Loi Moment-Courbure simpliﬁée en béton armé …phm7833.free.fr/loi_MC_simplifiee.pdfRédacteur Note Technique Date Philippe Maurel Loi Moment-Courbure simpliﬁée 06/04/2010

Rédacteur Note Technique DatePhilippe Maurel Loi Moment-Courbure simplifiée 06/04/2010

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Loi Moment-Courbure simplifiée en béton armé

NOTE TECHNIQUE

Sommaire1 Objet 3

2 Références 4

3 Notations 5

4 Axe neutre, secions rectangulaires sans aciers comprimés 7

5 Axe neutre, secions rectangulaires avec aciers comprimés 9

6 Calculs des lois moments courbures 116.1 Section sans aciers comprimés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

6.1.1 Courbure élastique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116.1.2 Courbure plastique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126.1.3 Courbure ultime . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

6.2 Section avec aciers comprimés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146.2.1 Courbure élastique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146.2.2 Courbure plastique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146.2.3 Courbure ultime . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

7 Exemples 167.1 Section sans aciers comprimés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

7.1.1 Calcul simplifié . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167.1.2 Calcul détaillé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

7.2 Secion avec aciers comprimés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197.2.1 Calcul simplifié . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197.2.2 Calcul détaillé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

8 Conclusions 22

c© 2010 Ph.Maurel: http://phmaurel.fr Page : 1/ 22


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Liste des figures1 Géométrie de la section sans aciers comprimés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 Déformations et contraintes dans la section . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 Géométrie de la section avec aciers comprimés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 Déformations et contraintes dans la section . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 Contraintes à l’état ultime . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 Section sans aciers comprimés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 Loi moment-courbure simplifiée, sans aciers comprimés . . . . . . . . . . . . . . . 178 Loi moment-courbure détaillée sans aciers comprimés . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 Section avec aciers comprimés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1910 Loi moment-courbure simplifiée, avec aciers comprimés . . . . . . . . . . . . . . . 2011 Loi moment-courbure détaillée sans aciers comprimés . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

Page : 2/ 22 c© 2010 Ph.Maurel: http://phmaurel.fr


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1 ObjetL’établiseement des lois moment-courbures pour des sections en béton armé est indispensable lors-qu’on s’intéresse au comportement non linéaire du béton armé.Cette situation se produit plus particulièrement dans les conditions d’analyse accidentelles telles quele séisme ou les chutes de charges.L’objet de cette note est de présenter une méthode simplifiée pour le calcul de la loi Moment-Courburede sections rectangulaires en béton armé.

Les hypothèses de calcul sont les hypothèses habituelles de calcul en béton armé :

p Les sections planes restent planes pendant la flexion.

p Le béton et l’acier obéissent à la loi de Hooke.

p Les déformations sont proportionnelles à la distance à l’axe neutre.

p La résistance en traction du béton est négligée.

p Une adhérnce parfaite est supposée entre le béton et l’acier.

p les sections travaillent en flexion simple (pas de compression).

Les formules utilisées par la suite sont tirées de [1], [2] , [3] , [4].

Avant de calculer la loi moment courbure, il nous faut déterminer la position de l’axe neutre de lasection, en fonction de la géométrie de la section et des aciers en présence. Deux cas sont à considérer :les sections sans aciers comprimés, et les sections avec aciers comprimés.



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2 Références

Documents généraux[1] J.L.Tanner N.J.Everard. Reinforced Concrete Design. Schaum’s Outline Series. Schaum’s, 1987.

[2] T.Pauley M.J.N Priestley. Seismic design of reinforced concrete and masonry buildings. JhonWilley and Sons, 1992.

[3] T.Pauley R.Park. Reinforced Concrete Structures. Jhon Willey and Sons, 1975.

[4] Andrew Whittaker. Reinforced concrete structures. CIE 525, Module 04 :pp. 1–21, 2000.



