travaille pas

dans cette situation, et on a etabli que largument est non valide. (En effet

dans cet cas il nest pas seulement quon a une situation ou les premisses

sont vraies et la conclusion fausse ce qui est suffisant pour la non validite

de largument mais cest une consequence logique des premisses que Marie

ne travaille pas : dans toutes les situations dans lesquelles les premisses sont

vraies, on a que Marie ne travaille pas.)


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LExemple 6 illustre quil y a des expressions qui ne peuvent pas etre

remplacees par des autres expressions tout en preservant la validite de lar-gument (c-a-d, sans que le resultat de remplacement ne puisse pas etre un

argument non valide meme si le point de depart etait un argument valide).

Les expressions logiques sont de telles expressions. Ce sont precisement

les expressions logiques telles que ou et si dans notre exemples

jusquici qui sont responsables du statut dun argument comme valide ou

non.

Les exemples 4 et 5 ont illustre que la verite des premisses nest pas

necessaire pour la validite dun argument. On peut noter que egalement la

verite des premisses nest pas suffisante pour la validite dun argument,

comme temoignent les deux arguments suivants :

Exemple 7

1. Nietzsche est un philosophe ou Chirac est un philosophe.

2. Donc : Chirac est un philosophe.

Exemple 8

1. Schopenhauer est un philosophe ou Nietzsche est un philosophe.

2. Schopenhauer est un philosophe.

3. Donc : Nietzsche nest pas un philosophe.

On a donc vu que la seule chose quoi conte pour la validite dun argument

est sa structureou sa formeen termes dexpressions logiques. En revanche, les

expressions telles que noms propres, substantifs, verbes et adjectifs peuventetre remplacees par des autres expressions de type appropriee sans que cela

change le statut de largument comme valide ou non valide. Les cinq premiers

exemples tous ont la meme forme, c-a-d ils partagent la forme

1. A ou B

2. non B

3. Donc : A.


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Tous les argument de cette forme sont valides. On peut dire que cette forme

exprime un schema dargumentation, c-a-d une representation schematiquedun argument. Largument de lExemple 6 est represente par le schema non

valide

1. A si B

2. non A

3. Donc : B.

Les schemas non valides exprimant les formes des arguments de lExemple 7

et de lExemple 8 sont, respectivement :

1. A ou B

2. Donc : B

et

1. A ou B

2. A

3. Donc : non B

Prenons encore des exemples supplementaires des arguments valides et

non valides. On commence avec des arguments valides :

Exemple 9


2. Si Marie a gagne au loto, alors Marie ne travaille pas.

3. Marie a gagne au loto.

4. Donc : Jean travaille.

Ici on peut egalement remplacer travaille par est un philosophe et

a gagne au loto par a 7 ans, par exemple. Schematiquement :

1. A ou B

2. si C, alors non B

3. C


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4. Donc : A.

Exemple 10

1. Si Marie a gagne au loto, alors Marie ne travaille pas.

2. Marie travaille.

3. Donc : Marie na pas gagne au loto.

Aussi ici on peut egalement remplacer travaille par est un philosophe

et a gagne au loto par a 7 ans. Schematiquement :

1. si A, alors non B

2. B

3. Donc : non A.

Exemple 11

1. Tous les hommes sont mortels.

2. Socrate est un homme.

3. Donc : Socrate est mortel.

On peut remplacer mortel par philosophe [des philosophes/un philo-

sophe] et Socrate par Chirac, tout en gardant la validite de linference

(meme si la conclusion devient fausse dans le seconde argument, ayant ete

vraie dans le premier argument). Exprime de facon schematique :1

1. tout A est B

2. s est un A

3. Donc : s est un B.

1On note les predicates A , B , . . . et des noms des individus a , b , . . . ; les lettres choises

sont bien sur completement conventionnels (on aurait tres bien pu chosir autrement).

La seule chose importante est de faire une distinction meme notationnelle entre les deux

categories celle des predictats (correlats linguistiques des attributs des individus) et

celle des noms des individus (correlats linguistiques des individus).


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Exemple 12

1. Tous ceux qui pensent, existent.

2. Je pense.

3. Donc : Jexiste.

Un autre exemple du raisonnement avec la meme forme :

1. Tous ceux qui se brossent les dents, existent.

2. Je me brosse les dents.

3. Donc : Jexiste.

Exemple 13

1. Jean est un scientifique.

2. Jean a ecrit une these de doctorat de 20 pages.

3. Une these de doctorat de 20 pages nest pas longue.

4. Donc : Pas tous les scientifiques ont ecrit une these longue.

On peut remplacer

Jean

par

Marie

,

scientifique

par

riche

. Laforme de cet argument est celle-ci :

1. j est un A

2. j a effectue une action dont le resultat est un B de type C

3. Aucun B de type C est un D

4. Donc : il nest pas le case que tout A a effectue une action dont le

resultat est un B qui est un D

Revenons pour un moment au sophisme de Euthydeme, discute pendant

la premiere seance.

Exemple 14 Le raisonnement suivant est valide :

1. Medor est un chien.

2. Medor est possede par Ctesippe.

3. Donc : Medor est un chien possede par Ctesippe.


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Schematiquement :

1. m est un A

2. m est relie a n selon la relation R

3. Donc : m est un A qui est relie a n selon la relation R

On peut alors en particulier remplacer chien par pere et avoir un

raisonnement qui est toujours valide :

1. Medor est un pere.


3. Donc : Medor est un pere possede par Ctesippe.

Dans lExemple 13, Medor est un chien possede par Ctesippe exprime

la meme chose que Medor est un chien de Ctesippe ; ici etre chien de

peut etre analyse en termes de possession. Par contre, comme on a vu en

discutant le sophisme, etre pere de ne peut pas etre analyse en termes

de possession : si a est le pere de b, cela ne veut pas dire que b possede

a en quelque sens. Tandis que dans lexemple 13 on pourrait remplacer la

conclusion particuliere Medor est un chien possede par Ctesippe par

Medor est un chien de Ctesippe , tout en ayant une raisonnement valide :

1. Medor est un chien.


3. Donc : Medor est un chien de Ctesippe,

il ne serait pas correct de dire, sans qualifications, que la forme de cet rai-

sonnement est comme suit :

1. m est un A.

