lois générales de l’electrocinétique dansl’ARQS

Table des matières

1 les grandeurs électriques 21.1 courant électrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.1.1 charge électrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.1.2 courant électrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.1.3 intensité d’un courant électrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.1.4 classification des courants électriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2 ARQS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.3 différence de potentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2 lois de Kirchoff 42.1 Loi des noeuds et conservation de la charge . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.2 Loi des mailles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

3 les dipôles 53.1 convention générateur/récépteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63.2 caractéristique d’un dipôle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

3.2.1 classification des dipôles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73.2.2 dipôles passifs modèles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73.2.3 dipôles actifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93.2.4 modélisation d’un dipôle linéaire actif dans l’ARQS . . . . . . . . . . 10

4 associations de dipôles 114.1 association en série . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114.2 association en parallèle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

5 puissance électrocinétique reçue par un dipôle 14

1

L’électrocinétique est la branche de l’électromagnétisme qui étudie le transport des chargesélectriques dans les circuits conducteurs. Ses domaines d’application sont l’électrotechnique(applications techniques de l’électricité) et l’électronique (qui étudie les dispositifs à cou-rants électriques faibles).

1 les grandeurs électriques

De manière courante, à l’échelle macroscopique des circuits, deux grandeurs électriquesinterviennent dans les circuits électriques : l’intensité du courant et la tension électrique.

1.1 courant électrique

1.1.1 charge électrique

La charge électrique est la grandeur physique, exprimée en coulombs, que l’on peutattribuer à toute particule élémentaire participant à l’interaction électromagnétique. C’estune grandeur extensive conservative.La charge électrique ne peut être ni créée, ni détruite ; elle ne peut être qu’échangée. Enconséquence, un générateur ne crée pas de charges. Il met les charges en mouvement.

1.1.2 courant électrique

Etant donné un référentiel d’étude, on appelle courant électrique un mouvement d’ensemble(ordonné) de particules chargées dans ce référentiel. Un courant électrique est caractérisépar son intensité.

1.1.3 intensité d’un courant électrique

Soit la section (S) d’un conducteur. Soit dQ la charge qui traverse la surface (S) entret et t + dt, comptée positivement si les charges se déplacent dans le sens conventionnel,c’est-à-dire celui des porteurs de charges positifs.

L’intensité du courant électrique à travers une surface (S) à l’instant t est i(S, t) =dQ

dt.

Exemple : Si i = 1mA, pendant 1 s, il y a10−3A× 1 s

1, 6.10−19C= 6.1015 e− qui traversent la

section !

ordres de grandeur : de 1 µA à 1 A dans un transistor ; de 0,1 A à 5 A dans une lampe,5000 A dans une centrale électrique.

1.1.4 classification des courants électriques

On distingue :- les courants de conduction : déplacement de charges dans un support matériel sans dé-placement du support dans R.Ex : les électrons dans un métal ; les ions dans une solution d’ électrolytes...- les courants de convection : déplacement de charges par déplacement du support matérieldans R.Ex : disque chargé en rotation (Roue de Barlow).- les courants particulaires : faisceaux de charges sans support matériel.Ex : les « rayons » cathodiques = faisceau d’électrons dans le vide (oscilloscope, TV,. . . ).

exercice 1

2

1.2 ARQS

Réseau ou Circuit : système de conducteurs reliés les uns aux autres (par des fils deconnexion) qu’on peut analyser en terme de mailles, noeuds, branches . . .Noeud : c’est un point du circuit qui est la borne commune à plus de deux dipôles (et/oumultipôles).Branche : ensemble de dipôles montés en série et situés entre deux noeuds consécutifs.Maille : ensemble de branches formant un contour fermé ne passant qu’une seule fois parchaque noeud intermédiaire.

On parle de réseau en régime continu (ou stationnaire ou permanent) lorsque les gran-deurs (intensité, courant, charge. . . ) sont indépendantes du temps. On note alors cesgrandeurs par des majuscules (I, Q . . .).

Un réseau électrique fonctionne en régime variable lorsque les grandeurs qui lui sontassociées varient au cours du temps. Ces grandeurs sont alors notées en minuscules (i(t),u(t), q(t). . .).