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3 NotationsLes notations utilisées dans les formules sont rappelées ci-aprés :

• Ag = section du béton et des aciers• As = section des aciers de tension• A’s = section des aciers de compresssion• b = largeur de la section• h = hauteur totale de la section• yg = position du centre de gravité de la section (aciers compris) par rapport à la fibre supérieure• dg = position du centre de gravité de la section (aciers compris) par rapport à la fibre inférieuredg = h− yg

• Ig = inertie de la section par rapport au centre de gravité• Cc = force de compression dans le béton• Cs = force de compression dans les aciers de compression• d = distance de la fibre la plus comprimée aux aciers inférieurs• d’ = distance de la fibre la plus comprimée aux aciers supérieurs• Ec = module d’Young du béton• Es = module d’Young de l’acier• n = coefficient d’équivalence acier/béton, Es/Ec• fc = contrainte de compression dans le béton• ft = contrainte de traction dans le béton• fs = contrainte de traction dans l’acier• f ′s = contrainte dans l’acier• fy = contrainte de plasticité de l’acier• I = moment d’inertie de la section• k = facteur permettant de localiser l’axe neutre• M = moment de flexion• φ = courbure• ρ = ratio d’aciers de traction, As/bd• ρ′ = ration d’aciers de compression, A′s/bd• εy = limite de déformation plastique de l’acier (1 % par exemple)• εcmax = limite de déformation plastique du béton ( 0.35 % par exemple)• c = postion de l’axe neutre en état de courbure ultime ultime (déformation maximale de la fibre

supérieure).



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• λ = coefficient de réduction du diagramme de compression du béton (0.80)• fck = résistance caractéristique du béton à 28 jours (par exemple 25 MPa pour un béton de classe

C25/30)• fcm = résistance moyenne du béton à 28 jours (fcm = fck + 8MPa• fcd = résistance de calcul du béton (fcd = αccfck/γc) avec αcc = 1.0 pour les bâtiments et 0.85 pour

les ponts et γc = 1.2 en cas accidentel et 1.5 pour les autres cas.• fcu = résistance en compression du diagramme rectangulaire (fcu = ηfcd) avec η=1.0• fctm = résistance en traction du béton (selon Eurocode 2, fctm = 0.3[fck]

2/3 (2.6 MPa pour un bétonde classe C25/30)

• Ecm = module d’Young moyen du béton (selon Eurocode 2, Ecm = 22000(fcm10

)2/3 (31000 MPapour un béton de classe C25/30)

• Ec = 1.05Ecm = module tangent du béton pour le calcul des déformations.• fyk = limite élastique de l’acier selon Eurocode 2 = fs de çi-dessus• fyd = résistance de calcul de l’acier (fyd =

fykγs

) et γs=1.0 en situation accidentelle et 1.15 dans lesautres cas.

• εs1 = limite de déformation élastique de l’acier (εs1 =fydEs

)



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4 Axe neutre, secions rectangulaires sans aciers comprimésLa géométrie de la section en béton armé sans aciers de compression est représentée ci-dessous.

b

kd

d

As

Axe neutre

FIGURE 1 – Géométrie de la section sans aciers comprimés

Le dessin ci-dessous idéalise une section rectangulaire travaillant en flexion.

d

εc

AxeNeutre

εs

kd

fc

fs/n

C

T

kd/3

jd

FIGURE 2 – Déformations et contraintes dans la section



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L’équilibre des efforts donne : C = T soit :

1

2fckdb = Asfs (1)

En appelant jd la distance entre le centre de compression et le centre des armatures inférieures, lesmoments ont respectivement pour valeurs :

Mc = Cjd =1

2fckd

2bj et Ms = Asfsjd (2)

D’aprés la figure, on voit que jd = d − kd3

ou j = 1 − k3, de sorte que pour évaluer le moment, la

valeur de k doir être déterminée.Si on appelle Es et Ec les modules d’élasticité du béton et de l’acier, on a :