2. m est possede par n

3. Donc : m est un A de n

Comme on a vu, la transition de possession a lemploi du genitif est justufie

seulement dans certains cas, pas generalement.

Exemple 15 Voila alors un raisonnement qui nest pas valide :


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1. Medor est un pere.


3. Donc : Medor est pere de Ctesippe.

Dautre part, si on modifie les premisses, on peut obtenir un raisonnement qui

en effet sera valide (bien sur au moins une de ces premisses doit etre fausse,

etant donne quil est bien impossible que Medor soit le pere de Ctesippe). Par

exemple :

1. Medor a des petits.

2. Tous les petits-enfants du pere de Medor sont des loups-garous.

3. Ctesippe est lunique loup-garou qui a jamais existe.

4. Donc : Medor est pere de Ctesippe.

Le raisonnement est valide : Par 1 et 2 les petits de Medor sont des loups-

garous. Comme par 3 il y a un seul loup-garou, a savoir Ctesippe, il sensuit

que Medor a un seul petit, Ctesippe, et ainsi Medor est pere de Ctesippe. (Si

Ctesippe netait pas un petit de Medor, mais cependant tous les petits de cet

dernier sont des loups-garous et Medor a des petits il y aurait au moins

deux loups-garous, ce qui est impossible par 3.)

Exemple 16 Voila une raisonnement non valide :

1. Pour tout evenement E il existe une cause dont E est leffet.

2. Donc : Il existe une cause dont tous les evenements sont des effets.

Le raisonnement nest pas valide. La premisse est realisee par exemple par la

situation suivante : si e1 et e2 sont des evenements differents, alors la cause

de e1 et la cause de e2 sont egalement differentes. Ainsi il ny a pas dunique

cause pour tous les evenements, et la conclusion nest pas realisee.

Exemple 17 Est-ce que la validite de largument de lExemple 11, c-a-d

1. Tous les hommes sont mortels

2. Socrate est un homme


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3. Donc : Socrate est mortel,

implique que largument

1. Tous les hommes sont mortels.

2. Le roi actuel de la France est un homme.

3. Donc : Le roi actuel de la France est mortel.

est valide ? Non ou au moins cela nest pas automatique. La reponse est re-

lative a notre point de vue sur les descriptions definies. Generalement, quand

on dit quun argument valide permet a remplacer une expression non logiquepar une autre expression non logique sans changer le statut de largument

comme valide, il y a une restriction importante : les expressions remplacantes

doivent etre de meme type que les expressions remplacees. Ici Socrate

peut etre remplace par Aristote oy par Nietzsche par exemple, mais

si on naccepte pas que les descriptions definies designent des individus (no-

tamment si on accepte lanalyse contextuelle de Russel l), on nest pas justifie

a remplacer Socrate par le roi actuel de la France ou generalement

par une description definie, par exemple le president actuel de la France.

(Il nest pas pertinent que le president actuel de la France existe, tandis que

le roi actuelle de la France nexiste pas ; le president actuel de la France et

le roi actuel de la France sont tous les deux des descriptions definies, et

en tant que telles lusage de ces deux expressions doit etre analysee de facon

uniforme.)

2.4 Raisonnements et la verite factuelle

On a vu ci-dessus que les questions factuelles telles que la verite ou la

faussete des premisses (ou de la conclusion) ne fournissent pas de critere de

la validite dun argument. Tout ce qui conte est que si toutes les premisses

sont vraies, alors la conclusion est vraie aussi.

Un argument valide preserve la verite eventuelle des premisses guaran-

tit la verite de la conclusion au cas ou les premisses sont vraies. La validite


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dun argument permet ainsi les cas suivants en ce qui concerne la verite

factuelle : toutes les premisses vraies, la conclusion vraie

un ou plusieurs premisses fausses, la conclusion vraie

un ou plusieurs premisses fausses, la conclusion fausse.

Notez bien que les deux dernieres cas sont trivialement compatibles avec

la validite dun argument. Pour les situations dans lesquelles les premisses

dun argument sont fausses, la verite ou la faussete de la conclusion ne fait

absolument pas de difference. Cest parce que par definition la validite im-

pose une condition seulement sur les situations ou toutes les premisses sont

vraies ! Pour le reste (les situations ou au moins une des premisses est fausse)

absolument rien est exige.

Quest-ce qui se passe avec les arguments dont les premisses sont contra-

dictoires(c-a-d il ny a pas de situation qui pourrait rendre vraies toutes ces

premisses) ? Ce qui se passe est quon peut choisir nimporte quel enonce C,

et cet enonce C sera une consequence logique de ces premisses. On peut

correctement tirer literalement nimporte quelle consequence de ces pre-

misses. Largument dont les premisses sont contradictoires, peu importe avec

quelle conclusion, sera valide. La raison est que la validite dun argument

impose une condition seulement sur les situations qui rendent toutes les pre-

misses vraie ; mais si les premisses sont contradictoires, il ny a pas de telles

situations ! Cet fait est la base logique des allegations quon adresse parfois

a certains textes (souvent des textes qui doivent etre interpretes) en disant

quils offrent une justification de quasiment nimporte quelle conclusion.


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Chapitre 3

Tables de verite et

verifonctionnalite

3.1 En quoi consiste la validite dun argu-

ment ? Observations generales

Par definition les expressions dont la significance est pertinante pour

la validite des arguments sont des expression logiques.

Les expressions logiques nont pas de reference. Exemples : ou , et,

non , tout , quelque , aucun . Elles different alors des ex-

pressions comme Socrate , Pegase (qui designent ou pretendent

designer des individus) et egalement des expressions comme philo-

sophe , fatigue et travailler (qui referent aux proprietes, ou

plutot aux ensembles des individus ayant ces proprietes). Un point de vue possible sur la signification dune expression logique

est quelle est determinee par le role de cette expression dans des argu-

ments (et non seulement manifestee dans les arguments) : selon cette

idee cest linteraction des differentes expressions logiques dans des ar-

guments que fixe les significations des expressions logiques. Dans cet

cas on dit que ce sont des expressions syncategorematiques : elles ne

possedent pas de signification isolement.

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On peut suggerer que le seul role des expressions logiques consiste a

rendre certaines formes des arguments valides et dautres non valides. En tout cas on peut dire quun aspect important des expressions lo-

giques consiste en contribuer a specifier quels arguments dont elles font

partie sont valides et quels non valides. Par ex., cest grace a la signi-

fication de et que connatre A et B permet a conclure disons

que A .