Un courant électrique dépendant du temps correspond à la propagation d’une onde électro-magnétique à la vitesse de la lumière. En régime variable, on peut considérer que l’intensitéest la même en tous points d’une même branche, à condition que la durée de propagationde l’onde soit négligeable devant les durées caractéristiques du régime étudié (temps derelaxation lorsque le signal est transitoire, ou période lorsque le signal est périodique).

L’approximation des régimes quasi stationnaires (ARQS) ou quasi permanents(ARQP) revient à négliger tous les effets liés à la propagation des signaux élec-tromagnétiques sous forme de tension ou de courant. On ne considère alors quela dépendance temporelle des grandeurs électriques.

Au laboratoire, la dimension des circuits est au plus de l’ordre de 1 m. La durée ca-

ractéristique de propagation des signaux est τ =l

c=3.10−9 s. L’ARQS est valable si la

fréquence des signaux vérifie f 1

τ=3.108 Hz, ou si le temps caractéristique du régime

transitoire est négligeable devant τ .Couramment, on utilisera des signaux de fréquence inférieure à 10 MHz, donc l’ARQS seravalable.

exercice 3

1.3 différence de potentiel

Le mouvement des charges qui constitue le courant dans une certaine région de l’espaceest provoqué par un déséquilibre de nature électrique au sein de celle-ci. On définit en toutpoint d’un circuit une grandeur notée V (M ) qu’on appelle potentiel électrique. Nous nepourrons définir correctement le potentiel électrique que dans le cours d’electromagnétisme.

Lorsque le potentiel électrique n’est pas uniforme, les porteurs de charges mobiles sontsoumis à une force électrique qui leur communique un mouvement d’ensemble, ce qui créeun courant électrique dans un circuit fermé. La description d’une portion de circuit élec-trique comprise entre deux points A et B se fait donc à l’aide de deux grandeurs, d’unepart l’intensité du courant, d’autre part la différence de potentiel UAB = VA− VB entre Aet B.On appelle tension électrique la différence de potentiel entre A et B. Elle s’ex-

3

prime, comme le potentiel, en volts (V).Par convention, la tension UAB entre les points A et B se représente dans un schéma élec-trique par une flèche dirigée vers le point A.On la mesure avec un voltmètre placé en dérivation.

Remarque 1 : UAB > 0 =⇒ VA > VB : si une tension est positive, alors la flèche detension est dans le sens des potentiels croissants.Remarque 2 : Les potentiels V sont définis à une constante près. Seule la tension ou dif-férence de potentiels a un sens physique. La différence est souvent définie par rapport àun potentiel nul de référence pour le circuit qui est appelé masse (Ce potentiel n’est pasforcément constant dans le temps).

complément sur la masse : Nos pieds nous relient à la terre. Si nous touchons un point dontl’état électrique (le potentiel) est différent de celui de la terre, un courant traverse notrecorps, qui est conducteur. Si la différence de potentiel est forte, ce courant peut causer desdommages importants.Or la plupart des appareils présentent des parties extérieures métalliques, donc conduc-trices, pouvant être touchées par l’utilisateur (boîtier, radiateur, vis...). Il n’est pas impos-sible qu’une de ces parties métalliques soit accidentellement en contact avec une partie ducircuit électrique de l’appareil et se trouve à un potentiel très différent de celui de la terre,d’où un danger potentiel avec les appareils électriques reliés au secteur.Pour éviter ce problème, toutes ces parties métalliques sont reliées entre elles, l’ensembleformant la "carcasse", elle-même relié à la terre par l’intermédiaire de la prise de terre.On dit que la masse de l’appareil est à la terre. Cette masse "carcasse" n’est pas choisiepar l’utilisateur, elle est donc différente de la masse électrique. Son symbole normalisé est

Mais l’utilisateur peut choisir comme masse électrique la masse carcasse ! On parlera doncsouvent de "masse" sans autre précision.Attention : sur de nombreux appareils reliés au secteur que nous utilisons, une des bornes(la borne noire, ou celle qui porte le symbole de la masse carcasse) est reliée à la massecarcasse, donc à la terre. Cela implique que les bornes noires ou masses de ces appareilssont reliées entre elles par l’intermédiaire de la terre. Cette liaison n’est pas parfaite eton l’améliorera fréquemment en utilisant un fil. Cependant cela signifie que relier la bornerouge d’un appareil à la borne noire d’un autre appareil, les deux étant reliés au secteur,équivaut à mettre le premier en court-circuit !