εcεs

=kd

d− kd(3)

ou encore,

fc/ecfs/es

=kd

d− kd=

k

1− k(4)

et si on pose n = Es

Econ obtient n fc

fs= k

k−1

d’ou l’on tire :

fc =fsk

n(1−k) et fs =nfc(1−k)

k

et

nfc = fsk + nfsk = k(nfc + fs) ou encore k = nfcnfc+fs

= 11+fs/nfc

En posant ρ le ration d’acier ρ = As

bd, alors l’équation (1) devient 1

2fckdb = ρbdfs ou :

fcfs

=2ρ

k(5)

En substituant (4) dans (5) on obtient :

k2 + 2ρnk = 2ρn (6)

et

k =√2ρn+ (ρn)2 − ρn (7)

Cette valeur de k permet de déterminer la position de l’axe neutre pour une section sans aciers com-primés.

Le moment résistant en flexion vaut alors My = Asfsjd = Asfs(1− k/3)d

Ce résultat sera utilisé par la suite pour le calcul des contraintes et déformations.



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5 Axe neutre, secions rectangulaires avec aciers comprimésLa géométrie de la section en béton armé sans aciers de compression est représentée ci-dessous.

b

kd

d

As

Axe neutre

A'sd'

FIGURE 3 – Géométrie de la section avec aciers comprimés

Le dessin ci-dessous idéalise une section rectangulaire travaillant en flexion.

d

εc

AxeNeutre

εs

kd

fc

fs/n

C

T

kd/3

jd

d'εs'

C's

cC

Z

FIGURE 4 – Déformations et contraintes dans la section



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On a, comme dans le cas de la section ne comportant que des aciers de traction :

k = 11+fs/nfc

Si on désigne par f ′s la contrainte de compression dans les aciers comprimés, alors ε′sεs

= kd−d′d−kd , et en

utuilisant la relation générale Eε = f , alors

f ′s/Esfs/Es

=kd− d′

d− kd(8)

ou encore

f ′s =fs(kd− d′)

d− kd(9)

de même,ε′sεc= kd−d′

kdou f ′s/Es

fc/Ec= kd−d′

kdet utilisant n = es

Ec, on obtient f ′s = nfc

kd−d′kd

L’équilibtre des forces donne T = C = C ′s + Cc , C ′s étant la force de compression dans les acierscomprimés et Cc étant la force de compression dans le béton. On a alors :

1

2fckbd++A′sf

′s = fsAs (10)

Il faudrait en toute rigueur soustraire de la section de béton comprimé la section des aciers comprimés.En substituant (10) dans (9), et en posant ρ = As/bd et ρ′ = A′s/bd, on obtient :

1

2fckbd+ ρ′bdfs

kd− d′

d− kd= fsρbd (11)

ou encorefcfs

=2

k[ρ− ρ′

kd− d′

d− kd] (12)

et avecfcfs

=k

n(1− k)(13)

en égalant fcfs

de (12) et (13), on obtient

k =

√2n(ρ+ ρ′

d′

d) + n2(ρ+ ρ′)2 − n(ρ+ ρ′) (14)

la distance z est obtenue en faisant la somme des moments :

z =k3d/3 + 2nρ′d′(k − d′/d)

k2 + 2nρ′(k − d′/d)(15)

et jd = d− z

le moment résistant en compression vaut Mc = Cjd = (Cc + C ′s)jd ou Mc = jd(12fckbd + f ′sρ

′bd),et en rempalçant la valeur de f ′s calculée ci-dessus, Mc =

12fcjbd

2[k + 2nρ′(1− d′/kd)]



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6 Calculs des lois moments courbures

6.1 Section sans aciers comprimésLe caclul de la loi moment-courbure va utiliser des résultats précédents.

6.1.1 Courbure élastique

Avant de se trouver dans un état non linéaire, la section est dans un état linéaire, c’est à dire que lapartie du béton en traction résiste encore.