Un autre point de vue : la signification dune expression logique est

determinee par les conditions de verite associees. Nous rappelons que

la totalite des situations dans lesquelles un enonce est vrai constitue

les conditions de verite de lenonce. La signification dune expression

logique E est determinee par la contribution de cette expression en

determinant les conditions de verite des enonces de la forme E. (En

relation avec des semantiques dites compositionnelles , cette contri-

bution peut etre exprimee comme la dependance de lattribut seman-

tique dun enonce de la forme E envers les attributs semantiques de ses

composantes.)

Comment emergent les significations des expressions logiques alors ?

Deux points de vue :

Au travers des relations inferentielles entre des objets (enonces) lin-

guistiques ; point de vue intrinseque a la langue :

langue >

monde

Au travers des relations generales mais descriptives (contributions aux

conditions de verite) ; point de vue expliquant la facon generale dont les

expressions logiques servent a exprimer des affirmations sur le monde :

langue......

monde

Le second point de vue permet a expliciter les relations inferentielles


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en termes de concept de la verite ; dans le premier point de vue le lien

entre la langue et le monde peut se constituer via les interpretationsdes expressions non logiques.

3.2 Concepts de la logique propositionnelle

Les connecteurs de la logique propositionnelle sont des expressions

logiques des expressions dont la significations est cruciale pour la

question de la validite des arguments. Syntaxiquement ils sont des ex-

pressions qui peuvent etre utilisees pour lier des enonces (indicatifs)

deja disponibles, ou plus generalement pour produire des nouveaux

enonces (indicatifs) a partir des enonces (indicatifs) donnes.

On appelle le contenu dun enonce indicatif une proposition ; ce qui

est exprime / affirme par un enonce est une proposition.

Quand on dit quun enonce est vrai, cela signifie que son contenu cor-

respond aux faits ou decrit une situation non seulement possible mais

actualisee (realisee). Un enonce faux ne correspond pas a un fait, la

situation quil decrit nest pas actualisee (realisee). Proprement parler

ce sont les propositions qui sont des porteurs des proprietes verite

ou faussete .

Les proprietes verite ou faussete sont collectivement appelees

valeurs de verite.

La totalite des situations dans lesquelles un enonce est vrai constitue

les conditions de verite de lenonce.

Comme on peut construire des enonces plus complexes a partir desenonces moins complexes, on peut poser les questions : Est-ce quil y

a de lien entre la valeur de verite dun enonce complexe et les valeurs

de verite de ses composants ? Plus generalement, est-ce quil y a de

lien entre la signification dun enonce complexe et les significations de

ses composants ? Sil y a un lien, quel type de lien ? Pour les langages

logiques discutes ici, il y a un tel lien (pour les valeurs de verite et aussi

pour la signification), et le lien est particulierement simple. Dans ces


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cas, la valeur de verite (et la signification) dun enonce ne depend que

des valeurs de verite (et des significations) des composants de lenonce.Cette propriete est appelee compositionnalite (des valeurs de verite

et de la signification, respectivement).

3.3 Verifonctionnalite

Quand la valeur de verite dun enonce est determinee en fonction des

valeurs de verite de ses composants, on parle de verifonctionnalite.

Par exemple, la valeur de verite de lenonce A et B est determinee

de facon unique une fois quon connat la valeur de verite de A et la

valeur de verite de B. (Si ces derniers sont vrais tous les deux, A et

B est vrai aussi ; autrement A et B est faux etant donne que le

connecteur et ici est le conjonction de la logique propositionnelle.)

Un exemple dun connecteur qui nest pas verifonctionnel est parce

que (cet connecteur nest pas un connecteur de la logique proposi-

tionnelle) :

Pensons a lenonce

Marie sest endormie parce quelle a commence a lire La

Phenomenologie de lEsprit de Hegel ,

en assumant queffectivement les enonces composants Marie sest

endormie et elle [c-a-d Marie] a commence a lire La Phenome-

nologie de lEsprit de Hegel sont vrais. Maintenant, dune part,

(1) il est bien possible que la lecture a eu un effet decisif a letat deveille de Marie ; mais dautre part (2) il est egalement possible que

linteret fort de Marie pour luvre de Hegel na pu combattre les

consequences physiologiques du fait quelle avait travaille sans cesse

durant les 36 heures precedentes. En somme, la verite des enonces

composants laisse ouverte la possibilite de la verite de lenonce com-

plexe mais ne guarantit pas sa verite : parce que nest pas un

connecteur vericonditionnel.


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Disjonction exclusive | ou au sens de soit...soit

A B (AB)

vrai vrai faux

vrai faux vrai

faux vrai vrai

faux faux faux

Un exemple ou les deux occurrences de ou sont des occurrences de ladisjonction exlusive :

(3) Formule Entree + Dessert 9 euros :

Plat du jour ou fricassee de la mer sauce Chablis

Cafe gourmand ou gaufre cassonade

Un exemple ou on utilise soit...soit pour exprimer la disjonction exclusive :

(4) Mon prochain semestre se deroulera soit a Madrid, soit a Rome.

En ce qui concerne les arguments, il faut noter que la disjonction inclusive

rend linference

A

Donc : (A ou B)

valide, tandis que cette inference nest pas valide si on prend

ou

pourla disjonction exclusive. Sinon, on pourrait raisonner comme suit : Socrate

est un philosophe. Donc : Socrate est un philosophe ou Nietzsche est un

philosophe, ou ou est exclusif. Mais tandis que la premisse est vraie, la

conclusion nest pas vraie. Elle est fausse parce que tous les deux termes

de la disjonction exclusive Socrate est un philosophe ou Nietzsche est un

philosophe a savoir Socrate est un philosophe et Nietzsche est un

philosophe sont vraies.


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3.4.4 Implication materielle | si...alors

A B (A B)

vrai vrai vrai

vrai faux faux

faux vrai vrai

faux faux vrai

Limplication de la langue naturelle nest typiquement pas verifonctionnel.

(5) Si Marie commence a lire La Phenomenologie de lEsprit de Hegel,

alors elle sendort.

Cet enonce peut etre considere comme une generalisation : pour tout instant

t donne... Ou bien une description dune relation causale. Pensons a lenonce

plus specifique :

(6) Si Marie vient de commencer a lire La Phenomenologie de lEsprit de

Hegel, alors elle dort actuellement.