2 lois de Kirchoff

Ce sont des lois générales de l’électrocinétique, valables en courant continu et en courantvariable dans le cadre de l’ARQS.

2.1 Loi des noeuds et conservation de la charge

Du fait de la conservation de la charge, les charges ne peuvent être ni créées, ni détruites.Pour un noeud donné, en régime permanent ou dans l’ARQS, la somme algébrique descourants "arrivants" (ou "sortants") à un noeud est nulle à tout instant.

Pour un noeud N à un instant t quelconque :∑

εkik(t) = 0 avec :

- εk = +1 si le sens positif choisi pour ik arrive au noeud N- εk = −1 si le sens positif choisi pour ik part du noeud N.exemple :

4

En particulier, l’intensité est la même en tout point d’un circuit sans dérivation (dansl’ARQS). On peut donc placer un ampèremètre en série à tout endroit d’une branche pourmesurer l’intensité du courant qui la traverse.

2.2 Loi des mailles

VA − VB + VB − VC + VC − VD + VD − VA = 0

UAB + UBC + UCD + UDA = 0

La somme algébrique des tensions aux bornes des branches successives d’unemaille parcourue dans un sens déterminé est nulle.Pour une maille M à un instant t quelconque, parcourue dans un sens donné :∑

k

uk(t) = 0

où uk = est la différence de potentiel entre le noeud k et le noeud suivant rencontré lorsdu parcours.exercice 7

3 les dipôles

On appelle dipôle électrocinétique un élément d’un circuit électrique relié au reste ducircuit par deux fils de connexion.

Un fil de connexion est un fil dont la résistance est négligeable devant les autres ré-sistances du montage.

exemples de dipôles :

5

L’état électrique d’un dipôle est décrit à l’aide de la tension entre ses bornes et de l’inten-sité du courant électrique qui le traverse. Dans le cadre de l’ARQS, l’intensité du courantqui rentre dans un dipôle est égale à celle du courant qui en sort.

3.1 convention générateur/récépteur

Les dipôles peuvent être étudiés avec deux conventions de fléchage :

- Convention récepteur : Le courant et la tension sont fléchés en sens inverse. Cela per-met d’obtenir deux grandeurs positives pour des dipôles s’opposant à la circulation ducourant.

- Convention générateur : Le courant et la tension sont fléchés dans le même sens. Celapermet d’obtenir deux grandeurs positives pour des dipôles favorisant la circulation ducourant.

exercice 2

3.2 caractéristique d’un dipôle

Dans un dipôle, courant et tension ne sont pas indépendants. La caractéristique statiquecourant-tension d’un dipôle est le graphe I=f(U) obtenu en mesurant I lorsqu’on fait varierU, la lecture étant faite lorsque le régime stationnaire est atteint. On définirait de mêmela caractéristique statique tension-courant.

La caractéristique dépend évidemment de la nature du dipôle et donc, éventuellementde certains paramètres extérieurs.La convention adoptée doit impérativement être précisée par un schéma !

Les limites de cette caractéristique sont fixées d’une part par le type de fonctionnementdu dipôle et d’autre part par la puissance maximale qu’il peut échanger avec l’extérieur etdonc qu’on peut lui fournir sans le détériorer.

Sur ces caractéristiques, certaines grandeurs sont à remarquer :- intensité de court-circuit : c’est l’intensité I0 correspondant à l’intersection de la carac-téristique avec l’axe U = 0, c’est l’intensité du courant qui traverserait un fil de résistancenégligeable joignant les deux bornes du dipôle.- tension en circuit ouvert ou tension à vide : c’est la tension U0 correspondant à l’intersec-tion de la caractéristique avec l’axe I= 0, c’est la tension que l’on mesurerait en connectantun voltmètre directement aux bornes du dipôle isolé.