La fissuration commencera lorsque la résistance en traction en partie inférieure sera atteinte. en ad-mettant que la rotation de la section a lieu autour de l’axe neutre, le moment limite élastique a pourexpression :

Me =ftIgdg

(16)

Ig est l’inertie de la section par rapport à son centre de gravité, calculée en tenant compte de la sectiondu béton et de la section des aciers.dg est la distance entre la face inférieure de la section et le centre de gravité.Ag étant la section totale (acier et béton), on a :

Ag = bh+ (n− 1)(As + A′s) (17)

La distance de la fibre inférieure par rapport au centre de gravité vaut dg = h− yg, yg étant la distancedu centre de gravité à la fibre supérieure, calculé en prenant les moments des sections par rapport à lafibre supérieure :

yg =bhh

2+ As(n− 1)d+ A′s(n− 1)d′

Ag(18)

Linertie par rapport au centre de gravité vaut :

Ig =bh3

12+ bh(

h

2− yg)

2 + (n− 1)As(d− yg)2 + (n− 1)A′s(yg − d′)2 (19)

La courbure élastique correspondante sera :

φe =Me

EcIg=

ftEcdg

(20)



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6.1.2 Courbure plastique

Aprés dépassement de la limite élastique en traction sur la fibre inférieure, la partie comprimée audessus de l’axe neutre reprend les efforts de compression et les aciers inférieurs reprennent la traction,jusqu’à leur limite de déformation plastique. On désignera alors le moment limite par le momentplastique et la courbure correspondante par la courbure plastique.Le moment correspondant à cette déformation plastique vaut :

My = Asfsjd = Asfs(1− k/3)d (21)

En utilisant la valeur de k calculée par (7). La courbure plastique correspondante est calculée par :

φy =εy

d− kd(22)



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6.1.3 Courbure ultime

On définit la courbure ultime comme correspondant à la limite de résistance du béton en déformacion(εcmax)En admettant un diagramme des contraintes dans le béton rectangulaire, le dessin ci-dessous représentel’état des contraintes dans la section :

d

εc

AxeNeutre

εy

c

déformations contraintes

fy

max

φu

c λc

ηf

FIGURE 5 – Contraintes à l’état ultime

On rappelle que

fc = fcd = αccfckγc

(voir le paragraphe 3)

La position de l’axe neutre est alors déterminée par la relation :

c =Asfyηfcbλ

(23)

Le moment ultime correspondant a pour valeur

Mu = Asfy(d−λc

2) (24)

On retient en général (voir Eurocode 2) η = 1.0 et λ = 0.80

La courbure ultime correspondante vaut :

φu =εcmaxc

(25)

Les trois points ainsi définis (Me, φe;My, φy;Mu, φu) permettent de définir la courbe moment cour-bure de la section.



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6.2 Section avec aciers comprimés6.2.1 Courbure élastique

La méthode est identique à celle du paragraphe 6.1.1. On obtient alors φe etMe (voir les formules (16)et (20) )

6.2.2 Courbure plastique

On va utiliser cette fois des résultats du paragraphe 5. Le principe est le même que dans le paragraphe6.1.2, mais il faut tenir compte des aciers comprimés pour la position de l’axe neutre et de leur état dedéformation.

Le coefficient k est obtenu par la formule (14) du paragraphe 5

le moment My est obtenu par la relation

My = Asfy(d−kd

3+ A′sf

′s(d′ − kd

3) (26)

La contrainte dans les aciers de compression f ′s est fonction de la distance kd. Si la contrainte dansles aciers de traction vaut fy, alors la contrainte dans les aciers de compression peut se calculer par laformule

f ′s =kd− d′

d− kdfy (27)

La courbure φy se calcule alors comme en (22)

6.2.3 Courbure ultime

Le calcul du couple φu,Mu nécessite dans ce cas quelques itérations : en effet, on ne connaît pas l’étatde déformation des aciers en compression.Un premier calcul consiste à considérer par exemple que les aciers comprimés ont atteint la limiteélastique de l’acier fy. La position de l’axe neutre s’en déduit par la relation

c =Asfy − A′sf

′s

ηfcbλ(28)

On calcule ensuite la déformation des aciers comprimés par la relation

ε′s = εcmaxc− d′

c(29)

et on compare cette valeur à εy = Es

fs. On continue les itérations jusqu’à obtenir des valeurs de ε′s et f ′s

compatibles.