Clairement on veut dire que (6) est faux si Marie vient de commencer a lire le

livre mais cependant elle ne dort pas. Si par contre Marie vient de commencer

a lire le livre et elle dort, nous somme prerts a dire que (6) est vrai.

Mais si Marie na pas commence a lire le livre ou si elle la commence a

lire il y a longtemps ? Est-ce que (6) est vrai ou faux ? Est-ce que sa valeur

de verite depend dans ce cas de la valeur de verite de lenonce Elle dort

actuellement ? Si la construction si...alors est concue comme implication

materielle, la reponse est : dans cet cas (6) est vrai, independamment de la

valeur de verite de Elle dort actuellement . Lidee est donc quune impli-

cation materielle A B est vraie en particulier si son antecendent A soncomposant qui exprime une condition nest pas vraie : si la condition nest

pas satisfaite. Dans ce cas limplicacation materielle est prise pour vraie pour

des raisons triviales. Rien nest exige pour satisfaire un enonce conditionnel

dont la condition ne tient pas. Etant donne la signification de limplication

materielle, en introduisant une condition fausse (A) a un enonce (B) on pro-

duit un enonce A B trivialement vrai (trivialement, vu quon sait que A

est faux). On utilise effectivement cette propriete de limplication materielle


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dans la langue naturelle :

(7) Si Stockholm est la capitale de la Finlande, alors les poules ont des

dents / alors je mange mon chapeau.


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p q r ( Obama a ete elu ou McCain a ete elu et rien na change )

aurait ces deux lectures (on ne pourrait pas savoir laquelle est visee sur la

base de cette expression formelle, ce qui est une raison pour ne pas accepter

une telle expression dans notre langage) :

(1) p (q r) ( Obama a ete elu, ou McCain a ete elu et rien na

change )

(2) (p q) r ( Obama a ete elu ou McCain a ete elu, et rien na

change )

La lecture (2) mais non pas la lecture (1) suggere que le choix entre Obama

ou McCain a ete sans importance : en tout cas rien na change.

4.1 Syntaxe de la logique propositionnelle

On a note que la tache de la syntaxe est dindiquer comment construire des

enonces de facon correcte, c-a-d de facon a resulter en des suites des symbolesconsiderees bien formees. Comme on pourra construire des enonces de plus

en plus longues et compliques, il est evident quon ne peut pas donner une

simple liste des expressions bien formees. On va proceder de facon suivante.

La totalite des expressions bien formees (ou : formules, enonces) de la logique

propositionnelle est specifiee comme suit :

(i) Les atomes propositionnelles sont des formules

(ii) Si A est une formule, alors A est une formule

(iii) Si A et B sont des formules, alors (A B), (A B) et (A B) sont

des formules.

(iv) Rien nest une formule de la logique propositionnelle qui nest pas

obtenu par les regles (i)(iii) dans un nombre fini detapes.

[On pourrait ne pas ajouter la condition (iv), mais dans ce cas il serait sous-

entendu que les regles specifient toutes les expressions bien formees, et non

pas seulement quelques expressions bien formees.]


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A proprement parler, pour differents choix des atomes propositionnels on

obtient avec les regles (i)(iv) de differents langages de la logique propo-sitionnelle. (Le langage construit a partir des atoms p , q , r , . . ., disons, est

different du langage construit a partir des atoms p1, p2, p3, . . ..) Normalement

ces distinctions ne sont pas pertinentes pour notre discussions pendant ce

cours, et on va parler tout simplement de la logique propositionnelle avec

lidee sous-jacente quun ensemble des atomes a ete specifie.

Prenons des exemples des expressions bien formees ainsi que des expres-

sions mal formees. Ensuite on discute la question comment controler si une

expression est en effet bien formee. Apres on va retourner a une discussion

du caractere specifique de la definition de la syntaxe presentee.

4.2 Exemples des formules et des non-formules

Voila des expressions bien formees = des formules = des enonces :

p

((p q) r) (((p q) q) r).

Et les expressions suivantes sont mal formees = des non-formules = des non-

enonces :

pq

(p)

pq

((p q r)).

4.3 Arbre syntaxique

Grace a la definition de la syntaxe, on peut dessiner pour toute formule

A de la logique propositionnelle un arbre de construction = un arbre

de formation = un arbre syntaxique. Les nuds de cet arbre sont des

formules. La racine de larbre va correspondre a la formule A. Les feuilles


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de labre correspondront aux atomes propositionnelles. Tout nud (a lex-

ception des feuilles) a des successeurs ; plus specifiquement tout nud aun successeur ou deux successeurs. Et tout nud (a lexception des feuilles)

resulte de lapplication dun des deux regles (ii) ou (iii) a ses successeurs ; si

le nud a un seul successeur, il sagit de la regle (ii) tandis que si le nud a

deux successeurs, il sagit de la regle (iii).

Voila un exemple tres simple, larbre syntaxique de la formule (p q) ;

on la dessine, selon une convention habituelle, a lenvers.

(p q)

/ \

p q

|

p

Prenons un autre exemple. Larbre syntaxique de la formule

(((p q) r) (s t))

est dessine comme suit :

(((p q) r) (s t))

/ \

((p q) r) (s t)

/ \ / \(p q) r s t

/ \ |

p q r

| |

p r

|

r


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Il nest pas difficile de se convaincre que pour toute formule toute

expression bien formee il existe un et en seul arbre syntaxique : la manierede formation dune formule est uniquement determinee par sa syntaxe.

4.4 La forme dune formule, connecteur prin-

cipal

La formule (p q) est pour sa forme une implication materielle,

comme aussi, par exemple, la formule ((r (s t)) (q u)). Une autremaniere dexprimer la meme chose est de dire que le connecteur principal

de cette formule est . La forme de la formule (p (q r)) est conjonctive,

et celle de la formule (p q) disjonctive. Ses connecteurs principales sont

et , respectivement. La formule (p q) est pour sa forme une negation ;

son connecteur principale est . Les formules p et q sont atomiques pour leur

forme ; ils nont pas de connecteur principal. On voit que la forme dune for-

mule est determinee par le connecteur (sil y a un tel connecteur, cf le cas des

formules atomiques) qui etait le dernier a etre applique quand on a construit

la formule en question selon les regles syntaxiques. Cest cet connecteur qui

est appele le connecteur principal de la formule.