6

3.2.1 classification des dipôles

La plupart des dipôles courants peuvent être modélisés par des dipôles idéaux, dont lacaractéristique correspond à une fonction mathématique simple.

On dit qu’un dipôle est :- symétrique si I(−U) = −I(U), sa caractéristique statique admet l’origine des coordonnéescomme centre de symétrie. Sinon, il est dit polarisé.

- passif si son intensité de court-circuit et sa tension en circuit ouvert sont simultané-ment nulles, sa caractéristique passe alors par l’origine. Il est dit actif dans le cas contraireet peut alors fournir de l’énergie électrique au circuit pendant une durée arbitrairementlongue.

-linéaire si sa caractéristique statique est une droite ou si la relation entre la tension u(t)et le courant i(t) est une équation différentielle à coefficients constants.

En électronique, on utilise de nombreux dipôles non linéaires. Les circuits qui contiennentces dipôles ne peuvent, en général, pas être étudiés avec des méthodes analytiques rigou-reuses. La connaissance des caractéristiques permet alors l’analyse de ces circuits avec desméthodes graphiques.

exercice 4

3.2.2 dipôles passifs modèles

Les trois principaux dipôles passifs que nous rencontrerons dans les circuits linéaires sontle conducteur ohmique, la bobine et le condensateur.

a. conducteurs ohmiques :

De nombreux conducteurs vérifient la loi d’Ohm

UAB = VA − VB = RI

On peut aussi écrire I = GUAB où G = 1/R est la conductance du dipôle en siemens (S).

Exprimentalement, la résistance d’un conducteur métallique cylindrique et homogène estproportionnelle à la longueur l et inversement proportionnelle à la surface de la section S.

R = ρl

S=

1

γ

l

S

ρ résistivité en Ω.m ;γ conductivité en Ω−1.m−1 ou S.m−1.

7

Pour des puissances allant jusqu’à plusieurs dizaines de watts, on utilise des résistancesspiralées : un fil métallique est bobiné sur un cylindre isolant, le tout recouvert d’un vernisprotecteur. Les résistors utilisés dans les circuits électroniques, appelés "résistances radio",utilisés pour de faibles puissances, sont réalisés avec du carbone, soit sous forme de grainsagglomérés, soit sous forme de couche déposée sur un bâtonnet de céramique isolante, letout recouvert d’un vernis protecteur.Le domaine de fonctionnement est limité par la puissance maximale que peut supporteren régime de fonctionnement continu le résistor, Pmax, appelée puissance nominale. Lagamme des résistances radio s’étend de 1Ω à 22 MΩ.

b. bobine :

Les bobines, ou inducteurs, sont en général introduites dans les circuits pour s’opposeraux variations du courant, par exemple filtrer les courants continus.

Les bobines à enroulement métallique sont généralement des composants volumineux quine possèdent pas une inductance propre élevée (de l’ordre de quelques dizaines de mH).Pour augmenter l’inductance propre, on utilise un matériau ferromagnétique (noyau de ferdoux), mais alors le comportement n’est plus linéaire.

On peut considérer que le comportement d’une bobine ne comportant pas de matériauferromagnétique, dans le domaine des signaux de faible amplitude, peut être représentépar une inductance pure de valeur L constante, en première approximation.

u = Ldi

dt

L est l’inductance de la bobine, exprimée en henry (H).

L est en général comprise entre quelques microhenrys et quelques henrys

En régime de fonctionnement continu, ou en basses fréquences, il est nécessaire de tenircompte de la résistance propre d’une bobine : le schéma équivalent est donné par l’asso-ciation en série d’une inductance pure et d’une résistance pure de valeur assez faible (dequelques dixièmes à plusieurs ohms).

u = ri+ Ldi

dt

Il ne peut pas y avoir de discontinuité de l’intensité du courant aux bornesd’une bobine car sinon, la tension à ses bornes serait infinie !En régime continu, la bobine se comporte comme un fil.

exercice 14

c. condensateur :

Lorsqu’on applique une différence de potentiel à deux conducteurs isolés l’un de l’autre,on assiste à une accumulation de charges par influence électrostatique. C’est l’effet capacitif.