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Le moment ultime et la courbure ultime sont obtenus par les relations

Mu = ηfcλcb(d−λc

2) + A′sf

′s(d− d′) (30)

φu =εcmaxc

(31)



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7 Exemples

7.1 Section sans aciers comprimés7.1.1 Calcul simplifié

Le dessin ci-dessous représente la section étudiée. Les dimensions sont en mm.

380

560

50

3φ20

FIGURE 6 – Section sans aciers comprimés

Les caractéristiques retenues pour le béton et l’acier sont les suivantes :

• fck = 25 Mpa• ft = 2.6 MPa• fyk = 500 MPa• γb = 1.2• γc = 1.0• Es = 200000 MPa• Ecm = 31000 MPa• αcc = 1.0, λ = 1.0, η = 1.0

Les données ci-dessus permettent de calculer les valeurs suivantes :

d = 51cm As = 9.42cm2 (section des aciers tendus)Ac = 2128cm2 (section brute de béton)Ag = 2128 + 48.4 = 2176cm2 (formule (17))yg =

59584+2462176

= 28.5cm (formule (18)Ig = 581161cm4 (inertie section de béton armé) (formule (19)Ec = 32550MPa (module d’Young du béton pour le calcul des déformations)n = Es

Ec= 6.14



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$

%

ρ = As

bd= 0.00486

k = 0.216 (formule (7) du paragraphe 4)εy =

fyk/γcEs

= 0.0025

Le calcul des points caractéristiques de la loi moment courbure s’ensuit. On obtient, en utilisant lesformules du paragraphe 6.1• moments et courbure élastique Me = 54972N.m et φe = 2.900e−4m−1 (formules (16) et (20))• moments et courbure plastique My = 222914N.m et φy = 6.25e−3m−1 (formules (21) et (22))• moments et courbure limite Mu = 228773N.m et φu = 6.12e−2m−1 (formules (24) et (25))La courbe correspondante est représentée ci-dessous :

0

10

20 30

40

50

60

·10−3

0

5

10

15

20

25·104

courbure (m−1)

Mom

ent(

N.m

)

FIGURE 7 – Loi moment-courbure simplifiée, sans aciers comprimés



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7.1.2 Calcul détaillé

A titre de comparaison, Un calcul détaillé avec un logiciel spécialisé permettant de calculer la loimoment courbure de manière itérative, en prenant en compte les lois de comportement non linéairesdu béton et de l’acier a permis d’obtenir la courbe ci-dessous.

20000

40000

60000

80000

100000

120000

140000

160000

180000

200000

220000

240000

0.000 0.010 0.020 0.030 0.040 0.050 0.060 0.070 0.080 0.090

Moment(N.m)

Courbure(m-1)

'courbe.dat'

vendredi 9 avril 2010 13:51:30 version: samson-V1.0Ph.Maurel-01/2006

Résultats 'Loi Moment-Courbure'

h=5.600e-001

b=3.800e-001

e_inf=5.000e-002

a_inf=9.420e-004

e_sup=5.000e-002

a_sup=0.000e+000

fc=2.500e+007

fy=5.000e+008

FIGURE 8 – Loi moment-courbure détaillée sans aciers comprimés

On voit que la courbe obtenue est trés proche de celle obtenue par le calcul simplifié. On constatedans les deux cas que le palier de ductilité est presque horizontal entre 0.6% et 6% pour une valeur dumoment compris entre 223000 N.m et 229000 N.m



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7.2 Secion avec aciers comprimés7.2.1 Calcul simplifié

Le dessin ci-dessous représente la section étudiée.