4.5 Sous-formule

Les sous-formules de la formule (p q) sont p, q, (p q) et la formule

(p q) elle-meme, et celles de la formule ((p q) r) sont p, q,

r, r, r, r, (p q), (p q) et la formule ((p q) r)

elle-meme.

Pour definir le concept de sous-formule de facon generale, on a plusieurs

possibilites. On peut dire quune sous-formule dune formule A est une suite

des symboles qui apparat dans A et qui est elle-meme une formule selon

les criteres syntaxiques.2 Une autre caracterisation : les sous-formules dune

2Notez bien quon pourrait en principe finir par definir le concept de sous-formule de


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Les definitions recursives ou inductives comme celle de la syntaxe de

la logique propositonnelle ou celle de chien ci-dessus consistent a at-tribuer une propriete4 a un objet si cet objet peut etre construit a partir des

objets plus simples avec la meme propriete, en fin de compte a partir des

objets dont on a simplement stipule quils possedent cette propriete.

4.7 Representation logique des enonces de la

langue naturelle

Pour pouvoir discuter des arguments exprimes, disons, en francais, il faut

pouvoir discerner les aspects des enonces utilises qui sont pertinentes pour

la question si largument est valide : faire la distinction entre les composants

logiques et les composants non logiques. Quand on utilise la logique propo-

sitionnelle pour discuter des arguments, il sagit de discerner la structure

logique de lenonce en termes de connecteurs , , et (ou en termes

de connecteurs qui peuvent etre definis en utilisant ces quatre connecteurs).5

Pour representer un enonce de la langue naturelle en logique proposition-

nelle pour le traduire dans la logique propositionnelle il faut commen-

cer par discerner quels composantes de lenonce peuvent etre traites comme

atomiques ; il sagit des composantes dont la structure nest pas pertinente

pour la question de la validite. On va etablir un lien entre ces composantes

4Des exemples des telles proprietes sont etre une formule, ou bien etre un chien dans

notre exemple introduit pour illustrer et non pas pour reellement capturer la classe des

chiens qui existent ou ont existe ou vont exister.5Par exemple la disjonction exclusive peut etre definie en utilisant la disjonction

inclusive (), la conjonction () et la negation () comme suit : pour tous les enonces

A et B, on peut stipuler que (AB) est une abbreviation de ((A B) (A B)).

Cela est possible parce quen effet (AB) avec sa semantique specifiee est equivalent a

((A B) (A B)), pour tout enonce A et B. Puisquune telle definition est possible,

on peut eviter davoir la disjonction exclusive parmi les connecteurs primitifs de notre

langage. (Effectivement on navait pas inclus parmi les connecteurs explicitement donnes

par la syntaxe de la logique propositionnelle.) La question de linterdefinissabilite des

connecteurs sera discutee systematiquement plus tard pendant ce cours.


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Cet dernier differe de lenonce original : ici on a repete Jean trois fois

tandis que lenonce original utilise une convention qui permet a raccour-cir le texte Jean a fait un expose et Jean a assiste devient Jean

a fait un expose et assiste ; loriginal utilise egalement le pronom il

dans le consequent ; et evite le mot inutile alors . Cependant la formule

((p q) r) est concue comme une traduction de tous les deux enonces

Si Jean a fait un expose et assiste a une reunion, il est fatigue et Si

Jean a fait un expose et (si) Jean a assiste a une reunion, alors Jean est

fatigue puisque les deux disent la meme chose, ils expriment le meme

contenu, ils sont vrais dans les memes circonstances et faux dans les memes

circonstances.


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verite de p et celle de q.)

Ce quil faut encore faire pour pouvoir specifier la semantique de la logiquepropositionnelle est dexpliquer le cadre conceptuel utilise pour discuter les

valeurs de verite des formules. Lidee cruciale est que les formules comme

les enonces de la langue naturelle sont evalues ou consideres dans un

contexte ou dans une situation. Cest le contexte qui determine les valeurs

de verite des enonces atomiques et de ce fait, par verifonctionnalite, aussi

les valeurs de verite de tous les enonces construits a partir de ces atomes

conformement aux regles syntaxiques.

5.1 Situations

Introduisons le concept de situation comme suit ; jutilise lexpression

situation relativement explicative pour designer ce quon appelle souvent

une valuation des atomes propositionnels, et ce quon pourrait egalement

appeler un scenario ou un monde possible ou un contexte ou un modele

ou une realisation. Pour identifier une situation, tout ce quil faut faire estdindiquer, pour tout atome propositionnel (parmi les atomes propositionnels

pertinents), une valeur de verite (vrai, faux). Si par exemple on na que deux

atomes p et q, alors il y a quatre situations possibles en termes de ces atomes :

p vrai, q vrai

p vrai, q faux

p faux, q vrai

p faux, q faux.

Si un seul atome p nous interesse, il ny a que deux situations possibles en

termes de cet atome :

p vrai

p faux.

Si on a trois atomes p, q et r, alors il y a huit situations pertinentes :

p vrai, q vrai, r vrai


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p vrai, q vrai, r faux

p vrai, q faux, r vrai p faux, q vrai, r vrai

p vrai, q faux, r faux

p faux, q vrai, r faux

p faux, q faux, r vrai

p faux, q faux, r faux.

Generalement, n atoms propositionnels donnent lieu a 2n situations diffe-

rents : 4 atomes, 16 situations ; 5 atomes, 32 situations ; . . . ; 10 atomes,

1024 situations ; . . . ; 15 atomes, 32768 situations; etc. (Les exemples quon

discute pendant ce cours utiliseront au plus trois atomes propositionnels.)

Dans la logique propositionnelle, nous nous interessons a la question

Quelle est la valeur de verite dune formule donnee dans une situation

donnee ? , c-a-d les formules sont evaluees relativement aux situations. Au-

trement dit, la semantique de la logique propositionnelle sert a specifier les

concepts de verite dans une situation et faussete dans une situation .