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Les condensateurs sont composés de deux armatures séparées par un isolant. L’aptituded’un condensateur à stocker des charges est appelée capacité C du condensateur, expriméeen Farad (F). On peut considérer, en première approximation, qu’un condensateur est mo-délisable par une capacité pure de valeur constante C, dans le domaine de tension limitépar la tension maximale de claquage umax.

q = Cu i =dq

dt= C

du

dt

L’intensité du courant ne pouvant être infinie, il ne peut pas y avoir de discon-tinuité de la tension aux bornes d’un condensateur.

En réalité, un condensateur, même isolé, se décharge lentement. Ceci est dû aux élec-trons qui parviennent à passer d’une armature à l’autre, l’isolant séparant ces armaturesne pouvant pas être parfait. Ce phénomène peut être modélisé par une résistance placéeen parallèle d’un condensateur idéal, appelée résistance de fuite, notée Rf .

En régime continu, le condensateur se comporte comme un interrupteur ou-vert.exercices 15, 16, 17

d. diode à jonction :

3.2.3 dipôles actifs

Une source (idéale) de tension maintient entre ses bornes une tension indépendante del’intensité du courant qui la traverse.

U = E

C’est un modèle qui peut être approché par un accumulateur au plomb ou par certainsdispositifs contenant par exemple des AO.

9

On dit que le générateur de tension est éteint lorsqu’il est réduit à une tension identique-ment nulle (équivalent à un conducteur).

Une source (idéale) de courant débite un courant d’intensité indépendante de la tensionappliquée à ses bornes.

I = I0

Le générateur de courant est éteint si le courant est identiquement nul (circuit ouvert).

La caractéristique d’un grand nombre de sources réelles (les piles par exemple) a pour équa-tion en régime continu U = e−RI : la tension diminue si l’intensité du courant débitéaugmente.

3.2.4 modélisation d’un dipôle linéaire actif dans l’ARQS

Représentation de ThéveninU = e−RI

Le dipôle linéaire actif peut donc être considéré comme l’association série d’une sourceidéale de tension e (tension à vide) et d’une résistance R (pente)

Représentation de Norton :L’équation U= e-RI s’écrit également

I = I0 −U

Ravec I0 =

E

R

Le dipôle linéaire peut être considéré comme l’association parallèle d’une source idéale decourant I0 (courant de court circuit) et d’une résistance R (pente) :

cas général Un dipôle actif réel n’a pas nécessairement une caractéristique affine enrégime permanent indépendant du temps, mais si l’on considère de petites variations auvoisinage d’un point (U, I) donné, appelé point de repos, il est possible de linéariser ledipôle, c’est-à-dire de remplacer sa caractéristique par sa tangente au point de repos choisi.

10

équivalence Norton Thévenin On peut toujours passer d’une source de Thévenin àune source de Norton et inversement.La conductance de la source de Norton est l’inverse de la résistance de la source de Thévenind’une part, et la f.e.m. de la source de Thévenin est égale au c.e.m. de la source de Nortonmultipliée par sa résistance.

L’emploi de la représentation de Thévenin sera préféré dans le cas d’association série alorsque celle de Norton le sera dans le cas d’associations parallèles.exercice 2

4 associations de dipôles

4.1 association en série

Il y a association série de dipôles lorsqu’ils sont connectés les uns aux autres de sorte queceux-ci sont traversés à tout instant par le même courant d’intensité i(t) dans le cadre del’ARQS.