380

560

50

3φ20

2φ20

50

FIGURE 9 – Section avec aciers comprimés

Les caractéristiques retenues pour le béton et l’acier sont les mêmes que dans l’exemple précédentLes données ci-dessus permettent de calculer les valeurs suivantes :

d = 51cm As = 9.42cm2 (section des aciers tendus)A′s = 6.28cm2 (section des aciers comprimés)Ac = 2128cm2 (section brute de béton)Ag = 2128 + 48.4 + 32.3 = 2208cm2 (formule (17))yg =

59584+246+1612208

= 27.2cm (formule (18)Ig = 581161cm4 (inertie section de béton armé) (formule (19)Ec = 32550MPa (module d’Young du béton pour le calcul des déformations)n = Es

Ec= 6.14

ρ = As

bd= 0.00486

ρ′ = A′s

bd= 0.00324

k = 0.2073 (formule (14) du paragraphe 5)εy =

fyk/γcEs

= 0.0025

Le calcul des points caractéristiques de la loi moment courbure s’ensuit. On obtient, en utilisant lesformules du paragraphe ??• moments et courbure élastique Me = 55940N.m et φe = 2.870e−4m−1 (formules (16) et (20))• moments et courbure plastique My = 223000N.m et φy = 6.18e−3m−1 (formules (26) et (22))• moments et courbure limite Mu = 226800N.m et φu = 5.92e−2m−1 (formules (30) et (31))



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&

$

%

La courbe correspondante est représentée ci-dessous :

0 10 20 30 40 50 60

·10−

3

0

5

10

15

20

·104

courbure (m−1)

Mom

ent(

N.m

)

FIGURE 10 – Loi moment-courbure simplifiée, avec aciers comprimés

Ces résultats montrent que la section avec aciers comprimés est légèrement moins ductile que la sec-tion avec comprimés.



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7.2.2 Calcul détaillé

A titre de comparaison, Un calcul détaillé avec un logiciel spécialisé permettant de calculer la loimoment courbure de manière itérative, en prenant en compte les lois de comportement non linéairesdu béton et de l’acier a permis d’obtenir la courbe ci-dessous.

20000

40000

60000

80000

100000

120000

140000

160000

180000

200000

220000

240000

0.000 0.010 0.020 0.030 0.040 0.050 0.060 0.070 0.080 0.090

Moment(N.m)

Courbure(m-1)

'courbe.dat'

vendredi 9 avril 2010 14:50:01 version: samson-V1.0Ph.Maurel-01/2006

Résultats 'Loi Moment-Courbure'

h=5.600e-001

b=3.800e-001

e_inf=5.000e-002

a_inf=9.420e-004

e_sup=5.000e-002

a_sup=6.280e-004

fc=2.500e+007

fy=5.000e+008

FIGURE 11 – Loi moment-courbure détaillée sans aciers comprimés

On voit à nouveau, que la courbe obtenue est trés proche de celle obtenue par le calcul simplifié. Onconstate dans les deux cas que le palier de ductilité est presque horizontal entre 0.6% et 6% pour unevaleur du moment compris entre 223000 N.m et 226000 N.m



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8 ConclusionsCette note a permis de rappeler la théorie simplifiée associée au calcul des lois moment-courbure pourdes sections en béton armé rectangulaires comprenant ou non des aciers de compression.

Les exemples forunis permettent de comprendre le fonctionnement de la théorie simplifiée, et de lavalider par rapport à des calculs itératifs détaillés, prenant en compte le comportement non linéaire dubéton et de l’acier.

L’intérêt de la méthode simplifiée, est de permettre, nn modifiant lègèrement les équations, de prendreen compte le confinement du béton, ce qui permet d’augmenter sensiblement la ductilité.

e Fin de la note e