Les enonces comme les enonces de la langue naturelle sont toujours

evalues dans des contextes particuliers. Pour la logique propositionnelle ce

sont les situations qui sont des contextes pertinents. Ou, toute information

contextuelle pertinente pour levaluation dune formule de la logique propo-

sitionnelle est celle donnee par une specification dune situation. On pourrait

imaginer quon etait donne contextuellement tout type dinformation par

exemple non seulement linformation sur la verite ou la faussete des atomes

propositionnels mais aussi dinformation sur les personnes qui utilisent la

langue, dinformation sur les lois physiques qui conditionnent le contexte delevaluation etc. Une petite partie de toute cette information serait suffisante

pour discuter les enonces de la logique propositionnelle, a savoir la specifica-

tion des valeurs de verite des atomes propositionnels mentionnes.

Le fait que les connecteurs de la logique propositionnelle sont vericondi-

tionnels implique quune fois une situation est specifiee, aussi les valueurs de

verite de tous les formules complexes sont determinees relativement a cette

situation. Il suffit de donner une situation fixer les valeurs de verite des


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Remarque 1 : Il est immediat par cette definition que B est une consequence

logique de A si et seulement si largument suivant est valide :

1. A

2. Donc : B.

Remarque 2 : Il est egalement clair que largument

1. A1

2. A2

...

n. An

n + 1. Donc : B.

est valide si est seulement si la formule B est une consequence logique

de la formule conjonctive (A1 . . . An), c-a-d si est seulement si

(A1 . . . An) B.

Remarque 3 : Le concept de la consequence logique (A B) nest pas a

confondre avec celui de limplication materielle (A B) :

est un connecteur de la logique propositionnelle ; ne lest pas.

Lexpression (A B) est evaluee relativement a une situation, et elle

sert a effectuer une affirmation sur cette situation, comme toute for-

mule de la logique propositionnelle effectue une affirmation sur la si-

tuation par rapport a laquelle on levalue. (Si la formule est vraie dans

la situation, on peut dire quelle offre une description partielle de la

situation.)

Lexpression (A B) nest pas evaluee relativement a une situation.

En revanche, elle est une expression metalogique qui sert a effectuer

une affirmation sur la totalite de toutes les situations. Cette expression

affirme que lensemble des situations qui rendent vrai A est contenu

dans lensemble des situations qui rendent vraiB, c-a-d que tout situa-

tion qui rend vrai A est une situation qui rend vrai B.


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Exemple 21 Les formules(A B) et(A B) ne sont pas logiquement

equivalentes. Ses significations different :

A B A B (A B) (A B)

vrai vrai faux faux vrai vrai

vrai faux faux vrai faux vrai

faux vrai vrai faux vrai faux

faux faux vrai vrai vrai vrai

Il y a donc deux situations ou les deux formules ne possedent pas la memevaleur de verite : la situation dans laquelle A est vrai et B est faux; et la

situation dans laquelle B est vrai et A est faux.

Exemple 22 Aussi les formules (A B) et (A B) ne sont pas logi-

quement equivalentes, ce qui est clair si on considere ses significations :

A B A B (A B) (A B) (A B)

vrai vrai faux faux faux vrai faux

vrai faux faux vrai vrai faux faux

faux vrai vrai faux vrai faux faux

faux faux vrai vrai faux vrai vrai

Il y a une seule situations dans laquelle les deux formules different par rapport

a sa valeur de verite : quand A et B sont tout les deux vrais ; mais cela

suffit tres bien pour etablir que les deux formules ne possedent pas la meme

signification.

Consequence logique. On vient de voir des exemples qui montrent com-

ment les tables de verite des formules peuvent etre utilisees pour determiner

si deux formules sont logiquement equivalentes. En fait, on pourrait utiliser

une idee similaire pour determiner si une formule est une consequence lo-

gique dune autre. Lequivalence logique de A et B exige que A et B sont

vrais dans les meme situations. Dautre part, B est une consequence logique

de A si toute situation qui rend A vrai est une situation qui rend B vrai


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5.6 Tautologies, contradictions, formules contin-

gentes

Pour discuter les concepts de la tautologie, de la contradiction et de la

formule contingente, on commence avec les definitions. Il sagit des attributs

semantiques particuliers des formules attributs que certaines formules pos-

sedent grace a leur comportement semantique specifique.

Tautologie : Une formule dont la valeur de verite est vraiedans toute

situation.

Contradiction : Une formule dont la valeur de verite est fausse dans

toute situation.

Formule contingente : Une formule qui nest ni une tautologie ni

une contradiction, c-a-d qui permet une situation qui la rend vraie,

mais egalement une situation qui la rend fausse.


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Chapitre 6

Methodes de decision

On a introduit les tables de verite pour specifier les significations des

connecteurs de la logique propositionnelle. On a explique comment ces tables

de verite peuvent etre employees pour determiner les valeurs de verite des

formules complexes dans une situation donnee. On les a utilise egalement

pour repondre aux questions telles que Est-ce que les formules A et B sont

logiquement equivalentes ? et Est-ce que la formule B est une consequence

logique de la formule A ? .

6.1 Le probleme de tautologicite

Nous pouvons nous interesser aussi a la question si une formule de la lo-

gique propositionnelle est une tautologie. Rappellons que par definition une

formule A est une tautologie si elle est vraie dans toute situation. Autrement

dit A est une tautologie si dans sa table de verite la valeur de verite vrai

apparat sur toute ligne dans la colonne associee avec A. Si A est une tauto-

logie et les atomes propositionnels de A sont p1, . . . , pn, la table de verite de

A peut etre schematiquement representee comme suit :

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A A (A A) ((A A) A))

vrai faux faux vrai

faux vrai vrai faux

La colonne qui correspond a la formule ((A A) A)) ne contient pas

seulement des occurrences de vrai ; donc la formule nest pas une tautolo-

gie. La table de verite de cette formule nous fournit aussi un contre-exemple :

la formule((A A) A)) nest pas vraie dans la situation ou la formule

A est fausse.

6.2 Le probleme de contradiction

Si on sinteresse a la question si une formule est une contradiction (plutot

qua la question si elle est une tautologie), une option est de formuler cette

question en termes de tautologicite et appliquer la methode de decision du

probleme de tautologicite decrite ci-dessus. Cela est possible parce quon a

le lien suivant entre les contradictions et les tautologies :

Lenonce A est une contradiction si et seulement si sa negation

A est une tautologie.

Donc la question Est-ce que A est une contradiction ? se reduit a la

question Est-ce que A est une tautologie ? : si la derniere question re-

coit une reponse affirmative, aussi la premiere question est repondu dans

laffirmative ; et si la derniere question recoit une reponse negative, aussi la

premiere question est repondu par la negative.