En adoptant la même convention d’orientation des tensions pour chaque dipôle, l’associa-tion série des dipôles est équivalente à un dipôle unique traversé par le courant i(t) etsoumis à la tension u(t) égale à la somme des tensions aux bornes de chacun des dipôles,par application de la loi des mailles. On a alors u(t) =

∑k uk(t) et ik(t) = i(t),∀k

L’association de n conducteurs ohmiques en série est équivalente à un conduc-teur ohmique de résistance

Req =

n∑1

Ri

L’association de n bobines idéales en série est équivalente à une bobine idéaled’inductance

Leq =

n∑1

Li

L’association de n condensateurs idéaux en série est équivalente à un conden-sateur idéal de capacité

1

Ceq=

n∑1

1

Ci

Deux générateurs de tension placés en série permettent d’additionner la tension auxbornes de chacun d’eux. Il convient toutefois en TP de ne pas oublier les ”problèmes demasses” éventuels ! Par contre, associer deux générateurs de courant en série n’a aucunsens : cela revendrait à imposer deux courants différents dans un même fil !

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application : diviseur de tension

Req = R1 +R2

UAB = ReqI

UBC = R2I

D’où UBC =R2

R1 +R2UAB

Ce dispositif est utilisé couramment dans les systèmes de contrôle du volume sonore ou del’intensité lumineuse.

Une tension U aux bornes de résistances placées en série se partage aux bornes dechacune de ces résistances proportionnellement à la valeur de chaque résistance.

Attention ! Le pont diviseur de tension ne peut s’appliquer que si les 2 dipôles sont ensérie, c’est-à-dire qu’aucun courant ne doit partir dans une autre branche entre R1 et R2.

4.2 association en parallèle

Il y a association parallèle de dipôles lorsque ceux-ci sont soumis à tout instant à la mêmetension u(t) à leurs bornes.

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En adoptant la même convention d’orientation des courants pour chaque dipôle, l’associa-tion parallèle est équivalente à un dipôle unique soumis à la tension u(t) et traversé par lecourant i(t) égal à la somme des courants traversant chacun des dipôles, par applicationde la loi des noeuds dans le cadre de l’ARQS :i(t) =

∑k ik(t) et uk(t) = u(t),∀k

L’association de n conducteurs ohmiques en parallèle est équivalente à unconducteur ohmique de conductance

Geq =

n∑1

Gi

1

Req=

n∑1

1

Ri

L’association de n bobines idéales en parallèle est équivalente à une bobineidéale d’inductance

1

Leq=

n∑1

1

Li

L’association de n condensateurs idéaux en parallèle est équivalente à un conden-sateur idéal de capacité

Ceq =n∑1

Ci

Deux générateurs de courant placés en parallèle permettent d’additionner les cou-rants de ces générateurs. Par contre, associer deux générateurs de tension en parallèle n’aaucun sens : cela revendrait à imposer deux tensions différentes aux mêmes bornes !

Application : diviseur de courant

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I = GeqU = (G1 +G2)U

I2 = G2U

D’où I2 =G2

G1 +G2I

Ce montage permet d’obtenir une intensité dans une branche proportionnelle à l’intensitédans la branche principale.

Un courant d’intensité i traversant des résistances placées en parallèle se partage danschacune de ces résistances inversement proportionnellement à la valeur de chaque

résistance.

exercices 6, 7, 8

5 puissance électrocinétique reçue par un dipôle

Dans le cadre de l’ARQS, pendant dt, si q est la charge élémentaire d’un porteur de

charge, il y aIdt

qporteurs de charge qui entrent en A et leur énergie potentielle électrique

estIdt

q× qVA.

Le même nombre de porteurs de charges sort en B, leur énergie potentielle électrique estIdt

q× qVB. Le dipôle reçoit donc l’énergie δW = Idt(VA − VB) = UIdt ce qui correspond

à la puissance électrocinétique reçue par le dipôle du reste du circuit.

Avec cette convention (convention récepteur),

Precue =δW

dt= UABI

Un dipôle a un comportement récepteur si, en convention récepteur, P > 0.Un dipôle un comportement générateur si, en convention récepteur, P < 0.

Un dipôle peut avoir un comportement récepteur certains moments et un comportementgénérateur d’autres moments (ex. batterie).

Remarque : on peut alors définir la convention générateur et la convention récepteur :

14

Pour une résistance U = RI :P = UI = RI2

Le matériau reçoit cette puissance du circuit du fait du frottement des électrons de conduc-tion. En régime permanent, cette puissance est cédée à l’extérieur sous forme de chaleur.Il s’agit de l’effet Joule.

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