Une autre possibilite et de formuler directement une methode de decision

pour le probleme de contradiction. Pour savoir si la formule A de la logique

propositionnelle est une contradiction, procedez comme suit :

Dessinez la table de verite de A.

Si toutes les lignes donnent la valeur de verite faux pour A, alors A

est une contradiction; autrement A nest pas une contradiction.


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Exemple 26 Est-ce que la formule ((A A)(A A)) est une contra-

diction ? On forme la table de verite de cette formule :

A A (A A) (A A) ((A A) (A A))

vrai faux faux vrai faux

faux vrai vrai faux faux

Parce que la colonne qui correspond a la formule ((A A) (A A))

ne contient que des occurrences de faux, il sensuit que la formule est

une contradiction.

Exemple 27 Retournerons a lExemple 25 ; cette fois-ci on va poser la ques-

tion si la formule ((A A) A) est une contradiction. On rappelle la

table de verite de cette formule :

A A (A A) ((A A) A))

vrai faux faux vrai

faux vrai vrai faux

Comme la colonne qui correspond a la formule((A A) A)) ne contient

pas seulement des occurrences defaux, elle nest pas une contradiction. La

table de verite de cette formule nous fournit un contre-exemple : la formule

((A A) A)) nest pas fausse dans la situation ou la formule A est

vraie.

6.3 Le probleme de contingence

On procede a discuter la question qui peut se poser sur une formule A

donnee quelconque : Est-ce que la formule A est contingente ? ; rappelons

quune formule est contingente si elle nest ni une tautologie ni une contra-

diction. Ici comme dans le cas du probleme de contradiction une option

est de formuler cette question en termes de tautologicite et appliquer la me-

thode de decision du probleme de tautologicite. Cela est rendu possible par

le lien suivant entre les formules contingentes et les tautologies :


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Lenonce A est contingente si et seulement si (ni la formule A ni

sa negation A nest une tautologie).

Donc la question Est-ce que A est contingente ? se reduit au couple des

questions : Est-ce que A est une tautologie ? , Est-ce que A est une

tautologie ? . Si la reponse a toutes les deux questions est negative, alors la

formule A est contingente, sinon elle nest pas contingente.

Une autre possibilite et de formuler directement une methode de decision

pour le probleme de contingence. Pour savoir si la formule A de la logique

propositionnelle est contingente, procedez comme suit :

Dessinez la table de verite de A.

Sil existe au moins une ligne qui donne la valeur de verite vrai pour

A, et une autre ligne qui donne la valeur de verite faux pour A, alors

A est contingente ; autrement A nest pas contingente.

Notez bien quen effet une formule est contingente (c-a-d ni une tautologie ni

une contradiction) si et seulement si il existe une situation qui rend la formule

fausse et une autre qui la rend vraie : lexistence dune situation qui rend la

formule A fausse est equivalente au fait que A nest pas une tautologie ; et

lexistence dune situation qui rend A vrai est equivalente au fait que A nest

pas une contradiction.

Exemple 28 Est-ce que la formule((A B) (B A)) est contingente ?

On dessine la table de verite de la formule :

A B (A B) (B A) ((A B) (B A))

vrai vrai vrai vrai vrai vrai faux faux vrai vrai

faux vrai vrai faux faux

faux faux vrai vrai vrai

Parce que la colonne qui correspond a la formule ((A B) (B A))

contient des occurrences de vrai ainsi que des occurrences de faux,

on peut conclure que la formule est contingente. En particulier la formule


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A B (A B) (A B) (A B) ((A B) (A B))

vrai vrai faux vrai vrai vrai

vrai faux vrai faux faux vrai

faux vrai vrai faux vrai vrai

faux faux faux vrai vrai vrai

Parce que la colonne qui correspond a la formule ((A B) (A B)) ne

contient que des occurrences de vrai, on peut conclure que la formule est

une tautologie. Donc la formule (A B) est une consequence logique de la

formule (A B).

Exemple 31 Inversement on peut aussi poser la question si la formule

(A B) et une consequence logique de la formule (A B). On va pas-

ser par la question si la formule ((A B) (A B)) est une tautologie.

Voila la table de verite de cette formule :

A B (A B) (A B) (A B) ((A B) (A B))

vrai vrai faux vrai vrai vrai vrai faux vrai faux faux vrai

faux vrai vrai faux vrai faux

faux faux faux vrai vrai vrai

Parce que la colonne qui correspond a la formule ((A B) (A B))

contient une occurrence de faux, on peut conclure que la formule nest

pas une tautologie. Donc la formule(A B) nest pas une une consequence

logique de la formule (A B). La table de verite de ((A B) (A B))nous montre en particulier que dans la situation ou A est faux et B est vrai

la formule(A B) est vraie mais la formule (A B) est cependant fausse.

6.5 Le probleme de validite dun argument

La methode de decision du probleme de consequence logique sapplique

de facon immediate aussi quand on sinteresse a la question Etant donne


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un argument dont les premisses sont A1, . . . , An et la conclusion est B ; est-il

valide ? . Car, comme on avait observe dans les notes de cours de la seance6, le concept de consequence logique et le concept d argument valide

sont lies comme suit :1

Largument

1. A1

2. A2...

n. An

n + 1. Donc : B.

est valide si et seulement si la formule B est une consequence

logique de la formule (A1 . . . An).

Parce que dautre part on sait par le Fait mentionne ci-dessus quune

formule D est une consequence logique dune formule C si et seulement si la

formule (C D) est une tautologie, on obtient la caracterisation suivante

de la validite dun argument :

Largument dont les premisses sont A1, . . . , An et la conclusion est

B est valide si et seulement si la formule ((A1 . . . An) B)

est une tautologie.

1Plus bas on ecrit par exemple (A B C) pour la conjonction de trois formules, et

on procede de facon analogue quand on a plusieurs formules a lier avec la conjonction.

A proprement parler (A B C) nest pas une formule selon la syntaxe de la logique

propositionnelle, car selon la syntaxe la conjonction ne peut sappliquer qua deux formules

a la fois. Donc il faudrait ecrire ((A B) C) ou (A (B C)). Cependant il ny a pas

de risque de lambigute si on ecrit (A B C). La raison est quil ny a pas de difference

semantique entre les formules syntaxiquement correctes ((A B) C) et (A (B C)) ;

elles sont logiquement equivalentes. De meme facon on pourrait ecrire (A B C) pour la

disjonction de trois formules sans risque de lambigute. Dans des autres cas les parentheses

ont un role essentiel semantique : par exemple les expressions (AB C) et (A B C)

seraient vraiement ambigues. Les formules ((A B) C) et (A (B C)) ne sont pas

logiquement equivalentes, comme aussi les formules ((A B) C) et (A (B C))

ne sont pas logiquement equivalentes.


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On peut donc reduire la question Etant donne un argument dont les

premisses sont A1, . . . , An et la conclusion est B ; est-il valide ? a la question Est-ce que la formule ((A1 . . . An) B) est une tautologie ? . Si la

formule ((A1 . . . An) B) est une tautologie, alors largument est valide ;

autrement largument nest pas valide.

Exemple 32 Pensons au schema dargument suivant :

1. ((A B) C)

2. C

3. Donc : A.

Pour savoir si cet schema dargument est valide, on pose la question si la

formule

((((A B) C) C) A)

est une tautologie. Voila la table de verite de cette formule :

A B C A C (A B) ((A B) C)vrai vrai vrai faux faux vrai vrai

vrai vrai faux faux vrai vrai faux

vrai faux vrai faux faux vrai vrai

faux vrai vrai vrai faux vrai vrai

faux faux vrai vrai faux faux vrai

faux vrai faux vrai vrai vrai faux

vrai faux faux faux vrai vrai faux

faux faux faux vrai vrai faux vrai


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(((A B) C) C) ((((A B) C) C) A)

faux vrai

faux vrai

faux vrai

faux vrai

faux vrai

faux vrai

faux vrai

vrai vrai

Parce que la colonne qui correspond a la formule ((((A B) C) C)

A) ne contient que des occurrences de vrai, on peut conclure que la for-

mule est une tautologie. Donc largument dont les premisses sont

((A B) C) et C et la conclusion est A est valide.

Exemple 33 Pensons a cet schema dargument :

1. (A B)

2. A

3. Donc : B.

On pose la question : est-ce que le schema dargument est valide ? Pour re-

pondre il suffit de trouver une reponse a la question Est-ce que la formule

(((A B) A) B) est une tautologie ? Voila la table de verite de cette

formule :

A B (A B) ((A B) A) (((A B) A) B)vrai vrai vrai vrai vrai

vrai faux vrai vrai faux

faux vrai vrai faux vrai

faux faux faux faux vrai

Parce que la colonne qui correspond a la formule (((A B) A) B)

contient une occurrence de faux, on peut conclure que la formule nest


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pas une tautologie. Il sensuit que largument dont les premisses sont(AB)

et A et la conclusion est B nest pas valide. La table de verite montre quenparticulier les premisses sont vraies et la conclusion est fausse si A est vrai

mais B est faux.


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7.2 Conditions de verite : la definition

Quand on parle de lexpressivite, on veut comparer en quelque maniere

le langage dune part et le monde en dehors du langage dautre part. Donc

pour commencer il faut bien comprendre quelles types de choses en dehors

du langage sont considerees. On va les appeler des conditions de verite.

(On pourrait les appeler aussi des fonctions de verite . En effet cette

terminologie est tres commune. On utilise ici le terme condition de verite

parce quil est plus explicatif.)

Le concept de

condition de verite

est relative a un choix dun ensembledes atomes propositionnels. On peut par exemple considerer des atomes p

et q. Pour specifier une condition de verite, il faut considerer toutes les

combinaisons possibles des valeurs de verite aux atomes p et q, et pour

toute combinaison il faut assigner une valeur de verite soit vrai soit faux.

C-a-d, il faut remplir la colonne de la table suivante en utilisant des valeurs

de verite, soit vrai soit faux, de quelque facon :

p q condition de veritevrai vrai

vrai faux

faux vrai

faux faux

Une telle condition de verite est une fonction de verite : etant donne les

valeurs de verite de p et de q, la condition de verite determine une et une

seule valeur de verite, a savoir la valeur de verite qui se trouve indiquee surla ligne correspondante dans la colonne pertinente.

Voila deux exemples des conditions de verite en termes de deux atomes

propositionnels :


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p q C1

vrai vrai faux

vrai faux vrai

faux vrai vrai

faux faux vrai

p q C2

vrai vrai vrai

vrai faux faux

faux vrai vrai

faux faux vrai

(Avez-vous vu la table a droite avant ? On retournera bientot aux questions

de ce type.)

De facon analogue, si on a disponible les trois atomes propositionnels p, q

et r, une condition de verite consiste dans une specification dune valeur de

verite pour toute combinaison des valeurs de verite a chacun des trois atomes

propositionnels. C-a-d une condition de verite a trois atomes propositionnels

peut etre representee par une table de la forme suivante :

p q r condition de verite

vrai vrai vrai

vrai vrai faux

vrai faux vrai

faux vrai vrai

faux faux vrai

faux vrai faux

vrai faux faux

faux faux faux

Tout resultat de remplir la colonne vide en utilisant des valeurs de verite vrai

et fauxest une condition de verite au sens pertinent. Voila un exemple dune

condition de verite en termes de trois atomes propositionnels :


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p q r C

vrai vrai vrai vrai

vrai vrai faux faux

vrai faux vrai vrai

faux vrai vrai faux

faux faux vrai faux

faux vrai faux faux

vrai faux faux vrai

faux faux faux faux

7.3 Significations des formules, conditions de

verite

Comment est-ce que les formules de la logique propositionnelle sont liees

aux conditions de verite ? De facon tres directe : les formules expriment

des conditions de verite au sens ou les significations de ces formules sont

des conditions de verite ! Manifestement par exemple les significations des

formules p, (p q) et ((p q) r) sont des conditions de verite au sens

specifie ci-dessus :

p p

vrai faux

faux vrai

p q (p q)

vrai vrai faux

vrai faux vrai

faux vrai vrai

faux faux faux


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p q r ((p q) r)

vrai vrai vrai vrai

vrai vrai faux faux

vrai faux vrai vrai

faux vrai vrai vrai

faux faux vrai faux

faux vrai faux faux

vrai faux faux faux

faux faux faux faux

7.4 La question de la

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